河北省石家庄市2019年中考数学总复习第四章三角形第三节全等三角形同步训练

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河北省2019年中考数学一轮复习第四章三角形第三节全等三角形课件20181222274

在△APM和△BPN中， ∴△APM≌△BPN. (2)解：∵△APM≌△BPN，∴PM＝PN， ∵MN＝2BN， ∴PN＝BN， ∴∠NPB＝∠B， ∴α ＝50°.
(3)解：∵△BPN的外心在△BNP的内部， ∴△BNP是锐角三角形． ∵∠B＝50°＜90°，
∴
解得40°＜α ＜90°.
证明两三角形全等的常见模型
第四章三角形第三节全等三角形
考点全等三角形的判定与性质
例1 (2018·河北)如图，∠A＝∠B＝50°，P为AB的中点，点
M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点，连接MP，并使MP的
延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝α .
(1)求证：△APM≌△BPN；
(2)当MN＝2BN时，求α 的度数；
内部文件，请勿外传
(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α 的取值范围
【分析】 (1)由对顶角相等，点P是AB的中点，∠A＝∠B 可知，利用ASA即可得证； (2)由(1)可得PM＝PN，从而得到PN＝NB，再由等边对等角得解； (3)由外心在三角形内，得到三角形是锐角三角形，从而确定α 和∠PNB均为锐角，得到α 的取值范围．【自主解答】 (1)证明：∵P是AB的中点，∴AP＝BP.
1．(2017·河北改编)如图，点 B，F，C，E在一条直线上，
AB＝DE，BF＝CE，AC⊥AB，DF⊥DE.
求证：AB∥DE.
证明：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，
∵BF＝CE，∴BF＋CF＝CE＋CF，即BC＝EF.
在Rt△BAC和Rt△EDF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌ NhomakorabeaDEF.

中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第二节三角形的基本概念及全等三

第二节三角形的根本概念及全等三角形,怀化七年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021解答17全等三角形全等三角形的判定及其性质882021 解答17三角形中位线利用三角形的中位线的性质得条件，证三角形全等882021选择5全等三角形以等腰梯形为背景，判断三角形全等3填空15三角形内外角关系利用三角形的内外角关系求角362021选择5三角形中位线以测量池塘为背景，利用三角形中位线的性质得33到两点间的距离2021解答19全等三角形以等腰梯形为背景证三角形全等10填空11三角形中位线以平行四边形为背景，利用三角形中位线的性质求线段的长度3132021选择2三角形内外角的关系利用三角形的外角及内角的关系比拟大小33命题规律纵观怀化七年中考，“三角形的根本概念及全等三角形〞这一考点其余各年都有考察，根本概念考察层次偏低，全等三角形考察中等，其中，三角形内外角关系考察2次，三角形中位线考察3次，全等三角形考察3次．命题预测预计2021年怀化中考会以三角形中的重要线段，三主要考察对象，全等三角形的判定与性质也会在解答题中考察.,怀化七年中考真题及模拟)三角形的内外角关系(2次)1．(2021怀化中考)如下图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B)A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠AC．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1(第1题图)(第2题图)2．(2021怀化中考)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，延长BC 到D，那么∠ACD＝__80°__．三角形的中位线(3次)3．(2021怀化中考)如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14 m，那么A，B间的距离是( C)A．18 m B．24 m C．28 m D．30 m(第3题图)(第4题图)4．(2021怀化中考)如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD 的中点，那么EF＝__4__．全等三角形(3次)5．(2021怀化中考)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC及BD相交于点O，那么以下判断不正确的选项是( B)A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC(第5题图)(第6题图)6．(2021怀化二模)如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上．添加以下条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是( D )A ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB B ．OC ＝OD C ．∠OPC ＝∠OPD D ．PC ＝PD7．(2021怀化学业考试指导)一个等腰三角形的两边长分别为2与5，那么它的周长为( C )A ．7B ．9C ．12D ．9或128．(2021鹤城模拟)三角形的两边长分别为3与6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，那么这个三角形的周长是( D )A ．2或4B ．11或13C ．11D ．139．(2021芷江模拟)在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB 边长为10，AC 边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．(2021怀化考试说明)如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE，假设AC ＝5，BC ＝3，那么BD 的长为( D )A ．2.5B ．1.5C ．2D ．111．(2021怀化中考)如图，在等腰梯形ABCD 中，点E 为底边BC 的中点，连接AE ，DE.求证：AE ＝DE.证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠B ＝∠C，∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴△ABE ≌△DCE(SAS )，∴AE ＝DE.12．(2021怀化中考)如图，AD ＝BC ，AC ＝BD. (1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA 及OB 相等吗？假设相等，请说明理由．证明：(1)在△ADB 与△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA(SSS )；(2)OA ＝OB.理由如下：∵△ADB≌△BCA，∴∠DBA ＝∠CAB，即∠OAB＝∠OBA，∴OA ＝OB.13．(2021怀化一模)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D，∠B ＝∠C，求证：AB ＝DC.证明：∵BE＝CF ，∴BF ＝CE ，又∵∠A＝∠D，∠B ＝∠C，∴△ABF ≌△DCE ，∴AB ＝DC.14．(2021洪江模拟)△ABN 与△ACM 的位置如下图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.求证：(1)BD ＝CE ；(2)∠M＝∠N.证明：(1)∵在△ABD 与△ACE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB ＝∠AEC.又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO ＝∠AEC，∴∠MDO ＝∠NEO.∵∠MOD＝∠NOE，∴180°－∠MDO－∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，∴∠M ＝∠N.考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类 (1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)按边分类两条边相等的三角形三边相等的三角形三边互不相等的三角形 __等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之与__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a ＋b__>c ，|a －b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之与大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角与定理及内外角关系4．内角与定理：三角形的内角与等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__及它不相邻的两个内角之与．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段四线定义性质图形中线连接一个顶点及它对边中点的线段BD ＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°续表角平分线一个内角的平分线及这个角的对边相交，顶点及交点之间的线段∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC且DE＝12BC全等三角形及其性质6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定8．三角形全等的判定类型图形条件是否全等形成结论一般三角形的判定A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2是__SSS__∠B1＝∠B2，B1C1＝B2C2，∠C1＝∠C2是ASA ∠B1＝是AAS∠B 2， ∠C 1＝∠C 2， A 1C 1＝A 2C 2 A 1B 1＝A 2B 2， ∠B 1＝∠B 2， B 1C 1＝B 2C 2 是 __SAS __续表直角三角形的判定A 1B 1＝A 2B 2，A 1C 1＝A 2C 2，是__HL __【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS 一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】(2021 洪江模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．假设调整木条的夹角时不破坏此木框，那么任意两个螺丝间距离的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．10【解析】4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2＋3、4、6作为三角形，那么三边长为5、4、6；5－4<6<5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②选3＋4、6、2作为三角形，那么三边长为2、7、6；6－2<7<6＋2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4＋6、2、3作为三角形，那么三边长为10、2、3；2＋3<10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6＋2、3、4作为三角形，那么三边长为8、3、4；而3＋4<8，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝间距离的最大值为7. 【学生解答】C1．(2021岳阳中考)以下长度的三根小木棒能构成三角形的是( D ) A ．2 cm ，3 cm ，5 cm B ．7 cm ，4 cm ，2 cm C ．3 cm ，4 cm ，8 cm D ．3 cm ，3 cm ，4 cm三角形的内角与外角关系【例2】(2021原创)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，那么∠B 的大小是( )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠ACD＝50°，又∵CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCE＝50°，∴∠ACE ＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B ＋∠A＝∠ACE，∴∠B ＝∠ACE －∠A ＝100°－50°＝50°.【学生解答】A2．(2021乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，假设∠B＝35°，∠ACE ＝60°，那么∠A＝( C )A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，CE ＝13AC ，BE ，CD 交于点O ，BE ＝5 cm ，那么OE ＝________cm .(例3题图)(例3题解图)【解析】如解图，过D 作DF∥BE，那么DF 就是三角形ABE 的中位线，∴DF ＝12BE ，AF ＝EF ，又∵CE ＝13AC ，∴CE ＝EF ，∴OE 就是三角形CDF 的中位线，∴OE ＝12DF ＝14BE ＝1.25 cm .【学生解答】1.253．(2021枣庄中考)如图，△ABC 的面积为6，AC ＝3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C′处，P 为直线AD 上的一点，那么线段BP 的长不可能是( A )A ．3B ．4C ．5.5D ．10全等三角形的证明及性质【例4】如图，点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，，且DC ＝DM ，试探究线段ME 及BD 的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC ，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【学生解答】解：如图，连接MC ，在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD ，又AC ＝BC ，∴△BDC ≌△ADC(SSS )，∴∠DCA ＝∠DCB＝45°，∠EDC ＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC ＝DM ，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD ，又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC ＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC.又∵CE＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM ＝15°，∴△ADC ≌△EMC(AAS )，∴ME ＝AD ＝DB ，∴ME ＝BD.4．(2021南京中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，以下结论：①AC⊥BD；②CB＝CD ；③△ABC≌△ADC；④DA ＝DC ，其中正确结论的序号是__①②③__．图形旋转中全等三角形的判定及性质【例5】(2021 苏州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)假设EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE.(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【学生解答】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD 与△FCE中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS )；(2)第 11 页由(1)可知△BCD≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E ，∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.5．(2021怀化三模)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 在边AB 上，使DB ＝BC ，过点D 作EF⊥AC，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F.求证：AB ＝BF.提示：证Rt △ABC ≌Rt △FBD 即可．6．(2021淄博中考)如图，△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME ∥AD ，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F.求证：(1)AE ＝AF ；(2)BE ＝12(AB ＋AC)．证明：(1)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD ＝∠AEF ，∠CAD ＝∠AFE ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ；(2)过点C 作CG∥EM，交BA 的延长线于点G ，∴∠AGC ＝∠AEF，∠ACG ＝∠AFE.∵∠AEF ＝∠AFE，∴∠AGC ＝∠ACG，∴AG ＝AC.∵BM＝CM ，EM ∥CG ，∴BE ＝EG ，∴BE ＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝12(AB ＋AC)．。

(部编版)2020届中考数学一轮复习第四章几何初步第3节全等三角形试题7

第三节全等三角形课标呈现指引方向1．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角．2．掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．3．掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．4．掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．5．证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，考点梳理夯实基础1．全等图形：能够完全重合的两个图形叫做＿＿全等图形＿＿．注：能够完全重合即形状、大小完全相同．2．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做＿＿全等＿＿三角形．3．全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边＿＿相等＿＿；全等三角形的对应角＿＿相等＿＿．(2)全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）＿＿相等＿＿，周长＿＿相等＿＿，面积＿＿相等＿＿．4．一般三角形全等的判定：(1)若两个三角形的三条边分别＿＿对应相等＿＿，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”；(2)若两个三角形的两边及其＿＿夹角＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”：(3)若两个三角形的两角及其＿＿夹边＿＿分别相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”：(4)若丙个三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为＿＿“AAS"＿＿．5．直角三角形全等的判定：(1)两直角边对应相等的两个直角三角形全等；(2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)若两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为＿＿“HL”＿＿．6．寻找对应边、对应角的方法：(1)有公共边的，公共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角一定是对应角；(4)两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．7．证明三角形全等的思路：(1)已知两边：①找夹角（SAS）；②找直角（HL）；③找第三边( SSS)．(2)已知一边和一角：①边为角的对边，找任意一角(AAS)；②边为角的邻边，找夹角的另一边（SAS）；③找夹边的另一角（ASA）；④找边的对角（AAS）．(3)已知两角：①找夹边（ASA）；②找角的对边（AAS）．考点精析专项突破考点一三角形全等判定方法的选择【例l】（2016云南）如图，已知∠ABC= ∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是 ( A )A．AC = BDB．∠CAB=∠DBAC．∠C=∠DD．BC=ADAAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例2】（2015泰州）如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等三角形的对数是 ( D ) A ．1对B ．2对 C ．3对D ．4对解题点拨：根据已知条件“AB =AC ．D 为BC 中点”，得出△ABD ≌△ACD ，然后再由AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，推出△AOE ≌△EOC ，从而根据“SSS ”或“SAS ”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．考点二全等三角形的性质与判定综合【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，∠B = ∠AFE ，EA 是∠BEF 的角平分线．求证： (1)△ABE ≌△AFE ； (2)∠FAD = ∠CDE ．解题点拨：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，(2)问关键是正确证明△AFD ≌△DCE ．证明：(1)∵EA 是∠BEF 的角平分线， ∴∠1=∠2．在△ABE 和△AFE 中，,12,,B AFE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△AFE (AAS ). (2)∵△ABE ≌△AFE ， ∴AB =AF ，∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴AB =CD ，AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴AF =CD ，∠ADF = ∠DEC ，∠B +∠C =180°， ∴∠B = ∠AFE ，∠AFE +∠AFD =180°， ∴AFD = ∠C ，在△AFD 和△DCE 中，,,,ADF FEC C AFD AF DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFD ≌△DCE (AAS ) ， ∴∠FAD = ∠CDE .1．如图，已知AB =AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是 ( C ) A ．CB = CDB ．∠BAC = ∠DAC C ．∠BCA =∠DCAD ．∠B =∠D = 90°2．如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件使△4BE 竺△CDF ．则添加的条件不能是 ( A )A ．AE =CFB ．BE = FDC ．BF = DED ．∠1= ∠2 3．（2016成都）如图，△ABC ≌△A 'B 'C '，其中∠A = 36°， ∠C '＝24°，则∠B = ＿＿120°＿＿．4．已知，如图．AB =AC ，BD =CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE =DF ．证明：连接AD ，在△ACD 和△ABD 中，,,,AC AB CD BD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩△ACD ≌△ABD (SSS )，∴∠EAD =∠FAD ，即AD 平分∠EAF ， ∵DE ⊥AE ．DF ⊥AF ． ∴DE =DF ．中考达标模拟自测A 组基础训练1．如图，△ABC和△DEF中，AB= DE，/B= LDEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF ( C )A．AC∥DFB．∠A =∠D C．AC=DFD．∠ACB= ∠F2．（2016陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M'、N'，则图中的全等三角形共有 ( C )A．2对B．3对C．4对D．5对3．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC= BD，AB= ED，BC= BE，则∠ACB等于 ( C )A．∠EDBB．∠BEDC．12∠AFBD．2∠ABF4．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°，把△DCE绕点C 顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B则∠E1D1B的度数为 ( D )A．10°B．20°C．7.5°D．15°二、填空题5．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件＿＿AB=CD＿＿（填出6．如图，△ABD ≌△CBD ，若∠A =80°，∠ABC = 70°，则∠ADC 的度数为＿＿130°＿＿．7．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ．若EF = 5cm ．则AB =cm ．三、解答题 8．（2016重庆）如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，CE ∥DF ，EC ＝BD ，AC ＝FD ．求证：AE ＝FB ．证明：CE ∥DF ， ∴∠ACE = ∠D ，在△ACE 和△FDB 中，,,,AC FD ACE D EC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACE ≌△FDB ， ∴AE ＝FB ．9．如图，∠ABC = 90°，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD ⊥DE ，且AD = DE ．点F 是AE 的中点．FD 与AB 相交于点M ． (1)求证：∠FMC = ∠FCM ;解：(1)证明：∵△ADE 是等腰直角三角形，F 是AE 中点， ∴DF ⊥AE ，DF =AF = EF ，又∵∠ABC =90， ∠DCF ，∠AMF 都与∠MAC 互余， ∴∠DCF =∠AMF ．在△DFC 和△AFM 中．,,,DCF AMF MFA CFD DF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DCF ≌△AMF (AAS )，∴CF ＝MF ，∴∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD ⊥MC ，理由：由 (1)知，∠MFC = 90°，FD = EF ，FM = FC ，∴∠FDE =∠FMC =45°， ∴DE //CM ，∴AD ⊥MC ．B 组提高练习10．（2016丹东）如图，在△ABC 中，AD 和BE 是高，∠ABE = 45°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，∠CBE = ∠BAD ．有下列结论：①FD =FE ；②AH =2CD ；③BC ·ADAE 2；④4ABC ADF S S ∆∆=其中正确的有 ( D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（提示：∵在△ABC 中，AD 和BE 是高，∴∠ADB =∠AEB =∠CEB =90°，∵点F 是AB 的中点，∴FD =12AB ，∵∠ABE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =BE ，∵点F 是AB 的中点，∴FE ＝12AB ，∴FD ＝FE ，①正确；∵∠CBE =∠BAD ，∠CBE + ∠C = 90°，∠BAD +∠ABC =90°，∴∠ABC = ∠C ，∴AB =AC ，∴AD ⊥BC ，∴BC = 2CD ，∠BAD =∠CAD = ∠CBE ，在△AEH 和△BEC 中， ,,,AEH CEB AE BE EAH CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠ADB =∠CEB ，．．，△ABD ∽△BCE ，BC BE AB AD=，即BC ·AD =AB ·BEAE 2＝AB ·AE ＝AB ·BE ，∴BC ·ADAE 2；③正确；∵F 是AB 的中点，BD = CD ，∴24ABC ABD ADF S S S ∆∆∆==．④正确；故选：D ．）11．（2016丹东）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在x 轴、y 轴上，OA =3，OB =4，连接AB ．点P 在平面内，若以点P \A 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等（点P 与点O 不重合），则点P 的坐标为＿＿(3，4)，(9625，7225)，(2125-，2825)＿＿．(提示：如图所示：①∵OA =3，OB =4，∴P 1(3，4)； ②连结OP 2，设AB 的解析式为y =kx +b ，则30,4,k b b +=⎧⎨=⎩解得4,34.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩故AB 解析式为y =43-x ＋4，则OP 2的解析式为y ＝43x ，联立方程组得44,33,4y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得48,253625x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则P 2(9625，7225)；③连结P 2P 3，则四边形AP 2BP 3为平行四边形，则E 为线段AB 和P 2P 3的中点，设P 3(x ，y )，则96032522x ++=，72042522x ++=， ∴x ＝2125-，y ＝2825，∴P 3(2125-，2825)，故点P 的坐标为(3，4)或(9625，7225)或(2125-，2825)．12．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，BM 交CD 于点E ，且点E 为CD 的中点，连接MD ，过点D 作ND ⊥MD 于点D ，DN 交BM 于点N ．（1）若BC ＝22，求△BDE 的周长；（2）求证：NE －ME ＝CM ．在△DEF 和△CEM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE DE CEM DEF CME DFE ， ∴△DEF ≌△CEM （AAS ）， ∴DF ＝CM ，EF ＝ME ，∴NE －ME ＝NE －EF ＝NF ＝DF ＝CM ，即NE －ME ＝CM ．。

【精品】通用版2019年中考数学总复习：全等三角形--知识讲解

中考总复习：全等三角形—知识讲解【考纲要求】1.掌握全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3. 善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等，灵活选择适当的方法判定两个三角形全等.【知识网络】【考点梳理】考点一、基本概念1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.2.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等.要点诠释：全等三角形的周长、面积相等；对应的高线，中线，角平分线相等.3.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).考点二、灵活运用定理三角形全等是证明线段相等，角相等的最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．应用三角形全等的判别方法注意以下几点：1. 条件充足时直接应用判定定理要点诠释：在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等.这种情况证明两个三角形全等的条件比较充分，只要认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．2. 条件不足，会增加条件用判定定理要点诠释：此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，即从求证入手，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．3. 条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判定定理要点诠释：在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．常见的几种辅助线添加：①遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”；②遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；③遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；④过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；⑤截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分之类的题目．【典型例题】类型一、全等三角形1．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题．【答案与解析】证明：（1）∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2,∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴ AP=AQ.(2)∵ AP=AQ，∠QAC=∠P，∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．【总结升华】在确定全等条件时，注意隐含条件的寻找.举一反三：【高清课堂：全等三角形例8】【变式】（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E 点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．【答案与解析】（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS）．类型二、灵活运用定理2．如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF.【思路点拨】将所求的线段转移到同一个或相关联的三角形中进行求解．【答案与解析】证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF,在△BDE和△CDM中，∴△BDE≌△CDM（SAS）．∴BE=CM.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 ，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠3＋∠2=90°，即∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDF ＝90°．在△EDF和△MDF中∴△EDF≌△MDF（SAS）,∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）,∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）,∴BE＋CF＞EF.【总结升华】当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中.举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF. 求证：AC=BF.【答案】证明：延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，∵ D为BC中点，∴ BD=DC，在△ADC和△HDB中，∴△ADC≌△HDB(SAS)，∴ AC=BH, ∠H=∠HAC，∵ EA=EF，∴∠HAE=∠AFE，又∵∠BFH=∠AFE，∴ BH=BF，∴ BF=AC．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CD-CB 的大小关系，并证明你的结论．【思路点拨】解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系．【答案与解析】AB-AD＞CD-CB；证明：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CE-CB，即AB-AE＞CE-CB，∴AB-AD＞CD-CB．【总结升华】本题也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．涉及几条线段的大小关系时，用“截长补短”法构造全等三角形是常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】证明：∵AB＞AC，在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．4．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．【思路点拨】在AC 上取AF=AE ，连接OF ，即可证得△AEO ≌△AFO ，得∠AOE=∠AOF ；再证得∠COF=∠COD ，则根据全等三角形的判定方法AAS 即可证△FOC ≌△DOC ，可得DC=FC ，即可得结论．【答案与解析】在AC 上取AF=AE ，连接OF ，∵AD 平分∠BAC 、∴∠EAO=∠FAO ，在△AEO 与△AFO 中，∵AE AF EAO FAO AO AO =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△AEO ≌△AFO （SAS ），∴∠AOE=∠AOF ；∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， ∴∠ECA+∠DAC=12（180°-∠B ）=60° 则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，（对顶角相等）则∠COF=60°，∴∠COD=∠COF ，又∵∠FCO=∠DCO ，CO=CO ，∴△FOC ≌△DOC（ASA ），∵AC=AF+FC，∴AC=AE+CD．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．类型三、综合运用5 （2015•泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DF⊥AC．【思路点拨】（1）由等边三角形的性质可写出结论．（2）要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．【答案与解析】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC．∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB．∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，∴在△AED与△DFB 中，，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG．∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DEO+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【高清课堂：全等三角形例9】【变式】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°,四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有( ) ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个BAFE【答案】D.6．如图，已知△ABC.（1）请你在BC边上分别取两点D、E(BC的中点除外)，连结AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．【思路点拨】考查了三角形面积的求法，全等三角形的判定以及三角形三边的关系．本题（2）中通过构建全等三角形将已知和所求条件转化到相关的三角形中是解题的关键．【答案与解析】（1）令BD=CE≠DE,有△ABD和△ACE，△ABE和△ACD面积相等.（2）取DE的中点O，连结AO并延长到F点，使得FO=AO，连结EF，CF．在△AD0和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO,可证△ADO≌△FEO．所以AD=FE．因为BD=CE，DO=EO，所以BO=CO.同理可证△ABD≌△FCO，所以AB=FC.延长AE交CF于G点,在△ACG中，AC+CG＞AE+EG，在△EFG中，EG+FG＞EF,可推得AC+CG+EG+FG＞AE+EG+EF,即AC+CF＞AE+EF,所以AB+AC＞AD+AE.【总结升华】正确构造全等和利用三角形的任意两边之和大于第三边的结论是关键.举一反三：【变式】在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=AD-BE．（3）证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE．又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD=BE，AD=CE．∴DE=BE-AD．。

中考数学考点系统复习第四章三角形方法技巧突破(四) 全等三角形之六大模型

证明三角形全等的关键：解题 (1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等；思路 (2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件
得对应边相等
2．(2021·泸州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求
证：BD＝CE. 证明：在△ABE与△ACD中，
∠A＝∠A，
AB＝AM，
在△ABN 和△AMC 中，∠BAN＝∠MAC， AN＝AC，
∴△ABN≌△AMC(SAS)，∴BN＝MC.
6．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE 与 BD 交于点 F.
(1)求证：AE＝BD；证明：∵AC⊥BC， DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中， AC＝BC，
证明：∵ BF＝EC，
∴EF＝ BC，
在△BCA与△EFD中，
AB＝DE，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∴△BCA≌△FED（SAS）， ∴∠A＝∠D，
模型二：轴对称型【模型归纳】
有公模型共边展示有公共
顶点Leabharlann 模型所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线特点折叠，两个三角形能完全重合
5．如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作等边三角形 ABM 与等边三角形 ACN，连接 MC，BN.求证：BN＝MC.
证明：∵△ABM 和△ACN 是等边三角形， ∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠NAC＝60°，又∵∠BAN＝∠BAC＋∠NAC， ∠CAM＝∠BAC＋∠BAM， ∴∠BAN＝∠MAC，
＝ 43BD2
解题常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形，或旋转一定的角

2019河北中考《4.2三角形的基本概念及全等三角形》知识梳理

第二节三角形的基本概念及全等三角形三角形三边关系(2次)1．(2019河北15题3分)如图(1)，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图(2)．则下列说法正确的是( C )A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远2．(2019河北10题3分)已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( B )A．2个B．3个C．5个D．13个3．(2019邢台模拟)下列各组数中，能成为一个三角形的三条边长的是( A )A．2，3，4 B．2，2，4 C．1，2，3 D．1，2，64．(2019邯郸模拟)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是( D )A．2或4 B．11或13 C．11 D．13三角形内外角关系(2次)5．(2019河北4题2分)如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是( B )A．20° B．30° C．70° D．80°,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．(2019北京朝阳外国语学校一模)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( C )A．45° B．60° C．75° D．90°7．(2019河北19题4分)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝__76__°.……若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝__6__°.三角形的四条重要线段(2次)8．(2019河北9题3分)图示为4×4的格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( B )A．△ACD的外心 B．△ABC的外心C．△ACD的内心 D．△ABC的内心(第8题图)(第9题图)9．(2019河北2题2分)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC＝( C )A．2 B．3 C．4 D．5全等三角形(7次)10．(2019唐山一模)在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个11．(2019邯郸模拟)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为点D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( D )A．2.5 B．1.5 C．2 D．112．(2019河北21题9分)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.又AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF；(2)∵AB∥DE，AC∥DF.理由如下：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.13．(2019唐山二模)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC.证明：∵BE＝CF，∴BF＝CE，又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE，∴AB＝DC.,中考考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类(1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)按边分类两条边相等的三角形三边相等的三角形三边互不相等的三角形__等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a ＋b__>c ，|a －b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角和定理及内外角关系4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段6.四线定义性质图形中线连接一个顶点与它对边中点的线段 BD ＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝ ∠ADC ＝90°续表角平分线一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段 ∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC 且DE ＝12BC全等三角形及其性质7．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．8．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定(高频考点)全等三角形的证明及性质是河北中考的必考点，单独考查过，考查方式均为在解题过程中利用三角形全等的证明及性质得到相关结论．涉及到的背景有：①与三角形结合；②与四边形结合；③与圆结合．每年都在图形的平移、旋转及位似等图形变换的猜想证明题中考查，设问方式为证明线段之间的数量关系．9．三角形全等的判定类型图形已知条件是否全等形成结论一般三角形的判定A 1B 1＝A 2B 2， B 1C 1＝B 2C 2， A 1C 1＝A 2C 2是SSS∠B 1＝∠B 2， B 1C 1＝B 2C 2， ∠C 1＝∠C 2 是 ASA∠B 1＝∠B 2， ∠C 1＝∠C 2， A 1C 1＝A 2C 2 是 AASA 1B 1＝A 2B 2， ∠B 1＝∠B 2， B 1C 1＝B 2C 2 是 __SAS__续表直角三角形的判定A 1B 1＝A 2B 2， A 1C 1＝A 2C 2，是____HL__【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS已知一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS 已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA 找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边之间的关系【例1】(2019长沙中考)若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．11 【学生解答】A【点拨】利用三边之间的关系：两边之和大于第三边及两边之差小于第三边来解答．1．(2019玉林中考)在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，其周长为20 cm ，则AB 边的取值范围是( B ) A ．1 cm<AB<4 cm B ．5 cm<AB<10 cm C ．4 cm<AB<8 cm D ．4 cm<AB<10 cm三角形内角和，外角与内角的关系【例2】(2019乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B＝35°，∠ACE ＝60°，则∠A＝( )A ．35°B ．95°C ．85°D ．75° 【学生解答】C【点拨】利用角平分线的定义可求得∠ACD 的度数，从而利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．2．(2019临沂中考)如图，直线AB∥CD，∠A ＝40°，∠D ＝45°，则∠1的度数等于( B ) A ．80° B ．85° C ．90° D ．95°(第2题图)(第3题图)3．(2019原创)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( A )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°全等三角形的性质与判定【例3】(2019沧州八中一模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB 、AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【学生解答】(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS)；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC ＝∠E，∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.4．(2019武汉中考)如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF ，求证：AB∥DE.证明：∵BE ＝CF ， ∴BE ＋EC ＝CF ＋EC. 即BC ＝EF ，∵AB ＝DE ，AC ＝DF ， ∴△ABC ≌△DEF(SSS)， ∴∠B ＝∠DEF， ∴AB ∥DE.5．(2019邯郸二十三中一模)如图，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，AD ＝AE ，求证：BE ＝CD. 证明：∵BD⊥AC，CE ⊥AB ， ∴∠ADB ＝∠AEC＝90°，在△ADB 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠AEC，AD ＝AE ，∠A ＝∠A，∴△ADB ≌△AEC(ASA)，∴AB ＝AC ，又∵AD＝AE ，∴AB －AE ＝AC －AD. 即BE ＝CD.,中考备考方略)1．(2019南通中考)下列长度的三条线段能组成三角形的是( A )A ．5，6，10B ．5，6，11C ．3，4，8D ．4a ，4a ，8a(a>0)2．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B＝76°，∠C ＝36°，则∠DAE 的度数为( A )A ．20°B ．18°C ．38°D ．40°(第2题图)(第3题图)3．(2019石家庄模拟)一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是( A ) A．165° B．120° C．150° D．135°4．(2019河北石家庄四十三中一模)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是( B )A．5 B．10 C．11 D．125．(2019河北保定十三中一模)如图，AB∥CD，∠A＋∠E＝75°，则∠C为( C )A．60° B．65°C．75° D．80°6．(2019内江中考)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为( A )A．75° B．65° C．45° D．30°(第6题图)(第7题图)7．(2019哈尔滨中考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是C′)，连接CC′，若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是( C )A．32° B．64° C．77° D．87°8．(2019永州中考)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( D )A．∠B＝∠C B．AD＝AEC．BD＝CE D．BE＝CD(第8题图)(第9题图)9．(2019枣庄中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于( A )A ．15°B ．17.5°C ．20°D ．22.5°10．(2019保定二模)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE＝90°，四边形ACDE 是平行四边形，连接CE 交AD 于点F ，连接BD 交CE 于点G ，连接BE ，下列结论中：①CE ＝BD ；②△ADC 是等腰直角三角形；③△AEC≌△AEB；④△CGD∽△CDF，一定正确的结论有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第10题图)(第11题图)11．(2019东莞中考)如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分面积是__4__．12．(2019重庆中考)如图，在△ABC 和△CED 中，AB ∥CD ，AB ＝CE ，AC ＝CD ，求证：∠B＝∠E. 证明：∵AB∥CD，∠DCA＝∠CAB. 又∵AB＝CE ，AC ＝CD ， ∴△CAB ≌△DCE(SAS)， ∴∠B ＝∠E.13．(2019原创)如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到E ，使CE ＝13CD ，过点B 作BF∥DE，与AE 的延长线交于点F.若AB ＝6，则BF 的长为( C )A ．6B ．7C ．8D ．10(第13题图)(第14题图)14．(2019石家庄模拟)如图，已知△ABC 的面积为10 cm 2，BP 为∠ABC 的平分线，AP 垂直BP 于点P ，则△PBC 的面积为( B )A ．4 cm 2B ．5 cm 2C ．6 cm 2D ．7 cm 215．(2019滨州中考)如图，在△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC ＝CD ＝BD ＝BE ，∠A ＝50°，则∠CDE 的度数为( D )A ．50°B ．51°C ．51.5°D ．52.5°(第15题图)(第16题图)16．(2019常德中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC＝__70__°.17．(2019南充中考)已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2. 求证：(1)BD ＝CE ； (2)∠M＝∠N.证明：(1)∵在△ABD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴BD ＝CE ；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB ＝∠AEC. 又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO ＝∠AEC， ∴∠MDO ＝∠NEO，∵∠MOD ＝∠NOE，∴180°－∠MDO －∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，故∠M＝∠N.18．(2019绍兴中考)如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． (1)若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2 cm ，BC ＝5 cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5 cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由；(2)若固定二根木条AB ，BC 不动，AB ＝2 cm ，BC ＝5 cm ，量得木条CD ＝5 cm ，∠B ＝90°，写出木条AD 的长度可能取到的一个值；(直接写出一个即可)(3)若固定一根木条AB 不动，AB ＝2 cm ，量得木条CD ＝5 cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上，当点C 移到AB 的延长线上时，点A ，C ，D 能构成周长为30 cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．解：(1)相等．如图，连接AC ，∵AB ＝DA ＝2，BC ＝CD ＝5，AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC ，∠B ＝∠D；(2)答案不唯一，只要满足29－5≤AD≤29＋5即可，如AD ＝5 cm ； (3)设AD ＝x cm ，BC ＝y cm ，根据题意得当点C 在点D 的右侧时 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝y ＋5，x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝10，当点C 在点D 的左侧时， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5＋2，x ＋（y ＋2）＋5＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝15， ∴5＋8<17，∴不合题意． ∴AD ＝13 cm ，BC ＝10 cm.19．(2019内江中考)问题引入：(1)如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝__90°＋α2__(用α表示)；如图②，∠CBO ＝13∠ABC ，∠BCO ＝13∠ACB ，∠A ＝α，则∠BOC＝__120°＋α3__(用α表示)；(2)如图③，∠CBO ＝13∠DBC ，∠BCO ＝13∠ECB ，∠A ＝α，请猜想∠BOC＝__120°－α3__(用α表示)，并说明理由；类比研究：(3)BO ，CO 分别是△ABC 和外角∠DBC，∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO ＝1n∠DBC ，∠BCO＝1n ∠ECB ，∠A ＝α，请猜想∠BOC＝__n －1n ·180°－αn__．解：(2)理由：∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－13(∠DBC＋∠ECB)＝180°－13(180°＋∠A)＝120°－α3.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS2．如图，点A 在反比例函数ky x=（x ＜0）的图象上，过点A 的直线与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，且AB BC =，若BOC ∆的面积为1.5，则k 的值为( )A ．3-B ． 4.5-C ．6D ．6-3．某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如下表，则这10名同学一周内累计读书时间的中位数和众数分别是（）一周内累计的读书时间（小时） 5 8 10 14 人数（个） 14 32A.9，4B.9，8C.8，4D.8，84．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是（）A ．48°B ．96°C ．114°D ．132°5．如图，在平面直角坐标系中直线与x 轴，y 轴分别交于A 、B 两点，C 是OB 的中点，D 是线段AB 上一点，若CD ＝OC ，则点D 的坐标为（）A.（3，9）B.（3，）C.（4，8）D..（4，7）6．如图，点P(-a,2a)是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则反比例函数的解析是为（）A. B. C. D.7．下列运算正确的是（） A ．2a ﹣a ＝2B ．2a+b ＝2abC ．﹣a 2b+2a 2b ＝a 2bD ．3a 2+2a 2＝5a 48．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在边AC 与AB 上，DE ∥BC ，BD 、CE 相交于点O ，13EO OC =，AE ＝1，则EB 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．49．计算22m n m n n m+--的结果为( ) A.22m n + B.m n + C.m n -D.n m -10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm ，动点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 方向运动到点B ，动点Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度沿折线AC→CB 方向运动到点B ，先到达点B 的点保持与点B 重合，待另一个点到达点B 后同时停止运动。

中考数学精讲篇考点系统复习第四章三角形方法技巧突破(四) 全等三角形之七大模型

(2)两个三角形在直线异侧，点 P 在 AB(或 BA)的延长线上，已知：∠1＝ ∠2＝∠3，CP＝PD.
锐角一线三等角结论：△CAP≌△PBD.
钝角一线三等角
3．如图，在△PAB 中，PA＝PB，M，N，K 分别是 PA，PB，AB 上的点，且 AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为__9922__°.
△CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC＝α(“8 字
结论
型”证角相等)
6．★如图，正方形 ABCD 和正方形 CEFG 边长分别为 a 和 b，正方形 CEFG 绕点 C 旋转，给出下列结论： ①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BG2＝2a2＋2b2.其中正确结论是__①①②②③③__(填序号)．
(1)证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)解：△BOC 是等腰三角形，理由： ∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴ ∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACE， ∴∠OBC＝∠OCB，∴BO＝CO，∴△BOC 是等腰三角形．
正方形含半角
120°角含半角(∠BDC ＝120°)
证明三角形全等的关键：通过旋转一定角度将另外两个角拼接解题
在一起，构造的三角形与半角所在的三角形全等，得出线段间思路
的数量关系
①△AED≌△AEF； ①△AEF≌△AEG；
②△CFE 为直角三 ②△AGF 为等腰直 ①△DEF≌△DGF；
结论
证明三角形全等的关键：(1)找公共角、垂直、对顶角、等腰等解题条件得对应角相等；思路 (2)找公共边、中点、等底角、相等边、线段的和差等条件得对

2019河北中考《4.3等腰三角形与直角三角形》教材知识梳理

第三节等腰三角形与直角三角形等边三角形判定和的相关计算1．(2019河北16题2分)如图，∠AOB ＝120°，OP 平分∠AOB，且OP ＝2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上2．(2019河北13题3分)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝( B )A ．90°B ．100°C ．130°D ．180°(第2题图)(第3题图)3．(2009河北17题3分)如图，等边△ABC 的边长为1 cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，且点A ′在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__3__cm.4．(2019河北20题3分)如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3； ……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝__9__．直角三角形的相关计算5．(2019河北9题3分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( B )A.12B ．2C ．3D ．4(第5题图)(第6题图)6．(2019邢台金华中学一模)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为点E ，DE ＝1，则BC 的长是( C )A. 3 B．2 C．3 D.3＋27．(2019廊坊二模)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( B )A．4，5，6 B．1.5，2，2.5C．2，3，4 D．1，2，38．(2019秦皇岛二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( C ) A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm(第8题图)(第12题图)9．(2019河北唐山五十四中一模)若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为( B )A．80° B．50° C．40° D．20°10．(2019河北唐山友谊中学一模)已知等腰三角形ABC的两边长分别为2和3，则等腰三角形ABC 的周长为( D )A．7 B．8C．6或8 D．7或811．(2019保定育德中学二模)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D ) A．5 B.7C. 5 D．5或712．(2019河北14题3分)如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，∠A等于__52°__．13．(2019唐山路北区二模)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°；(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.,中考考点清单)等腰三角形的性质与判定1．等腰三角形定义有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底性质(1)等腰三角形两腰相等(即AB ＝AC)；(2)等腰三角形的两底角__相等__(即∠B＝__∠C__)；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；(5)面积： S △ABC ＝12BC ·AD判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等(简称“__等角对等边__”)2.等边三角形定义三边相等的三角形是等边三角形性质(1)等边三角形三边相等(即AB ＝BC ＝AC)；(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__(即∠A＝∠B＝∠C＝__60°__)；(3)等边三角形内、外心重合；(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；(5)面积：S △ABC ＝12BC ·AD判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形的性质与判定(高频考点)直角三角形的性质与判定近8年考查3次，题型均为填空题，设问方式为：1.求角度；2.求线段长度；3.求周长．结合的背景有：1.与三角形折叠结合；2.以赵爽弦图为背景；3.利用三角形余角的性质求角度．3．直角三角形定义有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角之和等于__90°__；(2)直角三角形斜边上的__中线__等于斜边的一半(即BD ＝12AC)；(3)直角三角形中__30°__角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB ＝12AC)；(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2；(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)有两个角互余的三角形是直角三角形4.等腰直角三角形定义顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形性质等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45°判定(1)用定义判定；(2)有两个角为45°的三角形,中考重难点突破)等腰三角形的相关计算【例1】在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B ＝________.【学生解答】70°或20°【点拨】在等腰三角形中，只要知道其中一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论．此题的两种情况如图所示：1．(2019湘西中考)一个等腰三角形一边长为4 cm，另一边长为5 cm，那么这个等腰三角形的周长是( C )A．13 cmB．14 cmC．13 cm或14 cmD．以上都不对2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A＝__50°__．等腰三角形、等边三角形的判定与性质【例2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 是△ABC 内的两点，AD 平分∠BAC，∠EBC ＝∠E＝60°，若BE ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，则BC ＝________cm.【解析】如图，延长AD 交BC 于点M ，由AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线可得AM⊥BC，BM ＝MC ＝12BC ，延长ED 交BC 于点N ，则△BEN 是等边三角形，从而求出DN 的长，利用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出MN 的长，进而求BM ，BC 的值．【学生解答】83．(2019沧州八中二模)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( D )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个(第3题图)(第4题图)4．(2019漳州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，C)，若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有( C )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个直角三角形的性质判定和勾股定理【例3】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，D 为BC 上任意一点，DF ⊥AB 于点F ，DE ⊥AC 于点E ，M 为BC 的中点，连接EM ，FM ，给出以下五个结论：①AF＝CE ；②AE＝BF ；③△EFM 是等腰直角三角形；④S 四边形AEMF ＝12S △ABC ；⑤EF＝BM ＝MC.当点D 在BC 上运动时(点D 不与B ，C 重合)，上述结论中始终正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】连接AM ，易证AE ＝DF ＝BF ，AF ＝DE ＝CE ，△AME ≌△BMF ，∴ME ＝MF ，∠AME ＝∠BMF，∴△EMF 是等腰直角三角形．S 四边形A EMF ＝S △A FM ＋S △AEM ＝S △AFM ＋S △BFM ＝S △ABM ＝12S △ABC ，但是EF 与BM 不一定相等，只有四边形AFME 为矩形时，EF ＝BM.【学生解答】C5．(2019株洲中考)如图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四各情况的面积关系满足S 1＋S 2＝S 3图形个数有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．(2019苏州中考)如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( B )A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2)mD ．(26－2)m7．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝5，BC ＝12，AD ＝9，CD ＝510，求四边形ABCD 的面积．解：连接AC ，∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13，∵在△ACD 中，AC 2＋AD 2＝132＋92＝169＋81＝250，CD 2＝(510)2＝250，∴AC 2＋AD 2＝CD 2，∴∠DAC ＝90°， ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12BC ·AB ＋12AD ·AC ＝12×12×5＋12×9×13 ＝1772.中考备考方略)1．(2019秦皇岛二模)若实数x ，y 满足|x －4|＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( D )A ．12B ．16C ．16或20D ．202．(2019益阳中考)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1 m ，则旗杆PA 的高度为( A )A.11－sin α mB.11＋sin αm C.11－cos α m D.11＋cos αm 3．(2019泰安中考)如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是边PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ，若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为( D )A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°(第3题图)(第4题图)4．(2019沧州八中模拟)如图，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别是边BC，AB上的高，垂足分别是D，E，AD，CE相交于点O，若∠B＝60°，则∠AOE的度数是( A )A．60° B．50° C．70° D．80°5．(2019保定十七中模拟)在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为( D )A．32 B．42C．40或42 D．32或426．(2019宜昌中考)任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是( B )A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形D．△EHF为等腰三角形7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C8．(2019深圳中考)如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝60°，则下列结论错误的是( D )A．∠2＝60°B．∠3＝60°C．∠4＝120°D．∠5＝40°9．(2019杭州中考)已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和n(m<n)，过锐角三角形顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( C )A．m2＋2mn＋n2＝0 B．m2－2mn＋n2＝0C．m2＋2mn－n2＝0 D．m2－2mn－n2＝010．(2019东营中考)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( C )A．10 B．8 C．6或10 D．8或1011．(2019齐齐哈尔中考)有一面积为53的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为__203或20__．12．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC ＝ED.(1)当BE ＝AE 时，求证：BD ＝AE ； (2)当BE≠AE 时，“BD ＝AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD 与AE 数量关系式，若你认为成立，请给予证明．证明：(1)如图(1)，在等边△ABC 中， ∠ABC ＝∠ACB＝60°.∵BE ＝AE ，∴∠ACE ＝∠ECB＝30°. 又∵CE＝DE ，∴∠D ＝∠ECD＝30°.∴∠DEB ＝30°，∴BE ＝BD ，∴BD ＝AE ； (2)BD ＝AE 还成立．理由如下：如图(2)，过点E 作EF∥AC 交BC 于点F.易证△EFB 为等边三角形． ∴EF ＝FB ＝BE.∴∠EFB＝∠EBF. ∴∠CFE ＝∠EBD.∵CE ＝DE ，∴∠ECD ＝∠D.∴△EBD≌△EFC(AAS)，∴CF ＝BD.∵AB＝BC ，∴AB －BE ＝BF －CF ，即AE ＝CF ，∴BD ＝AE.13．(2019威海中考)如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为( B )A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°,(第13题图)) ,(第15题图))14．(2019内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( B )A.32B.332C.32D ．不能确定 15．(2019连云港中考)如图①，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图②，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S 4、S 5、S 6.其中S 1＝16，S 2＝45，S 5＝11，S 6＝14，则S 3＋S 4＝( C )A ．86B ．64C ．54D ．4816．(2019随州中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝13BD ，连接DM ，DN ，MN.若AB ＝6，则DN ＝__3__．(第16题图)(第18题图)17．(2019潍坊中考)已知∠AOB＝60°，点P 是∠AOB 的平分线OC 上的动点，点M 在边OA 上，且OM ＝4，则点P 到点M 与到边OA 的距离之和的最小值是__23__．18．(2019武汉中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝55，则BD 的长为__241__．19．(2016邯郸十一中一模)如图，∠ABC ＝90°，D ，E 分别在BC ，AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE ，点F 是AE 的中点，FD 与AB 相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．证明：(1)∵△ADE 是等腰直角三角形，F 是AE 中点， ∴DF ⊥AE ，DF ＝AF ＝EF. 又∵∠ABC＝90°，∴∠DCF ，∠AMF 都与∠MAC 互余， ∴∠DCF ＝∠AMF，又∵∠DFC＝∠AFM＝90°， ∴△DFC ≌△AFM ，∴CF ＝MF. ∴∠FMC ＝∠FCM； (2)AD⊥MC.理由：由(1)知∠MFC＝90°，FD ＝FE ，FM ＝FC. ∴∠FDE ＝∠FMC＝45°.∴DE ∥CM ，由题意得AD⊥DE，∴AD ⊥MC.20．(2019北京中考)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.(1)求证：BM ＝MN ；(2)若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC ＝2，求BN 的长．解：(1)在△ACD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD 且MN ＝12AD.在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点．∴BM ＝12AC.又∵AC＝AD ，∴MN ＝BM ；(2)∵∠BAD＝60°且AC 平分∠BAD. ∴∠BAC ＝∠DAC＝30°.由(1)知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC.∴∠BMC ＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°. ∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC＝30°. ∴∠BMN ＝∠BMC＋∠NMC＝90°.∴BN 2＝BM 2＋M N 2.而由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1，BN ＝ 2.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．下列等式一定成立的是（） A ．a 2+a 3=a 5 B ．（a+b ）2=a 2+b 2C ．（2ab 2）3=6a 3b 6D ．（x-a ）（x-b ）=x 2-（a+b ）x+ab2．已知22x y =-⎧⎨=⎩是方程kx+2y ＝﹣2的解，则k 的值为（）A ．﹣3B ．3C ．5D ．﹣53．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．则这个圆锥漏斗的侧面积是( )A ．30cm 2B ．30πcm 2C ．60πcm 2D ．120cm 24．如图所示的几何体的主视图是（）A. B.C. D.5．岳池医药招商保持良好态势，先后签约成都百裕制药、济南爱思、重庆泰濠、四川源洪福科技、四川恒康科技、成都天瑞炳德、南充金方堂、药融园8个亿元以上医药项目和科伦药业、人福药业CS0两个医贸项目，协议投资额约51.5亿元。

河北省石家庄市中考数学总复习第四章三角形第三节全等三角形同步训练

第三节全等三角形姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2021·成都)如图，∠ ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是( )A．∠A＝∠D B ．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DB D ．AB＝DC2．(2021·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝3，BE＝1，那么DE的长是( )3A.2B．2C．22D.103．(2021·原创)如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，假设∠A＝50°，那么∠DEF的度数是()A．75° B ．70° C ．65° D ．60°4．(2021·南京)如图，AB⊥CD，且 AB＝CD，E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.假设CE＝a，BF＝b，EF＝c，那么AD的长为( )A．a＋c B ．b＋c C ．a－b＋c D ．a＋b－c5．(2021·济宁)在△ABC中，点E、F分别是边AB、AC的中点，点D在BC边上，连接DE、DF、EF，请你添加一个条件________，使△BED与△FED全等．16．(2021·保定一模)：如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点E在BC边上．求证：△ACD≌△ABE；假设∠CDE＝60°，求∠AEB的度数．7．(2021·陕西)如图，AB∥CD，E、F分别为AB、CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC、BF相交于点G、H.假设AB＝CD，求证：AG＝DH.28．(2021·恩施州)如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于点P.求证：∠AOB＝60°.9．(2021·镇江)如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.求证：△ABE≌△ACF；假设∠BAE＝30°，那么∠ADC＝________°.10．(2021·原创) 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.求证：∠ABE＝∠ACD；(1)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.31．(2021·原创)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠DCE＝45°，假设 AD＝3，BE＝4，那么BC的长是( )A．5B．52C．62D．72．(2021·保定二模)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°.将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F.(1)求证：△ABE≌△ACF；判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．3．(2021·石家庄长安区模拟)如图①，在等边△ABC和等边△ADP中，AB＝2，点P在△ABC的高CE上(点P与点C不重合)，点D在点P的左侧，连接BD，ED.求证：BD＝CP；(2)当点P与点E重合时，延长CE交BD于点F，请你在图②中作出图形，并求出BF的长．44．(2021·滨州)，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．如图①，假设点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；假设点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．参考答案【根底训练】1．5．BD＝EF答案不唯一，如BD＝CD或DF∥AB或DE∥AC或∠BED＝∠EDF等．6．(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠CAE＝∠DAE－∠CAE，即∠DAC＝∠EAB.5AD＝AE在△ACD和△ABE中，∠DAC＝∠EAB，AC＝AB∴△ACD≌△ABE(SAS)．解：在Rt△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠ADE＝∠AED＝45°.∵△ACD≌△ABE，∴∠ADC＝∠AEB，∴∠AEB＝∠ADE＋∠CDE＝45°＋60°＝105°.7．证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D.又∵CE∥BF，∴∠AHB＝∠DGC.∠A＝∠D在△ABH和△DCG中，∠AHB＝∠DGC，AB＝CD∴△ABH≌△DCG∴.AH＝DG.又∵AH＝AG＋GH，DG＝DH＋GH，∴AG＝HD.8．证明：∵△ABC，△CDE均为等边三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACE＝∠BCD.AC＝BC在△ACE与△BCD中，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠CAE＝∠CBD.∵∠AOB＋∠CBD＋∠BPO＝180°，∠BCA＋∠CAE＋∠APC＝180°，且∠BPO＝∠APC，∴∠AOB＝∠BCA＝60°.9．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF.6AB＝AC在△ABE和△ACF中，∠B＝∠ACB，BE＝CF∴△ABE≌△ACF.(2)75.10．证明：(1)∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE＝∠ACD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A，F的直线垂直平分线段BC.【拔高训练】1．C2．(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB，同理△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°.∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAF.解：△AEF是等边三角形，理由如下：∵△BAE≌△CAF，∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形．3．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.7∵△ADP是等边三角形，∴AD＝AP，∠PAD＝60°，∴∠DAB＋∠PAB＝60°＝∠PAC＋∠PAB，∴∠DAB＝∠PAC，∴△DAB≌△PAC.∴BD＝CP.解：作图如解图所示．∵△ADP是等边三角形，∴当点P与点E重合时，有AE＝DE，∠AED＝60°.∵CE⊥AB，1∴AE＝BE＝DE，∠BCE＝∠ACB＝30°.2∴∠EBD＝30°，∴∠DBC＝90°.BF在Rt△BCF中，∵BC＝2，tan∠BCE＝，BC2 3吧∴BF＝2tan30°＝.34．(1)证明：连接AD，如解图①所示.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，图①∠EBD＝45°.∵点D为BC的中点，1∴AD＝BC＝BD，∠FAD＝45°.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF.∠EBD＝∠FAD在△BDE和△ADF中， BD＝AD ，∠BDE＝∠ADF∴△BDE≌△ADF(A SA)，∴BE＝AF.解：BE＝AF，理由如下：连接AD，如解图②所示.∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°.图②∵∠EDB＋∠BDF＝90°，8BDF＋∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA.在△EDB和△FDA中，∠EBD＝∠FADBD＝AD ，∠EDB＝∠FDA∴△EDB≌△FDA(A SA)，∴BE＝AF.9。

中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形第三节全等三角形同步测试题及答案.doc

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】第三节全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列说法正确的是( )A．两个等边三角形一定全等B．腰对应相等的两个等腰三角形全等C．形状相同的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等2．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能为( )A．BE＝DF B．BF＝DEC．AE＝CF D．∠1＝∠23．如图，在方格纸中，以AB为一边作△AB P，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2017·四川眉山中考)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )A．14 B．13 C．12 D．105．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为______．6．如图，在△ABC和△ED B中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC＝4，BC＝3，则AE＝______.7．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴、y轴上，OA＝3，OB＝4，连结AB.点P在平面内，若以点P，A，B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合)，则点P的坐标为_______________________.8．(2018·广西桂林中考)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.10．如图，△ABC≌△ADE且BC，DE交于点O，连结BD，CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE.其中一定成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A(－4，0)，B(0，3)．若在该坐标平面内有以点P(不与点A，B，O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为( )A．9 B．7C．5 D．312．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE 于点F.若BP＝4，则PF的长为( )A．2 B．3C．1 D．813．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°<α<90°)，给出下列结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝2cos2α.上述结论中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．414．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________(请写出正确结论的序号).15．(2017·陕西中考)四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC.若AC＝6，则四边形ABCD 的面积为________.16．(2017·四川广安中考)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为点G.求证：AF＝BE.17．(2017·江苏常州中考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数．18．(2017·湖北恩施州中考)如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连结BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.求证：∠AOB＝60°.19．(2017·重庆中考)在△ABM中，∠ABM＝45°，A M⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连结AC.(1)如图1，若AB＝32，BC＝5，求AC的长．(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连结ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.参考答案【基础训练】 1．D 2.C 3.C 4.C5．4 6.1 7.(3，4)或(－2125，2825)或(9625，7225)8．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB， ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°， ∴∠F＝∠ACB＝37°. 9．证明：∵AB∥C D ，EC∥BF，∴四边形BFCE 是平行四边形，∠A＝∠D， ∴∠BEC＝∠BFC，BE ＝CF ， ∴∠AEG＝∠DFH. ∵AB＝CD ，∴AE＝DF. 在△AEG 和△DFH 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AE ＝DF ，∠AEG＝∠DFH， ∴△AEG≌△DFH(ASA)， ∴AG＝DH. 【拔高训练】10．C 11.A 12.A 13.C 14．①② 15.18∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AFB＋∠ABF ＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BEC＋∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC(等角的余角相等)．在△AFB 和△BEC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠EBC，∠AFB＝∠BEC，AB ＝BC ， ∴△AFB≌△BEC(AAS)， ∴AF＝BE.17．(1)证明：∵∠BCE＝∠A CD ＝90°， ∴∠BCA＝∠ECD. 在△BCA 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BCA＝∠ECD，∠BAC＝∠D，BC ＝EC ， ∴△BCA≌△ECD，∴AC＝CD. (2)解：∵AC＝AE ，∴∠AEC＝∠ACE. 又∵∠ACD＝90°，AC ＝CD ， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝45°，∴∠AEC＝12(180°－∠DAC)＝12(180°－45°)＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠AEC＝180°－67.5°＝112.5°. 18．证明：在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD，∴∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO ＝180°－∠BAO－∠ABC－∠CBD＝180°－∠ABC－∠BAO－∠CAE＝180°－60°－60°＝60°.【培优训练】19．解：(1)∵AM⊥BM，∴∠AMB＝∠AMC＝90°.∵∠ABM＝45°，∴∠ABM＝∠BAM＝45°，∴AM＝BM.∵AB＝32，∴AM＝BM＝3.∵BC＝5，∴MC＝2，∴AC＝AM2＋CM2＝13.(2)证明：如图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连结BG.∵DM＝MC，∠BMD＝∠A MC＝90°，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC，故AC＝BD.又CE＝AC，因此BD＝CE.∵点F是线段BC的中点，∴BF＝FC，由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G，∴∠BDF＝∠CEF.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式的一个数或字母也是代数式。

2019年中考数学专题复习资料--全等三角形含答案(共11页)

全等三角形1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE CDBA BC DEF 2 1ADB CAB ACDF2 1 E6 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

7已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DCABCDP DAC B10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD+BC=AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB=AC+CD ，求证：∠C=2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

13已知：如图，AB=AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。

求证：BE=CD ． PEDCBA D CBAMFECBACD F14在△ABC中，︒=∠90ACB，BCAC=，直线MN经过点C，且MNAD⊥于D，MNBE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC∆≌CEB∆；②BEADDE+=；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

2019版河北省中考数学一轮复习《课题20：全等三角形》课件

(2)⑦ 两边及两边的夹角 (3)⑧ 两角及两角所夹的边
(4)⑨ 两角及其中一个角所对的边
(5)⑩ 斜边和一条直角边
对应相等的两个直角三角形全等(HL).
基础知识梳理
栏目索引
3.三角形全等的证明思路
找夹角 SAS 已知两边找直角 HL 找另一边 SSS 边为角的对边找另一角 AAS 找夹角的另一边 SAS 已知一边边为角的邻边和一角找夹边的另一角 ASA 找边的对角 AAS 找夹边 ASA 已知两角找其中一角的对边 AAS
中考题型突破栏目索引
中考题型突破
题型一识别全等图形
这类题目的主要特点是根据全等图形的定义识别全等图形,识别方法主要依靠观察,而观察的重点一是图形的大小,二是图形的形状,考查题型多是选择题、填空题以及简单的解答题.
中考题型突破栏目索引
典例1 (2018衡水模拟)下列各组图形中,属于全等图形的是 (
∴AB=DF,∠BAE=∠F.
又∵CD=AB,∠BAE=∠C, ∴CD=DF,∠C=∠F.
中考题型突破栏目索引
∵AD平分∠CAE,
∴∠DAF=∠DAC. 在△ADC和△ADF中,
DAC DAF , ∵ C F , CD DF ,
∴△ADC≌△ADF(AAS).
栏目索引
课题20
全等三角形
基础知识梳理
栏目索引
基础知识梳理
考点一全等图形
1.全等图形 (1)概念:两个能够完全重合的图形称为全等图形.
(2)全等图形的形状和大小相同,即全等图形的面积和周长①
图形的对应角,对应边都分别② 相等 .

2023年中考数学复习第一部分考点梳理第四章三角形第3节全等三角形

(2)∠1＝∠2.
理由:因为∠DAE＝∠BAC,
所以∠BAD＝∠CAE.
＝,
在△ABD和△ACE中,ቐ∠＝∠,
＝,
基础过关
能力提升
能力提升
-23-
4.3 全等三角形
所以△ABD≌△ACE(SAS),
所以∠ACE＝∠ABD.
因为∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°,∠ACE+∠ACB+∠DCE＝
5.如图,AC平分∠BCD,CB＝CD,DA的延长线交BC于点E.若
∠CAE＝49°,则∠BAE的度数为 82° .
第5题图
基础过关
基础过关
能力提升
-7-
4.3 全等三角形
6.(2022·湖南益阳)如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°,
CD∥AB,DE⊥AC于点E,且CE＝AB.求证:△CED ≌△ABC.
OB,射线OC上的点,点D,E,F与O点都不重合,连接ED,EF.若添
加下列条件中的某一个,就能使△DOE≌△FOE.你认为要添
加的那个条件是( D )
A.OD＝OE
B.OE＝OF
C.∠ODE＝∠OED
D.∠ODE＝∠OFE
第2题图
基础过关
基础过关
能力提升
-3-
4.3 全等三角形
3.如图,AB⊥CD,且AB＝CD.E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.
4.3
全等三角形
4.3 全等三角形
1.(2022·浙江金华)如图,AC与BD相交于点O,OA＝OD,OB＝
OC,不添加辅助线,判定△ABO≌△DCO的依据是( B )
A.SSS
B.SAS
C.AAS