直线回归与相关知识

引起的y的变异程度，称为回归平方和，记为SSR；
( y y)2反映了除y与x存在直线关系以外的
原因，包括随机误差所引起的y的变异程度，称 为离回归平方和或剩余平方和，记为SSr。
（8-8）式又可表示为：
SS y SS R SSr
（8-9）
这表明y的总平方和剖分为 回归平方和 与
离回归平方和两部分。与此相对应，y的总自由
如长方形的面积 （S） 与 长（a）和 宽 （b）的关系可以表达为： S=ab。它们之间 的关系是确定性的，只要知道了其中两个变量 的值就可以精确地计算出另一个变量的值，这 类变量间的关系称为函数关系。
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另一类是 变 量 间不存在完全的确定性关 系，不能用精确的数学公式来表示。
b SPxy b 2 SS x
SPxy SS x
SPxy
SPxy SS x
2
SS x
0
所以有
( y y)2 ( yˆ y)2 ( y yˆ)2 （8-8）
( y y)2 反映了y的总变异程度，称为y的总
平方和，记为SSy；
( yˆ y)2 反映了由于y与x间存在直线关系所
SS x x2 x2 / n 118112 11822 /12 1685.00
( x)( y)
1182 32650
SPxy xy
n
3252610 12
36585.00
SS y y 2 y2 / n 89666700 326502 /12 831491.67
yˆ 叫做回归估计值，是当x在在其研
究 范 围 内 取某一个值时，y值平均数
x 的估计值。
回归方程的基本性质：
性质1 性质2
Q ( y yˆ)2 最小；
( y yˆ) 0 ；
性质3 回 归 直 线 通 过 点 (x, y) 。
如果将（8-4）式代入（8-2）式，得到 回归方程的另一种形式(中心化形式)：
由于依变量y的实际观测值总是带有随机 误差，因而依变量y的实际观测值yi可用自变 量x的实际观测值xi表示为：
yi xi i
(i=1,2, …, n) （8—1）
其中: x 为可以观测的一般变量(也可以是可以观测
的随机变量); y 为可以观测的随机变量;
i为相互独立，且都服从N（0， 2 ）的随机
（8-3）式中的分子是自变量x的离均
差与依变量 y 的离均差的乘积
和 (x x)( y y) ，简 称 乘积和，记
作 SPxy ，分母是自变量x的离均差 平方
和 (x x)2，记作SSX。
a叫做样本回归截距，是回归直线与
y轴交点的纵坐标，当x=0时，yˆ =a；
b叫做样本回归系数，表 示 x 改 变 一个单位，y平均改变的数量；b 的符号 反映了x影响y的性质，b的绝对值大小反 映了 x 影响 y 的 程度;
yˆ y bx bx y b(x x) （8-5）
上一张 下一张 主 页 退 出 Nhomakorabea【例8.1】在四川白鹅的生产性能研究中， 得到如下一组关于雏鹅重（g）与70日龄重(g) 的数据，试建立70日龄重(y)与雏鹅重(x)的 直线回归方程。
表8-1 四川白鹅雏鹅重与70日龄重测定结果 （单位：g）
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进而计算出b、a：
b SPxy 36585 21.7122 SS x 1685.00
a y bx 2720.8333 21.7122 98.5 582.1816 得到四川白鹅的70日龄重y对雏鹅重x的
直线回归方程为：
yˆ 582.1816 21.7122x
系等都属于平行关系。
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统计学上采用回归分析 （regression analysis）研究呈因果关系的相关变量间的 关系。表示原因的变量称为自变量，表示结果 的变量称为依变量。
研究“一因一果”，即一个自变量与一个 依变量的回归分析称为一元回归分析；
研究“多因一果”，即多个自变量与一个 依变量的回归分析称为多元回归分析。
对两个变量间的直线关系进行相关分析称为 简单相关分析（也叫直线相关分析）；
对多个变量进行相关分析时，研究一个变量 与多个变量间的线性相关称为复相关分析；研究 其余变量保持不变的情况下两个变量间的线性相 关称为偏相关分析。
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第一节 直线回归
一、直线回归方程的建立
对于两个相关变量，一个变量用x表示，另 一个变量用y表示，如果通过试验或调查获得两 个变量的n对观测值： （x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn）
所以
S yx ( y yˆ)2 /(n 2) 37152.07 /(12 2) 60.952（5 g）
二、直线回归的显著性检验
若x和y变量间并不存在直线关系， 但由n 对观测值（xi，yi）也可以根据上面介绍的方
法求得一个回归方程 yˆ =a+bx。 显然，这样
的回归方程所反应的两个变量间 的直线关系是 不真实的。 如何判断直线回归方程所反应的两 个变量间的直线关系的真实性呢？这取决于变 量x与y间是否存在直线关系。我们先探讨依变 量y的变异，然后再作出统计推断。
变量。
这就是直线回归的数学模型。我们可以根据
实际观测值对α，β以及方差
做 2出估计。
在x、y直角坐标平面上可以作出无数 条 直线，我们把所有直线中最接近散点图中全部散
点的直线用来表示x与y的直线关系，这条直线称
为回归直线。
设回归直线的方程为:
yˆ a bx
(8-2)
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1、直线回归的变异来源 图8-4 ( y y) 的分解图
从图8-4看到：
( y y) ( yˆ y) ( y yˆ)
上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有
( y y)2 [( yˆ y) ( y yˆ)]2
( yˆ y)2 ( y yˆ)2 2 ( yˆ y)( y yˆ)
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相关变量间的关系一般分为两种:
一种是因果关系，即一个变量的变化受另 一个或几个变量的影响。如仔猪的生长速度受 遗传特性、营养水平、饲养管理条件等因素的 影响，子代的体高受亲本体高的影响；
另一种是平行关系，它们互为因果或共同
受到另外因素的影响。如黄牛的体长和胸围之
间的关系，猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关
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1、作散点图 以雏鹅重（x）为横坐 标，70日龄重（y）为纵坐标作散点图， 见图8-3。
2、计算回归截距a，回归系数b， 建立直线回归方程
首先根据实际观测值计算出 下 列数 据：
x x / n 1182 /12 98.5
y y / n 32650 /12 2720.8333
度dfy也划分为回归自由度dfr与离回归自由度 dfr两部分，即
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df y df R df r
（8-10）
在直线回归分析中，回归自由度等于自
变量的个数， 即df R 1 ；y 的 总 自 由 度 df y n 1 ；离回归自由度 dfr n 2 。于是：
离回归均方 MSr SSr / df r， 回 归 均 方
MS R SS R / df R。
2、回归关系显著性检验—F检验
x与y两个变量间是否存在直线关系，可用F 检验法进行检验。
由 于 yˆ a bx y b(x x)
所 以 yˆ y b(x x)
于是
( yˆ y)( y yˆ) b(x x)( y yˆ)
b(x x)[( y y) b(x x)]
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b(x x)( y y) b(x x) b(x x)
其中，a是α的估计值，b是β的估计值。
a、b应使回归估计值 yˆ与实际观测值y的偏
差平方和最小，即： Q ( y yˆ)2 ( y a bx)2 最 小
根据微积分学中的求极值的方法，令 Q对a、
b的一阶偏导数等于0，即：
Q 2 ( y a bx) 0
a
Q 2 ( y a bx)x 0
( y yˆ)2 /(n 2)
离回归均方是模型（8-1）中σ2的估计值。
离回归均方的平方根叫离回归标准误，记为 S yx ， 即
S yx ( y yˆ)2 /(n 2) （8-6）
离回归标准误Syx的大小表示了回归直线
与实测点偏差的程度，即回归估测值 yˆ 与 实
际观测值y偏差的程度，于是我们把离回归标 准误Syx用来表示回归方程的偏离度。
散点图直观地、定性地表示了两个变量之 间的关系。为了探讨它们之间的规律性，还必 须根据观测值将其内在关系定量地表达出来。
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如果呈因果关系的两个相关变量y(依变量) 与x(自变量)间的关系是直线关系，根据n对观 测值所描出的散点图，如图8—1（b）和图 8—1（e）所示。
一元回归分析又分为直线回归分析与曲线
回归分析两种；多元回归分析又分为多元线性
回归分析与多元非线性回归分析两种。
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回归分析的任务是揭示出呈 因果关系的相关变量间的联系形 式，建立它们之间的回归方程， 利用所建立的回归方程，由自变 量（原因）来预测、控制依变量 （结果）。
统计学上采用相关分析 ( correlation analysis)研究呈平行关系的相关变量之间的关 系。
为了直观地看出x和y间的变化趋势，可将 每一对 观 测 值 在 平 面直角坐标系描点，作 出散点图 （见图8-1）。
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从散点图（图8-1）可以看出：
①两个变量间有关或无关;若有关,两个变量 间关系类型，是直线型还是曲线型；