电路分析基础5章2

u(∞) = 0 i(∞) = 2A
3，计算时间常数τ
Ω 电容相连接的电阻网络如 4Ω Req i + 2i 右图，用加压求流法得： 右图，用加压求流法得：
4Ω Ω
时间常数为 τ = ReqC = 0.1s 代入三要素公式得： 代入三要素公式得：
u(t ) = 4.8e
−10t
Req = 10Ω
V
10 − uC(∞) 10 − 7 i(∞) = = = 1.5A 2 2
2Ω Ω
i(∞) ∞ +
3，计算时间常数τ 计算与电容相连接的电阻单口网络的 输出电阻， 输出电阻，它是三个电阻的并联 2Ω i(t) Ω 2A + +
4Ω Ω uC
-
4Ω Ω
10V
-
Ro = 4 // 4 // 2 = 1Ω
r(t ) = r(∞) + [r(0 ) − r(∞)]e τ , t > 0
+ − t
三要素： 三要素：
r(0+) ——响应的初始值 (0 响应的初始值 r(∞) ——响应的终值， ( 响应的终值， 响应的终值 时间常数 τ ——时间常数τ=RC, τ=L/R
r(t) 三要素公式的
响应波形曲线
5-5 一阶电路的全响应
全响应： 全响应：由储能元件的初始储能和 独立电源共同引起的响应。 独立电源共同引起的响应。 下面讨论RC串联电路在直流电压源作 下面讨论 串联电路在直流电压源作 用下的全响应。已知： )=U 用下的全响应。已知：uC(0-)= 0。 t=0时开关闭合。 =0时开关闭合 =0时开关闭合。
i(0+) + 2i (0+) -
b
uab (0 ) = 3.2V
+
解得： 解得： 则：
i(0 ) = 0.8A
+
u(0+ ) = 4.8V
2，计算稳态值u(∞)、i(∞) 计算稳态值 ( ∞ t + u (∞ ) ∞，电路 ∞ 重新达到稳定， 重新达到稳定， 2A 4Ω 4Ω Ω Ω 电容开路， 电容开路，终 i(∞ ) + 2i (∞ ) 值图如右， 值图如右，得：
uC(t) uC(t) U0 U <U U0 U <U S S 0 0 US US uCp(t) uCzS(t) U0 -US uCzi(t) uCh(t) t uC(t)=uCh(t)+uCp(t) t uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
5-6
R
一阶电路的三要素法
+ uC iL
duC (t) + uC (t) = uS (t ≥ 0) RC dt u (0+ ) = U 0 C
= 时间常数为 τ RoC = 1×0.1 = 0.1s
4，将初始值、终值及时间常数代 将初始值、 入三要素公式，得到响应表达式： 入三要素公式，得到响应表达式：
uC (t) = 7 + (8 − 7)e
i(t ) = 1.5 + (1−1.5)e
−10t
= 7+e V
= 1.5 − 0.5e
−10t
+
2，计算稳态值uC(∞)、i(∞) 计算稳态值 ∞
换路后， 换路后，经一 2A + 段时间， 段时间，重新 10V 4Ω Ω uC (∞) ∞ Ω 达到稳定， 达到稳定，电 4Ω 容开路， 容开路，终值 图如右， 图如右，运用 叠加定理得 4 // 4 uC (∞) = (4 // 4 // 2) ×2 + ×10 = 2 + 5 = 7V 2 + 4 // 4
+
Us C
uC (0 ) = uC (0 ) = 0
+
−
iC(t)
uC (∞) = US
-
τ1 = R C 1
R1
+
Us C
iC(t)
代入初始条件u )=u )=U 代入初始条件 C(0+)= C(0-)= 0，可得
uC (0 ) = U0 = A+US
+
求得
A = U0 −US
− t RC
则：uC (t) = uCh (t) + uCp (t) = (U0 −US)e
uC (t) = (U0 −US )e
− t
+US
τ
+US
(t ≥ 0)
三要素法求直流激励下响应的步骤： 三要素法求直流激励下响应的步骤： 步骤 1.初始值 初始值r(0 的计算（ 1.初始值r(0+)的计算（换路前电路已稳 求初始状态： 定）(1) 画t=0-图，求初始状态：电容 =0 电压u 或电感电流i 电压 C(0-)或电感电流 L(0-)。 (2)由换路定则，确定电容电压或电感电 (2)由换路定则， 由换路定则 流初始值， )=u 流初始值，即uC(0+)= C(0-)和 iL(0+)= L(0-)。 )=i (3)画0+图 求其它初始值 (3)画0+图，求其它初始值——用数值 用数值 的电压源替代电容或用i 为uC(0+)的电压源替代电容或用 L(0+)的 电流源替代电感， 电流源替代电感，得电阻电路再计算
电路原处于稳定状态。 ≥ 例16 电路原处于稳定状态。求t≥0的 uC(t)和i(t)，并画波形图。 ) ( ) 并画波形图。 2Ω i Ω t=0 2A + +
4Ω 0.1F Ω uC
-
4Ω Ω
10V
-
解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+) 计算初始值 ( 开关闭合前，电路已稳定， 开关闭合前，电路已稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4 电阻中， 开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，
r(0+)表示电容电压的初始值 C(0+)或电 (0 表示电容电压的初始值u 感电流的初始值i 感电流的初始值 L(0+)； τ =RC 或τ =GL=L/R；w(t)表示电压源的电压 ； ( uS或电流源的电流 s。其通解为 或电流源的电流i
r(t ) = rh(t ) + rp(t ) = Ae τ + rp(t )
(t > 0)
i(t ) = 2 + (0.8 − 2)e−10t = 2 −1.2e−10t A (t > 0)
已知： 例18 求u(t)。已知： uC (0 ) =1V, iL (0 ) = 2A ( t=0 + u + + 2Ω Ω uC 0.5F 1A 1Ω Ω u(t) 1H iL
2Ω Ω
解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+) 计算初始值 ( 零状态电路，由换路定则得： 零状态电路，由换路定则得：
uC (0 ) = uC (0 ) = 0
+ −
图如右, 画0+图如右, 用节点法
+ u (0+) a 2A 4Ω Ω
+
4Ω Ω
1 2i(0 ) + 1 uab (0 )( + ) = 2 − 4 4 4 4i(0+ ) = u (0+ ) ab
2，稳态值r(∞)的计算(画终了图) 稳态值 ( 的计算(画终了图) 根据t> 电路达到新的稳态， 根据 >0电路达到新的稳态，将电容用开 路或电感用短路代替， 路或电感用短路代替，得一个直流电阻 电路，再从稳态图求稳态值r( 稳态图求稳态值 电路，再从稳态图求稳态值 (∞)。 的计算(开关已动作) 3，时间常数τ 的计算(开关已动作) 先计算与电容或电感连接的电阻单口网 络的输出电阻R 络的输出电阻 o，然后用公式τ =RoC 或 τ =L/Ro计算出时间常数。 计算出时间常数。 4，将r(0+), (∞)和 τ 代入三要素公式 (0 ),r( 得到响应的一般表达式。 得到响应的一般表达式。
uC (∞) = 2V
所以
uC (t) = 2 − e V t ≥ 0
−t
τC = RC =1s
RL部分： 部分： 部分 1A
2Ω Ω
+
t=0
0.5F
+ 1A 1Ω Ω
1H uL
−
1H
+ uC +
uL
2Ω Ω 2Ω Ω
+ u(t) _
-
iL (0 ) = iL (0 ) = 2A 所以 + −2t uL (0 ) = −2V uL (t) = −2e V t > 0 uL (∞) = 0 u(t) = uC (t) + uL (t) τ L = L/ R = 0.5s −t −2t = 2 − e − 2e V t > 0
−
t
t=0+代入，得： 代入， 因而得到
A = r(0 ) − rp (0 )
− t
+
+
r(t ) = rp(t ) + [r(0 ) − rp (0 )]e τ , t > 0
+
+
一阶电路任意激励下u 一阶电路任意激励下 C(t)和iL(t) 响应的公式 推广应用于任意激励下任一响应
在直流输入的情况下， →∞时 在直流输入的情况下，t→∞时， rh(t)→0， rp(t)为常数，则有 为常数， + rp (t ) = r(∞) = rp (0 ) 因而得到
i+ t=0 C uC(0-)=U0 为了求得电容电压的全响应， 为了求得电容电压的全响应，以 uC(t)为变量，列出电路的微分方程 )为变量， + Us -
R
duC RC + uC = US dt