动量定理(1)

x
m1 g
FN
vr R
m2 vr sin v1 m1 m2
dv1 m2vr cos a1 m1 m2 dt
m2vr2 cos a1 (m1 m2 ) R
15
R ar
vr
m2 g

v1
p m1v1 m2 (v1 vr )
py m2vr cos
(e) * m(v u) mv mv FR (t )t
m v v (v u) m m FR( e ) (t * ) t t t
m
dv dm FR(e) (t ) (u v ) dt dt
m v 存在 当 t 0 : , t t
FN
F F
F f FN
圆盘： m
2 aC2 FAx FAy F FN m2 g

FAx
A
aC2 R

M
x : m2 aC2 cos FAx F FAx F m2 R cos
2
FAy
m2 g
18
问题： 圆盘的角速度满足什么关系时，在运动过程中顶杆不脱离圆盘？
dp y dt
( e) Fiy i 1 n
a1
m1 g
如何求质心加速度？
FN
F m g m g m2vr ( sin ) N 1 2
方法一：
aC r c
m a
i 1
n
m2vr2 sin FN (m1 m2 ) g R
m1a1 m2 a 2 m1a1 m2 (a1 a r ) aC m1 m2 m1 m2
p0 x
13
质心运动定理
z
mi
vi
mj
质心加速度 aC r c
m a
i 1 i
n
i
ri
y
m
( e) R
rC
矢量式
mac F
o
x
rj v j
投影式
i
质点系总质量 m
m
n
n
i 1
c Fx m x c Fy y m c Fz z m
dv dm (e) vr u v m FR vr dt dt
21
例：设火箭初始质量和速度分别为
速度为 vr（常量），燃烧时间为
求火箭燃烧完瞬时的速度 v （不计空气阻力，重力为常力）。
，燃烧后火箭的质量为 m
vr : 2 ~ 3km/s
m0 10 m
m0 , v0 ， 喷出燃气的相对
x
aC1 aC2 sin aC2 2 R
问题： 如何求轴承A水平方向的约束力？
17
分别研究圆盘和顶杆
顶杆： m a
1 C1
F1 F2 FN F m1 g
2
F1
m1 g
aC1
F2
y : m1aC1 FN m1 g FN m1 g m1 R sin
问题： 哈勃望远
镜振动产生的原 因是如何分析出
来的？
mac F
( e) R
19
二、变质量质点 运动微分方程
20
研究：有质量并入或分出 时，质点的动力学问题。 应用动量定理的积分形式 x
(e) pt2 pt1 I i(e) FR dt i 1 t1 n t2
t 时刻
z
m
t t 时刻
u
m m o y pt1 pt mv mu,
m
v
v v
pt2 pt t (m m)(v v )
( e) * pt t pt (m m)(v v) mv mu FR (t )t, t * (t, t t )

FAx
y
aC2
A
R
m2 g
M
y : m1aC1 m2 aC2 sin FAy (m1 m2 ) g FAy (m1 m2 ) g m1aC1 m2 aC2 sin
FAy (m1 m2 ) g (m1 m2 ) R sin
2
FAy
已经学过的内容
• 静力学
– 质点静力学(基本公理和定理、平衡方程)
– 刚体静力学(力系简化方法、平衡方程） – 质点系静力学（虚位移原理、平衡条件）
• 质点动力学
– 质点运动学（直角坐标法、自然坐标法）
– 平面刚体运动学（基点、瞬心、瞬时平动）
– 点的复合运动（速度、加速度合成定理） – 质点运动微分方程（惯性系与非惯性系）
5
非正常着陆情况
6
蒸汽机与机车
蒸汽机车
1892年研制的蒸汽机车
问题： 如何提高牵引力？
7
柴油机车 问题：
电力机车
（1）在输出扭矩相同的条
件下，机车主动轮半径与 牵引力的关系如何？
（2）列车提速后又带来了
哪些新问题？
8
车 轮 与 铁 轨 间 有 间 隙
9
问题：
若机车电机有足
够的动力，是否机车
一个力 F 使其以匀速
v 提升，求链条被提起的长度为y时力
F的大小（设未被提起的链条对提起部分没有作用力）。 解：提起部分的链条为研究对象
F
v
y
dv dm F mg vr dt dt dm y : 0 F mg ( vr ) dt m
m y, vr v
g
0 F yg v 2 F yg v 2
vr
R
光
滑
解：取板、甲虫为研究对象

m2 g
v1
受力分析： Fx(e) 0 系统动量： p m1v1 m2v 2
p m1v1 m2 (v1 vr )
y
a1
px m1v1 m2 (v1 vr sin ) px0
当：t = 0 时，0 0, v1 0 p x 0 0
t1
t2
dp x ( e) F ix 投影式 dt i 1 n dp y ( e) F iy i 1 dt n dp z ( e) F iz d t i 1
n
当：FR(e) 0
n
则： p p0
( e) 当： Fix 0 则：px i 1
12
n
n
•如何建立质点系的动量与作用力的关系？
动量定理的微分形式 矢量式
n dp (e) Fi (e) FR dt i 1
动量定理的积分形式
(e) pt2 pt1 I i(e) FR dt i 1 t1 n t2
其中：I i(e) Fi ( e)dt , (i 1,2,, n) 是作用在质点 i 上外力的冲量 动量守恒情况
i i
m
方法二：
( e) mac FR
已知
( e) ，可求质心加速度 a c FR
16
问题：确定质心加速度的方向（定性分析）
例：已知
m1 , m2 , R, t , f 。求：轴承A的约束力。
F1
m1析
( e) mac FR
m1aC1 m2aC2 FAx FAy F1 F2 (m1 m2 ) g
v
y
解： m
dv dm mg vr dt dt
dv dm y: m mg ( vr ) dt dt
mg
vr
O
dm d v g dt vr m
m0 v v0 g vr ln m
ln 10 2.3
x
用一级火箭不可能达到第一宇宙速度
22
例：设长度密度为 的链条堆放在地面上，其上一端作用有
1
质点系动力学
工 程 中 的 质 点 系 动 力 学
2
客机起飞、着陆过程中
机翼形状及其作用力的变化
3
舰载飞机起飞和降落过程中的动力学问题
问题：弹射装置为什
么装在飞机的前部？
问题：拦阻装置为什 么装在飞机的后部？
4
舰载飞机起飞装置示意图
早期舰载飞机着陆装置示意图
问题：飞机的动能 转化成什么能量?
可以跑得充分快？
电力车组
实验中的磁悬浮列车
上海磁悬浮列车
10
质点系动力学：研究质点系整体运动特征量（动
量、动量矩和动能）的变化与作用力间的关系。
用什么方法研究质点系动力学问题?
主 要 内 容
•质点系的动量定理 •质点系的动量矩定理 •质点系的动能定理
11
动量定理 一、动量定理
•质点系的动量 (momentum of particle system)
质心矢径
rc
m r
i 1
i i
守恒情况
m
质心速度 v C r c
m v
i 1 i
n
i
m
F
FR( e) 0
x
vc vc0 vcx vcx 0
14
0
例：已知： m1 , m2 , R, vr 常量， 求：板的速度、加速度、
地面约束力和系统质心加速度。初始时， 0 ，板静止。
23
vr
p mi vi
i 1
n
mi
vi
Fi (i)
F j(i)
z
Fi (e)
mj
Fj(e)
o x
y
vj
i p x m i vix mi x i 1 i 1 n n i p y m i viy mi y i 1 i 1 n n i pz m i viz mi z i 1 i 1