2017-2018学年湖北省孝感高级中学高一上学期期末考试数学试题

2017-2018学年湖北省孝感高级中学高一上学期期末考试数学试题一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R ，集合{}1124M =﹣，，，，1{|28}2x N x =<<，则M N ⋂=（ ） A ．{}1,1,2- B ．{}4 C ．{}1,2 D ．{}12x x -≤≤ 2．cos85cos25sin(85)sin155o o o o --的值是（ ）A ．12B ． 12-C D ．0 3．已知函数()cos(3)f x x α=+ 的图象关于原点对称，则α=（ ） A ．,k k Z π∈B ．(21),k k Z π+∈C ．2,2k k Z ππ+∈ D ．,2k k Z ππ+∈4．如图，2AB CA =，a OA =，b OB =,c OC =，下列等式中成立的是( )A. 3122c b a =-B ．3122c a b =-C ．-=2D ．-=25．若ABC ∆的内角,A ,B C 所对的边分别为,a ,b ,c 已知4a =，b =45A =，则B =（ ）A ．30或150B ． 90C ．60D ．306．若函数2()21f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,)6-+∞B ．1[,)6-+∞C ．1[,0)6- D ．1[,0]6- 7．设x ，y R ∈，向量(,1)a x = ，(2,)b y = ，(1,2)c =-，a c ⊥ ，//b c ，则a b +=（ ）A.5 D.108．已知函数)32tan()(πx x f +=，则下列说法正确的是（ ） A.)(x f 在定义域内是增函数 B.)(x f 的最小正周期是π C.)(x f 的对称中心是(,0), 46k k Z ππ-∈ D.)(x f 的对称轴是,212k x k Z ππ=+∈ 9．已知函数2018sin , 01()log , 1x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若a ,b ,c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是( )A ．(1,2018)B ．(1,2019)C ．(2,2019)D ．[2,2019] 10．已知()f x 当42ππθ<<时,(sin 2)[sin(2)]f f θθ--的值为（ ）A.2sin θB.2cos θC.2sin θ-D.2cos θ- 11．在直角梯形 ABCD 中，AB AD ⊥，//DC AB ，2AD DC ==，4AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P （如图所示）．若AP AF ED λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ-的值是（ ） A．4 B．4CD ．3412．定义在R 上的函数()f x 满足:(-2)f x 的对称轴为2=x ，4(+1)=(()0)()f x f x f x ≠， 且()f x 在区间(1,2)上单调递增，已知α,β是钝角三角形中的两锐角，则(sin )f α 和(cos )f β的大小关系是（ ）A.(sin )(cos )f f αβ> B ．(sin )(cos )f f αβ<C.(sin )(cos )f f αβ=D ．以上情况均有可能二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知1a =，b = ()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角是______________14. 若1sin()64πα-=，则2cos(2)3πα+=______________15．设函数3,1()2,1x x b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b ＝______________16．已知函数1()sin(2)2f x A x ϕ=+- (0, 0)2A πϕ><<，33()3xxm g x -⋅=，()f x 的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称。

若对于任意的1[1,2]x ∈-，存在2[0,]6x π∈，使得12()()g x f x ≥，则实数m 的取值范围为_____________三、解答题：（本题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）5sin()cos tan()2()tan cos()f πααπαααα+-=-． （1）求()3f π的值；（2）若(0,)2πα∈，且1sin()63πα-=，求()f α的值．18.（本小题12分）函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)2πωϕ><<的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与y轴交于点0F （，与x 轴交于点B ，C ，且MBC ∆的面积为2π． （1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x = 的图象向右平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标 伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x = 的图象，求()g x 在[0,]x π∈上的单调递增区间.19．（本小题12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,a ,b ,c sin sin sin cos cos cos A C BA C B+=+ （1）求角A 的大小; （2）若a =2=bc ，求ABC ∆的周长．20．（本小题12分）若向量(sin ,cos )a x x = ,(cos ,cos )b x x =- ，()f x a b t =+的最大值为22． （1）求t 的值及图象的对称中心； （2）若不等式21()2m m f x -≤在11[,]424x ππ∈上恒成立，求m 的取值范围．21．（本小题12分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害。

为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，且每年投入200万元种蔬菜，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验发现，种西红柿的年收入P （万元）、种黄瓜的年收入Q （万元）与其投入a （万元）分别满足关系式：80P =+，11204Q a =+，设甲大棚的投入为x 万元，每年两个大棚的总收入为()f x （万元）． （1）求(50)f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入()f x 最大？22.（本小题12分）已知()()()2log 41 xf x kx k R =+-∈.（1）设()()1g x f x a =-+， 2k =，若函数()g x 存在零点，求a 的取值范围； （2）若()f x 是偶函数，设()24log 23xh x b b ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图 象只有一个公共点，求实数b 的取值范围.孝感高中2017-2018学年度高中一年级上学期期末考试数学试题参考答案一、选择题1—5 CADBD 6—10 DACCB 11—12 AA 二、填空题 13.4π 14. 78- 15. 12 16.2(,]3-∞- 三、解答题17．解：（1）5sin()cos tan()2()tan cos()f πααπαααα+-=-=cos α-1()c o s 332f ππ∴=-=- ……5分 （2）1(0) () sin() cos()26636363ππππππαααα∈∴-∈--=∴-=，，又，……7分()f α∴=cos α-cos[()]66ππα=--+=[cos()cos sin()sin ]6666ππππαα----11)32=-⨯= …………10分18.解：（1）MBC ∆ 的面积为2π，1222BC π∴⨯⨯=，2BC π∴=，又2TBC = ，22T π∴=，T π∴=，22()2sin(2)f x x ππωϕω∴=∴=∴=+()f x 图象与y轴交于点0F （，sin ϕ∴=02πϕ<< ，4πϕ∴=()2sin(2)4f x x π∴=+ (6)分（2）1()2sin()212g x x π=+，由122,22122k x k k Z πππππ-≤+≤+∈且[0,]x π∈得7544,66k x k k Z ππππ-≤≤+∈且[0,]x π∈ ∴()f x 的单调递增区间为5[0,]6π…………12分19．解：（1）由sin sin sin cos cos cos A C BA C B+=+得sin cos sin cos cos sin cos sin A C A B A C A B +=+，即sin sin C A A B =（﹣）（﹣），0A π∈ （，），0B π∈（，），0C π∈（，），则CA AB =﹣﹣，即2AC B =+，又A B C π++= 3A π∴=…………6分（2）由余弦定理可得：2272cos3b c bc π=+-，即237b c bc +=（）﹣，又2bc =，b c ∴+=故得ABC ∆． …………12分20 解：（1）()f x a b t =+（）2sin cos cos x x x t =-+11cos 2sin 222xx t +=-+111s i n 2c o s 2222x x t =--+1)242x t π=-+-()f x的最大值为2∴1222t +-=12t ∴= 由2,4x k k Z ππ-=∈得,28k x k Z ππ=+∈()f x ∴的对称中心为(,0),28k k Z ππ+∈…………6分 （2）11[,]424x ππ∈22[,]443x πππ∴-∈sin(2)[42x π∴-∈1)[,2422x π-∈ 即1()[,]22f x ∈21()2m m f x -≤ 在11[,]424x ππ∈上恒成立2min 1()2m m f x ∴-≤21122m m ∴-≤即2210m m ∴--≤，解得112m -≤≤ m 的取值范围为112m -≤≤…………12分21.解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，5.27712015041502480)50(=+⨯+⨯+=f 万元． …………4分（2）2502441120)200(412480)(++-=+-++=x x x x x f ，依题意得⎩⎨⎧≥-≥2020020x x 18020≤≤⇒x 故）（180********1)(≤≤++-=x x x x f ．令x t =]56,52[∈，则282)28(412502441)(22+--=++-=t t t x f ， 当28=t ，即128=x 时，282)(max =x f 万元．所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．………12分22．（1）由题意函数()g x 存在零点，即()1f x a =-有解.又()()2log 412xf x x =+-= 22411log log 144x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 易知()f x 在(),-∞+∞上是减函数，又1114x +>， 21log 104x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()0f x >， 所以1(0,)a -∈+∞，所以a 的取值范围是()1,a ∈+∞. …………5分（2）()()()2log 41xf x kx k R =+-∈定义域为R ，()f x 是偶函数 (1)(1)f f ∴-=1 )14(log )141(log 22=∴-+=++∴k k k检验)22(log )214(log )14(log )(222xx x x xx x f -+=+=-+=)22(log )214(log )14(log )-(-2--2-2x x x x xx x f +=+=++=)()(x f x f -=∴)(x f ∴为偶函数因为函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点， 所以方程()()f x g x =只有一解，即42223xx x b b -+=⋅-只有一解，令2x t = 0t >（），则()231430b t bt ---=有一正根，当1b =时， 304t =-<，不符合题意， 当1b ≠时，若方程有两相等的正根，则()()()2=443130b b ∆--⨯-⨯-=且()40231bb >⨯-，解得3b =-，若方程有两不相等实根且只有一正根时，因为()23143y b t bt =---图象恒过点()0,3-，只需图象开口向上，所以10b ->即可，解得1b >，综上， 3b =-或1b >，即b 的取值范围是{}()31,-⋃+∞. …………12分。