第21课时：定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理 课件
【解析】 (2)由定积分的几何意义知,
3
1
和 x=1,x=3,y=0 围成的图形的面积,∴
3
1
3 1 2
dx=2·
= .
3 0 3
2
x
3 + 2- 2 dx 表示半圆(x-1)2+y2=4(y≥0)
1
4
3 + 2- 2 dx= ×π×4=π.
点拨：运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点:
为了方便,常把 F(b)-F(a)记作
即
曲边梯 F(x)
,
f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a).
四、定积分与曲边梯形面积的关系
设阴影部分的面积为 S.
(1)S= f(x)dx;
(2)S=-
(3)S=
(4)S=
f(x)dx-
f(x)dx;
f(x)dx;
f(x)dx-
[f1(x)±f2(x)]dx=
f(x)dx=
1
f(x)dx+
f (x)dx± f2(x)dx.
f(x)dx(其中 a<c<b).
答案
三、微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且 F'(x)=f(x),那么
f(x)dx= F(b)-F(a) ,
这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿-莱布尼茨公式.
−π
π
+ 2)dx=(-cos x+2x)
高考数学一轮复习讲义 第21课时 定积分与微积分基本定理 理
课题：定积分与微积分基本定理考纲要求：① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 . ② 了解微积分基本定理的含义. 教材复习1.定积分()1积分的定义及相关概念如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，用分点0122n n a x x x x x b -=<<<<<=，将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ(1,2,i =…，n )，作和式1()ni i b af n ξ=-∑，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()baf x dx ⎰.其中， 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间[],a b 叫做积分区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式．()2定积分的性质：①1ba dx =⎰；②()bakf x dx =⎰ (k 为常数)；③[]()()baf xg x dx ±=⎰ ；()b af x dx =⎰()3定积分的几何意义：① 当函数()f x 在区间[],a b 上恒正时，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积（左图中的阴影部分）即()baS f x dx =⎰； 当()f x ≤0时，()baS f x dx ==⎰()baf x dx ⎰.② 一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲边()f x以及直线x a =，x b =之间的曲边梯形的面积的代数和（右图中的阴影部分），其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数.2.微积分基本定理如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()baf x dx =⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．3.定积分的应用()1曲边梯形的面积：一般地，设由曲线()y f x =，()y g x =以及直线,x a x b ==所围成的平面图形的面积为S ，则S = （()()f x g x >）.()2匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数()v v t =(()0v t ≥)在时间区间[],a b 上的定积分，即 ()bas v t dt =⎰.()3简单几何体的体积：若几何体是由曲线()y f x =与直线,x a x b ==以及x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周得到的，则其体积为V =基本知识方法：1.求定积分有两种途径：牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义；当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.2.若()f x 是[],a a -连续的奇函数，则()aaf x dx -=⎰ ；若()f x 是[],a a -连续的偶函数，则()aaf x dx -=⎰()af x dx ⎰典例分析：考向一 定积分的计算（考虑牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义） 问题1．计算下列积分：()1221x dx ⎰； ()20(sin cos )x x dx π-⎰； ()32132xdx -⎰；()41-⎰； ()5()11cos 5sin x x x dx --⎰考向二 利用定积分求面积 问题2．求下图中阴影部分的面积．解：考向三 定积分的应用问题3．()1一物体以()238v t t t =-+()m s 的速度运动，在前30s 的平均速度为()2（2012福建）如图所示，在边长为1 的正方形OABC中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为.A 14 .B 15 .C 16 .D 17课后作业：1.计算定积分：①220sin 2xdx π⎰； ②()0cos x x e dx π-+⎰；③；④⎰2. （2013届高三西工大附中六模）)1x dx ⎰=3. （2013届高三湖北武汉调研）2302cos 12x dx π⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰.A -.B 12-.C 12.D走向高考：1.（2013北京）直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 .A 43 .B 2 .C 83 .D 32.（2013江西）若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231,x S e dx =⎰则123,,S S S 的大小关系为.A 123S S S << .B 213S S S << .C 231S S S << .D 321S S S <<3.（2013湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()73v t t =-251t++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止.在此期间汽车继 续行驶的距离（单位;m ）是.A 125ln5+ .B 11825ln 3+ .C 425ln5+ .D 450ln 2+4.（2013湖南）若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为5.（2012江西）计算定积分()121sin xx dx -+=⎰6.（2010湖南） 421dx x⎰等于 .A 2ln 2- .B 2ln 2 .C ln 2- .D ln 2 7.（2011陕西）设20lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a =。
定积分的概念与微积分基本定理(优质课)教案
定积分的概念与微积分基本定理（优质课）教案教学目标：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.教学过程：一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，()()i ni n ni i x f n x f S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim ()()i ni n n i i t v nt v S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b −=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x −上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f n ab x f ξξ∑∑==−=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f n ab ξ∑=∞→−1lim其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ−∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=−∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=−=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。
课件1：定积分与微积分基本定理
自
第4节 定积分与微积分基本定理
高 考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典例课来自探后究
作
·
业
提
知
能
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高
自
考
主 落
1．定积分的概念与性质
体 验
实
·
(1)定积分的定义：
· 明
固
考
基 础
如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 ， 用 分 点 a ＝ 情
π (1)(2013·广州模拟)若∫ 2 0(sin x＋acos x)dx＝2，则实数 a 等于( )
验 · 明 考 情
A．－1
B．1
C. 3
D．－ 3
(2)定积分3 9－x2dx 的值为( ) 0
典 例 探 究
A．9π B．3π C.94π D.92π
课 后 作
·
业
提
知
能
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固 基
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常
考 情
础
数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 定 积 分 ， 记 作
典 例 探
__baf_(_x_)d_x___，即baf(x)dx＝limi＝n1 b－n af(ξi)．
课 后
究
作
·
业
提
知
能
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③bf(x)dx＝_____a _______＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
微积分基本定理
微积分基本定理微积分基本定理是微积分学中的重要定理之一，它揭示了函数与它的导数之间的关系。
微积分基本定理分为两部分：第一部分是定积分的基本定理，第二部分是微分方程的基本定理。
本文将从这两个方面详细介绍微积分基本定理的概念、原理和应用。
一、定积分的基本定理定积分的基本定理是微积分中最基础的定理之一。
它表明了定积分与不定积分之间的关系，即定积分可以看作是不定积分的一个特例。
定积分的基本定理可以用以下数学公式表示：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数F(x)在区间[a, b]上可积，并且有：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式表明了定积分与不定积分之间的联系，也称为牛顿-莱布尼茨公式。
它告诉我们，如果知道一个函数在某个区间上的原函数，就可以求出该函数在该区间上的定积分值。
这个定理在计算曲线下面积、求函数的平均值等问题中有广泛的应用。
二、微分方程的基本定理微分方程的基本定理是微积分学中另一个重要的定理。
微分方程描述了函数的导数与函数自身之间的关系，通过微分方程可以求解一些函数的性质和行为。
微分方程的基本定理可以用以下形式表示：若函数f(x)在区间I上具有连续导数，则微分方程y'(x) = f(x)的通解可以表示为：y(x) = ∫f(x)dx + C其中C为积分常数，∫f(x)dx表示f(x)的一个原函数。
这个公式表明了微分方程的解可以通过对方程右侧函数的积分得到，同时需要加上一个积分常数。
微分方程的基本定理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，可以用来描述很多自然现象的规律。
综上所述，微积分基本定理是微积分学中两个重要的基本定理，它们揭示了函数与导数、函数与积分之间的重要关系。
这两个定理在微积分的理论体系和实际应用中都起着至关重要的作用，对于深入理解微积分学的原理和方法具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能对微积分基本定理有更深入的理解和认识。
导数的几何意义定积分与微积分基本定理
导数的几何意义定积分与微积分基本定理导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
在几何上，导数可以理解为函数图像上一点处的切线斜率。
考虑函数y=f(x)，如果在其中一点x=a处导数存在，则导数f'(a)表示该点处函数的变化率。
具体而言，对于非常小的增量Δx，函数在x=a处的导数f'(a)表示了函数在x=a处的切线的斜率，即切线与x轴正方向的夹角。
换句话说，导数可以理解为函数在其中一点的瞬时变化率。
例如，对于一条直线函数y=ax+b，其导数恒等于a，表示了该直线斜率的恒定性。
导数的几何意义不仅仅局限于切线的斜率，它还可以用来描述函数的凸凹性质。
当函数在其中一点的导数为正时，说明函数图像在该点处上升；当导数为负时，说明函数图像在该点处下降。
通过导数，我们可以了解到函数的变化趋势以及临界点的存在与性质。
定积分与微积分基本定理：定积分是微积分中的另一个重要概念，它表示了函数在一个区间上的累积变化量。
几何上，定积分可以理解为函数图像下方面积的计算。
考虑函数y=f(x)，如果在区间[a,b]上存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。
根据微积分基本定理，函数f(x)在区间[a,b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)简单来说，定积分就是原函数在区间上的差值。
通过定积分，我们可以计算函数在其中一区间上的变化量，并得到一个具体的数值结果。
几何上，定积分表示了函数图像在区间[a,b]上的下方面积。
当函数f(x)表示为正值时，定积分计算的是图像在区间上的面积；当函数f(x)表示为负值时，定积分计算的是图像下方的面积。
通过定积分，我们可以计算复杂函数图像的面积，并应用于曲线的长度、体积以及其他几何问题的求解。
综上所述，导数和定积分是微积分学中两个核心概念。
导数描述了函数在其中一点的变化率，可以理解为函数图像在该点的切线斜率；定积分表示了函数在一个区间上的累积变化量，可以理解为函数图像在该区间上的下方面积。
数学：《定积分与微积分基本定理》教案
定积分与微积分基本定理一. 教学内容：定积分与微积分基本定理二. 教学目的：1. 了解定积分的定义和定积分的几何意义；2. 会用定积分求一些平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力所做的功。
三. 重点、难点：定积分的定义和定积分的几何意义；微积分基本定理。
［知识分析］知识点1：定积分的定义1. 定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的．它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限的思想方法，定积分是由实际问题中提出的，对定积分概念说明如下： （1）把闭区间［a ，6］用n ＋1个分点（包括两个端点0n x a,x b ==）分为任意n 个小区间，并非要求一定分成n 等份，只是在有的问题中，为了解题方便，才用n 等分的方法去布列分点． （2）在每个小区间i x ∆上，点ξ的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即i i 1i x x 2-+ξ=，也可以取在小区间的两个端点，即i i x ξ=或i i 1x -ξ=，还可以取在小区间的其他任何位置（i ＝1，2，…，n ）． （3）从几何意义上讲，i i f ()x ξ⋅∆（i ＝1，2，…，n ）表示以i x ∆为底边，以i f ()ξ为高的第i 个小矩形的面积，而不是第i 个小曲边梯形的面积，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑表示n 个小矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，不过，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑可以近似地表示曲边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似程度也就越高． （4）总和n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑取极限时的极限过程为“i x 0∆→”（n →∞），当分割无限变细，即n →∞时，不一定能保证和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积．（5）定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值，定义n 1bi iax 0i 0f (x)dx lim f ()x -∆→==ξ⋅∆∑⎰实际上给出了定积分baf (x)dx⎰的一个计算方法，在实际问题中，由于它太繁琐，故很少使用．2. 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即bb ba a a f (x)dx f (u)du f (t)dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分baf (x)dx⎰与积分区间［a ，b ］息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值也不同，例如12(x1)dx+⎰与320(x 1)dx+⎰的值就不同。
定积分与微积分基本定理讲义
定积分与微积分基本定理讲义一、知识梳理1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1b －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃb a f (x )d x ＝lim n →∞∑n i ＝1 b －a nf (ξi )．在ʃb a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)；(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ；(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．注意：1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有(1)若f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则ʃb a f (x )d x ＝ʃb a f (t )d t .( )(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( )(3)若ʃb a f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( )题组二：教材改编2．ʃe ＋121x －1d x ＝________.3.ʃ0－11－x 2d x ＝________. 4．[汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________ m. 题组三：易错自纠5．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．46．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为________． 三、典型例题题型一：定积分的计算1．定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝______.2．ʃ1－1e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋23．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( ) A.34B.45C.56 D ．不存在思维升华：运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．题型二：定积分的几何意义命题点1：利用定积分的几何意义计算定积分典例 (1)计算：ʃ313＋2x －x 2 d x ＝________.(2)若ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m ＝________. 命题点2：求平面图形的面积典例由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．思维升华：(1)根据定积分的几何意义可计算定积分．(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．跟踪训练 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为________． (2)如图所示，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______．题型三：定积分在物理中的应用典例 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为____ m.思维升华：定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .跟踪训练 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433J D ．2 3 J答案 C 四、反馈练习1．π220sin d 2x x 等于( ) A ．0 B.π4－12C.π4－14D.π2－1 2．ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A ．πB.π2 C ．π＋1 D ．π－13.已知函数y ＝f (x )的图象为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( ) A.43B.54C.65D.76 6．设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝17．定积分ʃ20|x －1|d x 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．28．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止，则在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 9．π20π2sin()d 4x x +=⎰ ________. 10．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________． 11．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.12.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________．13.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.13B.310C.14D.1514．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 115．ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝______. 16．若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则ʃ20f (x )d x ＝________.。
定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。
2. 掌握微积分基本定理，了解其应用。
3. 能够运用微积分基本定理解决实际问题。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分是函数在区间上的积累量，用符号∫表示。
2. 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。
3. 微积分基本定理：微积分基本定理是定积分与导数之间的关系，表述为∫(f'(x)dx) = F(b) F(a)，其中F(x) 是f(x) 的一个原函数。
4. 微积分基本定理的应用：求解曲线下的面积、弧长、质心等问题的计算。
三、教学重点与难点1. 教学重点：定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的理解与应用。
2. 教学难点：微积分基本定理的证明，定积分的计算方法的综合运用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的证明。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决。
3. 练习法：课堂练习与课后作业，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：定积分的概念与计算方法。
2. 第二课时：微积分基本定理的证明。
3. 第三课时：微积分基本定理的应用。
4. 第四课时：定积分的综合练习。
六、教学策略1. 互动讨论：鼓励学生提问，师生共同探讨定积分与微积分基本定理的相关问题。
2. 小组合作：同学之间分工合作，共同完成定积分的计算和应用问题。
3. 利用多媒体：通过动画、图像等直观展示定积分的几何意义和应用。
七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对定积分概念、计算方法和微积分基本定理的理解。
2. 课后作业：布置有关定积分的计算和应用问题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：要求学生选择一个实际问题，运用微积分基本定理进行解决，以此评估学生的实际应用能力。
八、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如《微积分学导论》等。
2. 辅导资料：提供定积分与微积分基本定理的相关习题及解答。
定积分与微积分基本定理
第三章 导数及其应用
高考总复习·数学理科（RJ）
第三章 导数及其应用
(2)设 f(x)＝x22－，xx，∈x[∈0，（11]，，2]，则20f(x)dx 等于(
)
3
4
A.4
B.5
5
6
C.6
D.7
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第三章 导数及其应用
【解析】 ＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2， ∴a＝－1.
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第三章 导数及其应用
【答案】 4－ln 3
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第三章 导数及其应用
【思维升华】 (1)根据定积分的几何意义可计算定积 分；
(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤 ①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致 图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积 分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．
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第三章 导数及其应用
高考总复习·数学理科（RJ）
第三章 导数及其应用
跟踪训练 3 一物体在变力 F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单
位：m)作用下，沿与 F(x)成 30°方向作直线运动，则由 x＝1 运
动到 x＝2 时，F(x)做的功为( )
A. 3 J
23 B. 3 J
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第三章 导数及其应用
【解析】 01(2x＋
1－x2)dx＝102xdx＋10
1
1－x2dx＝x2 ＋
0
41π×12＝1＋π4 .
π 【答案】 1＋ 4
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定积分与微积分基本定理课件
欢迎来到本次课程，我们将深入探讨定积分与微积分的基本定理。
定积分的概念与性质
1 概念
定积分是用来计算曲线下面的面积或者计算变化率的数学工具。
2 性质
定积分具有加法性、线性性、保号性、保序性等基本性质。
3 重要定理
有界函数定积分存在性定理、定积分的中值定理等。
定积分的定义
1 黎曼和
定积分定义为用无穷小矩形逼近曲线下面的面积，并在极限存在时得出结果。
2 积分上限与下限
定义了定积分的区间，上限与下限决定了曲线下面的范围。
3 求解方法
可以进行直接计算、几何意义、等价改写等方式求解定积分。
计算定积分的方法
1
换元法
通过变量代换，把原有的积分式子转化为更简单的形式，以便求解。
2
分部积分法
通过将积分式子分解成两个函数的乘积，再逐步求解得到结果。
3
级数法
将函数展开成幂级数，再通过对级数求积分计算定积分。
微积分基本定理的内容
第一基本定理
定积分与原函数之间的关系，使得我们可以通 过求导得到定积分。
第二基本定理
计算定积分时，我们可以通过寻找原函数的算 法来简化计和推导来证明微积分基本定理的正确性，为其在实际使用中奠定基础。
微积分基本定理的应用
物理学
微积分在物理学中常用于描述运 动、力学和电磁学等领域。
经济学
工程学
经济学家使用微积分来研究需求 和供给、垄断和竞争等经济现象。
工程学中的建模和设计过程依赖 于微积分来解决复杂的问题。
展望与总结
通过学习定积分与微积分的基本定理，你将更深入理解数学背后的美妙，并能应用于各个领域。
微积分基本定理_图文_图文
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
高考理科数学新课标件定积分与微积分基本定理
定积分的性质
线性性质
对于任意常数$k_1$和$k_2$，有$int_{a}^{b}[k_1f(x) + k_2g(x)]dx = k_1int_{a}^{b}f(x)dx + k_2int_{a}^{b}g(x)dx$。
区间可加性
若$c$是区间$[a,b]$内的一点，则$int_{a}^{b}f(x)dx = int_{a}^{c}f(x)dx + int_{c}^{b}f(x)dx$。
微积分基本定理在解题中的应用
01
计算定积分
02
证明等式
利用微积分基本定理，可以直接计算 出某些函数的定积分结果，而不需要 使用复杂的积分方法和技巧。
通过构造适当的原函数和变上限积分 ，可以利用微积分基本定理证明一些 与定积分相关的等式。
03
解决实际问题
微积分基本定理在实际问题中也有广 泛的应用，例如计算物体的质量、重 心、转动惯量等物理量，以及求解经 济学中的边际效应和弹性等问题。
VS
变量代换法的步骤
首先，根据被积函数的特征，选择合适的 变量代换；其次，将原积分转化为关于新 变量的积分；最后，求出原函数并加上常 数C。
分部积分法
分部积分法的原理
利用两个函数乘积的积分等于其中一个函数与另一个函数的原函数乘积的积分减去另一 个函数与第一个函数的原函数乘积的积分，从而将复杂的积分转化为简单的积分形式。
要点二
定积分的几何意义
定积分在几何上表示由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$， $x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。若$f(x) geq 0$ ，则定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于曲边梯形的面积；若 $f(x) leq 0$，则定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于曲边梯形 面积的负值。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1．定积分的概念 在⎰b af (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质 (1)⎰b akf (x )d x ＝k⎰b af (x )d x (k 为常数)；(2)⎰b a[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎰baf 1(x )d x ±⎰b af 2(x )d x ；(3⎰b af (x )d x ＝⎰b af (x )d x ＋⎰b af (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎰baf (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数． 为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即f ⎰b a(x )d x ＝F (x ) |b a ＝F (b )－F (a )．基本积分公式表⑴C dx =⎰0 ⑵C x m dx x m m++=+⎰111 ⑶C x dx x+=⎰ln 1⑷C e dx e xx+=⎰⑸C aa dx a xx+=⎰ln ⑹⎰+=C x xdx sin cos ⑺⎰+-=C x x cos sin ⑻⎰+-=C x x x xdx ln ln 1．(2013·江西高考)若S 1＝⎰21x 2d x ，S 2＝⎰211xd x ，S 3＝⎰21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3 .C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 12．（2013北京，5分）直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直， 则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43B ．2 C.83 . D. 16233．（2013湖南，5分）若∫T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．4．（2012福建，5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取 一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) A.14 B.15 C.16 D.175．（2012湖北，5分）已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 . C.32 D.π26．（2011湖南，5分）由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1 C.32D.3. 7．（2010山东，5分）由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712 8.（2010湖南，5分）⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2.9．(2009·福建，5分)⎰-22ππ(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2.10．（2011陕西，5分）设f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≤+>⎰0,30,lg 2x dt t x x x a 若f (f (1))＝1，则a ＝________. 11、(2008海南)由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A.415B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2.12、(2010海南)设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1．定积分(1)定积分的相关概念：在∫ba f (x )d x 中，∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．(2)定积分的性质：①∫ba 1d x ＝b －a ；②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)； ③⎠⎛a b[f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ； ④⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x .(3)定积分的几何意义：①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分∫ba f (x )d x 的几何意义是由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b af (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x ＝a 、x ＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(如图中阴影所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．2．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有∫ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )．这个式子称为牛顿——莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即∫ba f (x )d x ＝ F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1.()baf x dx ⎰与()baf t dt ⎰相等吗？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分[()()]baf xg x dx -⎰ (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．1．(2013²江西高考)若S 1＝221x dx ⎰，S 2＝211dx x⎰，S 3＝21e x dx ⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 2．已知质点的速度v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20 B ．5t 20 C.103t 20 D.53t 203．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x 2xx，则11()f x dx -⎰的值是( )A.121x dx -⎰B. 112x dx -⎰ C. 021x dx -⎰＋12x dx ⎰ D. 012x -⎰d x ＋120x ⎰d x4．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 5．(2013²湖南高考)若20Tx dx ⎰＝9，则常数T 的值为________．[例1] (1) 120(2)x x dx -+⎰； (2) 0(sin cos )x x dx π-⎰；(3) 2211(e )x dx x+⎰; (4) 201x dx -⎰.【互动探究】若将本例(1)中的“－x 2＋2x ”改为“－x 2＋2x ”，如何求解？【方法规律】 定积分的求法(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()aaf x dx -⎰＝0.1.＝________.2．若()20sin cos d x a x x π+⎰＝2，则实数a ＝________.3.x ⎰＝________.[例以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 x 3x ＋4x(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J 【方法规律】利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．一物体做变速直线运动，其v t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为________．1．利用定积分求平面图形的面积是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度偏小，属中低档题．2．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下几个命题角度：(1)知图形求曲线围成图形的面积；(2)知函数解析式求曲线围成图形的面积；(3)知曲线围成图形的面积求参数的值．[例3] (1)(2012²湖北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2(2)(2011²新课标全国卷)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为A.103B．4 C.163D．6(3)(2012²山东高考)设a>0.若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略(1)知图形求面积．首先，依据函数的图象求出解析式；其次，确立被积函数；最后，利用定积分求面积．(2)知函数解析式求面积．解决此类问题应分四步：①画图；②确定积分上、下限，即求出曲线的交点坐标；③确定被积函数；④由定积分求出面积．(3)知图形的面积求参数．求解此类题的突破口：画图，一般是先画出它的草图；确定积分的上、下限，确定被积函数，由定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．1．曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是( ) A.13 B.23 C ．1 D.432．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个定理——微积分基本定理利用微积分基本定理求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分互为逆运算．条结论——定积分应用的两条常用结论(1)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；(3)积分可分段进行； (4)f (x )在区间[－a ，a ]上连续，若f (x )为偶函数，则()d aaf x x -⎰＝2 0()d a f x x ⎰；若f (x )为奇函数，则()d aaf x x -⎰＝0.易误警示(四)利用定积分求平面图形面积的易错点[典例] (2012²上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[名师点评] 1.本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量．曲线y ＝x 2＋2与直线5x －y －4＝0所围成的图形的面积等于________．[解题指导] 根据已知条件，求出f (x )的解析式，然后利用定积分求解．[全盘巩固]1．已知f (x )是偶函数，且6()d f x x ⎰＝8，则66()d f x x -⎰＝( )A ．0B ．4C ．6D ．162．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32 D.3 3．已知f (x )＝2－|x |，则21()d f x x -⎰＝( )A ．3B ．4 C.72 D.924．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403 m D.203m 5．(2014²德州模拟)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.112 B.14 C.13 D.7126．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A.14B.12 C ．1 D ．2 7．(2014²西安模拟)若11(2)d ax x x+⎰＝3＋ln 2，则a 的值是________．8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x，x ∈，e](e 为自然对数的底数)，则()d ef x x ⎰的值为________．9．曲线y ＝12ex 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 1、l 2、y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式．11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．12．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．[冲击名校]1．一物体在变力F (x )＝5－x 2(x 的单位：m ，F 的单位：N)的作用下，沿着与F (x )成30°角的方向做直线运动，则从x ＝1处运动到x ＝2处时变力F (x )所做的功为( )A.233 J B. 3 J C.433J D ．2 3 J 2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．[高频滚动]已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)若f (x )在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，求实数k 的取值范围；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，均存在t ∈[1,3]，使得13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16≤f (x )，试求实数c 的取值范围．积分与微积分基本定理答案1.解析：选 B S 1＝32113x ＝83－13＝73，S 2＝2ln 1x ＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝2e 1x ＝e 2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.2.解析：选 B S ＝10t tdt ⎰＝0250t t＝5t 2.3.解析：选 D11()f x dx -⎰＝012x -⎰d x ＋12x ⎰d x .4.解析：22x dx ⎰＝32103x ＝83.答案：83 5.解析：20T x dx ⎰＝3103T x ＝13T 3＝9，解得T ＝3.答案：3例 1.[自主解答] (1) 12(2)x x dx -+⎰＝12()x dx -⎰＋12xdx ⎰＝31103x-＋210x ＝－13＋1＝23.(2) 0(sin cos )x x dx π-⎰＝0sin xdx π⎰－0cos xdx π⎰＝(cos )x π-－sin 0xπ＝2.(3)2211(e )xdx x +⎰＝221e xdx ⎰＋211dx x ⎰＝221e 12x ＋2ln 1x ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2.(4)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x x ，x －x，故1(1)x dx -⎰＝1(1)x dx -⎰＋21(1)x dx -⎰＝2102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12＋12＝1.【互动探究】解：⎰表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x ，得(x －1)2＋y 2＝1(y≥0)，故0⎰表示圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，即⎰＝14π.解析：＝20sin cos x x dx π-⎰＝()40cos sin d x x x π-⎰＋()24sin cos d x x x ππ-⎰＝()sin cos 40x x π+＋()2cos sin 4x x ππ--＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.答案：22－22.解析：∵(a sin x －cos x )′＝sin x ＋a cos x ，∴46212243(34)d 4()d 22x x x x v t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰＝(sin cos )20a x x π-＝⎝⎛ a sin π2－⎭⎪⎫cos π2－(a sin 0－cos 0)＝a ＋1＝2，∴a ＝1.3.解析：由定积分的几何意义知，0x ⎰是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝围成的封闭图形的面积，故x ⎰＝π²324＝9π4.答案：9π4[例2] [自主解答] (1)由v (t )＝7－3t ＋151＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋151＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 3＋＋t 4＝4＋25ln 5.(2)力F (x )做功为2010d x ⎰＋42(34)d x x +⎰＝10x 20＋243422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝20＋26＝46.[答案] (1)C (2)B解析：由图象可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t <3，13t ＋1，3≤t ≤6，所以12s ～6 s 间的运动路程s＝()331122322222021022132()d d e 33363kx x x x kx x x x x x x kx x x ππ-⎡⎤''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥--=+- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦⎰⎰则＝1122d t t ⎰＋312d t ⎰＋6311d 3t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝t 2112＋2t 31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t 63＝494.答案：494[例3] [自主解答] (1)由题意知二次函数f (x )＝－x 2＋1，它与x 轴所围图形的面积为11()d f x x -⎰＝12()d f x x ⎰＝2 120(1)d x x -+⎰＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.(2)作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为4(2)d x x ⎤-⎦⎰＝)42d x x +⎰＝3224212032x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝23³8－12³16＋2³4＝163.(3)由题意知0x ⎰＝a 2.又332222033a x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭则＝a 2.即23a 32＝a 2，所以a ＝49.[答案] (1)B (2)C (3)491.解析：选A 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y 2＝x ，得两曲线的交点为(0,0)，(1,1)．所以)12d x x ⎰＝332121033x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝13，即曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是13.2.解析：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1,0)和(1,0)． 所以S ＝221d x x -⎰＝()121d x x -⎰＋()2211d x x -⎰＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 331＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤83－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2.答案：2[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1与x 轴围成图形的面积为122010d x x ⎰＋()12121010d x x x -⎰＝3110230x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3112＝54.[答案] 54 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2，5x －y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.如图所示，当2<x <3时，直线5x －y －4＝0在曲线y ＝x 2＋2的上方，所以所求面积为()32254(2)d x x x ⎡⎤--+⎣⎦⎰＝()32256d x x x ⎡⎤--⎣⎦⎰＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－6x ⎪⎪⎪32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52³32－13³33－6³3－⎝ ⎛⎭⎪⎫52³22－13³23－6³2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－143＝16.答案：161.解析：选 D 因为函数f (x )是偶函数，所以函数f (x )在y 轴两侧的图象对称，所以66()d f x x -⎰＝06()d f x x -⎰＋60()d f x x ⎰＝26()d f x x ⎰＝16.2.解析：选D 结合函数图象可得所求封闭图形的面积是33cos d x x ππ-⎰＝sin x 33ππ-＝ 3.3.解析：选C ∵f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x x ，2＋x x，∴21()d f x x -⎰＝()012d x x -+⎰＋()202d x x -⎰＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋x 220－1＋⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 2220＝32＋2＝72. 4.解析：选A 由v ＝40－10t 2＝0，得t ＝2(t ＝－2舍去)，则此物体达到最高时的高度为()2204010d t t -⎰＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 320＝40³2－103³8＝1603 (m)． 5.解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝1230()d xx x-⎰＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 4410＝13－14＝112.6.解析：选A 设图中阴影部分的面积为S (t )，则S (t )＝22()d ttx x -⎰＋122()d tx t x-⎰＝43t 3－t 2＋13，由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S (t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S (t )min ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.7.解析：由11(2)d ax x x +⎰＝()x 2＋ln x 1a ＝()a 2＋ln a －(12＋ln 1)＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2(a >1)，得a 2＋ln a ＝4＋ln 2，所以a ＝2.答案：28.解析：依题意得()d ef x x ⎰＝12d x x ⎰＋11d ex x ⎰＝x 3310＋ln x 1e ＝13＋1＝43.答案：439.解析：由题意得y ′＝12e x '⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212e x ，所以曲线在点(4，e 2)处的切线斜率为12e 2，因此切线方程为y －e 2＝12e 2²(x －4)，则切线与坐标轴的交点为A (2,0)，B (0，－e 2)，所以S △AOB ＝12|－e 2|³2＝e 2(O 为坐标原点)．答案：e 210解：(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ²82＋b ²8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0，故函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x ，得x 2－8x －t (t －8)＝0，∴x 1＝t ，x 2＝8－t .∵0≤t ≤2，∴直线l 2与f (x )的图象的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝()2208(8)d tt t x x x⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＋()222(8)8d tx x t t x⎡⎤-+--+⎣⎦⎰＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－t 2＋8t x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 20t ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋4x 2－－t 2＋8t x 2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403. 11解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝120()d x x x -⎰＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310＝16.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝120()d kx x kx x ---⎰d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 310k -＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝101d 3x x ⎫⎪⎭⎰＋3112d 3x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝322121036x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. 1.解析：选C 由已知条件可得，F (x )所做的功为32()2215d x x -⎰＝433J. 2.解析：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则()20d xkx x x -⎰＝()22d x x kx x -⎰，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 30x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 22x ， 整理得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169解：(1)f ′(x )＝2ax －bx ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3，f＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，f (x )＝2x 2－ln x ，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，则函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1<12，解得1≤k <32.k ＋1>12，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. (2)设g (t )＝13t 3－c ＋12t 2＋ct ＋ln 2＋16，根据题意可知g (t )min ≤f (x )min ，由(1)知f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋ln 2，g ′(t )＝t 2－(c ＋1)t ＋c ＝(t －1)(t －c )，当c ≤1时，g ′(t )≥0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递增，g (t )min ＝g (1)＝c2＋ln 2，满足g (t )min ≤f (x )min .当1<c <3时，g (t )在t ∈[1，c ]时单调递减，在t ∈[c,3]时单调递增，g (t )min ＝g (c )＝－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16，由－16c 3＋12c 2＋ln 2＋16≤12＋ln 2，得 c 3－3c 2＋2≥0，(c －1)(c 2－2c －2)≥0，此时1＋3≤c <3.当c ≥3时，g ′(t )≤0，g (t )在t ∈[1,3]上单调递减，g (t )min ＝g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2，g (3)＝－3c 2＋143＋ln 2≤－3³32＋143＋l n 2≤12＋ln 2.综上，c 的取值范围是(－∞，1]∪[1＋3，＋∞)．。
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课题：定积分与微积分基本定理
考纲要求：① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 .
② 了解微积分基本定理的含义.
教材复习 1. 定积分 1 积分的定义及相关概念 如果函数 f ( x) 在区间 a, b 上连续， 用分点 a x0 x1 x2
a a a
；
若 f ( x) 是 a, a 连续的偶函数，则
a
f ( x)dx
a
0
f ( x ) dx
典例分析：
考向一 定积分的计算（考虑牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义）
问题 1．计算下列积分： 2 2 0 (sin x cos x)dx ； 1 1 x 2 dx ；
3 1
2
3 2 x dx ；
4 1
1
1 x 2 dx ；
5 1 x cos x 5sin x dx
1
考向二
解：
利用定积分求面积
问题 2．求下图中阴影部分的面积．
不会学会，会的做对.
148
不拍万人阻挡，只怕自己投降！
Go the distance
考向三 定积分的应用 问题 3． 1 一物体以 v t t 2 3t 8 m s 的速度运动，在前 30s 的平均速度为
走向高考：
1. （ 2013 北京）直线 l 过抛物线 C ： x 2 4 y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的
图形的面积等于
A.
4 3
B. 2
C.
8 3
D.
16 2 3
2. （ 2013 江西）若 S1 x 2 dx ， S2
1
2
2
1
2 1 dx ， S3 e x dx, 则 S1 , S2 , S3 的大小关系为 1 x
区间 a, b 上的定积分，记作 积式． ① ③
b
限，区间 a, b 叫做积分区间，
b
a
f ( x ) dx .其中，
叫做被积函数，
与
分别叫做积分下限与积分上 叫做积分变量， f ( x)dx 叫做被
2 定积分的性质：
1dx
a
b a
；②
b
a
kf ( x)dx
；
( k 为常数)；
1 sin 2 xdx ；
④
1
0
x 2 2 xdx
2. （ 2013 届高三西工大附中六模）
1
0
1 x 2 x dx =
不会学会，会的做对.
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Go the distance
x 1 1 3 3 3. （ 2013 届高三湖北武汉调研） 3 2 cos 2 1dx A. B. C. D. 0 2 2 2 2 2
4. （ 2013 湖南）若 x 2 dx 9 ，则常数 T 的值为
0
T
5. （ 2012 江西）计算定积分
不会学会，会的做对.
1
1
x
2
sin x dx
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1 dx 等于 A. 2ln 2 B. 2ln 2 D. l n 2 C. ln 2 2 x lg x x0 ，若 f ( f (1)) 1 ，则 a 7. （ 2011 陕西）设 f ( x) a x 3t 2dt x 0 0
A. S1 S2 S3
B. S2 S1 S3 C. S2 S3 S1
D. S3 S2 S1
3. （ 2013 湖北）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 25 v t 7 3t （ t 的单位： s ， v 的单位： m / s ）行驶至停止.在此期间汽车继 1 t 续行驶的距离（单位; m ）是 11 A. 1 25ln 5 B. 8 25ln C. 4 25ln 5 D. 4 50ln 2 3
6. （ 2010 湖南）
4
不会学会，会的做对.
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v v(t ) ( v(t ) 0 )在时间区间 a, b 上的定积分，即 s v(t )dt .
b a
基本知识方法： 1. 求定积分有两种途径：牛顿-莱布尼兹公式和定积分的几何意义；当被积函数较为复杂，
定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分.
2. 若 f ( x) 是 a, a 连续的奇函数，则 f ( x)dx
不会学会，会的做对.
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则S
2 匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程 s ，等于其速度函数
（ f ( x) g ( x) ）.
的区域绕 x 轴旋转一周得到的，则其体积为 V
3 简单几何体的体积：若几何体是由曲线 y f ( x) 与直线 x a, x b 以及 x 轴所围成
2 （ 2012 福建）如图所示，在边长为1
A.
1 4
的正方形 OABC
中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为
B.
1 5
C.
1 6
D.
1 7
课后作业：
x 1. 计算定积分：① 2 sin 2 dx ； 0 2
②
cos x e dx ；
0 x
③
2 0
2. 微积分基本定理
如果 f ( x) 是区间 a, b 上的连续函数， 并且 F ( x) f ( x) ， 那么 这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式．
b
a
f ( x ) dx
，
3. 定积分的应用 1 曲边梯形的面积：一般地，设由曲线 y f ( x) ， y g ( x) 以及直线 x a, x b 所围成的平面图形的面积为 S ，
b
a
f ( x)dx
b
a
f ( x ) dx .
② 一般情况下，定积分
以及直线 x a ，x b 之间的曲边梯形的面积的代数和 （右图中的阴影部分） ， 其中在 x 轴 上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上的积分值的相反数.
b
a
f ( x ) dx 的几何意义是介于 x 轴、曲边 f ( x)
f ( x) g ( x) dx
b
a
f ( x ) dx
3 定积分的几何意义： b ① 当函数 f ( x) 在区间 a, b 上恒正时， 定积分 f ( x ) dx a
S f ( x)dx ； 当 f ( x) ≤ 0 时， S
a b
的几何意义是由直线 x a ， x b ，y 0 和曲线 y f ( x) 所围成的曲边梯形的面积（左图中的阴影部分）即
a, b
等分成 n 个小区间，在每个小区间 xi 1 , xi 上任取一点 i ( i 1, 2, …， n )，作和
xn2 xn b ，将区间
式
i 1
n
ba f (i ) ，当 n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f ( x) 在 n