“优美椭圆”的若干性质
椭圆的基本性质
椭圆的基本性质椭圆是一种常见的几何图形，具有一些特定的性质。
在本文中，我们将介绍椭圆的基本概念以及与它相关的一些重要性质。
1. 椭圆的定义与特点椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。
椭圆的形状可以用离心率来描述，当离心率小于1时，椭圆更加接近于一个圆形；当离心率等于1时，椭圆退化为一个特殊的圆；当离心率大于1时，椭圆的形状变得更加扁平。
2. 椭圆的中心与轴椭圆的中心是指位于椭圆的中心点，它同时也是椭圆的两个轴（主轴和次轴）的交点。
主轴是通过椭圆的中心，并且与椭圆的两个焦点重合的直线段；次轴是与主轴垂直，并通过椭圆的中心的直线段。
主轴的长度称为椭圆的长轴，次轴的长度称为椭圆的短轴。
3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是椭圆上到两个固定点的距离之和等于常数的点，它们位于椭圆的主轴上，并且与椭圆的中心对称。
准线是与主轴平行，并且通过椭圆的焦点的直线段。
4. 椭圆的半长轴与半短轴椭圆的半长轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条主轴上的一个顶点的距离，长度记为a。
半短轴是指从椭圆的中心到椭圆的一条次轴上的一个顶点的距离，长度记为b。
椭圆的离心率e与半长轴a和半短轴b之间存在着如下关系：e = √(1 - b^2/a^2)。
5. 椭圆的周长与面积椭圆的周长可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：C =4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分，是一个与椭圆离心率有关的特殊函数。
椭圆的面积可以使用椭圆的长轴和短轴来计算，公式为：S = πab。
6. 椭圆的离心率与轨道的形状离心率可以帮助我们描述椭圆的形状，离心率越小，椭圆越接近于完美的圆形；离心率越大，椭圆越扁平。
在天文学中，行星的轨道通常是椭圆，其中太阳位于椭圆的一个焦点上。
例如，地球的轨道就是一个离心率接近于0.017的椭圆。
通过以上对椭圆的基本性质的介绍，我们对椭圆有了更深入的了解。
椭圆作为一种重要的几何图形，在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质
椭圆是平面上一个动点到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在直角坐
标系中，椭圆的标准方程为：
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]
其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
下面我们将详细介绍椭圆的标准方
程及其性质。
首先，我们来看椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程是一个二次方程，其中x和
y的平方项系数分别为a的平方和b的平方。
通过这个方程，我们可以轻松地确定
椭圆的长短半轴，进而画出椭圆的图形。
其次，让我们来了解一下椭圆的性质。
椭圆有许多独特的性质，这些性质在数
学和实际应用中都有着重要的作用。
首先，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这个性质被称为椭圆的定义性质。
其次，椭圆的长半轴和短半轴的长度决定了椭圆的形状，长短半轴之比称为离心率，离心率越接近于零，椭圆形状越接近于圆。
另外，椭圆还有对称性，关于x轴、y轴和原点对称的性质。
除此之外，
椭圆还有着许多其他有趣的性质，如切线与法线的性质、椭圆的焦点和直径等。
总之，椭圆的标准方程及性质是数学中一个重要的概念，它不仅有着丰富的数
学内涵，而且在物理、工程等领域都有着广泛的应用。
通过学习椭圆的标准方程及性质，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，为解决实际问题提供数学工具和思路。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质椭圆是一种具有特定几何性质的曲线。
在本文档中，我们将详细讨论椭圆的简单几何性质，并介绍其定义、焦点、半长轴、半短轴以及离心率等重要概念。
椭圆的定义椭圆可以通过以下方式进行定义：给定平面上的两个焦点F1和F2以及一条固定的长度2a的线段，椭圆是满足以下条件的点的集合：对于任意点P到焦点F1的距离加上点P到焦点F2的距离等于2a。
椭圆的焦点对于给定的椭圆，焦点F1和F2是椭圆上的两个点，且满足任意点P到焦点F1的距离加上点P到焦点F2的距离等于2a。
焦点对于椭圆的性质非常重要，并在许多应用中起着重要的作用。
椭圆的半长轴和半短轴椭圆的半长轴和半短轴是两个关键的几何性质。
半长轴为轴线上从中心点到椭圆上离心率最大的点的距离；半短轴为轴线上从中心点到椭圆上离心率最小的点的距离。
椭圆的半长轴和半短轴的关系可以用离心率来表示。
离心率定义为焦点到椭圆中心的距离除以半长轴的长度。
离心率也可以用半短轴除以半长轴来表示。
椭圆的离心率离心率是一个椭圆的重要几何性质，它描述了椭圆形状的圆度程度。
离心率范围在0和1之间，且离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示长椭圆。
离心率越接近于0，椭圆的形状越接近于圆形。
椭圆的参数方程椭圆可以用参数方程来表示，其中x和y的值取决于参数t 的变化。
椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是半长轴和半短轴的长度。
椭圆与直线的交点椭圆与直线的交点是椭圆和直线相交的点的集合。
在平面几何中，椭圆和直线的交点有以下几种情况：1.椭圆内部：直线与椭圆相交于两个不同的点。
2.直线刚好接触椭圆：直线与椭圆相切于一个点。
3.椭圆外部：直线与椭圆没有交点。
椭圆的对称性椭圆具有关于x轴和y轴的对称性。
具体来说，椭圆关于x轴对称指的是如果点(x, y)在椭圆上，则点(x, -y)也在椭圆上。
类似地，椭圆关于y轴对称指的是如果点(x, y)在椭圆上，则点(-x, y)也在椭圆上。
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是在平面上的一个几何图形，它的形状类似于一个椭圆形的椭圆。
椭圆由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。
椭圆的定义可以通过以下方式来描述：给定两个不重合的点F1和F2，以及一个正常数a，椭圆是平面上到这两个点F1和F2的距离之和等于2a的所有点P的集合。
椭圆有许多有趣的性质。
首先，椭圆是一个闭合图形，它的形状在两个焦点F1和F2之间变化。
其次，椭圆的中点O是焦点F1和F2之间的中点，并且椭圆的长轴是连接这两个焦点的线段。
长轴的长度为2a，其中a为椭圆的半长径。
椭圆的短轴是与长轴垂直且通过中点O的线段，其长度为2b，其中b为椭圆的半短径。
椭圆的长轴和短轴之间的关系可以通过以下公式表示：长轴的长度的平方等于短轴的长度的平方加上焦距的长度的平方。
椭圆的形状也可以由离心率来描述。
离心率是一个衡量椭圆形状的参数，表示焦点之间的距离与半长径之间的比值。
离心率小于1的椭圆形状更加圆形，而离心率等于1的椭圆是一个特殊的圆，离心率大于1的椭圆形状更加扁平。
除了这些基本的定义和性质之外，椭圆还有许多其他的性质。
例如，椭圆上的任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于2a，这被称为椭圆的焦点性质。
椭圆还具有对称性，即关于长轴和短轴都有对称性。
椭圆还可以通过旋转的方式来得到新的椭圆，这被称为椭圆的旋转性质。
总结起来，椭圆是平面上的一个几何图形，由两个焦点和一条连接这两个焦点的线段组成。
椭圆具有闭合性、中点、长轴和短轴、离心率等基本性质。
此外，椭圆还有焦点性质、对称性和旋转性质等其他有趣的性质。
通过研究椭圆的定义和性质，我们可以更深入地理解和应用椭圆在数学和物理等领域中的重要性。
椭圆的性质-高中数学知识点讲解
椭圆的性质
1．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2 分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 2a 和 2b，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
푐
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比
푎叫做椭圆的离心率，用e 表示，即：e =
푐
푎，且 0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
1/ 2
e 越大越接近 1，椭圆越扁平，相反，e 越小越接近 0，椭圆越圆．当且仅当a＝b 时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
2/ 2。
椭圆的性质
椭圆的性质椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。
其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。
椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
1、椭圆简介在数学中，椭圆是围绕两个焦点的平面中的曲线，使得对于曲线上的每个点，到两个焦点的距离之和是恒定的。
因此，它是圆的概括，其是具有两个焦点在相同位置处的特殊类型的椭圆。
椭圆的形状（如何“伸长”）由其偏心度表示，对于椭圆可以是从0（圆的极限情况）到任意接近但小于1的任何数字。
椭圆是封闭式圆锥截面：由锥体与平面相交的平面曲线。
椭圆与其他两种形式的圆锥截面有很多相似之处：抛物线和双曲线，两者都是开放的和无界的。
圆柱体的横截面为椭圆形，除非该截面垂直于圆柱体轴线。
椭圆也可以被定义为一组点，使得曲线上的每个点的距离与给定点（称为焦点）的距离与曲线上的相同点的距离的比值给定行（称为directrix）是一个常数。
该比率称为椭圆的偏心率。
也可以这样定义椭圆，椭圆是点的集合，点其到两个焦点的距离的和是固定数。
椭圆在物理，天文和工程方面很常见。
2、基本性质2.1、范围：焦点在x轴上-a<=x<=a，-b<=y<=b；焦点在y轴上-b<=x<=b,-a<=y<=a。
2.2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
2.3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。
2.4、离心率：e=c/a或 e=√（1-b^2/a²）。
2.5、离心率范围：0<e<1。
2.6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。
2.7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。
2.8、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2）≤a+c。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结椭圆是一个经典的几何图形，它在高二数学中也占据着重要的地位。
本文将对高二椭圆的相关知识点进行总结，包括椭圆的定义、性质、方程、焦点与直径、切线与法线以及与其他几何图形的关系等内容。
1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和恒定的点的集合。
这两个固定点称为椭圆的焦点，记作F1、F2，它们之间的距离为2a。
椭圆上的任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
2. 椭圆的性质(1) 椭圆的离心率e小于1，且越接近于1，椭圆越扁平。
(2) 椭圆的长轴是通过两个焦点的直线段，记为2a；短轴是通过椭圆中心且垂直于长轴的直线段，记为2b。
(3) 椭圆的离心率e与长轴a、短轴b的关系为e = √(1 - b²/a²)。
(4) 椭圆的面积为πab。
3. 椭圆的方程(1) 标准方程：设椭圆的焦点在坐标原点上，长轴与x轴重合。
则椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1。
(2) 一般方程：设椭圆的焦点在任意位置，且长轴与x轴的夹角为α。
则椭圆的一般方程为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标。
4. 椭圆的焦点与直径(1) 椭圆的焦点是确定椭圆形状和大小的重要元素，它们与椭圆的离心率相关。
(2) 椭圆的直径是通过椭圆中心且与椭圆两点重合的直线段，它的长度等于长轴的长度2a。
5. 椭圆的切线与法线(1) 椭圆上任意一点P处的切线是与椭圆相切且经过点P的直线，切线的斜率为y' = -b²x/a²y。
(2) 椭圆上任意一点P处的法线是与切线垂直的直线，它的斜率为y' = a²x/b²y。
6. 椭圆与其他几何图形的关系(1) 椭圆与直线的关系：当直线与椭圆相交时，交点个数有四种情况：无交点、一个交点、两个交点、两个交点且直线与椭圆相切。
高中数学椭圆性质92条热点结论
高中数学椭圆性质92条热点结论！高一到高三掌握，还愁没有方法？
“椭圆”是什么？小时候，我将它直观地理解成一个“压扁”或“拉长”的圆。
因此，当我第一次在解析几何课本中看到椭圆的定义的时候，感觉世界观被颠覆了：平面上到两个定点的距离之和为一定值的点的轨迹……这是什么鬼？
接下来，课本就从这个定义出发，推出了椭圆的方程：我们熟悉的。
这个方程和圆的方程很像，非常符合“拉长的圆”的感觉。
方程推出来，自然是对的，但推导的过程不太直观，结果也有点反直觉。
今天清北学霸的师哥师姐给同学们整理了高中数学关于椭圆性质的92条结论，相信肯定会对同学们有所帮助！
建议同学家长打印出来，方便学习！
高中数学，对大部分同学，无疑是一大难关，同学们一定要攻克的！
毕竟，“短板效应”在学习甚至是高考中，都是很关键的。
其实，对于高中生而言，掌握学习方法，明显要比"题海战术"的提分效果明显的多！
微信
2475026381
即刻添加就可免费领本文电子版，高考提分题型汇总记及思维导图！更多高效学习方法、快速解题技巧等着你哦！
清北学霸从实战中总结高考潜规则，解读出题规律，带你了解高考潜规则，学会逆向思维，一体化学习，掌握高分攻略，快速攻克考点、难点、易错点、薄弱点！
小编所有分享的资料都是免费的呦。
椭圆十大性质
椭圆十大性质椭圆十大性质（一）任意相等，（二）中心对称轴是对称中心，（三）面积关系。
这里的“面积”指的是内接正六边形的面积，正六边形是特殊的等腰梯形，所以“正六边形的面积”是中心对称面积。
如果不相等，就违背了性质1：若两个角互补则它们的和大于180°。
（二）中心对称轴是对称中心，即它有一条对称轴。
这就好像“长方体”一样，四条棱的交点叫做中心，所以把中心定为原点。
当然，长方体的中心还有垂直于各条棱的线段与之相连，构成中心对称图形，另外还有中心点。
在同一平面内，若两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形也关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。
对称轴既不是直线也不是虚线，它是一条线段。
证明：设，，则得到。
这是任意的，当然可以是别的数。
这样就把椭圆的性质1和性质2证明完了。
但要注意，性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半。
在平面内，若两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形也关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。
椭圆的中心对称图形是由关于一条直线对称的两个部分组成的，其中对称轴是过椭圆两焦点的直线，另一部分是由关于该直线对称的两个椭圆组成的。
（四）单调有界不可能发生在椭圆上，我们先从长方形和正方形的性质来看：首先必须知道正方形面积的公式： s=a^2，而且s^2≥s，另外正方形的性质：正方形的中心是对称中心，关于边中点连线垂直平分对角线的直线垂直平分对角线；边中点连线平行对角线；有三条边平行，则此三角形全等。
根据上面的论述可得：面积≥边长（ a=b），长方形面积=长×宽，长方形的中心是对称中心，关于边中点连线垂直平分对角线的直线垂直平分对角线。
我们再从椭圆的性质来看：椭圆面积的公式： s=a^2，已经知道a^2≥s，根据性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半。
所以：1、性质1：，且a=b。
性质2：，且s=a^2；2、性质3：中心对称面积等于正六边形面积的一半；3、若s=s^2，那么面积也应该等于a^2，只不过s^2≥s，因为：，所以s=a^2。
椭圆的特殊性质
一、椭圆的几何性质（以22a x +22by =1（a ﹥b ﹥0）为例）1、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2tan 2θ•b（2）（S ⊿PF1F2）max = bc（3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大2、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M ，则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ， 连接OM 由已知有1PF FP =，M 为1F F 中点∴212OM FF ==()1212PF PF +=a所以M 的轨迹方程为 222x y a +=。
3、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切4、过焦点F 的弦AB ，)(2112定值baBF AF =+ 5、AB 是椭圆的任意一弦，P 是AB 中点，则22ab K K OP AB -=•（定值） 证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y 则()1202x x x +=()1202y y y+=xx22112222222211x y a b x y a b ⎫+=⎪⎪⎬⎪+=⎪⎭()()()()1212121222..0x x x x y y y y a b +-+-⇒+= ∵ ()()1212AB y y k x x -=-，0OP y k x =， ∴ 22AB OPb k k a⋅=-。
6、椭圆的长轴端点为A 1、A 2，P 是椭圆上任一点，连结A 1P 、A 2P 并延长，交一准线于N 、M 两点，则M 、N 与对应准线的焦点张角为900证明：令()221200,,,,,a a M y N y P x y c c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1,0A a -，()2,0A a∴()()100200,,,,A P x a y A P x a y =+=-221122,,,a a A M a y A N a y c c ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵ 由于1A 、P 、M 共线 ，∴ 20001210()a y a x a y c y a y x a a c⋅++=⇒=++ ∵ 由于2,,A P N 共线 ，∴ 20002220()a y a x a y c y a y x a a c⋅--=⇒=-- ∴ 22242200012222000()()a a y a y a y a a c c c y y x a x a x a c ⋅-⋅+-==⋅-+-，∵ 22220002222201x y y b a b x a a+=⇒=-- ∴ 24221222b a ac y y a c -=-⋅42b c =-， ∵ 2122,,a FM c y c a FN c y c ⎫⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭⎪⎬⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎭4122b FM FN y y c ⇒⋅=+ ∴ 0FM FN ⋅=，∴ M 、N 与对应准线的焦点张角为9007、圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定x点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-8、P 为椭圆一定点，PB PA k k =-，当B 变动时，AB k 为一定值。
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结椭圆是一种非常重要的几何图形，它在数学和物理领域中都有广泛的应用。
本文将对椭圆的定义、性质和应用进行总结与探讨。
椭圆是指到两个焦点的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数称为椭圆的长轴长度，而两个焦点之间的距离称为焦距。
椭圆的形状由长轴长度和焦点之间的距离所决定。
当焦距接近于零时，椭圆变成一个圆形。
当焦距增大时，椭圆变得更扁平。
椭圆具有一些独特的性质。
首先，椭圆的两个焦点位于长轴的两端。
其次，椭圆的两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于长轴的长度。
这个性质被称为焦点定理，是椭圆独有的。
同时，椭圆还具有对称性，即椭圆上关于长轴和短轴的中点对称的点的坐标是相同的。
在物理学中，椭圆的应用非常广泛。
椭圆轨道是行星绕太阳运动的基本形式，也是卫星绕地球运动的轨道形式。
通过研究椭圆的轨道参数，我们可以计算出行星的运动速度、轨道周期等信息，从而更好地了解天体运动规律。
此外，椭圆还在光学领域中有重要的应用。
椭圆形镜片可以实现光的聚焦和分离，被广泛应用于望远镜、显微镜等光学仪器中。
除了上述应用外，椭圆还在数学和工程领域中有广泛的应用。
在工程设计中，椭圆形的转子可以提高液体和气体的流动效率，被广泛应用于泵、涡轮机等设备中。
数学家们还发现了椭圆的基本性质，如切线与法线之间的关系、椭圆的重心位置等，这些性质为数学建模和问题求解提供了有力的工具。
总结起来，椭圆是一种重要而独特的几何图形，它具有许多独特性质和广泛的应用。
在物理学、光学、工程和数学领域中，椭圆都扮演着重要的角色。
通过深入研究椭圆的定义、性质和应用，我们能更好地理解椭圆的本质及其在各个领域中的重要性。
希望本文对读者了解椭圆有所帮助。
《椭圆的简单几何性质》知识点总结
椭圆的简单几何性质知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，具有一些特殊的性质。
在本篇文档中，我们将总结椭圆的一些简单几何性质。
1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2，及其到两个焦点的总距离的一半定为常量2a（长轴），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常量2a。
椭圆的另一个参数e（离心率）定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a，其中c是焦点之间的距离。
2. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点F1和F2对称分布在长轴上，并且与椭圆的中心O相等。
准线是通过焦点F1和F2垂直于长轴的直线，交于椭圆的中心O。
准线的长度定为2b（短轴）。
椭圆的离心率e= c/a = √(a^2 - b^2)/a。
3. 椭圆的主轴和副轴椭圆的主轴是长轴，长度为2a。
副轴是短轴，长度为2b。
长轴和短轴是椭圆上的两个对称轴。
4. 椭圆的焦准距椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。
我们把这个距离之和称为焦准距。
对于同一条主轴上的两个点P1和P2，它们到焦点的距离之和相等。
5. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的重要参数。
离心率e定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a。
当离心率小于1时，椭圆是真椭圆；当离心率等于1时，椭圆是半圆；当离心率大于1时，椭圆是伪椭圆。
离心率越接近于0，椭圆形状越扁。
6. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过不同的形式来表示，其中最常用的是标准形式和一般形式。
标准形式的椭圆方程为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
一般形式的椭圆方程为：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E为常数。
7. 椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理说明了椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度。
即PF1+PF2=2a。
8. 椭圆的切线椭圆上任意一点P的切线是通过点P且与椭圆仅相交于点P的直线。
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质椭圆是一种重要的几何图形，它具有一些独特的性质和特征。
在本文档中，我们将介绍一些椭圆的简单几何性质，包括定义、方程、焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线等内容。
1. 定义椭圆是平面上的一个闭合曲线，其定义如下：对于给定的两个点F₁ 和F₂ 以及一条固定长度的线段 2a（长轴），满足到椭圆上任意一点的两个焦点到该点的距离之和始终等于 2a（F₁P + F₂P = 2a，其中 P 为椭圆上任意一点）。
2. 方程一般来说，椭圆的方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中 (h, k) 为椭圆的中心坐标，a 和 b 分别为长轴和短轴的长度。
3. 焦点与准线椭圆的焦点是定义椭圆的两个特殊点，记作F₁ 和F₂。
它们位于椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离为 c（c² = a² - b²，对于椭圆来说，c < a）。
准线是垂直于长轴且通过中心的直线，可表示为 x = h ± a/e，其中 e 为离心率。
4. 长轴和短轴椭圆的长轴为横坐标轴的长度，并且它是离心率 e 的倒数（2a = 1/e）。
短轴则为纵坐标轴的长度，且它与长轴的关系为 b² = a² - c²。
5. 离心率离心率 e 描述了椭圆形状的独特特征。
在数值上，离心率是一个小于 1 的正实数，可以通过以下公式计算：e = c / a离心率越接近0，椭圆形状越接近于圆形；离心率越接近1，椭圆形状越扁平。
6. 切线椭圆上任意一点的切线是与该点相切且仅与椭圆相交于此点的直线。
切线的斜率可通过直线与椭圆方程联立解得。
一般来说，椭圆有两条切线与其相切。
结论椭圆作为一种重要的几何图形，具有许多简单而重要的性质。
从定义到方程，再到焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线，椭圆的性质非常丰富。
通过研究这些性质，我们可以更好地理解椭圆的形状和特征，为后续的几何学习奠定基础。
椭圆的定义与性质
椭圆的定义与性质椭圆是我们在数学中经常遇到的一个几何形状，它与圆形有着密切的关系。
本文将从椭圆的定义、特点与性质等角度进行阐述。
一、定义椭圆可以被定义为平面上满足一定条件的点的集合。
具体而言，对于一个给定的点F（焦点）和一条给定的长度2a（长轴），满足到该点F到椭圆上任意一点P到两条焦点的距离之和等于2a的性质（即FP1 + FP2 = 2a）的所有点的集合就是椭圆。
二、性质1. 椭圆的长短轴在定义中提到了长轴，那么自然会有短轴的概念。
椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，而短轴则是与长轴垂直，并且通过椭圆中心O的线段。
长轴的长度2a通常被称为椭圆的主轴，短轴的长度2b则被称为椭圆的副轴。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的性质，它可以帮助我们了解椭圆的形状。
离心率e定义为焦点到中心距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c是焦距。
当离心率小于1时，我们可以得到一个完整的椭圆。
当离心率接近于1时，椭圆的形状趋近于一个圆。
当离心率等于1时，我们则可以得到一个特殊的椭圆，也称之为扁平椭圆或者简称为抛物线。
3. 椭圆的焦点性质椭圆有一个独特的性质：对于椭圆上的任意一点P，其到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即FP1 + FP2 = 2a。
这一性质也可以用来定义椭圆。
4. 椭圆的几何形状在平面上，椭圆呈现出一种特殊的形状。
与圆相比，椭圆的形状更加扁平。
椭圆的形状还与长轴和短轴的长度之间的比例有关。
5. 椭圆的焦平面性质椭圆与焦平面有着特殊的关系。
如果我们在椭圆上选择任意两个不同的点P和Q，并且做出焦点F1和F2到这两个点的连线，那么这两条连线所组成的平面与椭圆的法线相交于同一点。
这个点就是椭圆的焦点平面上的点。
6. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程也是我们在研究椭圆性质时常用的一种表示方法。
一般而言，我们可以使用参数t或θ来表示椭圆上的点的坐标。
通过参数方程，可以更加方便地描述椭圆上的点的位置。
结语：椭圆作为几何学中的一种重要形状，具有独特的定义和性质。
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质引言椭圆是几何学中常见的曲线，具有许多有趣和重要的性质。
在本文档中，我们将讨论椭圆的一些基本几何性质，包括定义、形状、焦点和直径等方面。
通过了解这些性质，我们将更好地理解椭圆的特点及其在现实世界中的应用。
定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，其定义为到两个给定点（称为焦点）的距离之和等于到一定长度（称为主轴长度）的定点（称为短轴长度）的距离。
换句话说，椭圆是一个点对的加权平均轨迹，并且总距离恒定。
形状椭圆的形状由其焦点之间的距离和主轴的长度确定。
较大的焦点之间的距离，或较短的主轴长度，将导致一个更扁平的椭圆，而较小的焦点之间的距离，或较长的主轴长度，将导致一个更靠近圆形的椭圆。
焦点和直径椭圆的定义中提到了焦点，它们在椭圆的构造中起着重要的作用。
对于任何给定的椭圆，焦点的数量是固定的，通常为两个。
这些焦点位于椭圆的主轴上，并且距离椭圆中心的距离等于椭圆的短轴长度。
椭圆的直径是经过椭圆中心的任意两点之间的线段。
一个有趣的性质是，椭圆的任何直径都会通过椭圆的两个焦点之一。
这个性质与其他几何形状，如圆或矩形不同，因此是椭圆独特的特点之一。
离心率离心率是一个用来度量椭圆形状的参数。
它定义为椭圆的焦距之间的比值与主轴的长度的比值。
离心率越接近零，椭圆的形状越接近于圆形；离心率越接近于一，椭圆的形状越扁平。
离心率是椭圆形状的一个重要特征，它对于许多应用领域具有重要意义，比如天文学中行星轨道的研究，或物理学中的电子轨道模型等。
弦在椭圆中，一条弦是连接椭圆上任意两点的线段。
一个有趣的性质是，通过椭圆上两个给定点的弦的长度之和是恒定的。
这个性质可以通过椭圆的定义和三角形的性质进行证明。
弦的垂直性质椭圆还具有一个有趣的性质，即通过椭圆上两个给定点的弦和通过这两个点的切线之间的夹角是直角。
这个性质称为弦的垂直性质，它对于椭圆的建模和分析非常有用。
总结椭圆作为几何学中的重要曲线，在许多领域都具有广泛的应用。
通过了解椭圆的基本几何性质，我们可以更好地理解和应用椭圆，从而在实际问题中得到更准确和有意义的结果。
椭圆的有关性质
椭圆的有关性质
（1）椭圆上一点与两焦点构成焦点三角形，设两焦点内角分别为A、B，则
tan(A/2)tan(B/2)=(1-e)/(1+e)（e为离心率）
（2）过椭圆外一点P引椭圆的两条切线，其切线夹角平分线同时也平分关于两个焦点的张角。
当两切线夹角为直角时，其动点P的轨迹为圆，半径=√(a2+b2)，a、b为长短半轴。
（3）共焦点的两个椭圆，在外椭圆上任意一点引内椭圆的两条切线，两个切点将内椭圆分为两个优劣椭圆弧，其优弧长与两切线长的和为常量。
（4）共焦点的椭圆与双曲线总是垂交的。
过椭圆外共焦双曲线上一点引椭圆的两条切线，两个切点将椭圆分为两个优劣椭圆弧，双曲线将劣椭圆弧分为两个亚劣椭圆弧，则两切线长的差=对应两亚劣椭圆弧的差。
数学知识点：椭圆的性质(顶点、范围、对称性、离心率)
数学知识点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
椭圆的焦距与长轴长之比叫做椭圆的离心率。
椭圆的性质：
1、顶点：A（a，0），B（-a，0），C（0，b）和D（0，-b）。
2、轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长|AB|=2a，短轴长|CD|=2b，a为长半轴长，b为短半轴长。
3、焦点：F1（-c，0），F2（c，0）。
4、焦距：。
5、离心率：；
离心率对椭圆形状的影响：e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；e越接近0，c就越接近0，从而b 就越大，椭圆就越圆；
6、椭圆的范围和对称性：（a＞b＞0）中-a≤x≤a，-b≤y≤b，对称中心是原点，对称轴是坐标轴。
利用椭圆的几何性质解题：
利用椭圆的几何性质可以求离心率及椭圆的标准方程．要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a，b，c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长，过焦点与长轴垂直的弦长等，这将有利于提高解题能力。
椭圆中求最值的方法：
求最值有两种方法：
(1)利用函数最值的探求方法利用函数最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理．此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解。
(2)数形结合的方法求最值解决解析几何问题要注意数学式子的几何意义，寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系．
椭圆中离心率的求法：
在求离心率时关键是从题目条件中找到关于a，b，c的两个方程或从题目中得到的图形中找到a，b，c的关系式,高考物理，从而求离心率或离心率的取值范围．。
椭圆性质资料
椭圆的离心率与偏心率
离心率
• 离心率是衡量椭圆形状的参数，定义为：e = sqrt(1 - (b^2/a^2)) • 离心率的范围为[0, 1)，离心率越大，椭圆越扁
偏心率
• 偏心率是离心率的另一种表示形式，定义为：e' = sqrt(1 - (a^2/b^2)) • 偏心率的范围为[0, 1)，偏心率越大，椭圆越扁
• 椭圆的分类 • 根据长轴和短轴的关系： • 长轴等于短轴的椭圆称为圆 • 长轴大于短轴的椭圆称为长轴椭圆 • 长轴小于短轴的椭圆称为短轴椭圆 • 根据焦点位置： • 焦点在x轴上的椭圆称为水平椭圆
椭圆的参数方程与极坐标表示
椭圆的参数方程
• 一般形式：x = a * cos(t)，y = b * sin(t) • 其中，t为参数，范围一般为[0, 2π]
短轴
• 短轴是椭圆上最短的直径，过两个焦点 • 短轴的方程为：x = -a或y = -b • 短轴的长度为2b
椭圆的焦点与准线
焦点
• 椭圆内的两个定点，到椭圆上任意一点的距离之和等于常数 • 焦点在椭圆的几何性质中起重要作用
准线
• 过椭圆的一个焦点且与椭圆对称轴平行的直线称为椭圆的准线 • 准线上的点到椭圆另一个焦点的距离等于椭圆的长轴长度
周长计算
• 根据周长公式，可以直接计算椭圆的周长 • 如果已知椭圆的方程，可以通过积分法计算周长
椭圆的面积与周长的关系
面积与周长的关系
• 椭圆的面积与周长之间没有直接的公式关系 • 需要通过数值方法（如积分法）计算面积和周长
面积与周长的性质
• 椭圆的周长总比面积要大 • 随着椭圆的扁平程度增加，面积与周长之间的差距越来 越大
椭圆的标准方程
• 一般形式：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 • a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴 • 焦点在x轴上时，方程为：(x^2/a^2) + y^2/b^2 = 1 • 焦点在y轴上时，方程为：x^2/a^2 + (y^2/b^2) = 1
椭圆性质大全(92条-含证明)
椭圆的92条性质及证明1.122PF PF a +=2.标准方程22221x y a b += 3.111PF e d =< 4．点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.5．PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8．设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2（或PF 1）上的旁切圆，必与A 1A 2所在的直线切于A 2（或A 1）.9．椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.10．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.11．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 12．AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.13．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.14．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.15．若PQ 是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上对中心张直角的弦，则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==.16．若椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b +=+;(2)L =17．给定椭圆1C ：222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）, 2C ：222222222()a b b x a y ab a b-+=+,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b---++. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18．设00(,)P x y 为椭圆（或圆）C:22221x y a b+= (a ＞0,. b ＞0)上一点，P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1, PP 2斜率存在，记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=-⋅-. 19．过椭圆22221x y a b += (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.20．椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=，2(tan )2b P c γ± . 21．若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan tan 22a c a c αβ-=+. 22．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c ，00(,)M x y ).23．若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当11e ≤<时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.24．P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2122||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.25．椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上存在两点关于直线l ：0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()a b x a b k-≤+. 26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28．P 是椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（a ＞b ＞0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sin e ϕ=+. 29．设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点，其直线AB 与椭圆22221x y a b+=相交于,P Q ,则AP BQ =.30．在椭圆22221x y a b +=中，定长为2m （o ＜m≤a ）的弦中点轨迹方程为()2222222221()cos sin x y m a b a b αα⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦,其中tan bxayα=-,当0y =时, 90α=.31．设S 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的通径，定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移动，记|AB|=l ，00(,)M x y 是AB中点，则当l S ≥Φ时，有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,c e a =);当l S <Φ时，有0max ()x =0min ()0x =.32．椭圆22221x y a b+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC +≥.33．椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 34．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.35．经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则21122||||PA P A b ⋅=.36．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +. 37．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则2||2||AB a MN =.38．MN 是经过椭圆222222b x a y a b +=（a ＞b ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥，则2222111||||a M N O P a b+=+. 39．设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：2a x m =(或2b y m=)上.40．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.41．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.42．设椭圆方程22221x y a b +=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l ：y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=-.43．设A 、B 、C 、D 为椭圆22221x y a b+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ，直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222cos sin cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅+=⋅+. 44．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点，12F PF ∠的外（内）角平分线为l ，作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ，当P 跑遍整个椭圆时，R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤+±⎣⎦=+±). 45．设△ABC 内接于椭圆Γ，且AB 为Γ的直径，l 为AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ，又D 为l 上一点，则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46．过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.47．设A （x 1 ,y 1）是椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）上任一点，过A 作一条斜率为2121b x a y -的直线L ，又设d 是原点到直线 L的距离, 12,r r 分别是Aab =.48．已知椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）和2222x y a bλ+=（01λ<< ），一直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点，则│AB│=|CD│.49．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.50．设P 点是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b θ∆=.51．设过椭圆的长轴上一点B （m,o ）作直线与椭圆相交于P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于过H 点的直线MN ：x n =于M ，N 两点,则()222290()a n m a m MBN a mb n a --∠=⇔=++. 52．L 是经过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴顶点A 且与长轴垂直的直线，E 、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点P L ∈，若EPF α∠=，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||PH b =时取等号）.53．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈，e 是离心率，EPF α∠=，H 是L与X 轴的交点c 是半焦距，则α是锐角且sin e α≤或sin arc e α≤（当且仅当||abPH c=时取等号）.54．L 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的准线，E 、F 是两个焦点，H 是L 与x 轴的交点，点P L ∈，EPF α∠=,离心率为e ，半焦距为c ，则α为锐角且2sin e α≤或2sin arc e α≤（当且仅当||PH =.55．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0），直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B 两点，将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来，则2222112(2)||||a b b F A F B a-≤⋅≤（当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号，当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=-. 57．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则PBA QBA ∠=∠；（2）若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，则180PAB QAB ∠+∠=.58．设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，（若B P 交椭圆于两点，则P 、Q 不关于x 轴对称），且PBA QBA ∠=∠，则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=；（2）若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点，且180PAB QAB ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59．设',A A 是椭圆22221x y a b+=的长轴的两个端点，'QQ 是与'AA 垂直的弦，则直线AQ 与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b-=. 60．过椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则2222282()||||ab a b AB CD a b a +≤+≤+.61．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）两焦点的距离之比等于a c b -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x a y b ±+=.62．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点的距离之比等于a cb -（c 为半焦距）的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()a b x y e e±+=.63．到椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a cb -（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()a bx y e e±+=（e 为离心率）.64．已知P 是椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）上一个动点，',A A 是它长轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥，则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a+=.65．椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66．设椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）长轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于',M M ,则（1）''2||||AM A M b =.（2）四边形''MAA M 面积的最小值是2ab .67．已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且//BC x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68．OA 、OB 是椭圆2222()1x a y a b-+=（ a ＞0,b ＞0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y a b a b-+=++(0)x ≠. 69．(,)P m n 是椭圆2222()1x a y a b-+=（a ＞b ＞0）上一个定点，P A 、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)ab m a b n b a a b a b +--++.（2）以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是 22224222222222222[()]()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).70．如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么（1）212d d b =，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.（2）212d d b >，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，（3）212d d b <，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71．AB 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D 两点，则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是222241(0)x y y a b+=≠.72．设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=（ a ＞b ＞0）的内部一定点，AB 是椭圆22221x y a b+=过定点00(,)P x y 的任一弦，当弦AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max 2()(||||)a b a y b x PA PB b -+⋅=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min2()(||||)a b a y b x PA PB a-+⋅=. 73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78．椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79．椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80．椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例. 81．椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长. 84．椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85．椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e. 86．椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87．椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88．椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89. 已知椭圆22221(0,0)x y a b a b +=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线b y x a =及by x a=-的平行线，与x 轴于,M N ，与y 轴交于,R Q .,O 为原点，则：（1）222||||2OM ON a +=；（2）222||||2OQ OR b +=.90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:bl y x a=-的平行线，分别交x 轴于,M N ，交y 轴于,R Q .（1）若222||||2OM ON a +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b+=>>.(2)若222||||2OQ OR b +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>. 91. 点P 为椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线b y x a =-于,Q R ，记 OMQ ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，则：122abS S +=.92. 点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于,M N ，交直线by x a=-于,Q R ，记 OMQ∆与ONR ∆的面积为12,S S ，已知122abS S +=，则P 的轨迹方程是22221(0,0)x y a b a b +=>>.椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
龙源期刊网
“优美椭圆”的若干性质
作者：方琴
来源：《新课程学习·上》2013年第11期
摘要：离心率为黄金分割比的椭圆一般被称为“优美椭圆”。
通过研究该椭圆的若干性质，以方便高中学生备考圆锥曲线，同时更加深入地学习圆锥曲线。
关键词：“优美椭圆”；黄金分割比；性质
一、前言
圆锥曲线在高中数学中的地位不言而喻，但本部分内容较难理解且运算繁琐，很多中学生对圆锥曲线的学习缺乏兴趣，希望中学生在阅读本文后可以感受数学之美，进而产生学习圆锥曲线的兴趣。
二、预备知识
性质7：优美椭圆不平行于坐标轴的切线（设切点为P）的斜率与OP的斜率之积为-e。
性质8：优美椭圆不平行于坐标轴且不经过原点的弦（设弦的中点为P）的斜率与直线OP 的斜率之积为-e。
性质9：优美椭圆经过原点的弦两端点与椭圆上任意一点（非顶点且斜率存在）连线的斜率之积为-e。
参考文献：
[1]顾建兰.“黄金椭圆”性质的探究[J].中学数学教学，2006（5）.
[2]魏海涛.椭圆族中的奇葩：黄金椭圆[J].数学教学研究，2008（4）.
编辑温雪莲。