河北省邯郸市2017-2018学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}2．已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°3．函数f（x）=﹣的定义域是（）A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）4．函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或25．底面边长为2的正四棱锥V﹣ABCD中，侧棱长为，则二面角V﹣AB﹣C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°6．a=log2，b=log，c=（）0.3（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c7．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β8．函数y=e|lnx|的图象大致为（）A．B．C．D．9．圆台的上下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图对应扇形的圆心角为180°，那么圆台的表面积是（）A．5πB．7πC．9πD．11π10．下列函数中，与y=的奇偶性和单调性都相同的是（）A．f（x）=x﹣1B．f（x）=x C．f（x）=x2D．f（x）=x311．如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．16 B．12 C．9 D．812．定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意x∈R都有f（2﹣x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x﹣1，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a 的取值范围为（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是．14．已知函数f（x）=，则f（）+f（﹣2）的值为．15．已知集合A={x|mx2+2x﹣1=0}，若集合A中只有一个元素，则实数m的值为．16．已知三棱锥S﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若AC=AB=1，SC=2，∠BAC=120°，则球D的表面积为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知点A（2，1），B（﹣2，3），C（0，﹣3）．（1）若BC的中点为D，求直线AD的方程；（2）求△ABC的面积．18．如图AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于A，B的一点，点V是圆O所在平面外一点．（Ⅰ）若点E是AC的中点，求证：OE∥平面VBC；（Ⅱ）若V A=VB=VC=AB，求直线VC与平面ABC所成角．19．已知直线l1：2x﹣y=0和直线l2：3x﹣y﹣1=0，它们的交点为A，分别求满足下列条件的直线方程．（Ⅰ）若直线m过点A且与直线3x+y﹣2=0平行，求直线m的方程；（Ⅱ）若点A关于直线x﹣y+2=0的对称点为点A′，直线n经过A′且与直线m垂直，求直线n的方程．20．如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，若CB=CD=CF=a．（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面AED；（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDF的体积．21．某企业生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？22．已知函数f（x）=3x，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=[f（x）]2﹣2af（x）+3．（Ⅰ）当a=0时，求函数g（x）的值域；（Ⅱ）若函数g（x）的最小值为h（a），求h（a）的表达式；（Ⅲ）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．2015-2016学年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（）A．{2}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B={1，3}．故选：C．2．已知直线l的方程为y=x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【考点】直线的倾斜角．【分析】利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．∵直线的斜截式方程是y=x+1，∴tanθ=，∴θ=60°．故选：C．3．函数f（x）=﹣的定义域是（）A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由x2+2x﹣3＞0，得（x﹣1）（x+3）＞0，即x＜﹣3或x＞1．∴函数f（x）=﹣的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：D．4．函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是（）A．1 B．0 C．0或1 D．1或2【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义，对于每一个自变量的值，有且只有一个元素与它对应，需要针对于函数在x=1处有没有定义，若有则有一个交点，若没有，则没有交点，综合可得答案．【解答】解：若函数在x=1处有意义，在函数y=f（x）的图象与直线x=1的公共点数目是1，若函数在x=1处无意义，在两者没有交点，∴有可能没有交点，如果有交点，那么仅有一个．故选C．5．底面边长为2的正四棱锥V﹣ABCD中，侧棱长为，则二面角V﹣AB﹣C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】过V作平面ABC的垂线VO，交平面ABC于O点，过O作OE⊥AB，交AB于E，连结VE，则∠VEO是二面角V﹣AB﹣C的平面角，由此能求出二面角V﹣AB﹣C的度数．【解答】解：过V作平面ABC的垂线VO，交平面ABC于O点，过O作OE⊥AB，交AB于E，连结VE，由三垂线定理的逆定理得∠VEO是二面角V﹣AB﹣C的平面角，∵底面边长为2的正四棱锥V﹣ABCD中，侧棱长为，∴OE=AE=BE=1，VE==2，∴cos=，∴∠VEO=60°，∴二面角V﹣AB﹣C的度数为60°．故选：B．6．a=log2，b=log，c=（）0.3（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log2＜0，b=log=1，0＜c=（）0.3＜1，∴a＜c＜b．故选：B．7．设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假对于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论．对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故B正确．对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故选B．8．函数y=e|lnx|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据复合函数的单调性即可判断．【解答】解：因为t=|lnx|=，当0＜x＜1时，函数y=|lnx|为减函数，当x≤1时，函数y=|lnx|为增函数，又因为y=e x为增函数，所以y=e|lnx|在（0，1）上为减函数，在[1，+∞）为增函数，故选：A．9．圆台的上下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图对应扇形的圆心角为180°，那么圆台的表面积是（）A．5πB．7πC．9πD．11π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】作出圆台侧面展开图，根据圆台的结构特征求出圆台的母线长，代入面积公式计算．【解答】解：作出圆台侧面展开图如图所示，则πOA=2π×1，πOB=2π×2，∴OA=2，OB=4，∴圆台的母线l=AB=2．∴圆台的表面积S=π×12+π×22+π×1×2+π×2×2=11π．故选：D．10．下列函数中，与y=的奇偶性和单调性都相同的是（）A．f（x）=x﹣1B．f（x）=x C．f（x）=x2D．f（x）=x3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】先判断出y=x的奇偶性和单调性，再根据指数函数、二次函数、幂函数的奇偶性和单调性，依次判断出个选项中函数的奇偶性和单调性，可得答案．【解答】解：函数y=是奇函数，且在R上是单调递增函数，A、f（x）=x﹣1是奇函数，且在R上不是单调递增函数，故A不正确；B、f（x）=不是奇函数，故B不正确；C、f（x）=x2是偶函数，故C不正确；D、f（x）=x3，则x∈R，又f（﹣x）=﹣x3=﹣f（x），所以此函数是奇函数，y=x3在R上是增函数，故D正确，故选D．11．如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A ．16B ．12C ．9D ．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，得； 该四棱锥是如图所示的直四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为4； 所以，该四棱锥的体积为V=S 底面积•h=×（2+4）×4×4=16． 故选：A ．12．定义域为R 的偶函数f （x ）满足：对任意x ∈R 都有f （2﹣x ）=f （x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ﹣1，若函数y=f （x ）﹣log a （x +1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，）B ．（，1）C ．（0，）D ．（，1）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由f （2﹣x ）=f （x ）得出函数的周期，由y=f （x ）﹣log a （x +1）=0得到f （x ）=log a （x +1），利用函数的周期性和偶函数的性质，分别作出函数y=f （x ）和y=log a （x +1）的图象，利用图象确定a 的取值范围．【解答】解：对任意x ∈R 都有f （2﹣x ）=f （x ） ∴f （x ）的周期是2，且当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ﹣1， ∴x ∈[﹣1，0]时，f （x ）=﹣x ﹣1，若函数y=f （x ）﹣log a （x +1）在（0，+∞）上至少有三个零点， 即f （x ）和y=log a （x +1）在（0，+∞）上至少有三个零点， 画出函数图象，如图示：由图象得：＞﹣1，解得；0＜a ＜，故选：C ．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AD 1与BD 所成的角是 60° ． 【考点】异面直线及其所成的角．【分析】通过平移直线作出异面直线AD 1与BD 所成的角，在三角形中即可求得． 【解答】解：如图，连结BC 1、BD 和DC 1， 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，由AB=D 1C 1，AB ∥D 1C 1，可知AD 1∥BC 1， 所以∠DBC 1就是异面直线AD 1与BD 所成角，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC 1、BD 和DC 1是其三个面上的对角线，它们相等． 所以△DBC 1是正三角形，∠DBC 1=60°故异面直线AD 1与BD 所成角的大小为60°． 故答案为60°．14．已知函数f （x ）=，则f （）+f （﹣2）的值为 ﹣ ．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）==﹣2．f（﹣2）=2﹣2=．则f（）+f（﹣2）=﹣2+=﹣．故答案为：．15．已知集合A={x|mx2+2x﹣1=0}，若集合A中只有一个元素，则实数m的值为0或﹣1．【考点】集合的表示法．【分析】当m=0时，经检验满足条件；当m≠0时，由判别式△=4+4m=0，解得m的值，由此得出结论．【解答】解：当m=0时，显然满足集合{x|mx2+2x﹣1=0}有且只有一个元素，当m≠0时，由集合{x|mx2+2x﹣1=0}有且只有一个元素，可得判别式△=4+4m=0，解得m=﹣1，∴实数m的值为0或﹣1．故答案为：0或﹣1．16．已知三棱锥S﹣ABC所有顶点都在球O的球面上，且SC⊥平面ABC，若AC=AB=1，SC=2，∠BAC=120°，则球D的表面积为8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．【解答】解：∵AB=1，AC=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆直径2r==2，∴r=1，∵SC⊥面ABC，SC=2，三角形OSC为等腰三角形，∴该三棱锥的外接球的半径R=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=8π．故答案为：8π．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知点A（2，1），B（﹣2，3），C（0，﹣3）．（1）若BC的中点为D，求直线AD的方程；（2）求△ABC的面积．【考点】中点坐标公式；点到直线的距离公式．【分析】（1）利用中点坐标公式、两点式即可得出．（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，再利用点到直线的距离公式可得A（2，1）到直线BC的距离d，利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵B（﹣2，3），C（0，﹣3），∴D（﹣1，0），∴直线AD的方程为．整理得：x﹣3y+1=0．（2）∵B（﹣2，3），C（0，﹣3），∴，又直线BC的方程为3x+y+3=0，则A（2，1）到直线BC的距离为．∴△ABC的面积为．18．如图AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于A，B的一点，点V是圆O所在平面外一点．（Ⅰ）若点E是AC的中点，求证：OE∥平面VBC；（Ⅱ）若V A=VB=VC=AB，求直线VC与平面ABC所成角．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理得OE∥BC，由此能证明OE∥平面VBC．（Ⅱ）连接OC，推导出∠VCO为直线VC与平面ABC所成角，由此能求出直线VC与平面ABC所成角．【解答】证明：（Ⅰ）在△ABC中，∵O、E分为AB、AC中点，∴OE∥BC，…又∵OE⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，∴OE∥平面VBC…解：（Ⅱ）连接OC，∵O为AB的中点，且V A=VB，∴VO⊥AB，…又∵VB=VC、OB=OC，∴△VOB≌△VOC，∴VO⊥OC，∴VO⊥平面ABC，…∴∠VCO为直线VC与平面ABC所成角，…∵VC=AB=2OC，∴∠VCO=60°．∴直线VC与平面ABC所成角为60°…19．已知直线l1：2x﹣y=0和直线l2：3x﹣y﹣1=0，它们的交点为A，分别求满足下列条件的直线方程．（Ⅰ）若直线m过点A且与直线3x+y﹣2=0平行，求直线m的方程；（Ⅱ）若点A关于直线x﹣y+2=0的对称点为点A′，直线n经过A′且与直线m垂直，求直线n的方程．【考点】待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）求出交点A的坐标，代入所求方程即可；（2）求出A′坐标，求出直线n的斜率，从而求出直线n的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意联立直线方程，解得A（1，2）…又因为直线3x+y﹣2=0的斜率为﹣3，则直线m的方程为3x+y﹣5=0…（Ⅱ）设A′（m，n），则，解得，即A′（0，3）…又因为与直线3x+y﹣5=0垂直的直线n的斜率为，则所求直线方程为，得直线n的方程为x﹣3y+9=0．20．如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，若CB=CD=CF=a．（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面AED；（Ⅱ）求三棱锥A﹣CDF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）根据等腰三角形和等腰梯形性质可得∠ADB=90°，又BD⊥AE，得出BD⊥平面ADE，故而平面BDE⊥平面AED；（II ）V A ﹣CDF =V F ﹣ACD ．【解答】证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD 中，∵∠DAB=60°，∴∠CDA=∠DCB=120°又∵CB=CD ，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，即BD ⊥AD ．又∵AE ⊥BD ，AE ⊂平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，AD ∩AE=A ，∴BD ⊥平面AED ，又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面AED ．（Ⅱ）∵CB=CD=AD=a ，∠ADC=120°，∴S △ADC ==，∵FC ⊥平面ABCD ，且CF=a ，∴，∴三棱锥A ﹣CDF 的体积为．21．某企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．（2）将企业获利表示成对产品B 投资x 的函数；令，将函数转化为二次函数，求出对称轴，求出函数的最值．【解答】解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为f （x ）万元，B 产品的利润为g （x ）万元，由题意知f （x ）=k 1x ，，…由图可知f（2）=1，，g（4）=4，k2=2…从而，…（2）设A产品投入x万元，则B产品投入（10﹣x）万元，设企业利润为y万元．则，…令，则，…当t=2时，y max=7，此时x=10﹣4=6（万元）所以当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，企业获得最大利润为7万元…22．已知函数f（x）=3x，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=[f（x）]2﹣2af（x）+3．（Ⅰ）当a=0时，求函数g（x）的值域；（Ⅱ）若函数g（x）的最小值为h（a），求h（a）的表达式；（Ⅲ）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=0时，即可求出g（x）的值域；（Ⅱ）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=3x，x∈[﹣1，1]，∴，设t=3x，，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=0时，φ（t）=t2+3，，∴φ（t）∈[，12]，∴函数g（x）的值域是：[，12]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=；当时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故，（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵m＞n＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，∴，两式相减得6（m﹣n）=（m﹣n）•（m+n），又∵m＞n＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与m＞n＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．2016年7月31日。