高中数学人教B版选修2-1学案：1.1.2量词

1.1.2量词1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和存在性命题的意义．(重点)2．掌握全称命题与存在性命题真假性的判定．(重点)[基础·初探]教材整理1全称量词与全称命题阅读教材P4～P5“思考与讨论”下面第3自然段，完成下列问题．1．全称量词与全称命题短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．2．全称命题的形式设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的为________．【解析】①中的量词“至少有一个”和④中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．②③中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题．【答案】②③教材整理2存在量词与存在性命题阅读教材P5“思考与讨论”下面第3自然段以下部分内容，完成下列问题．1．存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．2．存在性命题的形式设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．判断下列存在性命题的真假：(1)有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．【解】(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以存在性命题“有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________(1)∀x∈N,2x＋1是奇数；(2)存在一个x0∈R，使1x0－1＝0；(3)对任意向量a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1.【精彩点拨】判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路：【自主解答】(1)因为含有“∀”，所以是全称命题．(2)因为含有“存在”，所以是存在性命题．(3)因为含有全称量词“任意”，所以该命题是全称命题．(4)因为含有存在量词“有一个”，所以该命题是存在性命题．判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词．当然有些全称命题中并不含全称量词，这时要根据命题所涉及的意义去判断．[再练一题]1．给出下列四个命题：①所有梯形的对角线相等；②对任意实数x，均有x＋2>x；③存在实数x，使x2＋x＋1<0；④有些三角形不是等腰三角形．其中为全称命题的序号是________，为存在性命题的序号是________．【答案】①②③④判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋1>0；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3；(4)∃x∈R，x2－x＋1＝0.【精彩点拨】结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断．【自主解答】(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，所以有x2＋1≥1>0，所以“∀x∈R，x2＋1>0”是真命题．(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．(3)由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．(4)因为对于x2－x＋1＝0，Δ<0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“∃x∈R，x2－x＋1＝0”是假命题．全称命题与存在性命题真假的判断方法1．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．2．要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个存在性命题就是假命题．[再练一题]2．下列命题中的假命题是()【导学号：15460003】A．∃x∈R，lg x＝0B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0【解析】选项A，lg x＝0⇒x＝1；选项B，tan x＝1⇒x＝π4＋kπ(k∈Z)；选项C，x3>0⇒x>0；选项D,2x>0⇒x∈R.【答案】 C[探究共研型]探究a 的取值范围．【提示】不等式有解问题是存在性命题，只需Δ≥0即可．因此(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即a≥7 4.已知函数f(x)＝x2－2x＋5，是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．【精彩点拨】【解】不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.应用全称命题与存在性命题求参数范围的两类题型1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用集合中相应元素的具体性质求解；也可以根据函数等数学知识来解决．2．存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[再练一题]3．若命题“∀x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________.【导学号：15460004】【解析】“∀x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命题，即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.【答案】[－4,0][构建·体系]1．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1 x>2【解析】A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x 2＝0，所以B 既是存在性命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x <0，所以D 是假命题．【答案】 B2．下列命题为存在性命题的是( ) A ．偶函数的图象关于y 轴对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．不相交的两条直线是平行直线 D ．有很多实数不小于3【解析】 A ，B ，C 都是全称命题，D 命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题．【答案】 D3．下列命题中是真命题的有________．(填序号) ①∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0； ②∃x ∈R ，|x |≤0； ③∀x ∈N *，log 2x ＞0； ④∃x ∈R ，cos x ＝π2.【解析】 ①∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0， ∴命题是假命题．②∵当x ＝0时，|x |≤0成立， ∴命题是真命题． ③∵当x ＝1时，log 2x ＝0， ∴命题是假命题．④∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而π2＞1， ∴不存在x ∈R ，使cos x ＝π2， ∴命题是假命题． 【答案】 ②4．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5＜0是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，它是_____命题(填“真”或“假”)．【解析】 命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5＜0是存在性命题．因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p 为假命题．【答案】 存在性命题 假5．已知命题p ：ax 2＋2x ＋1＞0，若对∀x ∈R ，p 是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 由题意可得，∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1＞0恒成立．(1)当a ＝0时，ax 2＋2x ＋1＝2x ＋1＞0，显然不恒成立，不合题意． (2)当a ≠0时，要使ax 2＋2x ＋1＞0恒成立， 则⎩⎨⎧a ＞0，4－4a ＜0，解得a ＞1. 综上可知，所求实数a 的取值范围是(1，＋∞)．我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题为存在性命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称 B ．棱台只有两个面平行 C ．棱锥仅有一个底面D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0【解析】A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是存在性命题，故选D.【答案】 D2．下列命题为真命题的是()A．∀x∈R，cos x<2B．∃x∈Z，log2(3x－1)<0C．∀x>0,3x>3D．∃x∈Q，方程2x－2＝0有解【解析】A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0⇔0<3x－1<1⇔13<x<23，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，2x－2＝0⇔x＝2∉Q，所以D是假命题．故选A.【答案】 A3．有以下四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2x2＋cos 2x2＝12；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；p3：∀x∈[0，π]，1－cos 2x2＝sin x；p4：sin x＝cos y⇒x＋y＝π2.其中的假命题是()【导学号：15460005】A．p1，p4B．p2，p4C．p1，p3D．p2，p3【解析】sin2x2＋cos 2x2＝1恒成立，p1错；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，p2对；当x∈[0，π]时，sin x≥0，∴1－cos 2x2＝sin2x＝sin x，p3对；当x＝23π，y＝π6时，sin x＝cos y成立，但x＋y≠π2，p4错．【答案】 A4．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N＋，x为29的约数．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．【答案】 C5．下列命题不是“∃x∈R，x2＞3”的表述方法的是()A．有一个x∈R，使x2＞3B．对有些x∈R，使x2＞3C．任选一个x∈R，使x2＞3D．至少有一个x∈R，使x2＞3【解析】选项C中“任选一个”是全称量词，没有“∃”的含义．【答案】 C二、填空题6．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．【解析】由全称命题的定义可知①②④为全称命题，而③为存在性命题．【答案】①②④7．已知命题：“∃x0∈[1,2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是______．【解析】当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.【答案】[－8，＋∞)8．下列命题：①存在x<0，使|x|>x；②对于一切x<0，都有|x|>x；③已知a n＝2n，b n＝3n，对于任意n∈N*，都有a n≠b n；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________.【导学号：15460006】【解析】命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n<0，对于∀n∈N*，都有a n<b n，即a n≠b n，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b ＝3n}，如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．【答案】①②③三、解答题9．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)有一个实数α，使sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对于任意的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有唯一解；(4)存在实数x0，使得x0≤0.【解】(1)是一个存在性命题，用符号表示为：∃α∈R，使sin2α＋cos2α≠1，假命题．(2)是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l ，l 都存在斜率，假命题．(3)是一个全称命题，用符号表示为：∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解，假命题．(4)是一个存在性命题，用符号表示为：∃x 0∈R ，使得x 0≤0，真命题．10．若x ∈[－2,2]，关于x 的不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．【解】 设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则此问题转化为当x ∈[－2,2]时，f (x )的最小值不小于0即可．①当－a 2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上单调递增，f (x )的最小值为f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73.又因为a >4，所以a 不存在．②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2. 又因为－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上单调递减，f (x )的最小值为f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7.又因为a <－4，所以－7≤a <－4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．[能力提升]1．已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)【解析】 由题知，x 0＝－b 2a 为函数f (x )图象的对称轴方程，所以f (x 0)为函数的最小值，即对所有的实数x ，都有f (x )≥f (x 0)，因此∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)是错误的，故选C.【答案】 C2．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是( )A ．存在一个α，使tan(90°－α)＝tan αB ．存在实数x ，使sin x ＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β【解析】 B 是存在性命题，但为假命题，C 是全称命题，D 为全称命题．【答案】 A3．已知函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若对任意x 1∈[－1,3]，存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为对任意x 1∈[－1,3]，f (x 1)∈[m,9＋m ]，即f (x )的最小值为m .存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，只要满足g (x )的最小值小于等于m 即可，而g (x )是单调递减函数，故g (x )的最小值为g (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，得m ≥14. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 4．已知a >12且a ≠1，条件p ：函数f (x )＝log (2a －1)x 在其定义域上是减函数；条件q ：函数g (x )＝x ＋|x －a |－2的定义域为R ，如果p ∨q 为真，试求a 的取值范围．【解】 若p 为真，则0<2a －1<1，得12<a <1.若q 为真，则x ＋|x －a |－2≥0对∀x ∈R 恒成立．记f (x )＝x ＋|x －a |－2，则f (x )＝⎩⎨⎧2x －a －2，x ≥a ，a －2，x <a ，所以f (x )的最小值为a －2，即q 为真时，a －2≥0，即a ≥2.于是p ∨q 为真时，得12<a <1或a ≥2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞).。