2.4连续型随机变量及其概率密度函数

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2.4连续型随机变量及其密度函数

x0 x0
x
0
其中 ( 0) 为常数，则称随机变量X服从参数为
的指数分布．记为 X ~ E
上页
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例7 设随机变量X的概率密度为
• （1）试确定常数C：由
ce 2 x , x 0 p( x ) 0, x 0
2 x
1
•（2）

p( x )dx c e
x 2
e
2 2
x
⑴．曲线关于直线 x 对称，这表明：对于任意的 h 0，有 P h X P X h
f (x)
0 h

h
x
⑵．当 x 时，f x 取到最大值 f 1 2
(2)[0, ] 3 (4) [0, ] 2
练习题设连续型随机变量X的密度函数为 1 xe f ( x) c 0
x2 2c
x0 其他
2
则式中c为（（1）任意实数（3） 1
）（2）正数（4）任意非零实数
均匀分布若随机变量X 的概率密度为：
f (x)
1 , a xb f ( x) b a 0, 其它
x ,
二、
密度函数的性质
(1) 非负性 (2) 归一性
f x 0 x ,

f ( x )dx＝1.
性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；这两条性质是判定一个函数 f ( x ) 是否为某随机变量
X的概率密度函数的充要条件。
f (x)
年的概率为多少？
解
3e 3 x f ( x) 0

连续型随机变量及其密度函数的概念与性质

连
续
型
离
散
型
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
例1 设随机变量的密度函数为
e− , > ,
() = ൝
≤ .
,
(1) 确定常数 ;
(2) 求{ > . } ; (3) 求的分布函数().
解 (1)由归一性, 有
+∞
න
−∞
+∞
()d = න
e− d ≈ . .
.
()是分段表
达的, 求 ()
时也分段求.
当 x ≤ 0 时, F(x)=0.

当 x＞0 时, () = න ()d = න e− d = − e− .
−∞
所以

− e− ,
() = ൝
,
> ,
≤ .
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的
概念与性质
知识点2.5
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
离散型可能值为离散可列个点,如,次品数.

随机
变量连续型
可能值为某个区间,如,年降水量.
←分布律
←？
1. 概率密度函数定义
设()是随机变量的分布函数, 若存
在非负函数 (), 使对任何实数 ,有
知识点2.5
故
连续型随机变量及其密度函数的概念与性质
− = + ,
→−
= + .
→
−
π
+
= − = ,

π
+
= + = .

2.4连续型随机变量及其概率密度1

c
ba
例在PGA巡回赛中，前100名最好的高尔夫运动员的击球距离在260米和284米之间，假设这些运动员的击球距离在该区间上服从均匀分布。
(1)写出击球距离的概率密度函数；解：令X表示击球距离，根据题意可知X~U(260,284)
f
(x)

1 24
,
260 x 284
0,
0
x0
P{X 1} F(1) 1 (11)e1 1 2e1
二、几个重要的连续型随机变量及其密度函数
1.均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度
f
(
Байду номын сангаас
x)

b
1
a
,
0,
a x b, 其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U(a,b).
概率密度函数图形

0
0dx
0.5 3x2dx x3 0.5 0.125
1
0
0
A3
3x2, 0 x 1,
例题 1 设 X 概率密度 f (x) 0
, 其它.
求（3）求 F(x) .
解（3）由定义知 F(x) x f (t)dt
x
x
当 x 0 时， F(x) f (x)dx 0dx 0 ；
0.06
0.04
0.02
连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关
-10
-5
a
5
bx
x
F( x) f (t)dt
注意
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不可
能事件，则有P{ X a} 0. 反之不一定

2.4常用的连续型分布

P{x1 X x2 } ( x2 ) ( x1 ) 0 ( x2 x1

) 0 (

)
)
x1 P{ X x1} 1 ( x1 ) 1 0 ( )
P{ X x1} ( x1 ) 0 (
x1

)①
p1 0 (
4
4
) 0 ( 1)
p2 1 0 (
5
5
) 1 0 (1)
6
3. 定理2.5（指数分布的无记忆性）非负连续型随机变量X服从指数分布的充要条件是对任意的正实数r, s有
P{X r s X s} P{X r}
例. 某元件的寿命X服从指数分布，已知其平均寿命为1000小时，求3个这样的元件使用1000小时，至少已有一个损坏的概率。（P64例2.22）
三. 正态分布
1.定义如果随机变量X的概率密度函数为
( x )2 2 2
( x)
1 2

e
,
x
其中和 2都是常数，任意， >0，则称 X 服从参数为和 2的正态分布. 记作 X ~ N ( μ , σ 2 ).

2. 数字特征
X 的分布函数为
0, x x a F ( x) f (t ) d t , ba 1
x a, a x b, xb
3
二. 指数分布
1.定义如果随机变量X的概率密度函数为
λ e , x 0 f ( x) ( λ 0) x0 0, 则称X服从参数为的指数分布,记为X ~ e().
推论2: X～N(, 2)的充要条件是存在随机变量 ξ ～N(0, 1), 使得X= ξ + .

连续型随机变量及其概率密度函数

是一个连续型随机变量的概率密度函数.
证明：(1). 显然, f ( x) 0 ( x )
(2).
f ( x)dx
1e x dx
2
1 0 e xdx 1 exdx
2
20
一般只需验证f(x)性质中的这两条即
可.
11 1 22
概率统计
例2. 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小
f (x)
概率统计
0
x1 x2
x
性质4
若 f ( x) 在点 x 处连续，则有：F( x) f ( x)
物理意义:
F ( x x) F ( x)
f ( x) lim
x 0
x
P( x X x x)
lim
x0
x
故 X 的密度 f (x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x] 上的概率与区间长度 x
时)是一个连续型随机变量,其密度函数为:
f
(
x)
e
x 100
0
求: (1). 的值.
当x 0 当x 0
(2).这台计算机在毁坏前能运行 50 到 150 小
时的概率. (3).运行时间少于100小时的概率.
概率统计
解: (1)
1
f ( x)dx
x
e 100dx
0
x
100e 100
f
(
x)
2
1 x2 ,
1 x 1
求 : F(x)
0, 其它
x
解: F ( x) P( X x) f (t)dt
当 x 1 时, F( x) 0
当1 x 1,
F(x)

连续型随机变量及其概率密度

问：怎样求一般正态分布的概率？
对一般的正态分布：X ~ N ( , 2)
其分布函数 F( x)
1
e d t x
(t )2 2 2
2
作变量代换s
t
F(x)
1 2
x
s2
e 2ds
x
即 X ~ N ( , 2) 则 X ~ N ( 0 ,1)
P{a
X
b}
F (b)
222 0.3830
3) 0.6826 4) 0.4981
0.02
-10
-5
a
5
b
x
例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为连续型随机变量，其概率密度函数为
f
(
x)
c x2
,
0,
x 1000 其它
( c 为常数)
(1) 求常数 c
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，
每只晶体管能否正常工作相互独立，求在
使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
(3) P(X>1.76)= 1 – P(X≤1.76)= 1 – Φ(1.76)
=1 – 0.9608 =0.0392 (4) P(X< – 0.78)= Φ(- 0.78) =1-Φ(0.78)
=1 – 0.7823 =0.2177 (5) P(|X|<1.55)= 2Φ(1.55) – 1 (6) P(|X|>1.55)= 1 – P(|X|<1.55)
即： P( X a) 0, a为任一指定值
事实上 { X a} {a x X a}
x 0
0 P{ X a} P{a x X a} aax f ( x)d x

连续型随机变量及其概率密度

dt
0
x
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第23页
2. 正态分布的密度函数f(x)的图形的性质
1 f ( x) e 2 ( x- )2 2 2
,- x
(1) f(x) 关于是对称的. 在点 p(x) 取得最大值. (2) 若固定, 改变, f(x)左右移动, 形状保持不变.
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第3页
下面根据这些数据绘制频率分布直方图．
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第4页
从频率直方图看出，该校16岁女生的身高的分布状况具有“中间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm的人数最多，往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边近似对称．
f(x) σ 小 0 μ x
σ大 (3) 若固定, 改变, 越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭.
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第24页
标准正态分布N(0, 1)
密度函数记为 (x), 分布函数记为 (x).
( - x )
2
(x)
第2章
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
第17页
2. 指数分布
设连续型随机变量X具有概率密度
x 1 - x0 e f ( x) 0 x0 则称X服从参数为θ 的指数分布。记作X~E(θ).
其分布函数为
F ( x) P( X x)
x - x 1 - e f (t )dt 0
1. 定义若X的概率密度为
1 f ( x) e 2
( x- )2 2 2

2.4连续型随机变量的概率密度

0
其它
则称随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布．
记作 X ~ U [a , b]或 X ~ R [a, b]
均匀分布的概率背景
如果随机变量 X 服从区间a， b上的均匀分布，则随机变量 X 在区间a， b上的任意一个子区间上取值的概率与该子区
间的长度成正比，而与该子区间的位置无关．
这时，可以认为随机变量 X 在区间a， b上取值是等可能的．
解：设该乘客于7时X分到达此站．
则X服从区间[0，30]上的均匀分布
其密度函数为
f
x
1 30
0 x 30
0 其它
令：B={ 候车时间不超过5分钟 }
则 PB P10 X 15 P25 X 30
15
1
30
dx
1
dx
1
10 30
25 30
3
例6 设随机变量服从区间 3， 6上的均匀分布，
⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许
多分布所不具备的．
⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．
标准正态分布的计算
如果随机变量 X ~ N0， 1，则其密度函数为
x
1
x2
e2
2
,
其分布函数为
x
x tdt
1
x t2
e 2 dt
2
x
书上第179页列出了标准正态分布表，
f (x)
f (x)
1
0
x
0 x1 x2 x
说明
由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
若已知连续型随机变量X 的密度函数为 f x，

w4-2-§4 连续型随机变量及其概率密度

练习1: 有一批晶体管，已知每只的使用寿命X为连续型随机变量,其概率密度函数为
( c 为常数)
(1) 求常数 c；解(1)
c = 1000
故
练习1: 有一批晶体管，已知每只的使用寿命X为连续型随机变量,其概率密度函数为
(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，每只晶体管能否正常工作相互独立,求在使用的最初1500 小时只有一个损坏的概率。解(2) 设事件A表示一只晶体管的寿命小于1500小时, 则
一、连续型随机变量及其概率密度
理解： (1) 只有连续型随机变量才有概率密度函数。 (2) 如果将X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 在 x 处的函数值就表示 X 落在区间 (-, x]上的概率。 (3) 连续型随机变量的分布函数是连续函数。
一、连续型随机变量及其概率密度
a.
b. 对于任意区间（x1，x2］，有：
练习1：设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6) 解：
练习2 已知求 P ( X < 0 ).
解一
且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
练习2 已知求 P ( X < 0 ).
且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
P{ X 1} 2 (1) 1 = 0.6826 P{ X 2} 2 (2) 1 = 0.9544
P{ X 3} 2 (3) 1 = 0.9974
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3，3] 区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。
4. 计算概率
（1）ＸＮ(0，1) （2）ＸＮ(, 2)
理解：(3) 连续型随机变量的分布函数是连续函数。

2.4连续型随机变量及其概率密度函数

-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣琪琪桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3

连续型随机变量与概率密度函数

连续型随机变量与概率密度函数随机变量是概率论中的重要概念之一，它描述了在一次试验中可能发生的不确定事件的数值结果。

随机变量分为离散型和连续型两种。

在本文中，我们将重点介绍连续型随机变量以及与之相关的概率密度函数。

连续型随机变量是指在一定区间内可能取任意实数值的随机变量，其结果可以是无限多的。

与离散型随机变量相比，连续型随机变量通常与测量、计量有关，例如时间、长度、重量等。

为了描述这种连续型随机变量的概率分布，我们引入了概率密度函数的概念。

概率密度函数是用来描述连续型随机变量的概率分布的函数。

它在某个取值点上的值并不代表概率，而是表示这个点附近的概率密度。

具体来说，对于概率密度函数f(x)而言，它满足以下两个条件：1. f(x) ≥ 0，即概率密度函数的取值非负；2. 在概率密度函数的取值范围内，其面积等于1，即∫f(x)dx = 1。

概率密度函数与概率的关系可以通过累积分布函数来进行描述。

累积分布函数F(x)定义为概率密度函数f(x)在某一取值点x及其左侧区间上的积分，即：F(x) = ∫[a,x]f(t)dt其中a表示概率密度函数f(x)的定义域起点。

连续型随机变量的期望值和方差也可以通过概率密度函数来计算。

对于一个随机变量X，其期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx方差Var(X)定义为：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx通过概率密度函数的求积分运算，我们可以计算出连续型随机变量的期望值和方差，从而更好地理解和描述随机变量的特征。

在实际应用中，连续型随机变量与概率密度函数经常用于模型建立、数据分析和统计推断等领域。

例如，在物理学中，速度、温度、能量等变量通常是连续型随机变量，通过概率密度函数的分析，可以研究其分布规律以及相应的统计特性。

在金融学中，股票价格的变化、利率的波动等也可以视为连续型随机变量，利用概率密度函数可以预测未来风险并制定相应的投资策略。

总结起来，连续型随机变量与概率密度函数的概念和应用在概率论和统计学中至关重要。

2.4连续型随机变量及其分布

当 x 0 时, 如右图
(x) 1 (x).
-x 0 x x
3σ准则由标准正态分布的查表计算可以求得，当X～N(0,1) 时，
P{ X 1} 2(1) 1 0.6826 P{ X 2} 2(2) 1 0.9544 P{ X 3} 2(3) 1 0.9974
这说明X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。
德莫佛
斯加以推广，所以通常称为高斯分布。
高斯
Ⅰ. 正态分布的定义
定义1 设连续型随机变量的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
( 0, 均为参数)
2
则称 X 服从参数为，的正态分布或高斯分布，
记为 X ~ N (, 2 ) 定义2 若X 的概率密度为 (x)
1
解: (1) P{1 X 2} (2) (1) 0.9772 0.8413 0.1359
(2) P{X -1.24} (1.24) 1 1.24
1 0.8925 0.1075
(3) P{ X 1.14} 2(1.14) 1
20.8729 -1 0.7458
Ⅳ. 正态分布的标准化
2 -
t x
1
e dx
(
x )2 2 2
2 -
1
t2
e 2 dt
1
2 1
2 -
2
Ⅱ. 正态分布概率密度的性质
① 曲线关于直线 x 对称。
② 当 x 时，f (x) 取得最大值 f (x)
1
x离μ越远，f (x) 的值就越小。 2
③ 曲线在 x 处有拐点。
④ 曲线以x轴为水平渐近线。

2.4连续型随机变量的概率密度

λe −λx , x ≥ 0 ∴ f ( x) = 0 ,x <0
例6
已知随机变量X 已知随机变量X的概率密度为
0 ≤ x <1 x f ( x ) = 2 − x 1 ≤ x < 2 0 其他
1)求的分布函数F(x), 1)求X的分布函数F(x), 解由F ( x) = 2)求P{X∈ 2)求P{X∈(0.5,1.5)}
0
π
π
∴函数f ( x) = sin x不是某一随机变量ξ的分布密度函数.
(3)当x ∈ [0,3π / 2]时, ∵ f ( x) = sin x不满足非负性 ∴函数f ( x) = sin x不是某一随机变量ξ的分布密度函数.
例4.设随机变量ξ的分布密度为 A f ( x) = , (−∞ < x < +∞) 2 1+ x 求(1)常数A;(2)ξ的分布函数;(3) P(−1 ≤ ξ < 1)
∫
x
−∞
f ( x)dx,
x −∞
当x < 0时，F ( x) = ∫
f (u )du = ∫ 0du = 0,
0
x
x
当0 ≤ x < 1时，F ( x) = ∫
−∞
x2 f (u )du = ∫ udu = , 0 2
x
当1 ≤ x < 2时， x F ( x) = ∫ f (u)du = ∫ udu + ∫ (2 − u)du = 2x − −1 −∞ 0 1 2
∵ f ( x) = sin x ≥ 0;
且∫
π /2
0
sin xdx = − cos x |π / 2 = 1 0
∴函数f ( x) = sin x是某一随机变量ξ的分布密度函数.

连续随机变量及其概率密度函数

连续随机变量及其概率密度函数在概率论与数理统计中，随机变量是指在一个概率空间中取值的变量。

其中，连续随机变量是指在一定区间内可以取到无穷多个不同值的随机变量。

连续随机变量的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是描述连续随机变量概率分布的函数。

1. 连续随机变量的定义连续随机变量通常用大写字母表示，如X。

与离散随机变量不同的是，连续随机变量的取值范围通常是无穷多个实数值。

例如，一个连续随机变量可以表示一个人的身高，其取值可以是任意的实数。

2. 连续随机变量的概率密度函数对于连续随机变量X，其概率密度函数f(x)定义了在X取值等于x时的概率密度，即X落在x附近的概率。

概率密度函数需要满足以下两个条件：- f(x) ≥ 0，对于任意的x∈R；- ∫f(x)dx = 1，即概率密度函数的积分等于1。

3. 连续随机变量的性质连续随机变量的概率可以通过求取积分来计算。

具体而言，如果要求X在区间[a, b]的概率，即P(a ≤ X ≤ b)，可以使用概率密度函数进行计算：- P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。

4. 连续随机变量的期望和方差连续随机变量的期望和方差的计算方式与离散随机变量有所不同。

- 连续随机变量X的期望值E(X)可以通过积分的方式计算：E(X)= ∫xf(x)dx。

- 连续随机变量X的方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X)= E((X-E(X))^2) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx。

5. 常见的连续分布函数在概率论与数理统计中，有许多常见的连续分布函数可用来描述实际问题中的连续随机变量。

以下是一些常见的连续分布函数： - 正态分布（Normal Distribution）- 均匀分布（Uniform Distribution）- 指数分布（Exponential Distribution）- 伽马分布（Gamma Distribution）- β分布（Beta Distribution）- 正太分布（Chi-Square Distribution）总结起来，连续随机变量是指在一定区间内可以取到无穷多个不同值的随机变量。

2-4_连续型随机变量及其概率密度

第2.4节连续型随机变量及密度函数
1
连续型随机变量及其概率密度
1.定义定义
设 X 为随机变量， F ( x )为 X 的分布函数, 若存在非负函数f ( x ), 使对于任意实数 x 有 F ( x) = ∫
x −∞
f (t ) d t ,
则称 X 为连续型随机变量, 其中 f ( x ) 称为 X 的概率密度函数, 简称概率密度.
为离散型随机变量, 若 X 为离散型随机变量
{ X = a } 是不可能事件 ⇔ P{ X = a} = 0.
离散型
4
例1
设随机变量 X 具有概率密度
0 ≤ x < 3, kx, x f ( x) = 2 − , 3 ≤ x ≤ 4, 2 0, 其它. (1) 确定常数 k ; (2) 求 X 的分布函数; 7 (3) 求 P{1 < X ≤ }. 2
的正态分布或高斯分布, 记为
X ~ N ( µ , σ 2 ).
22
正态概率密度函数的几何特征
1 ( 2) 当x = µ时, p( x )取得最大值 ; 2 πσ
(1) 曲线关于 x = µ 对称;
(4) 曲线在 x = µ ± σ 处有拐点;
23
(3) 当 x → ±∞ 时, f ( x) → 0;
x 1 −θ k e , f ( x) = θ 0,
x ≥ 0, x < 0.
1 且已知 P{ X > 1} = , 试求常数 θ 2
10
例
设随机变量 X : 0, 2 F ( x) = Ax + B, 1, x ≤ 0, 0 p x ≤ 1, x > 1.
试求常数A，B以及密度函数f(x)。

2.4 连续型随机变量及其概率密度

分布函数为
F( x)
1
x
e
(
t u )2 2 2
dt
2π
当 0 , 1时称 X 服从标准正态分布.
其概率密度和分布函数分别用 ( x),Φ( x)表示 ,
即有
易知
(x) Φ( x)
1 et2 2 , 2π
1 ex t2 2dt .
2π
Φ( x) 1 Φ( x)
正态分布的应用与背景正态分布是最常见最重要的一种分布, 例如测
2. 常见连续型随机变量的分布
均匀分布
正态分布(或高斯分布)
指数分布
3. 正态分布是概率论中最重要的分布
正态分布有极其广泛的实际背景, 是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量.
二项分布、泊松分布等的极限分布是正态分布．所以，无论在实践中，还是在理论上，正态分布是概率论中最重要的一种分布.
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a xb, 其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U (a,b) .
概率密度函数图形
f (x)
均匀分布概率密度函数演示
•
a
o
•
bx
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的.
P{X s t X s} P{X t} .
事实上
P{X s t X s} P{(X s t) ( X s)}
P{X s}
P{X s t} 1 F(s t)

2.4 (绝对)连续型随机变量

0.1 x
x0 x 0,
(1) P{ X 2} 0.1e0.1x dx e0.2
2

(2) P{X 3.5 | X 1.5}
P{ X 3.5, X 1.5} P{ X 1.5}

0.1e
0.1x
dx e
0.2
3.5
0.1e
0.1 x
1 n，当n
时，概率趋于0。
说明r.v.X 落在（a, b）区间上的任一点的可能性都相同。
注2 均匀分布的特征性质
均匀分布的特征性质：
X服从均匀分布U(a, b)的充分必要条件是: (1) r.v.X 落在(a, b)区间内的概率为1, 落在(a, b)区间外的概率为0;
(2) X 落在(a, b)子区间上概率与子区间长度成正比。
dF ( x ) f ( x) dx
(3)对任意实数c，则P{X=c}＝0。 (4)
P{a X b}＝P{a X b} P{a X b} ＝P{a X b}＝ f ( x)dx
a b
证明

x
(1) F ( x x) F ( x)
f (u)du
f ( x)x
设随机变量X的分布函数为
1 x 2e F ( x) 1 1 e x 2 x0 x0
求 f (x)
注4从上节已经得到离散型随机变量的分布函数为
F ( x) pi U ( x xi )

0 x 0 其中 U ( x) 1 x 0
记作 X ~ N ( , 2 )
N ( , 2 ) 的图形特点 (II)正态分布
x

2.4 连续型随机变量的概率分布

p P{ X 10} 10
即： Y ~ B( 5, e 2 ).

1 e dx e 5
x 5
x 5 10
e 2
至少有一次未得到服务而离开的概率为：
P{Y 1} 1 P{Y 0}
1 C
0 5
e 1 e
2 0 2
a F ( x ) bx ln x cx d d
求：(1) 系数a，b，c，d ;
x1 1 x e xe
(2) X落在区间(2 , 3)内的概率。 (3) X的概率密度。
(1) 利用分布函数性质 F ( ) 1和 F ( ) 0 解：以及连续型随机变量的分布函数的连续性计算
xe
xe
be e 1 1
由此得：a 0, b 1, c 1, d 1
0 F ( x ) x ln x x 1 1
x1 1 x e xe
(2)
P{2 X 3} F (3) F (2) 1 (2ln 2 1) 2 2ln 2
0 x
F ( x)
x
-
f ( t )dt
x 1 x 0

x 1

x
若x 1
-1 -
F( x )
0
x
-
f ( t )dt
1
= 0 dt -1 (1 t )dt 0 (1 t )dt 1 0 dt 1
所以
x
0 2 (1 x ) 2 F(x) 2 1 x x 2 2 1
(3)
f ( x ) F ( x )

连续型-分布函数-密度函数

对于离散型随机变量，这四个概率不一定相等
c x
例7 连续随机变量X的概率密度f (x) c x 0 求（1）常数c（; 2）概率P( X 0.5)（; 3）X的分布函数F(x)
1 x 0; 0 x 1; x 1
解：（1）1 f (x)dx 1 -1
x0
x
x0
x
随机变量X的概率密度函数。
密度函数是分布函数的导函数，
密度函数与分布函数的关系
（1）: 密度函数是分布函数的导函数，
f (x) F '(x)
（2）分布函数是密度函数的原函数
F(x) x f (u)du
例3：
已
知X的
分
布函
数
是F
(
x)

1 0
e

2.6 连续随机变量的密度函数
考虑连续随机变量X落在( x, 源自 x]的概率：P( x X x x)
其中x 0
P(x X x x) F(x x) F(x)
f (x) lim P( x X x x) lim F( x x) F( x) F ' ( x)
0
1 x 0; 0 x 1; x 1
x
F (x) f (u)du
积分区间总是(, x)
x -1
x
0
1
当x 1时
f (u)在（ , x)上恒等于0
x
F ( x) 0du 0
-
当1 x 0时（ , x) (,1) (1, x)
0
1
0 ( A) 1 2
A2
连续随机变量的密度函数的性质

连续型随机变量及其密度函数

即f ( x)不是X取值x的概率，而是它在x点概率分布的密集程度 .因此，f ( x)的大小能反映出X在x附近取值的概率的大小 .
密度函数的性质:
1. f ( x) 0
2.

f ( x)dx 1

注意：
1. 求f ( x)中的参数：利用 f ( x)dx 1;

2. 求F ( x)中的参数：F () lim F ( x) 0;
例 3: 设随机变量 X 的密度函数为
0 x 1 Ax( x 1)， f ( x) 0，其他
(1) 确定常数 A; (2)
1 P ( 1 X ) 计算概率 2 .
解
1
(1)由密度函数性质

6 Ax3 Ax2 1 5 f ( x)dx Ax( x 1)dx ( A ) |0 A 0 3 2 6 5
任取其中 5 只,求: (1) 使用最初 150 小时内,无一晶体管损坏的概率. (2) 使用最初 150 小时内,至多有一只晶体管损坏的概率.
解
100 ， x 100 因为X~ f ( x) x 2 0， x 100
p P( X 150)

150
对任意的实数a<b
① P(a X b) F (b) F (a)

b

f (t )dt

a

f (t )dt
f (t)dt
a
b
即X落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线 t=a,t=b及t轴所围面积.
②X取任意单点值a的概率
P( X a ) 0