拉压应力与材料力学性能

横截面1-1： 注意假设轴力为拉力
FR
1 FN1
A1
FN1 10kN(拉）
横截面2-2：
FR
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F1 2 FN2
A
B2
FN2 50kN(拉）
FR
1 F1=40kN 2F2=55kN3 F3=254kN F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
横截面3-3： 此时取截面3-3右边为分离体方便， 仍假设轴力为拉力。
亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
F
ac a' c'
F
b' d'
bd
F
m
F
m
F
m
FN
m
FN m
F
m
即
FN
d A A
A
等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式
FN
A
适用条件：
⑴ 上述正应力计算公式对拉（压）杆的横截面 形状没有限制；但对于拉伸（压缩）时平面假设 不成立的某些特定截面, 原则上不宜用上式计算 横截面上的正应力。
F
FN
F
如何简化出火车车 轮轴的计算模型?
如何设计车轮轴 的横截面?
2）材料力学的特点：逻辑性强、概念丰富 3）学习方法：吃透概念、加强练习 4）本门课程的地位
是土木、机械和力学等专业的技术基础课； 是了解和学习相关专业知识和技术的第一门 重要课程。
§1-2 材料力学的基本假设
1. 连续性假设 材料是连续分布的。
机械运动——物体在空间的位置随时间的变 化。包括：静止、移动、转动、振动、变形、 流动等。
力学学科
———————————————————————
学科分类：
一般力学：重点研究一般质点系和刚体系。 固体力学：重点研究固体（弹塑性体）。
材料力学属于固体力学的范畴 流体力学：重点研究流体（液体和气体）。
学科的性质：
2）动载荷：载荷随时间而变化。动载荷可分 为构件具有较大加速度、受交变载荷和冲击 载荷三种情况 。
材料在静、动载荷作用下的性能颇不相同， 分析方法有差异。
二、内力和截面法：
1. 内力：构件因受力作用而变形，其内部各
部分（各点）之间因相对位置改变而
引起的相互作用力。
m
P
P
m
P
m
m'
P
m
m'
在截面上，连续分布 （连续性决定的）
工程构件的强度、刚度和稳定问题 稳 定 问 题
工程构件的强度、刚度和稳定问题 强 稳刚 度 定度
问 题
工程构件的强度、刚度和稳定问题
强度—不因发生断裂或塑性变形而失效； 刚度—不因发生过大的弹性变形而失效； 稳定性—不因发生因平衡形式的突然转 变而失效。
折断 轴 齿轮
齿轮 轴
p
裂纹
虽然不折断，但变形过大， 影响正常传动。
问 题
工程构件的强度、刚度和稳定问题
1999年1月4日，我国重庆市綦江县 彩虹桥发生垮塌，造成：
强
40人死亡；
度
14人受伤；
问
直接经济损失631万元。
题
法庭以外的问题－力学素质的重要性
－从简单力学问题到高等力学问题。
工程构件的强度、刚度和稳定问题
强 度 问 题
工程构件的强度、刚度和稳定问题 稳 定 问 题
F
2. 剪切
F
F
3. 扭转
Me
Me
4. 弯曲
Me
Me
§1-3 外力与内力 一、外力及其分类 ：
(构件取分离体后，可以显示其受力情况。)
1、按作用方式分：体积力和表面力 表面力又可分为：分布力与集中力
2、按荷载随时间变化分：静载荷与动载荷
1）静载荷：载荷缓慢地由零增加到某一定 值后，不再随时间变化，保持不变或变动很 不显著。
§2-1 轴向拉伸和压缩的概念
F
FF
F
受力特点：直杆受到一对大小相等，作用线与 其轴线重合的外力F作用。
变形特点：杆件发生纵向伸长或缩短。
此类受轴向外力作用或合力作用线沿杆轴线的等 截面直杆称为拉杆或压杆。
§2-2 轴力与轴力图
求内力的一般方法——截面法
步骤： （1）截开； （2）代替； （3）平衡。
P
2
n
Fx 0
FN1 - P = 0 FN1 = P
Fx 0
FN2 - P = 0 FN2 = P
§1-4 应 力
应力的概念
拉压杆的强度
轴力 横截面尺寸 材料的强度
即拉压杆的强度是跟轴力在横截面上的分布规律 直接相关的。
杆件截面上的分布内力的集度，称为应力。
M点平均应力
pav
F A
M F
dA
A
FS
dA
A
M F A
M
(a)
(b)
应力单位 Pa MPa
GPa
1Pa 1N/m2 1MPa 106 Pa 1MPa 1N/mm2 1GPa 109 Pa
单向应力、纯剪切与切应力互等定理
1）单向应力状态：
2)纯剪切应力状态：
3)切应力互等定理
§1-5 应 变
线应变与切应变:
A
p M
(a)
总应力
(b)
lim p
F d F
A0 A d A
总应力 p
正应力: 法向分量, 引起长度改变 切应力 : 切向分量，引起角度改变
M F A
M
(a)
(b)
正应力：拉为正，压为负
内力与应力间的关系
p dF dA
F FS FN AM
M
(a)
d FN
dA
d FS
dA
(b)
FN
2. 均匀性假设 材料是均匀分布的。
3. 各向同性假设 材料在各个方向的力学性能相同。
4. 小变形问题 1）材料力学要研究变形、计算变形，变形 与构件的原始尺寸相比很小。
2）受力分析按照构件的原始尺寸计算。
①
②
αα
A A’
F
F
FN1
FN2
F
2 c os
杆件变形的基本形式
1. 轴向拉伸或压缩
F
F
F
正确答案为[B]。负重爬坡时，链条在强大的拉力的作用下产生很大的变形， 并且超出齿轮和链条能够正常啮合的范围，导致链条打滑；打滑发生后自行 车又能正常骑行，说明打滑后链条完全恢复原状，所发生的变形为弹性变形。
2. 自行车负重爬坡出现“链条脱落”现象，并且无法安 装和继续前行，从力学的角度分析，此现象表明链条的
力学是一门基础学科。 力学又是一门技术学科。 力学是横跨理工的桥梁。
1. 材料力学的研究对象 变形固体
构件
杆件
2. 研究内容
1) 强度 抵抗破坏的能力。 破坏： 断裂 明显的塑性变形
2) 刚度 抵抗变形的能力。 明显的弹性变形
3) 稳定性 保持稳定的平衡状态的能力。
小问题：
1. 自行车负重爬坡出现“链条打滑”现象，从力学的角 度分析，表明链条在“打滑”瞬 间 [A] 强度不足 [B] 刚度不足 [C] 稳定性不足
用截面法法求内力的过程中，在截面取分离体前， 作用于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静 力等效的相当力系替代。
F
F
(a)
(b) F
F
n
m
C nB m (a)
F
A
FN=F m
F
m
A
(b)
n Fm
C nB m
A
(d)
FN=0 m
m
A
(e)
FN=F n
F
FN=F n F
nB
A
(c)
nB
A
(f)
例 试作图示杆的轴力图。
F
(a)
F
(b)
m
F
m
m FN
m
x
FN m
F
(c)
m
FN F
F
m
F
(a)
m
F
(b)
m FN
x m
FN m
F
(c)
m
FN F
若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用 垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值， 所绘出的图线可以表明轴力与截面位置的关系， 称为轴力图。
F
FF
F
F
FN图
F
FN图
注意：
125 ( )
200
ab
125 10
0.025
6
250
tg
0.025
10010
6
2
ba d '
(rad )
§1-6 胡克定律
胡克定律： E
E 称为弹性模量,单位: GPa
1GPa 109 Pa
剪切胡克定律： G
G 称为切变模量,单位: GPa 1GPa 109 Pa
第二章 轴向拉压应力与 材料的力学性质
[A] 强度不足 [B] 刚度不足 [C] 稳定性不足
正确答案为[A]。负重爬坡时，链条脱落且无法安装，说明链条已产生很大的 永久变形（甚至被拉断），故说明链条在此负重爬坡的工作过程中强度不足。
当然影响链条“打滑”或“脱落”的因素可能很多，但从力学角度分析，主要 可以从强度和刚度方面找原因。
工程构件的强度、刚度和稳定问题 强 稳刚 度 定度
2
FN2 A2
150103 N (370mm)(370mm)
1.1MPa（压应力）
最大工作应力为
max 2 1.1MPa
Ⅲ、拉（压）杆斜截面上的应力
F
k
F
k
F
k k
F
由静力平衡得斜截面上的
内力： F F
F
k p F
p ?
k
F
F
变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压） 变形后仍相互平行。
Ⅰ、拉（压）杆横截面上的应力
F
m
F
m
F
m
FN
m
FN m
F
m
已知静力学条件
FN
dAF
A
无法用来确定分布内力在横截面上的变化规律
F
m
m
F
m
FN
m FN m
m
F
ac
a' c'
b' d'
bd
F 但荷载不仅在杆 内引起应力，还 要引起杆件的变 形。
F 可以从观察杆件 的表面变形出发， 来分析内力的分
F 布规律。
现象
等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍为 直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。
F
ac a' c'
F
b' d'
bd
平面假设
原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对 于拉（压）杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形， 因而横截面上没有切应力。
2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线 段的伸长(缩短)变形是均匀的。
P
失去原来的直线平衡状态
P
材料力学就是在满足强度、刚度 和稳定性要求的前提下，为设计既经 济又安全的构件，提供必要的理论基 础和计算方法。
本门课程的特点与地位 1）与理论力学的关系 理论力学研究刚体的外部效应（构件受到的外力）
A
B
FA
FB
F
F
材料力学研究变形固体的内部效应（构件受到的 内力）及变形。
F
m
F
(a)
m
F
(b)
m FN
x m
FN m
F
(c)
m
F
m
F
(a)
m
F
(b)
m FN
x m
FN F
FN m
F
(c)
m
可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与 杆件的轴线重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。
轴力的符号规定:
引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）； 引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。
F A FF B
3000
50kN
4000
C 370
150kN 240
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
FN1 50kN
1
FN1 A1
50103 N
(240mm) (240mm)
0.87MPa（压）
F A
F
F
B
3000
50kN
4000
C 150kN
240 370
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN2 150 kN
向截面上某点C简化,可
得一个力和一个力偶或单独
一个力或单独一个力偶。
FP1
y
FQ y
FR
FQ
My M
Mx FN x
FP2
z FQ z
2、求截面上内力的方法—截面法 （求连续分布内力的合力、合力偶）
F1
F3
切
F2
Fn
假想截面
去
F1
加
F3
平
F2
分布内力
Fn
m
P
P
m
m
P
FN1 x
m P
n P
n
x FN n
FN3 5kN( 压） FN3 3 F3
3D
F4 E
同理 FN4 20kN(拉） FN4 3
F4
3E
FR
1 F1=40kN 2F2=55kN3 F3=254kN F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
50
20 10
5
由轴力图可看出
FN图(kN)
FN,max FN2 50kN
§2-3 拉压杆的应力与圣维南原理
如平行于X的MN：
变形x 前
变x形 后s
MN x
av M N MN s ''
——MN段在X方向 上平均线应变
lixm0 MN
lixm0 x
M N MN
s
''
——M点沿X方 向的线应变
xy
MliNm0(2
LM '
N)
''
(rad )
——M点在XY平
面内的切应变
例2 求如图所示ab 的平均线应变和ab、 ad的夹角变化。
材料力学
总成绩＝考试成绩 ×(70-80)％＋平时成 绩（作业、实验、课 堂提问、小测、出勤 等）
第一 章 绪 论
A4复印纸在自重作用 下产生明显变形
折叠后变形明显减小
自行车的主要受力部 件均由薄壁钢管制成
为什么不用实心 的钢筋做呢
§1-1 材料力学的任务与研究对象 什么是力学？ 力学——研究物体机械运动规律的科学。
40kN
55kN 25kN
20kN
A
B
C
600 300 500
1800
D
E
400
解： 求支反力
FR 10kN
FR
1 F1=40kN 2F2=55kN3 F3=254kN
F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
FR
1 F1=40kN 2F2=55kN3 F3=254kN F4= 20kN
A1
B 2 C 3D 4 E
⑵ 实验研究及数值计算表明，在载荷作用区附 近和截面发生剧烈变化的区域，横截面上的应力 情况复杂，上述公式不再正确。
Ⅱ、圣维南原理
力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离 不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响。
F
FF F
22
影响区
影响区
FF
F
F
22
}
例 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的 最大工作应力。已知 F =50 kN。