最新人教A版必修5高中数学 3.3.2 简单的线性规划问题3教案(精品)

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人教版高中数学必修5第三章不等式-3

在可行域内打出网格线，
y
B(3,9)
x y0
M(18 , 39) 55
C(4,8)
x
O
2x+y=15 x+2y=18 x+3y=27
直线 x y=12 经过整点B(3,9)和C(4,8)，
它们是最优解.
z最小值 =12.
答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3 张，第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4 张，第二种钢板8张；这两种截法都至少要两种钢板 12张.
或最后经过的点为最优解；（4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的
最值.
简单线性规划问题的图解方法
例1 设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足下列条件：
x 4 y 3,
3x 5 y 25, 求z的最大值和最小值.
x 1,
分析：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.
y x1
第2课时简单线性规划的应用
1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的实际问题； 2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式； 3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高数学建模和解决实际问题的能力.
在实际问题中常遇到两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，
如何使用它们来完成最多的任务；
获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，
又当如何安排生产才能获得最大利润？
（2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？
设生产甲产品x件乙产品y件时，工厂获得的利润为
z,则z=3x+2y.
把z 3x 2 y变形为y 3 x z ,这是斜率为 3 ,

高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)

《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。

本节的教学重点是线性规划问题的图解法。

数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。

二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。

三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。

从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。

从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。

五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。

注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。

应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。

六、教学过程。

《3.3.2简单的线性规划问题》教案

简单的线性规划学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。

这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。

学情总析本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。

三维教学目标知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。

过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。

情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。

教学重点及应对策略1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；2、应对策略：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。

教学难点及应对策略1、教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。

2、应对策略：在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。

教学过程设计。

人教A版高中数学必修5《三章不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》示范课教案_1

利用Excel 求解数学规划问题1、线性规划例1⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥≥≤+++≤+++≤++++++=4,3,2,10105000452110001001401101401100101461680..6001180310460max 214321432143214321j x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z j利用Excel 求解其步骤如下：1、选择“工具”菜单中的“加载宏”选项，装入“规划求解”宏，此时，“工具”菜单中便出现“规划求解”选项。

如果“工具”菜单中已有“规划求解”选项，则直接进行第2步。

2、按下表格式输入线性规划模型表中3、在目标函数所在行的G3单元格内输入公式： =$B$2*B3+$C$2*C3+$D$2*D3+$E$2*E3此公式即为目标函数表达式，将该公式复制到G4,G5,G6,G7,G8单元格，即得约束条件左端表达式。

4、选择“工具”菜单的“规划求解”选项，弹出“规划求解参数”对话框，依次选定符合模型要求的项目。

（1）单击“设置目标单元格”框，将光标定位于框内，然后单击目标函数值单元格G3。

（2）在“规划求解参数”对话框的“等于”栏内，选择“最大值”选项。

（3）在“可变单元格”栏输入处，从表中选择$B$2:$E$2区域，使之出现$B$2:$E$2。

（4）在“约束”栏，单击“添加”按钮，弹出“添加约束”对话框，依次输入约束条件。

在“单元格引用位置”处，点击G4单元格，从“约束值”位置处选择约束类型“>=,<=,=,int,bin ”中的“<=”，在后面的框内点击F4单元格，按“添加”按钮，产生第一个约束条件。

类似地，添加第二、第三、第四、第五个约束条件后，按“确定”按钮，返回“规划求解参数”对话框。

（５）点击“选项”按钮，根据需要选择“假定非负”等项目后，按“确定”按钮，返回“规划求解参数”对话框（６）按“求解”按钮，弹出“规划求解结果”对话框，可根据需要选择“运算结果报告、敏感性报告、极限值报告”。

人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT

在线性约束条件下，求目标函数最小值.
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x

7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点）代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元一次不等式表示的平面区域的操作要点，怎样画二元一次不等式组表示的平面区域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题，如何利用数学知识、方法解决这些问题，是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h；每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产品x、y件，则该厂所有可能的日生产安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15

高中数学新人教A版必修5教案3.3.2简单线性规划问题

简单线性规划问题冷静讲课本节课先由师生共同剖析平时生活中的实质问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集能够表示为直角坐标平面上的地区引出问题：在直角坐标系内，怎样用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的地区求解问题？再从一个详细的二元一次不等式（组）下手，来研究一元二次不等式表示的地区及确立的方法，作出其平面区域，并经过直线方程的知识得出最值. 经过详细例题的剖析和求解，在这些例题中设置思虑项，让学生研究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的地区的观点，有益于二元一次不等式（组）与平面地区的知识的稳固.“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新纲领》对数学知识应用的重视. 线性规划是利用数学为工具，来研究必定的人、财、物、时、空等资源在必定条件下，怎样精打细算巧安排，用最少的资源，获得最大的经济效益. 它是数学规划中理论较完好、方法较成熟、应用较宽泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等很多方面的实质问题. 中学所学的线性规划不过规划论中的极小一部分，但这部分内容表现了数学的工具性、应用性，同时也浸透了化归、数形联合的数学思想，为学生此后解决实质问题供给了一种重要的解题方法——数学建模法. 经过这部分内容的学习，可使学生进一步认识数学在解决实质问题中的应用，培育学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力 .依照课程标准及教材剖析，二元一次不等式表示平面地区以及线性规划的有关观点比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透辟理解，再加上学生对代数问题等价转变为几何问题以及数学建模方法解决实质问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为认识层次.本节内容浸透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教课的好教材，也是培育学生察看、作图等能力的好教材.本节内容与实质问题联系密切，有益于培育学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实质问题的能力 .教课要点要点是二元一次不等式（组）表示平面的地区.教课难点难点是把实质问题转变为线性规划问题，并给出解答. 解决难点的要点是依据实质问题中的已知条件，找出拘束条件和目标函数，利用图解法求得最优解. 为突出要点，本节教课应指导学生牢牢抓住化归、数形联合的数学思想方法将实质问题数学化、代数问题几何化.三维目标一、知识与技术1.掌握线性规划的意义以及拘束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本观点;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实质问题.二、过程与方法1.培育学生察看、联想以及作图的能力，浸透会合、化归、数形联合的数学思想，提升学生“建模”和解决实质问题的能力;2. 联合教课内容，培育学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、感情态度与价值观1.经过本节教课侧重培育学生掌握“数形联合”的数学思想，只管重视于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培育学生察看、联想、猜想、概括等数学能力;2. 联合教课内容，培育学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教课过程第 1课时导入新课师前方我们学习了二元一次不等式x+ y+ ＞ 0 在平面直角坐标系中的平面地区确实定方法，A B C请同学们回想一下 .（生回答）推动新课［合作研究］师在现实生产、生活中，常常会碰到资源利用、人力分配、生产安排等问题.比如，某工厂用 A、 B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个A产品耗时 1小时，每生产一件乙产品使用4个 B 产品耗时 2 小时，该厂每日最多可从配件厂获取16个A配件和 12 个B配件，按每日工作8 小时计算，该厂全部可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x、 y 件，应怎样列式？x 2 y 8,4x16,生由已知条件可得二元一次不等式组： 4 y12,x0,y0.生（板演）师比较课本 98 页图 3.39 ，图中暗影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表全部可能的日生产安排，即当点P （ x,y ）在上述平面地区中时，所安排的生产任务x 、 y 才存心义 .进一步，若生产一件甲产品赢利2 万元，生产一件乙产品赢利3万元，采纳哪一种生产安排收益最大？设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获取收益为z ，则怎样表示它们的关系？生则 z=2x+3y.师这样，上述问题就转变为：当x 、 y 知足上述不等式组并且为非负整数时， z 的最大值是多少？［教师精讲］师把 z=2x+3y 变形为 y2x 1z ,这是斜率为2，在 y轴上的截距为1z 的直线 . 当 z 变3333化时能够获取什么样的图形？在上图中表示出来 .生当 z 变化时能够获取一组相互平行的直线. （板演）师因为这些直线的斜率是确立的，所以只需给定一个点〔比如（ 1， 2）〕，就能确立一条直线y2 x1z ，这说明，截距 z3 能够由平面内的一个点的坐标独一确立 . 能够看到直线3 3y 2x1 z与表示不等式组的地区的交点坐标知足不等式组，并且当截距z最大时，z 取333最大值，所以，问题转变为当直线y2x 1z 与不等式组确立的地区有公共点时，能够在3 3地区内找一个点P ，使直线经过 P 时截距z 最大.3由图能够看出，当直线y2x 1 z 经过直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M （ 4， 2）时，截33距 z最大，最大值为14. 此时2x+3y=14. 所以，每日生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时，工厂可33获取最大收益 14万元.［知识拓展］再看下边的问题：分别作出x=1 ， x-4y+3=0 ， 3x+5y-25=0 三条直线，先找出不等式组所表示的平面地区（即三直线所围成的关闭地区）, 再作直线 l 0:2x+y=0.而后，作一组与直线l 0 平行的直线： l:2x+y=t,t∈R （或平行挪动直线l 0 ），从而察看 t 值的变化： t=2x+y ∈［ 3,12 ］ .x 4 y3,若设 t=2x+y ，式中变量x、 y 知足以下条件3x5y25, 求t的最大值和最小值.x 1.剖析：从变量x 、 y 所知足的条件来看，变量x 、 y 所知足的每个不等式都表示一个平面地区，不ABC.等式组则表示这些平面地区的公共地区作一组与直线l 0平行的直线： l:2x+y=t,t∈R（或平行挪动直线l 0），从而察看t值的变化：t=2x+y ∈［ 3,12 ］ .(1)从图上可看出，点（0， 0）不在以上公共地区内，当x=0， y=0 时， t=2x+y=0. 点（ 0， 0）在直线l 0： 2x+y=0 上 . 作一组与直线l 0平行的直线（或平行挪动直线l 0)l:2x+y=t,t∈R.可知，当l 在 l 0的右上方时，直线l 上的点（ x,y) 知足 2x+y ＞ 0, 即 t ＞ 0.并且，直线l 往右平移时，t 随之增大（指引学生一同察看此规律）.在经过不等式组所表示的公共地区内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l 2所对应的t最大，以经过点A （1，1）的直线l 1所对应的t最小.所以t max=2×5+2=12,t min=2×1+3=3.(2)(3)［合作研究］师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、 y 的拘束条件，因为这组拘束条件都是对于x、y 的一次不等式，所以又可称其为线性拘束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所波及的变量x、 y 的分析式，我们把它称为目标函数. 因为 t=2x+y 又是对于x 、 y 的一次分析式，所以又可叫做线性目标函数.此外注意：线性拘束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 例如：我们方才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性拘束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题 .那么，知足线性拘束条件的解（x,y)叫做可行解，由全部可行解构成的会合叫做可行域. 在上述问题中，可行域就是暗影部分表示的三角形地区. 此中可行解（ 5， 2）和（ 1， 1）分别使目标函数获得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.讲堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）.2.设 t=0 ，画出直线 l 0.3.察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解 .4.最后求得目标函数的最大值及最小值.部署作业1.某工厂用两种不一样原料均可生产同一产品，若采纳甲种原料，每吨成本 1 000 元，运费 500元，可得产品 90 千克；若采纳乙种原料，每吨成本为1500 元，运费400 元，可得产品100 千克，假如每个月原料的总成本不超出 6 000 元，运费不超出 2 000 元，那么此工厂每个月最多可生产多少千克产品？剖析：将已知数据列成下表：甲原料（吨）乙原料（吨）花费限额成本 1 000 1 500 6 000运费500400 2 000产品90100解：设此工厂每个月甲、乙两种原料各x 吨、 y 吨，生产 z 千克产品，则x0,y0,1000 x1500 y6000,500x400 y2000,z=90x+100y.作出以上不等式组所表示的平面地区，即可行域，如右图：2x3y12,x12 ,得7由4y20.205xy.7令 90x+100y=t ，作直线 :90x+100y=0 ，即 9x+10y=0 的平行线 90x+100y=t ，当 90x+100y=t 过点 M（12,20）时，直线 90x+100y=t 中的截距最大 .7 7由此得出 t 的值也最大， z max =90×12+100×20=440.77答：工厂每个月生产 440 千克产品 .2. 某工厂家具车间造、B 型两类桌子，每张桌子需木匠和漆工两道工序达成. 已知木匠做一张A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时，漆工油漆一张、型桌子分别需要 3 小时和 1 小时；又A A B知木匠、漆工每日工作分别不得超出8 小时和9 小时，而工厂造一张、B 型桌子分别获收益 2A千元和 3 千元，试问工厂每日应生产A、 B型桌子各多少张，才能获取收益最大？解：设每日生产 A 型桌子x张， B 型桌子y张，x 2 y8,则 3x y9,x0, y0.目标函数为 z=2x+3y.作出可行域：把直线 l ： 2x+3y=0 向右上方平移至l ′的地点时，直线经过可行域上的点 M ，且与原点距离最大，此时 z=2x+3y 获得最大值 .x 2 y 8,解方程y得 M 的坐标为（ 2， 3） .3x 9,答：每日应生产 A 型桌子 2 张， B 型桌子 3 张才能获取最大收益 .3. 课本 106页习题 3.3A 组 2.第 2课时导入新课师前方我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.师同学们回想一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.生（ 1）第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）;（2）设 t=0 ，画出直线 l 0 ;(3) 察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解 ;(4) 最后求得目标函数的最大值及最小值. 推动新课2x y 300, x 2 y 250, 师【例 1】已知 x 、 y 知足不等式组0, 试求 z=300x+900y 的最大值时的整点的坐xy 0,标及相应的 z 的最大值 .师剖析：先画出平面地区，而后在平面地区内找寻使 z=300x+900y 取最大值时的整点 .解：以下图平面地区A O BC ，点 A （ 0， 125 ），点B （ 150 ，0），点C 的坐标由方程组2x y 300 x 350 ,3 x2 y 250y 200 ,3得 C （350 ,200），3 3令 t=300x+900y ，即y1 x t , ,3 900欲求 z=300x+900y 的最大值，即转变为求截距 t900 的最大值，从而可求 t 的最大值，因直线1 xt与直线 y1x 平行，故作 y 1 A （ 0， 125）时，对y9003 x 的平行线，当过点33应的直线的截距最大，所以此时整点A 使 z 取最大值， z ma x =300×0+900×125=112 500.师【例 2】求 z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、 y 知足拘束条件 3x+y ≤300，x+2y ≤250，x ≥0,y ≥0 的整数值 .师剖析：画出拘束条件表示的平面地区即可行域再解 .解：可行域以下图.四边形 A O BC ，易求点 A （0， 126 ）， B （ 100 ， 0） , 由方程组3x y 300 x 69 3,5 x 2 y252y911.5得点 C 的坐标为（693, 911).5 5因题设条件要求整点（x,y) 使 z=600x+300y 取最大值，将点（69 ， 91 ），（ 70 ， 90 ）代入z=600x+300y ，可知当 x=70, y=90 时， z 取最大值为 z m x =600×70+300×900=69 000.ax 2y 2,师【例 3】已知 x 、 y 知足不等式 2xy 1, 求 z=3x+y 的最小值 .x0, y0,师剖析：可先找出可行域，平行挪动直线l 0:3x+y=0找出可行解，从而求出目标函数的最小值.解：不等式x+2y≥ 2 表示直线x+2y=2 上及其右上方的点的会合；不等式 2x+y≥1表示直线2x+y=1 上及其右上方的点的会合.可行域如右图所示.作直线 l 0:3x+y=0 ，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).∵x、 y 是上边不等式组表示的地区内的点的坐标.由图可知：当直线 l:3x+y=t经过P（0，1）时，t取到最小值1，即 z min =1.师评论：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性拘束条件下的最优解，不论此类题目是以什么实质问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面地区作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.师讲堂练习：请同学们经过达成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.y x,（1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的x 、 y 知足拘束条件x y1,y 1.5x 3 y15,（2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x、 y 知足拘束条件y x 1,x5y 3.［教师精讲］y x,师（ 1）求 z=2x+y 的最大值，使式中的x、 y 知足拘束条件x y1,y 1.解：不等式组表示的平面地区如右图所示：当 x=0,y=0 时， z=2x+y=0 ，点（ 0， 0）在直线 l 0:2x+y=0 上 .作一组与直线 l 0 平行的直线 l:2x+y=t,t∈R.可知在经过不等式组所表示的公共地区内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （ 2， -1 ）的直线所对应的 t 最大 .所以 z max =2×2-1=3.5x3 y 15, （2）求 z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、 y 知足拘束条件yx1,x 5y3.解：不等式组所表示的平面地区如右图所示.从图示可知直线 3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共地区内的点时，以经过点（-2 ， -1 ）的直线所对应的 t 最小，以经过点（9 , 17）的直线所对应的 t 最大 .8 8所以 z min =3×(-2)+ ５×(-1)=-11,zmax=3×9+5×17=14.88［知识拓展］某工厂生产甲、乙两种产品 . 已知生产甲种产品 1 t ，需耗 A 种矿石 10 t 、 B 种矿石 5 t 、煤 4 t ；生产乙种产品需耗 A 种矿石 4 t 、 B 种矿石 4 t 、煤 9 t. 每 1 t 甲种产品的收益是600 元，每 1 t乙种产品的收益是1 000 元 . 工厂在生产这两种产品的计划中要求耗费A 种矿石不超出 360 t 、 B种矿石不超出 200 t 、煤不超出 300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精准到0.1 t），能使收益总数达到最大？师剖析：将已知数据列成下表：耗费量产品甲产品（ 1乙产品 (1资源限额（ t ）资源t ） t)A 种矿石（ t ） 10 4 300B 种矿石 (t)5 4 200 煤 (t) 收益（元）4 9 3606001 000解：设生产甲、乙两种产品分别为 x t 、 y t ，收益总数为 z 元，10 x 4 y 300, 5x 4 y 200,那么4 x 9 y 360,x 0, y 0;目标函数为 z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面地区，即可行域.作直线 l:600x+1 000y=0,即直线 :3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至l 1 的地点时，直线经过可行域上的点 M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值 .5x 4 y 200,解方程组9 y 360,4x得 M 的坐标为 x=360≈12.4,y=1000≈34.4.2929答：应生产甲产品约 12.4 t ，乙产品 34.4 t ，能使收益总数达到最大.讲堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）.（2）设 t=0 ，画出直线 l 0 .（3）察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解 .（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面地区作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.自然也要注意问题的实质意义部署作业课本第 105 页习题 3.3A 组 3、 4.第 3课时导入新课师前方我们已经学习了用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤 . 这节课我们持续来看它们的实质应用问题.推动新课师【例 5】营养学家指出，成人优秀的平时饮食应当起码供给0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质， 0.06 kg 的脂肪 .1 kg 食品A含有 0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质， 0.14 kg脂肪，花销28 元；而1kg 食品B含有 0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花销 21 元 . 为了知足营养学家指出的平时饮食要求，同时使花销最低，需要同时食用食品A和食物 B 各多少克？师剖析：将已知数据列成下表：食品 /kg碳水化合物 /k g蛋白质 /kg脂肪 /kg A0.1050.070.14B0.1050.140.07若设每日食用 x kg食品 A，y kg食品 B，总成本为z，怎样列式？生由题设条件列出拘束条件其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于0.105x 0.105y 0.075, 0.07x 0.14y 0.06,0.14x 0.07y 0.06,①x0,y0,7 x7 y5,7 x14y6,14 x7 y②6,x0,y 0.师作出二元一次不等式组②所表示的平面地区，即可行域. 请同学们在底稿纸上达成，再与课本上的比较 .生考虑z=28x+21y, 将它变形为y 4 xz, 这是斜率为－4、随 z 变化的一族平行直线. zz3283是直线在 y 轴上的截距，当获得最小值时，z 的值最小 . 自然直线与可行域订交，即2828在知足拘束条件时目标函数z=28x+21y获得最小值 .由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M时，截距z28 最小，即z 最小 .7x7 y5,1 ,4) ，所以，当x1, y4时， z=28x+21y 取最小值，最解方程组7y 得点 M(14x67777小值为 16.由此可知每日食用食品 A 约143克，食品 B约571克，能够知足平时饮食要求，又使花销最低，最低成本为 16元 .师【例 6】在上一节课本的例题（课本95 页例 3）中，若依占有关部门的规定，初中每人每年每年收取的学费总数最多？学段班级学生数装备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中45226/班2/人高中40354/班2/人师由前方内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总数为z 万元 ,此时，目标函数z=0.16 ×45x+0.27 ×40y, 可行域以以下图把 z=7.2x+10.8y 变形为y2x5z，获取斜率为 - －2，在 y 轴上截距为5z，随 z 变化的354354一组平行直线 .由图能够看出，当直线z=7.2x+10.8y经过可行域上的点M时，截距5z最大，即 z 最大 . 54x y30,得点 M（ 20,10 ），所以，当 x=20,y=10时， z=7.2x+10.8y取最大值，最解方程组2 y40x大值为 252.由此可知开设20 个初中班和10 个高中班时，每年收取的学费总数最多，为252万元 .师【例 7】在上一节例 4 中（课本96 页例 4），若生产 1 车皮甲种肥料，产生的收益为10 000元，若生产 1车皮乙种肥料，产生的收益为 5 000 元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的收益？生若设生产 x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的收益z 万元 . 目标函数z=x+0.5y,可行域以以下图：把 z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,获取斜率为-2，在y轴上截距为2z, 随 z 变化的一组平行直线 . 由图能够看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点 M 时，截距 2z 最大，即 z 最大 .18x 15y 66,M(2,2), 所以当 x=2,y=2 时， z=x+0.5y取最大值，最大值为解方程组y 10得点 4x 3.因而可知，生产甲、乙两种肥料各 2 车皮，能够产生最大的收益，最大收益为3万元 .［教师精讲］师以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（ 1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面地区做出可行域；（ 3）在可行域内求目标函数的最优解.自然也要注意问题的实质意义.讲堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（ 1）第一，要依据线性拘束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共地区）；（ 2）设 t=0 ，画出直线 l 0 ；（3 ）察看、剖析，平移直线l 0，从而找到最优解；（4 ）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实质问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（ 1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面地区做出可行域；（ 3）在可行域内求目标函数的最优解.自然也要注意问题的实质意义.部署作业课本第 105 页习题 3.3 B组 1、 2、 3板书设计第 1课时简单线性规划问题图 1讲堂小结线性规划问题的有关观点图 2第 2课时简单线性规划问题例 1讲堂小结例 3例 2第 3课时简单线性规划问题例 5讲堂小结例 7例 6习题详解（课本第104 页练习）1.(1)目标函数为z=2x+y ，可行域以下图，作出直线y=-2x+z,可知z要取最大值，即直线经过点 C时，x y 1,解方程组得 C（2，-1），y1,所以 z max=2x+y=3.（ 2）目标函数为z=3x+5y, 可行域以下图，作出直线z=3x+5y, 可知直线经过点B时，z获得最大值 ; 直线经过点 A 时，z获得最小值.解方程组y x 1,y x1,和x 5y 35x 3 y15.可得点 A（-2，-1）和点 B（1.5,2.5）.所以 z max=17，z min =-11.2. 设每个月生产甲产品 x 件，生产乙产品y 件，每个月收入为z，目标函数为z=3x+2y ，需要知足的条件是x 2 y 400,2x y 500,x0,y 0,作直线 z=3x+2y ，当直线经过点 A 时，z获得最大值.解方程组x 2 y 400,2x y 500,可得点 A（200，100）,z的最大值为800.( 课本第 106 页习题 3.3)A组1.绘图求解二元一次不等式：（1）x+y≤2;(2)2x-y＞2;(3)y ≤ -2;(4) x ≥3.2.3. 解：设每周播放连续剧甲 x 次，播放乙连续剧y 次，目标函数z=60x+20y, 所以题目中包括的80x 40 y 320,x y 6, 80x 40y 320,限制条件为0,解方程组得（ 2， 4）. 所以 z 的最大值为 200xx y6y 0,（万） .4. 解：设每周生产空调器 x 台、彩电 y 台，则生产冰箱 12-x-y 台，产值为 z ，目标函数为z=4x+3y+2(120-x-y)=2x+y+240,所以题目中包括的限制条件为1 x 1 y1(120 xy) 40,3xy 120,2 3 4x y100,120 x y 20,即0,x 0,xy 0.y0,3x y 120,10 台，可行域如图，解方程组y得 M 点坐标为（ 10， 90 ）. 所以每周应生产空调器x 100,彩电 90 台，冰箱20 台，才能使产值最高，最高产值是1050 千元.B 组1.2.3. 解：设甲粮库要向 A 镇运送大米x 吨、向 B 镇运送大米y 吨，总运费为 z ，则乙粮库要向 A 镇运送大米（ 70-x ）吨、向 B 镇运送大米（ 110-y ）吨，目标函数（总运费）为z=12×20×x+25×10×y+15×12×(70 - x)+20 ×8×(110 -y)=60x+90y+30 200.所以题目中包括的限制条件为x y 100,(70 x) (110 y) 80,0 x 70, y 0.所以当 x=70,y=30 时，总运费最省 ,z min=37 100 （元），所以当 x=0,y=100 时，总运费最不合理,z max=39 200 （元） .使国家造成不应有的损失2 100 元.答：甲粮库要向 A 镇运送大米70 吨，向 B 镇运送大米30 吨，乙粮库要向A 镇运送大米0 吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37 100元 . 最不合理的调运方案是甲粮库要向 A 镇运送大米 0 吨、向B镇运送大米 100 吨，乙粮库要向 A 镇运送大米70 吨、向B镇运送大米10 吨，此时总运费为39 200元，使国家造成损失 2 100元 .备课资料备用习题1. 某糖果厂生产、两种糖果，A 种糖果每箱获收益40 元，B种糖果每箱获收益 50 元，其生产A B过程分为混淆、烹饪、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需均匀时间：（单位：分钟）混淆烹饪包装A153B241每种糖果的生产过程中，混淆的设施至多能用12 小时，烹饪的设施至多只好用30 小时，包装的设施只好用15 小时，试求每种糖果各生产多少箱可获取最大收益？剖析：找拘束条件，成立目标函数.解：设生产 A 种糖果x 箱，B种糖果y 箱，可获取收益z 元，则此问题的数学模式在拘束条件x 2 y 720,5x 4y 1800,3x y 900,下，求目标函数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其界限O A： y=0，AB：x0,y 03x+y-900=0 ，BC： 5x+4y- 1 800=0，C D： x+2y-720=0 ， DO： x=0.由 z=40x+50y, 得y 4 x z，它表示斜率为4，截距为z50 的平行直线系，z550550越大，从而可知过 C 点时截距最大，z 获得了最大值 .越大， zx 2 y720解方程组C(120,300).5x 4 y1800∴z max=40×120+50×300=19 800, 即生产A种糖果 120 箱，生产B种糖果 300 箱，可得最大收益19 800 元.评论：因为生产 A 种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果合计使用的混淆时间为120＋2×300＝ 720 （分），烹饪时间5×12 0＋4×300＝ 1 800 （分），包装时间3×120＋ 300 ＝660（分），这说明该计划已完好利用了混淆设施与烹饪设施的可用时间，但对包装设施却有240分钟的包装时间未加利用，这类“剩余”问题构成了该问题的“废弛”部分，有待于改良研究.2.甲、乙、丙三种食品的维生素A、 B含量及成本以下表：甲乙丙维生素（单位 /千600700400 A克）维生素（单位 /千800400500 B克）成本（元 / 千克）1194某食品营养研究所想用x 千克甲种食品，y 千克乙种食品，z 千克丙种食品配成100 千克的混淆食品，并使混淆食品起码含56 000 单位维生素A和 63 000单位维生素B.（1）用x、y表示混合食品成本 C；（2）确立x、y、z的值，使成本最低.剖析 : 找到线性拘束条件及目标函数，用平行线挪动法求最优解.解: （ 1）依题意 x 、 y、 z 知足 x+y+z=100z=100-x-y.∴ 成本=11x+9y+4z=7x+5y+400 （元） .C（2）依题意600x700y400z56000, 800x400y500z63000,∵z=100 -x-y,2x3y160,∴ 3x y130,x0, y0.作出不等式组所对应的可行域，如右图所示.联立3xy130交点(50,20). 2x 3 y160A作直线 7x+5y+400= C，则易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过A(50,20)时，直线在y 轴截距最小，从而C最小，此时7×50＋5×20＋ 400 ＝C＝850 元 .∴x=50 千克， z=30 千克时成本最低 .。

高中数学人教A版必修五教案：3.3.2简单的线性规划问题(三)

∴ 2 x 3 ，即 2 b 3 ． 3 2 3a2
四、课堂小结：
1．巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；
2．用画网格的方法求解整数线性规划问题。
五、作业：《习案》作业三十。
--------------------------------------------------------
解：（1）不等式组表示的平面区域如图所示，
作直线 l0 ： 4a 2b 0 ，
作一组平行线 l ： 4a 2b t ，
由图知 l 由 l0 向右下方平移时， t 随之增大，反之减小，
∴当 l 经过 A 点时 t 取最小值，当 l 经过 C 点时 t 取最大值，
由
a a
b b
1 4
和
a a
----------------------------------------------------------------------------
3.3.2 简单的线性规划问题（3）
一、教学目标
（1）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；
（2）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．
（3）利用线性规划求代数式的取值范围。
b b
2 2
分别得
A(
3 2
,
1 2
)
，
C 1 2D
C
OA
B
4 b
a a
4
b a 2
∴ tmin
4
3 2
2
1 2
5
， tmax
43
21 10 ，所以， t
[5,10] ．
（2） f (1) a b ， f (1) a b ， f (2) 4a 2b ，由（1）知， f (2) [5,10] ．

高中数学五第三章3.3.2 简单的线性规划问题(第2课时)【教案】

3。

2简单线性规划问题（第2课时）一、教学目标1．知识目标：1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。

2．能力目标: 1、了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；2、理解线性规划问题的图解法；3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；4、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数学的快乐。

3．情感目标: 1、培养学生学习数学的兴趣和“用数学"的意识,激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；2、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。

二、教学重点与难点:重点：1、画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优；2、解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。

难点：1、建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2、在可行域内，用图解法准确求得线性规划问题的最优解.三、教学模式与教法、学法教学模式：采用探究教学法,通过“猜想，验证,证明”来探究二元一次不等式（组)表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。

使用多媒体辅助教学.教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即（一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线。

“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．学法设计:引导学生通过主动参与、合作探讨学习知.来源:学四、教学过程：数学教学是数学活动的教学。

因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节:1、创设情境，提出问题；2、分析问题，解决问题，3、复习概念，回顾方法;4、实际应用，强化思想；5、自主思考，归纳总结;6、布置作业,巩固提高._五、教学过程设计①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；②拖动直线l 平移，平移过程中可以显示z 值的大小变化。

人教a版必修5学案：3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(含答案)

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ，即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0，则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方．例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌，那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)，当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值，即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。

高中数学新人教A版必修5教案 3.3.2 简单线性规划问题

从容说课本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.教学重点重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.教学难点难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.课时安排3课时三维目标一、知识与技能1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.二、过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学过程第1课时导入新课师前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下. （生回答）推进新课［合作探究］师在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.例如，某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，应如何列式？生由已知条件可得二元一次不等式组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤≤≤+.0,0,124,164,82y x y x y x师如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生（板演）师对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P （x,y ）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x 、y 才有意义.进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？生则z=2x+3y.师这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？［教师精讲］师把z=2x+3y 变形为z x y 3132+-=,这是斜率为32-，在y 轴上的截距为31z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线z x y 3132+-=，这说明，截距z3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线z x y 3132+-=与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距3z 最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线zx y 3132+-=与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距3z最大.由图可以看出，当直线z x y 3132+-=经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M （4，2）时，截距3z最大，最大值为314.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.［知识拓展］再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l 0:2x+y=0.然后，作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.若设t=2x+y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-.1,2553,34x y x y x 求t 的最大值和最小值.分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC .作一组与直线l 0平行的直线：l:2x+y=t,t ∈R （或平行移动直线l 0），从而观察t 值的变化：t=2x+y ∈［3,12］.(1)从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,即t＞0.而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以t m a x=2×5+2=12,t min=2×1+3=3.(2)(3)［合作探究］师诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设t=0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.布置作业1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？分析：将已知数据列成下表：解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x 吨、y 吨，生产z 千克产品，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥,2000400500,600015001000,0,0y x y x y x z=90x+100y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：由⎩⎨⎧=+=+.2045,1232y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.720,712y x 令90x+100y=t ，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t ，当90x+100y=t 过点M （712,720）时，直线90x+100y=t 中的截距最大. 由此得出t 的值也最大，z m a x =90×712+100×720=440.答：工厂每月生产440千克产品.2.某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,93,82y x y x y x 目标函数为z=2x+3y.作出可行域：把直线l ：2x+3y=0向右上方平移至l ′的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=2x+3y 取得最大值. 解方程⎩⎨⎧=+=+,93,82y x y x 得M 的坐标为（2，3）.答：每天应生产A 型桌子2张，B 型桌子3张才能获得最大利润. 3.课本106页习题3.3A 组 2.第2课时导入新课师前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念. 师同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）; （2）设t=0，画出直线l 0;(3)观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解; (4)最后求得目标函数的最大值及最小值.推进新课师【例1】已知x 、y 满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,2502,3002y x y x y x 试求z=300x+900y 的最大值时的整点的坐标及相应的z 的最大值.师分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y 取最大值时的整点. 解：如图所示平面区域A O BC ，点A （0，125），点B （150，0），点C 的坐标由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25023002y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,3200,3350y x 得C （3350,3200），令t=300x+900y，即,90031tx y +-=, 欲求z=300x+900y 的最大值，即转化为求截距t900的最大值，从而可求t 的最大值，因直线90031t x y +-=与直线x y 31-=平行，故作x y 31-=的平行线，当过点A （0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A 使z 取最大值，z m a x =300×0+900×125=112 500.师【例2】求z=600x+300y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件3x+y ≤300，x+2y ≤250， x ≥0,y ≥0的整数值.师分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解. 解：可行域如图所示.四边形A O BC ，易求点A （0，126），B （100，0）,由方程组⇒⎩⎨⎧=+=+25223003y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.5191,5369y x 得点C 的坐标为（5369,5191).因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y 取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y ，可知当x=70,y=90时，z 取最大值为z m a x =600×70+300×900=69 000.师【例3】已知x 、y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+,0,0,12,22y x y x y x 求z=3x+y 的最小值.师分析：可先找出可行域，平行移动直线l 0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值. 解：不等式x+2y ≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；不等式2x+y ≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合. 可行域如右图所示.作直线l 0:3x+y=0，作一组与直线l 0平行的直线l:3x+y=t(t ∈R).∵x 、y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标. 由图可知：当直线l:3x+y=t 通过P （0，1）时，t 取到最小值1，即z min =1.师评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.师课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x［教师精讲］师（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y解：不等式组表示的平面区域如右图所示：当x=0,y=0时，z=2x+y=0，点（0，0）在直线l 0:2x+y=0上.作一组与直线l 0平行的直线l:2x+y=t,t ∈R.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.所以z m a x =2×2-1=3.（2）求z=3x+5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（89,817）的直线所对应的t 最大. 所以z min =3×(-2)+５×(-1)=-11,z m a x =3×89+5×817=14.［知识拓展］某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t ，需耗A 种矿石10 t 、B 种矿石5 t 、煤4 t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4 t 、B 种矿石4 t 、煤9 t.每1 t 甲种产品的利润是600元，每1 t 乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360 t 、B 种矿石不超过200 t 、煤不超过300 t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t ），能使利润总额达到最大？师分析：将已知数据列成下表：解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+;0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x目标函数为z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.作直线l:600x+1 000y=0, 即直线:3x+5y=0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y 取最大值. 解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x得M 的坐标为x=29360≈12.4,y=291000≈34.4. 答：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. （2）设t=0，画出直线l 0.（3）观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解. （4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义布置作业课本第105页习题3.3A 组3、 4.第3课时导入新课师前面我们已经学习了用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题.推进新课师【例5】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少克？师分析：将已知数据列成下表：/k若设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，如何列式？生由题设条件列出约束条件①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,y 0,x 0.06,0.07y 0.14x 0.06,0.14y 0.07x 0.075,0.105y 105x .0 其目标函数z=28x+21y.二元一次不等式组①等价于②⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+.0,0,6714,6147,577y x y x y x y x师作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.生考虑z=28x+21y,将它变形为2834z x y +-=,这是斜率为34－、随z 变化的一族平行直线.28z是直线在y轴上的截距，当28z取得最小值时，z 的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y 取得最小值.由图可见，当直线z=28x+21y 经过可行域上的点M 时，截距z28最小，即z 最小. 解方程组⎩⎨⎧=+=+6714,577y x y x 得点M(71,74)，因此，当71=x ,74=y 时，z=28x+21y 取最小值，最小值为16.由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.师【例6】在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？师由前面内容知若设开设初中班x 个，高中班y 个，收取的学费总额为z 万元, 此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图把z=7.2x+10.8y 变形为54532z x y +-=，得到斜率为-32－，在y 轴上截距为545z，随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y 经过可行域上的点M 时，截距545z最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+402,30y x y x 得点M （20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y 取最大值，最大值为252.由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元.师【例7】在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？生若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.目标函数z=x+0.5y,可行域如下图：把z=x+0.5y 变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y 轴上截距为2z,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+104,661518y x y x 得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y 取最大值，最大值为3.由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元.［教师精讲］师以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；（2）设t=0，画出直线l0；（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解；（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.当然也要注意问题的实际意义.布置作业课本第105页习题3.3 B组1、2、3板书设计第1课时第2课时第3课时习题详解（课本第104页练习）1.(1)目标函数为z=2x+y ，可行域如图所示，作出直线y=-2x+z,可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组⎩⎨⎧-==+,1,1y y x 得C （2，-1），所以z m a x =2x+y=3.（2）目标函数为z=3x+5y,可行域如图所示，作出直线z=3x+5y,可知直线经过点B 时，z 取得最大值;直线经过点A 时，z 取得最小值.解方程组⎩⎨⎧=-+=35,1y x x y 和⎩⎨⎧=++=.1535,1y x x y 可得点A （-2，-1）和点B （1.5,2.5）. 所以z m a x =17， z min =-11.2.设每月生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，每月收入为z ，目标函数为z=3x+2y ，需要满足的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,0,5002,4002y x y x y x 作直线z=3x+2y ，当直线经过点A 时，z 取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+,5002,4002y x y x 可得点A （200，100）,z 的最大值为800. (课本第106页习题 3.3)A 组1.画图求解二元一次不等式：（1）x+y ≤2;(2)2x-y ＞2;(3)y ≤-2;(4)x ≥ 3.2.3.解：设每周播放连续剧甲x 次，播放乙连续剧y 次，目标函数z=60x+20y,所以题目中包含的限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+,0,0,6,3204080y x y x y x 解方程组⎩⎨⎧=+=+6,3204080y x y x 得（2，4）.所以z 的最大值为200（万）.4.解：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱12-x-y 台，产值为z ，目标函数为z=4x+3y+2(120-x-y)=2x+y+240,所以题目中包含的限制条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥--≤--++,0,0,20120,40)120(413121y x y x y x y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,100,1203y x y x y x 可行域如图，解方程组⎩⎨⎧=+=+,100,1203y x y x 得M 点坐标为（10，90）.所以每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是1 050千元.B组1.2.3.解：设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z ，则乙粮库要向A 镇运送大米（70-x ）吨、向B 镇运送大米（110-y ）吨，目标函数（总运费）为 z=12×20×x+25×10×y+15×12×(70-x)+20×8×(110-y)=60x+90y+30 200.所以题目中包含的限制条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤-+-≤+.0,700,80)110()70(,100y x y x y x 所以当x=70,y=30时，总运费最省,z min =37 100（元），所以当x=0,y=100时，总运费最不合理,z m a x =39 200（元）. 使国家造成不该有的损失2 100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37 100元.最不合理的调运方案是甲粮库要向A 镇运送大米0吨、向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨、向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39 200元，使国家造成损失2 100元.备课资料备用习题1.某糖果厂生产A 、B 两种糖果，A 种糖果每箱获利润40元，B 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：（单位：分钟）每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？分析：找约束条件，建立目标函数.解：设生产A 种糖果x 箱，B 种糖果y 箱，可获得利润z 元，则此问题的数学模式在约束条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0,9003,180045,7202y x y x y x y x 下，求目标函数z=40x+50y 的最大值，作出可行域，其边界O A ：y=0，AB ：3x+y-900=0，BC ：5x+4y- 1 800=0，C D ：x+2y-720=0，DO ：x=0.由z=40x+50y,得5054z x y +-=，它表示斜率为54-，截距为z50的平行直线系，50z越大，z 越大，从而可知过C 点时截距最大，z 取得了最大值. 解方程组⇒⎩⎨⎧=+=+1800457202y x y x C (120,300).∴z m a x =40×120+50×300=19 800,即生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，可得最大利润19 800元. 点评：由于生产A 种糖果120箱，生产B 种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1 800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究. 2.甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B .（1）用x 、y 表示混合食物成本C ；（2）确定x 、y 、z 的值，使成本最低.分析:找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解.解:（1）依题意x 、y 、z 满足x+y+z=100z=100-x-y. ∴成本C =11x+9y+4z=7x+5y+400（元）.（2）依题意⎩⎨⎧≥++≥++,63000500400800,56000400700600z y x z y x ∵z=100-x-y, ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≥+.0,0,1303,16032y x y x y x 作出不等式组所对应的可行域，如右图所示.联立⇒⎩⎨⎧=+=-160321303y x y x 交点A(50,20). 作直线7x+5y+400=C ，则易知该直线截距越小，C 越小，所以该直线过A (50,20)时，直线在y 轴截距最小，从而C 最小，此时7×50＋5×20＋400＝C ＝850元.∴x=50千克，z=30千克时成本最低.。

人教A版高中数学必修5精品课件3-3-2简单的线性规划问题

【思路分析】这是一类流传很广的题目，其常见的错误解法是由f(1)、f(2)的范围，去求a，c的范围，连续多次运用同向不等式相加这一性质，导致范围扩大．实际上，可以看做关于 a、c的线性规划问题．
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第三章 3.3 3.3.2 第一课时
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【解析】由－4≤f(1)≤－1，得－4≤a－c≤－1.
A．－7 C．－5
B．－6 D．－3
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第三章 3.3 3.3.2 第一课时
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【解析】
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第三章 3.3 3.3.2 第一课时
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如图所示，约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而
目标函数可化为y＝
2 3
x－
z 3
，先画出l0：y＝
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课后巩固
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第三章 3.3 3.3.2 第一课时
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x＋2y≥2，
1．已知x、y满足3x≥x＋0y，≥1，则z＝2x＋y(
)
y≥0，
A．有最大值1
B．有最小值1
C．有最大值4
D．有最小值4
答案 B
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第三章 3.3 3.3.2 第一课时
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Байду номын сангаас
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第三章不等式
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第三章不等式
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3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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第三章不等式

高中数学人教A版必修五教案：3.2.3简单的线性规划问题(二)

简单的线性规划问题（二）一、教学目标(1)知识和技能：能够运用线性规划的图解法解决一些生活中的简单最优问题(2)过程与方法：将实际问题中错综复杂的条件列出目标函数和约束条件对学生而言是一个难点，若要突破这个难点，教师在讲授中要根据学生的认知情况，引导学生建立数学模型；同时，要给学生正确的示范，利用精确的图形并结合推理计算求解(3)情感与价值：培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力二、教学重点、教学难点教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建立数学模型，并相应给出正确的解答教学难点：建立数学模型，并利用图解法找最优解三、教学过程1、复习引入通过上一节课的学习，我们了解到在平面直角坐标系中二元一次不等式（组）表示平面区域，并且掌握了用直线定界，特殊点定域的方法来画出平面区域。

问题：设y x z +=2，式中变量x ，y 满足下列条件：⎩⎨⎧≤-≤≤+≤4264y x y x 求z 的最大值与最小值。

2、举例分析（1）效益最佳问题例1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物,0.06kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪.1kg 的食物A 含有0.105kg 的碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费28元;而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时花费最低,需要同时食用食物A 和食物B 多少kg?食物(kg)碳水化合物(kg)蛋白质(kg)脂肪(kg)A 0.1050.070.14B 0.1050.140.07探究:（1）如果设食用A 食物xkg 、食用B 食物ykg ，则目标函数是什么？（2）总成本z 随A 、B 食物的含量变化而变化，是否任意变化，受什么因素制约？列出约束条件（3）能画出它的可行性区域吗？（4）能求出它的最优解吗？（5）你能总结出解线性规划应用题的一般步骤吗？解线性规划应用题的一般步骤：（1）设出所求的未知数；（2）列出约束条件；（3）建立目标函数；（4）作出可行域；（5）运用平移法求出最优解。