线段的垂直平分线定理
线段垂直平分线定理知识总结
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线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理说明:1、这里的距离指的是点与点之间的距离,也就是两点之间线段的长度。
2、在使用该定理时必须保证两个前提条件:一是垂直于线段,二是平分这条线段。
例题、如图所示,在△ABC 中,已知AC=27,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,△BCE 的周长等于50,求BC 的长。
分析:题中给出了线段垂直平分线这个条件,所以可以考虑运用其性质定理,从而得出AE=BE ,把BE 与AE 进行等量代换,再根据△BCE 的周长及AC 的长,可求出BC 的长。
解:因为ED 是线段AB 的垂直平分线, 所以BE=AE 。
因为△BCE 的周长等于50, 即BE +EC +BC=50, 所以AE +EC +BC=50。
又因为AE +EC=AC=27, 所以BC=50-27=23。
二、线段垂直平分线定理的逆定理证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法:第一种:根据线段垂直平分线的定义,也就是经过线段的中点,并且垂直于这条EDCBA线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
使用这种方法必须满足两个条件:一是垂直二是平分;第二种:可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上,根据两点确定一条直线,就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。
例题1、如图所示,P 为线段AB 外的一点,并且PA=PB 。
求证:点P 在线段AB 的垂直平分线上。
分析:要想说明某一点在线段的垂直平分线上,可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。
证明:过点P 作PC ⊥AB ,垂足为点C 。
因为PA=PB , 所以∠A=∠B 。
又因为PC ⊥AB , 所以∠PAB=∠PBA=90°. 在△PAC 和△PBC 中A B PAC PBC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAC ≌△PBC , 所以AC=BC 。
又因为PC ⊥AB ,所以PC 垂直平分线段AB ,所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。
线段垂直平分线的性质定理及逆定理
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课堂小结
一、性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等。
二、逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上。 线段垂直平分线上的点到这
点P在线段 条线段两个端点的距离相等
AB的垂直
PA=PB
平分线上 到线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上
三、 线段的垂直平分线的集合定义: 线段的垂直平分线可以看作是到线段两上
端点距离相等的所有点的集合
拓展题
布置作业
第1课时 线段垂直平分 线的性质定理及逆定理
学习目标
经历证明线段垂直平分线的性质 定理和判定定理的过程,并能够熟练 运用此定理解题。
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等。
定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上.
线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线上的点到这
点P在线段 条线段两个端点的距离相等
AB的垂直
PA=PB
平分线上 到线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上
三、 线段的垂直平分线的集合定义:
线段的垂直平分线可以看作是到线 段两上端点距离相等的所有点的集合
1、如图直线MN垂直平 分线段AB,则AE=AF。
逆命题: 到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上。 P
点P在线段
AB的垂直
?
平分线上
PA=PB
几何语言叙述:
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上 A
C
B
线段的垂直平分线
一、性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
《线段垂直平分线的性质》
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在几何图形中的应用
确定点与线段的距离
利用线段垂直平分线的性质,可以确定一个点到线段两端 点的距离相等,从而确定点的位置。
三角形中垂线定理
在三角形中,通过三角形顶点向对边作垂直平分线,该垂 直平分线将与对边相交于一点,该点将相对边分为两段相 等的线段,这是三角形中垂线定理。
角的平分线性质
角的平分线上的点到角的两边距离相等,利用这一性质可 以将角平分,从而将几何图形划分为两个相等的部分。
在日常生活中的应用
01
确定物体的对称点
在建筑、艺术和设计等领域中,常常需要找到一个物体的对称点,以实
现物体的平衡和美感。线段垂直平分线的性质可以用来确定这些对称点
。
02
测量距离
在道路、桥梁和建筑物等工程中,需要测量两点之间的距离。通过找到
这两点的垂直平分线,可以确定这两点之间的最短路径,从而得到准确
性质
总结词
如果一个点与线段两端点的距离相等,那么这个点必然位于线段的垂直平分线 上。
详细描述
这是对性质1和性质2的综合应用。如果一个点与线段两端点的距离相等,那么 这个点必然位于线段的垂直平分线上。这一性质在解决几何问题时也非常重要 ,尤其是在处理与中点和对称性相关的问题时。
03
线段垂直平分线的应用
定理
ห้องสมุดไป่ตู้
总结词
该定理描述了线段垂直平分线的性质,即如 果一条直线经过线段两端点,并且与经过中 点的垂直线相交,则这条直线也是该线段的 垂直平分线。
详细描述
在几何学中,这个定理进一步揭示了线段垂 直平分线的性质。如果一条直线同时经过线 段的两端点,并且与经过中点的垂直线相交 ,那么这条直线也是该线段的垂直平分线。 这个定理对于理解线段垂直平分线的性质和 判定方法非常重要。
垂直平分线与角平分线
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线段的垂直平分线与角平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质(1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 几何语言:∵ CD 是线段AB 的垂直平分线 ∴CA=CB 定理的作用:证明两条线段相等 (2)线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(1)线段垂直平分线的逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言:∵ CA=CB ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 (1)关于三角形三边垂直平分线的定理:三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示:如图3,若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线,则直线,,i j k 相交于一点O ,且OA =OB =OC. 定理的作用:证明三角形内的线段相等. 4、角平分线的性质定理:角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 几何语言表示:∵ OE 是∠AOB 的平分线,CF ⊥OA ,DF ⊥OB ∴CF =DF. 定理的作用:①证明两条线段相等;②用于几何作图问题; 角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理:角平分线性质定理的逆定理:在角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 几何语言表示:∵ PC ⊥OA ,PD ⊥OB , PC =PD ,∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 6、关于三角形三条角平分线的定理:(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.定理的作用:①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题.图1图2图4线段垂直平分线练习题1 如图1,在△ABC 中,BC =8cm ,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交边AC 于点E ,△BCE 的周长等于18cm , 求AC 的长度 2已知:1)如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点 E ,如果△EBC 的周长是24cm , 那么BC=2) 如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,如果BC=8cm ,那么△EBC 的周长是3)如图,AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E ,如果∠A=28度,那么∠EBC 是3、已知:在△ABC 中,ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 。
1.3线段的垂直平分线(1)性质定理与判定定理
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为筹办一个大型运动会,某市政府打算修 建一个大型体育中心.在选址过程中,有 人建议该体育中心所在位置应当与该城 市的三个城镇中心(如图中P,Q,R表示)的 距离相等.
P●
Q●
R●
定理: 在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°, 那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理:
在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜 边的一半,那么它所对的锐角等于30°.
矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF 展开后再折成如图所示,使点A落在EF上的点A'处, 求第二次折痕BG的长.
BG 4 3
C
B
6
E
D A'
3
F
A
G
1.什么是线段的垂直平分线? 2.线段垂直平分线上的点具有 怎样的特征?
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点距离相等.
M P
已知:如图,AC=BC,MN⊥AB, A P是MN上任意一点. 求证:PA=PB.
C N
B
定理 线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点距离相等.
2.已知等腰三角形的底及底边上的高,你 能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
命题:三角形三条边的垂直平分线相 交于一点.
已知:如图,在△ABC中,设AB,BC 的垂直平分线相交于点P,连接 AP,BP,CP. 求证:点P在AC的垂直平分线上
A
P
B C
证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴PA=PB 同理,PB=PC. ∴PA=PC. ∴点P在线段AB的垂直平分线上, ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.
已知:如图,PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平 A 分线上.
线段垂直平分线知识点+经典例题
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第三讲 线段的垂直平分线【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线.2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法:(1)分别以点A ,B 为圆心,以大于AB 的长为半径作弧,两弧相交于C ,D 两点;(2)作直线CD ,CD 即为所求直线.要点诠释:(1)作弧时的半径必须大于AB 的长,否则就不能得到两弧的交点了.(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.要点诠释:线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质,是证明两条线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法,“线段垂直平分线,常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件.要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 要点诠释:到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合.要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点(三线共点),该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部;钝角三角形的外心在三角形外部;直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题,它要求写出“已知,求作,作法和画图”,画图必须保留痕迹,在现行的教材里,一般不要求写出作法,但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx 即为所求”.2121【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例1、如图,△ABC中AC>BC,边AB的垂直平分线与AC交于点D,已知AC=5,BC=4,则△BCD的周长是()A.9 B.8 C.7 D.6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD,即AD+CD=BD+CD=AC,再根据△BCD的周长=BC+BD+CD即可进行解答.【答案】A;【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理,也就是已知直线是线段垂直平分线,那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等,从而把三角形的边进行转移,进而求得三角形的周长.【变式1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下述结论错误的是()A.BD平分∠ABC B.△BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BC D.点D是线段AC的中点【答案】D;提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确;所以选D,另外,注意排除法在解选择题中的应用.【变式2】如图,△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长.【答案】解:∵DE为AB的中垂线,∴AE=BE,∵FG是AC的中垂线,∴AG=GC,△AEG的周长等于AE+EG+GA,分别将AE和AG用BE和GC代替得:△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC,所以△AEG的周长为BC的长度即7.类型二、线段的垂直平分线的逆定理例2、如图,已知AB=AC,∠ABD=∠ACD,求证:AD是线段BC的垂直平分线.A【答案与解析】证明:∵ AB=AC(已知)∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC (等角对等边)∵AB=AC(已知)DB=DC (已证)∴点A 和点D 都在线段BC 的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)∴AD 是线段BC 的垂直平分线。
5.6线段的垂直平分线(1)性质定理与判定定理
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C N
B
想一想
(1)线段AB的垂直平分线上的所有点都满 足“与点A、B的距离相等”这一条件吗?
(2)满足“与A、B的距离相等”的所有点都 在线段AB的垂直平分线上吗?
已知: △ABC中,边AB、 BC的垂直平分线交于点P。 求证:PA=PB=PC. C
M
证明:∵MN垂直平分AB,P在MN 上 ∴PA=PB(线段垂直平分线上的 E 点与线段两个端点的距离相等) 同理:PB=PC
M
B
C
下课了!
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于:条理清晰,因果 相应,言必有据.这是初学证明者谨记 和遵循的原则.
已知:如图, 直线CD是线段AB的垂直平 分线,垂足为M, 点P在MN上. 求证: PA=PB P
A
M D
B
线段垂直平分线性质
性质定理:线段垂直平分线上的点到 C 线段两个端点的距离相等。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
P
PA=PB
性质定理有何作用?
可证明线段相等
A
M
D
B
换一换
反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB
F
P
A N B
∴PA=PB=PC
结论:三角形三边的垂直平分线交于一点, 并且这点到三个顶点的距离相等。
1、如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直 平分线上,AB、AC 、CE 的长度有什么关系? AB+BD 与DE有什么关系?
A
AC=CE AB+BD=DE
C
B
D
E
2、如图,AB=AC,MB=MC,直线AM是 线段BC的垂直平分线吗? A
线段的垂直平分线角平分线
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线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质(1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示:如图1,∵ CD ⊥AB ,且AD =BD∴ AC =BC.定理的作用:证明两条线段相等 (2)线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示:如图2,∵ AC =BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论(1)关于三角形三边垂直平分线的性质:三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点.....的距离相等.性质的作用:证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部; 若三角形是直角三角形,则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之,也成立。
4、角平分线的性质定理:角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示:如图4,∵ OE 是∠AOB 的平分线,F 是OE 上一点,且CF ⊥OA 于点C ,DF ⊥OB于点D , ∴ CF =DF.定理的作用:①证明两条线段相等;②用于几何作图问题; 角是一个轴对称图形,它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理:角平分线的判定定理:在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示:如图5,图1图2图4∵点P在∠AOB的内部,且PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,且PC=PD,∴点P在∠AOB的平分线上.定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:三角形三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示:如图6,如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线,那么:① AP、BQ、CR相交于一点I;②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F,则DI=EI=FI.定理的作用:①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题.(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心).7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1)会作已知线段的垂直平分线;(2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.【典型例题】例1、如图1,在△ABC 中,BC =8cm ,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交边AC 于点E ,△BCE 的周长等于18cm ,则AC 的长等于( ) A .6cm B .8cm C .10cm D .12cm【跟踪练习】(1)如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E , 如果△EBC 的周长是24cm ,那么BC=_________;(2)如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E , 如果BC=8cm ,那么△EBC 的周长是______;(3)如图,AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交AC 于点E , 如果∠A=28度,那么∠EBC=___.例2、已知: AB=AC ,DB=DC ,E 是AD 上一点,求证:BE=CE.【跟踪练习】已知:在△ABC 中,ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC.求证:点O 在BC 的垂直平分线.例3、在△ABC 中,AB=AC ,AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°,△ABC 的底角C∠B的大小为_______________。
线段的垂直平分线与角平分线
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线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质(1)垂直平分线性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示:如图1.∵ CD ⊥AB.且AD =BD∴ AC =BC.定理的作用:证明两条线段相等 (2)线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示:如图2.∵ AC =BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论(1)关于三角形三边垂直平分线的性质:三角形三边的垂直平分线相交于一点.并且这一点到三个顶点.....的距离相等.性质的作用:证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形内部; 若三角形是直角三角形.则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点;若三角形是钝角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之.也成立。
4、角平分线的性质定理:角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示:如图4.∵ OE 是∠AOB 的平分线.F 是OE 上一点.且CF ⊥OA 于点C.DF ⊥OB 于点D. ∴ CF =DF.定理的作用:①证明两条线段相等;②用于几何作图问题; 角是一个轴对称图形.它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理:角平分线的判定定理:在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示:如图5.∵点P 在∠AOB 的内部.且PC ⊥OA 于C.PD ⊥OB 于D.且PC =PD.图1图2图4∴点P在∠AOB的平分线上.定理的作用:用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.(1)关于三角形三条角平分线交点的定理:三角形三条角平分线相交于一点.并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示:如图6.如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线.那么:① AP、BQ、CR相交于一点I;②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F.则DI=EI=FI.定理的作用:①用于证明三角形内的线段相等;②用于实际中的几何作图问题.(2)三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系:三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心(即内切圆的圆心).7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图:(1)会作已知线段的垂直平分线;(2)会作已知角的角平分线;(3)会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.【典型例题】例1、如图1.在△ABC 中.BC =8cm.AB 的垂直平分线交AB 于点D.交边AC 于点E.△BCE 的周长等于18cm.则AC 的长等于( ) A .6cm B .8cm C .10cm D .12cm【跟踪练习】(1)如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果△EBC 的周长是24cm.那么BC=_________;(2)如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果BC=8cm.那么△EBC 的周长是______;(3)如图.AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果∠A=28度.那么∠EBC=___.例2、已知: AB=AC.DB=DC.E 是AD 上一点.求证:BE=CE.【跟踪练习】已知:在△ABC 中.ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC.求证:点O 在BC 的垂直平分线.例3、在△ABC 中.AB=AC.AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°.△ABC 的底角∠B的大小为_______________。
《线段的垂直平分线》
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习题二:求解矩形中垂直平分线的长度问题
总结词
求解矩形中垂直平分线的长度问题,需要理解矩形的性质以及矩形中垂直平分线的定义和性质。
详细描述
首先,我们需要明确矩形的性质。在矩形ABCD中,AC是BD的垂直平分线,并且AC=BD。接着,我们可以利用 矩形的性质来求解垂直平分线的长度问题。具体地,由于AC是BD的垂直平分线,我们可以得到AB=AD, BC=DC。因此,我们可以得到矩形中垂直平分线的长度为AC或BD的长度。
《线段的垂直平分线》
2023-11-08
目 录
• 定义与性质 • 定理与推论 • 垂直平分线的判定 • 垂直平分线的作法 • 垂直平分线的应用 • 习题与解析
01
定义与性质
定义
垂直平分线
一条直线把线段分成两段,其中每段与原线段的两个端点之间的线段相等,这 条直线叫做这条线段的垂直平分线。
中垂线
06
习题与解析
习题一
总结词
证明三角形中垂直平分线的性质定理,需要理解三角 形中线、高线的概念以及它们与垂直平分线的关系。
详细描述
首先,我们需要明确三角形的中线与垂直平分线的定 义。在三角形ABC中,AD是BC边上的中线,则有 AB=AC,BD=DC,AD垂直平分BC。接着,我们可以 利用三角形全等的证明方法来证明垂直平分线的性质 定理。具体地,由于三角形ABD与三角形ACD全等, 我们可以得到角BAD=角CAD,从而证明AD是角BAC 的角平分线。此外,我们还可以证明AD是BC的高线。 因此,我们证明了三角形中垂直平分线的性质定理。
总结词
经过一个已知点作一条线段的垂直平分线, 方法有多种,其中一种是利用中垂线的性质 。
详细描述
首先,需要明确线段的中点,然后过该中点 作一条与原线段垂直的直线,即为所求的垂 直平分线。
线段的垂直平分线1性质定理与判定定理
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′
逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的垂直平分线上.
它是真命题吗?
驶向胜利 的彼岸
我能行 1
逆定理
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上.
如图, ∵PA=PB(已知),
M P
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条
线段两个端点距离相等的点,在这条
线段的垂直平分线上).
开启 智慧
几何的三种语言
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
Байду номын сангаас
距离相等. 如图,
M P
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任
意一点(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上A 的点到这条线段两个端点距离
C
B
相等).
N
驶向胜利 的彼岸
思
你能写出它的逆命题吗?
考 分
析 定理 线段垂直平分线上的点
到这条线段两个端点距离相等.
A
C
B
N
老师提示:这个结论是经常用来
证明点在直线上(或直线经过某一点) 的根据之一.
驶向胜利 的彼岸
随堂练习 1
挑战自我
如图,已知AB是线段CD的垂直平 分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= 7 cm;如果∠ECD=600,那 么∠EDC= 60 0.
C
AE
B
D
驶向胜利 的彼岸
线段的垂直平分线的定义
![线段的垂直平分线的定义](https://img.taocdn.com/s3/m/b08efc8468dc5022aaea998fcc22bcd126ff42f9.png)
线段的垂直平分线的定义
线段的垂直平分线是指一条直线,它与给定线段相交于该线段的中点,并且与该线段垂直。
这条直线将该线段分成两个相等的部分,即两条
长度相等的线段。
在几何学中,垂直平分线是一个重要的概念,它有
着广泛的应用和重要的意义。
垂直平分线的定义可以从以下几个方面进行展开:
一、垂直平分线的性质
1. 垂直性:垂直平分线与给定线段垂直。
2. 平分性:垂直平分线将给定线段平分成两个长度相等的部分。
二、垂直平分线的构造方法
1. 利用圆心角平分定理:在给定圆上取任意两点,以这两点为端点作弦,然后作这条弦所对应圆心角的角平分线,这条角平分线就是弦所
对应弧的中点连结起来得到的一条弦上的垂直平分线。
2. 利用勾股定理:在给定边长为a和b(a>b)且共同端点为A和B
的两个正三角形ABC和ABD中,连接CD并延长至E使AE=BC,则AE即为AB所在直线段的垂直平分线。
三、垂直平分线的应用
1. 三角形的垂心:在三角形ABC中,将BC的垂直平分线与AB相交
于D,将AC的垂直平分线与BC相交于E,则AD和BE的交点H称为三角形ABC的垂心。
2. 线段中点连结:在给定线段上取中点O,以O为圆心作半径等于该线段长度一半的圆,则该圆上任意一点与线段两端点连成的直线即为
该线段的垂直平分线。
总之,垂直平分线是一个非常基础而重要的概念,在几何学中有着广
泛应用。
通过对其定义、性质、构造方法和应用等方面进行深入了解,可以更好地掌握这个概念,并能够灵活运用到实际问题当中。
立体几何(垂直平分线的证明)
![立体几何(垂直平分线的证明)](https://img.taocdn.com/s3/m/800d92307dd184254b35eefdc8d376eeaeaa1708.png)
立体几何(垂直平分线的证明)立体几何 (垂直平分线的证明)
垂直平分线定理是几何学中的一个重要定理,它描述了一个直线如何垂直地平分一段线段。
在立体几何中,垂直平分线的证明与平面几何中类似,但需要考虑到空间中的立体性质。
本文将介绍如何证明立体几何中的垂直平分线定理。
垂直平分线定理的表述
垂直平分线定理表述如下:对于一个立体中的一条线段AB,如果存在一条直线CD,CD垂直地平分线段AB,并且交于点E,那么AE = EB。
垂直平分线定理的证明
证明垂直平分线定理的关键在于找到适当的几何性质和定理来支持。
以下是一种可能的证明方法:
1. 假设有一个立方体ABCDE...,其中线段AB需要被垂直平分。
2. 假设存在一条直线CD,CD垂直地平分线段AB,并且交于
点E。
3. 由立体几何性质可知,AE和EB是在平面ACDE中的平面
曲线,且AE和EB垂直于平面ACDE。
4. 由于CD垂直平分线段AB,所以AE = EB。
5. 根据空间几何性质,AE和EB的交点E在平面ACDE上。
6. 因此,垂直平分线定理成立。
结论
垂直平分线定理在立体几何中也是成立的,证明方法与平面几
何类似,但需要考虑到空间中的立体性质。
通过找到适当的几何性
质和定理来支持,我们可以证明立体几何中的垂直平分线定理。
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教学目标:
1.经历线段垂直平分线的性质的发现过程,初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理,体会辩证思想
2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。
教学重难点
能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论
1.如图3-137,在△ABC中,AB=AC,∠A=80°AB的垂直平分线MN交AC的延长线于D.求∠DBC的度数.
2.如图3-138,在△ABC中,BD平分∠ABC,EF垂直平分BD交CA延长线于E.求证:∠EAB=∠EBC.
同组探讨,总结:
⏹性质定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
注:点P在线段AB的垂直平分线上P A=PB
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
可见,定理是证明两线段相等的依据。
⏹用集合的观点描述线段的垂直平分线:线段的垂直平分线可以看作是和这条
线段的两个端点的距离相等的所有的点的集合。
⏹用符号语言表示线段垂直平分线性质定理:
∵P在线段AB的垂直平分线上
∴P A=P B
用符号语言表示线段垂直平分线判定定理:
∵P A=P B
∴P在线段AB的垂直平分线上
线段垂直平分线定理
性质:线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
逆定理
判定:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的直平分线上
提高练习:
一、判断题:1、如下图直线MN 垂直平分线段AB ,
则AE=AF 。
2、如下左图线段MN 被直线AB 垂直平分,则ME=NE 。
M
N
A
B
E
B
A
P
M
N
3、如上右图PA=PB ,则直线MN 是线段AB 的垂直平分线。
证明举例:
例1:已知,如图ΔABC 中,边AB ,BC 的垂直平分线相交于点P ,求证:PA=PB=PC 。
证明:∵点P 在线段AB 的垂直平分线上 ∴PA=PB ( ) 同理PB=PC
∴PA=PB=PC ( )
由例题PA=PC ,知道点P 在AC 的垂直平分线上,所以三角形三边的垂直平分线交于一点P ,这个点到三个顶点的距离相等。
1、已知:∆ABC 是等腰三角形,ED 为腰AB 的垂直平分线,
∆BCD 的周长为24cm ,∆ABC 腰长为
14cm ,求底边BC 的长。
A
E
D B C
2、已知,D 是直角∆ABC 斜边AC 的中点,ED AC ⊥于D 交BC 于E ,∠∠=EAB BAC ::25, 求:∠ACB 的度数。
3、在△ABC 中,AB =AC ,∠A =120°,AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N .
求证:CM =2BM .
A 2x 3x D
B E C。