《1.4 直角三角形的射影定理》教案2

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1.4 直角三角形的射影定理课件(人教A选修4-1)(2)

即BC2＝BD· AB.
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[研一题] [例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，CD是AB边上的高，已知BD＝4， AB＝29，试求BC，AC和CD的长度．分析：本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答本题可由已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，
AC和CD的长度．
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解：∵BD＝4，AB＝29， ∴AD＝25 由射影定理得 CD2＝AD· BD＝25×4＝100， ∴CD＝10. BC2＝BD· BA＝4×29. ∴BC＝2 29. AC2＝AD· AB＝25×29，∴AC＝5 29.
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[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
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[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10，若 2 BE＝2，求 BC 的长．
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB，即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？

1.4直角三角形的射影定理.

∴2AD· BD=2CD² A D B
∴CD² = AD· BD 而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
=AD(AD+BD)=AD· AB
14直角三角形的射影定理精心整理中小学数学课件教案试题教学设计对中考高考的教师学生很有帮助对家长辅导也很有帮助免费阅读用请下载
选修 4-1
几何证明选讲
第一讲相似三角形的判定及有关性质
直角三角形的射影定理
. B
A N
1.射影：
M
B’
A’
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子应是什么？点A′ （2）线段AB留在MN上的影子是什么？
2
练习：课本P22 1
1.直角△ABC中已知:CD=60 AD=25 求：BD,AB,AC,BC的长
BD=144,AB=169, AC=65,BC=156
2.(2007广州一模)如图所示，圆O 上一点C在直径AB上的射影为D， CD=4，BD=8，则圆O的半径等于 5 ． _____
C B O D A
C
A
D
B
射影定理直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。 ∵AB² =AC² +BC² 用勾股定理能证明吗? ∴(AD+BD)² =AC² +BC² C 即2AD· BD=AC² -AD² +BC² -BD²
∵AC² -AD² =CD² BC² -BD² =CD²
CD ab
2
C
A
aD 2
O8 b
B
CD ab ab CO 2 由射影定理可得 2 CD AD BD 2 8 16, 解得 CD 4 ;

人教版高中数学选修4-1：1.4《直角三角形的射影定理》教案

D AA ′ M N NA A ′B ′ B 直角三角形的射影定理教学目标（一）知识与技能1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法．（三）情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．教学重点射影定理的证明．教学难点建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法师生协作共同探究法．教学用具黑板多媒体教学过程设计一复习引入前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：1．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？2．如何判定两个直角三角形相似？（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．）二新知探究如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．提出问题：图11．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：△ACD 与△CBD ，△BDC 与△BCA ，△CDA 与△BCA ）2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系： △ACD 与△CBD 中，CD 2= AD·BD ,△BDC 与△BCA 中，BC 2= BD·AB ,△CDA 与△BCA 中，AC 2= AD·AB ．这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段． C BA点和线段的正射影简称为射影．图2请学生结合射影定义及图1，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三例题分析例1 如图3，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．AD=2，DB=8,求CD 、AC 和BC 的长．解：∵∠ACB 是半圆上的圆周角，∴∠ACB=90°，即⊿ABC 是直角三角形．由射影定理可得：CD 2=AD·BD=2×8=16，解得CD=4；AC 2=AD·AB=2×10=20，解得AC=25； BC 2=BD·AB=8×10=80，解得BC= 45．（师生一起分析思路，由学生完成求解．）图3 图4例2 如图4，⊿ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD 2=AD·BD．求证：⊿ABC 是直角三角形．证明：在⊿CDA 和⊿BDC 中，∵点C 在AB 上的射影为D ，∴CD⊥AB． ∴∠CDA=∠BDC=90°．又∵CD 2=AD·BD，∴AD:CD=CD:DB．∴⊿CDA∽⊿BDC．在⊿ACD 中， ∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°．∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°．∴⊿ABC 是直角三角形． A D CA D O BC M NN NBb（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．学生在这个①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；②我们往往将等式CD 2=AD·B D 变形为DBCD CD AD ,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）四课堂练习1 在⊿ABC 中，∠C=90°, CD 是斜边AB 上的高．已知CD=60，AD=25，求BD 、AB 、AC 、BC 的长．（直接运用射影定理．）2 如图，已知线段a 、b ，求作线段a 和b 的比例中项．(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同的作图方法．)五课堂小结（引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳．）1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．2 思想方法：化归．六课后作业1 基础训练：在⊿ABC 中，∠C=90°, CD⊥AB，垂足为D ，AC=12,BC=5,求CD 的长．2 小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理．（培养学生的创造性思维及团结协作的能力．）a。

1.4 直角三角形的射影定理教学课件(人教A版选修4-1)

课前探究学习
课堂讲练互动
∵BE 平分∠ABC， EA⊥AB，EF⊥BC， ∴AE＝EF. 又 EF∥AD， AE AC ∴DF＝DC， EF AC BC ∴DF＝DC＝AC， EF BC 即DF＝AC.
课前探究学习课堂讲练互动
反思感悟
将困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉的问题，
体现了化归思想方法，通过恒等变形，找到中间变量来联系前后两个比值，从而达到解题目的．
3
3
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式 3】在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD⊥AB 于 D，AD∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的相似比为 A．2∶3 解析 B．4∶9 C. 6∶3 D．不确定 ( )．
如图，在 Rt△ACB 中，CD⊥AB，由射影定理得，CD2
CD BD ＝AD· BD，即＝ . AD CD 又∵∠ADC＝∠BDC＝90° ， ∴△ACD∽△CBD.
第4课时
直角三角形的射影定理
课前探究学习
课堂讲练互动
【课标要求】 1．理解直角三角形的射影定理．
2．理解直角三角形射影定理的逆定理．
【核心扫描】用射影定理解决直角三角形的有关问题．(重、难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
1．射影的有关概念 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：一条线段在直线上的正射影，是
课前探究学习
课堂讲练互动
∴由①②两式得 AD4＝BE· CF· AB· AC， 1 即 AD ＝BE· CF· AB· AC· ， AD
3
由(1)知 AB· AC＝BC· AD 代入上式得 AD3＝BE· CF· BC. 反思感悟利用直角三角形的射影定理证明恒等式 (1)结合图形，仔细分析题目的结论； (2)由于射影定理中可供选择的等式较多，需要合理选择．

高中数学第一讲四直角三角形的射影定理创新应用教学案新人教A版选修

注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．
1.如图，在梯形 ABCD 中， AB∥ CD， AB＝ 4， CD＝ 2， E， F 分别为 AD ，BC 上的点，且 EF＝ 3，EF ∥AB ，则梯形 ABFE 与梯形 EFCD
即 AD ∶CD＝ CD∶BD ，
∴△ ACD∽△ CBD.∴∠ CAD ＝∠ BCD.
又∵∠ ACD＋∠ CAD＝90°，
∴∠ ACB＝∠ ACD ＋∠ BCD
＝∠ ACD＋∠ CAD＝ 90° .
10．已知直角三角形周长为 48 cm，一锐角平分线分对边为 3∶ 5 两部分．
(1)求直角三角形的三边长；
1，则该三角形在直线 l 上的射影的最大值为
________ ．
解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．
答案： 2 6．如图所示，四边形 ABCD 是矩形，∠ BEF＝ 90°，①②③④这四个三角形能相似的是 ________．解析：因为四边形 ABCD 为矩形，所以∠ A＝∠ D ＝ 90° .
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步臻千里之遥程《《《《《《《《《《《《
F 在斜边 BC 上．求证： EF2＝ BE· FC.
证明：过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H.
则 DE ∥ AH ∥ GF.
DE BE GF FC
∴
AH
＝
BH，
AH
＝
. CH
DE· GF BE· FC ∴ AH 2 ＝ BH ·CH. 又∵ AH 2＝ BH· CH，
∴ CD＝ AD · BD＝ 9× 16＝ 12(cm).

高中数学新人教版A版精品教案《四直角三角形的射影定理》

《直角三角形的射影定理》教学设计一、整体设计思路（教学设计的思路与学习价值分析）本节课是基于学生已有的初中平面几何知识进一步学习设计的一节课，针对学生的认知特点，将本节课分为四个环节。

第一环节：直观感知，发现概念。

通过视频皮影戏风格的舞蹈引入让学生能直观感知，发现射影的概念。

第二环节：初探定理，品味内涵。

引导学生观察图形找出直角三角形中线段的射影，并通过三角形相似初探定理，品味内涵，培养学生数学逻辑推理。

第三环节：再探定理，深化理解。

通过用勾股定理证明射影定理，以及以射影定理逆定理角度的探点探究，进一步加深对射影定理的理解，培养学生会辩，会用的能力。

第四环节：拓展探究，内化素养。

拓展学生思维，培养学生数学学科核心素养，让学生学会知识迁移，通过类比推理，发现问题并解决问题。

第五环节：自我小结，整理回顾，做到心中有数。

二、目标设计（指向学生素养发展的目标设计）本节课引导学生在学习和运用数学知识解决问题中，提高学生发现提出问题，分析解决问题的能力，不断地经历直观感知、直观想象、观察发现、逻辑推理、数学运算等思维过程，培养学生的数学学科核心素养。

三、学习内容分析（教材地位与作用，教学目标以及重点难点）（一）教材地位与作用“直角三角形的射影定理”是普通高中新课程标准实验教科书高中数学人教A版选修4-1第一章中第四节的内容，它是在学生学习完相似三角形的判定及性质后对直角三角形中的相似进一步研究。

在探究论证的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识，提高学生的数学思维能力。

（二）教学目标1.引导学生利用上节课学到的知识“三角形相似的判定和性质”推导射影定理，并尝试用勾股定理推导证明，让学生学会知识迁移和灵活应用，培养学生逻辑推理能力。

2.通过对射影定理逆定理角度的探究，加深对射影定理的理解。

3.通过拓展探索，渗透对数学核心素养的培养，让学生学会知识迁移，培养学生类比推理，观察发现问题解决问题的能力。

数学人教A版选修4-1 1.4直角三角形的射影定理教案 Word版含解析

直角三角形的射影定理教学目标（一）知识与技能．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法．（三）情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．教学重点射影定理的证明．教学难点建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法师生协作共同探究法．教学用具黑板多媒体教学过程设计一复习引入前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？．如何判定两个直角三角形相似？（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．）二新知探究如图，⊿是直角三角形，为斜边上的高．提出问题：图．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：△与△，△与△，△与△）．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系：△与△中，·,′′ ′ △与△中， · ,△与△中， · ．这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段．点和线段的正射影简称为射影．图请学生结合射影定义及图，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三例题分析例如图，圆上一点在直径上的射影为．，,求、和的长．解：∵∠是半圆上的圆周角，∴∠°，即⊿是直角三角形．由射影定理可得：·×，解得；·×，解得；·×，解得．（师生一起分析思路，由学生完成求解．）图例2 如图，⊿中，顶点在边上的射影为，且·．求证：⊿是直角三角形．。

2019-2020年高中数学 1.4 直角三角形的射影定理教案新人教A版选修4-1

2019-2020年高中数学 1.4 直角三角形的射影定理教案新人教A版选修4-11.了解射影定理的推导过程．课标解读2.会用射影定理进行相关计算与证明.1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言如图1－4－1，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD.AC2＝AD·AB.BC2＝BD·AB.1．如何使用射影定理？【提示】运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可直接运用，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系．2．如何用射影定理证明勾股定理？【提示】如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则由射影定理可得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，则AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝(AD＋BD)·AB＝AB2，即AC2＋BC2＝AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便得多．3．直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？【提示】直角三角形射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．符号表示：如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，则△ABC为直角三角形．证明如下：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD，∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．与射影定理有关的计算AC ∶BC ＝3∶4.求：(1)AD ∶BD 的值； (2)若AB ＝25 cm ，求CD 的长．【思路探究】先根据AC ∶BC 与AD ∶BD 之间的关系求出AD ∶BD 的值；再根据斜边AB 的长及AD ∶BD 的值分别确定AD 与BD 的值．最后由射影定理CD 2＝AD ·BD ，求得CD 的长．【自主解答】 (1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AD ·AB BD ·AB ＝AC 2BC 2， ∴AD BD ＝(AC BC )2＝(34)2＝916，即AD ∶BD ＝9∶16.(2)∵AB ＝25 cm ，AD ∶BD ＝9∶16， ∴AD ＝925×25＝9(cm)．BD ＝1625×25＝16(cm)，∴CD ＝AD ·BD ＝9×16＝12(cm)．1．解答本题(1)时，关键是把AD BD 转化为(ACBC)2. 2．解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角三角形中有关线段的长度．在解题时，要紧抓线段比之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最终目的．图1－4－2如图1－4－2，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．【解】∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD、AC、BC的长分别为2 3 cm,4 cm,4 3 cm.与射影定理有关的证明图1－4－3已知如图1－4－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC 于F.求证：CD3＝AE·BF·AB.【思路探究】∠ACB＝90°，CD⊥AB→CD2＝AD·DB→CD3＝AE·BF·AB.【自主解答】∵∠BCA＝90°，CD⊥BA，∴CD2＝AD·BD.又∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC，∴CD 4＝AD 2·BD 2＝AE ·AC ·BF ·BC ＝AE ·BF ·AC ·BC . 而S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD 4＝AE ·BF ·AB ·CD . 即CD 3＝AE ·BF ·AB .1．解答本题的关键是利用S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD 进行转化．2．在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．在本例条件不变的情况下，求证：DE 3DF 3＝AEBF .【证明】根据题意可得，DE ＝CF ，CE ＝DF ， DE 2＝AE ·CE ， DF 2＝BF ·CF ，∴DE 2·BF ·CF ＝DF 2·AE ·CE ， ∴DE 3·BF ＝DF 3·AE ，即DE 3DF 3＝AE BF.(教材第22页习题1.4第1题)在△ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，已知CD ＝60，AD ＝25，求BD ，AB ，AC ，BC 的长．(xx·商丘模拟)如图1－4－4，已知Rt △ABC 的两条直角边AC 、BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝______cm.图1－4－4【命题意图】本题主要考查直角三角形的射影定理及运算求解能力．【解析】连接CD ，则CD ⊥AB . 由AC ＝3cm ，BC ＝4cm 得AB ＝5cm. 由射影定理得BC 2＝BD ·BA ，即42＝5BD . 所以BD ＝165cm.【答案】1651. 如图1－4－5，在Rt △ABC 中，AC ⊥CB ，CD ⊥AB 于D 且CD ＝4，则AD ·DB ＝( ) A ．16 B ．4 C ．2 D ．不确定图1－4－5【解析】由射影定理AD ·DB ＝CD 2＝42＝16. 【答案】 A2．已知：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，BC ＝15 cm ，BD ＝3 cm ，则AD 的长是( )A ．5 cmB ．2 cmC ．6 cmD ．24 cm【解析】 ∵BC 2＝BD ·AB ， ∴15＝3AB ，即AB ＝5， ∴AD ＝AB －BD ＝5－3＝2(cm)．【答案】 B3. 如图1－4－6所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，则AC ＝________.图1－4－6【解析】由CD 2＝BD ·AD 得AD ＝43，∴AB ＝BD ＋AD ＝3＋43＝133，∴AC 2＝AD ·AB ＝43×133＝529，∴AC ＝2313.【答案】 21334．一个直角三角形两条直角边的长分别为1 cm 和 5 cm ，则它们在斜边上的射影比为________．【解析】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝1 cm，BC＝ 5 cm，∵AC2＝AD·AB＝1，BC2＝BD·AB＝5，∴AD BD＝15.【答案】1∶5一、选择题1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是() A．3∶2B．9∶4C.3∶ 2D.2∶3【解析】如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5，∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.∴ACBC＝1510＝32，即AC∶BC＝3∶2，故选C.【答案】C 2.图1－4－7如图1－4－7所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )A ．6B ．32C ．18D ．36【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧AD DB ＝12，AD ·DB ＝36，∴AD 2＝18， ∴AD ＝3 2. 【答案】 B3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD 等于( )A.34B.43C.169D.916【解析】如图，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC ， ∴AC 2AB 2＝CD BD ＝(34)2，即CD BD ＝916，∴BD CD ＝169. 【答案】 C4．在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD ＝1：4，则tan ∠BCD 的值是( )A. 14B.13C.12D ．2 【解析】如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又∵BD ：AD ＝1：4，令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)． ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，∴CD ＝2x ，在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.【答案】C 二、填空题图1－4－85．如图1－4－8，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，OF ⊥AB .DE ∶EB ＝1∶3，OF ＝a ，则对角线BD 的长为________．【解析】 ∵OF ＝a ，∴AD ＝2a ，∵AE ⊥BD ，∴AD 2＝DE ·BD .∵DE ∶EB ＝1∶3，∴DE ＝14BD ， ∴AD 2＝14BD ·BD . ∴BD 2＝4AD 2＝4×4a 2＝16a 2，∴BD ＝4a .【答案】 4a6．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC ，AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．【解析】如图，过C 点作CE ⊥AB 于E .在Rt △ACB 中，∵AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，∴BC ＝8 cm ，∴BE ＝6.4 cm ，AE ＝3.6 cm.∴CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)，∴AD ＝4.8 cm.又∵在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ，∴DC ＝AE ＝3.6 cm.∴S 梯形ABCD ＝10＋3.6×4.82＝32.64(cm 2)．【答案】 32.64 cm 2三、解答题7．已知直角三角形周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．【解】 (1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ，过D 作DE ⊥AB ，由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48.又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x ，∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2，解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝2，∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16，∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CF ⊥AB 于F ，∴AC 2＝AF ·AB ，∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理：BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)． ∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.图1－4－98．如图1－4－9，Rt △ABC 中有正方形DEFG ，点D 、G 分别在AB 、AC 上，E 、F 在斜边BC 上，求证：EF 2＝BE ·FC .【证明】如图，过点A 作AH ⊥BC 于H .∴DE ∥AH ∥GF .∴DEAH＝BEBH，GF AH＝FC CH.∵DE·GFAH2＝BE·FCBH·CH.又∵AH2＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC.而DE＝GF＝EF.∴EF2＝BE·FC.图1－4－109．如图1－4－10，已知：BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF，求证：GD2＝GF·GH.【证明】∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，∴△BCE∽△BHG，∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG.①∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，∴△FCG∽△BHG，∴FGBG＝CGGH，∴BG·GC＝GH·FG.②由①②得，GD2＝GH·FG.10.如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的高，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．求证：(1)AE·AB＝AF·AC；(2)△AEF∽△ACB.【证明】(1)∵AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，在Rt△ABD中，由射影定理得AD2＝AE·AB，在Rt△ADC中，由射影定理得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.(2)∵AE·AB＝AF·AC，∴AEAC＝AFAB.又∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB. .。

直角三角形的射影定理教案

第一讲相似三角形的判定及有关性质3.4 直角三角形的射影定理备课组：高二数学组主备人：柴海斌持案人：授课班级：授课时间：教学目标知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.方法与过程：通过问题设计，层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。

情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。

教学重难点重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；教学过程二、教学引入点和线段的正射影简称为射影（让学生复习并挖掘下图中的基本性质.）已知：如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D. (1)图中有几条线段?(答：6条，分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.) (2)图中有几个锐角?数量有何关系?(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?由图中ΔACD ∽ΔCBD ∽ΔABC ，可分别写出三组比例式：CD AD BD CD CB AC == (ΔACD ∽ΔCDB);AC CDBC BD AB CB == (ΔCBD ∽ΔABC); CADABC CD AB AC == (ΔACD ∽ΔABC). (4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?只有三个比例中项的表达式，CD AD BD CD =，BC BD AB CB =，CADAAB AC =(5)由上可得到哪些等积式?CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·BA ，AC 2=AD ·AB（二）直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。

请同学们自己写出已知条件并证明。

已知：在RT △ABC 中，∠ABC=90。

，CD ⊥AB 于D 。

求证：CD 2=AD*BD BC 2=BD*AB AC 2=AD*AB证明：在RT △ABC 中，因为∠ABC=90。

1.4 直角三角形的射影定理

1.4 直角三角形的射影定理教学目标1、掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.2、通过问题设计，层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。

3、培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。

教学重难点重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；难点：直角三角形的射影定理的证明。

教学准备课件多媒体教学方法探究谈论讲解教学设计1、教学引入什么是射影？点和线段的正射影简称为射影（让学生复习并挖掘下图中的基本性质.）已知：如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D.(1)图中有几条线段?(答：6条，分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)(2)图中有几个锐角?数量有何关系? A(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?由图中ΔACD ∽ΔCBD ∽ΔABC ，可分别写出三组比例式：CD AD BD CD CB AC == (ΔACD ∽ΔCDB);AC CD BC BD AB CB == (ΔCBD ∽ΔABC); CA DA BC CD AB AC == (ΔACD ∽ΔABC).(4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?只有三个比例中项的表达式， CD AD BD CD =，BC BD AB CB =，CA DA AB AC =(5)由上可得到哪些等积式?CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·BA ，AC 2=AD ·AB2、直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。

请同学们自己写出已知条件并证明。

已知：在RT △ABC 中，∠ABC=90。

，CD ⊥AB 于D 。

求证：CD 2=AD*BD BC 2=BD*AB AC 2=AD*AB证明：略3、例题解析例1、如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D 。

1.4 直角三角形的射影定理课件(人教A选修4-1)(2)

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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
其在几何相关量的计算中的应用，是高考模拟命题的一
个考向．
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[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图，在△ABC中，
D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF ⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC的长． [命题立意] 综合应用．本题主要考查射影定理和勾股定理的
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解：在△ABC中，设AC为x，
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段，叫做这条线段在直线上的正射影．
(3) 点和线段的正射影简称为射影．
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2．射影定理直角三角形斜边上的两直角边在斜边上射影的比
解：∵∠ACB＝90° ，CD⊥AB， ∴BC2＝BD· AB＝BD· (BD＋AD)． 3 3 2 2 ∵AD＝ 10，∴BC ＝BD ＋ 10BD① 2 2 ∵CD⊥AB，DE⊥BC，∴BD2＝BE· BC.
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∵BE＝2，∴BD2＝2BC，∴BD＝ 2BC② 将②代入①得：BC2＝2BC＋3 5BC， ∴BC2－2BC＝3 5BC，∴(BC2－2BC)2＝45BC， ∴BC4－4BC3＋4BC2＝45BC. ∵BC>0，∴BC3－4BC2＋4BC－45＝0， ∴(BC－5)(BC2＋BC＋9)＝0. ∵BC2＋BC＋9≠0，∴BC－5＝0，∴BC＝5.

高中数学第一讲四直角三角形的射影定理创新应用教学案新人教A版选修.doc

四角三角形的射影定理[对应学生用书P14]1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.[对应学生用书P14][例1] 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．[思路点拨] 在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．[解] ∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD、AC、BC的长分别为2 3 cm,4 cm,4 3 cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高．已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．解：由射影定理，得BC2＝BD·AB，∴BC＝BD·AB＝4×29＝229.又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25.且AC2＝AB2－BC2，∴AC＝AB2－BC2＝292－4×29＝529.∵CD2＝AD·BD，∴CD＝AD·BD＝25×4＝10.2．已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.求：(1)AD∶BD的值；(2)若AB＝25 cm，求CD的长．解：(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AD·AB BD·AB＝AC2BC2.∴ADBD＝(ACBC)2＝(34)2＝916.(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).[例2] 如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.[思路点拨] 先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．[证明] ∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图所示，设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．求证：CA·CD＝BC·AD.证明：由射影定理知：CD2＝AD·BD，CA2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.∴CA·CD＝AD2·BD·AB＝AD·BD·AB，BC·AD＝AD·AB·BD.即CA·CD＝BC·AD.4．Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上，E、F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A 作AH ⊥BC 于H .则DE ∥AH ∥GF . ∴DE AH ＝BE BH ，GF AH ＝FCCH .∴DE ·GF AH 2＝BE ·FCBH ·CH. 又∵AH 2＝BH ·CH ， ∴DE ·GF ＝BE ·FC . 而DE ＝GF ＝EF ， ∴EF 2＝BE ·FC .[对应学生用书P15]一、选择题1．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE ＝( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm解析：如图，∵∠A ＝∠A ，∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ， ∴AD AB ＝DE BC，DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28.答案：C2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45. 答案：C3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)，∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．答案：B4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t .又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 答案：B 二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．答案： 26．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形，所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠1＋∠2＝90°. 因为∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3. 所以△ABE ∽△DEF . 答案：①③7．在△ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，AD ＝6，BD ＝12，则CD ＝__________，AC ＝__________，AB 2∶AC 2＝__________.解析：如图，AB 2＝AD 2＋BD 2，又AD ＝6，BD ＝12，∴AB ＝6 5.由射影定理可得，AB 2＝BD ·BC ，∴BC ＝AB 2BD＝15.∴CD ＝BC －BD ＝15－12＝3. 由射影定理可得，AC 2＝CD ·BC ， ∴AC ＝3×15＝3 5.∴AB 2AC 2＝BD ·BC CD ·BC ＝BD CD ＝123＝4. 答案：3 3 5 4∶1 三、解答题8．如图：在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是Rt △BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，CE ＝2.求AD 的长是多少．解：因为在Rt △BCD 中，DE ⊥BC ，所以由射影定理可得：CD 2＝CE ·BC ，所以CD 2＝16，因为BD 2＝BE ·BC ，所以BD ＝6×8＝4 3.因为在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，所以由射影定理可得：CD 2＝AD ·BD ，所以AD ＝CD 2BD ＝1643＝433.9．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，且CD 2＝AD ·BD ，求证：∠ACB ＝90°.证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CDA ＝∠BDC ＝90°. 又∵CD 2＝AD ·BD ，即AD ∶CD ＝CD ∶BD ，∴△ACD ∽△CBD .∴∠CAD ＝∠BCD .又∵∠ACD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠CAD ＝90°.10．已知直角三角形周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长．解：(1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ，过D 作DE ⊥AB ，由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2，解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝2. ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于F 点， ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理：BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3，得EF ＝12(CD ＋AB )，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ，于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°. 设AD ＝2，则AB ＝6，于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223. 则CE ＝DC 2－DE 2＝8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC .求证：EG ∥BH . [证明] ∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝AD AB. ∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG.∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH .[例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求ECAE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝ECAE，两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE，即EC AE ＝BF AF ·DCDB.又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝AB CB.又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝APPQ.又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2，EF ＝ED ＝2AE .∴FA ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD . ∴S △FBA S △FCD ＝(FA FD )2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18.∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥AB 于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC .∴BD CE ＝ABAC.同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝ACAD.∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝AB AC . ∴CE DF ＝BD CE. ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′B ．3A ′B ′＝B ′C ′C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32. 答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝2 cm ，则CD 和BC 的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4，即x ＝1(负值舍去)，则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)，BC ＝BD ·AB ＝＋＝23(cm)．答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD的高，且AC ＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215 B.215 C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ，即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝AB BC；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝AB BC，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝AB AC，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(AD AB)2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝cD ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例．答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14 B.13 C.12D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4.令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12.答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF .∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425. 又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410.答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125B.512C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD.∵BC CD＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD .又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125. ∴AE EC ＝AG CD ＝125.答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13.∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13.答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ，∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10，又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14. 又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BC AB ＝CDDE. ∴BC ＝AB ·CDDE. ∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB.∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝AN NC. ∵BD ＝DC ， ∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝ANNC.∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ， ∵AB ＝AC ，AD 是中线，∴AD 是△ABC 的对称轴，故PC ＝PB ， ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ， ∴∠PFC ＝∠ABP ，故∠PCE ＝∠PFC ， ∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ，故PC PF ＝PE PC，即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC 的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD. ∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PBPD，∴PE PF ＝PH PG.∴PE ·PG ＝PH ·PF . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ， ∴PE PC ＝PB PD. ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PBPD.∴PE PC ＝PC PG，即PC 2＝PE ·PG .18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC . ∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC )2＝14. ∵种植△AMD 地带花费160元， ∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)．∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB 地带的花费为80×8＝640元． (2)S △ABM S △AMD ＝BM DM ＝BCAD＝2， ∴S △ABM ＝2S △AMD ＝40(m 2)．同理：S△DMC＝40(m2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元，而800÷(S△ABM＋S△DMC)＝10(元/m2)．故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．。

1.4 直角三角形的射影定理课件(人教A选修4-1)(2)

∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1，根据射影定理，得AC2＝FC· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理，得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E，过
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∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋＝1. x 4
例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当Байду номын сангаас线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
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[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足．求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两个直角三角形，然后分别利用射影定理求证．返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB，所以△ACD 和△BDE 均为直角三角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE，所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2，所以 AF· AC＝BG· BE.

人教版高中选修4-1四直角三角形的射影定理课程设计

人教版高中选修4-1四直角三角形的射影定理课程设计一、课程目标1.理解并掌握射影定理的基本概念及运用方法；2.培养学生的数学思维和逻辑推理能力；3.培养学生的团队合作能力和解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 基本概念1.四直角三角形的定义；2.射影定理的概念及证明。

2. 运用方法1.利用射影定理求解和验证定理；2.应用射影定理解决实际问题。

3. 拓展应用1.基础扩展：射影定理在平面几何中的应用；2.拓展应用：射影定理在三维空间几何中的应用。

三、教学过程1. 概念讲解1.介绍四直角三角形的定义和性质；2.讲解射影定理的概念和证明。

2. 练习实践1.给出几个四直角三角形的实例，让学生通过画图观察、分析得出射影定理；2.给出一些练习题，让学生通过计算实践运用射影定理。

3. 问题解决1.分组讨论，给出一些实际问题，让学生通过应用射影定理解决；2.整合小组成果，进行汇报和讨论。

4. 拓展应用1.给出射影定理在平面几何中的一些应用，让学生思考并探讨；2.结合实际例子，介绍射影定理在三维空间几何中的应用，并进行实验演示。

四、教学重点和难点1. 教学重点1.射影定理的概念和证明；2.射影定理的应用方法。

2. 教学难点1.射影定理的具体应用方法；2.射影定理在三维空间几何中的应用。

五、教学评价通过此课程的教学，可评价学生的以下方面：1.理解和掌握射影定理的概念和应用方法；2.运用射影定理解决实际问题的能力；3.合作学习、小组讨论、问题解决的能力。

六、教学资源1.课件、教辅资料；2.相关图书、工具书。

七、教学参考1.《高中数学课程标准实验教材高中数学选修4-1》；2.《数学课程标准》。

1.4 直角三角形的射影定理课件(人教A选修4-1)(2)

例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
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[小问题·大思维] 1．线段的正射影还是线段吗？
提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，
线段的正射影为一个点． 2．如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在Rt△ABC中， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段，叫做这条线段在直线上的正射影．
(3) 点和线段的正射影简称为射影．
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2．射影定理直角三角形斜边上的两直角边在斜边上射影的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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点击下图进入“创新演练”
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H，求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
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[研一题] [例2] 如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、
G分别为垂足．求证：AF· AC＝BG· BE. 分析：本题考查射影定理的应用，以及利用分割法分析解决问题的能力，解答本题需要将原图形分割成两个直角三角形，然后分别利用射影定理求证．返回
证明：因为 CD 垂直平分 AB，所以△ACD 和△BDE 均为直角三角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE，所以 AF· AC＝AD2， BG· BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2，所以 AF· AC＝BG· BE.

1.4 直角三角形的射影定理课件(人教A选修4-1)(2)

∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
∴DF2＝FG· FH.
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射影定理常与勾股定理及三角形相似等问题结合考查.2012年中山模拟将射影定理与勾股定理相结合，考查
∴AD2＋2· DB＋DB2＝AC2＋BC2， AD·
即2AD· DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2. 返回
∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，
∴2AD· DB＝2CD2，即CD2＝AD· DB. 在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD· DB ＝AD(AD＋DB)＝AD· AB，即AC2＝AD· AB. 在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD· DB＋BD2 ＝BD(AD＋DB)＝BD· AB，
其在几何相关量的计算中的应用，是高考模拟命题的一
个考向．
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[考题印证]
(2012· 中山模拟) 如图，在△ABC中，
D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF ⊥BC，BD＝DC＝FC＝1.求AC的长． [命题立意] 综合应用．本题主要考查射影定理和勾股定理的
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解：在△ABC中，设AC为x，
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[悟一法] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直
接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条
件，再运用定理．
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[通一类]
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90° ，CD 3 ⊥AB 于 D， DE⊥BC 于 E， AD＝ 10，若 2 BE＝2，求 BC 的长．

《1.4 直角三角形的射影定理》教案2

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