2013年高考数学试卷分析(理)_5
2013大纲版高考数学理科试题及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）乐享玲珑，为中国数学增光添彩 免费玲珑3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）62．()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i3．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥- ，则=λ（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）-1 4．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．函数()()21=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 6．已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于 （A ）()10613--- （B ）()101139-- （C ）()10313-- （D ）()1031+3- 7．()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）1688．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9．若函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数，则a 的取值范围是 （A ）[-1,0] （B ）[1,)-+∞ （C ）[0,3] （D ）[3,)+∞10．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（A ）23 （B （C ）3（D ）13 11．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k =（A ）12 （B）2（C（D ）2 12．已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是（A ）()y f x =的图像关于(),0π中心对称 （B ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称（C ）()f x的最大值为2（D ）()f x 既奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知α是第三象限角，1sin 3a =-，则cot a = .14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）。
2013年数学试卷(理科)解析卷
2013年高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选B．2．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3．（5分）（2013•新课标Ⅰ）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．4．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．（5分）（2013•新课标Ⅰ）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选A．6．（5分）（2013•新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C． D．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．7．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6与a m，进而得到公差d，由前n项和公式【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，故选C．8．（5分）（2013•新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选A．9．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．10．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选D．11．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D12．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n 的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•新课标Ⅰ）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．14．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣115．（5分）（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣16．（5分）（2013•新课标Ⅰ）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．18．（12分）（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．19．（12分）（2013•新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：故EX=400×+500×+800×=506.2520．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．21．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．23．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．24．（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（Ⅱ）不等式化即1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，由此解得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。
2013年高考数学试卷分析(理)
2013年高考数学试卷分析（理）承担校区 试卷分析人三、解答题18、本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ)由题 意得**22213,64,11,41.043)22(5Nn n a N n n a d d d d a a a n n ∈+=∈+-==-==--+=⋅或所以 或故 即 (Ⅱ)设数列{}由因为项和为的前,0,<d S n a n n （Ⅰ）得则,11,1+-=-=n a d n 当.22121112321n n S a a a a n n n +-=+⋯⋯+++≤＝时， 当.11022121212211321+-=+-+⋯⋯+++≥n n S S a a a a n n n ＝时，综上所述，.)12(11022121)11(2212122321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-+⋯⋯+++n n n n n n a a a a n ＝19.本题主要考查随机事件的概率和随机量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
满分14分。
(Ⅰ) ,由题意得.6,5,4,3,2=ξ 故 ;1856622132)4(;3166232)3(;416633)2(=⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯⨯==ξξξP P P3616611)6(;9166122)5(=⨯⨯===⨯⨯⨯==ξξP P所以ξ的分布列为(Ⅱ)由题意知η的分布列为 所以.95)353()352()351()(222=++⋅-+++⋅-+++⋅-=c b a c c b a b c b a a D η化简得：⎩⎨⎧=-+=--0114042c b a c b a解得.1:2:3::,2,3===c b a c b c a 故 20．（本题满分15分）如图，在四面体A BCD -中，AD BCD ⊥平面，BC CD ⊥，2AD =，BD =M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．（1）证明：//PQ BCD 平面；（2）若二面角C BM D --的大小为60︒，求BDC ∠的大小．BAPCDMQ【分析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的运用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
2013年高考大纲数学(理)试题精解精析(解析版)
三、注重通性通法，突出数学思想方法的考查2013年试题注重能力立意，以考查基础知识为重点，注重对通性通法的考查，淡化特殊技巧, 突出数学思想与方法的考查。
如选择题的前7题，填空题的前2题，试题均为常规题目，学生解答起来，也是顺畅.数学卷历来重视数学思想与方法的考查，今年也不例外。
如数形结合的思想渗透在线性规划（理科第15题）、函数与方程的思想则体现在理科第21题、第22题等题目中；转化与化归思想贯穿整份试卷，如理科第12题；试卷对分类讨论的思想（理科第21题等）做了深入考查。
总之，2013年高考全国大纲版卷数学试题，注重考查考生运用所学知识发现问题、分析问题、解决问题的能力。
整份试卷稳中有变，变中求新，新题不难，难题不偏，“稳”以考查基础，“变”以考查能力，有较高的信度、效度和区分度。
本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2013大纲全国，理1）设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62. （2013大纲全国，理2）3(13)i +=（ ）A ．-8B ．8C ．8i -D ．8i3. （2013大纲全国，理3）已知向量(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【考点定位】向量的坐标运算4. （2013大纲全国，理4）已知函数f(x)的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)25. （2013大纲全国，理5）函数21()log (1)f x x=+（x>0）的反函数1()f x -=（ ）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21xx ≠- C ．21()x x R -∈ D ．21(0)x x ->6. （2013大纲全国，理6）已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+7. （2013大纲全国，理7）84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 【答案】D8. （2013大纲全国，理8）椭圆C ：22143x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．13[,]24 B ．33[,]84 C ．1[,1]2 D ．3[,1]49. （2013大纲全国，理9）若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞10. （2013大纲全国，理10）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A ．23 B ．33 C ．23 D ．1311. （2013大纲全国，理11）已知抛物线C ：28y x =与点M （-2,2），过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若0MA MB •=，则k=（ ）A ．12B ．22C ．2D ．2【答案】D【解析】由题意知抛物线C 的焦点坐标为（2,0），则直线AB 的方程为(2)y k x =-，将其代入28y x =，得22224(2)40k x k x k -++=.12. （2013大纲全国，理12）已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称 B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f x 的最大值为32D ．()f x 既是奇函数，又是周期函数当33t=-时，函数值为439-；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. （2013大纲全国，理13）已知α是第三象限角，1sin3α=-，则cotα=14. （2013大纲全国，理14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）15. （2013大纲全国，理15）记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域为D.若直线(1)y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是 【答案】1[,4]2【解析】作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. ∵直线(1)y a x =+过定点C （-1,0），由图并结合题意可知1,42BC AC k k ==， ∴要使直线(1)y a x =+与平面区域D 有公共点，则142a ≤≤. 【考点定位】线性规划16. （2013大纲全国，理16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于 本解析为名师解析团队原创，授权独家使用，如有盗用，依法追责！三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（2013大纲全国，理17）（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项公式.18. （2013大纲全国，理18）（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()()a b c a b c ac ++-+=. （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若31sin sin 4A C =，求C.因此015C =或045C =.19. （2013大纲全国，理19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，090ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.（Ⅰ）证明：PB CD ⊥； （Ⅱ）求二面角A-PD-C 的大小.取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，20. （2013大纲全国，理20）（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.21. （2013大纲全国，理21）（本小题满分12分）已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0,b>0）的左、右焦点分别为1F、2F，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为6.（Ⅰ）求a,b ；（Ⅱ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且11||||AF BF =，证明：2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.2222122222||(3)(3)8831BF x y x x x =++=++-=+22. （2013大纲全国，理22）（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+. （Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：21ln 24n n a a n -+>. 【答案】 （Ⅰ）由已知(0)0f =，2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'(0)0f =. 若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，'()0f x >，所以()0f x >.。
2013年高考理科数学试题解析
2013年高考理科数学试题解析（课标Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 一、 选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=∅ B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.2、若复数z 满足错误！未找到引用源。
(3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4（B ）－45错误！未找到引用源。
（C ）4（D ）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知z =|43|34i i +-=2243(34)(34)(34)i i i ++-+=3455i+，故z 的虚部为45，故选D.3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误！未找到引用源。
C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>）的离心率为52，则C 的渐近线方程为 A .14y x =± B .13y x =± C .12y x=± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，52c a=，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x=±，故选C . 5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当[1,1)t ∈-时，3s t =[3,3)∈-，当[1,3]t ∈时，24s t t =-[3,4]∈，∴输出s 属于[-3,4]，故选A .6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3错误！未找到引用源。
2013辽宁高考数学试卷分析与点评（理科）
2013辽宁高考数学试卷分析与点评（理科）
2013辽宁高考数学试卷分析与点评（理科）
2013年辽宁高考数学的一个明显变化是：在试卷中增设了选考题，旨在体现学生的个性及自主选择性。
与去年相比，2013年辽宁高考数学试题相对难度比较大。
主要原因是：和去年不同，去年是前面的客观题相对简单，后面主观题相对难， 2013年则相反，前面的客观题难，后面的主观题相对简单。
2013年的试卷中，文科数学和理科数学都是选择和填空题相对较难，其中选择题的后两道题较难，文科数学考的是函数，理科数学则是函数和导数结合的题。
而后面大题方面则相对简单，其中立体几何部分相对简单。
文科数学第20题大题打破了常规，之前5年都是考的椭圆，2013年考的是抛物线，这让很多老师和考生都没有预料到。
这在答题方面，“先易后难”和“先难后易”对考生来说，显然有个心态的变化过程。
2013年这种“先难后易”的模式对考生的心理素质是个极大的考验。
不过先难后易，学生后面答题会相对轻松些。
由此可见，辽宁高考的命制越来越注重对考生个人综合素质的考查。
建议考生和老师在2014备考过程中在注重知识学习的同时，勿忘各方面综合素质的提升。
2013年山东高考数学理试题解析
2013年山东高考数学理试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i【答案】D（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--，即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素，选C.【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.OPPAO OA∠==即3PAO π∠=，选B.,42kk Z ϕπ+=+∈，即,4k k Z ϕπ=+∈，所以选B.（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：2x y 20x 2y 103x y 80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动【解析】作出可行域如图，由图象可知当M 位于点D 处时，OM 的斜率最小。
由210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，即(3,1)D -,此时OM 的斜率为1133-=-，选C.（7）给定两个命题p 、q ，若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的（A ）充分而不必条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为﹁p 是q 的必要而不充分条件，所以﹁q 是p 的必要而不充分条件，即p 是﹁q 的充分而不必要条件，选A.（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为（A ） （B ） (C) (D) 【答案】 D【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B ，C.当x π=时，()0f ππ=-<,排除A,选D.（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 （A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0 【答案】A【解析】由图象可知，(1,1)A 是一个切点，所以代入选项知，,B D 不成立，排除。
2013年山东高考数学试卷分析 (理科)
2013年山东高考数学试卷分析
一、整体分析：
1、总体评价
2013高考整体难度和2012年相差不大。
但稍微比2011年和2012年的难一些。
今年的理科考题传承了山东省考题的一贯风格，但对于导数的考察和去年相比变得稍微容易一些，但最后一题对圆锥曲线的考察较去年稍难，选择题中对命题的考察变得比较灵活，填空题中把概率和分段函数结合起来充分体现了素质教育的思想及方向，最后一个填空题扔然是给出新题型来用已有知识解答，为学生进入大学学习的内容做了很好的交接，和去年不同的是选择填空题中没有出现数列题。
大题中17、18题和往年一样，都是考察三角函数、立体几何中的经典题型，用的都是常见、经典解法，突出了高考题中数学基本能力的地位，第19题为概率题，和往年难度相差不大，但比2010年的简单，也是属于概率题中的中等难度题型。
最后一道大题和去年相比难度变大。
所以综合今年整套试卷来说，难度系数仍为中等。
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二、逐题分析
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三、教学反思
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1.今后更要加强对中等题目的训练
2.在教学中多讲解一些各模块相结合的题目，训练学生解题技巧的能力
3.在教学中加大对模块的训练，使学生掌握知识循序渐近、系统完整。
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2013年高考数学试卷分析(理)
2013年高考数学试卷分析（理）一选择题1、答案 B解析：i i i i i i i 3113222)2)(1(2-=+--=----=-+-2、答案 C解析：]1,(],1,4[),,2(-∞=⋃-=+∞-=T S C T S R ）则（3、答案 D解析D y x y x xy 故选,2222lg lg lg lg )lg(==+4、答案 B解析不充分条件为奇函数，所以是必要时，当）为奇函数时，（当)(2,2k 2x f x f πϕππϕ=+=5、答案 A解析 S k 关系如图所示 k S123 2 35 3 47 4 59 由程序框图结果是59 ，答案A6、答案 C解析 25cos 4cos sin 4sin ,210cos 2sin 22=++=+a a a a a a 两边平方得，25cos sin cos 4cos sin 4sin 2222=+++a a a a a a 则，两边同时除以a 2cos ，得到251tan tan 41,251tan 1tan 4tan 222=++=+++a a a a a 既，则432tan -=a7 答案 D解析 由题意得，既在4等分点时，取最小值，过C 点在AB 边上做垂线CD ，则,)(=+=既在四等分点处，使PB*PD 取最大值，则当D 点为中点时，取最大值，既AC=BC8、答案 C解析 当k=2时，0)(1,0)()1,0(),1)(1(2)1()(''2'>><∈--+-=x f x x f x e x x e x f x x 时，当时，当，则C 选项正确9、答案 D解析 若四边形21BF AF 为矩形，则三角形21AF F 为直角三角形，有双曲线与椭圆的定义得，2212212124,2,3,4c AF AF a AF AF c AF AF =+=-==+，则通过解方程的方法可以解得26,2==e a 则10、答案 A解析 用带特殊选项的思维来看，将每一个选项进行带入，很容易发现A 选项为符合题意的。
2013年山东省高考理科数学试卷解析版
2013年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题．（ 分）（ 山东）复数 满足（ ﹣ ）（ ﹣ ） （ 为虚数单位），则 的共轭复数为（）．．﹣．．﹣考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得 ，即可求得 的共轭复数．解答：解： （ ﹣ ）（ ﹣ ） ，﹣，﹣ ．故选 ．点评：本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数 是关键，属于基础题．．（ 分）（ 山东）已知集合 ， ， ，则集合 ﹣ ， 中元素的个数是（）．．．．考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题．分析：依题意，可求得集合 ﹣ ，﹣ ， ， ， ，从而可得答案．解答：解： ， ， ， ﹣ ， ，当 ， 分别取 ， ， 时， ﹣ 的值分别为 ，﹣ ，﹣ ；当 ， 分别取 ， ， 时， ﹣ 的值分别为 ， ，﹣ ；当 ， 分别取 ， ， 时， ﹣ 的值分别为 ， ， ；﹣ ，﹣ ， ， ， ，集合 ﹣ ， 中元素的个数是 个．故选 ．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题． ．（ 分）（ 山东）已知函数 （ ）为奇函数，且当 ＞ 时，，则 （﹣ ） （）．﹣．．．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质， （﹣ ） ﹣ （ ），即可求得答案．解答：解： 函数 （ ）为奇函数， ＞ 时， （ ） ，（﹣ ） ﹣ （ ） ﹣ ，故选 ．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．．（ 分）（ 山东）已知三棱柱 ﹣ 的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若 为底面的中心，则 与平面 所成角的大小为（）．．．．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用三棱柱 ﹣的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知， 为 与平面 所成角，即为为 与平面 所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得，再利用正三角形的性质可得，在中，利用 即可得出．解答：解：如图所示，底面 ， 为 与平面 所成角， 平面 平面 ， 为 与平面 所成角．．三棱柱 ﹣ ，解得．又 为底面正三角形的中心， ，在中，，．故选 ．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键． ．（ 分）（ 山东）函数 （ ）的图象沿 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能的值为（）．．．．考点：函数 （ ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数 （ ）的图象变换可得函数 （ ）的图象沿 轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令 （ ） （ ），则 （ ） （ ） （ ），（ ）为偶函数，，， ，当 时， ．故 的一个可能的值为．故选 ．点评：本题考查函数 （ ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题． ．（ 分）（ 山东）在平面直角坐标系 中， 为不等式组所表示的区域上一动点，则直线 斜率的最小值为（）．．．．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（ ， ）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解：不等式组表示的区域如图，当 取得点 （ ，﹣ ）时，直线 斜率取得最小，最小值为﹣．故选 ．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．．（ 分）（ 山东）给定两个命题 ， ．若￢ 是 的必要而不充分条件，则 是￢ 的（）．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为 是 的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解： 是 的必要而不充分条件，是 的充分不必要条件，即 ，但 不能 ，其逆否命题为 ，但 不能 ，则 是 的充分不必要条件．故选 ．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为 是 的充分不必要条件，是解答的关键．．（ 分）（ 山东）函数 的图象大致为（）．．．．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除 ，然后利用区特值排除 和 ，则答案可求．解答：解：因为函数 为奇函数，所以排除选项 ，由当 时，，当 时， ﹣ ＜ ．由此可排除选项 和选项 ．故正确的选项为 ．故选 ．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．．（ 分）（ 山东）过点（ ， ）作圆（ ﹣ ） 的两条切线，切点分别为 ， ，则直线 的方程为（）． ﹣．﹣ ﹣．﹣ ﹣．﹣考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意判断出切点（ ， ）代入选项排除 、 ，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答：解：因为过点（ ， ）作圆（ ﹣ ） 的两条切线，切点分别为 ， ，所以圆的一条切线方程为 ，切点之一为（ ， ），显然 、 选项不过（ ， ）， 、 不满足题意；另一个切点的坐标在（ ，﹣ ）的右侧，所以切线的斜率为负，选项 不满足， 满足． 故选 ．点评： 本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．．（ 分）（ 山东）用 ， ， ， ， 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） ．．．．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用 ， ， ， ， 十个数字，所有三位数个数为： ，其中没有重复数字的三位数百位数从非 的 个数字中选取一位，十位数从余下的 个数字中选一个，个位数再从余下的 个中选一个，所以共有： ，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为： ﹣ ． 故选 ．点评： 本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．．（ 分）（ 山东）抛物线 ：的焦点与双曲线 ：的右焦点的连线交 于第一象限的点 ．若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线，则 （ ）．．．．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在 取直线与抛物线交点 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与 的关系，把 点的坐标代入直线方程即可求得 的值．解答：解：由，得 （ ＞ ），所以抛物线的焦点坐标为 （）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（ ， ）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即 ．设该直线交抛物线于 （），则在点 处的切线的斜率为．由题意可知，得，代入 点得 （）把 点代入 得：．解得 ．故选 ．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．．（ 分）（ 山东）设正实数 ， ， 满足 ﹣ ﹣ ．则当取得最大值时，的最大值为（）．．．．考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时 ，代入所求关系式 （ ） ﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解： ﹣ ﹣ ，﹣ ，又 ， ， 均为正实数，（当且仅当 时取 ），，此时， ．﹣ （ ） ﹣ ，﹣ ﹣ ﹣ ．的最大值为 ．故选 ．点本题考查基本不等式，由取得最大值时得到 是关键，考查配方法求最值，属于中档题．评：二、填空题．（ 分）（ 山东）执行右面的程序框图，若输入的 值为 ，则输出的 值为 ．程序框图．考点：专图表型．题：分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出 的值．解答：解：循环前，， ， ，第一次循环，， ， ，第二次循环，， ， ，此时，满足条件，退出循环，输出 ，故答案为： ．点评：本题主要考查了直到循环结构，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．．（ 分）（ 山东）在区间 ﹣ ， 上随机取一个数 使得 ﹣ ﹣ 的概率为．考点：几何概型；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间 ﹣ ， 的长度求比值即得．解答：解：利用几何概型，其测度为线段的长度．由不等式 ﹣ ﹣ 可得 ，或，．解 可得 ，解 可得 ＜ ，解 可得 ．故原不等式的解集为 ，在区间 ﹣ ， 上随机取一个数 使得 ﹣ ﹣ 的概率为 ．故答案为：点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．．（ 分）（ 山东）已知向量与的夹角为 ，且，．若，且，则实数 ．数量积表示两个向量的夹角；向量的模．考点：专计算题；压轴题；平面向量及应用．题：分利用，，表示向量，通过数量积为 ，求出 的值即可．析：解解：由题意可知：，答：因为，所以，所以﹣解得 ．故答案为：．点本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．评：．（ 分）（ 山东）定义 正数对 ： ，现有四个命题：若 ＞ ， ＞ ，则 （ ） ；若 ＞ ， ＞ ，则 （ ） ；若 ＞ ， ＞ ，则；若 ＞ ， ＞ ，则 （ ） ．其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）考命题的真假判断与应用．点：专综合题；压轴题；新定义．题：分析：由题意，根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对 ， 分类讨论，判断出每个命题的真假解答：解：对于 ，由定义，当 时， ，故 （ ） （ ） ，又 ，故有 （ ） ；当 ＜ 时， ＜ ，故 （ ） ，又 ＜ 时 ，所以此时亦有 （ ） ．由上判断知 正确；对于 ，此命题不成立，可令 ， ，则 ，由定义 （ ） ， ，所以 （ ） ；由此知 错误；对于 ，当 ＞ 时， ，此时 ，当 时， ﹣ ﹣ ，此时命题成立；当 ＞ ＞ 时， ﹣ ，此时，故命题成立；同理可验证当 ＞ ＞ 时，成立；当＜ 时，同理可验证是正确的，故 正确；对于 ，可分 ， 与两者中仅有一个小于等于 、两者都大于 三类讨论，依据定义判断出 是正确的故答案为点评：本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规则是解题的关键，本题考查了分类讨论的思想，逻辑判断的能力，综合性较强，探究性强．易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错三、解答题．（ 分）（ 山东）设 的内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，且 ， ，．（ ）求 ， 的值；（ ）求 （ ﹣ ）的值．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（ ）利用余弦定理列出关于新，将 与 的值代入，利用完全平方公式变形，求出 的值，与的值联立即可求出 与 的值即可；（ ）先由 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 的值，再由 ， 及 的值，利用正弦定理求出 的值，进而求出 的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（ ） ， ， ，由余弦定理得： ﹣ （ ） ﹣ ﹣ ﹣ ，整理得： ，联立 解得： ；（ ） ， 为三角形的内角，，， ， ，由正弦定理得： ，，即 ， 为锐角，，则 （ ﹣ ） ﹣ ﹣ ．点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．．（ 分）（ 山东）如图所示，在三棱锥 ﹣ 中， 平面 ， ， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点， ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连接 ．（ ）求证： ；（ ）求二面角 ﹣ ﹣ 的余弦值．考二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．点：空间位置关系与距离；空间角．专题：分（ ）由给出的 ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点，利用三角形中位线知识及平行公理得到析：平行于 ，再利用线面平行的判定和性质得到 平行于 ，从而得到 ；（ ）由题意可知 、 、 两两相互垂直，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出 、 、 的长度，标出点的坐标，求出一些向量的坐标，利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角 ﹣ ﹣ 的余弦值．解（ ）证明：如图，答：， 为 ， 的中点， ，又 ， 分别 ， 的中点， ，则 ．又 平面 ， 平面 ．又 平面 ，且平面 平面 ， ．又 ， ；（ ）由 ， 为 的中点可得，三角形 为直角三角形，以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ）， （ ， ， ），因为 为三角形 的重心，所以 （ ，，）．则，，．设平面 的一个法向量为由，得，取，得 ．所以．设平面 的一个法向量为由，得，取，得 ．所以．所以 ．则二面角 ﹣ ﹣ 的余弦值等于．点评：本题考查了直线与平面平行的性质，考查了二面角的平面角及其求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，考查了计算能力，解答此题的关键是正确求出 点的坐标，是中档题．．（ 分）（ 山东）甲乙两支排球队进行比赛，先胜 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．（ ）分别求甲队 ： ， ： ， ： 胜利的概率；（ ）若比赛结果 ： 或 ： ，则胜利方得 分，对方得 分；若比赛结果为 ： ，则胜利方得 分，对方得 分，求乙队得分 的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（ ）甲队获胜有三种情形， ： ， ： ， ： ，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜，分别求出相应的概率，最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；（ ） 的取值可能为 ， ， ， ，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式解之即可．解答：解：（ ）甲队获胜有三种情形，其每种情形的最后一局肯定是甲队胜： ，概率为 （） ；： ，概率为 （） （ ﹣） ；： ，概率为 （） （ ﹣）甲队 ： ， ： ， ： 胜利的概率：．（ ）乙队得分 ，则 的取值可能为 ， ， ， ．由（ ）知 （ ）；（ ） ；（ ） （ ﹣） （） ；（ ） （ ﹣） （ ﹣） （） ；则 的分布列为（ ） ．点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与分布列，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．．（ 分）（ 山东）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．（ ）求数列的通项公式；（ ）设数列的前 项和为 且（ 为常数）．令 （ ）求数列 的前 项和 ．考点：等差数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（ ）设出等差数列的首项和公差，由已知条件列关于首项和公差的方程组，解出首项和公差后可得数列的通项公式；（ ）把的通项公式代入，求出当 时的通项公式，然后由 得数列 的通项公式，最后利用错位相减法求其前 项和．解答：解：（ ）设等差数列的首项为 ，公差为 ，由 ，取 ，得 ，即﹣再由，得，即联立 、 得， ．所以（ ﹣ ） （ ﹣ ） ﹣ ；（ ）把﹣ 代入，得，则．所以﹣ ，当 时， ．所以，．﹣ 得：所以；所以数列的前 项和．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的求和，训练了错位相减法，考查了学生的计算能力，属中档题．．（ 分）（ 山东）设函数．（ ）求 （ ）的单调区间及最大值；（ ）讨论关于 的方程 （ ）根的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（ ）利用导数的运算法则求出 （ ），分别解出 （ ）＞ 与 （ ）＜ 即可得出单调区间及极值与最值；（ ）分类讨论： 当 ＜ 时，令 （ ） ﹣ ﹣﹣ ， 当 时，令 （ ） ﹣．利用导数分别求出 的取值范围，即可得出结论．解答：解：（ ） ，解 （ ）＞ ，得；解 （ ）＜ ，得． 函数 （ ）的单调递增区间为；单调递减区间为．故 （ ）在 取得最大值，且．（ ）函数 ，当 ＞ 时的值域为 ， ）．如图所示：当 ＜ 时，令 （ ） ﹣ ﹣﹣ ，（ ），则 ．令 （ ） ﹣ ，则 （ ） ﹣ ＞ ， （ ）在 （ ， 单调递增，（ ）＜ （ ） （ ） ﹣ ．（ ）＜ ， （ ）在 （ ， 单调递减．．当 时，令 （ ） ﹣，得到 ﹣（ ），则 ＞ ，故 （ ）在 ， ）上单调递增， （ ） ．综上 可知：当时，方程 （ ）无实数根；当时，方程 （ ）有一个实数根； 当时，方程 （ ）有两个实数根．点评： 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法．．（ 分）（ 山东）椭圆 ：的左右焦点分别是 ， ，离心率为，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 ． （ ）求椭圆 的方程；（ ）点 是椭圆 上除长轴端点外的任一点，连接 ， ，设 的角平分线 交 的长轴于点 （ ，），求 的取值范围；（ ）在（ ）的条件下，过点 作斜率为 的直线 ，使得 与椭圆 有且只有一个公共点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，试证明为定值，并求出这个定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分析：（ ）把﹣ 代入椭圆方程得，解得，由已知过 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 ，可得．再利用，及 即可得出；（ ）设 ， ，由角平分线的性质可得，利用椭圆的定义可得，消去 得到，化为，再根据 ﹣ ＜ ＜ ，即可得到的取值范围；（ ）设 （ ， ），不妨设 ＞ ，由椭圆方程，取，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到 ， ，代入即可证明结论．解答：解：（ ）把﹣ 代入椭圆方程得，解得，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 ，．又，联立得解得，椭圆 的方程为．（ ）如图所示，设 ， ，由角平分线的性质可得，又 ，消去 得到，化为，﹣ ＜ ＜ ，即，也即，解得．的取值范围；．（ ）证明：设 （ ， ），不妨设 ＞ ，由椭圆方程，取，则 ， ． ，，，﹣ 为定值．点评： 本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．。
2013年高考全国卷理科数学高清解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x M , 则C M R 为(A) [－1,1](B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-【答案】D【解析】()f x 的定义域为M=[-1,1],故2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61【答案】C【解析】故选择C3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 【答案】B【解析】由题设可知区间[481，720]长度为240，落在区间内的人数为12人。
5. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π-(D) 4π【答案】A【解析】由题设可知矩形ABCD 面积为2，曲边形DEBF 的面积为22124ππ-=-，选A.6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = 2z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z =(D) 若12||||z z =, 则2122z z =【答案】D【解析】设12,,z a bi z c di =+=+若12||0z z -=，则12||()()z z a c b d i -=-+-，12z z =，则,a c b d ==-，所以12z z =，故22c d =+，所以1122..z z z z =，故C 项正确；a ,b ,c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以2sin()sin B C A +=，所以2sin sin A A =,所以sin 1A =，所以△ABC 是直角三角形。
2013高考数学试卷详解
设 AA1 = 2a ?A1C = 2 2 a，CD = 2 a，A1D = 6 a，
A1
?DG
=
CD?A1D A1C
=
6 2
a，DE
=
3
a
?EG
=
32 2
+
p 4
的终边上取一点 P(?2,
?1)，易得 sin(?
+
p 4
)=?
5 5
? sin?
+ cos??=
2 sin(?
+
p 4
)
=
?
10 5
（16）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，已知 S10 = 0，S15 = 25，则 nSn 的最小值
为
.
答案：? 49
【解法一】由 S10 =
0，S15
（C）若 x0 是 f (x )的极小值点，则 f (x )在区间(-∞, x0)单调递减 （D）若 x0 是 f (x )的极值点，则 f '(x0 ) = 0 答案：C
【解】f (x ) 的值域为(?∞, +∞), 所以（A）正确；
f
(x
)
=
[x 3 +
3x
2?
a 3
+
3x?(
a 3
)2 +
(
a 3
EG C
B
【解】（Ⅰ）设 AC1 ∩ A1C = F
?
F是AC1的中点 D是AB的中点
?
BC1 //DF，DF?平面 A1CD，BC1 ?/平面 A1CD
? BC1 //平面 A1CD.
（Ⅱ）解法一：由 AA1 = AC = CB =
2013高考 数学(理)真题专业解析(全国卷)汇总
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（全国卷）解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合={1,2,3}M∈∈，则M中元素的个数为，，={x|x=a+b,a A,b B}A，B={45}（）A．3 B．4 C．5 D．6答案:B思路分析:考点解剖:本题主要考查集合的性质与分类讨论思想.解题思路:弄清集合M中的元素与集合A和集合B中元素的关系，从而求集合M中的元素即可.解答过程:集合B中的元素4分别与集合A中的元素求和为5、6、7，集合B中的元素5分别与集合A中的元素求和得6、7、8.所以M={5，6，7，8}，元素个数为4.故选B.规律总结:要弄清集合的表示方法，特别是描述法，容易忽略互异性.2.3(1)=（）A．-8 B．8 C．8i- D．8i答案:A思路分析:考点解剖:本题考查复数的运算.解题思路:运用完全平方和公式与平方差公式化简复数.解答过程:3=-=-.故选A.(1)(12)8规律总结:要记住21i=-这个复数里面最常用的结论，还容易计算出错.3.已知向量(1,1)+⊥-，则λ=（）=+，若()()m n m nmλ=+，(2,2)nλA．-4 B．-3 C．-2 D．-1答案:B思路分析:考点剖析:本题主要考查向量的坐标运算与两向量垂直.解题思路:运用“若a b ⊥，则有0a b ⋅=”及“22||a a =”即可求解.解答过程:因为()()m n m n +⊥-，所以有22222()()[(1)1][(2)2]0m n m n m n λλ+⋅-=-=++-++=，从而有3λ=-.故选B.规律总结:要记住两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零，可能数量积分式会用错. 4.已知函数f(x)的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查复合函数的定义域.解题思路:弄清函数()f x 与(21)f x +定义域的关系求解即可. 解答过程:由1210x -<+<，得112x -<<-.故选B.规律总结:由两函数的定义域的关系，列出不等式，求解. 5.函数21()log (1)f x x=+（x>0）的反函数1()f x -=（ ）A ．1(0)21x x >- B ．1(0)21x x ≠- C ．21()x x R -∈ D ．21(0)x x -> 答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查求反函数的解析式.解题思路:由原函数的解析式解出x （即用y 表示x ），即可得反函数的解析式. 解答过程:由121yx =+，得121y x =-.因此11()(0)21x f x x -=>-.故选A. 规律总结:对于求反函数的解析式，关键是把原函数的解析式中的x 当作未知数求解. 需要特别注意要求反函数的定义域也就是求原函数的值域.6.已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+ 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查等比数列的判断方法与求和公式. 解题思路:先判断数列为等比数列，再用求和公式求解. 解答过程:由于113n n a a +=-，从而知数列{}n a 是首项14a =，公比13q =-的等比数列，因此前101014[1()]33(13)113---=++.故选C. 规律总结:根据数列的递推关系，若为特殊数列直接代公式求解，若为其它数列再选用其它方法.7.84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 答案:D 思路分析:考点解析:本题主要考查二项式定理解题思路:运用求二项式定理展开式系数的方法求解. 解答过程:8(1)x +展开式中2x 的系数是2828C =，4(1)y +展开式中2y 的系数是246C =，所以84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是286168⨯=.故选D.规律总结:解决二项式定理系数问题常用通项公式k n kkna b C-求解，容易计算出错或用错公式.8.椭圆C:22143x y +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[2,1]--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）A ．13[,]24B ．33[,]84C ．1[,1]2D ．3[,1]4答案:B 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、数形结合的思想. 解题思路:先设出点P 的坐标，然后得直线2PA 与直线1PA 斜率的积为常数求解.解答过程:设P 点坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=，2002pA y k x =-，1002pA y k x =+，于是122200222003334244PA PA x y k k x x -⋅===---，故12314PA PA k k =-.2[2,1]PA k ∈--133[,]84PA k∴=.故选B. 规律总结:设出点P 的坐标，再由斜率公式是求解此类问题的常用方法.容易分析计算出错.9.若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞ 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查导数判断函数的单调性、恒成立问题，考查化归转化思想. 解题思路:先将问题转化为不等式恒成立问题，再转化为求函数最值问题. 解答过程:由条件知21()20f x x a x =+-≥在1(,)2+∞上恒成立，212a xx≥-在1(,)2+∞上恒成立. 212y x x =-在1(,)2+∞上为减函数，max 211232()2y <-⨯=，3a ∴≥，故选D. 规律总结:运用函数的导数的应用将含有参数的函数的单调性转化为不等式恒成立问题是解决此类问题的常用方法.10.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B．3D ．13答案:A 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与平面所成的角解题思路:先证明线面垂直，找出线面角的平面角，再求三角形的内角. 解答过程:如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接1C O ,过C 作1CH C O ⊥于H11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⋂=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面11CH BDCH C O BD C O O ⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⋂=⎭1CH C BD ⇒⊥平面HDC ∴∠为CD 与平面1BDC设122AA AB ==，则2AC OC ==，1C O ====由等面积法，得11C O CH OC CC ⋅=⋅，即222CH =⋅，23CH ∴=，223sin 13HC HDC DC ∴∠===.故选A.规律总结:求线面角的常用方法是先找出线面角的平面角再转化为求三角形的内角，易出现平面角找不对而出错.11.已知抛物线C:28y x =与点M （-2,2），过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B两点，若0MA MB ∙=，则k=（ ）A ．12B．2C．2 答案:D 思路分析:考点剖析:本题主要考查直线与抛物线的位置关系与向量知识的交汇.解题思路:先设出A 、B 两点的坐标，再将0MA MB ∙=化成只含k 的等式求解. 解答过程:由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB 的方程为(2)y k x =-， 其代入28y x =得22224(2)40k x k x k -++=设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21224(2)k x x k ++=，124x x =. ①由1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩有1212212()4[122(12)4]y y k x x k y y k x x x x +=+-⎧⎨⋅=-++⎩②0MA MB ⋅=∴ 1122(2,2)(2,2)0x y x y +-∙+-=所以:121212122()2()80x x x x y y y y +++-++= ③ 由①②③解得k=2，故选D规律总结:解这类问题通常用一种设而不求（本题设出点A 、B 的坐标而不必求出）的方法求解，易选错方法与增加计算量.12.已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()y f x =的图像关于点(,0)π中心对称B ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称C ．()f x．()f x 既是奇函数，又是周期函数 答案:C 思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换与三角函数的图象和性质.解题思路:本题首先用同角三角函数的基本关系式中的平方关系，通过换元，再用导数求最值.解答过程:由题意知22()2cos sin 2(1sin )sin f x x x x x ==-令sin ,[1,1],t x t =∈- 则23()2(1)22g t t t t t =-=-令2`()260g t t =-=，得t =当1t =±时，函数值为0;(1)0g ±=，(g =，g =所以max()g x =，即()f x.故选C.规律总结:解本类选择题通过观察从容易判断的选项入手，恰好选项C 求最值是一种非常常见需要熟练掌握的，易看错求错，换成正确答案;对称性，奇偶性，最值判断方法没有掌握导致出错.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分. 13.已知α是第三象限角，1sin 3α=-，则cot α=答案:思路分析:考点剖析:本题主要考查三角恒等变换化简求值. 解题思路:先求出cos α，再用公式cos cot sin ααα=求解.解答过程:由题意知cos 3α===-，故c o sc o t 22s i nααα==规律总结:求解三角三函数的问题须要牢记公式并灵活运用，易忽略象限角致符号出错. 14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答） 答案:480 思路分析:考点剖析:本题主要考查排列问题;解题思路:先将排除甲、乙外的4人，再排甲、乙. 解答过程:先排除甲、乙外的4人，方法有44A 再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有25A 的排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A =480规律总结:不相邻问题常用的解决方法就是插空法. D.若直15.记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域为线(1)y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是答案:1[,4]2思路分析:考点剖析:本题主要考查线性规划问题.解题思路:先作出平面区域D ，再由直线(1)y a x =+的过定点求解. 解答过程:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线(1)y a x =+过定点(1,0)C -，由图并结合题意可知12BCk =，4AC k =，若直线(1)y a x =+与平面区域D 有公共点，则142a ≤≤. 规律总结:解决此类问题常用的方法是准确作图运用数形结合的思想方法求解. 16.已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于答案:16π思路分析:考点剖析:本题主要考查空间几何体、空间想象能力与分析问题的能力. 解题思路:先由二面角求出球的半径，再用表面积公式求解.解答过程:如右图，没MN 为两圆的公共弦，E 为MN 的中点，则OE MN ⊥，KE MN ⊥ 结合题意可知60OEK ∠=︒，又MN=R ，OMN ∴∆为正三角形，OE R∴=又OK EK ⊥，3sin 602OE R ∴=⋅︒=2R ∴=.2416S R ππ∴== 规律总结:解决球类问题常运用弦的中点与球（圆）心的连线将空间问题转化为平面问题.三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}na 的通项公式.答案:3n a =或21n a n =-思路分析:考点剖析:本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式及等比中项的概念. 解题思路:（1）先求出2a 与公差，（2）求通项公式.解答过程:设数列{}na 的公差为d .由232S a =得2223a a =，故20a =或23a =. 由124,,S S S 成等比数列得2214S S S =⋅.又12S a d =-，222S a d =-，4242S a d =+. 故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+.若20a =，则222d d =-，所以0d =，此时0n S =，不合题意;若23a =，则2(6)(3)(122)d d d-=-+，解得0d =或2d =.因此{}na 的通项公式为3n a =或21na n =-规律总结:关于等差、等比数列的问题，通常的解法是灵活运用通项公式与求和公式. 18.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（Ⅰ）求B;（Ⅱ）若sin sin A C =，求C.答案:（Ⅰ）120B =︒;（Ⅱ）15C =︒或45C =︒ 思路分析:考点剖析:本题主要考查解斜三角形.解题思路:（1）先用佘弦定理求得角B ，（2）用c o s ()c o s ()2s i n s i n A C A C A C-=++求解.解答过程:（Ⅰ）因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a c b ac +-=-由佘弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此120B =︒ （Ⅱ）由（Ⅰ）知60A C +=︒，所以cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos()2sin sin 112242A C A C A CA C A C A C A C A C -=+=-+=++=+⨯=故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此15C =︒或45C =︒规律总结:通常解正佘弦定理的运用问题要根据已知条件的特点恰当选用定理求解，若与三角函数综合还须要恰当凑角灵活运用公式，三角形求角通常还要用内角和定理.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，090ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.（Ⅰ）证明:PB CD ⊥; （Ⅱ）求二面角A-PD-C 的大小. 答案:（Ⅰ）详见解答过程;（Ⅱ）arccos3π-思路分析:考点剖析:本题主要考查空间直线与直线垂直的证明和求二面角.解题思路:（1）运用三垂线定理证明空间线线垂直，（2）找出二面角的平面角转化为解三角形或用空间向量求解.解答过程:（Ⅰ）取BC 的中点为E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O.连结OA ，OB ，OD ，OE.由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知PA=PB=PD.所以OA=OB=OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE BD ⊥，从而PB OE ⊥.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以//OE CD .因此PB CD ⊥（Ⅱ）解法一:由（Ⅰ）知PB CD ⊥，PO CD ⊥，PB PO P ⋂=.故CD ⊥平面PBD.又PD PBD ⊂平面，所以CD PD ⊥. 取PD 的中点为F ，PC 的中点G ，连结FG. 则FG//CD ，FG ⊥PD连结AF ，由APD ∆为等边三角形可得AF PD ⊥. 所以AFG ∠为二面角A-PD-C 的平面角. 连结AG ，EG ，则EG//PB. 又PB AE ⊥，所以EG AE ⊥. 设AB=2，则AE=112EG PB == 故3AG ==在AFG ∆中，12FG CD ==AF ，3AG =.所以222cos 2FG AF AG AFG FG AF +-∠==⨯⨯.因此二面角A-PD-C的大小为π-.解法二:由（Ⅰ）知，OE ，OB ，OP 两两垂直.以O 为坐标原点，OE 的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 设||2AB =，则(A，(0,D，C，PPC =，(0,PD =，(2,0,AP =，(2,AD =.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z=，则1(,,)0n PC x y z ⋅=⋅=，1(,,)(0,0n PD x y z ⋅=⋅=.可得20x y z --=，0y z +=. 取1y =-，得0,1x z ==，故1(0,1,1)n =-设平面PAD 的法向量为2(,,)n m p q，则2(,,)0n AP m p q ⋅=⋅=，2(,,)0n AD m p q ⋅=⋅=，可得0m q +=，0m q -=.取1m =，得1p =，1q =-，故2(1,1,1)n =-.于是121212cos ,3||||n n n n n n ⋅<>==-⋅由于12,n n <>等于二面角A-PD-C 的平面角，所以二面角A-PD-C 的大小为a r c c π-.规律总结:解决立体几何问题通常有几何法与向量法.用几何法求解时，考查空间想象能力运用化归转化的数学思想方法，有时需要灵活运用线线、线面、面面位置关系的判定定理与性质定理，有时需要把空间问题转化为平面几何问题求解;运用向量法关键是找三条共点两两垂直的直线建立坐标系并运用好法向量与相关公式.20.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率;（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望. 答案:（Ⅰ）14（Ⅱ）98思路分析:考点剖析:本题主要考查独立性事件的概率与随机变量的数学期望.解题思路:（1）运用独立性事件的概率公式求得第4局甲当裁判的概率，（2）分别求出各个随机变量对应的概率再运用数学期望的公式求解.解答过程:（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜“，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负“.A 表示事件“第4局甲当裁判“. 则A=12A A ⋅.12121()()()()4P A P A A P A P A =⋅=⋅=（Ⅱ）X 的可能值为0，1，2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙“1B 表示事件“第1局结果为乙和丙”.2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”.3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则1231231(0)()()()()8P X P B B A P B P B P A ==⋅⋅=⋅⋅=13131(2)()()()4P X P B B P B P B ==⋅=⋅=115(1)1(0)(2)1848P X P X P X ==-=-==--=.90(0)1(1)2(2)8EX P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅==规律总结:解决概率问题时，通常要认真读题弄清独立事件与互斥事件正确求出概率，求解数学期望时可用随机变量的分布列的性质检验计算结果并掌握快速准确计算的方法.21.（本小题满分12分） 已知双曲线C:22221x y a b -=（a>0,b>0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为3，直线y=2与C（Ⅰ）求a,b;（Ⅱ）设过2F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，且11||||AF BF =，证明:2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.答案:（Ⅰ）1,a b ==（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题主要考查双曲线的几何性质和直线与双曲线的位置关系.解题思路:（1）由离心率即可得a 和b 的关系，（2）再由直线y=2与C 的两个交点间的（Ⅰ），（3）由直线l 与C 的方程联立消y 后运用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式求解.解答过程:（Ⅰ）由题设知3ca=，即2229a b a+=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知=21a =.所以1,a b ==（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(3,0)F -，2(3,0)F ，C 的方程为2288x y -= ①由题意可设l 的方程为(3)y k x =-，||k <，代入①并化简得2222(8)6980k x k x k --++=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11x ≤，21x ≥，212268k x x k +=-，2122988k x x k +⋅=-.于是，11||(31)AF x ==-+.12||31BF x ===+.由12||||AF BF =得12(31)31x x -+=+，即1223x x +=-.226283k k =--，解得245k =，从而12199x x ⋅=-由于21||13AF x ===-.22||31BF x ===-.故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=.221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--=因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以2||AF 、||AB 、2||BF 成等比数列.规律总结:解决圆锥曲线类的解答题时，需要熟练掌握圆锥曲线的几何性质、定义、标准方程，对于直线与圆锥曲线问题通常的解决方法是联立直线与双曲线的方程然后消元运用一元二次方程根与系数的关系及其它解析几何的常见的公式（如两点间的距离公式，斜率公式…）求解.22.（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（Ⅰ）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值; （Ⅱ）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明:21ln 24n n a a n-+>. 答案:（Ⅰ）12;（Ⅱ）详见解答过程思路分析:考点剖析:本题考察函数与数列的综合应用，是一创新性题目，主要考察了学生对问题的分析、推理、解决;掌握函数、数列的性质，具有良好的分析、逻辑推理能力是解决本题的前提.解题思路:（1）运用导数即可求得λ的最小值，（2）运用所要证明的不等式与问题（Ⅰ）中结论的联系即可求解.解答过程:（Ⅰ）由已知(0)0f =，2'2(12)()(1)x x f x x λλ--=+，'(0)0f =.若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，'()0f x >，所以()0f x >. 若12λ≥，则当0x >时，'()0f x <，所以当0x >时，()0f x <. 综上，λ的最小值是12.（Ⅱ）证明:令12λ=.由（Ⅰ）知，当0x >时，()0f x <， 即(2)ln(1)22x x x x+>++.取1x k =，则211ln()2(1)k k k k k++>+. 于是212111()422(1)n n n k n a a n k k -=-+=++∑21212(1)n k n k k k -=+=+∑211lnn k nk k -=+>∑ln 2ln n n =- ln 2=.所以21ln 24n n a a n-+>. 规律总结:函数与数列综合题考在解答案题中考查，通过构造、推理、分类、放缩等方法，融知识、能力与素质与一体，综合问题对分析问题，解决问题能力具有很高要求.。
2013新课标全国2卷高考理科数学试题、解析与分析
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}R x x x M ∈<-=),4)1(|2，{}3,2,1,0,1-=N ，则M N = （ ） （A ）｛0,1，2｝ （B ）｛－1,0，1,2｝（C ）｛－1,0，2,3｝ （D ）｛0,1，2,3｝ 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ,所以M N {}2,1,0=，选A.2、设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -1【答案】A 【解析】i i i i i i i z +-=+-+=-=1)1)(1()1(212，所以选A. 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则1a ＝（ ）（A ） 31（B ） 31- （C ）91 （D ）91- 【答案】C4、已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α， l ⊄β，则（ ）（A ） α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l 【答案】D5、已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数是5，则a ＝（ ） （A ） －4 （B ） －3 （C ）－2 （D ）－1 【答案】D6、执行右面的程序框图，如果输入的10=N ，那么输出的S =（ ）【答案】B【解析】第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯，依此类推，选B.7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC -的直观图，以zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选A.8、设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）（A ） a b c >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）C b a >>【答案】D9、已知a ＞0， ,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ， 若23z x y =-＋y 的最小值是1，则a ＝（ ）（A ）41 （B ）21 （C ）1 （D ）210、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确。
2013高考理数数学分析
(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆
的弦, 且 BD//AC. 过点 A 做圆的切线与 DB 的延 长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F. 若 AB = AC,
AE= 6, BD = 5, 则线段 CF 的长为
解析：这道题是几何证明选讲的题型，比平常做得题稍复杂一点，因为这道题 放在了填空倒数第二题的位置上，而且更趋近于初中的解法。由切割线定理可 以直接求出 EB=4，又因为 EA 与圆相切，AB=AC BD//AC 可以推出四边形 EACB 为 平行四边形，即 AC=AB=4，连接 AF，△ABE∽△AFC，即可求出 CF=8/3.这道题的 已知条件过多，一定要缕清每个条件的作用。
(B) (D)
⎛1− 3 ⎞ ⎜ ⎜ 2 ,0 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
解析：这道题是函数与不等式的结合题，选第八题比较难，高考时直接做比较 花费时间，建议使用比较巧的方法做这种题。以这道题为例，有 ABCD 四个不同 范围的选项，用直接代数法，根据四个选项，代入
1− 3 和 1 就可以选出选项。 2
如果想直接得出结果的话，则需要代入函数，分类讨论，利用单调性和 A 的范 围求出结果，比较繁琐。
2, E 为棱 AA1 的中点.
1
以此类
(Ⅰ) 证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角 B1－CE－C1 的正弦值. (Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦 值为
2 6
, 求线段 AM 的长.
解析：正如之前的分析一样，又是一个正正方方的立体，特别容易进行建系， 只要以 AD、AA1、AB 分别为 x、y、z 轴建系，列坐标，所有的点均可以用坐标 表示，一二问就迎刃而解；第三问类似动点的问题，有一种固定的作法，设点
2013年河北省高考数学试卷详细解析
2013年河北省高考数学试卷（理科）（参考答案与试题解析）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2013•上海）计算：= ．考点：数列的极限．1483908专题：计算题．分析：由数列极限的意义即可求解．解答：解：==，故答案为：．点评：本题考查数列极限的求法，属基础题．2．（4分）（2013•上海）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ﹣2 ．考点：复数的基本概念．1483908专题：计算题．分析：根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．解答：解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．3．（4分）（2013•上海）若=，x+y= 0 ．考点： 二阶行列式的定义．专题： 常规题型．分析： 利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论．解答： 解：∵，∴﹣∴（）∴故答案为点评： 本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．4．（4分）（2013•上海）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是．考点：余弦定理．1483908专题：解三角形．分析：把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为，再利用余弦定理即可得出．解答：解：∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，∴，∴==．∴C=．故答案为．点评：熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键．5．（4分）（2013•上海）设常数a∈R，若的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a= ﹣2 ．考点：二项式系数的性质．1483908专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r（）r=C5r x10﹣3r a r令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（4分）（2013•上海）方程+=3x﹣1的实数解为log34 ．考点：函数的零点．1483908专题：函数的性质及应用．分析：化简方程+=3x﹣1为 =3x﹣1，即（3x﹣4）（3x+2）=0，解得 3x=4，可得x的值．解答：解：方程+=3x﹣1，即 =3x﹣1，即 8+3x=3x﹣1（ 3x+1﹣3），化简可得 32x﹣2•3x﹣8=0，即（3x﹣4）（3x+2）=0．解得 3x=4，或 3x=﹣2（舍去），∴x=log34，故答案为 log34．点评：本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法，属于基础题．7．（4分）（2013•上海）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．1483908专题：计算题．分析：联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．解答：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，解得ρ=或ρ=（舍），所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，故答案为：．点评：本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题．8．（4分）（2013•上海）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．专题：概率与统计．分析：利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．解答：解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．故答案为点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．9．（4分）（2013•上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．1483908专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．解答：解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．点评：本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．10．（4分）（2013•上海）设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ=30d2．考点：极差、方差与标准差．1483908专题：概率与统计．分析：利用等差数列的前n项和公式可得x1+x2+…+x19=和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出Dξ=即可得出．解答：解：由题意可得Eξ===x1+9d．∴x n﹣Eξ=x1+（n﹣1）d﹣（x1+9d）=（n﹣10）d，===30d2．故答案为30d2．点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键．11．（4分）（2013•上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= ．考点：三角函数的和差化积公式；两角和与差的余弦函数．1483908专题：三角函数的求值．分析：利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=，可得cos（x﹣y）=，再利用和差化积公式sin2x+sin2y=，得到2sin（x+y）cos（x﹣y）=，即可得出sin（x+y）．解答：解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．∵sin2x+sin2y=，∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，∴，∴sin（x+y）=．故答案为．点评：熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键．12．（4分）（2013•上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．考点：函数奇偶性的性质；基本不等式．1483908专题：函数的性质及应用．分析：先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．解答：解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为．．点评：本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．13．（4分）（2013•上海）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x ﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖恒原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为2π2+16π．考点：进行简单的合情推理．1483908专题：计算题；阅读型．分析：由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．解答：解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分组一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖恒原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π．故答案为2π2+16π．点评：本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题．14．（4分）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f ﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解xx0= 2 ．0，则专题：函数的性质及应用．分析：根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1）时，x∈[1，2）时f（x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x0的值．解答：解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．点评：本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2013•上海）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法．1483908专题：不等式的解法及应用．分析：当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．解答：解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．故选B．点评：此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．16．（5分）（2013•上海）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．1483908分析：因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．解答：解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B点评：本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．17．（5分）（2013•上海）在数列（a n）中，a n=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A．18B．28C．48D．63考点：数列的函数特性．1483908分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，...，7；j=1，2，...，12），要使a ij=a mn（i，m=1，2， (7)j，n=1，2，…，12）．则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n 时，a ij≠a mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3， (19)共18个不同数值．故选A．点评：由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）是解题的关键．18．（5分）（2013•上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M 分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（）A．m=0，M＞0B．m＜0，M＞0C．m＜0，M=0D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．1483908专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选D．点评：本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2013•上海）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．1483908专题：空间位置关系与距离．分析：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=（2，1，﹣2），再根据 =﹣0，可得⊥，可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B到平面D′AC的距离d= 的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离．解答：解：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则由题意可得，点A（1，0，0 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．设平面D′AC的一个法向量为=（u，v，w），则由⊥，⊥，可得，．∵=（1，0，1），=（0，2，1），∴，解得．令v=1，可得 u=2，w=﹣2，可得=（2，1，﹣2）．由于=（﹣1，0，﹣1），∴=﹣0，故有⊥．再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC．由于=（1，0，0），可得点B到平面D′AC的距离d===，故直线BC′到平面D′AC的距离为．点评：本题主要考查利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．20．（14分）（2013•上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．考点：函数模型的选择与应用．1483908专题：应用题．分析：（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．解答：解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣）×2=200（5x+1﹣）根据题意，200（5x+1﹣）≥3000，即5x2﹣14x﹣4≥0∴x≥3或x≤﹣∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为 y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣）×=90000（）=9×104[+]∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．21．（14分）（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，在向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．考点：正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．1483908专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b 都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．解答：解：（1）∵函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，∴，且，解得．（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移个单位，在向上平移1个单位，得到，∴函数y=g（x）=，令g（x）=0，得，或x=（k∈Z）．∴相邻两个零点之间的距离为或．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，∴．另一方面，在区间恰有30个零点，因此b﹣a的最小值为．点评：本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．22．（16分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点“（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．1483908专题：新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．解答：（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．23．（18分）（2013•上海）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足a n+1=f（a n），n∈N*．（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；（2）求证：对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．考点：数列的函数特性；等差关系的确定；数列与函数的综合．1483908专题：等差数列与等比数列．分析：（1）对于分别取n=1，2，a n+1=f（a n），n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围．解答：解：（1）a2=f（a1）=f（﹣c﹣2）=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|﹣|2+c|=2（6+c）﹣（c+2）=c+10．（2）由已知可得f（x）=当a n≥﹣c时，a n+1﹣a n=c+8＞c；当﹣c﹣4≤a n＜﹣c时，a n+1﹣a n=2a n+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c；当a n＜﹣c﹣4时，a n+1﹣a n=2a n﹣c＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c．∴对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；（3）由（2）及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣c，从而a n+1=f（a n）=a n+c+8，由于{a n}为等差数列，因此公差d=c+8．①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣c﹣8，又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣c，∴a n+1=f（a n）=a n+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②若﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去；③若a1≥﹣c，则由a n≥a1得到a n+1=f（a n）=a n+c+8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞）．点评：本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．。
2013浙江理科高考试卷分析
2013年浙江高考数学试卷分析（理科）题号、题型考点分析备注分值1 复数的运算考察复数基础知识和基本技能，基础题52 集合的概念与运算考察集合基础知识、概念，基础题53 指、对数的运算规律考察指、对数的运算基础知识和基本技能，基础题54 三角函数诱导公式与简易逻辑的结合考察三角函数诱导公式基础知识，简易逻辑推理能力，基础题55 程序框图、裂开项求和考察程序框图基础知识、裂项求和方法，基础题56 三角恒等变换考察三角恒等变换基础知识和基本技能，化归的思想方法，中档题57 平面向量、恒成立考察平面向量，数形结合思想，以及处理恒成立问题的基本思想方法，中档题58 含参函数的极值考察做选择题的灵活方法，函数极值问题，中档题59 椭圆离心率考察椭圆离心率定义，数形结合思想，解析几何的基本思想方法，综合性强，中档题510 【选择末】立体几何、抽象问题理解考察抽象定义的理解，结合解析结合思想方法，综合性强，难度大，难题511 二项式项的系数考察二项式基本知识，和处理二项式问题基本方法，基础题412 三视图，主要思想是还原立体图形从局部到整体考察空间想象能力，方法是假设验证法，中档题413 线性规划问题考察的是基本技能和方法，中档题414 特殊元素的排列、组合问题考察对排列、组合的理解以及处理特殊元基本方法，基础题415 抛物线的定义及应用考察抛物线基本知识，处理抛物线问题的基本方法，中档题416 解三角形考察正弦定理，基本思想方法中档偏上题417 【填空末】平面向量、最值考察以平面向量为载体，考察函数最值问题，数形结合思想是综合题目，中档偏上题418 数列考察等差、等比数列定义、通项，求和，方程组思想，分类讨论思想，基础综合题1419 概率考察随机变量的分布列、排列组合、方差，注重考察分类思想和逻辑性，中档题目1420 立体几何考察线面平行关系、二面角大小及逆向运用，结合正、余弦定理的应用，需要一定空间想象能力，从整体到局部的思想，综合性强，也可运用向量工具解决这类问题，中档题1521 椭圆、圆、直线的位置关系考察椭圆定义、与直线和圆的位置关系，最值问题，解析几何的思想，数形结合的思想，运算能力要求高，综合性强，中档偏难题1522 【解答末】含参变量的函数问题考察导数的几何意义的应用，以及对参数的处理，以及在闭区间内含参变量的函数最值问题，体现分类讨论思想，转化思想，数形结合思想和处理含参变量函数的一般方法，综合性强，难度大，难题14总体来看浙江2013年高考数学难度不大，满分150分，时间120分钟，中档和基础题目占了百分之八十左右，注重考察学生基础知识、基本技能、基本思想方法、和解决实际问题的能力，较往年的题目有所创新。
2013年广东高考数学试卷分析
题目无怪异难度有起伏——2013年高考广东数学试卷评析2013年广东高考数学试卷分文、理两卷，试题整体稳中求新、难易适中，贴近考生，有利于素质教育和高校选拔新生；充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标，对今后中学数学教育改革有良好的推动与导向作用。
现从以下三个方面对试卷进行解析：一、试题特点〔1〕强调“双基〞知识的考查高等教育进入“大众化〞的时代，2013年试题基础题的的比例达到110多分，让考生感到入手容易，信心倍增。
近三年基础知识点分值分布表：〔2〕突出主干知识的考查不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知识、主干知识的考查，这是近几年高考数学试题的一个重要特色，今年高考主干知识的分值继续保持稳定。
.近4年主干知识〔6大模块〕分值表：〔3〕重视数学思想方法与数学能力的考查重视考查考生的数学思想方法是广东命题组一贯的优良传统，今年也不例外，如文理试题第19题、文理试题第20题、理科试题第13题、文理21题等，考查了转化思想、函数方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方法。
今年试题对考生数学能力的考查也很到位，如理科第5题、第6题、第17题、第18题、第19题、文科第6题、第8题、第18题、第19题、第17题等考查了空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力等数学能力。
〔4〕巧设试题,注重知识点的交汇“在知识点的交汇处设计试题〞这一高考数学试题命制的理论，在今年的高考试卷中得到了贯彻和体现，如第20题，文理试题相同，考查了抛物线的方程、直线的方程、点到直线的距离公式、导数的应用、函数的最值等，综合性较强，较好地拉开了考生的距离。
又如理科第13题，将不等式线性规划与集合巧妙地融合在一起，是本试卷的一大亮点。
〔5〕文理试题难度差距缩小今年高考文理试题有较多相同之处，如文科第5题与理科第11题、文科第9题与理科第7题、文理第16题基本相同，文理第20题完全相同；理科试题的难度降低，如理科第17题对概率的考查、第21题对函数与导数的考查等。
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2013年高考数学试卷分析（理）承担校区 试卷分析人三、解答题18、本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ)由题 意得**22213,64,11,41.043)22(5Nn n a N n n a d d d d a a a n n ∈+=∈+-==-==--+=⋅或所以 或故 即 (Ⅱ)设数列{}由因为项和为的前,0,<d S n a n n （Ⅰ）得则,11,1+-=-=n a d n 当.22121112321n n S a a a a n n n +-=+⋯⋯+++≤＝时， 当.11022121212211321+-=+-+⋯⋯+++≥n n S S a a a a n n n ＝时，综上所述，.)12(11022121)11(2212122321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-+⋯⋯+++n n n n n n a a a a n ＝19.本题主要考查随机事件的概率和随机量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
满分14分。
(Ⅰ) ,由题意得.6,5,4,3,2=ξ 故 ;1856622132)4(;3166232)3(;416633)2(=⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯⨯==ξξξP P P3616611)6(;9166122)5(=⨯⨯===⨯⨯⨯==ξξP P 所以ξ的分布列为(Ⅱ)由题意知η的分布列为所以.95)353()352()351()(222=++⋅-+++⋅-+++⋅-=c b a c c b a b c b a a D η化简得：⎩⎨⎧=-+=--0114042c b a c b a解得.1:2:3::,2,3===c b a c b c a 故 20．（本题满分15分）如图，在四面体A BCD -中，AD BCD ⊥平面，BC CD ⊥，2AD =，BD =M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =． （1）证明：//PQ BCD 平面；（2）若二面角C BM D --的大小为60︒，求BDC ∠的大小．BAPCDMQ【分析】本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的运用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。
【解析】方法一：（1）取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连结,,OP OF FQ ， 因为3AQ QC =，所以//QF AD ，且14QF AD =． 因为,O P 分别为BD ，BM 的中点，所以OP 是BDM ∆的中位线，所以//OP DM ，且12OP DM =． 又因为点M 是AD 的中点，所以//OP AD ，14OP AD =．从而//OP FQ ．所以四边形OPQF 为平行四边形，故//PQ OF ．又PQ BCD ⊄平面，OF BCD ⊂平面，所以//PQ BCD 平面． （2）作CG BD ⊥于点G ，作GH BM ⊥于点H ，连结CH ． 因为AD BCD ⊥平面，CG BCD ⊂平面，所以AD CG ⊥．又CG BD ⊥，AD BD D = ，故CG ABD ⊥平面，又BM ABD ⊂平面，所以CG BM ⊥． 又GH BM ⊥，CG GH G = ，故BM CGH ⊥平面，所以GH BM ⊥，CH BM ⊥． 所以CHG ∠为二面角C BM D --的平面角，即60CHG ∠=︒． 设=BDC θ∠．在Rt BCD ∆中，cos CD BD θθ==sin sin CG CD θθθ==2sin BG BC θθ==．在Rt BDM ∆中，23BG DM HG BM θ⋅==． 在Rt CHG ∆中，3cos tan sin CG CHG HG θθ∠===．所以tan θ=60θ=︒，即=60BDC ∠︒．方法二:（1）如图，取BD 的中点O ，以O 为原点，,OD OP 所在射线分别为,y z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz ．由题意知(0,A B D ．设点C 的坐标为00(,,0)x y ，因为3AQ QC =，所以00331(,,)4442Q x y +． 因为M 是AD 的中点，故M ，又P 是BM 的中点，，故1(0,0,)2P，所以0033(,,0)444PQ x y =+ ．又平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)u =，故0PQ u ⋅=．又PQ BCD ⊄平面，所以//PQ BCD 平面． （2）设平面BMC 的一个法向量为(,,)m x y z =，由00(,1),)CM x y BM =-=知：00)0,0.x x y y z z ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩取1y =-得00(,y m x =-． 易知平面BDM 的一个法向量为(1,0,0)n =，于是1cos ,2m n m n m n⋅<>===，即200(3y x =① 又BC CD ⊥，所以0CB CD ⋅=，故0000(,,0)(,0)0x y x y -⋅=，即22002+=x y ②联立①，②解得00000)2x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩舍去或，所以tan BDC ∠==又BDC ∠是锐角，所以=60BDC ∠︒．21．（本题满分15分）如图，点(0,1)P -是椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的一个顶点，1C 的长轴是圆2224C x y +=：的直径．12,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于,A B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程．【分析】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
【解析】（1）由题意得12b a =⎧⎨=⎩，所以椭圆1C 的方程为2214x y +=． （2）设11220(,),(,),(,)Ax y Bx y Dx y ．由题意知直线1l 的斜率存在，不妨设为k ，则直线1l 的方程为1y kx =-．又圆2224C x y +=：，故点O 到直线1l 的距离为d =所以AB==又21l l⊥，故直线2l的方程为0x ky k++=．由2244x ky kx y++=⎧⎨+=⎩消去y，整理得22(4)80k x kx++=．故0284kxk=-+．所以PD=．设ABD∆的面积为S，则12S AB PD=⋅=，所以321313 =S≤=，当且仅当k=所以所求的1l的方程为1y x=-22.（本题满分14分）已知a R ∈，函数32()3333f x x x ax a =-+-+. （1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当[]0,2x ∈时，求()f x 的最大值.【分析】本题主要考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识，同时考查推理论证能力，分析解决问题的能力。
【解析】（1）由题意2'()363f x x x a =-+，故'(1)33f a =-. 又(1)1f =，所以所求的切线方程为(33)34y a x a =--+. （2）由于2'()3(1)3(1),02f x x a x =-+-≤≤，故①当0a ≤时，有'()0f x ≤，此时()f x 在[]0,2上单调递减，故{}max ()max (0),(2)33f x f f a ==-.②当1a ≥时，有'()0f x ≥，此时()f x 在[]0,2上单调递增，故{}max ()max (0),(2)31-f x f f a ==③当01a <<时，设1211x x ==，则 1202x x <<<，12'()3()()f x x x x x =--. 列表如下：x1(0,)x 1x12(,)x x2x2(,2)x2'()f x+- +()f x 33a -极大值1()f x极小值2()f x31a -由于12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--故1212()()20,()()4(10f x f x f x f x a +=>-=->， 从而12()()f x f x >，所以{}1max ()max (0),(2),()f x f f f x =， 1）当203a <<时，(0)(2)f f >.又21()(0)2(1(23)0f x f a a -=--=>，故1max ()()12(1f x f x a ==+-2）当213a ≤<时，(2)(2)f f =，且(2)(0)f f ≥.又21()(2)2(1(32)f x f a a -=--=，①当2334a ≤<时，1()(2)f x f >，故1max ()()12(1f x f x a ==+- ②当314a ≤<时，1()(2)f x f ≤，故max ()(2)31f x f a ==-综上：max33,0,3()12(1,4331,.4a a f x a a a a ⎧⎪-≤⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩。