《高等数学》 各章知识点总结——第6章

第6章 微分方程总结

1.可分离变量微分方程

一阶微分方程y '=ϕ(x , y ) 或M(x)N(y )dx +P(x)Q(y )dy =0能写成 g (y )dy =f (x )dx 两边积分可得通解。

2.齐次微分方程

dy

y

()dx x =φ，令x y

u =, 即y =ux , 有)(u dx du

x u ϕ=+, 得⎰⎰=-x dx

u u du

)(ϕ。

3.一阶线性微分方程

（1）齐次线性 0)(=+y x P dx dy 用分离变量法可求得通解P(x)dx

y Ce -⎰=。

（2）非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy

=+ 由齐次方程常数变易法可得通解

])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-。

4.伯努利方程

n y x Q y x P dx dy

)()(=+ (n ≠0, 1)，以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dx dy

y n n =+--

令z =y 1-n , 得线性方程 )()1()()1(x Q n z x P n dx dz

-=-+.

5.可降阶的高阶微分方程

（1）y (n )=f (x ) ：积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-，⋅ ⋅ ⋅.

（2）y ''= f (x , y ')：设y '=p(x) , 则方程化为 p '=f (x , p )。

（3）y ''=f (y , y ')：设y '=p(y), dy dp

p dx dy

dy dp

dx dp

y =⋅==''，原方程化为 ),(p y f dy dp

p =

6.二阶常系数线性微分方程

（1）二阶常系数齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =0

（2）二阶常系数非齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =f (x )

先求对应齐次方程y''+py'+qy=0的通解，再加上非齐次方程的一个特解；

（a）f(x)=P m(x)eλx型,特解：y*=x k Q m(x)eλx,其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2。

(b) f(x)=eλx[P l(x)cosωx+P n(x)sinωx]型，特解：y*=x k eλx[R(1)m(x)cosωx+R(2)m(x)sinωx],其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式,m=max{l,n},而k按λ+iω (或λ-iω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1。