感生电动势
第33-34讲 感生电动势及感生电场
第九周学习内容第33讲感生电动势及感生电场第34讲感生电动势例题第35讲涡电流及电磁阻尼第36讲自感与互感第33讲 感生电动势及感生电场 第34讲 感生电 动势例题感生电动势：回路中单纯由磁场变化产生的感应电动势。
d ∂∂LSBEl St d ⋅=-⋅⎰⎰感生感LEli d ε=⋅⎰i SBSt t d d d Φε∂=-=-⋅∂⎰感生电场 ：产生感生电动势的非静电起源的作用力本质上是一种电场力。
感Ed d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰感生∂∂d 0SE S ⋅=⎰感生感应电场为非保守场、无源场、涡旋场实际电场感生静电E E E +=d d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰∂∂环路定理： d 0Sq E ε∑⋅=⎰内S 高斯定理：感生电场的计算：当磁场分布于圆柱形区域内且具有轴对称性时，可利用感生电场的环路定理计算出感生电场的空间分布。
d d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰感生∂∂)(t B RLr d d 2r B E t=-感生当 r < R 时， d d 22R B E r t=-感生当 r > R 时，感生电场线为以对称轴为中心的同心圆环。
关于感生电场的方向和感生电场环路中负号的讨论。
d d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰感生∂∂ 负号源自法拉第电磁感应定律，与感生电场的方向有关。
i d d d 感LE l tΦε=⋅=-⎰由楞次定律，负号可理解为感生电场及相应的感应电流的效果总是反抗或阻止引起它的原因。
由于电流激发磁场遵循右手螺旋定则，自然地，磁场变化的方向与其所激发感生电场的方向间就构成左手螺旋关系。
由于环路积分的方向与面积分中面元矢量的正法线方向满足右手螺旋定则，其中的负号当然就说明的方向与 的方向满足左手螺旋定则。
∂∂B t E 感生在感生电场中电磁感应定律可写成式中 为感应电场中的电场强度。
此式表明： (A) 闭合曲线 L 上处处相等。
(B) 感应电场是保守电场。
感生电动势
b
3、如图所示，竖直向上的匀强磁场磁感应强度 B0=0.5T，并且以=1T/s在变化，水平导轨的电阻和摩 擦阻力均不计，导轨宽为0.5m。在导轨上l=0.8m处搁 一金属棒，其电阻R0=0.1Ω，并用水平细绳通过定滑 轮吊着质量为M = 2kg 的重物，电阻R= 0.4Ω。问： （1）感应电流的方向以及感应电流的大小； （2）经过多长时间能吊起重物(g = 10m/s2)
B R l
4、将一个矩形金属线框折成直角框架abcdef,并置于 倾角为=370的斜面上,ab边与斜面底边MN平 行.ab=bc=cd=de=ef=fa=0.2m,框架总电阻R= 0.02， ab边和de边的质量均为m=0.01kg,其余四边的质量忽 略不计.框架可绕过cf点的固定轴转动.现从t=0时刻 开始沿斜面向上加一随时间均匀增加的、范围足够大 的匀强磁场，磁感强度与时间的关系为B=0.5t,磁场 方向与cdef面垂直. (1)求线框中感应电流大小，并 在ab段导线上标出电流方向. e (2)t为何值时,框架将开始 d f 绕其固定轴转动? M a B c 1A b 1.4s N
R2 B
v
R1 370
单匝导体线圈在磁感强度B的ห้องสมุดไป่ตู้强磁场中绕轴oo’以角 速度ω匀速转动， V
a
o a b d B o’ c V o
dB
S//B时， Φ=0 ，
△Φ/△t(最大)=BSω V d
B o
V S垂直B时, Φ (最大)= BS ,
△Φ/△t =0
a
1、如图所示，一个有80匝的环形线圈的总电阻为2Ω， 两端连接有6Ω的用电器，线圈包围的面积为0.015m2。 当有与环面垂直的匀强磁场穿过（磁感应强度B按图 示变化，设垂直纸面向里为正）， (1)求出0.15s和0.45s时线圈中的感应电动势的大小; (2)画出0~1.5s时间内,线圈中的电流与时间的图象 B/T 1.6V 3.2v (设逆时针为正)
感生电动势
动势那部分导体相当于电源，哪一种作用扮演了非静电力的角色呢？
感生电动势
磁场对静止电荷不会有洛伦兹力;静电 力是电荷间的相互作用力,与磁场无关.
磁场 变强
猜想:可能是变化的磁场对电荷产生作用力
创新微课
感生电动势
〔英〕麦克斯韦认为，
磁场变化时会在周围空间激发 一种电场-----感生电场
闭合导体中的自由电荷在这种 电场下做定向运动
Ek 感生电场为无源场
创新微课
感生电动势
创新微课
例题：半径为r、电阻为R的金属环通过某直径的轴OO’以角速度ω 做匀速转动，如图所示。匀强磁场的磁感应强度为B，从金属环的平面 的磁场方向重合时开始计时，则在转过30º的过程中。求： (1)环中产生的感应电动势的平均值是多大？
(2)金属环某一横截面内通过的电荷量是多少？
的 来 源
非静电力是 感生电场力
同学，下节再见
创新微课 现在开始
感生电动势
感生电动势
△回顾电荷在外电路和内电路中的运动。
创新微课
adc b
化学作用就是我们所说 的非静电力
△电源电动势的作用是某种 非静电力对自由电荷的作用
感生电动势
创新微课
磁场变化引起
N
的电动势
S 感生电动势
电源
线圈相当于 电源
穿过闭合回路磁通量发生了变化，回路中产生感应电动势。产生感应电
产生感应电流（感生电动势）
创新微课
感生电动势的非 静电力是感生电 场对电荷的作用 力。
感生电场的方向类 似感应电流方向的 判定----安培定则
感生电动势
起源
感生电场与静电场的区别
静电场 E0 由静止电荷激发
感生电场 Ek 由变化的磁场激发
动生电动势感生电动势感生电场普遍环路定理
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感应加热
感应加热器利用动生电动势对金属进 行加热。当金属在变化的磁场中时， 会在金属内部产生动生电动势，从而 产生电流并加热金属。
02 感生电动势
定义与产生机制
定义
当磁场发生变化时，会在导体中产生电动势。这个电动势被 称为感生电动势。
产生机制
磁场的变化会在导体中激发出电场，这个电场驱动导体中的 自由电荷移动，从而产生感生电动势。
感生电场的应用实例
电磁感应
当线圈中的磁场发生变化时，会在线 圈中产生感生电动势，进而产生电流。
磁记录
利用感生电场可以记录磁场的变化， 从而实现信息的存储和读取。
04 普遍环路定理
定理的表述与证明
表述
在磁场中，如果闭合回路的磁通量发生变化，那么就会产生电动势。这个电动势的大小等于回路的磁通量变化率 与回路的长度成正比。
证明
根据法拉第电磁感应定律和安培环路定律，通过引入磁场线穿过闭合回路的磁通量概念，可以推导出普遍环路定 理。
普遍环路定理的应用场景
电机工程
普遍环路定理是电机设计中的重 要理论依据，用于计算和预测电 机在不同工作状态下的电动势和
电流。
电力系统
在电力系统中，普遍环路定理用于 分析和计算电力传输过程中的电压 和电流变化，以确保电力供应的稳 定性和可靠性。
感生电动势的计算公式
公式
E = -dΦB/dt，其中E是感生电动势，ΦB是磁通量。
解释
这个公式表示，当磁通量发生变化时，就会产生感生电动势。负号表示电动势的 方向与磁通量变化的方向相反。
感生电动势的应用实例
01
02
03
感应炉
电磁感应 4-2 感生电动势、感生电场、涡电流
Ek
R2 2r
dB dt
当 r>R
例 3 如图，随时间变化的磁场均匀分布于半径为 R 的 圆柱形区域内，磁场方向平行于轴线。长为 L 的金属 棒位于圆形区域弦 ab 位置。若 dB/dt > 0，求金属棒中 感生电动势的大小。
解一：由于磁场分布具有轴对称性，
可知感生电场线是一系列以 O 为圆
× ×
选取如图以轴线为中心的半径为 r
B(t) z
逆时针方向的圆作为积分路径 L
R
由感生电L E场k d的l 环路S 定Bt 理dS
l
r
S
当 r<R 时
Ek
2r
dB dt
r
2
L
圆柱形区域内（磁场存在区 域内）激发的感生电场为
Ek
r 2
dB dt
当 r<R
当 r>R 时
Ek
2r
dB dt
R2
圆柱形区域外（磁场存在区 域外）激发的感生电场为
麦克斯韦大胆提出假设：变化的磁 场在其周围空间会激发电场，即感 生电场。感生电场力就是产生感生 电动势的非静电力。
感生电场不同于静电场。静电场由 静止电荷产生，而感生电场是由变 化的磁场激发 (详细讨论见后面) 感生电场的电场强度为 Ek ， 则电荷 q 所受的感生电场力 F qEk 回路 L 中的感生电动势
dΦ
dt
事实上，计算动生电动势和感生电动势并不要求导体 必须形成闭合回路，但用法拉第定律时必须要求导体 形成闭合回路才可计算（可做辅助线形成回路）
三、感生电场
比较感生电动势的两种观点（磁通量变化、非静电力
做功）得到闭合回路 L 上感生电场的环路定理
S 为以 L 为边界的任意曲面， 其法线方向与回路 L 绕行方向 成右手螺旋关系
29.感生电动势
b
a
c
b
B
o R h r
a
r
R
E内
E外
dl b dl
l
c
2R
R 2 r h (l ) 2 3 h h R cos 2 r
2 2
感
h dB 2 dt d l 0
0 I 0 a xb b dx [ sin t ln cost ] 2 x ( x b) x dt 0 I 0 a xb bv [ sin t ln cost ] 2 x ( x b) x
第一项： 感 第二项：
动
小结：
动生电动势 下一讲
电荷堆积，从而建立起静电场 .
F静 qE静
F感 qE感
由于 E感 作用在导体 AB 中建立起静电场。
dB dt
0 B
A
B
E感
4. 感生电场存在的实验验证 电子感应加速器(医疗，工业探伤，中低能粒子物 理实验)，涡流(冶金)……
B
感
E感 2r
E
E感
L
E感 dl
700 1 111(Vm ) 2r 2 3.14 1
讨论
动 , 感
同时存在的情况 .
例：P. 342 11- 8
B
r
c
a
dB 已知： B , k 0 dt
o
v
30
aob 60 . r . v
动生电动势与感生电动势
【解】由于金属棒处在通电导线的非均匀磁场中，因此必
须将金属棒分成很多长度元dx，规定其方向由A指向B。这样 在每一dx处的磁场可以看作是均匀的，其磁感应强度的大小为
B 0I
2x
根据动生电动势的公式可知，dx小段上的动生电动势为
d动
(v
B)
dl
Bv
cos
dx
0I
2x
vdx
由于所有长度元上产生的动生电动势的方向都相同，所以金
d
dt
d dt
S
B
dS
又根据电动势的定义可得
L EK dl
式中，EK为感生电场的电场强度。感生电场的电场强度是 非静电性场强。
则有
L EK
dl
d dt
B dS B dS
s
s t
dB
s
S t
若闭合回路是静止的，即所包围面积S不随时间变化，即
S 0 ，则上式可写成
t
B L EK dl s t dS
性场强为
Ek
fL (e)
vB
根据电动势的定义可得，动生电动势为
a
动
L Ek
dl
(v B) dl
b
上式是动生电动势的一般表达式。由上式可知，动生电动势
的方向是非静电性场强 Ek v B 在运动导线上投影的指向。
【例9-2】如下图所示，长直导线 中通有电流I＝10A，有一长l＝0.1m的 金属棒AB，以v＝4m·s-2的速度平行于 长直导线作匀速运动，棒离导线较近的 一端到导线的距离a＝0.1m，求金属棒 中的动生电动势。
1861年，英国物理学家麦克斯韦提出感生电场的假设，认为 由于磁场变化而产生一种电场，是这个电场使导体中自由电子作 定向运动而形成电流。麦克斯韦还认为，即使没有导体，这种电 场同样存在。这种由变化磁场激发的电场称为感生电场。
感生电动势
感生电动势一、感生电动势当一个相对静止的导体闭合回路处于随时间变化的磁场中时，穿过导体闭合回路的磁通量也会发生变化，导体中产生感应电动势，称为感生电动势。
二、感生电场1、麦克斯韦假设相对静止的导体闭合回路因磁场变化能产生感生电动势，这说明回路中的电荷由于磁场的变化受到了某种力的作用。
电荷受力的作用分为两种，一种是静电场所施的库仑力，另一种是施于运动电荷的洛仑兹力。
然而，在产生感生电动势的过程中，即没有静电场也没有电荷的运动。
因此，感应电动势的非静既不是静电场的静电力，也不是洛仑兹力，我们用以前学过的知识已无法解释感生电动势的微观机制。
为了解释感生电动势非静电力的起源，英国科学家麦克斯韦提出一个假设：变化磁场在其周围空间会激发一种电场，这种电场称为感生电场或涡旋电场。
这种电场不管空间有无导体或导体回路，不管是介质还是真空它都存在。
这种感生电场对导体中电荷的作用力就是构成感应电动势的非静电力。
麦克斯韦的这一假设已被许多实验所证实。
2、感生电场的性质电场从起源上分为两种：一种是由电荷激发的静电场（库仑电场），用表示；另一种是由变化磁场激发的感生电场，用表示。
这两种电场有一个共同的特点，即对处于电场中的电荷有作用力。
但感生电场的电场力不同于库仑电场的电场力，它是一种非静电力。
如果在感生电场中放入导体，则导体中的在感生电场力的作用下将发生定向运动，在导体中形成电动势；如果导体构成闭合回路，就产生感应电流。
因此，感生电动势的非静电力就是感生电场力，它是形成感生电动势的起因和本质。
根据定义，感生电动势等于感生电场沿某一闭合曲线的线积分，即根据法拉第电磁感应定律，有其中是穿过闭合曲线所包围曲面上的磁通量，即则由于和静止不动，故上式右边对曲面的积分和对时间的积分次序可以互换，因而有感生电场沿的积分方向就是感生电动势是正方向，它与回路法线矢量构成右手螺旋关系。
一般情况下，空间可能既存在电荷，又存在变化的磁场，因而它们激发的两种电场也就可能同时存在。
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E涡
B t
5
9-3 感生电动势 B 线圈在磁场中不动 B
B 若 0， t 则Er 沿顺时针方向。
方 向 说 明
Er 的方向就是感生电动势 的方向。 一般地，感生电场或感生电动势的方 向直接用楞次定律判断。
B 若 0， t 则Er 沿逆时针方向。
E感 只有以螺线管轴线为中心的圆周切向分量
B r R L
12
9-3
感生电动势
感生电场线是在垂直于轴线平面内， 以轴线为中心的一系列同心圆。 作如图环路
B r d d 2 E dl ( B S ) ( B r ) l 涡 R L dt dt
Байду номын сангаас
rR
9-3
感生电动势
dB 2 R E d l 涡 L dt dB 2 E涡 2r R dt
B
S S
L
R
r
B t
R 2 dB E涡 2r d t
方向：逆时针方向
15
E涡
9-3
感生电动势
E涡
R 2 dB 2r d t
rR rR
6
B ε E感 dl dS L s t
9-3
感生电动势
上式表明感生电场的环流不等于0，说 明感生电场是有旋场。 感生电场的性质和稳恒电流的磁场的 性质十分相似。 如果说，电流是磁场的涡旋中心，那么 变化的磁场就是感生电场的涡旋中心。 感生电场的电力线类似于磁力线，是无 头无尾的闭合曲线，呈涡旋状，所以称之为 涡旋电场。 感生电场也是无源场。
d l E涡 dl dt
解： r R
L
B t
dB 2 E涡 2r r dt 方向：逆时针方向 r dB E涡 2 dt
13
讨论
9-3
感生电动势
B t
负号表示 E 涡 与 dB dt 反号 (1) B
O
注意： (1) 只要有变化磁场，整个空间 就存在感生电场 dB 0但 E感 0 r R 处 B 0, dt (2) 求感生电场分布是一个复杂问题，只要求本题 这种简单情况。
感生电动势 非静电力 由电动势的定义
感生电场力
i E涡 dl
L
2
9-3
感生电动势
由电动势的定义
i E涡 dl
L
结合法拉第电磁感应定律
dΦ i dt
dΦ Ε涡 dl dt L
d ( Β dS ) dt S
L的积分方向成右手螺旋关系 方向说明：式中的负号是楞 次定律的数学表示。
S
S
L
4
B dS 3） L E涡 dl S t B 是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率 t 不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率
9-3
感生电动势
4） E 涡
E涡
B 与 构成左旋关系。 t
1 E dS ε0
感生电场为有旋场 为非保守场 dφm εi E感 dl dt 感生电场为无源场
电 场 的 性 质
q
E感 dS 0
9
9-3
i v B dl
特 点 磁场不变，闭合电路 的整体或局部在磁场 中运动导致回路中磁 通量的变化 由于S的变化引起 回路中 m变化
11
9-3
感生电动势
3、感生电场的计算
d l E涡 dl dt
例1 局限于半径 R 的圆柱形空间内分布有均 匀磁场， 方向如图。磁场的变化率 B t 0 求：圆柱内、外的 E涡 分布。 B t
感生电场线是在垂直于轴线平 面内，以轴线为中心的一系列 同心圆。
B dS t
3
Ε涡 dl
L
S
讨论
B L E涡 dl S t dS
9-3
感生电动势
1） 此式反映变化磁场和感生电场的相互关 系， 即感生电场是由变化的磁场产生的。 2） S 是以 L 为边界的任一曲面。
S 的法线方向应选得与曲线
7
感 生 电 场 线
9-3
感生电动势
B t
0
8
2. 感生电场与静电场的区别 静电场 E 起源
电 力 线 形 状
9-3
感生电动势 感生电场 E感
由静止电荷激发 电力线为非闭合曲线
由变化的磁场激发 电力线为闭合曲线 dB 0 E感
dt
静电场为无旋场 为保守场 E dl 0 静电场为有源场
动生电动势
感生电动势 感生电动势 B i E涡 dl dS S t 闭合回路的任何部分 都不动，空间磁场发 生变化导致回路中磁 通量变化
原 因 非静 电力
由于 B的变化引起
回路中 m变化
感生电场力
洛仑兹力
10
9-3
感生电动势
感生电场的计算 感生电场的计算，一般是比较困难的。 在大多数情况下，由磁场的变化求感生电场， 会遇到许多数学上的困难。感生电场必须具有 某种对称性，才有可能算出其场强。 下面仅就一种情况，来说明其计算方法。
r dB E涡 2 dt
则 dB d t 0
B r R L E涡 0
E涡与 L 积分方向切向同向 (2) B
则 dB d t 0 E涡 0 E涡与 L 积分方向切向相反
14
B L E涡 dl S t dS dB 2 B R dS S t dt
9-3
感生电动势
一、感生电动势和感生电场
1、感生电动势 由于磁场发生变化 而激发的电动势 电 磁 感 应
S N G
动生电动势 非静电力 洛仑兹力 感生电动势 非静电力
?
1
9-3
感生电动势
2、 麦克斯韦假设：
变化的磁场在其周围空间会激发一种涡旋状 的电场，称为涡旋电场或感生电场。记作E 涡 或 E感