平面直角坐标系

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平面直角坐标系

平面直角坐标系平面直角坐标系是平面上最常用的坐标系统之一，用于描述平面上的点和其它几何图形的位置。

它由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴，它们的交点被称为原点。

一、坐标系介绍坐标系是用来刻画空间中各点位置的系统，而平面直角坐标系是坐标系中的一种。

平面直角坐标系的构成：1. x轴：水平的直线，向右延伸为正方向，向左延伸为负方向。

2. y轴：垂直于x轴的直线，向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。

3. 原点：x轴和y轴的交点，被称为坐标系的原点。

二、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，每个点可以表示为一个有序数对，即(x, y)，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

1. 横坐标：横坐标表示点在x轴上的位置。

在原点的右边为正方向，左边为负方向。

2. 纵坐标：纵坐标表示点在y轴上的位置。

在原点的上方为正方向，下方为负方向。

三、点的位置关系根据坐标系的定义，我们可以判断点的位置关系。

1. 同一直线上的点：如果两个点的横坐标相等，纵坐标不同时，它们在同一条直线上，且与原点的距离相等。

2. 垂直关系：如果两个点的纵坐标相等，横坐标不同时，它们在同一条垂直线上，且与原点的距离相等。

3. 斜率：直线斜率是用来描述直线的倾斜程度的，斜率为0表示水平线，无限大表示垂直线。

4. 象限：根据点的坐标正负关系，可以将平面分为四个象限。

第一象限：x>0，y>0；第二象限：x<0，y>0；第三象限：x<0，y<0；第四象限：x>0，y<0。

四、点、线和图形的表示方法在平面直角坐标系中，我们可以使用坐标来表示点、线和图形。

1. 表示点：一个点的位置可以使用有序数对(x, y)来表示。

如点A(2, 3)表示横坐标为2，纵坐标为3的点A。

2. 表示线段：线段由两个端点组成，可以使用两个点的坐标来表示。

如线段AB由两个点A(2, 3)和B(4, 5)表示。

3. 表示直线：直线的方程可以使用斜率截距形式或一般式来表示。

平面直角坐标系

Lo=(6N-3°)
式中：N———6°带的带号
图2离中央子午线越远，长度变形越大，在要求较小的投影变形时，可采用3°投影带。3°带是在......
应当注意的是，高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大。其主要特点有以下三点：
（1）投影后中央子午线为直线，长度不变形，其余经线投影对称并且凹向于中央子午线，离中央子午线越远，变形越大。
第一象限还可以写成Ⅰ，第二象限还可以写成Ⅱ，第三象限还可以写成Ⅲ，第四象限也可以写成Ⅳ。 .第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
1.关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反） 2.关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同） 3.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）
发展历程
笛卡尔坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔所创立的。
传说：
有一天，笛卡尔（Descartes 1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、 2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。百科x混知：图解笛卡尔

平面直角坐标系

平面直角坐标系简介平面直角坐标系是数学中一种常见的坐标系，用于描述平面上的点的位置。

它由两条相互垂直且共同交于原点的直线构成，分别称为x轴和y轴。

通过x、y轴上的数值，可以确定平面上的每一个点的坐标。

坐标轴平面直角坐标系由两个垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。

x轴是从左到右水平延伸的直线，y轴是从下到上垂直延伸的直线。

两轴交于原点O，原点是坐标系的起点，它的坐标为(0, 0)。

坐标轴上的点的坐标是由数值决定的，正方向上的数值代表右移或上移，负方向上的数值代表左移或下移。

x轴上的正方向可以取右移，y轴上的正方向可以取上移。

在平面上的点的位置是通过坐标值的组合来表示的。

坐标值在平面直角坐标系中，每个点的位置都有唯一的坐标值来确定。

一个坐标值由两个实数(x, y)组成，x表示该点在x轴上的位置，y表示该点在y轴上的位置。

坐标值的顺序可以是(x, y)或者y，x。

根据坐标轴和原点的位置，可以将坐标值分为四个象限。

第一象限的点具有正的x和y值，第二象限的点具有负的x值和正的y值，第三象限的点具有负的x 和y值，第四象限的点具有正的x和负的y值。

坐标变换平面直角坐标系除了可以用来表示点的位置外，还可以进行坐标变换。

坐标变换包括平移、旋转、缩放和倾斜等操作，这些操作可以改变坐标轴的位置和方向，从而达到变换坐标的目的。

平移是将整个坐标系在平面上沿着一个方向移动一定的距离。

例如，将坐标系向右平移3个单位，则所有点的x坐标都会增加3个单位。

类似地，将坐标系向上平移2个单位，则所有点的y坐标都会增加2个单位。

旋转是将整个坐标系绕原点或者其他点旋转一定的角度。

例如，将坐标系逆时针旋转90度，则x轴会变为新的y轴，y轴会变为新的-x轴。

通过旋转，可以改变坐标系中点的位置。

缩放是将整个坐标系沿着x轴和y轴的方向分别进行比例缩放。

例如，对x轴进行2倍缩放，则所有点的x坐标都会乘以2，从而使整个坐标系在x轴方向拉长。

类似地，对y轴进行2倍缩放，则所有点的y坐标都会乘以2，从而在y轴方向拉长。

平面直角坐标系

平面直角坐标系平面直角坐标系是数学中常用的坐标系之一，用于描述平面上点的位置。

它由两个互相垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y轴。

x轴是平行于地面的水平线，y轴是垂直于地面的竖直线。

两个轴的交点称为原点O，坐标轴上的单位长度分别称为单位长度，在坐标轴上的点用有序数对(x,y)来表示。

概念距离公式是平面直角坐标系中求两点之间距离的一种方法，它利用勾股定理的原理得出。

即：两点之间的距离等于横坐标的差的平方加纵坐标的差的平方再开平方根。

假设平面直角坐标系上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则A和B之间的距离d可以表示为：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式可以用来计算直线上两个点的距离，也可以用来计算任意两个点之间的距离。

中点公式是指在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点的坐标，求线段的中点坐标的一种方法。

中点公式的原理是利用两点的坐标分别求出横坐标的平均值和纵坐标的平均值，得到线段的中点坐标。

假设平面直角坐标系上有线段的两个端点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段的中点M的坐标可以表示为：M=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)中点公式可以简单地通过将两个端点的横坐标和纵坐标进行平均来计算出线段的中点坐标。

通过概念距离公式和中点公式，我们可以在平面直角坐标系中方便地计算出两点之间的距离和线段的中点坐标。

这些公式在几何学、物理学和计算机图形学等学科中都有广泛的应用。

平面直角坐标系是数学中基础而重要的工具之一，它不仅可以用来描述几何图形和计算空间中的点、线、面，还可以应用于解决实际问题，如测量距离、计算速度等。

同时，平面直角坐标系还可以与其他数学概念和方法相结合，如向量、导数等，形成更加完整和强大的数学分析体系。

总之，平面直角坐标系是数学中重要的工具之一，概念距离公式和中点公式是在平面直角坐标系中求解距离和中点问题时常用的方法。

通过运用这两个公式，我们可以方便地计算出两点之间的距离和线段的中点坐标，以及应用到各种实际问题中。

平面直角坐标系

02
点在平面直角坐标系中的表示
点在平面直角坐标系中的表示方法
直角坐标法
在平面内选定一个原点O和x、y轴，对于平面内的任意一点P ，通过原点O作一直角与x轴正方向夹角为α，再作一直角与y 轴正方向夹角为β，两直角的交点即为点P的坐标。
极坐标法
以原点O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系。对于平面内的任意一点P，通过原点O作一直线与极轴夹角为θ，再作一直线与极轴夹角为α，两直线的交点即为点P的极坐标。
点的坐标与位置关系
点的横坐标
表示点在x轴上的投影距离。
点的纵坐标
表示点在y轴上的投影距离。
点的位置关系
通过比较点的坐标值，可以确定点在平面直角坐标系中的位置关系，如平行、垂直、相交等。
点在平面直角坐标系中的变换
平移变换
将点沿着x轴或y轴方向移动一定的距离，点的坐标值会相应地增加或减少。
几何图形的性质研究
利用平面直角坐标系，可以研究几何图形的性质和特点，例如对称性、中心对称等。
04
平面直角坐标系与极坐标系的关系
极坐标系的基本概念
1 2
极坐标系
在平面内，以一个固定点为极点，一个固定射线为极轴，用来研究点的位置的一种坐标系。
极坐标表示
在极坐标系中，一个点的位置由一个实数r和一个角度θ来确定，记作(r, θ)。
旋转变换
将点绕原点旋转一定的角度，点的坐标值会发生变化。
缩放变换
将点在x轴或y轴方向上放大或缩小一定的倍数，点的坐标值会相应地增加或减少。
03
平面直角坐标系的应用
解析几何问题
直线方程的求解
通过平面直角坐标系，可以确定直线上任意两点的坐标，从而求出直线的方程。

平面直角坐标系

平面直角坐标系在数学中，平面直角坐标系是一种用于描述平面内点的坐标系统。

它由两条互相垂直的直线（通常是水平的x轴和垂直的y轴）形成，它们相交于一个点，称为原点。

本文将介绍平面直角坐标系的基本概念、坐标表示和使用方法。

一、基本概念平面直角坐标系由两个轴组成，通常称为x轴和y轴。

这两个轴的交点就是原点，用O表示。

x轴向右延伸正无穷远，用正数表示；x轴向左延伸负无穷远，用负数表示。

y轴向上延伸正无穷远，用正数表示；y轴向下延伸负无穷远，用负数表示。

二、坐标表示平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x,y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

x和y分别称为点的横坐标和纵坐标。

三、使用方法在平面直角坐标系中，可以进行一些简单的计算和几何分析。

1. 距离计算可以通过坐标计算两点之间的距离。

假设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)，则点A和点B之间的距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2. 点的位置关系可以比较两个点的坐标来判断它们的位置关系。

例如，如果点A的横坐标等于点B的横坐标并且点A的纵坐标小于点B的纵坐标，那么可以说点A在点B的上方。

3. 垂直和平行关系可以通过判断两个直线的斜率（或是特殊情况下的截距）来确定它们的关系。

如果两条直线的斜率相同，那么它们是平行的；如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。

四、坐标系拓展除了普通的平面直角坐标系，还有其他类型的坐标系可以应用于不同的数学和物理问题。

例如，极坐标系以点到原点的距离和该点与正x 轴的角度来描述点的位置。

其他坐标系还包括球坐标系、柱坐标系等。

总结：平面直角坐标系是用于描述平面内点的坐标系统。

通过横坐标和纵坐标的数值，可以表示点在平面中的位置。

在平面直角坐标系中，可以进行距离计算、点的位置关系判断以及直线的垂直和平行关系确定。

此外，还存在其他类型的坐标系，用于解决不同的数学和物理问题。

平面直角坐标系平面直角坐标系

（注意
在有些情况下，1个单位长度表示的单位量可能不是1，需要具体问题具体分析。）
3
特点
坐标轴上的单位长度是等长的，即1个单位长度上对应的坐标值是等距的。
象限与八分区
• 象限：将平面分成四个区域，左上、右上、左下、右下分别称为第一、第二、第三、第四象限。 • 八分区：将平面分成八个区域，类似于象限的划分方法，但是增加了两条坐标轴上的奇数和偶数分区。具
平面直角坐标系的优化算法
平面直角坐标系也可以用于解决优化问题，例如线性规划、非线性规划等。
线性规划问题可以定义一个目标函数和一组约束条件，通过求解目标函数的最大值或最小值，以及满
足约束条件的最优解得到最优解。
非线性规划问题可以定义一个非线性目标函数和一组约束条件，通过求解目标函数的最小值或最大值，以及满足约束条件的最优解得到最优解。
特点
平面直角坐标系具有简单易行、直观形象、易于理解与运用等优点。
平面直角坐标系的重要性
数学科学的基础
平面直角坐标系是数学科学中最为基础和重要的概念之一，它为代数、几何、分析等多个分支提供了桥梁和工具。
解决实际问题
平面直角坐标系广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等，用于描述和分析实际问题。
体如下 • 第一象限：(+,+) • 第二象限：(-,+) • 第三象限：(-,-) • 第四象限：(+,-) • x轴正半轴：(+,0) • x轴负半轴：(0,-) • y轴正半轴：(0,+) • y轴负半轴：(-,0)
03
平面直角坐标系的应用
描述点的位置
平面直角坐标系由横轴和纵轴构成，原点表示为 (0,0)，可以在此基础上确定任意点的位置。

平面直角坐标系

平面直角坐标系平面直角坐标系是解析几何中常用的坐标系，用于描述平面上的点和其它几何图形。

本文将详细介绍平面直角坐标系的定义、性质及应用。

一、定义平面直角坐标系由两个互相垂直的数轴（x轴和y轴）构成。

x轴水平放置，从左到右逐渐增大；y轴垂直于x轴，从下往上逐渐增大。

两条轴的交点称为原点，记作O。

平面直角坐标系将平面上的点与有序的实数对（x，y）一一对应。

二、性质1. 坐标轴性质：x轴上的点坐标为(x, 0)，y轴上的点坐标为(0, y)。

2. 坐标线性质：对于坐标系内的一点P(x, y)，以x轴和y轴为边，可以得到4个区域，分别对应第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

3. 距离计算公式：两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离d可以通过勾股定理求得：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。

三、应用平面直角坐标系在解析几何中有广泛的应用，常与方程、图形和向量等相关联。

1. 方程：通过坐标系可以解决一元和两元方程的问题。

对于一元方程，可以将其在坐标系中表示为一条直线，并求解其根；对于两元方程，可以表示为一条曲线，通过坐标系求解方程组的解。

2. 图形：通过坐标系，可以准确地表示和描述各种几何图形，如直线、抛物线、双曲线等。

在坐标系中，每个点都有唯一的坐标，因此可以使用坐标来确定图形上的点的位置。

3. 向量：向量是平面直角坐标系中的重要概念之一。

向量的起点可以任意选取，表示为一个有向线段，并通过坐标系表示其方向和大小。

向量可以进行加法、减法、数量积等运算，在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

总结：平面直角坐标系是解析几何中最基本的坐标系之一，通过两个垂直的坐标轴构成。

它具有一些重要的性质，如坐标轴和坐标线的性质，以及距离计算公式。

平面直角坐标系在方程、图形和向量等方面有广泛的应用，能够准确地描述和解决各种几何问题。

平面直角坐标系平面直角坐标系

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性质
平面直角坐标系是一个正交坐标系，它具有唯一性和可数性。
平面直角坐标系的建系的中心点。
确定x轴与y轴
根据定义，x轴是一条与y轴垂直的数轴，y轴是一条与x轴垂直的数轴。
确定单位长度
选择一个单位长度，通常选择一个合适的长度单位，如毫米或厘米。
坐标系中的点与坐标
方向向量的计算
方向向量的计算可以通过两个点的坐标进行计算，得到一个向量，该向量的模等于两点之间的距离，方向与连接两点的线段一致。
三维空间中的坐标系
三维空间中的坐标系定义
三维空间中的坐标系使用三个参数，x、y 、z，来定义空间中的任意一点。
VS
三维空间中的坐标系扩展
三维空间中的坐标系可以扩展到更高维度的空间中，例如四维空间、五维空间等。
计算机图形学中的应用
像素坐标
在计算机图形学中，每个像素点都有其在平面直角坐标系中的位置，通过坐标可以方便地对像素点进行操作。
渲染算法
通过平面直角坐标系可以设计各种渲染算法，如阴影算法、反射算法等。
三维建模
在三维建模中，平面直角坐标系是基础，可以通过它来建立三维模型的空间关系。
05
平面直角坐标系的扩展
平移平面直角坐标系中的点，其坐标值会相应地发生变化。平移过程中，点的坐标值沿横轴或纵轴方向移动，移动距离等于平移方向上的坐标增量。
点的旋转
旋转平面直角坐标系中的点，其坐标值不会发生变化，但会围绕旋转中心转动。旋转过程中，点的坐标值相对于旋转中心转动，旋转角度等于旋转角度的弧度值。
距离与角度的计算
平面直角坐标系
2023-11-04
目录
• 平面直角坐标系的基本概念 • 平面直角坐标系中的基本运算 • 平面直角坐标系中的图形变换 • 平面直角坐标系的应用 • 平面直角坐标系的扩展

平面直角坐标系

平面直角坐标系平面直角坐标系是数学上常用的一种表示平面点位置的方法。

它由两条相互垂直的坐标轴组成，通常被称为x轴和y轴。

在平面直角坐标系中，每一个点可以由一个有序数对(x, y)来表示，其中x代表点在x轴上的位置，y代表点在y轴上的位置。

一、坐标轴和坐标平面平面直角坐标系以一个平面为基准面，通过在基准面上选择两条相互垂直的线段作为坐标轴，构成直角坐标系。

x轴和y轴分别与基准面的一个定点O相交于点O，被称为坐标原点。

二、坐标值在平面直角坐标系中，每一条坐标轴被划分为无限个等分，用来表示点在该轴上的位置。

任意一点的坐标值都是由该点在x轴和y轴上的投影决定的。

三、点的位置平面直角坐标系中的点可以分为四个象限：第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

第一象限位于x轴和y轴的正方向，第二象限位于x轴的负方向和y轴的正方向，第三象限位于x轴和y轴的负方向，第四象限位于x轴的正方向和y轴的负方向。

四、距离和斜率在平面直角坐标系中，可以通过坐标值计算两点之间的距离和斜率。

两点之间的距离可以通过使用勾股定理计算，而斜率则可以通过斜率公式计算，斜率公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中m为斜率，(x1,y1)和(x2, y2)分别为两点坐标。

五、图形的表示在平面直角坐标系中，不同的图形可以通过将点的集合按照一定规则进行连接而得到。

例如，直线可以由两个点确定，抛物线可以由若干个点确定，圆可以由一个点和半径确定等。

总结：平面直角坐标系是表示平面点位置的常用方法，通过坐标轴和坐标值可以准确地表示点在平面上的位置。

在平面直角坐标系中，可以计算两点之间的距离和斜率，同时可以通过连接点来表示不同的图形。

平面直角坐标系是数学中一个重要的概念，被广泛应用于几何学、代数学等领域。

平面直角坐标系

平面直角坐标系平面直角坐标系是指利用两个垂直的数轴（x轴和y轴）来确定平面上的点位置的一种坐标系统。

它是数学中常用的一种工具，用于描述平面上的几何图形和解决各种问题。

在平面直角坐标系中，点的位置由两个数值（x，y）表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

一、坐标轴平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。

坐标轴的交点称为原点，记作O。

x轴向右延伸为正方向，向左延伸为负方向。

y轴向上延伸为正方向，向下延伸为负方向。

x轴和y轴的单位长度可以任意选择，常用的单位长度是1。

二、坐标表示在平面直角坐标系中，每个点的位置都可以用一个有序数对（x，y）表示。

x表示点在x轴上的位置，可以是正数、负数或零。

y表示点在y轴上的位置，也可以是正数、负数或零。

由于存在四个象限，具体的位置表示可能是不同的。

三、象限划分平面直角坐标系将平面划分为四个象限，如下所示：第一象限：x轴和y轴的正半轴构成，x和y均为正数。

第二象限：x轴的负半轴和y轴的正半轴构成，x为负数，y为正数。

第三象限：x轴和y轴的负半轴构成，x和y均为负数。

第四象限：x轴的正半轴和y轴的负半轴构成，x为正数，y为负数。

四、坐标变换在平面直角坐标系中，可以进行坐标变换来描述图形的移动、旋转和缩放等操作。

常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放。

平移：平移是将图形沿着x轴或y轴方向进行移动。

平移图形的x坐标和y坐标分别加上相应的平移量。

旋转：旋转是将图形绕着原点或其他点旋转一定角度。

旋转图形可以利用旋转矩阵进行计算。

缩放：缩放是将图形在x轴和y轴方向上进行拉伸或压缩。

缩放图形可以将图形的每个点的x坐标和y坐标分别乘以缩放因子。

五、应用领域平面直角坐标系被广泛应用于各个学科和领域中。

在几何学中，平面直角坐标系被用于描述图形的性质和计算图形的面积、周长等。

在物理学中，平面直角坐标系用于描述物体的运动轨迹和力的作用方向等。

在经济学和社会科学中，平面直角坐标系被用于建立数学模型和分析数据等。

平面直角坐标系

平面直角坐标系1、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记作（a,b）。

2、平面直角坐标系：两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两轴的交点为平面直角坐标系懂得原点，建立了坐标系的平面叫做坐标平面。

3、坐标：对于平面直角坐标系上的某点A（x,y），x代表横坐标（即过点A作垂直于x轴的垂线与x轴相交的那点对应的数），y代表纵坐标（即过点A作垂直于y轴的垂线与y轴相交的那点对应的数）。

4、坐标的四个象限：两坐标轴正半轴之间的部分称为第一象限，x轴的负半轴和y轴的正半轴之间的部分为第二象限，x轴的负半轴和y轴的负半轴之间的部分为第三象限，x轴的正半轴和y轴的负半轴之间的部分为第四象限。

5、平面直角坐标系内的图像平移：设平面直角坐标系内的图像所对应的某点为P（x,y），若图像向左平移a个单位，则得到Q（x-a,y）；若图像向右平移a个单位，则得到Q（x+a,y）；若图像向上平移a个单位，则得到Q（x,y+a）；若图像向下平移a个单位，则得到Q（x,y-a）；注意：（1）四个象限内的点的坐标特征：若点A（a,b）在第一象限，则a>0,b>0;若点A（a,b）在第二象限，则a<0,b>0;若点A（a,b）在第三象限，则a<0,b<0;若点A（a,b）在第四象限，则a>0,b<0;（2）两坐标轴上的点的坐标特征：若点A（a,b）在x轴上，则a为任意实数，b=0;若点A （a,b ）在y 轴上，则a=0，b 为任意实数;若点A （a,b ）在原点上，则a=b=0;（3）两坐标夹角平分线上的点的坐标特征：若点A （a,b ）在第一、三象限的角平分线上，则a=b 或a-b=0; 若点A （a,b ）在第二、四象限的角平分线上，则a=-b 或a+b=0;（4）点到坐标轴的距离：点P （x,y ）到x 轴的距离为y点P （x,y ）到y 轴的距离为x（5）平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上所有的点的纵坐标相同；平行于y 轴的直线上所有的点的横坐标相同；（6）关于坐标轴及坐标原点对称的点的坐标特征：点P （x,y ）关于x 轴对称的点的坐标为（x,-y ）点P （x,y ）关于y 轴对称的点的坐标为（-x, y ）点P （x,y ）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y ）点P （x,y ）关于x y =对称的点的坐标为（y,x ）点P （x,y ）关于x y -=对称的点的坐标为（-y,-x ）。

平面直角坐标系

平面直角坐标系什么是平面直角坐标系平面直角坐标系是一个二维的坐标系，由两条相互垂直的坐标轴所组成。

通常用来描述平面内的几何现象，常见于数学、物理、工程等领域。

坐标轴平面直角坐标系由两条互相垂直的坐标轴构成，称为X轴和Y轴。

X轴是水平方向的，与纵向的Y轴垂直。

它们通过坐标原点O相交，坐标原点是坐标系中最靠近两条轴交叉点的点。

轴上的点表示轴向的数值，点的位置与它所表示的数值有直接的对应关系，因此点与数值可以互相转换。

坐标系中的点在平面直角坐标系中，每个点的位置可以用它在X轴和Y轴上的坐标表示。

设点P的坐标为(x,y)，表示点P在X轴上的坐标为x，在Y轴上的坐标为y。

P点在坐标系上的位置就是以O点为起点，延水平方向向右移动x个单位，再延竖直方向向上移动y个单位到达的点。

坐标系上的距离坐标系中的两个点之间的距离可以用勾股定理计算。

设两个点的坐标分别为A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的距离为$d = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2- y_1)^2}$。

因此，坐标系中任意两个点都可以通过它们的坐标计算出它们之间的距离。

坐标系中的几何形状平面直角坐标系中可以用一些基本的几何形状来描述平面内的几何现象，例如：点一个点可以表示为一个坐标值(x, y)。

直线一条直线可以用斜率和截距表示。

斜率表示直线在坐标系中的倾斜程度，截距表示直线与Y轴的交点位置。

圆一个圆可以表示为圆心坐标和半径大小。

圆心坐标表示圆心在坐标系中的位置，半径表示圆的大小。

矩形一个矩形可以表示为两个对角点的坐标值。

一个对角点表示矩形的左上角或右下角，另一个对角点表示矩形的右上角或左下角。

坐标系中的变换在平面直角坐标系中，可以进行一些坐标变换来描述几何形状的变化。

例如：平移平移是指将一个几何形状沿着水平和竖直方向上移动一定的距离。

对于一个点(x,y)，进行平移变换时可以表示为(x + a, y + b)，其中a和b表示在水平和竖直方向上移动的距离。

平面直角坐标系

平面直角坐标系平面直角坐标系，又称直角坐标系或笛卡尔坐标系，是在数学和物理学中常用的坐标系统之一。

它以两条相互垂直的数轴（通常是水平的 x 轴和垂直的 y 轴）作为基准，用来确定平面上的点的位置。

这个坐标系的引入，使得我们可以方便地表示、计算和研究平面上各个点的位置和关系。

一、坐标轴平面直角坐标系中的坐标轴通常是水平的 x 轴和垂直的 y 轴。

在坐标轴上，我们选取一个点作为原点（O），两条轴相交于原点，原点的位置被定义为坐标轴的交点。

二、坐标表示在平面直角坐标系中，每个点都可以用一个有序对 (x, y) 来表示。

其中，x 表示与 x 轴的水平距离，称为横坐标；y 表示与 y 轴的垂直距离，称为纵坐标。

三、象限划分平面直角坐标系将平面划分为四个象限，分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

在第一象限中，x 和 y 的值都为正；在第二象限中，x 的值为负，y 的值为正；在第三象限中，x 和 y 的值都为负；在第四象限中，x 的值为正，y 的值为负。

在坐标系中，我们可以通过坐标的正负值和象限来确定点所在的位置。

例如，点 (3, 4) 位于第一象限，点 (-2, 3)位于第二象限，点 (-5, -1) 位于第三象限，点 (4, -2) 位于第四象限。

四、距离和斜率在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标来计算点之间的距离和直线的斜率。

1. 距离公式：设两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，它们之间的距离可以使用勾股定理来计算：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2. 斜率公式：设直线上两点 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，直线的斜率可以使用以下公式计算：k = (y2-y1) / (x2-x1)根据以上公式，我们可以根据给定的坐标计算点之间的距离，或确定直线的斜率，帮助我们解决各种几何和物理问题。

五、应用平面直角坐标系广泛应用于几何、物理、经济学等学科中。

平面直角坐标系

平面直角坐标系
平面直角坐标系，又称笛卡尔坐标系，是一种在二维空间里应用的坐标系。

它是由两个互相垂直的直线组成的，分别叫做X轴和Y轴，可以将二维平面上的任何一点定位。

一般来说，平面直角坐标系的原点为坐标原点(0,0)，X轴水平向右延伸，Y轴垂直向上延伸。

每一点都可以用一对数字来表示，分别表示其在X轴和Y轴上的坐标。

用坐标显示出来形成一个坐标轴，已经有助于理解平面坐标系。

平面直角坐标系的使用非常广泛，应用于数学、物理、地理等诸多学科，是学习和处理二维数据的非常有用的工具。

它可以帮助我们更好地理解物体的位置和运动路径，以及分析函数的结构和趋势。

同时，平面直角坐标系还可以帮助我们将二维地图投影到平面上，帮助人们更清楚地理解地形和地貌。

可以说，平面直角坐标系是研究和处理二维数据的必不可少的工具。

在科学研究中，平面直角坐标系是一种非常重要的技术，它被广泛用于表达空间结构，分析和模拟各种现象，有很多强大的数学工具，可以帮助我们更好地了解这些现象。

当然，也可以用平面直角坐标系来研究各种曲线问题，比如椭圆、抛物线、双曲线等等。

总而言之，平面直角坐标系是一种重要的坐标系，应用于数学、物理和地理等多个领域，被广泛用于研究和处理二维数据。

它是一个强大的工具，对于理解二维空间中的物体结构和现象非常有用，也是研究函数曲线的重要基础。

平面直角坐标系

平面直角坐标系平面直角坐标系是解决平面几何问题的基础。

它通过两条相互垂直的轴线来定位平面上的点，一条轴线称为横轴或X轴，另一条轴线称为纵轴或Y轴。

本文将介绍平面直角坐标系的定义、特点及其应用。

定义及特点平面直角坐标系由两条相互垂直的轴线和一个坐标原点组成。

横轴和纵轴相交于坐标原点，并且原点的坐标为(0, 0)。

根据笛卡尔坐标系的规定，横轴向右为正方向，纵轴向上为正方向。

坐标轴上的刻度表示具体的数值，刻度之间的等距离表示单位长度，一般称为“单位距离”。

在平面直角坐标系中，横轴和纵轴上的刻度可以表示实数。

每一个点都可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示横轴上的刻度，y表示纵轴上的刻度。

平面直角坐标系可用于表示平面上的点、直线、曲线等几何对象。

通过坐标系，可以方便地计算两个点之间的距离、两条直线的交点等几何性质。

在平面直角坐标系中，直线可以由一个方程表示，常见的直线方程有斜率截距方程和一般式方程。

平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在几何学、代数学以及物理学等学科中都有广泛的应用。

下面将介绍一些典型的应用场景。

1. 几何形状的表示：平面直角坐标系可以用于表示任意几何形状。

通过将图形中的各个点的坐标表示在坐标系中，可以直观地观察图形的性质和关系。

例如，可以用平面直角坐标系表示矩形、圆、椭圆等几何形状，便于计算它们的面积、周长等几何特征。

2. 直线和曲线的方程表示：平面直角坐标系可以用于表示直线和曲线的方程。

例如，对于直线，可以根据已知点和斜率确定直线的方程，或者通过已知两点求解直线的方程。

对于曲线，可以通过解析几何方法将曲线转化为方程，从而研究曲线的特性和性质。

3. 空间位置的定位：平面直角坐标系也可以扩展到三维空间，用于表示点、直线和平面的位置。

通过添加垂直于平面的第三条轴线，可以构建三维直角坐标系，用于表示三维几何对象的位置和性质。

三维直角坐标系在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

4. 函数的表示和计算：平面直角坐标系可以用于表示数学函数，如直线函数、二次函数等。

平面直角坐标系

平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表：2.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．两个定点的距离为4，点M 到这两个定点的距离的平方和为16，则点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.设两定点分别为A ，B ，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)，设动点M (x ，y )，则由|MA |2＋|MB |2＝16，可得(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，化简得轨迹方程x 2＋y 2＝4.故选A.2．将正弦曲线y ＝sin x 的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的13，所得曲线方程为( )A ．y ＝sin 3xB ．y ＝3sin xC ．y ＝sin 13xD ．y ＝13sin x解析：选A.伸缩变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝y ，变形得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝y ′，代入y ＝sin x . 得y ′＝sin 3x ′，即所求曲线方程为y ＝sin 3x .故选A.3．在平面直角坐标系中，方程3x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 后得到的直线方程为( )A ．3x －4y ＋1＝0B ．3x ＋y －1＝0C ．9x －y ＋1＝0D ．x －4y ＋1＝0解析：选C.由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝12y ′，代入方程3x －2y ＋1＝0，得9x ′－y ′＋1＝0.故经过伸缩变换后得到的直线方程为9x －y ＋1＝0.4．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后变换为____________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.代入曲线y ＝13cos 2x ，得y ′＝cos x ′，即y ＝cos x . 答案：y ＝cos x用坐标法解决平面几何问题1.已知▱ABCD ，求证：AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．[证明] 如图所示，以点A 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0，0)．设B (a ，0)，C (b ，c )．因为AD →＝BC →＝(b －a ，c )，所以D (b －a ，c )．所以AB 2＝a 2，AD 2＝(b －a )2＋c 2， AC 2＝b 2＋c 2， BD 2＝(b －2a )2＋c 2.因为AC 2＋BD 2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，而AB 2＋AD 2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab . 所以AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)．建立适当的平面直角坐标系的常用方法(1)如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；(4)如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程．已知矩形ABCD ，对于矩形所在的平面内任意一点M ，求证：AM 2＋CM 2＝BM2＋DM 2.证明：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A (0，0)．设B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，M (x ，y )，则AM 2＋CM 2＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2＝2(x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)－2(ax ＋by )，BM 2＋DM 2＝(x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2＝2(x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)－2(ax ＋by )，所以AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.求轨迹方程问题2.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，647为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8，0)．观测点A (4，0)，B (6，0)．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A ，B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？[解] (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，因为点D (8，0)在抛物线上，所以a ＝－17. 所以曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，①y ＝－17x 2＋647 ②得4y 2－7y －36＝0. y ＝4或y ＝－94(舍去)，所以y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．所以C 点的坐标为(6，4)，|AC |＝25，|BC |＝4，所以当航天器离观测点A，B的距离分别为25，4时，应向航天器发出变轨指令．(1)求轨迹方程的一般步骤(2)求轨迹方程应注意的问题选择适当的坐标系，建系不同求得的轨迹方程也不同，坐标系的选取应以求解过程的计算量最小，求出的轨迹方程最简单为目标．在求解过程中不仅要从约束条件中的等量关系求出轨迹方程，同时还要关注约束条件中的不等关系并转化成x，y的取值范围在方程后面加以注明．如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O1O2的中点O为坐标原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)，设P(x，y)．由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12)．则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0)．平面直角坐标系中的伸缩变换及其应用3.在平面直角坐标系下，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得到的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换得到B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得的直线l ′的方程；(4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后得到的曲线C ′的焦点坐标．[解] (1)设A ′点的坐标为(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y .由于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，所以x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′(1，－1)即为所求． (2)设B 点坐标为(x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，由于B ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，12，所以x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，所以B (－1，1)即为所求．(3)设直线l 上任意一点为P (x ，y )，经过变换后的点为P ′(x ′，y ′)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ′，即y ′＝x ′，所以y ＝x 即为所求直线l ′的方程． (4)设双曲线C 上任意一点为P (x ，y )，经过变换后的点为P ′(x ′，y ′)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入方程x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，即x ′29－y ′216＝1，所以曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，可见仍为双曲线，所以焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)即为所求．(1)伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则点的坐标与曲线的方程的关系如下：关系类型变换前变换后点P(x ，y )(λx ，μy )函数曲线Cy ＝f (x )y ′＝μf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′方程曲线Cf (x ，y )＝0 f⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′，1μy ′＝0(2)①已知变换前的曲线方程及伸缩变换求变换后的曲线方程；求解方法为代点转移法． ②已知变换后的曲线方程及伸缩变换求变换前的曲线方程，求解方法为代点转移法． ③已知变换前后的曲线方程求伸缩变换；求解方法为待定系数法．1.给出以下四个命题，其中不正确的一个是( )A ．点M (3，5)经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝5x5y ′＝3y ，变换后得到点M ′的坐标为(5，3)B ．函数y ＝2(x －1)2＋2经过平移变换φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －1y ′＝y －2后再进行伸缩变换φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝18y最后得到的函数解析式为y ＝x 2C ．若曲线C 经过伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 变换后得到的曲线方程为x 2－y 2＝1，则曲线C的方程是4x 2－9y 2＝1D ．椭圆x 216＋y 29＝1经过伸缩变换φ后得到的图形仍为椭圆，并且焦点一定还在x 轴上解析：选D.对于A ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5代入⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝5x 5y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5y ′＝3，故M ′(5，3)，正确；对于B ：y ＝2(x －1)2＋2经φ1变换后得到y ＝2x 2，再将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝8y ′代入得8y ′＝8x ′2即y ′＝x ′2，因此最后所得函数解析式为y ＝x2正确；对于C ：将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 代入x ′2－y ′2＝1得4x 2－9y2＝1，故变换前方程为4x 2－9y 2＝1也正确；对于D ：设伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)，则当λ＝4，μ＝3时变换后的图形是圆x 2＋y 2＝1，当λ＝4，μ＝1时变换后的图形为椭圆x 2＋y 29＝1，此时焦点在y 轴，故D 不正确．2．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0y ′＝μy ，μ＞0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.平移变换与伸缩变换的综合应用4.将正弦曲线y ＝sin x ，先进行平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π3y ′＝y －1得到曲线C 1，再将C 1进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y得到曲线C 2，求曲线C 2的函数解析式． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －π3y ′＝y －1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋π3y ＝y ′＋1，代入y ＝sin x 得y ′＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ′＋π3，故曲线C 1是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝13y ′代入y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1得 13y ′＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ′＋π3－1，即曲线C 2的函数解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3.解决平移变换与伸缩变换应注意的问题(1)在三角函数图象变换中，左右平移和上下平移合在一起就是一个平移变换，反过来一个平移变换也可以分解成一个左右平移和一个上下平移．同样周期变换和振幅变换合在一起就是一个伸缩变换，反过来一个伸缩变换也可以分解成一个周期变换和一个振幅变换．(2)对坐标平面内一条曲线进行变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移所得曲线一般情况下是不同的．1.分别求伸缩变换φ1和平移变换φ2，使函数y ＝2cos (πx －3)＋2经过伸缩变换φ1变为y ＝cos(x －3)＋1，再经过平移变换φ2变为y ＝cos x .解：设φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0代入y ′＝cos(x ′－3)＋1得μy ＝cos(λx －3)＋1，即y ＝1μcos(λx －3)＋1μ，又y ＝2cos (πx －3)＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝πμ＝12，即φ1：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝πx y ′＝12y ，设φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋hy ′＝y ＋k 代入y ′＝cos x ′得y ＋k ＝cos(x ＋h )．即y ＝cos(x ＋h )－k ，又y ＝cos(x －3)＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－3k ＝－1即φ2：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3y ′＝y －1. 2．将曲线y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3按照φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0变换为曲线y ′＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π3，求曲线y ＝cos 4x 在φ变换后的曲线的最小正周期及最大值．解：由φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，得φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，λ>0，y ＝1μy ′，μ>0，将曲线y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3按照φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0变换为曲线的方程为y ′＝3μsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2λx ′＋π3，由题意，得3μ＝1，2λ＝1，故λ＝2，μ＝13.则曲线y ＝cos 4x 在φ变换后的曲线的方程为y ′＝13cos 2x ′，所以变换后的曲线的最小正周期为π，最大值为13.1．对数轴的理解(1)数轴上的点组成的点集与实数集之间建立了一一对应关系．(2)数轴是最简单的坐标系，也可以认为是一维坐标系，它的三要素是：①原点；②正方向；③单位长度．(3)在数轴上确定点的位置，只需用它对应的实数即可，即每一个实数都能在数轴上唯一确定一个点．2．对平面直角坐标系的理解(1)建立了平面直角坐标系之后，坐标平面内的所有点组成的点集与有序数对(x ，y )组成的集合{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}之间就建立了一一对应关系，因此我们可以把坐标平面内所有点组成的点集直接写成{(x ，y )|x ∈R，y ∈R}．(2)平面直角坐标系，也可以认为是二维直角坐标系，它的三要素是：①两数轴互相垂直且有公共原点；②x 轴(横轴)水平放置方向向右，y 轴(纵轴)竖直放置方向向上；③两轴上取相同的单位长度．(3)要确定平面直角坐标系内的一点，需要一个有序实数对(x ，y )．对于平面内的一点P ，如图1，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足在x 轴，y 轴上对应的数x ，y 分别叫做点P 的横坐标，纵坐标，有序实数对(x ，y )叫做点P 的坐标，点P (x ，y )在各个象限内的符号如图2所示．3．对平面直角坐标系中的伸缩变换的理解 (1)变换中的系数均为正数．(2)在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换．(3)设平面直角坐标系中，变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0y ′＝μy ，μ>0将点P (x ，y ) 变换到点P ′(x ′，y ′)．当λ>1时，为横向伸长变换；当0<λ<1时，为横向缩短变换；当μ>1时，为纵向伸长变换；当0<μ<1时，为纵向缩短变换．(4)在进行伸缩变换时，要注意点的对应性，即分清新、旧坐标，P ′(x ′，y ′)是坐标变换后的点的坐标，P (x ，y )是坐标变换前的点的坐标．在具体解题时，用x ′，y ′表示出x ，y ，然后代入坐标变换前的方程，可得坐标变换后的方程．(5)由函数y ＝f (x )的图象到函数y ＝Af (ax )(a >0，A >0)的图象，其变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1a x (a >0)，y ′＝Ay (A >0)，其中(x ，y )是变换前点的坐标，(x ′，y ′)是变换后点的坐标． (6)在平面直角坐标系中，经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线、双曲线伸缩后仍为双曲线、抛物线伸缩后仍为抛物线，而圆伸缩后可能是椭圆或圆．4．结合由y ＝sin x 变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的过程理解伸缩变换 (1)周期变换就是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωxy ′＝y 的一个伸缩变换，它把y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin ωx 的图象．(2)振幅变换就是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝xy ′＝Ay 的一个伸缩变换，它把y ＝sin x 的图象变换成y ＝A sin x的图象．(3)将y ＝sin x 的图象经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωxy ′＝Ay后得到y ＝A sin ωx 的图象． (4)将y ＝sin x 的图象经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋φy ′＝y ＋B 后就得到y ＝sin(x ＋φ)＋B 的图象．(5)将y ＝sin x的图象先进行平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋φy ′＝y ＋B 再进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1ωx y ′＝Ay后就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)＋AB 的图象．1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A ．椭圆B ．比原来大的圆C ．比原来小的圆D ．双曲线解析：选D.由伸缩变换的意义可得．2．点(1，2)经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的点的坐标是( )A ．(4，－3)B ．(－2，3)C ．(2，－3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23解析：选D.把(1，2)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12，y ′＝23.3．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′，即y ＝3cos 12x . 答案：y ＝3cos x24．求满足由椭圆4x 2＋9y 2＝36变成圆x ′2＋y ′2＝1的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.又4x 2＋9y 2＝36可化为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1. 与λ2x 2＋μ2y 2＝1比较，得λ2＝19，μ2＝14，又因为λ>0，μ>0，所以λ＝13，μ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标缩为原来的13，纵坐标缩为原来的12，即可得到圆x ′2＋y ′2＝1.[A 基础达标]1．若△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1，2)，B (2，3)，C (3，1)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形解析：选A.|AB |＝(2－1)2＋(3－2)2＝2， |BC |＝(3－2)2＋(1－3)2＝5， |AC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，|BC |＝|AC |≠|AB |，△ABC 为等腰三角形．选A.2．将点P (－2，2)变换为P ′(－6，1)的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13xy ′＝2yB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12yD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y解析：选C.设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy ，则⎩⎪⎨⎪⎧－6＝λ×(－2)1＝μ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3μ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y .3．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2，2)的距离，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选A.因为点M (2，2)在直线x ＋y －4＝0上，故动点P 的轨迹是过点M 且垂直于直线x ＋y －4＝0的直线，选A.4．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( )A ．将横坐标缩为原来的12，纵坐标也缩为原来的12B ．将横坐标缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩为原来的12解析：选D.设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx y ′＝μy 代入y ′＝12sin 12x ′得μy ＝12sin λ2x ，即y ＝12μsin λ2x ，与y ＝sin x 比较知⎩⎪⎨⎪⎧12μ＝1λ2＝1即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2μ＝12，因为λ>1是伸长，0<μ<1是缩短．所以应选D.5．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝2，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋36y 2＝1 B ．9x 2＋100y 2＝1 C ．10x ＋24y ＝1 D.225x 2＋89y 2＝1解析：选A.将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝2中得50x 2＋72y 2＝2，即25x 2＋36y 2＝1.6．△ABC 中，已知B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为____________．解析：因为△ABC 的周长为10，所以|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6>4.所以A 点轨迹为椭圆除去B 、C 两点，且2a ＝6，2c ＝4.所以a ＝3，c ＝2，b 2＝5.所以A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．答案：x 29＋y 25＝1(y ≠0)7．在平面直角坐标系中，方程x －2y ＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y 后得到的直线方程为________．解析：由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′，代入方程x －2y ＋1＝0，得6x ′－2y ′＋3＝0.故经过伸缩变换后得到的直线方程为6x －2y ＋3＝0. 答案：6x －2y ＋3＝08．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y变换后得到的曲线在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3上的值域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝2y 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′y ＝12y ′，代入y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6得12y ′＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′＋π6，即y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，因为－π3<x <π3，所以－π6<x ＋π6<π2. 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6>－33，所以所求值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，＋∞9．如图，在以点O 为圆心，|AB |＝4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB ＝30°，曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程．解：如图，以O 点为原点，AB ，OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－2，0)，B (2，0)，D (0，2)，P (3，1)，依题意得||MA |－|MB ||＝|PA |－|PB |＝(2＋3)2＋12－(2－3)2＋12＝22<|AB |＝4. 所以曲线C 是以原点为中心，A ，B 为焦点的双曲线．设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则c ＝2，2a ＝22，所以a 2＝2，b 2＝c 2－a 2＝2. 所以曲线C 的方程为x 22－y 22＝1.10．将椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1变换成圆x 2＋y 2＝1，写出变换过程．解：令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1代入(x －2)29＋(y －1)24＝1得x ′29＋y ′24＝1，所以椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1后得到椭圆x 29＋y 24＝1，再令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 3y ′＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′y ＝2y ′，代入x 29＋y 24＝1，得x ′2＋y ′2＝1.所以椭圆(x －2)29＋(y －1)24＝1经过平移变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ′＝y －1，再经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x3y ′＝y 2后就得到圆x 2＋y 2＝1.[B 能力提升]11．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (－1，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (－1，1)，四边形ABCD 在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝y (a ＞0)的作用下变成正方形，则a 的值为( )A ．1B ．2 C.12 D ．23解析：选C.把点A (－1，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (－1，1)代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝y 得经过变换后的点的坐标是A ′(－a ，0)，B ′(a ，0)，C ′(a ，1)，D ′(－a ，1)，由|A ′B ′|＝|A ′D ′|且a ＞0，得2a ＝1，即a ＝12.故选C.12．将圆x 2＋y 2＝4按φ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝5x ，y ′＝2y变换后得到曲线的离心率等于________．解析：将圆x2＋y 2＝4按φ：⎩⎪⎨⎪⎧2x ′＝5x ，y ′＝2y 变换后得到曲线方程为x ′225＋y ′216＝1，故a 2＝25，b 2＝16，c ＝a 2－b 2＝3，离心率e ＝c a ＝35.答案：3513．已知正三角形ABC 的边长为a ，在平面内求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的值最小，并求出此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0. 设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立．所以所求的最小值为a 2，此时P 点的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ，即为正三角形ABC 的重心．14．(选做题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左，右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)因为e ＝33，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝13，所以b 2a 2＝23.又圆x 2＋y 2＝b 2与直线y ＝x ＋2相切，所以b ＝21＋1＝ 2.所以b 2＝2，a 2＝3. 因此，a ＝3，b ＝ 2.(2)由(1)知F 1，F 2两点的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，由题意可设P (1，t )．那么线段PF 1的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2.设M (x ，y )，由于MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ，t 2－y ，PF 1→＝(－2，－t )，则⎩⎪⎨⎪⎧MN →·PF 1→＝2x ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 2＝0，y ＝t ，消去t 得所求轨迹方程为y 2＝－4x ，曲线类型为抛物线．。

平面直角坐标系

平面直角坐标系在数学中，平面直角坐标系是一种常用的坐标系，用于描述平面上的点的位置。

它由两条垂直于彼此的直线所构成，其中一条被称为x 轴，另一条被称为y轴。

本文将介绍平面直角坐标系的概念、性质以及在数学和几何中的应用。

一、平面直角坐标系的定义平面直角坐标系由两条垂直于彼此的直线组成，其中x轴和y轴相交于一个点，被称为坐标原点O。

x轴和y轴将平面分成四个象限，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

平面直角坐标系中的每个点都可以用一对有序实数(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

这种表示方式被称为点的坐标。

二、平面直角坐标系的性质1. 对称性：平面直角坐标系关于坐标原点O对称，即如果点P(x, y)在坐标系中，则点P'(-x, -y)也在坐标系中。

2. 距离：平面直角坐标系中，两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)之间的距离可以通过勾股定理计算：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]3. 倾斜角：平面直角坐标系中，直线与坐标轴之间的夹角被称为倾斜角。

对于x轴，倾斜角为0°或180°；对于y轴，倾斜角为90°或270°。

4. 坐标轴：x轴和y轴分别垂直于彼此，且不相交。

三、平面直角坐标系的应用1. 图形绘制：平面直角坐标系可以用于绘制平面上的各种几何图形，如点、线段、直线、多边形等。

通过给定坐标，可以准确地确定图形的位置和大小。

2. 函数图像：平面直角坐标系常用于绘制函数图像。

函数图像是由平面上满足某一特定函数关系的点组成的曲线或线段。

通过在坐标系中绘制函数的图像，可以直观地了解函数的性质和变化规律。

3. 解析几何：平面直角坐标系在解析几何中具有重要的应用。

通过使用坐标系，可以进行直线的方程、圆的方程、角的度量等相关计算。

4. 数据分析：平面直角坐标系也被广泛应用于数据分析和可视化。

平面直角坐标系

平面直角坐标系一、知识点概述1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、已知点的坐标找出该点的方法：分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x轴y轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。

3、已知点求出其坐标的方法：由该点分别向x轴y轴作垂线，垂足在x轴上的坐标是改点的横坐标，垂足在y轴上的坐标是该点的纵坐标。

4、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+）点P（x,y），则x＞0,y＞0；第二象限：（-，+）点P（x,y），则x＜0,y＞0；第三象限：（-， -）点P（x,y），则x＜0,y＜0；第四象限：（+，-）点P（x,y），则x＞0,y＜0；5、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。

两坐标轴的点不属于任何象限。

6、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

8、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b, a)第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。

点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a)9、点P（x,y）的几何意义：点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。

10、点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）；将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）；将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）；将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。