函数的奇偶性和周期性练习题[1]
函数的奇偶性与周期性精选习题(含解析)
1 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7B ．-9C ．-11D ．-132．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0B ．1C ．2D ．43．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-26．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与2 / 9(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ）A ．2020B ．2019C ．1010D ．10097．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A．B．)2C．2⎤⎦D．2⎤⎦二、填空题8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．3 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题解析一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7 B ．-9C ．-11D ．-13【答案】C【解析】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11． 故选C ．2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】对()f x 整理得，()22cos 21sin 21211x x f x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪++⎝⎭ 而易知2sin 2,1xy x y x ==+都是奇函数， 则可设()()21sin 21g x f x x xx =-++=，可得()g x 为奇函数，即()g x 关于点()0,0对称所以可知()()1f x g x =+关于点()0,1对称，所以()f x 的最大值和最小值也关于点()0,1，因此它们的和为2. 故选C 项.3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）4 / 9A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+， 所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A【解析】Q ()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又Q (2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5 / 9又1111023--<-<-≤Q …，且函数在区间[1,0)-上是增函数， 11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】C【解析】由()()53f x f x +=-，得()()8f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[)0,4x ∈时，()()2log 2f x x =+，所以()()()76696822f f f =⨯-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数所以()()222log 42f f -===.故选C 。
函数的单调性奇偶性与周期性知识点与试题
函数的性质知识要点一、 函数的奇偶性1．定义：如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=－fx,则称fx 为奇函数；如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=fx,则称fx 为偶函数;如果函数fx 不具有上述性质,则fx 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则fx 既是奇函数,又是偶函数;注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则－x 也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称; 2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定f －x 与fx 的关系；3 作出相应结论：若f －x = fx 或 f －x －fx = 0,则fx 是偶函数；若f －x =－fx 或 f －x ＋fx = 0,)0)((1)()(0)()()()(≠±=-⇔=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 则fx 是奇函数; 3．简单性质：1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；2设fx,gx 的定义域分别是D1,D2那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇3任意一个定义域关于原点对称的函数()f x 均可写成一个奇函数()g x 与一个 偶函数()h x 和的形式,则()()()()(),()22f x f x f x f xg xh x --+-==;4． 奇偶函数图象的对称性1若)(x a f y +=是偶函数,则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；2若)(x b f y +=是奇函数,则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：1 函数()x x f x a a -=+ 是偶函数,函数()x x f x a a -=- 是奇函数；2函数221()(01x x x x xx a a a f x a a a a ----==>++ 且1)a ≠是奇函数； 3函数1()log 1axf x x-=+ (0a > 且1)a ≠是奇函数； 4函数()log (a f x x =+ (0a > 且1)a ≠是奇函数;二、函数的单调性1．定义：一般地,设函数y =fx 的定义域为I, 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有fx 1<fx 2fx 1>fx 2,那么就说fx 在区间D 上是增函数减函数； 注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质； 2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1,x2；当x1<x2时,总有fx1<fx2 3函数单调性的两个等价形式：1212()()0(0)()f x f x f x x x >><⇔-在给定区间上单调递增递减；[]1212()()()0(0)()x x f x f x f x ->><⇔在给定区间上单调递增递减;2．如果函数y=fx 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=fx 在这一区间具有严格的单调性,区间D 叫做y=fx 的单调区间;3．设复合函数y= fgx,其中u=gx , A 是y= fgx 定义域的某个区间,B 是映射g : x→u=gx 的象集：①若u=gx 在 A 上是增或减函数,y= fu 在B 上也是增或减函数,则函数y= fgx 在A 上是增函数；②若u=gx 在A 上是增或减函数,而y= fu 在B 上是减或增函数,则函数y= fgx 在A 上是减函数,简称“同增异减”; 4．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1 任取x1,x2∈D,且x1<x2；2作差fx1－fx2；3变形通常是因式分解和配方； 4定号即判断差fx1－fx2的正负；5 下结论指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性; 5．简单性质1奇函数在其对称区间上的单调性相同； 2偶函数在其对称区间上的单调性相反；3在公共定义域内：增函数fx+增函数gx 是增函数；减函数fx+减函数gx 是减函数；增函数fx-减函数gx 是增函数；减函数fx-增函数gx 是减函数; 三、函数的最值1．定义：最大值：一般地,设函数y=fx 的定义域为I,如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I,都有fx≤M ；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最大值;最小值：一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有fx≥M；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最小值;注意：1函数最大小首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得fx0 = M；2函数最大小应该是所有函数值中最大小的,即对于任意的x∈I,都有fx≤Mfx≥M;2．利用函数单调性的判断函数的最大小值的方法：1利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值；2利用图象求函数的最大小值；3 利用函数单调性的判断函数的最大小值：如果函数y=fx在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=fx在x=b处有最大值fb; 如果函数y=fx在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=fx 在x=b处有最小值fb；函数的单调性A组1．下列函数fx中,满足“对任意x1,x2∈0,＋∞,当x1<x2时,都有fx1>fx2”的是________．①fx＝错误!②fx＝x－12③fx＝e x④fx＝ln x＋12．函数fxx∈R的图象如右图所示,则函数gx＝f log a x0<a<1的单调减区间是________．3．函数y＝错误!＋错误!的值域是________．4．已知函数fx＝|e x＋错误!|a∈R在区间0,1上单调递增,则实数a的取值范围是________．5．如果对于函数fx定义域内任意的x,都有fx≥MM为常数,称M为fx的下界,下界M中的最大值叫做fx的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________．①fx＝sin x；②fx＝lg x；③fx＝e x；④fx＝错误!6．已知函数fx＝x2,gx＝x－1.1若存在x∈R使fx<b·gx,求实数b的取值范围；2设Fx＝fx－mgx＋1－m－m2,且|Fx|在0,1上单调递增,求实数m的取值范围.B组1．下列函数中,单调增区间是－∞,0的是________．①y＝－错误!②y＝－x－1③y＝x2－2④y＝－|x|2．若函数fx＝log2x2－ax＋3a在区间2,＋∞上是增函数,则实数a的取值范围是________．3．若函数fx＝x＋错误!a>0在错误!,＋∞上是单调增函数,则实数a的取值范围是________．4．定义在R上的偶函数fx,对任意x1,x2∈0,＋∞x1≠x2,有错误!<0,则下列结论正确的是________．①f3<f－2<f1②f1<f－2<f3 ③f－2<f1<f3④f3<f1<f－25．已知函数fx＝错误!满足对任意x1≠x2,都有错误!<0成立,则a的取值范围是________．6．函数fx的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为1,2,点B的坐标为3,0,定义函数gx＝fx·x－1,则函数gx的最大值为________．7．已知定义域在－1,1上的函数y＝fx的值域为－2,0,则函数y＝f cos错误!的值域是________．8．已知fx＝log3x＋2,x∈1,9,则函数y＝fx2＋fx2的最大值是________．9．若函数fx＝log a2x2＋xa>0,a≠1在区间0,错误!内恒有fx>0,则fx的单调递增区间为__________．10．试讨论函数y＝2log错误!x2－2log错误!x＋1的单调性．11．已知定义在区间0,＋∞上的函数fx满足f错误!＝fx1－fx2,且当x>1时,fx<0.1求f1的值；2判断fx的单调性；3若f3＝－1,解不等式f|x|<－2.12．已知：fx＝log3错误!,x∈0,＋∞,是否存在实数a,b,使fx同时满足下列三个条件：1在0,1上是减函数,2在1,＋∞上是增函数,3fx的最小值是1.若存在,求出a、b；若不存在,说明理由．函数的性质A组1．设偶函数fx＝log a|x－b|在－∞,0上单调递增,则fa＋1与fb＋2的大小关系为________．2．定义在R上的函数fx既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f1＋f4＋f7等于________．3．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数,则f－25、f11、f80的大小关系为________．4．已知偶函数fx在区间0,＋∞上单调增加,则满足f2x－1<f错误!的x取值范围是________．5．已知定义在R上的函数fx是偶函数,对x∈R,f2＋x＝f2－x,当f－3＝－2时,f2011的值为________．6．已知函数y＝fx是定义在R上的周期函数,周期T＝5,函数y＝fx－1≤x≤1是奇函数,又知y＝fx在0,1上是一次函数,在1,4上是二次函数,且在x＝2时函数取得最小值－5.1证明：f1＋f4＝0；2求y＝fx,x∈1,4的解析式；3求y＝fx在4,9上的解析式．B组1．函数fx的定义域为R,若fx＋1与fx－1都是奇函数,则下列结论正确的是________．①fx是偶函数②fx是奇函数③fx＝fx＋2 ④fx＋3是奇函数2．已知定义在R上的函数fx满足fx＝－fx＋错误!,且f－2＝f－1＝－1,f0＝2,f1＋f2＋…＋f2009＋f2010＝________.3．已知fx是定义在R上的奇函数,且f1＝1,若将fx的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f1＋f2＋f3＋…＋f2010＝________.4．已知函数fx是R上的偶函数,且在0,＋∞上有f′x>0,若f－1＝0,那么关于x的不等式xfx<0的解集是________．5．已知函数fx是－∞,＋∞上的偶函数,若对于x≥0,都有fx＋2＝fx,且当x∈0,2时,fx＝log2x＋1,则f－2009＋f2010的值为________．6．已知函数fx是偶函数,并且对于定义域内任意的x,满足fx＋2＝－错误!,若当2<x<3时,fx＝x,则f＝________.7．定义在R上的函数fx在－∞,a上是增函数,函数y＝fx＋a是偶函数,当x1<a,x2>a,且|x1－a|<|x2－a|时,则f2a －x1与fx2的大小关系为________．8．已知函数fx为R上的奇函数,当x≥0时,fx＝xx＋1．若fa＝－2,则实数a＝________.9．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数．若方程fx＝mm＞0在区间－8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝________.10．已知fx是R上的奇函数,且当x∈－∞,0时,fx＝－x lg2－x,求fx的解析式．11．已知函数fx,当x,y∈R时,恒有fx＋y＝fx＋fy．1求证：fx是奇函数；2如果x∈R＋,fx<0,并且f1＝－错误!,试求fx在区间－2,6上的最值．12．已知函数fx 的定义域为R,且满足fx ＋2＝－fx ．1求证：fx 是周期函数；2若fx 为奇函数,且当0≤x ≤1时,fx ＝错误!x ,求使fx ＝－错误!在0,2010上的所有x 的个数．例题1、函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是______________．例题2、1函数()142-+=x x x x f 是A 、是偶函数但不是奇函数B 、是奇函数但不是偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数也不是偶函数2.设(32()log f x x x =+,则对任意实数,a b ,0a b +≥是()()0f a f b +≥的A 、充分必要条件B 、充分而不必要条件C 、必要而不充分条件D 、既不充分也不必要条件3已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩,则x y +=_____．4已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-x ∈R,且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有A 、2个B 、3个C 、4个D 、无数个例题3、2004复旦若存在M,使任意t D ∈D 为函数()f x 的定义域,都有()f x M ≤,则称函数()f x 有界.问函数11()sin f x x x=在1(0,)2x ∈上是否有界例题4、设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=,其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立,求a 的取值范围．课后精练1． 已知)13(log 21)(3+-=x abx x f 为偶函数,x x ba x g 22)(++=为奇函数,其中b a ,为复数, 则∑=+10001)(k k k b a 的值是______1-________.2． 函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于21e+;解：)|4sin(|2|cos sin |2sin 2sin )(π+++=+=x x x e x ex x f ,从而当4π=x 时取最大值21e +,当4π-=x 时取最小值0,从而最大值与最小值之差等于21e +3．函数[)。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-3函数的奇偶性与周期性-教师版
专题3.3函数的奇偶性与周期性练基础1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数()(0)f x kx b k =+≠，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】化简“(0)0f =”和“函数()f x 为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】(0)0f =，所以0b =，函数()f x 为奇函数，所以()()0f x kx b f x kx b -=-+=-=--=，所以0b =.所以“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C2．（2021·福建高三三模）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()1xf x x =-B ．()1x f x x=-C ．()21x f x x =-D ．()21x f x x =-【答案】C 【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案解：由图可知，当(0,1)x ∈时，()0f x <，取12x =，则对于B ，112(101212f ==>-，所以排除B ，对于D ，1122()012314f ==>-，所以排除D ，当0x >时，对于A ，()1111x f x x x ==+--，此函数是由1y x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x >时，()1f x >恒成立，而图中，当1x >时，()f x 可以小于1，所以排除A,故选：C3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（）A．y =B ．1y x x=+C ．xx y ee =-﹣D ．2log y x=【答案】C 【解析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.【详解】A.函数y =的定义域是[0,)+∞，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.1y x x=+在()0,1上单调递减，故错误；C.因为()()()xx x x f x ee e ef x --=---=-=﹣，所以函数是奇函数，且在()0,1上单调递增，正确；D.因为()()22log =log f x x x f x -=-=，所以函数是偶函数，故错误；故选：C ．4．（2021·湖南高三月考）定义函数1,()1,x D x x ⎧=⎨-⎩为有理数，为无理数，则下列命题中正确的是（）A ．()D x 不是周期函数B ．()D x 是奇函数C ．()yD x =的图象存在对称轴D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期【答案】C 【解析】当m 为有理数时恒有()()D x m D x +=，所以()D x 是周期函数，且无最小正周期，又因为无论x 是有理数还是无理数总有()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称．当m 为有理数时，()1,1,x D x m x ⎧+=⎨-⎩为有理数为无理数，()()D x m D x ∴+=，∴任何一个有理数m 都是()D x 的周期，()D x ∴是周期函数，且无最小正周期，∴选项A ，D 错误，若x 为有理数，则x -也为有理数，()()D x D x ∴=-，若x 为无理数，则x -也为无理数，()()D x D x ∴=-，综上，总有()()D x D x -=，∴函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称，∴选项B 错误，选项C 正确，故选：C5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD 【解析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-= ，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数,则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值是（）A ．0B ．12C ．712D ．1【答案】BC 【解析】根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．．【详解】由题意1213x -<，解得1233x <<，只有BC 满足．故选：BC ．7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【解析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+，所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确；因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误.故选：BD.8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对x R ∀∈，()()0f x f x +-=”的函数()f x =___________.【答案】3x （答案不唯一）【解析】分析可知函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，由此可得结果.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，可取()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.9．（2021·全国高三二模（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，且其图象关于点()2,0对称，若()11f =，则()2021f =__________．【答案】1【解析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而()2021(1)1f f ==.【详解】函数关于点()2,0对称，则()(4)f x f x =--，又()y f x =为R 上的奇函数，则()(4)(4)f x f x f x =--=-，因此函数的周期为4，因此()2021(1)1f f ==.故答案为：1.10．（2021·上海高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=___________．【答案】32-【解析】通过计算(1)(1)g g +-可得．【详解】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=，即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-．故答案为：32-．练提升1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间【答案】C 【解析】通过举例说明选项ABD 错误；对于选项C 可以证明判断得解.【详解】定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，∴()f x 的图象既有对称中心又有对称轴，但()f x 不一定具有奇偶性，例如()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数，故选项A 错误；由()()11f x f x -=-，可得函数()f x 图象关于0x =对称，故选项B 错误；由()0f x =时，()f x 不存在单调递增区间，故选项D 错误；由已知设()f x 图象的一条对称抽为直线x a =，一个对称中心为(),0b ，且a b ¹，∴()()2f a x f x +=-，()()2f x f b x -=-+，∴()()22f a x f b x +=-+，∴()()()2222f a x b f b x b f x +-=-+-=-，∴()()()()442222f x a b f b x b f x a b f x +-=-+-=-+-=，∴()f x 的一个周期()4T a b =-，故选项C 正确.故选：C2．（2021·天津高三二模）已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得331log log 9.1210->>，根据指数函数单调性可知0.822<；利用()f x 为减函数可知()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，结合()f x 为奇函数可得大小关系.【详解】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>= ，0.822<即：0.8331log log 9.1210->>又()f x 是定义在R 上的减函数()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>.故选：B.3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A 【解析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22xx a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22xxf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．4．（2021·上海高三二模）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y fx -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∴|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确；对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x -+=，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f £=，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()1|2|f x x =--，则下列选项正确的是（）A ．()f x 在(3,2)--上为减函数B ．()f x 在(3,2)--上()0f x <C ．()f x 在(3,2)--上为增函数D ．()f x 在(3,2)--上()0f x >【答案】CD 【解析】根据题意，分析可得(4)()f x f x +=，结合函数的解析式可得当(3,2)x ∈--时函数的解析式，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数(1)f x +为奇函数，则有(1)(1)f x f x +=--+，即(2)()f x f x +=--，又由()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有(2)()f x f x +=-，即有(4)()f x f x +=，当[1x ∈，2]时，()1|2|1f x x x =--=-，若(3,2)x ∈--，则4(1,2)x +∈，则(4)(4)13f x x x +=+-=+，则当(3,2)x ∈--时，有()3f x x =+，则()f x 为增函数且()(3)0f x f >-=；故()f x 在(3,2)--上为增函数，且()0f x >；故选：CD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()0f x f x +-=成立，m R ∈，则下列的点一定在函数()y f x =图象上的是（）A ．(0,0)B ．(,())m f m --C ．(,())m f m --D ．(,())m f m -【答案】ABC 【解析】根据任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，得到()f x 是奇函数判断.【详解】因为任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，所以()f x 是奇函数，又x ∈R ，所以令0x =，则(0)(0)f f -=-，得(0)0f =，所以点(0,0)，且点(,())m f m --与(,())m f m --也一定在()y f x =的图象上，故选：ABC ．7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()(1)f x x x =-+C ．不等式()0f x <的解集是(0,1)D ．12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()1212f x f x -≤【答案】BCD 【解析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．【详解】对A ，当0x >时，由()(1)0f x x x =-=得1x =，又因为()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，所以()()()00,110f f f =-=-=，故函数()y f x =有3个零点，则A 错；对B ，设0x <，则0x ->，则()()()()11f x f x x x x x =--=----=-+⎡⎤⎣⎦，则B 对；对C ，当01x <≤时，由()(1)0f x x x =-<，得01x <<；当10x -≤≤时，由()(1)0f x x x =-+<，得x 无解；则C 对；对D ，12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()()()12max min 1111122442f x f x f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则D 对．故选：BCD ．8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =【答案】AC 【解析】根据[]x 定义将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.【详解】由题意可知[]1,210,1011,012,12x x x x x --≤<-⎧⎪-≤<⎪⎪+=≤<⎨⎪≤<⎪⎪⎩，()[]1,21,1011,012,12x x x x f x x x x x x x ---≤<-⎧⎪--≤<⎪⎪∴=+-=-≤<⎨⎪-≤<⎪⎪⎩，可画出函数图像，如图：可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(]0,1，在()0,1上单调递减，故选项AC 正确，B 错误；对于D ，取1x =-()11f -=，则()11f -=⎡⎤⎣⎦，故D 错误.故选：AC ．9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数()f x 满足以下条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数；④()f x 恰有2个零点.则函数()f x 的解析式可以是（）A ．2()2f x x x =-B ．()ln 1f x x =-C ．2()1f x x x =-++D ．()2xf x e =-【答案】CD 【解析】利用函数图象变换画出选项A ，B ，C ，D 对应的函数图象，逐一分析即可求解.【详解】解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但()ln 1f x x =-的定义域为{}0x x R ≠≠，所以选项B 错误；函数2()2f x x x =-的定义域是R ，在(),1-∞-，()0,1单调递减，在()1,0-，()1,+∞单调递增，但()()()2020f f f -===有3个零点，选项A 错误；函数2()1f x x x =-++的定义域是R ，当()0,x ∈+∞时，2()1f x x x =-++的图象对称轴为12x =，其图象是开口向下的抛物线，故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，由图得()f x 恰有2个零点，选项C 正确；函数()2xf x e =-的定义域是R ，在(),ln 2-∞-，()0,ln 2单调递减，在()ln 2,0-，()ln 2,+∞单调递增，且()()ln 2ln 20f f -==有2个零点，选项D 正确.故选：CD.10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在R 上的函数()f x 满足()2()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()3x g x =的图象的交点个数为___________.【答案】7由题设可知()f x 的周期为2，结合已知区间的解析式及()3x g x =，可得两函数图象，即知图象交点个数.【详解】由题意知：()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∴()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 共有7个交点，故答案为：7.【点睛】结论点睛：()()f m x f x +=有()f x 的周期为||m .练真题1.（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）A．B．C．D．【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B．是奇函数，且在11(,22-单调递减C．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·海南省高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A．[)1,1][3,-+∞ B．3,1][,[01]-- C．[1,0][1,)-⋃+∞D．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.4.（2018年理全国卷II）已知op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，满足o1−p =o1+p ．若o1)=2，则o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=()A.−50B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，且o1−p =o1+p ，所以o1+p =−o −1)∴o3+p =−o +1)=o −1)∴=4,因此o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=12[o1)+o2)+o3)+o4)]+o1)+o2)，因为o3)=−o1)，o4)=−o2)，所以o1)+o2)+o3)+o4)=0，∵o2)=o −2)=−o2)∴o2)=0，从而o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=o1)=2，选C.5.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222log 422---->==>>∴>> ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C．6.（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e-=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．。
函数的奇偶性与周期性典型例题
函数的奇偶性和周期性
例1、 已知为定义在上的奇函数，当时，，求的
表达式.
思路点拨：().00上，这是解题的关键的解析式转化到时将<>x x f x 解：∵
为奇函数，且在处有定义0=x ∴ 当 时， ∵
为奇函数 ∴
∴ ∴()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧<--=>-=000022x x x x x x x x f
解题回顾：若一个函数具有奇偶性，则不论这个函数是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于原点对称。
如果一个函数定义域不关于原点对称，那么它就失去了奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数又不是偶函数。
变式：已知为定义在上的偶函数，当0≤x 时，，求的
表达式.
例2、 已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有
()()x f x f =+4，若()263=f ，求()()75f f 与的大小关系 思路点拨：解此题的关键由()()x f x f =+4知函数的周期是4. 解：对一切x R ∈，总有f （x+4）=f （x ），故函数)(x f 是周期为4的函数，因此，,2)1(=-f 又函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以，.2)7(,2)5(,2)1(=-=∴-=f f f )7()5(f f <∴。
变式1、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有()()x f x f -=+2，若()263=f ，则()()75f f 与的大小关系是
变式2、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有()()
x f x f 12=+，若()263=f ，求()()75f f 与的大小关系。
函数奇偶性与周期综合训练含详解
B．当 x 4,5 时， f x 2x 52
C．当 x 2,3 时， f x 单调递减
D．a 的取值范围是 0,
2 2
9．已知 f x 是定义域为 (, ) 的奇函数， f x 1是偶函数，且当 x 0,1 时，
f x x x 2 ，则（ ）
A． f x 是周期为 2 的函数
五、解答题 20．设 f (x) 是定义在实数集 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足 f (x 2) f (x) ，当 x [0, 2]时， f ( x) 2x x2 .
（1）求证： f (x) 是周期函数； （2）当 x [2, 4] 时，求 f (x) 的解析式； （3）计算： f (0) f (1) f (2) f (2021) .
试卷第 2页，总 3页
17．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f x 2 f x ，则T ________，当
0 x 1时 f (x) x(x 1) ，则 f 4 f 5 等于________.
18．定义在 R 上的奇函数 f (x) 又是周期为 4 的周期函数，已知在区间[2, 0) (0, 2] 上，
15．设函数 f x 的定义域为 R， f x 1为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1, 2 时，
f
(x)
ax 2
b
.若
f
0
f
3
6 ，则
f
13 3
_________.
四、双空题 16．已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数，并且是周期为 3 的周期函数，若 f (1)=2 ，则 f (2)= ________； f (2019)= ________.
8．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 0 ， f x 2 f x 0 ，且当
高一函数的奇偶性和周期性知识点+例题+练习 含答案
1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数.关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)1．(2015·福建改编)下列函数中，①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e x－e－x为奇函数的是________．(填函数序号)答案 ④解析 对于④，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 0解析 由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 3．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为______________． 答案 c ＜a ＜b解析 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0， 所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0， 所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)．4．(2014·天津)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2， －1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f (32)＝________.答案 1解析 函数的周期是2， 所以f (32)＝f (32－2)＝f (－12)，根据题意得f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.解 (1)定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f (－x )＝－f (x )．∴函数为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)下列四个函数：①f (x )＝－x |x |；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝ln xx，同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的是________．(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )分别是______________(填奇偶性)． 答案 (1)① (2)偶函数，奇函数解析 (1)①中，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x >0，x 2，x ≤0，由函数性质可知符合题中条件，故①正确；②中，对于比较熟悉的函数f (x )＝x 3可知不符合题意，故②不正确；③中，f (x )＝sin x 在定义域内不具有单调性，故②不正确；④中，定义域关于原点不对称，故④不正确． (2)F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x ) ＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．题型二 函数的周期性例2 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______.答案 (1)－1 (2)2.5解析 (1)因为f (x )是周期为3的周期函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， ②若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ，③若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝____________. 答案 12解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π， 又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0， 即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.题型三 函数性质的综合应用命题点1 函数奇偶性的应用例3 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)1 (2)1解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合例4 (1)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为________．(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是__________________． 答案 (1)(－1,4) (2)f (－25)<f (80)<f (11)解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.(2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)， f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)． 由f (x )是定义在R 上的奇函数， 且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数， f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln1＋e 3xe 3x ＋e 6x＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ， 解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误． 解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k，∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ).由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)． 答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性． 3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． [失误与防范]1．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列函数中，①y ＝log 2|x |；②y ＝cos 2x ；③y ＝2x －2－x 2；④y ＝log 22－x 2＋x ，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是________． 答案 ①解析 对于①，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于②，函数y ＝cos 2x在区间(1,2)上不是增函数；对于③，函数y ＝2x －2－x 2不是偶函数；对于④，函数y ＝log 22－x2＋x 不是偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________． 答案 －4解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x －1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝3log 5(31)－－＝－4.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.4．若函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )为偶函数，且函数y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为________． 答案 1解析 ∵函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )＝ax 2＋(1－a 2)x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即f (－x )＝ax 2－(1－a 2)x －a ＝ax 2＋(1－a 2)x －a ， ∴1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝x 2－1，在x ∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1，在x ∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故a ＝1.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－2,1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________．答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)，∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3，∵⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.∴1<m <53. 12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋2 2，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.13．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案①②解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1，且f(x)是周期为2的周期函数．∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
函数的奇偶性、周期性与对称性专题训练
函数的奇偶性、周期性与对称性专题训练A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ．54 D ．32．函数y ＝log 21＋x1－x的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y ＝x 对称3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( )A ．12B ． 2C ．22 D ．14．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－35．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)二、填空题6．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋n ＝________.7.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．三、解答题9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 1－3x.(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x8.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)11．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 13＝( ) A ．13 B ．－13 C ．5 D ．812．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________.14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．函数的奇偶性、周期性与对称性专题训练答案A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ．54D ．3A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.] 2．函数y ＝log 21＋x1－x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x＝－f (x )， 所以函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( )A ．12B ． 2C ．22 D ．1B [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212＝2，故选B.]4．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B. 法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]，由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3，故选B.]5．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)C [法一：不等式可化为：⎩⎨⎧lg x ≥0，lg x ＜2或⎩⎨⎧lg x ＜0，－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1，所以x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100. 法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )＞f (2)可化为|lg x |＜2，即－2＜lg x ＜2，解得1100＜x ＜100，故选C.] 二、填空题6．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋n ＝________.0 [因为奇函数的定义域关于原点对称，所以n ＋n ＋6＝0，所以n ＝－3， 又f (0)＝m －3＝0.所以m ＝3，则m ＋n ＝0.]7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________. 1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 [∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)， ∴f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23.]三、解答题9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值． [解] (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是以3为周期的周期函数．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 1－3x.(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x8.[解] (1)f (x )是奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝－f (－x )＝－－x1－3－x＝x1－3－x. (2)f (x )＜－x 8，当x ＞0时，x 1－3x ＜－x8，所以11－3x ＜－18，所以13x －1＞18，所以3x －1＜8，解得x ＜2，所以x ∈(0,2)；当x ＜0时，x 1－3－x ＜－x 8，所以11－3－x＞－18，所以3－x ＞32，所以x ＜－2，所以原不等式的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)11．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A ．13B ．－13C ．5D ．8C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C.]12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) A [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0， 解得－1＜a ＜4.]13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________. f (1)＞g (0)＞g (－1) [在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x中， 用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 因此得－f (x )－g (x )＝2x . 联立方程组解得f (x )＝2－x －2x2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)＞g (0)＞g (－1)．]14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增． 结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。
周期与奇偶性典型练习
奇偶性、周期性练习题1、判断下列函数的奇偶性(1) f (x)=x 3+x (2) f (x)=3x 4+6x 2 +a(3) f (x)=3x+1 (4) f (x)=x 2，x ∈[- 4 , 4)，（5）1sin +=x y2、已知)(x f 是周期为4的偶函数，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，求)5.1(),5.6(-f f ，)5.5(f3、设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，0)()2(=++x f x f ，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 为4、在R 上定义的函数()x f 是奇函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ ）A.在区间[]2,3--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]2,3--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]2,3--上是减函数，区间[]1,0上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数5、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()1)(2=+x f x f ，若()15,f =-则()=-5f __________6、若偶函数()f x 在(,1)-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．3()(1)(2)2f f f -<-<； B ．3(1)()(2)2f f f -<-<；C ．3(2)(1)()2f f f <-<-；D ．3(2)()(1)2f f f <-<- 7、设函数)(x f (x ∈R)为奇函数，21)1(=f ，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f （ ） 8、设)x (f 是定义在R 上的奇函数，且)x (f y =的图象关于直线21x = 对称，则=++++)5(f )4(f )3(f )2(f )1(f .9、设函数)x (f y =是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已知]2,2[x -∈时，函数1x )x (f 2+-=，则]2,6[x --∈时，=)x (f .⒑定义在),(∞+∞-上的偶函数)x (f 满足)x (f )1x (f -=+，且在]0,1[-上是增函数，下面是关于)x (f 的判断：① )x (f 是周期函数；② )x (f 的图象关于直线1x =对称；③ )x (f 在]1,0[上是增函数；④ ).0(f )2(f =其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题
函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1．函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。
(5)运算性质①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．2．函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a>0)3．函数对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y ＝f(x)关于点(b,0)中心对称．经典选题一、判断题：判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选择题：1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()A．－13 B.13 C.12D．－12答案：B2．下列函数为奇函数的是()A．y＝2x－12x B．y＝x3sin xC．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x答案：A3．下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x答案：D4．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－ln|x |D ．y ＝2x答案：C5．(高考全国Ⅰ卷)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案：C6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )，当0＜x ＜12时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝( )A ．－ 2B ．－22C ．－1 D.22 答案：A7． 已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54 C.54 D ．3 答案：A8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，且在(0,1)上f (x )＝3x ，则f (log 354)＝( )A.32B.23 C ．－32 D ．－23 答案：C10．已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝( )A ．－94B ．－14 C.14 D.94 答案：D11． (理科)(2015·高考新课标卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案：A12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：A13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B14．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11) 答案：D三、填空题1． (2017·高考全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ ________ . 答案：122．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是 ________ .答案：(－1,0)∪(1，＋∞)3． (2015·高考全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ ________ .答案：14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝ ________ .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <05．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是 __________ .答案： {a |a ≥2或a ≤－2}。
(完整版)函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)
函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于 （ ）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是 （ ）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是 （ ） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的 是 （ ） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（ ）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。
函数的奇偶性与周期性试题(答案)
函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( )A ．f(x)＝x2＋xB ．f(x)＝tan xC ．f(x)＝x ＋sin xD ．f(x)＝lg 1－x1＋x2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f(x)g(x)是偶函数B ．|f(x)|g(x)是奇函数C ．f(x)|g(x)|是奇函数D ．|f(x)g(x)|是奇函数3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝( )x2＋x ＋1x2＋123A. B ．－ C. D ．－232343434．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．985．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a 2a －3a ＋1的取值范围是( )A ．a<－1或a≥B ．a<－1C ．－1<a≤D ．a≤232323二、填空题7．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.8．(2015·广州市调研)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)的值是________．9．(2015·嘉兴模拟)函数y ＝(x －2)|x|在[a,2]上的最小值为－1，则实数a 的取值范围为________．10．(文科)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x∈R 恒有f(x ＋1)＝f(x －1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x ，则(12)①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝x －3.(12)其中所有正确命题的序号是________．10．(理科)(2015·丽水模拟)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.三、解答题11．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x)＝(0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．x 12．已知函数f(x)＝Error!是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题1．解析：函数f(x)＝x2＋x 不是奇函数；函数f(x)＝tan x 的定义域不是R ；函数f(x)＝lg 的定义域是(－1,1)．故选C.1－x1＋x 答案：C2．解析：因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A 错；|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B 错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C 正确；|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即f(x)g(x)为偶函数，所以D 也错．答案：C3．解析：根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故x2＋x ＋1x2＋1x x2＋1xx2＋1f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝，故选C.2343答案：C4．解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)，又∵f(x)在R 上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)，而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.答案：A5．解析：f(x)的图象如图．当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)<0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．答案：C6．解析：函数f(x)为奇函数，则f(1)＝－f(－1)．由f(1)＝－f(－1)≥1，得f(－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f(－1)＝f(2)，由≤－1，解得－1<a≤.2a －3a ＋123答案：C 二、填空题7．解析：由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e3x ＋1)＋ax ，∴2ax＝－ln e3x ＝－3x ，∴a＝－.32答案：－328．解析：∵g(x)＝f(x)＋4，∴f(x)＝g(x)－4，又f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－g(1)＋4＝2.答案：29．解析：y ＝(x －2)|x|＝Error!函数的图象如图所示，当x<0时，由－x2＋2x ＝－1，得x ＝1－.2借助图形可知1－≤a≤1.2答案：[1－，1]210．解析：由已知条件：f(x ＋2)＝f(x)，则y ＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝1＋x ，(12)函数y ＝f(x)的图象如图所示：当3<x<4时，－1<x －4<0，f(x)＝f(x －4)＝x －3，因此②④正确．③不正确．(12)答案：①②④10．解析：∵f(x)为奇函数并且f(x －4)＝－f(x)．∴f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x －8)＝－f(x －4)＝f(x)，即y ＝f(x)的图象关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数．∵f(x)在[0,2]上是增函数，∴f(x)在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出y ＝f(x)的图象，其图象也关于x ＝－6对称，∴x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，∴x1＋x2＋x3＋x4＝－8.答案：－8三、解答题11．解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，有f(x ＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x ＋2)．又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x ＋2)＝－f(x)．从而f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．(2)解：由函数f(x)是定义在R 上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－.－x 故x∈[－1,0]时，f(x)＝－.－x x∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]，－x－4f(x)＝f(x＋4)＝－.－x－4从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－. 12．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．结合f(x)的图象知Error!所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．。
高中数学练习题附带解析三角函数的奇偶性与周期性
高中数学练习题附带解析三角函数的奇偶性与周期性随着数学的不断深入，三角函数已经成为高中数学中不可或缺的一部分。
但是，对于初学者来说，理解三角函数的奇偶性与周期性并不容易。
本文将为大家介绍一些练习题，并附带解析，帮助大家更好地掌握三角函数的奇偶性与周期性。
练习题 1求下列函数的奇偶性：$f(x) = \sin 2x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\sin (-x)=-\sin x$。
因此，当 $x$ 取遍全体实数时，$f(x)$ 是一个奇函数，即 $f(-x)=-f(x)$。
因此，$f(x)$ 是奇函数。
练习题 2求下列函数的奇偶性：$g(x) = \cos 3x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\cos (-x)=\cos x$。
因此，当 $x$ 取遍全体实数时，$g(x)$ 是一个偶函数，即 $g(-x)=g(x)$。
因此，$g(x)$ 是偶函数。
练习题 3求下列函数的周期：$h(x) = \sin 5x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\sin (x+2\pi)=\sin x$。
因此，当$x$ 取遍全体实数时，$h(x)$ 的周期是 $\dfrac{2\pi}{5}$。
即$h(x+2\pi/5)=h(x)$。
练习题 4求下列函数的周期：$k(x) = \cos \dfrac{x}{4}$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\cos (x+2\pi)=\cos x$。
因此，当$x$ 取遍全体实数时，$k(x)$ 的周期是 $8\pi$。
即 $k(x+8\pi)=k(x)$。
练习题 5求下列函数的周期：$m(x) = \sin x + \cos 2x$解析：对于任意实数 $x$，都有 $\sin (x+\pi)=-\sin x$，$\cos(x+\pi)=-\cos x$。
因此，当 $x$ 取遍全体实数时，$m(x)$ 的周期是$\pi$ 的公倍数和 $2\pi$ 的公倍数的最小正周期。
5函数函数的奇偶性与周期性练习题答案
函数函数的奇偶性与周期性一、函数的奇偶性 知识点归纳1函数的奇偶性的定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x , 都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数. 2奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=；若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4判断函数的奇偶性的方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区间，则立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区间，再判断f(-x)= -f(x )或f(-x)=f(x)是否成立判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- (2)图像法：奇（偶）函数的充要条件是它的图像关于原点（或y 轴）对称. 5设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 应用举例1、常见函数的奇偶性：奇函数：ax y =（a 为常数），x y sin =，x y tan =，k xky (=为常数） 偶函数：a y =（a 为常数），0=a 时既为奇函数又为偶函数2ax y =（)0≠a ，c ax y +=2（)0≠a ，ax y =（a 为常数），x y cos = 非奇非偶函数：)0(≠+=b b kx y ，)0(2≠++=b c bx ax y ，)0(≠+=c c ax y ，)0(≠+=c cx ky ，)1,0(≠>=a a a y x ，)1,0(log ≠>=a a x y a既奇又偶函数：0=y2、对奇偶性定义的理解例1 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4分析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误;奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确;若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x ∈R ，故④错误，选A ． 练习：1、（2007全国Ⅰ）)(x f ，是定义在R 上的函数，，则“)(x f ，均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的BA.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件 解析:∵f (x )、g (x )均为偶函数,∴f (－x )=f (x ),g (－x )=g (x ).∴h (－x )=f (－x )+g (－x )=f (x )+g (x )=h (x ).∴h (x )为偶函数. 但若h (－x )=h (x ),即f (－x )+g (－x )=f (x )+g (x ), 不一定f (－x )=f (x ),g (－x )=g (x ), 例f (x )=x 2+x ,g (x )=－x . 2、（2007江苏）设f （x ）=l g （）是奇函数，则使f （x ）＜0的x 的取值范围是AA.（-1，0）B.（0，1）C.（-∞，0）D.（-∞，0）∪（1，+∞） 解析:∵f (x )为奇函数,∴f (0)=0.解之,得a =－1. ∴f (x )=lg.令f (x )＜0,则0＜＜1,∴x ∈(－1,0).3、已知函数解析式，判断或证明函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性(1) f (x)=x 3+x (2) f (x)=3x 4+6x 2 +a (3) f (x)=3x+1 (4) f (x)=x 2 ，x ∈[- 4 , 4)，（5）1sin +=x y 例3判断下列各函数的奇偶性：（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；解：（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数 （2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)- ，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-，∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数练习：1、判断函数 f ( x ) = 的奇偶性解：由题∴ 函数的定义域为 [－1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]此时 f ( x ) =故 f ( x ) 是奇函数4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4（2007北京西城）已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f解：（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，2|2|12-+-x x ⎩⎨⎧≠-+≥-02|2|012x x ⎩⎨⎧±≠+≤-+⇒220)1)(1(x x x ⎩⎨⎧-≠≠≤≤-⇒4011x x x 且2)2(12-+-x x x x 21-=x x x f ---=-2)(1)(又x x 21--== －f ( x )令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-． 例5．(2006年辽宁)设是上的任意函数，下列叙述正确的是（C ）Ａ．是奇函数 Ｂ．是奇函数 Ｃ．是偶函数 Ｄ．是偶函数解：据奇偶函数性质：易判定f （x ）·f （-x ）是偶函数，f （x ）-f （-x ）是奇函数 f （x ）·|f （-x ）|的奇偶取决于f （x ）的性质，只有f （x ）+f （-x ）是偶函数正确。
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 9 函数的奇偶性与周期性
新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结9 函数的奇偶性与周期性高考概览 本考点是高考的必考知识点，常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性一、基础小题1．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (－x )＝f (3＋x )，f (2022)＝2，则f (1)的值是( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2答案 B解析 奇函数f (x )满足f (－x )＝f (3＋x )＝－f (x )，－f (x ＋3)＝f (x ＋6)＝f (x )，则f (2022)＝f (－1)＝－f (1)＝2，则f (1)＝－2.故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（1－x ）（x <0），g （x ）＋1（x >0），若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( ) A ．1 B ．3 C ．－3 D ．－1答案 C解析 因为函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（1－x ）（x <0），g （x ）＋1（x >0），且f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)，所以log 2(1＋3)＝－[g (3)＋1]，则g (3)＝－3.故选C.3．已知f (x )不是常数函数，∀x ∈R 有f (8＋x )＝f (8－x )且f (4＋x )＝f (4－x )，则f (x )满足( )A ．是奇函数不是偶函数B ．是奇函数也是偶函数C ．是偶函数不是奇函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案 C解析 f (8＋x )＝f (8－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝8对称，f (4＋x )＝f (4－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝4对称，则f (x )的图象关于直线x ＝0对称，是偶函数，又f (x )不是常数函数，则f (x )不能恒等于0，不是奇函数．故选C.4．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2答案 D解析 当x >0时，x ＋12>12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12，即f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5)＝f (4)＝…＝f (1)＝－f (－1)＝2.故选D.5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －xC ．e x ＋e －xD ．12(e x －e －x )答案 D解析 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x－e －x ).故选D.6．已知偶函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝x 13＋sin x ，设a ＝f (1)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．c <a <b答案 D解析 ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，y ＝sin x 为增函数，y ＝x 13也为增函数，∴函数f (x )＝x 13＋sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上也为增函数．∵函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，∴f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，∵0<π－3<1<π－2<π2，∴f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即c <a <b .故选D.7．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1，2]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[－1，1]C ．(－∞，2]D ．[－2，2]答案 B解析 因为函数f (x )为偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，所以函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，则不等式f (a )≥f (x )对任意x ∈[1，2]恒成立等价于f (a )≥f (x )max ＝f (1)，所以|a |≤1，解得－1≤a ≤1，即实数a 的取值范围为[－1，1].故选B.8．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3，4]时，f (x )＝2x ，则下列不等式中正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 C ．f (sin 1)<f (cos 1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32 答案 C解析 x ∈[3，4]时，f (x )＝2x ，故偶函数f (x )在[3，4]上是增函数，T ＝2，∴偶函数f (x )在[－1，0]上是增函数，∴f (x )在[0，1]上是减函数．对于A ，0<sin 12<cos 12<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12；对于B ，1>sin π3>cos π3>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3；对于C ，1>sin 1>cos 1>0，∴f (sin 1)<f (cos 1)；对于D ，0<cos 32<sin 32<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32.故选C. 9．(多选)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为周期函数C ．f (x ＋3)为奇函数D ．f (x ＋4)为偶函数答案 ABC解析 ∵f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1) ①，f (－x ＋2)＝－f (x ＋2) ②，∴由①可得f [－(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1＋1)，即f (－x )＝－f (x ＋2) ③，∴由②③得f (－x )＝f (－x ＋2)，∴f (x )的周期为2，∴f (x )＝f (x ＋2)＝－f (－x )，则f (x )为奇函数，∴f (x ＋1)＝f (x ＋3)，则f (x ＋3)为奇函数．故选ABC.10．(多选)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－2，0]上是增函数，下列关于f (x )的判断正确的是( )A．f(x)的图象关于点P(1，0)对称B．f(0)是函数f(x)的最大值C．f(x)在[2，3]上是减函数D．f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z答案ABD解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1，0)对称，所以A正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以D正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2，0]上是增函数，所以f(x)在[2，4]上也是增函数，因此C不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以B正确．故选ABD.11．若f(x)＝x ln (x＋a＋x2)为偶函数，则实数a＝________．答案 1解析因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－x ln (－x＋a＋x2)－x ln (x＋a＋x2)＝0恒成立，所以x ln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即实数a＝1.12．已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图象如图所示，则关于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________．答案 (－4，－2)∪(0，2)解析 当x ∈(－4，0)时，f (x )·g (x )<0，又g (x )<0，则f (x )>0，所以－4<x <－2；当x ＝0时，g (x )＝0，则f (x )·g (x )＝0，不符合题意，舍去；当x ∈(0，4)时，f (x )·g (x )<0，又g (x )>0，则f (x )<0，所以0<x <2，所以解集为(－4，－2)∪(0，2).二、高考小题13．(2022·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x 1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( ) A ．f (x －1)－1 B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案 B解析 解法一：因为f (x )＝1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f (x －1)＋1为奇函数．故选B.解法二：因为f (x )＝1－x 1＋x ，所以f (x －1)＝1－（x －1）1＋（x －1）＝2－x x ，f (x ＋1)＝1－（x ＋1）1＋（x ＋1）＝－x x ＋2.对于A ，F (x )＝f (x －1)－1＝2－x x －1＝2－2x x ，定义域关于原点对称，但不满足F (x )＝－F (－x )；对于B ，G (x )＝f (x －1)＋1＝2－x x ＋1＝2x ，定义域关于原点对称，且满足G (x )＝－G (－x )；对于C ，f (x ＋1)－1＝－x x ＋2－1＝－2x ＋2x ＋2，定义域不关于原点对称；对于D ，f (x ＋1)＋1＝－x x ＋2＋1＝2x ＋2，定义域不关于原点对称．故选B. 14．(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋2)为偶函数，f (2x ＋1)为奇函数，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0 B ．f (－1)＝0 C ．f (2)＝0 D ．f (4)＝0答案 B解析 因为函数f (x ＋2)为偶函数，则f (2＋x )＝f (2－x )，可得f (x ＋3)＝f (1－x )，因为函数f (2x ＋1)为奇函数，则f (1－2x )＝－f (2x ＋1)，所以f (1－x )＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋3)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋3)＝f (x －1)，即f (x )＝f (x ＋4)，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，因为f (2x ＋1)为奇函数，所以f (1)＝0，故f (－1)＝－f (1)＝0，其他三个选项未知．故选B.15．(2022·全国甲卷)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b .若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝( ) A ．－94B ．－32 C ．74D ．52答案 D解析 因为f (x ＋1)为奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，所以f (1)＝0，即a ＋b ＝0，所以b ＝－a ，所以f (0)＝f (－1＋1)＝－f (1＋1)＝－f (2)＝－4a －b ＝－3a ，又f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，所以f (3)＝f (1＋2)＝f (－1＋2)＝f (1)＝0，由f (0)＋f (3)＝6，得a ＝－2.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋1＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－94a －b ＝－54a ＝52.故选D. 16．(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________． 答案 1解析 设g (x )＝a ·2x －2－x ，h (x )＝x 3.因为函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是R 上的偶函数，函数h (x )＝x 3是R 上的奇函数，所以函数g (x )＝a ·2x －2－x 是R 上的奇函数，故g (0)＝a ·20－2－0＝a －1＝0，因此a ＝1.17．(2022·江苏高考)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 23，则f (－8)的值是______．答案 －4解析 f (8)＝823＝4，因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－4.三、模拟小题18．(2022·湖北新高考联考协作体高三上新起点考试)已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a 2x －a －2x ＋1(a >0，a ≠1)，则f (1)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 C解析 由已知可得f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1，f (－1)＋g (－1)＝a －2－a 2＋1，因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，联立⎩⎨⎧f （1）＋g （1）＝a 2－a －2＋1，f （1）－g （1）＝a －2－a 2＋1，解得f (1)＝1.故选C. 19．(2022·河北衡水深州长江中学高三上开学考试)已知函数y ＝f (x ＋1)是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(－∞，1)上单调递减，f (2)＝0，则f (x )f (x ＋1)<0的解集为( )A.(－2，－1)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(1，2)C ．(－1，2)D ．(－2，1)答案 B解析因为函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由f (x )在(－∞，1)上单调递减，得f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (0)＝f (2)＝0，所以当x <0或x >2时，f (x )>0，当0<x <2时，f (x )<0.函数f (x )的图象如图所示，f (x )f (x ＋1)<0等价于⎩⎨⎧f （x ）>0，f （x ＋1）<0或⎩⎨⎧f （x ）<0，f （x ＋1）>0，即⎩⎨⎧x <0或x >2，0<x ＋1<2或⎩⎨⎧0<x <2，x ＋1<0或x ＋1>2，解得－1<x <0或1<x <2.故选B.20．(2022·陕西咸阳一模)设f (x )为R 上的奇函数，满足f (2－x )＝f (2＋x )，且当0≤x ≤2时，f (x )＝x e x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (100)＝( )A ．2e ＋2e 2B ．50e ＋50e 2C ．100e ＋100e 2D ．－2e －2e 2答案 A解析 由f (2－x )＝f (2＋x )得f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又f (x )为R 上的奇函数，∴f (x )是以8为周期的周期函数．∵f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (－1)＋f (－2)＋f (－3)＋f (－4)＝0，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2e ＋2e 2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝12×[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝2e ＋2e 2.故选A.21．(多选)(2022·福建省永安市第三中学高三月考)已知函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)，若y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，且对任意的x 1，x 2∈(0，2)，x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )的周期T ＝4C ．f (2022)＝0D ．f (x )在(－4，－2)上单调递减答案 ABC解析 由y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (1＋x －1)＝f (1－x －1)，即f (－x )＝f (x )，故f (x )是偶函数，A 正确；由f (x ＋4)－f (x )＝2f (2)，令x ＝－2，可得f (2)＝0，则f (x ＋4)＝f (x )，则f (x )的周期T ＝4，B 正确；f (2022)＝f (4×505＋2)＝f (2)＝0，故C 正确；又f (x )在(0，2)上单调递增，周期T ＝4，则f (x )在(－4，－2)上单调递增，故D 错误．故选ABC.22．(多选)(2022·三湘名校教育联盟高三联考)已知奇函数f (x )的定义域为R ，且满足：对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x ＋1).当0≤x ≤12时，f (x )＝log 2(1＋x )，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期为2B ．若i ∈N *，则∑ni ＝1f (i )＝0C ．点(－1，0)为f (x )的一个对称中心D ．∑2022i ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫321011答案ABC解析 因为f (x )为奇函数，f (－x )＝f (x ＋1)，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，所以f (x )＝－f (x ＋1)＝－[－f (x ＋2)]＝f (x ＋2)，故f (x )的周期T ＝2，A 正确；当0≤x ≤12时，f (x )＝log 2(1＋x )，所以f (1)＝f (0)＝f (2)＝0，所以若i ∈N *，则∑ni ＝1f (i )＝0，B 正确；因为f (－2－x )＝f (－x )＝－f (x )，点(－1，0)为f (x )的一个对称中心，C 正确；当i ＝2k 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f (k )＝0，当i ＝4k ＋1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，当i ＝4k ＋3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以∑2022i ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2＝log 232，D 错误．故选ABC. 23.(多选)(2022·山东省兖州市高三质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动(无滑动滚动)，点D 恰好经过坐标原点，设顶点B (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )的判断正确的是( )A.函数y ＝f (x )是奇函数B．对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)C．函数y＝f(x)的值域为[0，22]D．函数y＝f(x)在区间[6，8]上单调递增答案BCD解析由题意，当－4≤x＜－2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(－2，0)为圆心，2为半径的14圆；当－2≤x＜2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点D(0，0)为圆心，22为半径的1 4圆；当2≤x＜4时，顶点B(x，y)的轨迹是以点C(2，0)为圆心，2为半径的14圆；当4≤x＜6时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(6，0)为圆心，2为半径的14圆，与－4≤x＜－2的形状相同，因此函数y＝f(x)在[－4，4]上的图象恰好为一个周期的图象，所以函数y ＝f(x)的周期是8，其图象如下：由图象及题意可得，该函数为偶函数，故A错误；因为函数的周期为8，所以f(x ＋8)＝f(x)，因此f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；由图象可得，该函数的值域为[0，22]，故C正确；因为该函数是以8为周期的函数，因此函数y＝f(x)在区间[6，8]上的图象与在区间[－2，0]上的图象形状相同，因此单调递增，故D正确．故选BCD.24．(2022·新高考八省联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________．答案sin πx(答案不唯一)解析由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f(x)＝A sin ωx(A≠0，ω>0)，满足f (－x )＝－sin ωx ＝－f (x )，即是奇函数；根据最小正周期T ＝2πω＝2，可得ω＝π.故函数可以是f (x )＝A sin πx (A ≠0)中的任一个，可取f (x )＝sin πx .25．(2022·河北邯郸高三上开学摸底考试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ，则f (0)＝________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4364＝________．答案 －14 2 3解析 函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f （x ），可得f (x ＋4)＝－1f （x ＋2）＝f (x )，所以函数的周期T ＝4，所以f (0)＝－1f （2）＝－14，f⎝ ⎛⎭⎪⎫log 4364＝f (log 43－3)＝f (log 43＋1)＝2log 43＋1＝2×212log 23＝2×2log 2312＝2 3.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2022·上海徐汇区模拟)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝lg （1－x 2）－x.又f (－x )＝lg [1－（－x ）2]x ＝－lg （1－x 2）－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x ).综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴f (x )为奇函数．2．(2022·安徽省巢湖市第四中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)由(1)可画出f (x )的图象如图所示，知f (x )在[－1，1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1，3].3．(2022·山东临沂高三阶段考试)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积． 解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数．所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x ).从而可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. 4．(2022·青海模拟)设f (x )是定义在R 上不恒为0的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 恒成立.(1)证明f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|g (x )是偶函数，求实数a 的值． 解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )， 知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上不恒为0的奇函数，所以f (0)＝0， 且f (－1)＝－f (1)＝－2， 又因为T ＝3是f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2. (3)因为y ＝|f (x )|g (x )是偶函数， 且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|， 所以|f (x )|为偶函数.故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数， 即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立． 于是2ax ＝0恒成立，所以实数a ＝0.。
函数的周期性,奇偶性,对称性经典小题练(含答案)
函数的周期性练习题一．选择题（共15小题）1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．56．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.58．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．29．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．310．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f（f（5））=（）A．﹣5 B．C．D．5 11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 12．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．913．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 14．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，则方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数（）A．4B．8C．9D．1015．已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共10小题）16．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有f（x+3）=，则f（2014）=．17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为．18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为．19．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=．20．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）=．21．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f （8）﹣f（14）=．23．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）＞1，f（2014）=，则实数a的取值范围是．24．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．25．若f（x+2）=，则f（+2）•f（﹣14）=．一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1 故f（log220）=﹣1 故选C2．【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B3．【解答】解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣，∴f（x+3）=﹣，则f（x+6）=f（x），即函数f（x）的周期为6，∴f（119.5）=f（20×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣=﹣，又∵偶函数f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，有f（x）=4x，∴f（119.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：C．4．【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；5．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣1），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．6．【解答】解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，故选：A7．【解答】解：∵，∴==f（x）∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵当2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴f（5.5）=2.5 故选D8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．9．【解答】解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0则：f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 故选：B 10．【解答】解：∵f（x+2）=∴f（x+2+2）==f（x）∴f（x）是以4为周期的函数∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）又∵f（﹣1）===﹣∴f（f（5））=﹣故选B11．【解答】解：∵f（x+5）=f（x﹣5），∴f（x+10）=f（x），则函数f（x）是周期为10的周期函数，则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4﹣3=1，故选：C．12．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x2﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，故选：B．13．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣2015）=﹣f（2015）=﹣f（1）=﹣1．∴f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）=0﹣1+0=﹣1．故选A．14．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，在同一坐标系中画出函数f（x）与y=的图象如下图：由图象可知：函数y=f（x）与y=在区间[﹣3，4]上有10个交点（互不相同），所以方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数是10个，故选：D．15．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为2，∴f（x+2）=f（x），∵f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|∴作图如下：∴函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选：C二．填空题（共10小题）16．【解答】解：∵对任意的x都有f（x+3）=，∴f（x+6）==f（x），∴函数f（x）为周期函数，且周期T=6，∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）=f（1+3）==﹣5 故答案为：﹣517【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；故答案为8；18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），即f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6．∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，故答案为：﹣3．19．【解答】解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．而2010=3×670，于是f （2010）=0；故答案为0．20．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），∴函数f（x）是周期函数且T=4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案为：8．21．【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f （5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：33822．【解答】解：由题意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣15）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案为﹣1．23．【解答】解：解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），又f（2）＞1，∴f（2014）＜﹣1，即＜﹣1，即为＜0，即有（3a﹣2）（a+1）＜0，解得，﹣1＜a＜，故答案为：．24．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，∴f（+2）•f（﹣14）=﹣×4=，故答案为：三．解答题（共5小题）26．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数；（2）解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，∴f（x）=x2+2x，又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4）=x2﹣6x+8，从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=﹣1，又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．27．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．28．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．29．【解答】解：∵函数f（x）的周期为3，∴f（﹣2014）=f（﹣671×3﹣1）=f（﹣1），∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12﹣1+2）=﹣2，∴f（﹣2014）=﹣2．30．【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，所以f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），且f（﹣1）=﹣f（1），于是f（﹣1）=0．…（2分）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x+2x）=﹣2x﹣2﹣x．…（5分）所以f（x）在[﹣1，0）上的解析式为…（7分）（2）f（x）在（﹣2，﹣1）上是单调增函数．…（9分）先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．设0＜x1＜x2＜1，则因为0＜x1＜x2＜1，所以，于是，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上亦为单调增函数．…（14分）。
函数的奇偶性与周期性-知识梳理与典型题(非常全面)
函数的奇偶性与周期性1．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )关于原点对称就叫做奇函数2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，非零常数T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（）A ．(][),13,-∞-+∞B ．(][],11,3-∞-C ．[][]1,01,3- D ．[][)1,03,-+∞ 2．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．1-B ．0C ．1D ．23．（2021·云南民族大学附属中学高三月考（理））若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()11f =，()22f =，则()()124f f --等于（）A ．-2B ．2C ．-1D ．14．（2021·江苏南通市·高三一模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()22f =，且对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()11f x f x +≤+，若()()1g x f x x =+-，则()2020g =（）A ．2020B ．3C ．2D ．15．（2021·河南高三其他模拟（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[]5,16-=-，[]3π=.已知函数()21xf x x =+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1D ．{}0,16．（2021·全国高三其他模拟）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A ．y ＝||2x e xB ．y ＝2(1)||xx e x +C ．y ＝|2|xe x D ．y ＝22xe x 7．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,)22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(2,2)-8．（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知函数()2xxf x e ex -=--，若不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0,e B ．[]0,e C ．(]0,1D ．[]0,19．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中（理））已知定义在R 上的函数()f x ，对任意实数x 有()()55f x f x +=-+，若函数()1f x -的图象关于直线1x =对称，()12f -=，则()2021f =（）A ．5B ．-2C ．1D ．210．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当[]0,1x ∈，()()2log a f x x =+，则()2021f =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．211．（2021·新余市第一中学高三其他模拟（理））关于函数()sin xf x x=，()0,x ∈+∞的性质，以下说法正确的是（）A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 在()0,π上有极值C ．函数()f x 在()0,∞+单调递减D ．函数()f x 在()0,∞+内有最小值12．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()26f x f x -=-+，当[]0,4x ∈时，()31,02,164,24,x x f x x x ⎧-≤≤=⎨-<≤⎩则()()()20202021f f f +=（）A ．1-B ．4C ．4-D ．113．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()πcos2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．514．（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．015．（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减16．（2019·全国高考真题（理））函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．17．（2010·安徽高考真题（理））若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()()11,22f f ==，则()()34f f -=A ．－1B ．1C ．－2D ．218．（2016·四川高考真题（理））已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5((1)2f f -+54-=____________.19．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．20．（2019·北京高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．1．C 【分析】首先将()10xf x -≤转化为()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，根据函数单调性解()10f x -≥和()10f x -≤，进而可以求出结果.【详解】因为()10xf x -≤，所以()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，所以()001310012x x x f x x ≥≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨-≤≤-≤⎩⎩，因为()f x 在R 上为奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，因此()001010211x x x f x x ≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨⎨-≥-≤-≤-⎩⎩，综上：不等式()10xf x -≤的解集为[][]1,01,3- .故选：C.2．C 【分析】由()y f x =为奇函数且对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，可得函数的周期为4，再奇函数的性质可得()20log 0f a ==，从而可求出1a =，进而可求得()2021f 的值【详解】解：因为()y f x =为奇函数，即()()f x f x -=-，因为对任意x ∈R ，()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+，所以()20log 0f a ==，所以1a =，则()()()22021505411log 21=⨯+===f f f .故选：C.3．C 【分析】根据函数的周期性与奇偶性计算可得；【详解】解：∵若()f x 是R 上周期为5的奇函数，∴()()f x f x -=-，(5)()f x f x +=，∴(12)(12)f f -=-(2)2f =-=-，(4)(1)(1)1f f f =-=-=-，∴(12)(4)2(1)1f f --=---=-，故选：C .4．D 【分析】本题由不等式()()33f x f x +≥+和()()11f x f x +≤+，带入()()1g x f x x =+-后得到即()()1g x g x +≤，即()()1g x g x ≤+，可得()()1g x g x +=，可得周期为1，即可得解.【详解】因为对任意的x ∈R ，都有()()33f x f x +≥+，()()1g x f x x =+-，所以()()()33113g x x g x x +++-≥+-+，即()()3g x g x +≥.又对任意的x ∈R ，()()11f x f x +≤+，所以()()()11111g x x g x x +++-≤+-+，即()()1g x g x +≤，所以()()()()321g x g x g x g x ≤+≤+≤+，即()()1g x g x ≤+，所以()()1g x g x +=，从而()g x 是周期为1的周期函数.又()()22121g f =+-=，所以()()202021g g ==.故选：D5．B 【分析】由()21xf x x =+为奇函数，可先分析函数0x >时值域，即可得函数在R 上值域，利用高斯函数的意义求解即可.【详解】因为x ∈R ，()()f x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数.当0x >时，()210122x x f x x x <=≤=+，所以当x ∈R 时，()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，从而()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为{}1,0-.故选：B 6．C 【分析】通过奇偶性及特殊值分析即可【详解】A 项为奇函数，排除，B 项，当0x >，1||e 2e 2||x xy x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，排除D 项2x =时218e y =<，排除故选：C7．A 【分析】先求出()f x 的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到()f x 的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出()g x 的值域．【详解】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．D 【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性即可将不等式转化为2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立，根据恒成立问题求解即可.【详解】解：()2xxf x e ex -=-- 的定义域为R 关于原点对称，且()()2xx f x ee xf x --=-+=-，()f x ∴为R 上的奇函数，又()12xx f x e e'=+- ，而12x x e e +≥=，当且仅当1xx e e =，即0x =时等号成立，故()120x x f x e e '=+-≥恒成立，故()f x 为R 上的增函数，不等式()()2120f axf ax +-≥对x R ∀∈恒成立，即()()212f axf ax ≥--对x R ∀∈恒成立，即()()221f ax f ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即221ax ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立，当0a =时，不等式恒成立，当0a ≠时，则()20240a a a >⎧⎪⎨∆=--≤⎪⎩，解得：01a <≤，综上所述：[]0,1a ∈.故选：D.9．D【分析】先根据对称性分析出()f x 的奇偶性，然后根据()()55f x f x +=-+分析出()f x 为周期函数并求解出一个周期，根据奇偶性和周期性求解出()2021f 的值.【详解】由函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称可知，函数()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，又由()()55f x f x +=-+，得()()()()555555f x f x f x f x ++=-++=--++=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是周期为10的偶函数.所以()()()()2021120210112f f f f =+⨯==-=，故选：D.结论点睛：通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：（1）若函数()y f x a =+的图象关于直线x a =-对称，则()f x 为偶函数；（2）若函数()y f x a =+的图象关于点(),0a -成中心对称，则()f x 为奇函数.10．C【分析】根据()f x 为R 上的奇函数可求出a ，又()1f x +为偶函数，可推出()f x 为周期函数，利用周期性即可求解.【详解】解： ()f x 为R 上的奇函数，且当[]0,1x ∈时，()()2log a f x x =+∴()00f =，即2log 0a =，1a \=，∴当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，()1f x +为偶函数，()()11f x f x ∴+=-+，()()2f x f x ∴+=-，又 ()f x 为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，∴()f x 是周期为4的周期函数，∴()()()()22021450511log 111f f f =⨯+==+=，故选：C.【点睛】()数，利用周期性求解.11．D【分析】根据周期性的定义可知，函数()f x 的周期不是2π；再利用导数即可判断函数的单调性，极值和最值．【详解】对于A ，因为()()sin 2sin 222x x f x x x ππππ++==++，当sin 0x ≠时，()()2f x f x π+≠，所以函数()f x 的周期不是2π，A 错误；对于B ，因为()2cos sin x x x f x x-'=，设()cos sin g x x x x =-，()cos sin cos sin g x x x x x x x '=--=-，当()0,πx ∈时，()0g x '<，所以()()00g x g <=，即()0f x '<，故函数()f x 在()0,π上单调递减，B 错误；对于C ，()()20f f ππ==，所以函数()f x 在()0,∞+上不单调，C 错误；对于D ，因为当0sin 1x ≤≤时，()0f x ≥，当1sin 0x -≤<时，()sin 10x f x x x >=≥-，当且仅当()322x k k N ππ=+∈时取等号，而1y x=-在()0,∞+上单调递增，所以当32x π=时，函数()f x 取得最小值，D 正确．故选：D.12．C【分析】由已知可求得函数()f x 的周期为8，再利用函数的解析式代入可得选项．【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =，又()()26f x f x -=-+，所以()()2262f x f x ⎡⎤⎡⎤--=-+-⎣⎦⎣⎦，即()()()444f x f x f x -=-+=--，所以函数()f x 的周期为8，所以()()4164402020f f =-⨯==，()()()202000f f f ==，()()()()20215316434f f f ==-=--⨯=-，故选：C ．【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.13．A【分析】由()()2f x f x +=，可知()f x 是周期2T =的周期函数，结合函数的奇偶性，可作出()f x 的图象.令()0f x x -=，可将函数()y f x x =-的零点问题转化为()y f x =和()g x x =的图象交点个数问题，进而求出交点个数即可.【详解】因为()()2f x f x +=，即函数()f x 是周期2T =的周期函数.又∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且[0,1]x ∈时，()πcos2f x x =，∴当[1,0)x ∈-时，ππ()()cos()cos 22f x f x x x =-=-=，令()0f x x -=，则函数()y f x x =-的零点个数即为函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数，分别作出函数()y f x =和()g x x =的图象，如下图，显然()f x 与()g x 在[1,0)-上有1个交点，在[0,1]上有一个交点，当1x >时，()1g x >，而()1f x ≤，所以1x >或1x <-时，()f x 与()g x 无交点.综上，函数()y f x =和()g x x =的图象交点个数为2，即函数()y f x x =-的零点个数是2.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查求函数零点个数问题.一般的，求函数()y f x =的零点个数，常用的方法：（1）直接解方程()0f x =，求出方程的解的个数，也就是函数()y f x =的零点个数；（2）作出函数()y f x =的图象，其图象与x 轴交点的个数就是函数()y f x =的零点的个数；（3）化函数零点个数问题为方程()()=g x h x 的解的个数问题，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，两函数图象的交点个数就是函数()y f x =的零点的个数.14．A【分析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22x x a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22x xf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．【点睛】方法点睛：函数的周期性有关问题的求解策略：1、求解与函数的周期性有关问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；2、解决函数周期性、奇偶性和单调性结合问题，通常先利用周期性中为自变量所在区间，再利用奇偶性和单调性求解.15．D根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．17．A【解析】∵f(x)是R 上周期为5的奇函数∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,f(3)-f(4)=-2+1=-118．-2【详解】试题分析：因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.考点：函数的奇偶性和周期性.19．②③【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论.对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．-1;(],0-∞.【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围.【详解】若函数()x x f x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x x f x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.-∞即实数a的取值范围是(],0。
三角函数的奇偶、周期、单调性练习题
三角函数的奇偶性与周期性练习题一、选择题1、08四川理10．设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( )（Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 2、2005全国2，（１）函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是（A ）4π（B ）2π（C ）π（D ）2π 3、2005北京(8)函数xx x f cos 2cos 1)(-=(A)在[0，2π)，(2π，π]上递增，在[π，23π)，(23π，2π]上递减(B)在[0，2π)，[π，23π)上递增，在(2π，π]，(23π，2π]上递减(C)在(2π，π]，(23π，2π]上递增，在[0，2π)，[π，23π)上递减(D)在[π，23π)，(23π，2π]上递增，在[0，2π)，(2π，π]上递减4、（2007）（2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f = ）A 126ωϕπ==，B 123ωϕπ==，C 26ωϕπ==，D 23ωϕπ==，5、08江西文6．函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数6、08全1文6．2(sin cos )1y x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数7、08天理（3）设函数()R x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,22sin π，则()x f 是(A) 最小正周期为π的奇函数 (B) 最小正周期为π的偶函数(C) 最小正周期为2π的奇函数 (D) 最小正周期为2π的偶函数8、08天理（9）已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan ,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则(A) c a b << (B) a b c << (C) a c b << (D) c b a << 9、08浙文（2）函数2(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （A ）2π（B ）π （C ）32π （D ）2π10、2005江西5．设函)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为A ．周期函数，最小正周期为3πB ．周期函数，最小正周期为32πC ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数 11、2006全国2，（2）函数y ＝sin2x cos2x 的最小正周期是（A ）2π （B ）4π （C ）π4 （D ）π212、2006湖南文8 设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π，则)(x f 的最小正周期是 A 2π B π C2π D 4π 13、（2007全国）（12）函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是（ ）A 233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 62ππ⎫⎪⎭， C 03π⎛⎫ ⎪⎝⎭， D 66ππ⎫-⎪⎝⎭， 14、2006江苏（1）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±115、（2007全国2）2 函数sin y x =的一个单调增区间是（ ）A ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B 3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C 3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， D 32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， 16、函数y ＝cos 2（x －12π）＋sin 2（x ＋12π）－1是( ) 奇函数而不是偶函数 B 偶函数而不是奇函数 C 奇函数且是偶函数 D 非奇非偶函数17、（2007广东）3 若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ）A 最小正周期为π2的奇函数B 最小正周期为π的奇函数C 最小正周期为2π的偶函数D 最小正周期为π的偶函数18、2005山东（3）已知函数sin()cos(),1212y x x ππ=--则下列判断正确的是 （A ）此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是(,0)12π(B) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)12π(C) 此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是 (,0)6π(D) 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是(,0)6π19、在［－π，π］上既是增函数，又是奇函数的是( )y ＝sin 21x Ｂy ＝cos 21x Ｃy ＝－sin 41x Ｄ＝sin2x20、（文科）函数sin cos 4y x x π=+的最小正周期为（ ） A2πB πC 2πD 4π 21、08广文5.已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数22、2005全国2，（４）已知函数tan y x ω=在(,)22ππ-内是减函数，则（A ）０＜ω≤１（B ）－１≤ω＜０（C ）ω≥１（D ）ω≤－１23、08浙理（5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）424、若对任意实数a ，函数y ＝5sin(312+k πx －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值45出现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )2 B 4 C 3或4 D 或3 二、填空题1、函数y ＝sin 4x ＋cos 4x 的最小正周期为 ．2、（2007上海）6 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T3、2006湖南文15 若)4sin(3)4sin()(ππ-++=x x a x f 是偶函数，则a =4、2005上海10.函数()[]sin 2sin 0,2f x x x x π=+∈的图像与直线y k =又且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是____________5、08广理12．已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．6、函数y ＝｜sin （ωx －2）｜（ω＞0）的周期为2，则ω＝7、函数y ＝3sin （2x ＋φ）(0＜φ＜π)为偶函数，则φ＝8、函数)32sin(5π+=x y 的最小正周期为_______.9、08江苏 1. ()cos()6f x wx π=-的最小正周期为5π，其中0w >，则w = 。
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同步练习 函数的奇偶性和周期性
1、若)(x f )(R x ∈是奇函数，则下列各点中，在曲线)(x f y =上的点是 （A ）))(,(a f a - （B ）))sin (,sin (α--α-f （C ）))
1(lg
,lg (a f a -- （D ）))(,(a f a --
2、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则
=-
)2(T f
（A ）0 （B ）2
T （C ）T （D ）2
T -
3.（2009四川卷文）已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)25
(f 的值是（ ） A. 0 B.
2
1 C. 1 D.
2
5
4、)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
5、下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2
x
x
f x a a
-=+（D ）2()ln
2x f x x
-=+
6、已知函数=-=+-=)(.)(.11lg
)(a f b a f x
x x f 则若
A ．b
B ．－b
C ．
b
1 D ．－
b
1
7、定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2-|x-4|，则
（A ）f(sin 6π
)<f(cos 6
π
) （B ）f(sin1)>f(cos1)
（C ）f(cos
3
2π)<f(sin 3
2π) （D ）f(cos2)>f(sin2)
8.（2009全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )
(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数
9.(2009山东卷文)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B. (80)(11)(25)f f f <<-
C. (11)(80)(25)f f f <<-
D. (25)(80)(11)f f f -<<
10.（2009江西卷文）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），
且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 （ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
11. （2009辽宁卷文）已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1
()2
x
；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝
（ ） （A ）
124
（B ）
112
（C ）
18
（D ）
38
12（2009辽宁卷文）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1
()3
f 的x 取值范围是（ ）
（A ）（
13
，
23
） (B) ［
13
，
23
） (C)（
12
，
23
） (D) ［
12
，
23
）
13、定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式
①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是 (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④
14、已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________ 15、定义在)1,1(-上的奇函数1
)(2
+++=
nx x m x x f ，则常数=m ____,=n _____
16、下列函数的奇偶性为 （1） ；（2） . （1）x e x f x -+=)1ln()(2 （2）⎩⎨⎧<+≥-=)
0()
1()0()1()(x x x x x x x f
17、已知)
2
11
21(
)(+
-=x
x x f ，判断)(x f 的奇偶性；
18、定义在]11[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的
范围.
19、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意]2
1
,0[,21∈x x ，都有
)()()(2121x f x f x x f =+. (I)设2)1(=f ，求)4
1
(),21(f f ； (II)证明)(x f 是周期函数.
同步练习g3.1012函数的奇偶性和周期性
1—13、DAA BD B DD D C AAC. 14、2()2(0)f x x x x =--< 15、0；0 16(1)偶函数 (2)奇函数 17(1)偶函数
18、2⎡⎢⎣⎭
19(1)11
()()24
f f ==。