2016年秋季学期新人教A版高中必修二4.1.2 圆的一般方程课件
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新课标人教A版高一必修二数学4.1.2圆的一般方程课件(共14张ppt)
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
高中数学必修二4.1.2圆的一般方程课件(1)
1. 圆的一般方程和标准方程； 2. 配方法和待定系数法.
课后作业
P124 A组 第6题 B组 第3题
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
例3.已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
解：设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心 10 为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5， -1）除外，B点除外
＝
1 4
( (x
x 2＋y2 ) －3 )2＋y2
＝
1 2
①
化简得： x2 ＋ y2＋2x－3＝0 ②
这就是所求的曲线方程。
y
把 ② 左边配方得(x＋1)2＋ y 2＝ 4
所以方程 ② 的曲线是以C( —1，0） M.
为圆心，2为半径的圆， 它的图形如图：
课后作业
P124 A组 第6题 B组 第3题
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
例3.已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
解：设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心 10 为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5， -1）除外，B点除外
＝
1 4
( (x
x 2＋y2 ) －3 )2＋y2
＝
1 2
①
化简得： x2 ＋ y2＋2x－3＝0 ②
这就是所求的曲线方程。
y
把 ② 左边配方得(x＋1)2＋ y 2＝ 4
所以方程 ② 的曲线是以C( —1，0） M.
为圆心，2为半径的圆， 它的图形如图：
人教A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程 课件
5.
，则动点P的轨迹是
（1）若 λ＝1，则点P的轨迹是线段AB的中垂线. （2）若 λ＞0 且 λ≠1 ，则点P的轨迹是圆. （3）若 λ<0，则点P的轨迹不存在.
4x0 2 3 x0
1,
∴ x0＝1，即圆心为(1，－4)，
半径 r (3 1)2 (2 4)2 2 2 ,
故圆的方程为 (x－1)2＋(y＋4)2＝8.
.
C
练习2.
解1：设 M(x，y) ，Q(x0，y0) ，
y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ
则由线段中点坐标公式得
M
x
x
y
x0 10 2
y0 0 2
4.1.2 圆的一般方程
将圆的标准方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
展开，得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：
x2 y2 Dx Ey F 0
反过来，x2 y2 Dx Ey F 0 所表示的曲线是圆吗？
即
x0 y0
2x 10 2y
O
P
（相关点法）
∵点 Q 在圆 x2+y2=16 上 ， x02 y02 16
即 (2 x 10)2 (2 y)2 16
即 ( x 5)2 y2 4 所求点M的轨迹方程.
练习2.
解2：设 M(x，y) ，Q(x0，y0) ，
∵点 Q 在圆 x2+y2=16 上 ，
解3：
∴ 线段AB的中点M轨迹是以( 3 , 3)为圆心、1为半径的圆.
22
小结圆的方程：
1. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为：
(x a)2 ( y b)2 r2
高一数学人教A版必修二课件：4.1.2 圆的一般方程
方程.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
解:方法一:设所求的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
-������ + 5������ + ������ + 26 = 0,
������ = -4,
则由题意有 -2������-2������ + ������ + 8 = 0, 解得 ������ = -2,
解法二:线段 CD 的垂直平分线方程为 x+y-2=0.
∵圆心在直线 y=x 上,
∴解方程组
������ ������
+ =
������-2 ������
=
0,得圆心坐标为(1,1).
则半径 r= (1 + 1)2 + (1-1)2=2.
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,
则一般方程为 x2+y2-2x-2y-2=0.
4.1.2 圆的一般方程
目标导航 预习导引
学习 目标
重点 难点
1.知道二元二次方程表示圆的条件,会根据圆的一般方程 求圆的圆心坐标和半径; 2.会根据所给条件求圆的一般方程; 3.会解答简单的轨迹问题. 重点:求圆的一般方程; 难点:求动点的轨迹方程.
目标导航 预习导引
12
1.圆的一般方程
圆的一般方程的定义
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
三、求动点的轨迹方程 1.求动点的轨迹方程,就是根据题意建立动点的坐标(x,y)所
满足的等量关系,并把这个方程化成最简形式. 2.求轨迹方程的常用方法:
(1)直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如 圆及以后要学习到的椭圆、双曲线、抛物线等),可用定义直
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
解:方法一:设所求的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
-������ + 5������ + ������ + 26 = 0,
������ = -4,
则由题意有 -2������-2������ + ������ + 8 = 0, 解得 ������ = -2,
解法二:线段 CD 的垂直平分线方程为 x+y-2=0.
∵圆心在直线 y=x 上,
∴解方程组
������ ������
+ =
������-2 ������
=
0,得圆心坐标为(1,1).
则半径 r= (1 + 1)2 + (1-1)2=2.
∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4,
则一般方程为 x2+y2-2x-2y-2=0.
4.1.2 圆的一般方程
目标导航 预习导引
学习 目标
重点 难点
1.知道二元二次方程表示圆的条件,会根据圆的一般方程 求圆的圆心坐标和半径; 2.会根据所给条件求圆的一般方程; 3.会解答简单的轨迹问题. 重点:求圆的一般方程; 难点:求动点的轨迹方程.
目标导航 预习导引
12
1.圆的一般方程
圆的一般方程的定义
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
三、求动点的轨迹方程 1.求动点的轨迹方程,就是根据题意建立动点的坐标(x,y)所
满足的等量关系,并把这个方程化成最简形式. 2.求轨迹方程的常用方法:
(1)直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如 圆及以后要学习到的椭圆、双曲线、抛物线等),可用定义直
人教A版高中数学必修二《4.圆的一般方程》课件
方 程x2y2DxEyF0表 示 以 点 D 2,E 2为 圆 , 1 D2E24F为 半 径 的 圆 . 2
（ 2 ） 当 D 2 E 2 4 F 0 时 ，
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 表 示 点 D 2 , E 2
（ 3 ） 当 D 2E 2 4 F 0 时 ，
练一练
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
1:下列方程各表示什么图形?
（ 1） x2y20_________
原点（0,0）.
（ 2 ） x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _
圆 心 为 ( 1 ,2 ),半 径 为 1 1 的 圆 .
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: (用配方法求解) ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待 定系数法求解.
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件 人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
x12 y2 4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标（x，y）,
点A的坐标 x0 , y.0由 于点B的坐
标是（4，3）,且点M是线段 AB的中点,所以
xx04,yy03,
2
2
于是有 x02x4,y02y3.①
y
M
B
A
O
x
图4.1-4
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 不 表 示 任 何 图 形 .
（ 2 ） 当 D 2 E 2 4 F 0 时 ，
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 表 示 点 D 2 , E 2
（ 3 ） 当 D 2E 2 4 F 0 时 ，
练一练
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
1:下列方程各表示什么图形?
（ 1） x2y20_________
原点（0,0）.
（ 2 ） x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _
圆 心 为 ( 1 ,2 ),半 径 为 1 1 的 圆 .
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: (用配方法求解) ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待 定系数法求解.
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件 人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
x12 y2 4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标（x，y）,
点A的坐标 x0 , y.0由 于点B的坐
标是（4，3）,且点M是线段 AB的中点,所以
xx04,yy03,
2
2
于是有 x02x4,y02y3.①
y
M
B
A
O
x
图4.1-4
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 不 表 示 任 何 图 形 .
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A版必修2)
题型三
的轨迹方程, 并说明它的轨迹是什么. 解: 设另一端点 C 的坐标为(x, y). 依题意, 得|AC|=|AB|, 由两点间距离公式, 得
求轨迹方程
【例 3】 等腰三角形的顶点是 A( 4, 2) , 底边一个端点是 B( 3, 5) , 求另一个端点 C
整理得(x-4)2+(y-2)2=10. (x 4) 2 (y 2) 2 (4 3) 2 (2 5) 2 , 这是以点 A(4, 2) 为圆心, 以 10 为半径的圆, 如图所示, 又因为 A, B, C 为三角 形的三个顶点, 所以 A, B, C 三点不共线.即点 B, C 不能重合且 B, C 不能为圆 A 的 一直径的两个端点.
1 若方程 x2+y2-4x+2y+5k=0 表示圆, 则实数 k 的取值范围是( A.R C.( -∞, 1] 答案: B B.( -∞, 1) D.[ 1, +∞)
)
解析: 16+4-4× 5k>0, ∴ k<1.
2 若方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示以( 2, -4) 为圆心, 4 为半径的圆, 则 F= .
2
解法二: 原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2, 当 m=2 时, 它表示一个点; 当 m≠2 时, 原方程表示圆的方程, 此时, 圆的圆心为( 2m, -m), 半径为 r= 5 |m-2|.
反思: ( 1)形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的二元二次方程, 判定其是否表示圆时有如下 两种方法: ①由圆的一般方程的定义判断 D2+E2-4F 是否为正.若 D2+E2-4F>0, 则 方程表示圆, 否则不表示圆.②将方程配方变形成“标准”形式后, 根据圆的标准 方程的特征, 观察是否可以表示圆. (2)在书写本题结果时, 易出现 r= 5 (m-2)的错误结果, 导致这种错误的原因 是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数.
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)
C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
栏目 导引
第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
栏目 导引
第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
名师微博
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.
高中数学人教A版必修二第四章4.1.2 圆的一般方程课件
圆的一般方程
x2 y2 2x 4y 1 0
(x -1) 2 (y 2) 2 4 配
拆 平
x2 2x 1 y2 4y 4 4 方
方
x2 y2 2x 4y 1 0
看不见圆心、半径
提取圆心和半 径的必经之路
已知x2 y2 2x 6 y 2 0表示圆，
则它的圆心坐标为
，半径为
(2)没有xy这样的二次项.
(3) D2 E 2 4F 0
本节总结：圆的一般方程
方我突程们出x把2了+yD形22++式DEx上2+-E的4yF+特F＞=点00的时轨x2迹+y可2+能D是x+圆Ey、+F点=或0所无表轨示迹.的 圆的方程称为圆的一般方程.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 明确指出了圆心和半径 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0
x2 y2 2x 6y 2 0
x2 2x 1 y2 6y 2 1 (x 1)2 y2 6 y 2 1
(x 1)2 (y2 6 y 9) 2 10 (x 1)2 (y 3)2 2 10 (x 1)2 (y 3)2 8
圆心（ -1，，3） 半径2 2
。 X配方 y配方
人民教育出版社 高中数学 高一 必修2
4.1.2 圆的一般方程
圆的标准方程: x a2 y bN2 o r2
• 圆心C(a,b),半径为r.
Image
(x -1) 2 (y 2) 2 4
22
No • 圆心C(1,2), •半径为2 Image
(x -1) 2 (y 2) 2No4 拆平方 Image
x2 y2 Dx Ey F 0
高中数学人教A版必修2课件-4.1.2圆的一般方程
以（1，-2）为圆心，以
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
人教版高中数学必修2(A版) 4.1.2圆的一般方程 PPT课件
未知量 是什么？
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1：待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2）
2 2
方案2： 数形结合： 挖几何性 质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F（或a, b, r )
挖出两条直径（弦中 垂线）方程
表示
（2）当D2+E2-4F=0时， 表示
（3）当D2+E2-4F<0时， 表示
D E D2 E 2 4F 圆心（ ， ), 半径为 的圆 2 2 2 D E 一个点（ ， ) 2 2 没有意义 回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道：方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢？
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1：待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2）
2 2
方案2： 数形结合： 挖几何性 质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F（或a, b, r )
挖出两条直径（弦中 垂线）方程
表示
（2）当D2+E2-4F=0时， 表示
（3）当D2+E2-4F<0时， 表示
D E D2 E 2 4F 圆心（ ， ), 半径为 的圆 2 2 2 D E 一个点（ ， ) 2 2 没有意义 回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景 二、自主学习 三、教师点拨 四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道：方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢？
高中数学人教A版必修二4.1.2圆的一般方程课件
x2+y2-7x-3y+2=0. ( 3)“求经过点A(4,-5)，且与直线m：x-2y+4=0相切于 点B(-2,1)的圆的方程”，有哪一些方法？
(4-a)2+(-5-b)2=r2
(-2-a)2+(1-b)2=r2
b|a1a--(-+2-12b(-)+2=4)-2|2=r2
42+(-5)2+4D-5E+F=0
当当a当 当 a,,baba不,不,b同 b不同不时同时同 为时为0时 为时00为 时 时 , 0,, 时,
表表示表 表 示圆示圆 示心圆心 圆为心为心为 为 a,a0a,0, 半a ,,,半 径0半径 为径 , 半 为为a径 2a2为 ab22b的2a的 b圆22圆 的 . .b圆2
当当a当 当 a,,baba同,同,b时b同时同为时为时 0为时0为 0时,时0,,时,
(-2)2+12 -2D+E+F=0
-
-E2|-D2-D2(--1-122+)((-=-E22-2))2+4|
=
D2+E2 -4F 2
AB的中垂线：y-(-2)=1 (x-1) m的垂线：y-1=-2[x-(-2)]
L XZ XJY
例析
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点
A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的
若设 2a D,2b E ,a 2 b2 r 2 F，则有 :
x 2 y 2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程。
2.下列二元二次方程各表示什么图形？由 此你能得到什么结论？
(1)x2+y2 -2x- 4y +1=0
【人教A版】高中数学必修二：4.1.2《圆的一般方程(2)》ppt课件
突出方程形式上的特点
例1：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的 圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
例2、已知一曲线是与两个定的点的轨迹，
求此曲线的方程，并画出曲线。
课堂小结 (1)任何一个圆的方程都可以写成 x2 y 2 Dx Ey F 0
的形式，但是方程 x2 y 2 Dx Ey F 0
的曲线不一定是圆；当 D2 E2 4F 时0，方程
x2 y 2 Dx Ey F 0 称为圆的一般方程。
（2）圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化; 熟练应用配方法求出圆心坐标和半径. (3)用待定系数法求圆的方程时需要灵活选用方程形式.
②没有xy这样的二次项。
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
(x a)2 ( y b)2 r2
x2 y2 Dx Ey F 0
圆心 半径 优点
(a,b)
r (r o) 几何特征明显
( D , E ) 22
1 D2 E2 4F 2
(D2 E 2 4F 0)
2
2
4
D2 E2 4F 0 4
D2 E2 4F 0
D2 E2 4F 0
D2 E2 4F 0
与一般的二元二次方程
Ax2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0
比较圆的一般方程的特点：
①x2和y2的系数相同，不等于0．
（举例：）
4x2 4 y2 4x 12 y 9 0
判断下面两个方程是否表示圆：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0 (2)x2 y2 2x 4 y 6 0
人教A版高中数学必修二课件第四章4.1.2圆的一般方程(共37张PPT).pptx
答案:(x-5)2+y2=16
【拓展提升】求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
【变式训练】(2013·合肥高一检测)过原点O作圆x2+y2-8x=0
【解题探究】1.题1中三点与圆心、半径无直接联系,应怎样 设出圆的方程? 2.圆的一般方程中含有几个待定系数,在求圆的方程时如何求 出待定系数? 探究提示: 1.可设出圆的一般方程求解. 2.含有三个待定系数,需三个独立条件,列出三个方程构成方 程组求出待定系数.
【解析】1.选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0分别代入 (－1,5)，(5,5)，(6,－2)得
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=25
2.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨
迹为曲线C,则此曲线的方程为
.
【解题探究】1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置 关系上是什么? 2.几何关系|PA|=2|PB|如何用数量关系表示? 探究提示: 1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上便是垂 直,因而其斜率之积为-1. 2.几何关系|PA|=2|PB|可通过两点间的距离公式转化为数量 关系.
r＝1 D2＋E2－4F＝ 5 | m－2 | . 2
方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，原方程表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m，-m)，半径为r＝|m5－2|.
【拓展提升】求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
【变式训练】(2013·合肥高一检测)过原点O作圆x2+y2-8x=0
【解题探究】1.题1中三点与圆心、半径无直接联系,应怎样 设出圆的方程? 2.圆的一般方程中含有几个待定系数,在求圆的方程时如何求 出待定系数? 探究提示: 1.可设出圆的一般方程求解. 2.含有三个待定系数,需三个独立条件,列出三个方程构成方 程组求出待定系数.
【解析】1.选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0分别代入 (－1,5)，(5,5)，(6,－2)得
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=25
2.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨
迹为曲线C,则此曲线的方程为
.
【解题探究】1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置 关系上是什么? 2.几何关系|PA|=2|PB|如何用数量关系表示? 探究提示: 1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上便是垂 直,因而其斜率之积为-1. 2.几何关系|PA|=2|PB|可通过两点间的距离公式转化为数量 关系.
r＝1 D2＋E2－4F＝ 5 | m－2 | . 2
方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，原方程表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m，-m)，半径为r＝|m5－2|.
人教A版必修二 4.1.2 圆的一般方程 课件(29张)
由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，
所以－k2＋1＋1＝0，得k＝4，
所以圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为
1 2
42＋22＋16＝3，
所以该圆的面积为9π.
答案：(1)(－2，－4) 5 (2)9π
归纳升华 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法 1．配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元 二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是 否表示圆． 2．运用圆的一般方程的判断方法求解．即通过判 断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆．
解析：由－D2 ＝2，－E2 ＝－4，12 D2＋E2－4F＝4， 解得F＝4.
答案：4
5．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点 (0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)， 所以F1＋＝10＋，D＋E＋F＝0， 解得DE＝＝0－，2，
[变式训练] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 表示圆，求：
(1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解：(1)根据题意，知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<15， 故实数m的取值范围为－∞，15.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方 程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
(2)根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的 方程组．
(3)解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把 它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
人教A版高中数学必修二 4.1.2 圆的一般方程课件
x
圆心：两条不 平行弦的中垂 线的交点。
半径：圆心 到圆上一点
的距离。
方法总结：
方法一：待定系数法(把圆设为标准方程或一般方 程；寻找三个独立条件，列出关于 a、b、r或D、E、F 的方程组;解方程，再代回所设圆方程。）
方法二：几何法(参考课本120页例3。求圆心和 半径，依据：①圆中，弦的垂直平分线经过圆心； ②两条不平行弦的中垂线的交点一定是圆心。）
标和半径。
答案：圆心为（ 3，1），半径是 2
44
4
典型例题
例1 求过三点O(0,0),M1(1,1)，M2(4,2)
的圆的方程，并求出这个圆的半径长与圆心坐
标.
y
M1 M2
O
x
解法一
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 其中 D，E，F 待定．
由题意得
DF
0 E
F
2
0
三元一次 方程组
当a 0时，a2 0恒成立，只需-12 -16a2 0，解得
a 1 或a 1
4
4
综上，a 1 或a 1
4
4
故a的取值范围为- ，- 1 1 ， 。 4 4
(0 a)2 (0 b)2 r2 a 4
(1
a)2
(1
b)2
r2
b 3
(4 a)2 (2 b)2 r2 r 5
三元二次 方程组
所求圆的方程为
(x 4)2 (y 3)2 25
因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），
半径为 5．
解法三
y
M1(1,1)
M2(4,2)
O
课堂小D2＋E2－4 F＞0）； 2 .方法总结：
人教A版高中数学必修2第四章4.1.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
没有xy这样的二次项
ห้องสมุดไป่ตู้
练一练
1.下列方程能否表示圆方程？若能写出圆心与半径
(1) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (2) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是
(3) x2+y2+2by=0
(4).x2 + y2 + 2ax - b2 = 0
巩固应用
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),
y=-E/2，表示一个点（ - D , - E ）.
22
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
1.圆的一般方程:
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
(x - a)2 + (y - b)2 = r2(r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r 2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r 2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r 2 r = 5
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
高中数学 4.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
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高中数学课件
知识回顾
1. 圆的标准方程； 2. 点与圆的位置关系及其判断。
问题探究
探究1：已知点M与两个定点O(0， 0)，A( 3， 0) 1 的距离之比为 ，求点M的轨迹方程并判断其轨 2 迹。
探究2：（1）方程x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 表示什么图形？ （2）方程x y 2 x 4 y 6 0表示什么
2 2
图形？
探究3：方程x y Dx Ey F 0表示
2 2
什么图形？
学法小结
圆的一般方程： x y Dx Ey F （ 0 D E 4 F 0）
2 2 2 2
自我检测
检测1：教材P 123 练习T1 检测2：教材P 123 练习T2
典例精析
Hale Waihona Puke 例1：求过三点O(0， 0)，M 1 (1， 1)，M 2 (4， 2)的 圆的方程，并求这个圆 的半径长和圆心坐标。
例2：已知线段AB的端点B的坐标是(4， 3)， 端点A在圆( x 1) y 4上运动，求线段 AB
2 2
的中心M的轨迹方程。
高中数学课件
知识回顾
1. 圆的标准方程； 2. 点与圆的位置关系及其判断。
问题探究
探究1：已知点M与两个定点O(0， 0)，A( 3， 0) 1 的距离之比为 ，求点M的轨迹方程并判断其轨 2 迹。
探究2：（1）方程x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 表示什么图形？ （2）方程x y 2 x 4 y 6 0表示什么
2 2
图形？
探究3：方程x y Dx Ey F 0表示
2 2
什么图形？
学法小结
圆的一般方程： x y Dx Ey F （ 0 D E 4 F 0）
2 2 2 2
自我检测
检测1：教材P 123 练习T1 检测2：教材P 123 练习T2
典例精析
Hale Waihona Puke 例1：求过三点O(0， 0)，M 1 (1， 1)，M 2 (4， 2)的 圆的方程，并求这个圆 的半径长和圆心坐标。
例2：已知线段AB的端点B的坐标是(4， 3)， 端点A在圆( x 1) y 4上运动，求线段 AB
2 2
的中心M的轨迹方程。
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第四章 §4.1 圆的方程
4.1.2 圆的一般方程
学习 目标
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径. 2.会在不同条件下求圆的一般方程.
栏目 索引
知识梳理
题型探究 当堂检测
自主学习
重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
圆的一般方程的定义
1.当 D2＋E2－4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程， 其圆心为
足什么条件？ ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0.
答案
知识点二
由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).则其
位置关系如下表：
位置关系 点 M 在圆 外 点 M 在圆 上 点 M 在圆 内 代数关系
2 2 x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F>0 2 x2 ＋ y 0 0＋Dx0＋Ey0＋F＝0 2 x2 ＋ y 0 0＋Dx0＋Ey0＋F<0
2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出
恰当的方程，以便简化解题过程.
3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方
程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.
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解析
由题意可知(－2)2＋12－4k>0，
5 即 k<4.
解析答案
题型二 求圆的一般方程
例2 已知△ABC 的三个顶点为 A(1 ， 4) ， B( － 2 ， 3) ， C(4 ，－ 5) ，求
△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.
反思与感悟
解析答案
解析答案
题型三 求动点的轨迹方程
例3 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点
解析答案
1
2
3
4
5
11 5.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为_____. 4
解析
因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，
3 ∴r＝ 5－m＝ ， 2
11 ∴m＝ . 4
解析答案
课堂小结
1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y
－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.
1 A.k≤ 2 解析 1 B.k＝ 2 1 C.k≥ 2 1 D.k< 2
1 方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k< . 2
解析答案
1
2
3
4
5
3.M(3，0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直 线方程是( B ) A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0 C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0
答案
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题型探究
重点突破
题型一 例1
圆的一般方程的定义
判断方程x2 ＋y2 －4mx＋2my＋ 20m－20 ＝0 能否表示圆，若能表示
圆，求出圆心和半径长.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
5 － ∞ ， 4 __________.
如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是
C的轨迹方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 方程.
解
1 求到点 O (0，0)的距离是到点 A(3，0)的距离的 的点的轨迹 2
1 设 M(x，y)到 O(0，0)的距离是到 A(3，0)的距离的 . 2
|MO| 1 则 ＝ . |MA| 2
1 ∴ 2 2 ＝2. x－3 ＋y x2＋y2
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0.即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
解析 过点M的最长弦应为过点M的直径所在的直线.
y－1 x－4 易得圆的圆心为(4，1)，则所求直线的方程为 ＝ ，即 x－y－3＝0. 0－1 3－4
解析答案
1
2
3
4
5
4.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( D )
A.2
解析
2 B. 2
C.1Leabharlann D. 2|1＋2－1| 易得圆的圆心为(1，－2)，它到直线 x－y＝1 的距离为 2 2 ＝ 2. 1 ＋1
例5
的最值.
解后反思
解析答案
返回
当堂检测
1
2
3
4
5
1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( D )
A.(2，3)
C.(－2，－3)
解析
B.(－2，3)
D.(2，－3)
D E － ＝2，－ ＝－3， 2 2
∴圆心坐标是(2，－3).
解析答案
1
2
3
4
5
2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为( D )
D E － ，－ 2 2
，半径为
D2＋E2－4F 2 .
2.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 思考
答
D E － ，－ 2 2
.
3.当 D2＋E2－4F<0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
若二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 ，表示圆，需满
解析答案
解题方法
代入法求圆的方程
例4
已知定圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，点A(1，0)为定圆上的一个点，
点C为定圆上的一个动点，M为动弦AC的中点，求点M的轨迹方程.
解后反思
解析答案
易错点
忽略有关圆的范围求最值致误 已知圆的方程为x2＋y2－2x＝0，点P(x，y)在圆上运动，求2x2＋y2
4.1.2 圆的一般方程
学习 目标
1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径. 2.会在不同条件下求圆的一般方程.
栏目 索引
知识梳理
题型探究 当堂检测
自主学习
重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
圆的一般方程的定义
1.当 D2＋E2－4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程， 其圆心为
足什么条件？ ①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4AF＞0.
答案
知识点二
由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).则其
位置关系如下表：
位置关系 点 M 在圆 外 点 M 在圆 上 点 M 在圆 内 代数关系
2 2 x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F>0 2 x2 ＋ y 0 0＋Dx0＋Ey0＋F＝0 2 x2 ＋ y 0 0＋Dx0＋Ey0＋F<0
2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出
恰当的方程，以便简化解题过程.
3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方
程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.
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本课结束
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解析
由题意可知(－2)2＋12－4k>0，
5 即 k<4.
解析答案
题型二 求圆的一般方程
例2 已知△ABC 的三个顶点为 A(1 ， 4) ， B( － 2 ， 3) ， C(4 ，－ 5) ，求
△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.
反思与感悟
解析答案
解析答案
题型三 求动点的轨迹方程
例3 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点
解析答案
1
2
3
4
5
11 5.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为_____. 4
解析
因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，
3 ∴r＝ 5－m＝ ， 2
11 ∴m＝ . 4
解析答案
课堂小结
1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y
－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.
1 A.k≤ 2 解析 1 B.k＝ 2 1 C.k≥ 2 1 D.k< 2
1 方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k< . 2
解析答案
1
2
3
4
5
3.M(3，0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过点M的最长弦所在的直 线方程是( B ) A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0 C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0
答案
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题型探究
重点突破
题型一 例1
圆的一般方程的定义
判断方程x2 ＋y2 －4mx＋2my＋ 20m－20 ＝0 能否表示圆，若能表示
圆，求出圆心和半径长.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
5 － ∞ ， 4 __________.
如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是
C的轨迹方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 方程.
解
1 求到点 O (0，0)的距离是到点 A(3，0)的距离的 的点的轨迹 2
1 设 M(x，y)到 O(0，0)的距离是到 A(3，0)的距离的 . 2
|MO| 1 则 ＝ . |MA| 2
1 ∴ 2 2 ＝2. x－3 ＋y x2＋y2
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0.即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
解析 过点M的最长弦应为过点M的直径所在的直线.
y－1 x－4 易得圆的圆心为(4，1)，则所求直线的方程为 ＝ ，即 x－y－3＝0. 0－1 3－4
解析答案
1
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3
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5
4.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( D )
A.2
解析
2 B. 2
C.1Leabharlann D. 2|1＋2－1| 易得圆的圆心为(1，－2)，它到直线 x－y＝1 的距离为 2 2 ＝ 2. 1 ＋1
例5
的最值.
解后反思
解析答案
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当堂检测
1
2
3
4
5
1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( D )
A.(2，3)
C.(－2，－3)
解析
B.(－2，3)
D.(2，－3)
D E － ＝2，－ ＝－3， 2 2
∴圆心坐标是(2，－3).
解析答案
1
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2.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为( D )
D E － ，－ 2 2
，半径为
D2＋E2－4F 2 .
2.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 思考
答
D E － ，－ 2 2
.
3.当 D2＋E2－4F<0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
若二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 ，表示圆，需满
解析答案
解题方法
代入法求圆的方程
例4
已知定圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，点A(1，0)为定圆上的一个点，
点C为定圆上的一个动点，M为动弦AC的中点，求点M的轨迹方程.
解后反思
解析答案
易错点
忽略有关圆的范围求最值致误 已知圆的方程为x2＋y2－2x＝0，点P(x，y)在圆上运动，求2x2＋y2