高中培优讲义定积分及其简单应用

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最新[数学]第五章定积分及其应用_第1节_定积分的概念与性质教学讲义ppt课件

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12
(4)曲边梯形 A面 b f(积 x)dx a 变 速 直 线 运 动 S路 T2V程 (t)d t T1 补充问题注意:存在定理
定理1 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 连 续 时 , 则 f( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 可 积 . 定理2 设 函 数 f( x ) 在 区 间 [ a ,b ]上 有 界 ,
进 入 夏 天 ,少 不了一 个热字 当头, 电扇空 调陆续 登场, 每逢此 时,总 会想起 那 一 把 蒲 扇 。蒲扇 ,是记 忆中的 农村, 夏季经 常用的 一件物 品。 记 忆 中 的故 乡 , 每 逢 进 入夏天 ,集市 上最常 见的便 是蒲扇 、凉席 ,不论 男女老 少,个 个手持 一 把 , 忽 闪 忽闪个 不停, 嘴里叨 叨着“ 怎么这 么热” ,于是 三五成 群,聚 在大树 下 , 或 站 着 ,或随 即坐在 石头上 ,手持 那把扇 子,边 唠嗑边 乘凉。 孩子们 却在周 围 跑 跑 跳 跳 ,热得 满头大 汗,不 时听到 “强子 ,别跑 了,快 来我给 你扇扇 ”。孩 子 们 才 不 听 这一套 ,跑个 没完, 直到累 气喘吁 吁,这 才一跑 一踮地 围过了 ,这时 母 亲总是 ,好似 生气的 样子, 边扇边 训,“ 你看热 的,跑 什么? ”此时 这把蒲 扇, 是 那 么 凉 快 ,那么 的温馨 幸福, 有母亲 的味道 ! 蒲 扇 是 中 国传 统工艺 品,在 我 国 已 有 三 千年多 年的历 史。取 材于棕 榈树, 制作简 单,方 便携带 ,且蒲 扇的表 面 光 滑 , 因 而,古 人常会 在上面 作画。 古有棕 扇、葵 扇、蒲 扇、蕉 扇诸名 ,实即 今 日 的 蒲 扇 ,江浙 称之为 芭蕉扇 。六七 十年代 ,人们 最常用 的就是 这种, 似圆非 圆 , 轻 巧 又 便宜的 蒲扇。 蒲 扇 流 传 至今, 我的记 忆中, 它跨越 了半个 世纪, 也 走 过 了 我 们的半 个人生 的轨迹 ,携带 着特有 的念想 ,一年 年,一 天天, 流向长

高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用

高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用
极限
当n→∞时,积分和的极限存在,则称函数f(x)在[a,b]上 可积,该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间,每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n,取每个小区间的任意一点ξi,对应的函数值 为f(ξi),则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用,如计算变力做功、液体静压力等,需要进一步学习和 掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域,如计算收益、成本等经济量,为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展,定积分与计算机技术的结合将越来越紧密,如利用计算机进行定 积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效 的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极 值点,从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹 凸性,从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下,通过构造拉格朗 日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数,可以采用数值计 算方法(如牛顿法、梯度下降法等)来逼近 最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积 分求解平面图形的面积,如求解 由直线和曲线围成的图形面积等

物理应用
介绍定积分在物理中的应用,如求 解变力做功、液体静压力等问题中 涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领 域的应用,如求解由需求曲线和价 格曲线围成的面积所表示的消费者 剩余或生产者剩余等。

高中培优讲义定积分及其简单应用汇编

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第十三讲 定积分及其简单应用教学目标:1、了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2、了解微积分基本定理的含义.一、知识回顾 课前热身知识点1、定积分(1)定积分的相关概念 在∫b a f (x )d x 中,a ,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,f (x )叫做被积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. (2)定积分的几何意义①当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时,定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是由直线x =a ,x =b (a ≠b ),y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).②一般情况下,定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及直线x =a ,x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数. (3)定积分的基本性质①∫b a kf (x )d x =k ∫b a f (x )d x . ②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x =∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x . ③∫b a f (x )d x =∫c a f (x )d x +∫bc f (x )d x .(4).定积分∫b a [f (x )-g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么?提示:由直线x =a ,x =b 和曲线y =f (x ),y =g (x )所围成的曲边梯形的面积.知识点2、微积分基本定理 如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数,并且F ′(x )=f (x ),那么∫b a f (x )d x =F (b )-F (a ),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F (b )-F (a )记成F (x )|b a ,即∫b a f (x )d x =F (x )|ba =F (b )-F (a ).基础练习1.∫421xd x 等于( ) A .2ln 2 B .-2ln 2 C .-ln 2 D .ln 2 解析:选D ∫421xd x =ln x |42=ln 4-ln 2=ln 2. 2.一质点运动时速度和时间的关系为V (t )=t 2-t +2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析:选A S =∫21(t 2-t +2)d t =⎝⎛⎪⎪⎭⎫13t 3-12t 2+2t 21=176. 3.直线x =0,x =2,y =0与曲线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为________.解析:∫20x 2d x =13x 3 |20=83. 答案:834.∫101-x 2d x =________.解析:由定积分的几何意义可知,∫101-x 2d x 表示单位圆x 2+y 2=1在第一象限内部分的面积,所以∫101-x 2d x =14π. 答案:14π 二、例题辨析 推陈出新例1、利用微积分基本定理求下列定积分:(1)∫21(x 2+2x +1)d x ; (2)∫π0(sin x -cos x )d x ; (3)∫20x (x +1)d x ;(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x +1x d x ; (5)20π⎰ sin 2x 2d x .[解答](1)∫21(x 2+2x +1)d x =∫21x 2d x +∫212x d x +∫211d x =x 33|21+x 2 |21+x |21=193. (2)∫π0(sin x -cos x )d x =∫π0sin x d x -∫π0cos x d x =(-cos x ) |π0-sin x |π0=2.(3)∫20x (x +1)d x =∫20(x 2+x )d x =∫20x 2d x +∫20x d x =13x 3 |20+12x 2 |20=⎝⎛⎭⎫13×23-0+⎝⎛⎭⎫12×22-0=143. (4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x +1x d x =∫21e 2x d x +∫211x d x =12e 2x |21+ln x |21=12e 4-12e 2+ln 2-ln 1=12e 4-12e 2+ln 2. (5)20π⎰sin 2x 2d x =20π⎰⎝⎛⎭⎫12-12cos x d x =20π⎰12d x -1220π⎰cos x d x =12x20π-12sin x 20π=π4-12=π-24.变式练习1.求下列定积分: (1)∫20|x -1|d x ;(2)20π⎰1-sin 2x d x .解:(1)|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧1-x , x ∈[0,1)x -1, x ∈[1,2]故∫20|x -1|d x =∫10(1-x )d x +∫21(x -1)d x=⎝⎛⎭⎫x -x 22 |10+⎝⎛⎭⎫x 22-x |21=12+12=1.(2)20π⎰1-sin 2x d x =20π⎰|sin x -cos x |d x =40π⎰(cos x -sin x )d x +24ππ⎰(sin x -cos x )d x=(sin x +cos x )40π+(-cos x -sin x ) 24ππ=2-1+(-1+2)=22-2.例2、 ∫10-x 2+2x d x =________.[解答] ∫10-x 2+2x d x 表示y =-x 2+2x 与x =0,x =1及y =0所围成的图形的面积.由y =-x 2+2x 得(x -1)2+y 2=1(y ≥0),又∵0≤x ≤1,∴y =-x 2+2x 与x =0,x =1及y =0所围成的图形为14个圆,其面积为π4.∴∫10-x 2+2x d x =π4.在本例中,改变积分上限,求∫20-x 2+2x d x 的值.解:∫20-x 2+2x d x 表示圆(x -1)2+y 2=1在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,所以∫20-x 2+2x d x =π2.变式练习2.(2013·福建模拟)已知函数f (x )=∫x 0(cos t -sin t )d t (x >0),则f (x )的最大值为________.解析:因为f (x )=∫x 02sin ⎝⎛⎭⎫π4-t d t =2cos ⎝⎛⎭⎫π4-t |x 0=2cos ⎝⎛⎭⎫π4-x -2cos π4=sin x +cos x -1= 2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4-1≤2-1,当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1时,等号成立.答案:2-1 三、归纳总结方法在握归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分.(2)利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小.归纳2、求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分,解题的步骤是:(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值;(5)计算原始定积分的值.归纳3、利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图.(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限.(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差.(4)计算定积分,写出答案.四、拓展延伸 能力升华利用定积分求平面图形的面积例1、 (2012·山东高考)由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B .4 C.163D .6 [解答] 由y =x 及y =x -2可得,x =4,即两曲线交于点(4,2).由定积分的几何意义可知,由y =x 及y =x -2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x -x +2)d x =⎝⎛⎭⎫23x 32-12x 2+2x |40=163. [答案] C若将“y =x -2”改为“y =-x +2”,将“y 轴”改为“x 轴”,如何求解?解:如图所示,由y =x 及y =-x +2可得x =1.由定积分的几何意义可知,由y =x ,y =-x +2及x轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x =∫1x d x +∫21(-x +2)d x =23x32 |10+⎝⎛⎭⎫2x -x 22 |21=76.变式练习3.(2013·郑州模拟)如图,曲线y =x 2和直线x =0,x =1,y =14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14解析:选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y =14,y =x 2⇒x =12或x =-12(舍),所以阴影部分面积S =120⎰⎝⎛⎭⎫14-x 2d x +112⎰⎝⎛⎭⎫x 2-14d x =⎝⎛⎭⎫14x -13x 3120+⎝⎛⎭⎫13x 3-14x 112=14.定积分在物理中的应用例2、列车以72 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度a =-0.4 m/s 2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?[解答] a =-0.4 m/s 2,v 0=72 km/h =20 m/s.设t s 后的速度为v ,则v =20-0.4t .令v =0,即20-0.4 t =0得t =50 (s).设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ,则s =∫500v d t =∫500(20-0.4t )d t =(20t -0.2t 2) |500=20×50-0.2×502=500(m),即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动.变式练习4.一物体在力F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x +4 (x >2)(单位:N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米,力F (x )做功为( )A .44 JB .46 JC .48 JD .50 J解析:选B 力F (x )做功为∫2010d x +∫42(3x +4)d x =10x |20+⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2+4x 42=20+26=46.例3、(2012·上海高考)已知函数y =f (x )的图象是折线段ABC ,其中A (0,0),B ⎝⎛⎭⎫12,5,C (1,0).函数y =xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________. [解析] 由题意可得f (x )=⎩⎨⎧10x ,0≤x ≤12,10-10x ,12<x ≤1,所以y =xf (x )=⎩⎨⎧10x 2,0≤x ≤12,10x -10x 2,12<x ≤1,与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x +112⎰(10x -10x 2)d x =103x 3120+⎝⎛⎭⎫5x 2-103x 3112=54.[答案] 54变式练习1.由曲线y =x 2,y =x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712解析:选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2,y =x 3,得x =0或x =1,由图易知封闭图形的面积=∫10(x 2-x 3)d x =13-14=112.2.(2012·山东高考)设a >0.若曲线y =x 与直线x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a =________.解析:由题意∫a 0x d x =a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′=x ,即23x 32 |a 0=a 2,即23a 32=a 2.所以a =49.答案:49 五、课后作业 巩固提高1.∫e 11+ln xxd x =( ) A .ln x +12ln 2x B.2e -1 C.32 D.12解析:选C∫e 11+ln xxd x =⎝⎛⎭⎫ln x +ln 2x 2e1=32. 2.(2012·湖北高考)已知二次函数y =f (x )的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2 解析:选B 由题中图象易知f (x )=-x 2+1,则所求面积为2∫10(-x 2+1)d x =2⎝⎛⎭⎫-x 33+x 1=43.3.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2, x ∈[0,1],2-x , x ∈(1,2],则∫20f (x )d x =( )A.34B.45C.56 D .不存在 解析:选C 如图.∫20f (x )d x =∫10x 2d x +∫21(2-x )d x =13x 3 |10+⎝⎛⎭⎫2x -12x 2 |21=13+⎝⎛⎭⎫4-2-2+12=56. 4.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度v =40-10t 2,则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403 mD.203m 解析:选A v =40-10t 2=0,t =2,∫20(40-10t 2)d t =⎝⎛⎭⎫40t -103t 3 |20=40×2-103×8=1603 (m). 5.(2013·青岛模拟)由直线x =-π3,x =π3,y =0与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B .1 C.32D. 3解析:选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x =sin x33ππ-=32-⎝⎛⎭⎫-32= 3. 6.设a =∫π0sin x d x ,则曲线y =f (x )=xa x +ax -2在点(1,f (1))处的切线的斜率为________.解析:∵a =∫π0sin x d x =(-cos x ) |π0=2,∴y =x ·2x +2x -2.∴y ′=2x +x ·2x ln 2+2. ∴曲线在点(1,f (1))处的切线的斜率k =y ′|x =1=4+2ln 2.答案:4+2ln 27.在等比数列{a n }中,首项a 1=23,a 4=∫41(1+2x )d x ,则该数列的前5项之和S 5等于________. 解析:a 4=∫41(1+2x )d x =(x +x 2) |41=18,因为数列{a n }是等比数列,故18=23q 3,解得q =3,所以S 5=23(1-35)1-3=2423.答案:24238.(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,则当∫a 0(cos x -sin x )d x 取最大值时,a =________. 解析:∫a 0(cos x -sin x )d x =(sin x +cos x ) |a 0=sin a +cos a -1=2sin ⎝⎛⎭⎫a +π4-1, ∵a ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴当a =π4时,2sin ⎝⎛⎭⎫a +π4-1取最大值.答案:π49.计算下列定积分:(1)20π⎰sin 2x d x ;(2)∫32⎝⎛⎭⎫x +1x 2d x ; (3)120⎰e 2x d x .解:(1)20π⎰sin 2x d x =20π⎰1-cos 2x 2d x =⎝⎛⎭⎫12x -14sin 2x 20π=⎝⎛⎭⎫π4-14sin π-0=π4. (2)∫32⎝⎛⎭⎫x +1x 2d x =∫32⎝⎛⎭⎫x +1x +2d x =⎝⎛⎭⎫12x 2+2x +ln x |32=⎝⎛⎭⎫92+6+ln 3-(2+4+ln 2)=92+ln 3-ln 2=92+ln 32. (3) 120⎰e 2xd x =12e 2x120=12e -12.10.如图所示,直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值.解:抛物线y =x -x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1=0,x 2=1,所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S =∫10(x -x 2)d x =⎝⎛⎭⎫x 22-13x 3 |10=16.又⎩⎪⎨⎪⎧y =x -x 2,y =kx , 由此可得,抛物线y =x -x 2与y =kx 两交点的横坐标为x 3=0,x 4=1-k ,所以,S 2=∫1-k 0(x -x 2-kx )d x =⎝⎛⎭⎫1-k 2x 2-13x 3 |1-k 0=16(1-k )3.又知S =16,所以(1-k )3=12, 于是k =1- 312=1-342.11.如图,设点P 从原点沿曲线y =x 2向点A (2,4)移动,直线OP 与曲线y =x 2围成图形的面积为S 1,直线OP 与曲线y =x 2及直线x =2围成图形的面积为S 2,若S 1=S 2,求点P 的坐标.解:设直线OP 的方程为y =kx ,点P 的坐标为(x ,y ),则∫x 0(kx -x 2)d x =∫2x (x 2-kx )d x ,即⎝⎛⎭⎫12kx 2-13x 3 |x=⎝⎛⎭⎫13x 3-12kx 2|2x, 解得12kx 2-13x 3=83-2k -⎝⎛⎭⎫13x 3-12kx 2, 解得k =43,即直线OP 的方程为y =43x ,所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43,169.12.求曲线y =x ,y =2-x ,y =-13x 所围成图形的面积.解:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =2-x ,得交点A (1,1);由⎩⎪⎨⎪⎧y =2-x ,y =-13x ,得交点B (3,-1).故所求面积S =∫10⎝⎛⎭⎫x +13x d x +∫31⎝⎛⎭⎫2-x +13x d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32+16x 2 |10+⎝⎛⎭⎫2x -13x 2 |31=23+16+43=136.。

高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用讲义 新人

高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用讲义 新人

1.7.1 定积分在几何中的应用1.利用定积分求平面图形的面积在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先画出它的草图,再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限.2.常见图形的面积与定积分的关系(1)如图①,当f (x )>0时,⎠⎛a bf (x )d x □01>0,所以S =□02⎠⎛ab f x d x ; (2)如图②,当f (x )<0时,⎠⎛ab f (x )d x □03<0,所以S =|⎠⎛a b f (x )d x |=□04-⎠⎛ab f (x )d x ; (3)如图③,当a ≤x ≤c 时,f (x )<0,⎠⎛a c f (x )d x □05<0;当c≤x ≤b 时,f (x )>0,⎠⎛cb f (x )d x □06>0,所以S =| ⎠⎛a c f (x )d x | +⎠⎛c b f (x )d x =□07-⎠⎛a c f (x )d x +□08⎠⎛cb f (x )d x ;(4)如图④,在公共积分区间[a ,b]上, 当f 1(x )>f 2(x )时,曲边梯形的面积为S =⎠⎛a b [f 1(x )-f 2(x )]d x =□09⎠⎛a b f 1(x )d x -⎠⎛ab f 2(x )d x .求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤第一步,画出图形.第二步,确定图形X 围,通过解方程组求出交点的横坐标,定出积分上、下限. 第三步,确定被积函数,特别要注意分清被积函数上、下位置. 第四步,写出平面图形面积的定积分表达式.第五步,运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积.答案 (1)× (2)√ (3)√ 2.做一做(1)由曲线y =e x,x =2,x =4,y =0所围成的图形的面积等于________. (2)曲线y =x 3与直线y =x 所围成图形的面积为________. (3)抛物线y =x 2-1与x 轴围成图形的面积是________. 答案 (1)e 4-e 2(2)12 (3)43探究1 不可分割图形面积的求解例1 求由抛物线y =x 2-4与直线y =-x +2所围成图形的面积.[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2-4,y =-x +2得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3,y =5或⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =0,所以直线y =-x +2与抛物线y =x 2-4的交点为(-3,5)和(2,0). 设所求图形的面积为S ,根据图形可得拓展提升不分割型图形面积的求解步骤: (1)准确求出曲线的交点横坐标;(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域; (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分; (4)计算得所求面积.【跟踪训练1】 计算由曲线y 2=x ,y =x 3所围成图形的面积S.解 作出曲线y 2=x ,y =x 3的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2=x ,y =x 3,得交点横坐标为x =0及x =1.因此,所求图形的面积为探究2 可分割图形面积的求解例2 求由曲线y =x ,y =2-x ,y =-13x 所围成图形的面积.[解] 解法一:画出草图,如图所示.解方程组⎩⎨⎧y =x ,x +y =2,⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =-13x拓展提升由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化区段,然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和,在每个区段上被积函数均是由上减下;若积分变量选取x运算较为复杂,可以选y为积分变量,同时更改积分的上、下限.【跟踪训练2】求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积.探究3 综合问题例3 在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为112,试求:(1)切点A的坐标;(2)在切点A的切线方程.[解] 如右图,设切点A(x0,y0),由y′=2x,过点A的切线方程为y -y 0=2x 0(x -x 0),即y =2x 0x -x 20,令y =0,得x =x 02,即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02,0.拓展提升本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识,运用待定系数法,先设出切点的坐标,利用导数的几何意义,建立了切线方程,然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积,根据条件建立方程求解,从而使问题得以解决.【跟踪训练3】 已知抛物线y =-x 2a+2x (a >0),过原点的直线l 平分由抛物线与x 轴所围成的封闭图形的面积,求l 的方程.对于简单图形的面积求解,可以直接运用定积分的几何意义,此时: (1)确定积分上、下限,一般为两交点的横坐标.(2)确定被积函数,一般是上曲线与下曲线对应函数的差.这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积:定积分可正、可负、可为零;而平面图形的面积总是非负的.1.由y =1x,x =1,x =2,y =0所围成的平面图形的面积为( )A .ln 2B .ln 2-1C .1+ln 2D .2ln 2 答案 A解析 画出曲线y =1x(x >0)及直线x =1,x =2,y =0,则所求面积S 为如图所示阴影部分面积.所以S =⎠⎛121xd x =ln x|21=ln 2-ln 1=ln 2.2.由曲线y =x 2,y =x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712答案 A解析 作出曲线y =x 2,y =x 3的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2,y =x 3得曲线y =x 2,y =x 3交点的横坐标为x =0及x =1.因此,所求图形的面积为S =⎠⎛01(x 2-x 3)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3-14x 4|10=13-14=112.3.由曲线y =2x 2,及x =0,x =3,y =0所围成图形的面积为________. 答案 18解析 图形面积为S =⎠⎛032x 2d x =2⎠⎛03x 2d x =23x 3|30=18.4.如图,直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,则k 的值是________.答案1-3 4 25.如图,求由曲线y=e x,y=e-x及直线x=1所围成的图形的面积S.。

高中数学选修课件 定积分的简单应用

高中数学选修课件 定积分的简单应用
解决平面几何中曲边图形的面积问题.
探究(一):曲线y2=x与y=x2所围成图
形的面积
y y =x 2
B
O
1 x
y 2=x
(1,1)
探究(一):曲线y2=x与y=x2所围成图
形的面积
y
y =x 2 1 O C y 2=x
B
D A 1 x
S=S曲边梯形OABC-S曲边梯形OADC.
探究(一):曲线y2=x与y=x2所围成图
3.位于x轴下方的曲边梯形的面积, 等于相应定积分的相反数.一般地,设由 直线x=a,x=b(a<b),y=0和曲线y= f(x)所围成的曲边梯形的面积为S,则.
S =
ò
b
a
| f (x ) | dx
y
y=|f(x)|
O a y=f(x)
b x
1.7
1.7.2
定积分的简单应用
定积分在物理中的应用
W =
ò
b
a
F (x )dx
其中F (x )是位移x的函数
引例2、如图,在弹性限度内,将一弹簧 从平衡位置拉到离平衡位置xm处,那么 (1)拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关 系是什么? F(x)=kx,
其中k为弹力系数.
x
(2)如果将弹簧从平衡位置拉到离平衡 位置l m处,那么克服弹力所作的功为多 少?
a
b x
2.微积分基本定理是什么?
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 并且 F ¢ (x ) = f (x ) ,则
f ( x ) dx = 蝌
a b b a
F¢ (x )dx = F (b) - F (a ) .
3.用定积分可以表示曲边梯形的面积,

高考讲定积分及其应用举例课件理

高考讲定积分及其应用举例课件理

总结词
定积分的定义包括将函数分割成小段, 然后求和;定积分的性质包括奇偶性、 可加性等。
VS
详细描述
定积分的定义是将一个函数分割成许多小 段,然后求这些小段的面积和。具体来说 ,如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,那么 对于这个区间上的任意两个点a和b,都 有定积分∫(f(x))dx = F(b) - F(a),其中 F(x)是f(x)的原函数。此外,定积分还具 有一些性质,例如奇偶性、可加性等。这 些性质在计算定积分时非常有用。
04
定积分的计算方法
直接积分法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
直接积分法是最基本的 积分方法,主要依靠微 分的概念进行计算。
详细描述
直接积分法是将一个函 数的积分转化为另一个 函数的导数的过程。具
体地,对于一个函数 f(x),其不定积分就是 所有使得f(x)成立的函 数F(x)的导数。换句话 说,不定积分就是找到 一个函数,使得这个函 数的导数等于原函数。
微积分基本定理
01
微积分基本定理的定义
微积分基本定理是指对于一个给定的函数f(x),如果对其进行积分,那
么该积分等于f(x)的原函数在该区间上的增量。
02
微积分基本定理的意义
微积分基本定理是微积分学的基础,它揭示了可积函数的原函数与积分
之间的联系,为解决微积分问题提供了基本的方法和工具。
03
微积分基本定理的应用
05
定积分的应用扩展
物理应用
匀速直线运动
01
定积分可应用于计算位移,特别是在匀速直线运动中,速度是
恒定的,因此可以通过对速度的积分来求解位移。
简谐振动
02

高中数学选修2-2-定积分的概念及其简单应用

高中数学选修2-2-定积分的概念及其简单应用

定积分的概念及其简单应用知识集结知识元定积分的应用知识讲解1.定积分的应用【应用概述】正如前面定积分的概念哪里所说,定积分表示的是一个面积,是一个大于零的数.那么它在实际当中的应用也就和求面积相关.例1:定积分|sin x|dx的值是.解:|sin x|dx==﹣cos x+cos x=1+1+0﹣(﹣1)=3.这个题如果这样子出,|sin x|在区间(0,)上与x轴所围成的面积,那么就成了一个应用题.如何解这类应用题呢?其实就是构建一个定积分,找到区间和要积分的函数即可.【定积分在求面积中的应用】1、直角坐标系下平面图形的面积2、极坐标系下平面图形的面积由连续曲线r=r(θ)及射线θ=α,θ=β所围成的平面图形的面积(图6)为3、用定积分求平面图形的面积的步骤a)根据已知条件,作出平面图形的草图;根据图形特点,恰当选取计算公式;b)解方程组求出每两条曲线的交点,以确定积分的上、下限;c)具体计算定积分,求出图形的面积.例题精讲定积分的应用例1.直线x=1,x=e与曲线y=围成的面积是()A.B.C.D.例2.由曲线,直线y=x所围成的封闭图形的面积是()A.B.C.D.1例3.抛物线y=x2-1与直线y=x+1所围成的平面图形的面积是()A.B.C.5D.用定积分研究简单几何体的体积知识讲解1.用定积分求简单几何体的体积【知识点的知识】1、已知平行截面面积的立体的体积2、旋转体的体积例题精讲用定积分研究简单几何体的体积例1.祖暅原理也称祖氏原理,是我国数学家祖暅提出的一个设计集合求积的著名命题:“幂势既同,则积不容异”,“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的立体,如在等高处截面积相等,则体积相等.由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成图形绕y轴旋转一周所得为旋转体的体积为V1:满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则()A.V1=V2B.V1=V2C.V1=V2D.V1=2V2例2.曲线y=e x,直线x=0,x=与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到旋转体的体积是()A.B.C.D.例3.曲线y=x2和y2=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周后,所形成的旋转体的体积为()A.B.C.D.。

高等数学讲义第10集——定积分及其应用 (1)

高等数学讲义第10集——定积分及其应用 (1)

A
0
由 的任意性知
1
lim ( 1 f (x) p dx) p A
p 0
1
ax
例 5. 计算 arctan
dx
0
ax
[分析] 本题应用换元积分法,换元时应注意要换限.
[解法 1] 令 t arctan a x ax
3

x
a1 1
tan 2 tan 2
t t
a cos 2t
,

原式=
0
其中 0 a , a 1
又 f (x) 单调减,则 f ( ) f ( ) ,故原式得证.
[证明 2]
a
1
0 f (x)dx a0 f (x)dx
a
1
= 0
f (x)dx a0
f (x)dx
a
1
(1 a)0 f (x)dx aa f (x)dx
(1 a)af (a) (1 a)af (a)

0= f (x)cos xdx cos xdF (x)
0
0
=[F (x)cos x]0
F (x)sin xdx
0
= F(x)sin xdx 0
x
对 (x) F (t)sin tdt 在[0, ] 上使用拉格朗日微分中值定理得 0
0= f (x)sin xdx ( ) (0) F( )sin , 0< < . 0
0 1 x 1 x 0 1 x
0
= e 1e xdx e 1
20
2
1 (x 11)ex
[解法 2]
原式=
0
(1 x)2
dx
=
1 e x dx 01 x

人教版数学高二选修2-2讲义1.7定积分的简单应用

人教版数学高二选修2-2讲义1.7定积分的简单应用

1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2 定积分在物理中的应用1.会用定积分求平面图形的面积.(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分与平面图形面积的关系阅读教材P 56~P 58“练习”以上部分,完成下列问题.曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示的函数的关系:(1)如图1-7-1①,阴影部分的面积为S =-⎠⎛0a g (x )d x +⎠⎛0a f (x )d x =_____.① ②图1-7-1(2)如图1-7-1②,阴影部分的面积为S =______________.所以,曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分.【答案】 (1)⎠⎛0a [f (x )-g (x )]d x (2)⎠⎛0b [f (x )-g (x )]d x +⎠⎛ba [f (x )-c (x )]d x判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)曲线y=sin x,x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,2π,与x轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛π22πsin x d x.()(2)曲线y=x3与直线x+y=2,y=0围成的图形面积为⎠⎛1x3d x+⎠⎛12(2-x)d x.()(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形面积为⎠⎛-22(4-x2)d x.() 【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 定积分在物理中的应用阅读教材P58~P59“练习”以上部分,完成下列问题.1.变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即s=.2.变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a<b),那么变力F(x)所做的功为____________________.【答案】 1.⎠⎛ab v(t)d t 2.W=⎠⎛ab F(x)d x一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F(x)相同的方向,从x=1处运动到x=3处(单位:m),则力F(x)所作的功为________J.【解析】由题意可知,力F(x)所作的功W=⎠⎛13F(x)d x=⎠⎛13(4x-1)d x=(2x2-x)|31=14 J.【答案】14[小组合作型]利用定积分求平面图形的面积(1)由抛物线y =x 2-x ,直线x =-1及x 轴围成的图形的面积为( )A.53B .1 C.52 D.23(2)已知函数y =x 2与y =kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图1-7-2所示)的面积为43,则k =________ .图1-7-2【自主解答】 (1)由图可知,所求面积S =⎠⎛-10(x 2-x )d x +⎠⎛01(x -x 2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33-x 22⎪⎪⎪ 0-1+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22-x 33⎪⎪⎪10=56+16=1.(2)由⎩⎨⎧ y =x 2,y =kx ,解得 ⎩⎨⎧ x =0,y =0或⎩⎨⎧x =k ,y =k 2,故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx -x 2)d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2-13x 3| k 0=12k 3-13k 3=16k 3=43,解得k =2.【答案】 (1)B (2)2求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤:(1)画出图形;(2)确定图形范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限;(3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数图象上、下位置;(4)写出平面图形面积的定积分表达式;(5)运用微积分基本公式计算定积分,求出平面图形的面积.[再练一题]1.(1)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为() A.2 2 B.4 2C.2 D.4(2)由直线y=12,y=2,曲线y=1x及y轴所围成的封闭图形的面积是()【导学号:62952056】A.2ln 2 B.2ln 2-1C.12ln 2 D.54【解析】(1)由4x=x3,解得x=0或x=2或x=-2(舍去),根据定积分的几何意义可知,直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛2(4x-x3)d x=⎝⎛⎭⎪⎫2x2-14x4⎪⎪⎪2=4.(2)由题知,x的范围为[0,2].所以S=12×32+⎠⎜⎛1221x d x-32×12=⎠⎜⎛1221x d x=ln 2-ln12=2ln 2.【答案】(1)D(2)A求变速直线运动的路程、位移2(速度的正方向与x 轴正方向一致).求点P 从原点出发,当t =6时,点P 离开原点的路程和位移.【精彩点拨】解不等式v (t )>0或v (t )<0→确定积分区间→求t =6时的路程以及位移【自主解答】 由v (t )=8t -2t 2≥0,得0≤t ≤4,即当0≤t ≤4时,P 点向x 轴正方向运动,当t >4时,P 点向x 轴负方向运动.故t =6时,点P 离开原点的路程为s =⎠⎛04(8t -2t 2)d t -⎠⎛46(8t -2t 2)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2-23t 3⎪⎪⎪ 40-⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2-23t 3⎪⎪⎪ 64=1283. 当t =6时,点P 的位移为⎠⎛06(8t -2t 2)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2-23t 3⎪⎪⎪60=0.1.求变速直线运动的物体的路程(位移)(1)用定积分计算做直线运动物体的路程,要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值,若v (t )>0,则运动物体的路程为s =⎠⎛ab v (t )d t ;若v (t )<0,则运动物体的路程为s =⎠⎛a b |v (t )|d t =-⎠⎛ab v (t )d t . (2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象,可以先求出速度—时间函数式,再转化为定积分计算路程;也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程;若速度—时间函数是分段函数,要利用定积分的性质进行分段积分再求和.(3)注意路程与位移的区别.2.求变力做功的方法(1)要明确变力的函数F (x )=kx ,确定物体在力的方向上的位移.(2)利用变力做功的公式W =⎠⎛ab F (x )d x 计算. (3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米,功的单位换为焦耳.[再练一题]2.在上例题设条件不变的情况下,求P 从原点出发,经过时间t 后又返回原点时的t 值.【解】 依题意⎠⎛0t (8t -2t 2)d t =0,即4t 2-23t 3=0, 解得t =0或t =6,t =0对应于P 点刚开始从原点出发的情况,t =6是所求的值.[探究共研型]变力作功问题探究 一物体在变力F (x )=5-x 2(力单位:N ,位移单位:m )作用下,沿与F (x )成60°方向做直线运动,则由x =1 m 运动到x =3 m 时F (x )做的功为多少J .【提示】 W =⎠⎛13F (x )cos 60°d x =⎠⎛1312F (x )d x =⎠⎛1312(5-x 2)d x =12⎝ ⎛⎭⎪⎫5x -13x 3| 31=23(J ). 如图1-7-3所示,一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B ,C 运动到D ,其中AB =50 m ,BC =40 m ,C D =30 m ,变力F =⎩⎪⎨⎪⎧14x +5,0≤x ≤90,20,90<x <120,(单位:N ),在AB 段运动时F 与运动方向成30°角,在BC 段运动时F 与运动方向成45°角,在C D 段运动时F 与运动方向相同,求物体由A 运动到D 所做的功.(3≈1.732,2≈1.414,精确到1 J)图1-7-3【精彩点拨】 先求出在AB 段、BC 段上拉力F 沿运动方向的分力,再利用变力做功的公式W =⎠⎛ab F (x )d x 求出各段上功的大小. 【自主解答】 在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1=F cos 30°,在BC段运动时F 在运动方向上的分力F 2=F cos 45°.由变力做功公式得:W =⎠⎛050⎝ ⎛⎭⎪⎫14x +5cos 30° d x +⎠⎛5090⎝ ⎛⎭⎪⎫14x +5cos 45°d x +600 =38⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2+20x ⎪⎪⎪ 500+28⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2+20x ⎪⎪⎪9050+600 =1 1254 3+4502+600≈1 723(J).所以物体由A 运动到D 变力F 所做的功为1 723 J.求变力所做功的步骤1.根据物理学的实际意义,求出变力F (x )的表达式.2.由功的物理意义知,物体在变力F (x )的作用下,沿力的方向做直线运动,使物体从x =a 移到x =b (a <b ),因此,求功之前应求出位移的起始位置与终止位置.3.根据变力做功公式W =⎠⎛ab F (x )d x ,求出变力F (x )所做的功.[再练一题]3.在弹性限度内,用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所用的力是200 N ,求变力F 做的功.【解】 设弹簧所受到的拉力与弹簧伸长的函数关系式为F (x )=kx (k >0), 当x =10 cm =0.1 m 时,F (x )=200 N ,即0.1k =200,得k =2 000,故F (x )=2 000x ,所以力F 把弹簧从平衡位置拉长10 cm 所做的功是W =⎠⎛00.12 000x d x =1 000x 2⎪⎪⎪ 0.10=10(J).1.求由y =e x ,x =2,y =1围成的曲边梯形的面积时,若选择x 为积分变量,则积分区间为( )A .[0,e 2]B .[0,2]C .[1,2]D .[0,1]【解析】 如图,作出三个函数y =e x ,x =2,y =1的图象,由三者围成的曲边梯形如图阴影部分,若选择x 的积分变量,则积分区间应为[0,2].【答案】 B2.一物体沿直线以v =3t +2(t 单位:s ,v 单位:m /s )的速度运动,则该物体在3~6 s 间的运动路程为( )A .46 mB .46.5 mC .87 mD .47 m【解析】 s =⎠⎛36(3t +2)d t =⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2+2t ⎪⎪⎪63=(54+12)-⎝ ⎛⎭⎪⎫272+6=46.5(m ). 【答案】 B3.由y =x 2,y =14x 2及x =1围成的图形的面积S =________.【解析】 如图所示,S =⎠⎛01x 2d x -⎠⎛0114x 2d x =⎠⎛0134x 2d x =14x 3⎪⎪⎪10=14. 【答案】 144.设a >0,若曲线y =x 与直线x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a =________.【解析】 由已知得S =⎠⎛0ax d x =23x 32⎪⎪⎪a 0=23a 32=a 2,所以a 12=23,所以a =49.【答案】 49 5.一物体在变力F (x )=36x 2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x =8 m处运动到x =18 m 处,求力F (x )在这一过程中所做的功.【导学号:62952057】【解】 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分,从而W =⎠⎛818F (x )d x =-36x -1⎪⎪⎪188=(-36·18-1)-(-36·8-1)=(-2)-⎝ ⎛⎭⎪⎫-92=52(J). 从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52 J .。

数学《定积分的应用》讲义

数学《定积分的应用》讲义

第十章 定积分的应用1 平面图形的面积一、直角坐标系下平面图形连续曲线()(0)y f x =≥直线,x a x b ==和x 轴所围成的曲边梯形面积为S=()bbaaf x dx ydx =⎰⎰;若()y f x =在[,]a b 上不是非负的, 则上述围成图形的面积为S=|()|||bbaaf x dx y dx =⎰⎰.一般地,1) 由上下两根连续曲线2()y f x =和1()y f x =以及直线,x a x b ==所围成平面图形面积为 21S=()()ba f x f x dx -⎰.2) 由两条曲线1()y f x =,2()y f x =围成的平面图形面积为21S=()()ba f x f x dx -⎰,其中,x a x b ==与曲线1()y f x =与2()y f x =所有交点中横坐标最小值和最大值.例 1 求曲线1, 0, 2xy x y x =-==围成的平面图形面积.例 2 求由抛物线2y x =直线230x y --=所围成的平面图形面积.设[,]a b 上的曲边梯形的曲边由方程()x t χ=,()y y t =,t αβ≤≤,()a χα=,()b χβ=. 又设()0t χ'>(())t χ↑,于是存在反函数1t=()x χ-, 则曲边方程为[]1()(()),,y y t y x x a b χ-==∈.从而,曲边梯形面积为1(())ba S y x dx χ-=⎰()'()y t t dt βαχ=⎰y dx βα=⎰例 3 求由摆线(sin ),(1cos )(0)x a t t y a t a =-=->的一拱与x 轴所围成的平面图形面积.例 4 求椭圆22221x y a b+=所围成图形面积.二、极坐标下平面图形的面积设曲线C 由极坐标方程() [,]r r θθαβ=∈给出,其中()r θ在[,]αβ上连续,2βαπ-≤下求由曲线C 与两射线,θαθβ==所围成的平面图形(称之为扇形)面积.221121()21()21()2i i i n ni i i i i A r A A r A r d βαξθξθθθ==∆≈∆=∆≈⋅∆⇒=∑∑⎰例 5 求由双纽线22cos 2r a θ=所围成平面图形的面积.(35cos 20,[,][,]4444ππππθθ≥∈-或)[ 简单介绍微元法:x 的范围a≤x≤b微元 dx, ds=f(x)dx (△s ≈f(x)△x )⇒()ba S f x dx =⎰ 微元 d θ 21()2dA r d θθ=21()2A r d βαθθ=⎰ ]“化曲为直”,“以直代曲”.三、微元法若令()()xa x f t dt Φ=⎰,则当f 为连续函数时,()()x f x 'Φ=或()()d x f x dx Φ=,且()0, ()()baa b f x dx Φ=Φ=⎰.(现在把问题倒过来) 如求的量Φ是分布在某区间[,]a x 上的, 或说其是x 的函数()x Φ=Φ,[,]x a b ∈,且当x=b 时,()b Φ就是最终所求值.任取小区间[,][,]x x x a b +∆⊂,若能把Φ的微小增量∆Φ近似表示为x ∆的线性形式 ()f x x ∆Φ≈∆其中f 为某一连续函数,且0x ∆→时,()()f x x o x ∆Φ-∆=∆, 即 ()d f x dx Φ=从而只要把()ba f x dx ⎰积分出来就是所求结果.上述方法称为微元法. 使用微元法时要求:i)所求量Φ关于分布区间是代数可加的 ()f x x ∆Φ≈∆ii)微元法的关键是正确给出∆Φ的近似表达式,在一般情形下,要严格检验()f x x ∆Φ-∆是否为x ∆的高阶无穷小.2211() ()22A y x dA y dxA r dA r d θθθθ∆≈∆=∆≈∆=2. 由平行截面面积求体积一、已知平行截面面积() () ()ba a xb v A x xdv A x dx v A x dx≤≤∆≈∆=⇒=⎰祖暅原理:夫幂势相同,则积不容异.[亦可通过分割,求和取极限方法得到]例 1 由两个圆柱面222x y a +=和222x z a +=所围成立体体积.例 2 求由椭球面2222221x y z a b c++=所围成立体(椭球)的体积.二、旋转体设f 为[,]a b 上的连续函数(f(x)≥0),则曲线y=f(x)绕x 轴旋转一周得到的旋转体V ,易证V 的体积为2()ba V f x dx π=⎰例 3 求圆锥体的体积公式.例 4 求圆222(),(0)x y R r r R +-≤<<绕x 轴旋转一周所得到的环状立体体积.1) 22[[rrrrV R dx R dx ππ--=--⎰⎰222) ()2rrV A x dx r R π-==⎰例 5 sin ,0y x x π=≤≤,绕x 轴(y 轴)旋转所得立体体积.220sin 2V xdx πππ==⎰1()V A y dy =⎰22()[(arcsin )(arcsin )]A y y y ππ=--3 平面曲线的弧长1、弧长的定义设平面曲线c AB =,在A,B 上取点011,,,n n A P P P P B -==构成AB 的一个分割,记作T ,11i i i i P P P P --≈,11ni i i s PP -=≈∑,11||||max i i i nT P P -≤≤=,11()ni i i s T P P -==∑.定义 1 对于曲线c 上无论怎样的分割T ,如果存在有限数s ,使0lim ()T s T s →=,那么称曲线c 是可求长的,并把极限s 定义为曲线c 的弧长.2、弧长的计算设曲线方程(),y f x a x b =≤≤, 由微元法, ds ==as ⇒=⎰进一步, 若曲线c 的方程为[](),(),,x x t y y t t αβ==∈,则ds ==s βα=⎰(提出光滑曲线概念) ,x y ''连续定义 2 设平面曲线c 由参数方程 [](),(),,x x t y y t t αβ==∈ (*)给出.若()x t ,()y t 在[],αβ上有连续导数,22()()0x t y t ''+≠,则称c 为一条光滑曲线.定理 设曲线c 由参数方程(*)给出,若c 为一条光滑曲线,则c 是可求长的,且 弧长为s βα=⎰.例 1 求摆线一拱(sin ),(1cos ),(0)x a t t y a t a =-=->一拱的弧长.(202sin 2ts a dt π=⎰)例 2 求悬链线2x xe e y -+=,从x a =-到x a =一段的弧长.若曲线c 由极坐标方程[](),,r r θθαβ=∈给出,则[]()cos ,()sin ,,x r y r θθθθθαβ==∈从而 ()()cos ()sin ,x r r θθθθθ''=- ()()sin ()cos y r r θθθθθ''=+. 故 2222()()()()x y r r θθθθ'''+=+则当()r θ'在[],αβ上连续,且()r θ与()r θ'不同时为0时,此极坐标曲线为一光滑曲线. 此时弧长公式为s βαθ=⎰.例 3 求心形线(1cos ),(0)r a a θ=+⋅>的弧长.弧长01lim ni T i s s →==∆∑, ()()()222i i i s x y ∆=∆+∆ ,1i i i x x x -∆=-,1()()()i i i i i y f x f x f x ξ-'∆=-=∆, 11n ni i i i s x ==⇒∆=∑as ⇒=⎰(f '连续)下面反过来求弧长微分dS . 考察从A 到AB 上一点(,)M x y 的弧长()s x ,则()as x =⎰()ds S x dx'⇒==ds ⇒=几何意义 ds 为s ∆的线性主要部分直线段MP 之长就和曲线MM '之长很接近(相差一个高阶无穷小). 若[](),,r r θθαβ=∈, 则s βαθ=⎰.4 旋转曲面的面积设平面光滑曲线C 的方程为()y f x =,[],x a b ∈,(()0)f x ≥此段曲线绕x 轴旋转一周得到一旋转曲面.下面求其面积.[]()()S f x f x x π∆≈++∆[]2()f x y x π=+∆由于0y ∆→→(0)x ∆→(2()2(()f x y x f x x o x ππ⇒+∆-=∆2(dS f x π⇒=2(ba S f x π⇒=⎰若曲线C 由参数方程(),()x x t y y t ==,[],t αβ∈,且()0y t ≥,则曲线C 绕x 轴旋转所得的旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰.例 1 求圆222x y R +=在[][]12,,x x R R ⊂-上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.例2求内摆线33==绕x轴旋转所得旋转曲面的面积.x a t y a tcos,sin5 定积分在物理中的某些应用一、液体静压力例1如图所示为一管道的圆形闸门,半径为3米. 问水面齐及直径时, 闸门所受到的水的静压力有多大?二、引力例2一根长为l的均匀细杆,质量为M, 在其中垂线上相距细杆为a处有一质量为m的质点,试求细杆对质点的万有引力.三、功与平均功率例3一圆锥形水池,池口直径30米,深10米,池中盛满水,试求将全部池水抽出池外所作的功.例 4 在地面上将质量为m 的物体沿着轨线((),(),())t x t y t z t →举起,()a t b ≤≤,(t 为时间,,,x y z 为空间笛卡尔坐标) 要求在时间段[],a b 内克服重力做的功.这样所做的功只依赖于(),()r a r b ,即只依赖于物体在初始时刻和结束时刻离地球中心的距离.令()GMU r r =,从而将质量为m 的物体从半径为0r 的球面上任一点移动到半径为1r 的球面上任一点,克服重力所做的功01,01(()())r r W m U r U r =-,称()U r 为牛顿位势. 设R 为地球半径,则2()gR U r r =,2()GMg R=.现将质量为m 的物体从地球表面飞到距地心无限远的地方, 所需的功为,lim R r r W →+∞,即22,lim ()R r gR gR W W m mgR R r∞→+∞==-=. 由能量守恒定律,要求初速度0v 至少为2012mv mgR =.0v =. ——第二宇宙速度264()P。

高数学习资料含讲义及全部内容定积分的概念

高数学习资料含讲义及全部内容定积分的概念

第五章 定积分的概念教学目的与要求:1. 解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2. 解广义积分的概念并会计算广义积分。

3.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。

5.1定积分概念 一. 定积分的定义不考虑上述二例的几何意义,下面从数学的角度来定义定积分 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点,把区间[a,b]分成n 个小区间,记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ,作和式:)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割,也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取,只要0→λ有→∆∑=i ni i x f 1)(ξI (I 为一个确定的常数),则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分,简称积分,记做⎰badx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数,f(x)dx 为积分表达式,a 为积分下限,b 为积分上限,x 称为积分变量,[a,b]称为积分区间。

注1. 定积分还可以用δε-语言定义 2由此定义,以上二例的结果可以表示为A=⎰badx x f )(和S=⎰21)(T T dt t v3有定义知道⎰badx x f )(表示一个具体的书,与函数f(x)以及区间[a,b]有关,而与积分变量x 无关,即⎰badx x f )(=⎰b adu u f )(=⎰badt t f )(4定义中的0→λ不能用∞→n 代替5如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在,则它就是f(x)在[a,b]上的定积分,那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢?经典反例:⎩⎨⎧=中的无理点,为,中的有理点,为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0,1]上不可积。

定积分的简单应用李用

定积分的简单应用李用

b
a
f
x
g
xd. x
注:
两曲线围成的平面图形的面积的计算 例 1. 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
解方程组
y y
x x2
x
y
00或xy
1 1
y
y y2 xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
返回
(2)∵v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),
∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0,
在区间[1,3]上,v(t)≤0.
∴在t=4 s时的路程为
1
3
4
s=0(t2-4t+3)dt-1(t2-4t+3)dt+3(t2-4t+3)dt
=(13t3-2t2+3t)|10-(13t3-2t2+3t)|31+(13t3-2t2+3t)|43=4(m).
图1.7 3
s 30 60 30 1350
2
二、变力沿直线所作的功
1、恒力作功
由物理学知道,如果物体在作直线运动的过
程中有一个不变的力F 作用在这物体上,且这力
的方向与物体的运动方向一致,那么,在物体移
动了距离 s时,力 F 对物体所作的功为W F s .
2、变力所做的功
问题:物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并
例 2 计算由曲线 y 2x ,直线 y x 4以及 x 轴所
围成的图形的面积.
y 2x
解: 两曲线的交点
y
2x
(0, 0), (8, 4).
y x 4
直线与x轴交点为(4,0)

定积分及其应用

定积分及其应用


b
b
b
f ( x)dx f (t)dt f (u)du .
a
a
a
2o. 当 T 0, 分点个数 n ;但反之不然 .
3o. 若 f 在 [a, b] 的某一个积分和的极限 不存在 ,
或若 f 在 [a, b] 的某两个积分和的极限 都存在但 极限值 不相等 ,则 f ( x) 在 [ a , b ] 上不可积 .
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 sin3
dx x
3
.
第44页
例 5
估计积分
2
4
sin xdx的值. x
解 f ( x) sin x , x [ , ]
x
42
0 x , x tan x.
2
f ( x)
x cos x sin x x2
cos x( x tan x) x2
第26页
怎样的分法,也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法,只要当|| T || 0 时,和 S 总趋于
确定的极限I ,我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分,记为
积分上限
n
b
a
f ( x)dx
I
lim ||T ||0 i 1
f (i )xi
积分和 或黎曼和
T 0 i 1
f (i )xi
n
lim
f (a b a i) b a
.
n i1
n
n
第29页
例1
利用定义计算定积分
1 x2dx. 0
解 xi
T 把 [0,1] n xi xi1

高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
[分析] 这是一道综合性较强的题目,条件(1)可利用导 数表示,条件(2)可利用定积分的几何意义表示.
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[解析] ∵f′(x)=(x3+ax2+bx+c)′=3x2+2ax+b,
∴f′(0)=b=0,f(0)=c=2.
∴f(x)=x3+ax2+2.
∵f′(x)=3x2+2ax,f′(0)=0,
S=∫-1 2(-x2-x+2)dx
=-13x3-12x2+2x|
1 -2
=92.
13/28
3.计算由曲线y2=x,y=x3所围成图形面积S. 解:作出曲线y2=x,y=x3的草图, 所求面积为如图中的阴影部分的面积. 解方程组yy2==xx3, 得交点的横坐标 x=0,x=1,因此所求图形面积为 S=∫01 xdx-∫01x3dx=23x32 |10-14x4 |10=23-14=152.
A.12
B.1
C.
3 2
D. 3
解析:结合函数图像可得所求的面积是定积分
3 - 3
cos xdx=sin x
3 -
3
= 23-- 23=
3.
答案:D
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2.求y=-x2与y=x-2围成图形面积S.
解:如图,由yy= =- x-x22, 得围成图形(阴影部分)面积为
18/28
4.求由曲线y=cos x与x轴在区间0,32π上所围成图形的面 积S=________.
解析:所求面积S= 2 cos xdx- 2
0
-
2
=sin x
2
-sin x
2
=3.
0
2
cos xdx
答案:3
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5.求由曲线y=x2和直线y=x及y=2x所围成平面图

高考讲定积分及其应用举例课件理

高考讲定积分及其应用举例课件理

计算物体的位移
通过速度函数和时间函数的定积分,可以计 算物体在某一时间段内的位移。这对于研究 物体运动规律、预测物体位置具有重要应用 价值。
定积分在现实生活中的应用思考
流量计算
在水利工程、交通工程等领域,可以利用定 积分计算水流或车流的总量。通过对应流速 或车流密度函数进行积分,可以得到一段时 间内的总流量,从而为工程设计和规划提供 数据支持。
方法应用
换元法常用于处理被积函数中含有复杂表达式或根号等情况。通过代换简化被 积函数后,可以更方便地应用其他积积分的分部积分法是通过将被积函数拆分成两个函数的乘积,并反复应用微积 分基本定理来计算定积分的方法。它将被积函数的复杂部分和简单部分分开处理 ,从而实现了计算的简化。
资源分配优化
在资源分配问题中,利用定积分可以评估不 同分配策略下的资源利用效益。通过设定合 适的效用函数,并对分配策略进行积分,可 以对不同策略进行量化比较,从而实现资源
分配的优化。
THANKS
感谢观看
公式应用
通过使用牛顿-莱布尼茨公式,我们可 以直接利用被积函数的原函数在积分 上下限处的函数值之差来计算定积分 ,避免了复杂的积分运算。
定积分的换元法
方法原理
定积分的换元法是通过变量代换来简化被积函数的形式,从而便于计算定积分 的方法。通过选择合适的代换函数,可以将复杂的被积函数转化为简单的形式 。
的曲线段。
作和
将所有小区间上的近似值加起 来,得到Σf(ξi)Δxi。
取极限
当n趋近于无穷大,且最大的 小区间长度趋近于0时,
Σf(ξi)Δxi的极限就是定积分 ∫f(x)dx。
定积分的性质
线性性
对于任意常数c1和c2,有 ∫[c1f(x)+c2g(x)]dx=c1∫f(x)dx

(整理)高中培优讲义定积分及其简单应用

(整理)高中培优讲义定积分及其简单应用

第十三讲定积分及其简单应用教学目标:1、了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2、了解微积分基本定理的含义.一、知识回顾课前热身知识点1、定积分(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式.(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.(3)定积分的基本性质①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x.(4).定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么?提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x)|b a,即∫b a f(x)d x=F(x)|b a=F(b)-F(a).基础练习1.∫421x d x等于()A.2ln 2 B.-2ln 2 C.-ln 2 D.ln 2解析:选D∫421x d x=ln x|42=ln 4-ln 2=ln 2.2.一质点运动时速度和时间的关系为V(t)=t2-t+2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析:选A S =∫21(t 2-t +2)d t =⎝⎛⎪⎪⎭⎫13t 3-12t 2+2t 21=176. 3.直线x =0,x =2,y =0与曲线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为________.解析:∫20x 2d x =13x 3 |20=83. 答案:834.∫101-x 2d x =________.解析:由定积分的几何意义可知,∫101-x 2d x 表示单位圆x 2+y 2=1在第一象限内部分的面积,所以∫101-x 2d x =14π. 答案:14π 二、例题辨析 推陈出新例1、利用微积分基本定理求下列定积分:(1)∫21(x 2+2x +1)d x ; (2)∫π0(sin x -cos x )d x ; (3)∫20x (x +1)d x ;(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x +1x d x ; (5)20π⎰ sin 2x 2d x .[解答](1)∫21(x 2+2x +1)d x =∫21x 2d x +∫212x d x +∫211d x =x 33|21+x 2 |21+x |21=193. (2)∫π0(sin x -cos x )d x =∫π0sin x d x -∫π0cos x d x =(-cos x ) |π0-sin x |π0=2.(3)∫20x (x +1)d x =∫20(x 2+x )d x =∫20x 2d x +∫20x d x =13x 3 |20+12x 2 |20=⎝⎛⎭⎫13×23-0+⎝⎛⎭⎫12×22-0=143. (4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x +1x d x =∫21e 2x d x +∫211x d x =12e 2x |21+ln x |21=12e 4-12e 2+ln 2-ln 1=12e 4-12e 2+ln 2. (5)20π⎰sin 2x 2d x =20π⎰⎝⎛⎭⎫12-12cos x d x =20π⎰12d x -1220π⎰cos x d x =12x20π-12sin x 20π=π4-12=π-24.变式练习1.求下列定积分: (1)∫20|x -1|d x ;(2)20π⎰1-sin 2x d x .解:(1)|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧1-x , x ∈[0,1)x -1, x ∈[1,2]故∫20|x -1|d x =∫10(1-x )d x +∫21(x -1)d x=⎝⎛⎭⎫x -x 22 |10+⎝⎛⎭⎫x 22-x |21=12+12=1.(2)20π⎰1-sin 2x d x =20π⎰|sin x -cos x |d x =40π⎰(cos x -sin x )d x +24ππ⎰(sin x -cos x )d x=(sin x +cos x )40π+(-cos x -sin x ) 24ππ=2-1+(-1+2)=22-2.例2、 ∫10-x 2+2x d x =________.[解答] ∫10-x 2+2x d x 表示y =-x 2+2x 与x =0,x =1及y =0所围成的图形的面积.由y =-x 2+2x 得(x -1)2+y 2=1(y ≥0),又∵0≤x ≤1,∴y =-x 2+2x 与x =0,x =1及y =0所围成的图形为14个圆,其面积为π4.∴∫10-x 2+2x d x =π4.在本例中,改变积分上限,求∫20-x 2+2x d x 的值.解:∫20-x 2+2x d x 表示圆(x -1)2+y 2=1在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,所以∫20-x 2+2x d x =π2.变式练习2.(2013·福建模拟)已知函数f (x )=∫x 0(cos t -sin t )d t (x >0),则f (x )的最大值为________.解析:因为f (x )=∫x 02sin ⎝⎛⎭⎫π4-t d t =2cos ⎝⎛⎭⎫π4-t |x 0=2cos ⎝⎛⎭⎫π4-x -2cos π4=sin x +cos x -1= 2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4-1≤2-1,当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1时,等号成立.答案:2-1 三、归纳总结方法在握归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分.(2)利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小.归纳2、求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分,解题的步骤是:(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值;(5)计算原始定积分的值.归纳3、利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图.(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限.(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差.(4)计算定积分,写出答案.四、拓展延伸 能力升华利用定积分求平面图形的面积例1、 (2012·山东高考)由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B .4 C.163D .6 [解答] 由y =x 及y =x -2可得,x =4,即两曲线交于点(4,2).由定积分的几何意义可知,由y =x 及y =x -2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x -x +2)d x =⎝⎛⎭⎫23x 32-12x 2+2x |40=163. [答案] C若将“y =x -2”改为“y =-x +2”,将“y 轴”改为“x 轴”,如何求解?解:如图所示,由y =x 及y =-x +2可得x =1.由定积分的几何意义可知,由y =x ,y =-x +2及x轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x =∫1x d x +∫21(-x +2)d x =23x32 |10+⎝⎛⎭⎫2x -x 22 |21=76.变式练习3.(2013·郑州模拟)如图,曲线y =x 2和直线x =0,x =1,y =14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14解析:选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y =14,y =x 2⇒x =12或x =-12(舍),所以阴影部分面积S =120⎰⎝⎛⎭⎫14-x 2d x +112⎰⎝⎛⎭⎫x 2-14d x =⎝⎛⎭⎫14x -13x 3120+⎝⎛⎭⎫13x 3-14x 112=14.定积分在物理中的应用例2、列车以72 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度a =-0.4 m/s 2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?[解答] a =-0.4 m/s 2,v 0=72 km/h =20 m/s.设t s 后的速度为v ,则v =20-0.4t .令v =0,即20-0.4 t =0得t =50 (s).设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ,则s =∫500v d t =∫500(20-0.4t )d t =(20t -0.2t 2) |500=20×50-0.2×502=500(m),即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动.变式练习4.一物体在力F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x +4 (x >2)(单位:N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米,力F (x )做功为( )A .44 JB .46 JC .48 JD .50 J解析:选B 力F (x )做功为∫2010d x +∫42(3x +4)d x =10x |20+⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2+4x 42=20+26=46.例3、(2012·上海高考)已知函数y =f (x )的图象是折线段ABC ,其中A (0,0),B ⎝⎛⎭⎫12,5,C (1,0).函数y =xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________. [解析] 由题意可得f (x )=⎩⎨⎧10x ,0≤x ≤12,10-10x ,12<x ≤1,所以y =xf (x )=⎩⎨⎧10x 2,0≤x ≤12,10x -10x 2,12<x ≤1,与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x +112⎰(10x -10x 2)d x =103x 3120+⎝⎛⎭⎫5x 2-103x 3112=54.[答案] 54变式练习1.由曲线y =x 2,y =x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712解析:选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2,y =x 3,得x =0或x =1,由图易知封闭图形的面积=∫10(x 2-x 3)d x =13-14=112.2.(2012·山东高考)设a >0.若曲线y =x 与直线x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a =________.解析:由题意∫a 0x d x =a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′=x ,即23x 32 |a 0=a 2,即23a 32=a 2.所以a =49.答案:49 五、课后作业 巩固提高1.∫e 11+ln xxd x =( ) A .ln x +12ln 2x B.2e -1 C.32 D.12解析:选C∫e 11+ln xxd x =⎝⎛⎭⎫ln x +ln 2x 2e1=32. 2.(2012·湖北高考)已知二次函数y =f (x )的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2 解析:选B 由题中图象易知f (x )=-x 2+1,则所求面积为2∫10(-x 2+1)d x =2⎝⎛⎭⎫-x 33+x 1=43.3.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2, x ∈[0,1],2-x , x ∈(1,2],则∫20f (x )d x =( )A.34B.45C.56 D .不存在 解析:选C 如图.∫20f (x )d x =∫10x 2d x +∫21(2-x )d x =13x 3 |10+⎝⎛⎭⎫2x -12x 2 |21=13+⎝⎛⎭⎫4-2-2+12=56. 4.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度v =40-10t 2,则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403 mD.203m 解析:选A v =40-10t 2=0,t =2,∫20(40-10t 2)d t =⎝⎛⎭⎫40t -103t 3 |20=40×2-103×8=1603 (m). 5.(2013·青岛模拟)由直线x =-π3,x =π3,y =0与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B .1 C.32D. 3解析:选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x =sin x33ππ-=32-⎝⎛⎭⎫-32= 3. 6.设a =∫π0sin x d x ,则曲线y =f (x )=xa x +ax -2在点(1,f (1))处的切线的斜率为________.解析:∵a =∫π0sin x d x =(-cos x ) |π0=2,∴y =x ·2x +2x -2.∴y ′=2x +x ·2x ln 2+2. ∴曲线在点(1,f (1))处的切线的斜率k =y ′|x =1=4+2ln 2.答案:4+2ln 27.在等比数列{a n }中,首项a 1=23,a 4=∫41(1+2x )d x ,则该数列的前5项之和S 5等于________. 解析:a 4=∫41(1+2x )d x =(x +x 2) |41=18,因为数列{a n }是等比数列,故18=23q 3,解得q =3,所以S 5=23(1-35)1-3=2423.答案:24238.(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,则当∫a 0(cos x -sin x )d x 取最大值时,a =________. 解析:∫a 0(cos x -sin x )d x =(sin x +cos x ) |a 0=sin a +cos a -1=2sin ⎝⎛⎭⎫a +π4-1, ∵a ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴当a =π4时,2sin ⎝⎛⎭⎫a +π4-1取最大值.答案:π4 9.计算下列定积分:(1)20π⎰sin 2x d x ;(2)∫32⎝⎛⎭⎫x +1x 2d x ; (3)120⎰e 2x d x .解:(1)20π⎰sin 2x d x =20π⎰1-cos 2x 2d x =⎝⎛⎭⎫12x -14sin 2x 20π=⎝⎛⎭⎫π4-14sin π-0=π4. (2)∫32⎝⎛⎭⎫x +1x 2d x =∫32⎝⎛⎭⎫x +1x +2d x =⎝⎛⎭⎫12x 2+2x +ln x |32=⎝⎛⎭⎫92+6+ln 3-(2+4+ln 2) =92+ln 3-ln 2=92+ln 32. (3)120⎰e 2xd x =12e 2x120=12e -12. 10.如图所示,直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值. 解:抛物线y =x -x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1=0,x 2=1,所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S =∫10(x -x 2)d x =⎝⎛⎭⎫x 22-13x 3 |10=16.又⎩⎪⎨⎪⎧y =x -x 2,y =kx ,由此可得,抛物线y =x -x 2与y =kx 两交点的横坐标为x 3=0,x 4=1-k ,所以,S 2=∫1-k 0(x -x 2-kx )d x =⎝⎛⎭⎫1-k 2x 2-13x 3 |1-k 0=16(1-k )3.又知S =16,所以(1-k )3=12,于是k =1- 312=1-342.11.如图,设点P 从原点沿曲线y =x 2向点A (2,4)移动,直线OP 与曲线y =x 2围成图形的面积为S 1,直线OP 与曲线y =x 2及直线x =2围成图形的面积为S 2,若S 1=S 2,求点P 的坐标.解:设直线OP 的方程为y =kx ,点P 的坐标为(x ,y ),则∫x 0(kx -x 2)d x =∫2x (x 2-kx )d x ,即⎝⎛⎭⎫12kx 2-13x 3 |x 0=⎝⎛⎭⎫13x 3-12kx 2 |2x,解得12kx 2-13x 3=83-2k -⎝⎛⎭⎫13x 3-12kx 2,解得k =43,即直线OP 的方程为y =43x ,所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43,169. 12.求曲线y =x ,y =2-x ,y =-13x 所围成图形的面积.解:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =2-x ,得交点A (1,1);由⎩⎪⎨⎪⎧y =2-x ,y =-13x ,得交点B (3,-1).故所求面积S =∫10⎝⎛⎭⎫x +13x d x +∫31⎝⎛⎭⎫2-x +13x d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32+16x 2 |10+⎝⎛⎭⎫2x -13x 2 |31=23+16+43=136.。

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第十三讲定积分及其简单应用教学目标:1、了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2、了解微积分基本定理的含义.一、知识回顾课前热身知识点1、定积分(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中,a,b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)d x叫做被积式.(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分).②一般情况下,定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.(3)定积分的基本性质①∫b a kf(x)d x=k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x=∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.③∫b a f(x)d x=∫c a f(x)d x+∫b c f(x)d x.(4).定积分∫b a[f(x)-g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么?提示:由直线x=a,x=b和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的曲边梯形的面积.知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么∫b a f(x)d x=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式.为了方便,常把F(b)-F(a)记成F(x)|b a,即∫b a f(x)d x=F(x)|b a=F(b)-F(a).基础练习1.∫421x d x等于()A.2ln 2 B.-2ln 2 C.-ln 2 D.ln 2解析:选D∫421x d x=ln x|42=ln 4-ln 2=ln 2.2.一质点运动时速度和时间的关系为V(t)=t2-t+2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移为()A.176B.143C.136D.116解析:选A S =∫21(t 2-t +2)d t =⎝⎛⎪⎪⎭⎫13t 3-12t 2+2t 21=176.3.直线x =0,x =2,y =0与曲线y =x 2所围成的曲边梯形的面积为________.解析:∫20x 2d x =13x 3 |20=83. 答案:834.∫101-x 2d x =________.解析:由定积分的几何意义可知,∫101-x 2d x 表示单位圆x 2+y 2=1在第一象限内部分的面积,所以∫101-x 2d x =14π. 答案:14π 二、例题辨析 推陈出新例1、利用微积分基本定理求下列定积分:(1)∫21(x 2+2x +1)d x ; (2)∫π0(sin x -cos x )d x ; (3)∫20x (x +1)d x ;(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x+1x d x ; (5)20π⎰sin 2x 2d x .[解答] (1)∫21(x 2+2x +1)d x =∫21x 2d x +∫212x d x +∫211d x =x 33 |21+x 2 |21+x |21=193. (2)∫π0(sin x -cos x )d x =∫π0sin x d x -∫π0cos x d x =(-cos x ) |π0-sin x |π0=2.(3)∫20x (x +1)d x =∫20(x 2+x )d x =∫20x 2d x +∫20x d x =13x 3 |20+12x 2 |20=⎝⎛⎭⎫13×23-0+⎝⎛⎭⎫12×22-0=143. (4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x +1x d x =∫21e 2x d x +∫211x d x =12e 2x |21+ln x |21=12e 4-12e 2+ln 2-ln 1=12e 4-12e 2+ln 2. (5)20π⎰sin 2x 2d x =20π⎰⎝⎛⎭⎫12-12cos x d x =20π⎰12d x -1220π⎰cos x d x =12x20π-12sin x 20π=π4-12=π-24.变式练习1.求下列定积分: (1)∫20|x -1|d x ;(2)20π⎰1-sin 2x d x .解:(1)|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧1-x , x ∈[0,1)x -1, x ∈[1,2]故∫20|x -1|d x =∫10(1-x )d x +∫21(x -1)d x=⎝⎛⎭⎫x -x 22 |10+⎝⎛⎭⎫x 22-x |21=12+12=1.(2)20π⎰1-sin 2x d x =20π⎰|sin x -cos x |d x =40π⎰(cos x -sin x )d x +24ππ⎰(sin x -cos x )d x=(sin x +cos x )40π+(-cos x -sin x ) 24ππ=2-1+(-1+2)=22-2.例2、 ∫10-x 2+2x d x =________.[解答] ∫10-x 2+2x d x 表示y =-x 2+2x 与x =0,x =1及y =0所围成的图形的面积.由y =-x 2+2x 得(x -1)2+y 2=1(y ≥0),又∵0≤x ≤1,∴y =-x 2+2x 与x =0,x =1及y =0所围成的图形为14个圆,其面积为π4.∴∫10-x 2+2x d x =π4.在本例中,改变积分上限,求∫20-x 2+2x d x 的值.解:∫20-x 2+2x d x 表示圆(x -1)2+y 2=1在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,所以∫20-x 2+2x d x =π2.变式练习2.(2013·福建模拟)已知函数f (x )=∫x 0(cos t -sin t )d t (x >0),则f (x )的最大值为________.解析:因为f (x )=∫x 02sin ⎝⎛⎭⎫π4-t d t =2cos ⎝⎛⎭⎫π4-t |x 0=2cos ⎝⎛⎭⎫π4-x -2cos π4=sin x +cos x -1= 2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4-1≤2-1,当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1时,等号成立.答案:2-1 三、归纳总结方法在握归纳1、利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分.(2)利用定积分的几何意义,可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小.归纳2、求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分,解题的步骤是:(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差;(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分;(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数;(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值;(5)计算原始定积分的值.归纳3、利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图.(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限.(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差.(4)计算定积分,写出答案.四、拓展延伸 能力升华利用定积分求平面图形的面积例1、 (2012·山东高考)由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B .4 C.163D .6 [解答] 由y =x 及y =x -2可得,x =4,即两曲线交于点(4,2).由定积分的几何意义可知,由y =x 及y =x -2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x -x +2)d x =⎝⎛⎭⎫23x 32-12x 2+2x |40=163. [答案] C若将“y =x -2”改为“y =-x +2”,将“y 轴”改为“x 轴”,如何求解?解:如图所示,由y =x 及y =-x +2可得x =1.由定积分的几何意义可知,由y =x ,y =-x +2及x轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x =∫1x d x +∫21(-x +2)d x =23x32 |10+⎝⎛⎭⎫2x -x 22 |21=76.变式练习3.(2013·郑州模拟)如图,曲线y =x 2和直线x =0,x =1,y =14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14解析:选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y =14,y =x 2⇒x =12或x =-12(舍),所以阴影部分面积S =120⎰⎝⎛⎭⎫14-x 2d x +112⎰⎝⎛⎭⎫x 2-14d x =⎝⎛⎭⎫14x -13x 3120+⎝⎛⎭⎫13x 3-14x 112=14.定积分在物理中的应用例2、列车以72 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度a =-0.4 m/s 2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远处开始制动?[解答] a =-0.4 m/s 2,v 0=72 km/h =20 m/s.设t s 后的速度为v ,则v =20-0.4t .令v =0,即20-0.4 t =0得t =50 (s).设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ,则s =∫500v d t =∫500(20-0.4t )d t =(20t -0.2t 2) |500=20×50-0.2×502=500(m),即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动.变式练习4.一物体在力F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x +4 (x >2)(单位:N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米,力F (x )做功为( )A .44 JB .46 JC .48 JD .50 J解析:选B 力F (x )做功为∫2010d x +∫42(3x +4)d x =10x |20+⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2+4x 42=20+26=46.例3、(2012·上海高考)已知函数y =f (x )的图象是折线段ABC ,其中A (0,0),B ⎝⎛⎭⎫12,5,C (1,0).函数y =xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________. [解析] 由题意可得f (x )=⎩⎨⎧10x ,0≤x ≤12,10-10x ,12<x ≤1,所以y =xf (x )=⎩⎨⎧10x 2,0≤x ≤12,10x -10x 2,12<x ≤1,与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x +112⎰(10x -10x 2)d x =103x 3120+⎝⎛⎭⎫5x 2-103x 3112=54.[答案] 54变式练习1.由曲线y =x 2,y =x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712解析:选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2,y =x 3,得x =0或x =1,由图易知封闭图形的面积=∫10(x 2-x 3)d x =13-14=112.2.(2012·山东高考)设a >0.若曲线y =x 与直线x =a ,y =0所围成封闭图形的面积为a 2,则a =________.解析:由题意∫a 0x d x =a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′=x ,即23x 32 |a 0=a 2,即23a 32=a 2.所以a =49.答案:49 五、课后作业 巩固提高1.∫e 11+ln xxd x =( ) A .ln x +12ln 2x B.2e -1 C.32 D.12解析:选C∫e 11+ln xxd x =⎝⎛⎭⎫ln x +ln 2x 2e1=32. 2.(2012·湖北高考)已知二次函数y =f (x )的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2 解析:选B 由题中图象易知f (x )=-x 2+1,则所求面积为2∫10(-x 2+1)d x =2⎝⎛⎭⎫-x 33+x 1=43.3.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2, x ∈[0,1],2-x , x ∈(1,2],则∫20f (x )d x =( )A.34B.45C.56 D .不存在 解析:选C 如图.∫20f (x )d x =∫10x 2d x +∫21(2-x )d x =13x 3 |10+⎝⎛⎭⎫2x -12x 2 |21=13+⎝⎛⎭⎫4-2-2+12=56. 4.以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体,t 秒时刻的速度v =40-10t 2,则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 mB.803 mC.403 mD.203m 解析:选A v =40-10t 2=0,t =2,∫20(40-10t 2)d t =⎝⎛⎭⎫40t -103t 3 |20=40×2-103×8=1603 (m). 5.(2013·青岛模拟)由直线x =-π3,x =π3,y =0与曲线y =cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B .1 C.32 D.3 解析:选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x =sin x33ππ-=32-⎝⎛⎭⎫-32= 3. 6.设a =∫π0sin x d x ,则曲线y =f (x )=xa x +ax -2在点(1,f (1))处的切线的斜率为________.解析:∵a =∫π0sin x d x =(-cos x ) |π0=2,∴y =x ·2x +2x -2.∴y ′=2x +x ·2x ln 2+2. ∴曲线在点(1,f (1))处的切线的斜率k =y ′|x =1=4+2ln 2.答案:4+2ln 27.在等比数列{a n }中,首项a 1=23,a 4=∫41(1+2x )d x ,则该数列的前5项之和S 5等于________. 解析:a 4=∫41(1+2x )d x =(x +x 2) |41=18,因为数列{a n }是等比数列,故18=23q 3,解得q =3,所以S 5=23(1-35)1-3=2423.答案:24238.(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,则当∫a 0(cos x -sin x )d x 取最大值时,a =________. 解析:∫a 0(cos x -sin x )d x =(sin x +cos x ) |a 0=sin a +cos a -1=2sin ⎝⎛⎭⎫a +π4-1, ∵a ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴当a =π4时,2sin ⎝⎛⎭⎫a +π4-1取最大值.答案:π4 9.计算下列定积分:(1)20π⎰sin 2x d x ;(2)∫32⎝⎛⎭⎫x +1x 2d x ; (3)120⎰e 2x d x .解:(1)20π⎰sin 2x d x =20π⎰1-cos 2x 2d x =⎝⎛⎭⎫12x -14sin 2x 20π=⎝⎛⎭⎫π4-14sin π-0=π4. (2)∫32⎝⎛⎭⎫x +1x 2d x =∫32⎝⎛⎭⎫x +1x +2d x =⎝⎛⎭⎫12x 2+2x +ln x |32=⎝⎛⎭⎫92+6+ln 3-(2+4+ln 2) =92+ln 3-ln 2=92+ln 32. (3)120⎰e 2x d x =12e 2x120=12e -12. 10.如图所示,直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分,求k 的值. 解:抛物线y =x -x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1=0,x 2=1,所以,抛物线与x 轴所围图形的面积S =∫10(x -x 2)d x =⎝⎛⎭⎫x 22-13x 3 |10=16.又⎩⎪⎨⎪⎧y =x -x 2,y =kx , 由此可得,抛物线y =x -x 2与y =kx 两交点的横坐标为x 3=0,x 4=1-k ,所以,S 2=∫1-k 0(x -x 2-kx )d x =⎝⎛⎭⎫1-k 2x 2-13x 3 |1-k 0=16(1-k )3.又知S =16,所以(1-k )3=12,于是k =1- 312=1-342.11.如图,设点P 从原点沿曲线y =x 2向点A (2,4)移动,直线OP 与曲线y =x 2围成图形的面积为S 1,直线OP 与曲线y =x 2及直线x =2围成图形的面积为S 2,若S 1=S 2,求点P 的坐标.解:设直线OP 的方程为y =kx ,点P 的坐标为(x ,y ),则∫x 0(kx -x 2)d x =∫2x (x 2-kx )d x ,即⎝⎛⎭⎫12kx 2-13x 3 |x0=⎝⎛⎭⎫13x 3-12kx 2 |2x,解得12kx 2-13x 3=83-2k -⎝⎛⎭⎫13x 3-12kx 2, 解得k =43,即直线OP 的方程为y =43x ,所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43,169. 12.求曲线y =x ,y =2-x ,y =-13x 所围成图形的面积.解:由⎩⎪⎨⎪⎧y =x ,y =2-x ,得交点A (1,1);由⎩⎪⎨⎪⎧y =2-x ,y =-13x ,得交点B (3,-1).故所求面积S =∫10⎝⎛⎭⎫x +13x d x +∫31⎝⎛⎭⎫2-x +13x d x =⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32+16x 2 |10+⎝⎛⎭⎫2x -13x 2 |31=23+16+43=136.。

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