高考平面向量与解三角形交汇试题赏析

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高考数学复习点拨向量与三角交汇的全面解析新人教A版

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（ 1） a·b及 a b ；
（ 2）若 f (x) a·b 2 a b 的最小值是
3 ，求的值．
2
解析：（ 1） a·b
3x x cos ·cos
3x x sin ·sin
cos2 x ；
22
22
ab
2
3x
x
cos cos
2
2
2
3x
x
sin sin
2
2
2 2cos2 x 2 cos2 x ．
② 当 0 ≤ ≤ 1 时，当且仅当 cosx
时， f (x) 取得最小值
12Βιβλιοθήκη 2，由已知 ③当
2
12
3 ，解得 2
1时，当且仅当 cosx
1． 2 1时， f (x) 取得最小值 1 4 ，
由已知得 1 4
3 ，解得 2
5 ，这与 8
1 相矛盾．
综上所述，
1 即为所求．
2
点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类讨论
向量与三角交汇的全面解析
当今数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性．向量是高中新增内容，
具有代数与几何形式的双重身份．它是新旧知识的一个重要的交汇点，是联系这些知识的桥
梁．因此，向量与三角的交汇是当今数学命题的必然趋势，下面举例说明．
一、向量与三角函数性质的交汇
例 1 已知向量 a cos 3x，sin 3x ， b cos x， sin x ，且 x 0，π ，求：
4cos AcosB 4sin AsinB 5cosAcosB 5sin AsinB ，即 9sin A·sin B cosAcosB 0 ．

专题一三角与向量的交汇题型分析及解题策略

专题一三角与向量的交汇题型分析及解题策略On January 11, 2021, study hard and make progress every day.专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略命题趋向三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型,在高考中,主要出现在解答题的第一个试题位置上,其难度中等偏下,分值一般为12分,交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇,在高考中是一个热点.如08年安徽理科第5题5分,考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文第8题理第15题5分考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题12分考查三角函数的求值与向量积、07的天津文理第15题4分考查正余弦定理与向量数量积等.根据2009年考纲预计在09年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线平行与垂直的充要条件条件．主要考查题型：1考查纯三角函数函数知识,即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式,再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；2考查三角函数与向量的交汇,一般是先利用向量知识建立三角函数关系式,再利用三角函数知识求解；3考查三角函数知识与解三角形的交汇,也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.考试要求1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asinωx+φ的简图,理解A,ω,φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用．掌握平移公式．考点透视向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”,即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算,又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数,函数值体现为实数,因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题,其形式多样,解法灵活,极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像,特别是y=Asinx+的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念,向量的加减运算及几何意义,此类题一般难度不大,主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标表示,向量的线性运算,并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律包括坐标形式及非坐标形式,两向量平行与垂直的充要条件等问题.6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.典例分析题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同,但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：1平移的方向；2平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.例1把函数y＝sin2x的图象按向量错误!＝－错误!,－3平移后,得到函数y＝Asinωx＋A＞0,ω＞0,||＝错误!的图象,则和B的值依次为A．错误!,－3 B．错误!,3 C．错误!,－3 D．－错误!,3分析根据向量的坐标确定平行公式为错误!错误!,再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程,由此确定平移后的函数解析式,经对照即可作出选择.解析1由平移向量知向量平移公式错误!错误!,即错误!错误!,代入y＝sin2x得y＋3＝sin2x＋错误!,即到y＝sin2x＋错误!－3,由此知＝错误!,B＝－3,故选C.解析2由向量错误!＝－错误!,－3,知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体向左平移错误!个单位,再向下平移3个单位,由此可得函数的图象为y＝sin2x＋错误!－3,即y＝sin2x＋错误!－3,由此知＝错误!,B＝－3,故选C.点评此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起,主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力,同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键,也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二三角函数与平面向量平行共线的综合此题型的解答一般是从向量平行共线条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强,有利于考查学生的基础掌握情况,因此在高考中常有考查.例2已知A、B、C为三个锐角,且A＋B＋C＝π.若向量错误!＝2－2sinA,cosA＋sinA与向量错误!＝cosA－sinA,1＋sinA是共线向量.Ⅰ求角A；Ⅱ求函数y＝2sin2B＋cos错误!的最大值.分析首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得A角的正弦值,再根据角的范围即可解决第Ⅰ小题；而第Ⅱ小题根据第Ⅰ小题的结果及A、B、C三个角的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式,再根据B的范围求最值.解Ⅰ∵错误!、错误!共线,∴2－2sinA1＋sinA＝cosA＋sinAcosA－sinA,则sin2A＝错误!,又A为锐角,所以sinA＝错误!,则A＝错误!.Ⅱy＝2sin2B＋cos错误!＝2sin2B＋cos错误!＝2sin2B＋cos错误!－2B＝1－cos2B＋错误!cos2B＋错误!sin2B＝错误!sin2B－错误!cos2B＋1＝sin2B－错误!＋1.∵B∈0,错误!,∴2B－错误!∈－错误!,错误!,∴2B－错误!＝错误!,解得B＝错误!,y max ＝2.点评本题主要考查向量共线平行的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：1利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；2根据条件确定B角的范围.一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.例3已知向量错误!＝3sinα,cosα,错误!＝2sinα,5sinα－4cosα,α∈错误!,2π,且错误!⊥错误!．Ⅰ求tanα的值；Ⅱ求cos错误!＋错误!的值．分析第Ⅰ小题从向量垂直条件入手,建立关于α的三角方程,再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第Ⅱ小题根据所求得的tanα的结果,利用二倍角公式求得tan错误!的值,再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．解Ⅰ∵错误!⊥错误!,∴错误!·错误!＝0．而错误!＝3sinα,cosα,错误!＝2sinα, 5sinα－4cosα,故错误!·错误!＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0,∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之,得tanα＝－错误!,或tanα＝错误!．∵α∈错误!,2π,tanα＜0,故tanα＝错误!舍去．∴tanα＝－错误!．Ⅱ∵α∈错误!,2π,∴错误!∈错误!,π．由tanα＝－错误!,求得tan错误!＝－错误!,tan错误!＝2舍去．∴sin错误!＝错误!,cos 错误!＝－错误!,∴cos错误!＋错误!＝cos错误!cos错误!－sin错误!sin错误!＝－错误!×错误!－错误!×错误!＝－错误!点评本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定,再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第Ⅰ小题的解答中用到“弦化切”的思想方法,这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|错误!|2＝错误!2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：1先进行向量运算,再代入向量的坐标进行求解；2先将向量的坐标代入向量的坐标,再利用向量的坐标运算进行求解.例3已知向量错误!＝cosα,sinα,错误!＝cosβ,sinβ,|错误!－错误!|＝错误!错误!.Ⅰ求cosα－β的值；Ⅱ若－错误!＜β＜0＜α＜错误!,且sinβ＝－错误!,求sinα的值.分析利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第Ⅰ小题；而第Ⅱ小题则可变角α＝α－β＋β,然后就须求sinα－β与cosβ即可.解Ⅰ∵|错误!－错误!|＝错误!错误!,∴错误!2－2错误!·错误!＋错误!2＝错误!,将向量错误!＝cosα,sinα,错误!＝cosβ,sinβ代入上式得12－2cosαcosβ＋sinαsinβ＋12＝错误!,∴cosα－β＝－错误!.Ⅱ∵－错误!＜β＜0＜α＜错误!,∴0＜α－β＜π,由cosα－β＝－错误!,得sinα－β＝错误!,又sinβ＝－错误!,∴cosβ＝错误!,∴sinα＝sinα－β＋β＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ＝错误!.点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：1化|错误!－错误!|为向量运算|错误!－错误!|2＝错误!－错误!2；2注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：1三角函数与向量的积直接联系；2利用三角函数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化,再利用三角函数知识求解.例5设函数fx＝错误!·错误!.其中向量错误!＝m,cosx,错误!＝1＋sinx,1,x∈R,且f错误!＝2.Ⅰ求实数m的值；Ⅱ求函数fx的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式,将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”,从而,建立函数fx关系式,第Ⅰ小题直接利用条件f错误!＝2可以求得,而第Ⅱ小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：Ⅰfx＝错误!·错误!＝m1＋sinx＋cosx,由f错误!＝2,得m1＋sin错误!＋cos错误!＝2,解得m＝1.Ⅱ由Ⅰ得fx＝sinx＋cosx＋1＝错误!sinx＋错误!＋1,当sinx＋错误!＝－1时,fx的最小值为1－错误!.点评：平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,其解法都差不多,首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”,再利用三角函数的相关知识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的,说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标,要求根据向量的关系解答相关的问题.例6已知角A、B、C为△ABC的三个内角,其对边分别为a、b、c,若错误!＝－cos错误!,sin错误!,错误!＝cos错误!,sin错误!,a＝2错误!,且错误!·错误!＝错误!．Ⅰ若△ABC的面积S＝错误!,求b＋c的值．Ⅱ求b＋c的取值范围．分析第Ⅰ小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程,再利用二倍角公式求得A角,然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c的方程组求取b＋c的值；第Ⅱ小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式,进而求得b＋c的范围.解Ⅰ∵错误!＝－cos错误!,sin错误!,错误!＝cos错误!,sin错误!,且错误!·错误!＝错误!,∴－cos2错误!＋sin2错误!＝错误!,即－cosA＝错误!,又A∈0,π,∴A＝错误!.又由S△ABC＝错误!bcsinA＝错误!,所以bc＝4,由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos错误!＝b2＋c2＋bc,∴16＝b＋c2,故b＋c＝4.Ⅱ由正弦定理得：错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝4,又B＋C＝－A＝错误!,∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin错误!－B＝4sinB＋错误!,∵0＜B＜错误!,则错误!＜B＋错误!＜错误!,则错误!＜sinB＋错误!≤1,即b＋c的取值范围是2错误!,4.点评本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第Ⅰ小题中求b＋c没有利用分别求出b、c的值为解,而是利用整体的思想,使问题得到简捷的解答；2第Ⅱ小题的求解中特别要注意确定角B的范围.专题训练一、选择题1．已知错误!＝cos40,sin40,错误!＝cos20,sin20,则错误!·错误!＝A．1 B．错误!C．错误!D．错误!2．将函数y＝2sin2x－错误!的图象按向量错误!,错误!平移后得到图象对应的解析式是A．2cos2x B．－2cos2x C．2sin2x D．－2sin2x3．已知△ABC中,错误!＝错误!,错误!＝错误!,若错误!·错误!＜0,则△ABC是A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形4．设错误!＝错误!,sin,错误!＝cos,错误!,且错误!∥错误!,则锐角为A．30 B．45 C．60 D．755．已知错误!＝sinθ,错误!,错误!＝1,错误!,其中θ∈π,错误!,则一定有A．错误!∥错误!B．错误!⊥错误!C．错误!与错误!夹角为45°D．|错误!|＝|错误!| 6．已知向量错误!＝6,－4,错误!＝0,2,错误!＝错误!＋错误!,若C点在函数y＝sin错误!x 的图象上,实数＝A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!7．由向量把函数y＝sinx＋错误!的图象按向量错误!＝m,0m＞0平移所得的图象关于y 轴对称,则m的最小值为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!8．设0≤θ≤2π时,已知两个向量错误!＝cosθ,sinθ,错误!＝2＋sinθ,2－cosθ,则向量错误!长度的最大值是A．错误!B．错误!C．3错误!D．2错误!9．若向量错误!＝cos,sin,错误!＝cos,sin,则错误!与错误!一定满足A．错误!与错误!的夹角等于－B．错误!⊥错误!C．错误!∥错误!D．错误!＋错误!⊥错误!－错误!10．已知向量错误!＝cos25,sin25,错误!＝sin20,cos20,若t是实数,且错误!＝错误!＋t错误!,则|错误!|的最小值为A．错误!B．1 C．错误!D．错误!11．O是平面上一定点,A、B、C是该平面上不共线的3个点,一动点P满足：错误!＝错误!＋错误!＋错误!,∈0,＋∞,则直线AP一定通过△ABC的A．外心B．内心C．重心D．垂心12．对于非零向量错误!我们可以用它与直角坐标轴的夹角,0≤≤,0≤≤来表示它的方向,称,为非零向量错误!的方向角,称cos,cos为向量错误!的方向余弦,则cos2＋cos2＝A．1 B．错误!C．错误!D．0二、填空题13．已知向量错误!＝sin,2cos,错误!＝错误!,－错误!.若错误!∥错误!,则sin2的值为____________．14．已知在△OABO为原点中,错误!＝2cos,2sin,错误!＝5cos,5sin,若错误!·错误!＝－5,则S△AOB的值为_____________.15．将函数fx＝tan2x＋错误!＋1按向量a平移得到奇函数g x,要使|a|最小,则a＝____________.16．已知向量错误!＝1,1向量错误!与向量错误!夹角为错误!,且错误!·错误!＝－1.则向量错误!＝__________．三、解答题17．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若错误!·错误!＝错误!·错误!＝kk∈R.Ⅰ判断△ABC的形状；Ⅱ若c＝错误!,求k的值．18．已知向量错误!＝sinA,cosA,错误!＝错误!,－1,错误!·错误!＝1,且A为锐角.Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ求函数fx＝cos2x＋4cosAsinxx∈R的值域．19．在△ABC中,A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知向量错误!＝1,2sinA,错误!＝sinA,1＋cosA,满足错误!∥错误!,b＋c＝错误!a.Ⅰ求A的大小；Ⅱ求sinB＋错误!的值．20．已知A、B、C的坐标分别为A4,0,B0,4,C3cosα,3sinα.Ⅰ若α∈－π,0,且|错误!|＝|错误!|,求角α的大小；Ⅱ若错误!⊥错误!,求错误!的值．21．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,错误!＝2b－c,a,错误!＝cosA,－cosC,且错误!⊥错误!．Ⅰ求角A的大小；Ⅱ当y＝2sin2B＋sin2B＋错误!取最大值时,求角B的大小.22．已知错误!＝cosx＋sinx,sinx,错误!＝cosx－sinx,2cosx,Ⅰ求证：向量错误!与向量错误!不可能平行；Ⅱ若fx＝错误!·错误!,且x∈－错误!,错误!时,求函数fx的最大值及最小值．专题训练参考答案一、选择题1．B解析：由数量积的坐标表示知错误!·错误!＝cos40sin20＋sin40cos20＝sin60＝错误!.2．D 解析y＝2sin2x－错误!→y＝2sin2x＋错误!－错误!＋错误!,即y＝－2sin2x.3．A 解析因为cos∠BAC＝错误!＝错误!＜0,∴∠BAC为钝角.4．B 解析由平行的充要条件得错误!×错误!－sincos＝0,sin2＝1,2＝90,＝45.5．B 解析错误!·错误!＝sinθ＋|sinθ|,∵θ∈π,错误!,∴|sinθ|＝－sinθ,∴错误!·错误!＝0,∴错误!⊥错误!．6．A 解析错误!＝错误!＋错误!＝6,－4＋2,代入y＝sin错误!x得,－4＋2＝sin错误!＝1,解得＝错误!.7．B 解析考虑把函数y＝sinx＋错误!的图象变换为y＝cosx的图象,而y＝sinx＋错误!＝cosx＋错误!,即把y＝cosx＋错误!的图象变换为y＝cosx的图象,只须向右平行错误!个单位,所以m＝错误!,故选B.8．C 解析|错误!|＝错误!＝错误!≤3错误!.9．D 解析错误!＋错误!＝cos＋cos,sin＋sin,错误!－错误!＝cos＋cos,sin－sin,∴错误!＋错误!·错误!－错误!＝cos2－cos2＋sin2－sin2＝0,∴错误!＋错误!⊥错误!－错误!．10．C 解析|错误!|2＝|错误!|2＋t2|错误!|2＋2t错误!·错误!＝1＋t2＋2tsin20cos25＋cos20sin25＝t2＋错误!t＋1＝t＋错误!2＋错误!,|错误!|错误!＝错误!,∴|错误!|min＝错误!.11．C 解析设BC的中点为D,则错误!＋错误!＝2错误!,又由错误!＝错误!＋错误!＋错误!,错误!＝2错误!,所以错误!与错误!共线,即有直线AP与直线AD重合,即直线AP一定通过△ABC的重心．12．A 解析设错误!＝x,y,x轴、y轴、z轴方向的单位向量分别为错误!＝1,0,错误!＝0,1,由向量知识得cos＝错误!＝错误!,cos＝错误!＝错误!,则cos2＋cos2＝1.二、填空题13．－错误!解析由错误!∥错误!,得－错误!sin＝2错误!cos,∴tan＝－4错误!,∴sin2＝错误!＝错误!＝－错误!．14．错误! 解析错误!·错误!＝－510coscos＋10sinsin＝－510cos－＝－5cos－＝－错误!,∴sin∠AOB＝错误!,又|错误!|＝2,|错误!|＝5,∴S△AOB＝错误!×2×5×错误!＝错误!．15．错误!,－1 解析要经过平移得到奇函数gx,应将函数fx＝tan2x＋错误!＋1的图象向下平移1个单位,再向右平移－错误!＋错误!k∈Z个单位．即应按照向量错误!＝－错误!＋错误!,－1 k∈Z进行平移．要使|a|最小,16．－1,0或0,－1 解析设错误!＝x,y,由错误!·错误!＝－1,有x＋y＝－1 ①,由错误!与错误!夹角为错误!,有错误!·错误!＝|错误!|·|错误!|cos 错误!,∴|错误!|＝1,则x2＋y2＝1 ②,由①②解得错误!错误!或错误!错误!∴即错误!＝－1,0或错误!＝0,－1 ．三、解答题17．解Ⅰ∵错误!·错误!＝bccosA,错误!·错误!＝cacosB,又错误!·错误!＝错误!·错误!,∴bccosA＝cacosB,∴由正弦定理,得sinBcosA＝sinAcosB,即sinAcosB－sinBcosA＝0,∴sinA－B＝0∵－π＜A－B＜π,∴A－B＝0,即A＝B,∴△ABC为等腰三角形.Ⅱ由Ⅰ知ba ,∴错误!·错误!＝bccosA＝bc·错误!＝错误!,∵c＝错误!,∴k＝1.18．解Ⅰ由题意得错误!·错误!＝错误!sinA－cosA＝1,2sinA－错误!＝1,sinA－错误!＝错误!,由A为锐角得A－错误!＝错误!,A＝错误!.Ⅱ由Ⅰ知cosA＝错误!,所以fx＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2sinx－错误!2＋错误!,因为x∈R,所以sinx∈－1,1,因此,当sinx＝错误!时,fx有最大值错误!．当sinx＝－1时,fx有最小值－3,所以所求函数fx的值域是－3,错误!．19．解Ⅰ由错误!∥错误!,得2sin2A－1－cosA＝0,即2cos2A＋cosA－1＝0,∴cosA＝错误!或cosA＝－1.∵A是△ABC内角,cosA＝－1舍去,∴A＝错误!.Ⅱ∵b＋c＝错误!a,由正弦定理,sinB＋sinC＝错误!sinA＝错误!,∵B＋C＝错误!,sinB＋sin错误!－B＝错误!,∴错误!cosB＋错误!sinB＝错误!,即sinB＋错误!＝错误!．20．解Ⅰ由已知得：错误!＝错误!,则sinα＝cosα,因为α∈－π,0,∴α＝－错误!.Ⅱ由3cosα－4·3cosα＋3sinα·3sinα－4＝0,得sinα＋cosα＝错误!,平方,得sin2α＝－错误!.而错误!＝错误!＝2sinαcosα＝sin2α＝－错误!．21．解Ⅰ由错误!⊥错误!,得错误!·错误!＝0,从而2b－ccosA－acosC＝0,由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0∴2sinBcosA－sinA＋C＝0,2sinBcosA－sinB＝0,∵A、B∈0,π,∴sinB≠0,cosA＝错误!,故A＝错误!.Ⅱy＝2sin2B＋2sin2B＋错误!＝1－cos2B＋sin2Bcos错误!＋cos2Bsin错误!＝1＋错误!sin2B－错误! cos2B＝1＋sin2B－错误!.由Ⅰ得,0＜B＜错误!,－错误!＜2B－错误!＜错误!,∴当2B－错误!＝错误!,即B＝错误!时,y取最大值2.22．解Ⅰ假设错误!∥错误!,则2cosxcosx＋sinx－sinxcosx－sinx＝0,∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0,2·错误!＋错误!sin2x＋错误!＝0,即sin2x＋cos2x＝－3,∴错误!sin2x＋错误!＝－3,与|错误!sin2x＋错误!|≤错误!矛盾,故向量错误!与向量错误!不可能平行．Ⅱ∵fx＝错误!·错误!＝cosx＋sinx·cosx－sinx＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝错误!错误!cos2x＋错误!sin2x＝错误!sin2x＋错误!,∵－错误!≤x≤错误!,∴－错误!≤2x＋错误!≤错误!,∴当2x＋错误!＝错误!,即x＝错误!时,fx有最大值错误!；当2x＋错误!＝－错误!,即x＝－错误!时,fx有最小值－1．。

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知，向量与垂直，则实数的值为（）A．B．3C．D．【答案】A【解析】因为所以又向量与垂直，所以，，即，解得：故选A．【考点】向量的数量积的应用．2.已知向量＝(5，－3)，＝(－6，4)，则＝( )A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则，＝(5，－3)＋(－6，4)＝(－1，1)，选D【考点】平面向量坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.5.若平面向量满足,垂直于轴，，则____【答案】或【解析】设，所以，因为垂直于轴；所以，解得，或.故答案为或【考点】向量的坐标表示；向量垂直.6.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．7.已知=（3，4），=（2，3），=（5，0），则||•（）=（）A．（12，3）B．（7，3）C．（35，15）D．（6，2）【答案】C【解析】∵=（3，4），=（2，3），=（5，0），∴||=5，+=（7，3），∴||•（）=5（7，3）=（35，15）故选C．8.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．9.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．10.已知平面向量，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】平面向量的坐标运算11.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.12.在复平面内为坐标原点，复数与分别对应向量和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由复数的几何意义知，，，则，所以，故选B.【考点】1.复数的几何意义；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模13.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算14.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线l的斜率为k，得直线l的方向向量为，再设与的夹角分别为θ1、θ2，则,因为与在直线上的射影长度相等，所以·=·，即|1+4k|=|-3+k|解之得，k＝,故选C.【考点】1.向量在几何中的应用；2.平面向量的坐标运算；3.直线的斜率．15.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示16.在中，，，，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，而，，解得，，，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积17.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模18.已知正边长等于，点在其外接圆上运动，则的最大值是 .【答案】【解析】可以考虑建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，显然，所以的最大值是.【考点】平面向量综合运算.19.已知向量，，且//，则等于 ( )A．B．2C．D．【答案】A【解析】因为，向量，，且//，所以，，解得，，即，故选A.【考点】平面向量的坐标运算，共线向量，向量的模.20.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算21.已知A（-1,1），B(1，2),C(-2，-1),D(3，4),则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】,,向量在方向上的投影为==.【考点】1、向量的坐标表示；2、向量的投影.22.设平面向量，，则 .【答案】.【解析】，，，.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模的计算23.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且 u//v，则实数x的值是______.【答案】【解析】由，，又，所以，即.【考点】向量的坐标运算.24.已知平面向量，，且，则向量( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先用向量的乘积展开，再代入求的坐标，即.【考点】向量的乘积运算.25.已知向量，下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于，那么可知，故选项B 正确，对于C，由于成立，根据向量的几何意义可知，垂直向量的和向量与差向量长度相等，故D成立，因此选A.【考点】向量的概念和垂直的运用点评：解决的关键是利用向量的数量积以及向量的共线来得到结论，属于基础题。

高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析

高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝．【答案】5【解析】因为(a＋λb)⊥a，所以【考点】向量数量积2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是．【答案】8【解析】设AB中点为M，则.因为圆C：，AB＝2，所以，因此的最大值是8.【考点】直线与圆位置关系3.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴P为AC的中点，∴.【考点】向量的运算.4.已知、是两个单位向量，那么下列结论正确的是（）A．=B．•=0C．•＜1D．2=2【答案】D【解析】A不正确，、的方向不确定．B不正确，当、垂直时，．C不正确，尽管、的长度都是1，但它们的方向不确定，，当两向量的方向相同时，．由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有，从而2=2，故D正确．故选 D．5.设，是平面内两个不共线的向量，=（a﹣1）+，=b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b=2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴==当a=时，取最小值为4故选：B．6.已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为。

【答案】【解析】在上的投影为.【考点】向量的射影问题.7.在△ABC所在的平面上有一点P满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．【答案】【解析】因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的靠近A点的一个三等分点，故.8.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ()．A．(1,2)B．(0,3)C．[1,2]D．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，即令z＝λ＋μ＝＋y.由圆C与直线BD相切可得圆C的半径为.由于直线y＝－＋z与圆C有公共点，所以，解得1≤z≤2.9.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.10.已知点，点，向量，若，则实数的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由已知得，又,所以存在实数，使，即，解得，所以正确答案为C.【考点】平行向量11.已知向量a，若向量与垂直，则的值为（）A．B．7C．D．【答案】A【解析】由已知得，，又这两个向量垂直，所以，解得，所以正确答案为A.【考点】向量的运算与垂直关系12.直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，记，其中为抛物线的顶点.（1）当与平行时，________；（2）给出下列命题：①，不是等边三角形；②且，使得与垂直；③无论点在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是___.【答案】;①②③【解析】由抛物线方程知，焦点，准线为。

高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析

高三数学平面向量的几何运算试题答案及解析1.在平面直角坐标中，的三个顶点A、B、C，下列命题正确的个数是（）（1）平面内点G满足，则G是的重心；（2）平面内点M满足，点M是的内心；（3）平面内点P满足，则点P在边BC的垂线上；A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】对（2），M为的外心，故（2）错.对（3），，所以点P在的平分线上，故（3）错.易得（1）正确，故选B.【考点】三角形与向量.2.如图所示，、、是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于、、三点共线，设，则，由于、、三点共线，且点在圆内，点在圆上，与方向相反，则存在，使得，因此，，所以，选C.【考点】1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示3. [2014·牡丹江模拟]设e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，则实数λ＝()A．－1B．3C．－D．【答案】D【解析】∵a＝e1＋λe2与b＝－e2－e1共线，∴存在实数t，使得b＝ta，即－e2－e1＝t(e1＋λe2)，－ e2－e1＝te1＋tλe2，由题意，e1，e2不共线，∴t＝－1，tλ＝－，即λ＝，故选D.4.在平行四边形中，,,为中点，若，则的长为．【答案】6【解析】根据题意可得：，则，化简得：，解得：．【考点】向量的运算5.若向量=（1，2），=（1，﹣1），则2+与的夹角等于（）A．﹣B．C．D．【答案】C【解析】∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2+=（3，3）=（0，3）则（2+）•（）=9|2|=，||=3∴cosθ==∴θ=故选C6.在△ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点，设＝x，＝y (xy≠0)，则4x＋y的最小值是________．【答案】【解析】因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以＝＝ ( ＋)．又＝，＝，所以＝＋.因为M、E、N三点共线，所以＝1，所以4x＋y＝(4x＋y)7.已知=（2,0），，的夹角为60°，则．【答案】【解析】.【考点】向量的基本运算.8.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.9.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＝（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在方格纸上作出，如下图，则容易看出，故选D.【考点】1.向量的加法运算.10.在中，已知是边上的一点，若，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，即，解得，，故选A.【考点】平面向量的线性表示11.设点为三角形ABC的外心，则．【答案】【解析】出边AB，AC的垂线，利用向量的运算将用表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．解：过O作OS⊥AB，OT⊥AC 垂足分别为S，T 则S，T分别是AB，AC的中点，则=【考点】向量的运算法则点评：本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义．12.的外接圆的圆心为，半径为，且，则向量在上的射影的数量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由题意因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，OA + AB + AC =" 0" 且| OA |="|" AB |，对于 OA + AB + AC =" 0" ⇔ OB =" CA" ，所以可以得到图形为：因为 CA =" OB" ，所以四边形ABOC为平行四边形，又由于| OA |="|" AB |，所以三角形OAB为正三角形且边长为2，所以四边形ABOC为边长为2且角ABO为60°的菱形，所以向量 CA 在 CB 方向上的投影为：| CA |cos＜ CA ， CB ＞=2×cos30°= 故选：A13.设向量，若a//b，则实数t的值是_______.【答案】 9【解析】考查平面向量的坐标运算及共线性质。

专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)

专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化．第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值．【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值．【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ，解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析

高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知m，n，则“a＝2”是“m n”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知m n，故知“a＝2”是“m n”的充分而不必要条件，故选Ｂ．【考点】1．向量平行的条件；2．充要条件．2.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知△ABC的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则点D的坐标为()A．(－，)B．(，－)C．(，)D．(－，－)【答案】C【解析】设点D的坐标为(x，y)，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，∴⊥，又C，B，D三点共线，∴∥.又＝(x－2，y－1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，∴，解方程组得x＝，y＝，∴点D的坐标为(，)．5. [2014·北京东城区综合练习]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝()A．－2B．2C．－D．【答案】C【解析】由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.6.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.7.（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k= _________．【答案】4【解析】由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OA⊥AB，∴=0，即==（﹣3，1）•（﹣2，k）﹣10=6+k﹣10=0，解得k=4，故答案为 48.（2012•广东）若向量，向量，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）【答案】A【解析】∵向量，向量，∴，∴=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）=（﹣2，﹣4）．故选A．9.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．10.若向量，满足条件，则x=（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】∵，，∴8=（8，8）﹣（2，5）=（6，3）∵∴12+3x=30∴x=6故选A11.在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||<，则||的取值范围是()A．(0，]B．(，]C．(，]D．(，]【答案】D【解析】因为⊥，所以可如图建立直角坐标系，设O(x，y)，||=a，||=b，因为=+，所以P(a，b)因为||=||=1，所以由知，点O在以点（a，0)为圆心，1为半径的圆上，所以同理由得，．所以．又由得，而由可得，，即，所以．综上所述，即．12.已知平面向量，，. 若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，，由于，则，解得，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.共线向量13.已知A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且＝3，＝2，求点M、N及的坐标．【答案】(9，－18)．【解析】∵ A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴＝(1，8)，＝(6，3)，∴＝3＝(3，24)，＝2＝(12，6)．设M(x，y)，则有＝(x＋3，y＋4)，∴ M点的坐标为(0，20)．同理可求得N点的坐标为(9，2)，因此＝(9，－18)．故所求点M、N的坐标分别为(0，20)、(9，2)，的坐标为(9，－18)．14.已知点点是线段的等分点，则等于．【答案】【解析】由题设，，，，……，，…… ， .所以,，，，……，，…… ， ,= = ,=所以答案是:【考点】1、等差数列的前项和；2、向量的坐标运算；3、向量的模.15.在平面直角坐标系中，若点，，，则________．【答案】【解析】.【考点】向量的坐标运算及向量的模.16.在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，点在直线上运动，为坐标原点，为△的重心，则的最小值为__________．【答案】9【解析】把数量积用坐标表示出来，应该能求出其最小值了．设，由点坐标为，因此，所以当时，取得最小值9．【考点】数量积的坐标运算．17.已知向量，则向量的夹角为 .【答案】【解析】，所以，=，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算、数量积、夹角.18.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算19.已知平面向量，，且，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，则，所以，故选A.【考点】平面向量的坐标运算20.在中，，，，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，而，，解得，，，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积21.已知两点，向量，若，则实数的值为( )A．-2B．﹣l C．1D．2【答案】B【解析】由已知得，所以由得，，解得.【考点】向量垂直的坐标表示22.已知向量，，如果向量与垂直，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，由于向量与垂直，所以，故选C.【考点】1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算23.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，由与向量的夹角大于，得，即，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模.24.设，，若，则实数________．【答案】【解析】因为，又，所以，答案，.【考点】平面向量坐标运算、平面向量数量积.25.已知双曲线：，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，则双曲线离心率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，故直线与双曲线相交只能如图所示的情况，即A点在双曲线的左支，B点在右支，设，右焦点，因为，所以，由图可知，，所以故，即，即，选C.【考点】平面向量的坐标运算、双曲线性质、双曲线离心率、不等式的性质.26.平行四边形中，=（1，0），=（2，2），则等于（）A．4B．-4C．2D．-2【答案】A【解析】由,所以.故选A.【考点】1.向量的加减运算；2.向量的数量积27.若，则 .【答案】(3，4)【解析】．【考点】向量的坐标运算.28.若向量，则向量与的夹角的余弦值为 .【答案】【解析】，，两向量的夹角的余弦为.【考点】向量的加、减、数量积运算.29.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且 u//v，则实数x的值是______.【答案】【解析】由，，又，所以，即.【考点】向量的坐标运算.30.在ΔABC中，=600，O为ΔABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且（x,y∈R)，则x+y的取值范围为_____.【答案】[1,2]【解析】如图建立直角坐标系，O为坐标原点，设C（1,0），，，则，，，即，，解得，，又，，.【考点】向量坐标运算、三角函数.31.如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设扇形所在的圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，，则，由题意可得,令，则在不是单调函数，从而在一定有解，即在时有解，可得，即，经检验此时此时正好有极大值点．【考点】1.向量的坐标运算;2.函数的性质.32.如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆的半径为1，以作为坐标原点建立坐标系，则,,，,,,，,因为，所以，所以，，所以.【考点】向量运算点评：本题关键是建立坐标系，求出向量坐标，利用向量相等解题是关键，属中档题.33.若向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是【答案】【解析】因为的夹角为钝角，所以，所以的取值范围是。

高考数学出题人预测专题08 三角形与平面向量结合问题(第一篇)(解析版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题08 三角形与平面向量结合问题【典例1】【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试】在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且有()2cos cos cos sin sin A A C B B C +-=（Ⅰ）求角A ；（Ⅰ）若ABC ∆的内切圆面积为π，当AB AC ⋅u u u v u u u v的值最小时，求ABC ∆的面积．【思路引导】（Ⅰ）利用两角和差余弦公式可将已知等式化简为2cos sin sin sin sin A B C C B =，从而求得1cos 2A =；结合()0,A π∈可求得结果；（Ⅰ）根据内切圆面积可知内切圆半径为1，由内切圆特点及切线长相等的性质可得到b c a +-=入余弦定理中可得到b c +与bc 的关系，利用基本不等式可构造不等式求得12bc ≥，从而得到当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v取得最小值，将12bc =代入三角形面积公式即可求得结果.解：（Ⅰ）()()()2cos cos cos cos cos cos A A C B A B C C B +-=-++-⎡⎤⎣⎦Q()cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2cos sin sin A B C B C C B C B A B C =-+++=2cos sin sin sin sin A B C C B ∴=(),0,B C π∈Q ，sin sin 0C B ∴≠ ，1cos 2A ∴=，()0,A π∈Q ，3A π∴=。

（Ⅰ）由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+- 由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1如图，设圆I 为三角形ABC 的内切圆，D ，E 为切点可得：2AI =，AD AE == b c a ∴+-=(222b c b c bc ∴+-=+-，化简得()4b c =+≥b c =时取等号）12bc ∴≥或43bc ≤又b c +> 12bc ∴≥，即[)1cos 6,2AB AC bc A bc ⋅==∈+∞u u u v u u u v ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅u u u v u u u v的最小值为6此时三角形ABC 的面积：11sin 12sin 223bc S A π==⨯⨯=【典例2】【浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2019-2020学年高三上学期期中】已知在ABC V 中，1AB =，2AC =．（1）若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ，求()2AD AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r；（2）若点E 为BC 的中点，求2211AE BC+u u u r u u u r 的最小值．【思路引导】（1）根据AD 是角平分线，从而得到12BD AB CD AC ==，然后得到2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，代入到()2AD AB AC ⋅-u u u r u u u r u u u r中，进行整理化简，得到答案；（2）根据E 为BC 的中点，在ABE ∆和ACE ∆中用余弦定理，从而得到224AE BC +u u u r u u u r ()22210AB AC =+=u u u r u u u r ，然后利用基本不等式，求出2211AE BC+u u u r u u u r 的最小值，得到答案.解：（1）因为AD 是角平分线，从而得到12BD AB CD AC ==u u u r u u u ru u u r u u u r 所以可得2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，所以()21233AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ()20AB AC ⋅-=u u u r u u u r ；（2）在ABE ∆和ACE ∆由用余弦定理可得222cos 2AE BE AB AEB AE BE +-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，222cos 2AE CE ACAEC AE CE+-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，而BE CE =u u u r u u u r，cos cos AEB AEC ∠=-∠，所以得到22222222AE BE AB AE CE ACAE BE AE CE+-+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r整理得：224AE BC +u u u r u u u r ()22210AB AC =+=u u u r u u u r22221111110AE BC AE BC ⎛⎫ ⎪∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ()224AE BC +u u ur u u u r2222414110BC AEAE BC ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r1951010⎛+= ⎝≥ 当且仅当2BC AE =u u u r u u u r时，等号成立.【典例3】【2019届四川省雅安中学高三开学考试】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos a c B b C -=．（1）求角B 的大小；（2）若3a =， ABC ∆，求BA AC ⋅u u u r u u u r 的值．【思路引导】（1）由正弦定理得： ()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，化为2sin cos sin A B A =，由于sin 0A >，所以1cos 2B =，最后得3B π=；（2）先由3a =且1sin 232ac π⨯=得2c =，再由余弦定理得b =，cos 14A =，进而得()cos 2114BA AC bc A π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ．解:（1）∵()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得： ()2sin sin cos sin cos A C B B C -=， ∴()2sin cos sin cos cos sin sin sin A B C B C B B C A =+=+= ∵0A π<<，∴sin 0A >∴2cos 1B =， 1cos 2B =又0B π<<∴3B π=．（2）∵3a =， ABC ∆，∴13sin 23c π⨯=2c =，22223223cos73b π=+-⨯⨯=，即b =22223cos A +-==，∴()cos 21BA AC bc A π⎛⋅=-==- ⎝⎭u u u r u u u r【典例4】【陕西省安康市2019-2020学年高三上学期12月阶段性考试】在平面直角坐标系xOy 中，设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且a b +=，22sin 3sin sin C A B =.（1）求C ；（2）设()1,cos P A -，()cos ,1Q A -，且A C ≤，OP uuu r 与OQ uuur 的夹角为θ，求cos θ的值.【思路引导】 (1)利用正弦定理得232cab =.再由a b +=平方与余弦定理求得cos C 进而求得C 即可.(2)将(1)所得的3C π=代入条件即可求得30A =︒,90B =︒.再利用平面向量的公式求解cos θ即可.解：（1）∵22sin 3sin sin C A B =∴23sin sin sin 2C A B = ∴由正弦定理得232c ab =∵a b +=∴22223a b ab c ++= 根据余弦定理得：2222221cos 2222a b c c ab ab C ab ab ab +--====∴3C π=（2）由（1）知3C π=,代入已知,并结合正弦定理得3sin sin 21sin sin 2A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得1sin 2A =或sin 1A =（舍去）所以30A =︒,90B =︒∴2cos OP OQ A ⋅==u u u r u u u r而27||||1cos 4OP OQ A ⋅==+=u u u r u u u r∴22cos cos 1cos 4A A θ===+．【典例5】【2019届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且12cos 2sin 22=+⎪⎭⎫⎝⎛+C B A ，a ＝1，b ＝2．（1）求∠C 和边c ；（2）若BM 4=,=且点P 为△BMN+的最值．【思路引导】（1）利用倍角公式和三角函数的诱导公式将12cos 2sin 22=+⎪⎭⎫⎝⎛+C B A 进行化简可得，一个关于C cos 的一元二次方程，进而可求解出C cos ，即可求出∠C 的大小；然后应用余弦定理即可求出边长c ；（2）建立坐标系，由已知向量的关系BM 4=,=可得，N M ,点的坐标，即可求出△BMN的内切圆方程，运用参数方程[)πθθθ2,0,sin 1cos 1∈⎩⎨⎧+=+=y x ，+中并化简整理得)sin(324643211ϕθ+-+-，再由三角函数的值域为]1,1[-，故所求式子的最大值即可求出．解：（1）因为12cos 2sin 22=+⎪⎭⎫⎝⎛+C B A ，所以CB A B AC cos )cos(2sin 212cos 2-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+-=，所以01cos cos 22=-+C C ，所以1cos -=C 或21cos =C ，又因为),0(π∈C ，所以21cos =C ，所以3π=C ．由余弦定理可得，3cos 222=-+=C ab b a c ．建立坐标系，由（1）A()())1,0(,0,0,0,3C B ，由4=,=知()0,3),4,0(N M ，△BMN 的内切圆方程为：()()11122=-+-y x ，设),(y x P ，则令 [)πθθθ2,0,sin 1cos 1∈⎩⎨⎧+=+=y x()()22222213-+++++-=++y x y x y x ()θθcos 326sin 4321142323322-++-=+--+=y x y x ()324643211sin 324643211-+-≤+-+-=ϕθ【典例6】【河北衡水金卷2019届高三高考模拟一理科数学试题】已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ．（1）求a 及角A 的大小；（2）求||AD u u u r的值．【思路引导】（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理化简可得即()2sin cos sin sin B A A C B -=+=，从而得1cos 2A =-．又()0,A π∈，所以23A π=，由余弦定理得a =（2）由1233AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，得221233AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v 444142199929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以23AD =u u u v ．解：（1）由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理得2sin cos sin cos cos sin B A A C A C -=+，即()2sin cos sin sin B A A C B -=+=，在ABC ∆中，sin 0B >，所以1cos 2A =-．又()0,A π∈，所以23A π=．在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 7a b c bc A b c bc =+-=++=，所以a =（2）由1233AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，得221233AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v 444142199929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以23AD =u u u v ．【典例7】【广东省珠海市2019-2020学年高三上学期期末】已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，a 、b 、c 分别是其对边长，向量(),m a b c =+u r，()sin sin ,sin sin n B A C B =--r ，且m n ⊥u r r .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 【思路引导】（1）由m n ⊥u r r得出()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B +-+-=，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的大小；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求出bc 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出答案.解：（1）(),m a b c =+u r Q ，()sin sin ,sin sin n B A C B =--r ，m n ⊥u r r，()()()sin sin sin sin 0a b B A c C B ∴+-+-=，由正弦定理得()()()0b a b a c c b +-+-=，整理得222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0A π<<Q ，3A π∴=；（2）在ABC ∆中，3A π=，2a =，由余弦定理知2222242cos a b c bc A b c bc ==+-=+-，由基本不等式得2242bc b c bc +=+≥，当且仅当b c =时等号成立，4bc ∴≤，11sin 422ABC S bc A ∆∴=≤⨯=ABC ∆1. 【2020届河北省冀州中学高三年级模拟考试】△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，满足222()AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅰ）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角B 、C 的大小．解：（Ⅰ）由222()AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r已知2222cos 2bc A a b c bc =---，·由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-，∴1cos 2A =-，∵0A π<<，∴23A π=．（Ⅰ）∵23A π=，∴3B C π=-，03C π<<.241cos sin()sin()2323C C B B ππ+--=+-2sin()3C π=+．∵03C π<<，∴2333C πππ<+<，∴当32C ππ+=，24sin()23C B π--2，解得6B C π==． 2. 【四川省德阳市2018届高三三校联合测试数学】在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且()cos 3cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若3b =，点M 在线段BC 上， 2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r， AM =u u u u r 求ABC ∆的面积.解：因为()cos 3cos a B c b A =- ，由正弦定理得： ()sin cos 3sin sin cos A B C B A =- 即sin cos sin cos 3sin cos A B B A C A +=, sin 3sin cos C C A =在ABC ∆中， sin 0C ≠，所以1cos 3A =2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得： 22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u r由3b =，AM =u u u u r 1cos 3A =得219234183c c ++⨯⨯⨯=⨯解得：79c c ==-或（舍）；所以ABC ∆的面积17323S =⨯⨯⨯=3. 【山西省运城市2019-2020学年高三上学期期末】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且8a =，cos cos 2sin cos cos c A B a C B c C =-. （1）求tan B 的值；（2）若16AB CB =u u u r u u u rg ，求b 的值.【思路引导】（1）由正弦定理知：2sin a R A =，2sin c R C =化简cos cos 2sin cos cos c A B a C B c C =-得2sin cos sin sin A B A B =，即tan 2B =.（2）由tan 2B =得到cos 5B =，因为16AB CB =u u u r u u u r g ，8a =，解得c =代入2222cos b a c ac B =+-即可.解：（1）∵cos cos 2sin cos cos c A B a C B c C =- 由正弦定理知：2sin a R A =，2sin c R C =∴sin cos cos 2sin sin cos sin cos C A B A C B C C =- 又∵sin 0C ≠∴cos cos 2sin cos cos A B A B C =- ∴()cos cos 2sin cos cos A B A B A B =++∴cos cos 2sin cos cos cos sin sin A B A B A B A B =+- ∴2sin cos sin sin A B A B = 又∵sin 0A ≠∴tan 2B =（2）∵tan 2B =∴cos B =又∵16AB CB =u u u r u u u r g ∴cos 16ac B =又∵8a =∴c =∴由余弦定理知，22222cos 8202852b a c ac B =+-=+-⨯⨯=∴b =4. 【江苏省盐城市盐城中学2019-2020学年高三11月月考】如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =u u u r u u u r.（1）求AD BC ⋅u u u r u u u r的值；（2）若()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r，求实数t 的值.【思路引导】（1）将,AD BC u u u r u u u r 都转化为用,AB AC u u u r u u u r为基底表示，根据向量数量积的运算，求得AD BC ⋅u u u r u u u r的值.（2）将原方程()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r 转化为2AB CD t CD⋅=u u u r u u u ru u u r ，同（1）的方法，将CD uuu r 转化为用,AB AC u u u r u u u r 为基底表示，根据向量数量积和模的运算，求出t 的值.解：（1）D Q 是边BC 上一点，2DC BD =u u u r u u u r()1133BD BC AC AB ∴==-u u u r u u u r u u u r u u u r()121333AD AB AC AB AB AC =+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r()2133AD BC AB AC AC AB ⎛⎫∴⋅=+⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22121333AC AB AB AC =-+⋅u u ur u u u r u u u r u u u r18112cos120333=-+⨯⨯⨯︒18183333=--=-，故83AD BC ⋅=-u u u r u u u r（2）()0AB tCD CD -⋅=u u u r u u u r u u u r Q ，2AB CDt CD⋅∴=u u u r u u u ru u u r ()2233CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，214212cos1207BC =+-⨯⨯⨯︒=u u u r2222839CD CB ⎛⎫== ⎪⎝∴⎭u u u r u u u r 2233AB CD AB AB AC ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 22233AB AC AB =-⋅u u u r u u u r u u u r 821012cos120333=-⨯⨯⨯︒=1514t ∴=5. 【湖南省张家界市2018届高三第三次模拟考】已知ABC ∆中，3B π=.（Ⅰ）若12AB AC ==，求ABC ∆的面积；（II）若4,,AB BM MN NC AN ====u u u u v u u u u v u u u v，求AM 的长.【思路引导】（1）由余弦定理得到BC =，进而得到三角形ABC 是直角三角形，根据公式求得面积；（2）设BM x =，则2BN x =，AN =,由余弦公式得到1BM =，AM=. 解析：（Ⅰ）由题意知，22212cos BC B +-=12=，解得BC = ∴222AC BC AB+=，∴1122ABC S ∆=⨯=（Ⅰ）设BM x =，则2BN x =，AN =. 在ABN ∆中，()()22242x =+ 242cos3x π-⋅⋅⋅，解得1x =或2x =-（舍去），∴1BM =. 在ABM∆中，AM ==.6. 【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次（12月)联考】设函数()2sin()cos 3f x x x π=+-(Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅰ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，若()2Af =，且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅uu u r uuu r 的最小值.【思路引导】(Ⅰ)由三角形两角和的正弦展开利用二倍角公式化简可得()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，求解增区间即可；（Ⅰ）由22A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，得3A π=，由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1，根据切线长相等结合图象得b c a +-=()4b c =+，利用均值不等式求最值即可.解：(Ⅰ) ()112sin cos 2sin23222222f x x x sinx cosx x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈. ()f x 的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(Ⅰ) sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0,A π∈，所以3A π=.由余弦定理可知：222a b c bc =+-. 由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，如图所示可得：b c a +-=(222b c b c bc +-=+-.()412b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）[)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞u u u v u u u v ，当且仅当b c =时，AB AC u u u v u u u v⋅的最小值为6.令也可以这样转化：1r a b c =⇔++=代入222b c b c bc ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭； ()412b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）； [)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞u u u v u u u v ，当且仅当b c =时，AB AC u u u v u u u v⋅的最小值为6.7. 【辽宁省沈阳市交联体2018届高三上学期期中考试】已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =--，()x R ∈ （1）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最小值和最大值；（2）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且c =()0f C =，若向量(1,sin )m A =u r与向量(2,sin )n B =r共线，求,a b 的值.【思路引导】（1）利用二倍角公式及化一公式，化简()f x 的表达式，再结合正弦函数的图象，在给定区域上求最值；（2）由()0f C =，解得C 角，利用共线条件及正弦定理得到b=2a ，再利用余弦定理解得,a b 的值. 解：（1）当，即时，有最小值为当，即时，有最大值为(2)与向量共线由正弦定理得①，由余弦定理可得②①②联立可得8. 在ABC ∆中，CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r.(1) 求角C 的大小；(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值.【思路引导】（1）由CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，两边平方22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，整理可得0CA CB ⋅=u u u v u u u v ，即CA CB ⊥u u u v u u u v ，从而可得2C π∠=；（2）在直角ADC ∆与直角BDC ∆中中， 4sin sin CD AC A A== ，4sin sin CD BC B B == ，从而可得114481622sin sin sin cos sin2ABC S CA CB A B A A A∆=⋅=⋅⋅==，根据三角函数的有界性可得 ABC ∆面积的最小值.解：（1）由CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，两边平方22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，即()()22CA CB CA CB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到20CA CB ⋅=u u u v u u u v ，即CA CB ⊥u u u v u u u v．所以2C π∠=.（2）在直角ADC ∆中， 4sin sin CD AC A A == ，在直角BDC ∆中， 4sin sin CD BC B B== ，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin sin cos 2B A A π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以114481622sin sin sin cos sin2ABC S CA CB A B A A A∆=⋅=⋅⋅==，由+2A B π=得，()20,A π∈，故(]sin20,1A ∈，当且仅当4A π=时，()max sin21A =，从而()min 16ABC S ∆= .9. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =u u u r u u u u r ，求a 的最小值．【思路引导】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值，可得A 的值．（Ⅰ）利用余弦定理及基本不等式求得a 的最小值．解：(1) ∵ABC V 中，cos 2cb a C -=， ∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C -=，∵πA B C ++=，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=， ∴1cos sin sin 2A C C =， ∴1cos 2A =，∴π3A =．(2) 由 (1)及·3AB AC =u u u r u u u r得6bc =，所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--=…当且仅当b c =时取等号，所以a 10. 【2019届河北省武邑中学高三上学期期末考试】已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S ⋅=u u u r u u u r．（1）求A 2tan 的值；（2）若4π=B ，3CB CA -=u u u r u u u r，求ABC ∆的面积S ．【思路引导】（1）利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简已知等式，求出tan A 的值即可；（2）由tan A 与tan B 的值，利用两角和与差的正切函数公式求出tan C 的值，进而求出sin C 的值，利用正弦定理求出b 的值，再利用三角形面积公式即可求出S ．解：（1）设ABC ∆的角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，∵AB AC S ⋅=u u u r u u u r ，∴A bc A bc sin 21cos =，∴A A sin 21cos =，∴2tan =A ．∴34tan 1tan 22tan 2-=-=A A A ．（2）3CB CA -=u u u r u u u r ，即3AB c ==u u u r，∵2tan =A ，20π<<A ，∴552sin =A ，55cos =A ． ∴10103225522552sin cos cos sin )sin(sin =⋅+⋅=+=+=B A B A B A C ．由正弦定理知：5sin sin sin sin =⋅=⇒=B Ccb B b Cc ， 35523521sin 21=⋅⋅==A bc S ．。

高考数学(理)之平面向量专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)

平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标：一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为（） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ，【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（）法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称），∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ．【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ．因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤．于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r，即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ，又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示，圆的定义与三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】－14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形，故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)，所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255，则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。

提优专题(2.2)——平面向量和解三角形(解答题)(含答案)

平面向量与解三角形（解答题）1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)； (2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE ，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若u v u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式；(2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)+的最大值，并求其取得最大值时x 的值．6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ；(),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围．11.对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n 维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅=12.已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQ Q 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由； (2)用n t 表示1.n t +13.射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CA CB x DADB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD (1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A14.如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O (1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S的取值范围．15.如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy 中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值．16.法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形； (2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．平面向量与解三角形1. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8a =，.3A π=(1)若2B π≠，求2cos c bB−的值； (2)求||AB AC AB AC +−⋅的最小值．【答案】(1)因为8a =，3A π=，所以sin sin sin b c a B C A ===所以b B =，)8cos c C A B B B =+=，则216.cos c b B −== (2)由222222cos a b c bc A b c bc =+−=+−，得2264.b c bc +=+因为222b c bc +，所以22642b c bc bc +=+，所以64bc ，当且仅当8b c ==时，取等号， 2||()AB AC AB AC +=+222AB AC AB AC ++⋅22b c bc =++=，12AB AC bc ⋅=，令t 883t <，则21322bc t =−，则2211||16(2)1744AB AC AB AC t tt +−⋅=−+=−−+，因为883t <，所以2132(2)1784t −−−+<，所以||AB AC AB AC +−⋅的最小值为32.【解析】本题考查利用正弦定理解三角形，利用余弦定理解决范围问题.(1)先利用正弦定理分别求出b ，c ，再根据三角形内角和定理将C 用B 表示，再将所求化简即可得解;(2)利用余弦定理结合可得2264b c bc +=+，结合基本不等式求出bc的范围，计算可得1||64.2AB AC AB AC bc +−⋅=令t =.2.ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin cos .1cos 2sin 2A AB B+=+(1)求证：2;2A B π+=(2)若2223a c b ac +−，试求sin a cB b+⋅的取值范围. 【答案】证明：(1)原式化简得：21sin cos sin sin sin cos cos 2cos 2sin cos A AB A B A B B B B+=⇔+=，即sin cos()B A B =+，cos()cos()2B A B π∴−=+，(0,)2A B π+∈，(0,)22B ππ−∈， 2B A B π∴−=+，即2.2A B π+=(2)由22222A B A B A B C C B ππππ⎧=−⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪++==+⎩⎪⎩且04B π<<，由余弦定理，2223a c b ac +−变为223cos 22a cb B ac+−=， 62B ππ∴<，又04B π<<，;64B ππ∴<由正弦定理，sin sin sin sin sin a c A CB B b B++⋅=⋅ 2219sin sin cos 2cos 2cos cos 12(cos )48A C B B B B B =+=+==+−=+−，cos (2B ∈∴由二次函数值域，可得sina c B b+⋅的范围为【解析】本题考查利用正余弦定理解三角形，三角恒等变换的应用，余弦型函数的值域，二次函数的性质等知识点，属于较难题.3.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C ︒∠=，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P 是等腰三角形PBC的顶点，且23CPB π∠=，求连廊AP PC PB ++的长(单位为百米)；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得DEF 为正三角形，设2S 为图②中DEF 的面积，求2S 的最小值；方案三如图③，使得EF 平行于AB ，且EF 垂直于DE，设3S 为图③中DEF 的面积，求3S 的取值范围.【答案】(1)解：因为点 P 是等腰三角形 PBC 的顶点，且 23CPB π∠= ， 1BC = ，所以 6PCB π∠=，PC PB =，由余弦定理可得， 222cos C 2PB PC BC PB PB PC +−∠=⋅ ，解得PC = ，又因为 2ACB π∠=，故 3ACP π∠=，在 Rt ACB 中， 2AB = ， 1BC = ，所以AC == ，在 ACP 中，由余弦定理可得， 2222cos3AP AC PC AC PC π=+−⋅⋅ ，解得3AP =，故AP PC PB ++=+=，所以连廊 AP PC PB ++ 的长为百米． (2)解：设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<< ，则 sin CF a α= ，sin AF a α=− ，设 1EDB ∠=∠ ，则 213B DEB DEB ππ∠=−∠−∠=−∠ ， 233DEB DEB ππαπ=−−∠=−∠ ，所以 2133ADF πππα∠=−−∠=− ，在 ADF 中，由正弦定理可得，sin sin DF AFA ADF=∠∠ ，即sin 2sinsin()63aa αππα−=− ，即21sin()sin 32a a παα−=−，即32177a ===(其中 θ 为锐角，且tan θ= ，所以 222133sin 60247Sa =︒⨯=，即 ()2min S = ；图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ，因为 //EF AB ，且 EF DE ⊥ ，所以 3FEC π∠= ， 6DEB π∠= ， 2EDB π∠= ，所以 cos 62DE x x π== ，222cos3CE EF CE xπ===− ，所以22111(22)))222DEFSEF DE x x x x =⋅⋅=⋅−=−+=−+，所以当 12x = 时， DEF S 取得最大值8 ，无最小值，即DEF S ⎛∈ ⎝⎦，故3.S ⎛∈ ⎝⎦【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理解决距离问题、利用正弦定理解决范围与最值问题，属于较难题.(1)先由 PBC 中的余弦定理求出 PC ，再由 APC 中的余弦定理求出 AP ，即可得到答案；(2)设图②中的正 DEF 的边长为 a ， (0)2CEF παα∠=<<，图③中，设 BE x = ， (0,1)x ∈ ，分别表示出方案②和方案③中的面积，利用三角函数的性质以及二次函数的性质求解最值即可．4.在ABC 中，点P 为ABC 内一点．(1)若点P 为ABC 的重心，用AB ，AC 表示AP ；(2)记PBC ，PAC ，PAB 的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0A B C S PA S PB S PC ++=； (3)若点P 为ABC 的垂心，且230PA PB PC ++=，求cos .APB ∠【答案】解：(1)由题意，不妨设BC 边上的中点为点D ，所以23AP AD =，又1()2AD AB AC =+，所以，11.33AP AB AC =+(2)证明：令A B C S S S S =++，则B CS S AP AD S +=||||||||C B B C B C S S DC DB AD AB AC AB AC S S S S BC BC =+=+++()()C B S SAP AP PB AP PC S S=+++，则0B C A S PB S PC S AP +−=，所以0A B C S PA S PB S PC ++=；(3)因为P 是ABC 的垂心，230PA PB PC ++=，所以由(2)易知，::1:2:3.A B C S S S =记ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则1tan 2:1tan 2A B FC PC BFBF A AF S S FC AF B PC AF BF⋅====⋅，同理:tan :tan B C S S B C =，所以，tan :tan :tan 1:2:3A B C =，又tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B −−=−+=−，所以，2tan 2tan 3tan 12tan A AA A−−=−，即tan 1A =或1−，又tan A ，tan B ，tan C 同号，所以tan 1A =，所以tan 3C = 又四边形CDPE 中，因为P 是ABC 的垂心，所以90CDP CEP ∠=∠=︒，所以，180DPE C ∠+∠=︒，又DPE APB ∠=∠，所以，180APB C ∠+∠=︒，所以，tan tan 3APB C ∠=−=−，即cos 10APB ∠=−【解析】本题考查向量的线性运算，向量的几何应用，属于难题. (1)根据向量的线性运算化简即可；(2)利用面积与边长的比例关系化简整理即可；(3)利用(2)的结论得出A ，B ，C 的关系，结合正切的和差角公式计算即可. 5．已知向量(),u a b =，(),v c d =，其中(),,,0,.a b c d ∈+∞(1)若uv u v ⋅=，写出a ，b ，c ，d 之间应满足的关系式； (2)求证：()()()22222a b c d ac bd +++；(3)23x −的最大值，并求其取得最大值时x 的值．【答案】解：(1)由向量(),u a b =，(),v c d =，得2222,,u v ac bd u a b v c d ⋅=+=+=+，因为u v u v ⋅=，所以()()()22222ac bd a b c d +=++，即2222222222222a c abcd b d a c a d b c b d ++=+++，所以22222abcd a d b c =+，即()20ad bc −=，所以0ad bc −=；(2)因为cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=，而cos ,1u v，所以()222222,ac bd u v cos u vu v +=，当且仅当cos ,1u v =，即//u v 时取等号，所以()()()22222a b c d ac bd +++；(3)由413030x x +⎧⎨−⎩可得1334x −，当3x =5==，当134x =−5+==，当1334x −<<时，由(2)可得，()11x=+=⎡⎣，，即18x =−时，取等号，+的最大值为1.8x =−【解析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，利用向量的数量积证明等式. (1)根据数量积得坐标运算及平面向量的模的坐标公式计算即可得出结论； (2)根据cos ,u v ac bd u v u v ⋅=+=，结合余弦函数的值域即可得证；(3)利用(2)中的结论即可得出答案.6. 平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C −是否为一个定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．(2)记ABD 与BCD 的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】解：(1)法一：在ABD 中，由余弦定理得222cos 2AD AB BD A AD AB+−=⋅，即222cosA =2168BD A −=①，同理，在BCD 中，22222cos 222BD C +−=⨯⨯，即28cos 8BD C −=②，①-cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；法二：在ABD 中，由余弦定理得2222cos BD AD AB AD AB A =+−⋅即222222cos BD A =+−⨯⨯，即216BD A =−，同理，在BCD 中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+−⋅=−，所以1688cos A C −=−，1cos A C −=，即cos 1A C −=，所以当BD cos A C −为定值，定值为1；222222221211(2)44S S AB AD sin A BC CD sin C +=⋅⋅+⋅⋅ 22221241244sin A sin C sin A cos C =+=+−221241)sin A A =+−−22412cos A A =−++，令)cos ,1,1A t t =∈−，所以2224122414y t t ⎛=−++=−+ ⎝⎭，所以6t =，即cos A =时，2212S S +有最大值为14.【解析】本题考查余弦定理，考查三角形面积公式，属于较难题.(1)法一：在ABD 2168BD A −=，在BCD 中由余弦定理得28cos 8BD C −=，两式相减可得答案；法二：在ABD 中由余弦定理得216BD A =−，在BCD 中由余弦定理得288cos BD C =−，两式相减可得答案；(2)由三角形面积公式可得222122412S S cos A A +=−++，令()cos ,1,1A t t =∈−转化为二次函数配方求最值即可．7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在ABC ∆中，试解决以下问题：(1)G 是三角形的重心(三条中线的交点)，过点G 作一条直线分别交,AB AC 于点,.M N()i 记a,b AB AC ==，请用a,b 表示AG ； (),ii AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值.(2)已知点O 是ABC ∆的外心，且1143AO AB AC =+，求cos .BAC ∠ 【答案】解：(1)()i 设D 是BC 中点，则1()2AD a b =+，重心是中线靠近边的三等分点，21()33AG AD a b ∴==+；1111()3333ii AG AB AC AM AN m n=+=+，M ，G ，N 三点共线，G 在线段MN 上，则111(0,0)33m n m n+=>>， 1111414(4)()(5)(523333m n m n m n m n n m ∴+=++=+++=，当且仅当21n m ==时取等号，4m n ∴+的最小值为3； (2)由1143AO AB AC =+可知点O 在ABC 的内部，如图所示，取AB 的中点P ，AC 的中点Q ，由外心性质可知OP AB ⊥，OQ AC ⊥，从而212AO AB AP AB c ⋅=⋅=，即2111()432AB AC AB c +⋅=，所以22111cos 432c bc BAC c +⋅∠=，故11cos 34b BACc ⋅∠=，同理，由212AO AC AQ AC b ⋅=⋅=可得11cos 46c BAC b ⋅∠=，联立11cos ,3411cos ,46b BAC c c BAC b ⎧⋅∠=⎪⎪⎨⎪⋅∠=⎪⎩得cos 2BAC ∠=【解析】本题考查了平面向量基本定理，余弦定理，基本不等式的应用，属于综合题． (1)()i 根据重心的定义以及平面向量基本定理可表示AG ；()ii 平面向量基本定理结合基本不等式可得结果；(2)由外心性质可得关于cos BAC ∠的方程，解方程可得cos .BAC ∠8. 在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3.cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+ (1)求tan tan B C ；(2)若3bc =，求ABC 面积S 的最小值.【答案】解：3(1)cos cos cos cos cos b c a aB C A B C+=+， ()()cos cos cos cos cos 3cos .b C c B A a B C A ∴+=+由正弦定理得(sin cos cos sin )cos sin (cos cos 3cos ).B C B C A A B C A +=+ ()()sin cos sin cos cos 3cos .B C A A B C A ∴+=+ 因为0A π<<，则sin 0A >，A B C π++=，()sin sin B C A ∴+=，则()cos cos sin sin cos cos A B C B C B C =−+=−，所以，cos cos cos 3cos A B C A =+，即2cos cos cos 0A B C +=，所以，()2sin sin cos cos cos cos 0B C B C B C −+=，2sin sin cos cos B C B C ∴=，即1tan tan .2B C =(2)由(1)得1tan tan .2B C =若tan 0tan 0B C <⎧⎨<⎩，则B 、C 均为钝角，则B C π+>，矛盾，所以，tan 0B >，tan 0C >，此时B 、C 均为锐角，合乎题意，tan tan tan tan ()2(tan tan )4tan tan tan1B CA B C B C B C +∴=−+==−+−−=−当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立，且A 为钝角. tan 22A −，则()tan 22A π−，且A π−为锐角，由()()()()()()()22sin tan 22cos 1cos 0sin 0A A A sin A cos A A A πππππππ−⎧−=⎪−⎪⎪−+−=⎨⎪−>⎪⎪−>⎩，解得()22sin 3A π−，即22sin 3A ，当且仅当tan tan 2B C ==时，等号成立， 3bc =，13322sin sin 2223S bc A A ∴==⨯=因此，ABC【解析】本题主要考查正弦定理，两角和与差的三角函数公式，三角形面积公式，属于较难题. (1)利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出2sin sin cos cos B C B C =，即可求得tan tan B C 的值；(2)分析可知B 、C 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出tan 22A −，求出sin A 的最小值，即可求得S 的最小值.9. 已知梯形ABCD 中，2AB DC =，AB BC 2,60ABC ︒==∠=，E 为BC 的中点，连接.AE(1)若4AF FE =，求证：B ，F ，D 三点共线； (2)求AE 与BD 所成角的余弦值；(3)若P 为以B 为圆心、BA 为半径的圆弧AC(包含A ，)C 上的任意一点，当点P 在圆弧AC(包含A ，)C 上运动时，求PA PC ⋅的的最小值．【答案】解：(1)如图1，12BD BC CD BC BA =+=+1111111()()2525252BF BE EF BC EA BC EB BA BC BC BA =+=+=++=+−+2155BC BA =+25BF BD ∴=又点B 是公共点，B ∴，F ，D 三点共线.(2)如图1，2222211||()422cos601724BD BD BC BA BC BC BA BA ︒==+=+⋅+=+⨯⨯+= ||7BD ∴=12AE AB BE BC BA =+=− 2222211||()122cos604324AE AE BC BA BC BC BA BA ︒∴==−=−⋅+=−⨯⨯+=||3AE ∴=2211113()()22224AE BD BC BA BC BA BC BA BC BA ⋅=−⋅+=−−⋅11334422cos602242︒=⨯−⨯−⨯⨯⨯=− cos AE ∴<，3||||37AE BD BD AE BD −⋅>===⋅⨯(3)如图2，PA BA BP =−，PC BC BP =−2()()()PA PC BA BP BC BP BA BC BP BA BP BC BP ∴⋅=−⋅−=⋅+−⋅+⋅ 设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，则3CBPπθ∠=−，22cos 422cos 22cos()33PA PC ππθθ⋅=⨯⨯+−⨯⨯−⨯⨯− 64cos 4(coscos sinsin )6)333πππθθθθ=−−+=−+[0,]3πθ∈，∴当6πθ=时，min ()6PA PC ⋅=−【解析】本题考查平面向量和三角函数的综合应用，属于拔高题.(1)利用平面向量的线性运算求得25BF BD =，即可求证三点共线；(2)求出||BD 、||AE 和AE BD ⋅，由夹角公式即可求解;(3)设ABP θ∠=，[0,]3πθ∈，求出6)3PA PC πθ⋅=−+，利用三角函数的性质即可求解.10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223.222()C B bc bsincsin b c a +=++ (1)求角A 的大小；(2)若c a >，求a bm c+=的取值范围．【答案】解：(1)由22(1cos )(1cos )cos cos 222222C B b C c B b c b C c B bsincsin −−+++=+=− 22222212222222b c a b c a c b b c a b c aa a⎛⎫++−+−++−=−+=−= ⎪⎝⎭，所以322()b c a bcb c a +−=++，可得22()3b c a bc +−=，则222b c a bc +−=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +−===，又(0,)A π∈，解得3A π=；(2)由正弦定理得21sin ()cos sin sin sin 23222sin sin sin C C C A B m C C Cπ+−+++===2cos )1111222sin 22222sin cos 2sin2tan 2222C C C C C C C C +=+=+=+=+，因为c a >，所以3C π>，又23B C π+=，所以233C ππ<<，所以623C ππ<<tan 2C<<1tan2C<<，所以12m <<，则a bm c+=的取值范围为(1,2).【解析】本题，考查利用余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围问题，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题.(1)利用降幂公式化简，再根据余弦定理即可求解；(2)根据正弦定理及三角恒等变换将a b m c +=可化为122tan 2m C =+，结合233C ππ<<即可求出m 的取值范围. 11.(本小题12分)对于给定的正整数n ，记集合123j {|(,,,,),,1,2,3,,}nn R x x x x x R j n αα==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中元素α称为一个n维向量．特别地，0(0,0,,0)=⋅⋅⋅称为零向量．设k R ∈，12(,,,)n n a a a R α=⋅⋅⋅∈，12(,,,)n n b b b R β=⋅⋅⋅∈，定义加法和数乘：1122(,,,)n n a b a b a b αβ+=++⋅⋅⋅+，12(,,,).n k ka ka ka α=⋅⋅⋅对一组向量1α，2α，…，(,2)s s N s α+∈，若存在一组不全为零的实数1k ，2k ，…，s k ，使得11220s s k k k ααα++⋅⋅⋅+=，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关． (Ⅰ)对3n =，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由． ①(1,1,1)α=，(2,2,2)β=；②(1,1,1)α=，(2,2,2)β=，(5,1,4)γ=；③(1,1,0)α=，(1,0,1)β=，(0,1,1)γ=，(1,1,1).δ=(Ⅱ)已知向量α，β，γ线性无关，判断向量αβ+，βγ+，αγ+是线性相关还是线性无关，并说明理由．(Ⅲ)已知(2)m m 个向量1α，2α，…，m α线性相关，但其中任意1m −个都线性无关，证明下列结论：(ⅰ)如果存在等式11220(,1,2,3,,)m m i k k k k R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈=⋅⋅⋅，则这些系数1k ，2k ，…，m k 或者全为零，或者全不为零；(ⅱ)如果两个等式11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，11220(,,1,2,3,,)m m i i l l l k R l R i m ααα++⋅⋅⋅+=∈∈=⋅⋅⋅同时成立，其中10l ≠，则1212.m m k k k l l l ==⋅⋅⋅= 【答案】(Ⅰ)解：对于①，设120k k αβ+=，则可得1220k k +=，所以,αβ线性相关；对于②，设1230k k k αβγ++=，则可得{12312312325020240k k k k k k k k k ++=++=++=，所以1220k k +=，30k =，所以,,αβγ线性相关；对于③，设12340k k k k αβγδ+++=，则可得{124134234000k k k k k k k k k ++=++=++=，解得123412k k k k ===−，所以,,,αβγδ线性相关；(Ⅱ)解：设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，因为向量α，β，γ线性无关，所以{131223000k k k k k k +=+=+=，解得1230k k k ===，所以向量αβ+，βγ+，αγ+线性无关，(Ⅲ)证明：(ⅰ1122)0m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=，如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，则112211110i i i i m m k k k k k ααααα−−+++++++⋅⋅⋅+=，因为任意1m −个都线性无关，所以1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0，所以这些系数1k ，2k ，⋅⋅⋅，m k 或者全为零，或者全不为零，(ⅱ)因为10l ≠，所以1l ，2l ，⋅⋅⋅，m l 全不为零，所以由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l l l l ααα=−−⋅⋅⋅−，代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=可得2122211()0m m m m l l k k k l l αααα−−⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅+=，所以2122111()()0m m m l l k k k k l l αα−++⋅⋅⋅+−+=，所以21210l k k l −+=，⋯，110m m l k k l −+=，所以1212.m mk k k l l l ==⋅⋅⋅= 【解析】本题主要考查平面向量的综合运用，新定义概念的理解与应用等知识，属于较难题． (Ⅰ)根据定义逐一判断即可；(Ⅱ)设123()()()0k k k αββγαγ+++++=，则131223()()()0k k k k k k αβγ+++++=，然后由条件得到1230k k k ===即可；(Ⅲ)(ⅰ)如果某个0i k =，1i =，2，⋯，m ，然后证明1k ，2k ，⋯1i k −，1i k +，⋅⋅⋅，m k 都等于0即可；(ⅱ)由11220m m l l l ααα++⋅⋅⋅+=可得21211m m l ll l ααα=−−⋅⋅⋅−，然后代入11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=证明即可．12.(本小题12分)已知OAB ，OA a =，OB b =，||2a =，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,.A B 由1P 引边OB 的垂线111,PQQ 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*.n R n N ∈设()(01)n n n AP t b a t =−<<，如图所示.(1)某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：112(1)3BQ t b =−−⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由；(2)用n t 表示1.n t +【答案】解：(1)该同学的结论正确，证明如下：由已知，得||3AB =，||3OB =，||2OA =，由余弦定理知222||||||2cos 32||||2OB AB OA ABO OB AB+−∠===，又111||||3AP t b a t =−=，则111||||||33BP AB AP t =−=−，11112||||cos )(1)||3BQ BP ABO t t b ∴=⋅∠=−=−，即112(1)3BQ tb =−−⋅；(2)由已知1cos ||||2a b AOB a b ⋅∠===⋅⨯，||||3OB AB ==，cos BAO ∴∠=1||||cos (2||)n n nAP AR BAO OR +∴=⋅∠=−|cosn OQ AOB =⋅∠1||)6n BQ =−⋅1||cos 66n BP ABO =+⋅∠1||)69n AP =+⋅ 1||9n AP =⋅，即151||3||189n n t b at b a +−=−−1n +=， 115.918n n t t +∴=−+【解析】本题考查了向量的数量积、向量的夹角，涉及余弦定理及数列的递推关系，属于较难题. (1)由余弦定理结合向量条件求出cos ABO ∠即可证得．(2)由向量的夹角先求出cos AOB ∠，再求出151||3||189n n AP AP +=−⋅，即可解答.13.(本小题12分)射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，.D 对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值CACB x DA DB=叫做这四个有序点的交比，记作().ABCD(1)证明：()()EFGH ABCD =；(2)已知3()2EFGH =，点B 为线段AD 的中点，3AC =，sin 3sin 2ACO AOB ∠=∠，求cos .A【答案】解：(1)由题意，在AOC ，AOD ，BOC ，BOD 中，1sin sin 21sin sin 2AOC BOC OA OC AOCS CA OA AOCCB S OB BOCOB OC BOC ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2AOD BOD OA OD AODS DA OA AODDB S OB BODOB OD BOD ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠，则sin sin sin sin ()sin sin sin sin OA AOC OB BOD AOC BODCB ABCD DA OB BOC OA AOD BOC AOD DB⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠①又，在EOG ，EOH ，FOG ，FOH 中，1sin sin 21sin sin 2EOG FOG OE OG EOGS GE OE EOGGF S OF FOGOF OG FOG ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠， 1sin sin 21sin sin 2EOH FOH OE OH EOHS HE OE EOHHF S OF FOHOF OH FOH ⋅⋅⋅∠⋅∠===⋅∠⋅⋅⋅∠，则sin sin sin sin ()sin sin sin sin GEOE EOG OF FOH EOG FOHGF EFGH HE OF FOG OE EOH FOG EOH HF⋅∠⋅∠∠⋅∠==⋅=⋅∠⋅∠∠⋅∠②，又EOG AOC ∠=∠，FOH BOD ∠=∠，FOG BOC ∠=∠，EOH AOD ∠=∠，由①②可得，sin sin sin sin sin sin sin sin AOC BOD EOG FOHBOC AOD FOG EOH∠⋅∠∠⋅∠=∠⋅∠∠⋅∠，即()()EFGH ABCD =(2)由题意3()2EFGH =，由(1)可知，3()2ABCD =，则32CACB DA DB =，即3.2CA DB CB DA =，又点B 为线段AD 的中点，即12DB DA =，故3CACB=，又3AC =，则2AB =，1BC =，设OA x =，OC y =，且OB =，由ABO CBO π∠=−∠可知，coscos 0ABO CBO ∠+∠=， 2222220=，解得22215x y +=③，又在AOB 中，利用正弦定理可知，sin sin AB xAOB ABO =∠∠④，在BOC 中，利用正弦定理可知，sin sin OByBCO CBO=∠∠⑤，且sin sin ABO CBO ∠=∠，则④⑤可得，sin 3sin 2x AB BCOy AOB OB ∠=⋅==∠，即x =⑥，由③⑥解得，3x=，y =，即3OA =，OC =，则222222325cos .22326OA AB OB A OA AB +−+−===⋅⨯⨯【解析】本题考查新定义问题，正，余弦定理的综合应用，三角形面积公式，属于较难题.(1)由题意，结合新定义可得sin sin ()sin sin CAAOC BODCB ABCD DA BOC AOD DB∠⋅∠==∠⋅∠①，同理sin sin ()sin sin EOG FOHGF EFGH HE FOG EOH HF∠⋅∠==∠⋅∠②，再利用角相等，即可证明；(2)结合(1)中的结论，利用正余弦定理，逐步分析求解即可. 14.(本小题12分)如图1所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，满足2BD DC =，G 是线段AB 上的点，且满足32AG GB =，线段CG 与线段AD 交于点.O(1)若AO t AD =，求实数t ；(2)如图2所示，过点O 的直线与边AB ，AC 分别交于点E ，F ，设EB AE λ=，(0,0)FC AF μλμ=>>；()i 求λμ的最大值；()ii 设AEF 的面积为1S ，四边形BEFC 的面积为2S ，求21S S 的取值范围．【答案】解：(1)依题意，因为2BD DC =，所以1121()3333AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+，因为G 、O 、C 三点共线所以存在实数m 使得GO mOC =，所以111m AO AC AG m m=+++，因为32AG GB =，所以11211115m m AO AC AG AC AB m m m m =+=+⨯++++，又因为AO t AD =，所以22135(1)31mt t m m ⎧==⎨++⎩，解得：12t =，15m =综上所述，1.2t =(2)证明：()i 根据题意(1)AB AE EB AE AE AE λλ=+=+=+，同理可得：(1)AC AF μ=+，由(1)可知，111236AO AD AB AC ==+，所以1136AO AE AF λμ++=+，因为E ，O ，F 三点共线，所以存在实数n ，使得EO nEF =所以(1)AO n AE nAF =−+ 所以11136n n λμ++⎧−==⎨⎩，化简得23λμ+=，又因为0λ>，0μ>所以21129(2)()2228λμλμλμ+==，当且仅当322λμ==，即34λ=，32μ=时等号成立. ()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以2111(1)||(1)||sin ||||sin 22(1)(1)11||||sin 2AE AF BAC AE AF BAC S S AE AF BAC λμλμ++∠−∠==++−∠，由()i 可知23λμ+=，则320μλ=−>，所以302λ<<，所以2221172232()22S S λλλ=−++=−−+，易知，当12λ=时，21S S 有最大值7.2则2137(,].22S S ∈ 【解析】本题主要考查平面向量的基本定理，考查三角形的面积，考查二次函数的最值，利用基本不等式求最值，属于较难题.(1)由题知2133AD AB AC =+，12115m AO AC AB m m =+⨯++，根据AO t AD =，化简即可；(2)()i 根据题意(1)AB AE λ=+，(1)AC AF μ=+，根据E ，O ，F 三点共线，存在实数n ，使得EO nEF =，有(1)AO n AE nAF =−+，化简可得23λμ+=，利用基本不等式即可得解；()ii 根据题意，11||||sin 2S AE AF BAC =∠，211(1)||(1)||sin ||||sin 22S AE AF BAC AE AF BAC λμ=++∠−∠，所以221172()22S S λ=−−+，利用二次函数的最值即可得解. 15.(本小题12分)如图：在斜坐标系xOy 中，x 轴、y 轴相交成60︒角，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则称有序实数对⟨,x y ⟩为向量OP 的坐标，记作OP =⟨,x y ⟩.在此斜坐标系xOy中，已知ABC 满足：OA =⟨0,2⟩、OB =⟨2,1−⟩.(1)求OA OB ⋅的值；(2)若坐标原点O 为ABC 的重心(注：在斜坐标系下，若G 为ABC 的重心，依然有0GA GB GC ++=成立).①求ABC 的面积；②求满足方程11tan tan tan mA B C+=的实数m 的值．【答案】解：(1)由题知，22OA e =，122OB e e =−，则22121222(2)424cos6020;OAOB e e e e e e ︒⋅=⋅−=⋅−=−=(2)①由题知，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，由(1)知OA OB ⊥，又||2OA =，212||(2)4OB e e =−==则ABC 面积为1322ABCS=⨯⨯=②由①知，2,1OC OA OB =−−=<−−>，则2,3BA OA OB =−=<−>，4,0BC OC OB =−=<−>，2,3AC OC OA =−=<−−>，则212||(23)4BA e e =−+==||4BC =，212||(23)4AC e e =−−=设AB c =，AC b =，BC a =，则由11tan tan tan mA B C+=，结合正弦、余弦定理化简得： 11sin cos cos tan ()()tan tan cos sin sin C A Bm C A B C A B=+=+ sin cos sin cos sin sin sin()cos sin sin cos sin sin C A B B A C A B C A B C A B ++=⋅=⋅ 22222sin 12sin sin cos C c ab A B C ab a b c =⋅=⋅+− 22222271161972c a b c ⨯===+−+−，故1.2m =【解析】本题考查了余弦定理、三角形面积公式和向量的数量积，属于较难题.(1)先得出OA =⟨0,2⟩22e =，OB =⟨2,1−⟩122e e =−，由向量的数量积计算可得结果；(2)①OA =⟨0,2⟩，OB =⟨2,1−⟩，O 为ABC 的重心，则OAB 的面积为ABC 面积的13，计算面积即可；②易得11()tan tan tan m C A B=+⋅，由三角恒等变换和余弦定理化简可得结果. 16.(本小题12分)法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3.O(1)证明：123O O O 为等边三角形；(2)若123O O O ABCSmS= ，求m 的最小值．【答案】解：(1)如图，连接 1AO ， 3AO ，则13AO =，33AO =， 133O AO A π∠=+在 13O AO 中，由余弦定理得： 222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+−⋅⋅∠ ，即22222132cos 32cos 33333b c bc A b c bc O O A ππ⎛⎫+−+ ⎪⎛⎫⎝⎭=+−⋅⋅+= ⎪⎝⎭2212cos 23b c bc A A ⎛⎫+−⨯ ⎪ ⎪⎝⎭==22222222sin 2sin 363b c a b c Aa b c A+−+−+++==+ 同理可得222212sin 6a b c O O B ++= ，sin sin a bA B= ， sin sin a B b A ∴= ， 1213O O O O ∴= .同理： 1223O O O O = ，即 123O O O为等边三角形.12322213cos sin (2)sin 4432O O O b c bc A A m SO O bc A +−+=⨯=⨯=)()21sin cos sin b c m A A A c bϕ∴+−+=+，(其中sin ϕ=，cos ϕ=，22b c b c c b cb+⨯= ， )max21sin cos m A A ⎤−+=⎦， 12 ，解得： 1m当且仅当 3A π=， b c = 时 m 取到最小值1.【解析】本题考查利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，考查三角形的面积公式，属于难题.(1)连接 1AO ， 3AO ，在 13O AO 中，由余弦定理可求出 13O O，同理可得 12O O ，再结合正弦定理即可证明 1213O O O O = ，同理可得 1223OO O O = ；(2)由 123O O O ABCSmS= 化简可得 ()sin b c A c b ϕ+=+ ，再由基本不等式求出 b c c b+ 的最小值，即可求出m 的最小值.。

2020高考数学最后十天压轴题专题1.5 以向量与解析几何、三角形等相结合为背景的选择题(解析版)

2
AD
63
4.【山东省聊城市第一中学 2019 届高三上学期期中考试】已知 M 是△ABC 内的一点，且
，
，若△MBC，△MCA 和△MAB 的面积分别为 1，，，则的最小值是（）
A．2 B．8 C．6 D．3
5. 【湖北省宜昌市示范高中协作体 2019 届高三上学期期中联考】已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对边
长分别为 a、b、c，向量 =(a＋c，a－b)， =(b，a－c)，若 ∥ ，则∠C=(
)
A． B． C． D．
6. 【2019·山东高三期末（理）】过抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点 F 作直线 l ，交抛物线于点 M ， N ，交
抛物线的准线于点 P ，若 PM 2PN ，则直线 l 的斜率为( )
C．垂心
D．重心
【举一反三】【江西省赣州市十四县（市 )2019 届高三上学期期中联考】在
中,
,是
的内心,若
,其中
,动点的轨迹所覆
盖的面积为( )
A．
B．
C．
D．
类型三向量与三角函数的结合
典例 4．（多选题）（2019·山东高三期中）已知向量 m (sin x, 3) ， n cos x, cos2 x ，函数
uuur uuur 两点，且 AE EB ， AD 2DC ， BD 与 CE 交于点 O ，则下列说法正确的是（）
A． AB CE 1
B． OE OC 0
C． OA OB OC
3
2
7
D． ED 在 BC 方向上的投影为 6
2.（多选题）（2019·山东菏泽一中高三月考）下列命题中，是真命题的是（）

【高考数学二轮复习压轴题微专题】第47讲圆锥曲线与平面向量的交汇-原卷+解析

第47讲圆锥曲线与平面向量的交汇平面向量及其运算特点是融数、形于一体,因为它具有代数形式和几何形式的双重身份,是中学数学知识的一个重要交汇点. 平面向量的运算法则, 特别是坐标运算可将几何问题转化为代数问题而解析几何的学科特点正是运用代数的方法研究平面图形的性质, 两者是何等的一致！所以两者的结合或者说运用平面向量来解决解析几何问题是一件十分自然的事情, 可谓是“竹外桃花三两枝,春江水暖鸭先知”了! 平面向量与解析几何的交叉渗透,水乳交融,使数学问题的情境新颖别致,使解答过程如行云流水、自然流畅、赏心悦目,使数学之美充分展现,丰富多彩.典型例题【例1】(1) 已知 F 为抛物线 2y x = 的焦点, 点 ,A B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, 2OA OB ⋅= (其中 O 为坐标原点 ), 则 ABO ∆ 与 AFO ∆ 面积之和的最小值是（）A. 2B. 3C.D.(2) 如图 331- 所示, 在矩形 ABCD 中, 1,AB AD == 若 AP AB AD λμ=+, 则λμ+ 的最大值为（）.A. 3B.C.D.2【例2】已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 (1,0)F 的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1) 求曲线 C 的方程,（2）是否存在正数 m , 对于过点(,0)M m 且与曲线 C 有两个交点 ,A B 的任一直线,都有 0FA FB ⋅< 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.【例3】在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点, 动点 P 与两个定点, (1,0)(40)M N 、的距离之比为 12.(1) 求动点 P 的轨迹 W 的方程;(2) 若直线 :3l y kx =+ 与曲线 W 交于 ,A B 两点, 在曲线 W 上是否存在一点 Q , 使得 OQ OA OB =+ ? 若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.【例4】已知曲线 C 上的动点 M 到 y 轴的距离比到点 (1,0)F 的距离小 1 . (1) 求曲线 C 的方程;（2）过 F 作弦 PQ RS 、, 设 ,PQ RS 的中点分别为 ,A B . 若 0PQ RS ⋅=, 求AB 取最小值时, 弦 PQ RS 、所在直线的方程;（3) 是否存在一定点 T , 使得 AF TB FT λ=- 若存在,求出 T 的坐标;若不存在, 试说明理由.【例5】设椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 过点 M , 且左焦点为 1(F. (1) 求椭圆 C 的方程;(2) 当过点 (4,1)P 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 ,A B 时, 在线段 AB 上取点 Q ,满足 ||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅. 证明: 点 Q 总在某定直线上.强化训练1. 如图 3-33 所示, 设抛物线 2:C y x = 的焦点为 F , 动点 P 在直线 :20l x y --=上运动, 过 P 作抛物线 C 的两条切线 ,PA PB , 切点分别为 ,A B . 求证:AFP BFP ∠=∠.2. 如图 334- 所示, 在 ABC ∆ 中, 已知 (3,0),(3,0),A B CD AB -⊥ 于点D,ABC ∆ 的垂心, 且 9CD CH =. (1) 求点 H 的轨迹方程;(2) 设 (1,0),(1,0)P Q -, 是否存在这样的 H 点, 使得 111||||||HP PQ QH ⋅⋅成等差数列? 如果存在, 求出H 点坐标,如果不存在,请说明理由;（3）设直线 ,AH BH 与直线 :9l x = 分别交于 M N 、点,请问 : 以 MN 为直径的圆是否经过点 H 的轨迹外的定点? 并说明理由.第47讲圆锥曲线与平面向量的交汇平面向量及其运算特点是融数、形于一体,因为它具有代数形式和几何形式的双重身份,是中学数学知识的一个重要交汇点. 平面向量的运算法则, 特别是坐标运算可将几何问题转化为代数问题而解析几何的学科特点正是运用代数的方法研究平面图形的性质, 两者是何等的一致！所以两者的结合或者说运用平面向量来解决解析几何问题是一件十分自然的事情, 可谓是“竹外桃花三两枝,春江水暖鸭先知”了! 平面向量与解析几何的交叉渗透,水乳交融,使数学问题的情境新颖别致,使解答过程如行云流水、自然流畅、赏心悦目,使数学之美充分展现,丰富多彩.典型例题【例1】(1) 已知 F 为抛物线 2y x = 的焦点, 点 ,A B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, 2OA OB ⋅= (其中 O 为坐标原点 ), 则 ABO ∆ 与 AFO ∆ 面积之和的最小值是A. 2B. 3C. 1728D.10(2) 如图 331- 所示, 在矩形 ABCD 中, 1,AB AD == 若 AP AB AD λμ=+, 则λμ+ 的最大值为（）.A. 3B. 22C.5D.2【分析】本例两小题是平面向量与解析几何的交汇,在考查直线与抛物线、直线与圆位置关系及最值求法的同时,还考查平面向量的坐标运算、数量积等的应用、不等式知识与三角知识的应用.【解析】(1) 设点 ()()1122,,,A x y B x y (不妨假设 )120,0y y ><, 直线 AB 的方程为 x ty m =+, 与 x 轴的交点为 (,0)M m .由 2,,x ty m y x =+⎧⎨=⎩ 消去 x 得2120,y ty m y y m --=∴=-. 又 ()212122,20OA OB y y y y ⋅=∴+-=, 解得 122y y =- 或 1 .∵ 点 A B 、在抛物线上且位于 x 轴的两侧, ∴122y y =-, 故 2m =. 又 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,于是()1211112224ABO AFO S S y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯111192922388y y y y =+⨯=当且仅当 11928y y =, 即 143y = 时取等号. ∴ABO ∆ 与 AFO ∆ 面积之和的最小值是 3 , 故选 B . （2）【解法1】如图3-32所示，建立平面直角坐标系，计算得255r CG ==, 设 (,)P m n , 由 AP AB AD λμ=+, 得(,)(0,1)(2,0)m n λμ=+, ∴2,m n μλ==. 动点 (,)P m n 在圆 C 上, ∴224(22)(1)5μλ-+-=, 由三角換元得5252sin cos 255λμαα+=++=+sin()3αϕ+ （其中255sin ,cos 55ϕϕ⎫==⎪⎪⎭. 故选 A .【解法2】设动点 (,)P x y 点P 的轨迹方程为22 4(2)(1)5x y -+-=由 AP AB AD λμ=+, 得2x z y λμ=+=+, 即直线 220x y z +-= 与圆相交, 故圆心到直线的距离小于等于半径, 即22|222|25512z +-+. ∴13z , 故 3λμ+, 故选 A .【解法3】由解法二将2x y z =-代人224(2)(1),5x y -+-=整理得222520(3)2040840x z x z z -++-+= 方程有解, 由 0∆ 得 2430z z -+, ∴13z , 故 3λμ+, 故选 A .【例2】已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 (1,0)F 的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1) 求曲线 C 的方程,（2）是否存在正数 m , 对于过点(,0)M m 且与曲线 C 有两个交点 ,A B 的任一直线,都有 0FA FB ⋅< 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.【分析】本例是解析几何与向量的综合,是高考命题的又一热点,求解时应注意根据向量式的特征, 征求其几何意义或将向量式转化为坐标式,根据其几何意义或坐标特征, 征求解题思路, 当题中涉及两直线所成角时可转化为向量, 而本例给出的 0FA FB ⋅< 是否存在的㮠讨,则可利用数量积求解.【解析】 (1) 设 (,)P x y 是曲线 C 上任意一点,那么点 (,)P x y 满足x = 1(0)x >, 化简得 24(0)y x x =>.（2）设过点 (,0)(0)M m m > 的直线 l 与曲线 C 的交点为 ()()1122,,,A x y B x y .设 l 的方程为 x ty m =+, 由 24,x ty m y x =+⎧⎨=⎩ 得 2440y ty m --=,()2160t m ∆=+>, 于是 121244y y ty y m +=⎧⎨=-⎩ ①又()()11221,,1,FA x y FB x y =-=-∵()()()121212*********FA FB x x y y x x x x y y ⋅<⇔--+=-+++<②又 24y x =, 是不等式②等价于 ()222221212121210444416y y y y y y y y ⎛⎫⋅+-++<⇔+ ⎪⎝⎭()212121212104y y y y y y ⎡⎤-+-+<⎣⎦③将①式代入不等式③, 有 22614m m t -+<.④对任意实数 2,4t t 的最小值为 0 ,∴ 不等式(4)对于一切 t 成立等价于 2610m m -+<, 即33m -<<+由此可知,存在正数 m , 对于过点 (,0)M m 且与曲线 C 有两个交点 ,A B 的任一直线,都有 0FA FB ⋅<, 且 m 的取值范围是(3-+.【例3】在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点, 动点 P 与两个定点, (1,0)(40)M N 、的距离之比为 12.(1) 求动点 P 的轨迹 W 的方程;(2) 若直线 :3l y kx =+ 与曲线 W 交于 ,A B 两点, 在曲线 W 上是否存在一点 Q , 使得 OQ OA OB =+ ? 若存在,求出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.【分析】第（1）问, 由直接法求出动点P 的轨迹 W 的方程，不难得出是一个圆，由于圆具有完美的对称性,在第 (2) 问中, 若存在点 Q 随 OQ OA OB =+, 根据向量的加法以及 ||||OA OB =, 易得四边形 OAQB 为菱形. 对于解析几何问题的解决, 其思维特征是: 以几何特征寻找代数关系, 以代数关系挖掘几何特征.【解析】(1) 设点 P 的坐标为 (,)x y , 依题意有 ||1||2PM PN =.即=, 化简得 224x y +=. ∴ 动点 P 的轨迹 W 的方程为224x y +=. 【解法1】直线:3l y kx =+与曲线22:4W x y +=相交于A, B $两点,原点到直线 l 的距离2,d k =<∴>或k <.假设存在点 Q , 使得 OQ OA OB =+,∵,A B 在圆上,且 OQ OA OB =+, 由向量加法的平行四边形法则可知四边形 OAQB 为菱形, ∴OQ 与 AB 互相垂直平分,进而得到原点 O 到直线 :3l y kx =+ 的距离为1||12d OQ ==, 即1d ==, 解得28,k k ==±经验证 k 的值满足条件.∴ 存在点 Q , 使得 OQ OA OB =+.【解法2】直线:3l y kx =+与曲线22:4W x y +=相交于$ A, B $两点, 联立223,4,y kx x y =+⎧⎨+=⎩ 消去 y 得()221650k x kx +++= 由()22362010k k ∆=-+>, 得k >或k <. 设 ()()1122,,,A x y B x y , 则 1221226,15,1k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 假设存在点 (,)Q x y ,, 使得 OQ OA OB =+, 则 ()122121226,166.1k x x x k y y y k x x k ⎧=+=-⎪⎪+⎨⎪=+=++=⎪+⎩ ∵ 点 (,)Q x y 在圆 224x y += 上, ∴222266411k k k ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 解得k =±.经验证 k 的值满足条件, ∴ 存在点 Q , 使得 OQ OA OB =+.【例4】已知曲线 C 上的动点 M 到 y 轴的距离比到点 (1,0)F 的距离小 1 . (1) 求曲线 C 的方程;（2）过 F 作弦 PQ RS 、, 设 ,PQ RS 的中点分别为 ,A B . 若 0PQ RS ⋅=, 求AB 取最小值时, 弦 PQ RS 、所在直线的方程;（3) 是否存在一定点 T , 使得 AF TB FT λ=- 若存在,求出 T 的坐标;若不存在, 试说明理由.【分析】第 (1) 问, 䀛得动点 M 到直线 1x =- 的距离与到点 (1,0)F 的距离相等, 符合抛物线的定义, 由求轨迹方程的定义法, 即得曲线 C 的方程; 第 (2) 问, 以直线PQ 坐标中的 k 用1k -代, 即得 B 点的坐标),从而求得向量 AB 的模, 并运用均值不等式求 ||AB 的最小值, 由等号成立的条件确定 k 的值,弦 PQ RS 、所在直线的方程; 第 (3) 问,是探索性问题,首先由条件 AF TB FT λ=-,通过向星变形可确定,, A T B 三点共线，再探求直线 AB 是否过定点. 本例看似难度不高, 但步步紧扣、层层深入, 解析几何常用的方程理论与平面向量的运算融为一体,正所谓“青山缭绕疑无路,忽见千帆隐映来”,解题者在詹题过程中碰到阻隔在所难免,想办法穿越阻隔，前面就是坦途,风景无限好!【解析】(1) 由条件 M 到 (1,0)F 的距离等于到直线 1x =- 的距离, 曲线 C 是以F 为焦点,直线 1x =- 为准线的抛物线, 其方程为 24y x =.（2）设 PQ:(1)l y k x =-, 代人 24y x = 得:()2222220k x k x k -++=. 由韦达定理得 ()()22121222212222222,1,121221,,0A A A k x x k x x x y k x k k k k x x A PQ RS k k ⎧+++⎪+=∴===+=-=⎨⎪=⎩⎛⎫∴+⋅= ⎪⎝⎭∴PQ RS ⊥, 只要将 A 点坐标中的 k 换成1k -, 得()212,2B k k +-. 故||14AB ⎡==⎢ (当且仅当1k =± 时取 "=“ ),||AB ∴ 最小时,弦 PQ RS 、所在的直线方程为 (1)y x =±-,即 10x y +-= 或 10x y --=.（3) ∴AF TB FT AF FT TB AT TB λλλ=-⇒+=⇒=, 即 ,,A T B 三点共线. ∴ 是否存在一定点 T , 使得 AF TB FT λ=-, 即探求直线 AB 是否过定点.由 (2) 知, 直线 AB 的方程为 ()222222212211k k y k x k k k --+=--⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭.即 ()21(3),k y k x -=-∴ 直线AB 过定点 (3,0).故存在一定点 (3,0)T , 使得 AF TB FT λ=-.【例5】设椭圆 2222:1(0)x y C a b a b +=>> 过点M , 且左焦点为1(F. (1) 求椭圆 C 的方程;(2) 当过点 (4,1)P 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 ,A B 时, 在线段 AB 上取点 Q ,满足 ||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅. 证明: 点 Q 总在某定直线上.【分析】本例是具有射影几何背景的解析几何试题,考查直线、椭圆的方程及其几何性质、线段定比分点公式的应用.第(2)小题的求解是一个难点,下面提供的两种解法都是抓住A,P ,B,Q 四点共线来展开的,这是解决本小题的突破口.【解析】(1) 由题意,得2222222211c a b c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩解得222224, 2.a b c a b ===-所求椭圆方程为 22142x y +=.（2）证法一、设 Q A B 、、的坐标分别为 ()()1122(,),,,,x y x y x y , 由题设知 ||AP 、||||||PB AQ QB 、、均不为零, 记||||||||AP AQ PB QB λ==, 则 0λ>, 且 1λ≠. 又 ,A P ,,B Q四点共线, 从而,AP PB AQ QBλλ=-=, 于是有121212124,1,,1111x x y y x x y y x y λλλλλλλλ--++====--++从而 22212241x x x λλ-=-,①2221221y y y λλ-=-②又点 ,A B 在椭圆 C 上,即 221124x y +=,③ 222224x y += ④①+② 2⨯ 并结合③④得 424x y +=. 即点 (,)Q x y 总在定直线 220x y +-= 上. 证法二、设点()()1122(,),, ,,Q x y A x y B x y由题设知 |||||||| PA PB AQ QB 、、、均不为零, 且 ||||||||PA PB AQ QB =, 又 ,,,P A Q B 四点共线, 可设 ,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±.于是1141,11x y x y λλλλ--==--, ①2241,11x y x y λλλλ++==++②由于 ()()1122,,,A x y B x y 在椭圆 C 上, 将①②分别代人 C 的方程 2224x y +=. 整理得 ()222244(22)140x y x y λλ+--+-+=,③()222244(22)140xy x y λλ+-++-+=, ④④ - ③得 8(22)0,0,220x y x y λλ+-=≠∴+-=.即点 (,)Q x y 总在定直线 220x y +-= 上.强化训练1. 如图 3-33 所示, 设抛物线 2:C y x = 的焦点为 F , 动点 P 在直线 :20l x y --= 上运动, 过 P 作抛物线 C 的两条切线 ,PA PB , 切点分别为 ,A B . 求证:AFP BFP ∠=∠.【解析】【证明】设切点A B 、的坐标分别为()200,x x 和()()21110,x x xx ≠,可得切线AP 的方程为20020x x y x --=,切线BP 的方程为21120x x y x --=.解得点P 的坐标为0101,2P P x x x y x x +==. 则22010********,,,,,4244x x FA x x FP x x FB x x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于点P 在抛物线外,即0FP ≠,201001001222001112444cos .14x x x x x x x x FP FA AFP FP FAFPFPx x ∠+⎛⎫⎛⎫⋅+--+ ⎪⎪⋅⎝⎭⎝⎭∴===⎛⎫+- ⎪⎝⎭201101101222111112444cos .14x x x x x x x x FP FB BFP FP FBFPFPx x ∠+⎛⎫⎛⎫⋅+--+ ⎪⎪⋅⎝⎭⎝⎭===⎛⎫+- ⎪⎝⎭综上可知AFP BFP ∠∠=.2. 如图 334- 所示, 在 ABC ∆ 中, 已知 (3,0),(3,0),A B CD AB -⊥ 于点D,ABC ∆ 的垂心, 且 9CD CH =. (1) 求点 H 的轨迹方程;(2) 设 (1,0),(1,0)P Q -, 是否存在这样的 H 点, 使得 111||||||HP PQ QH ⋅⋅成等差数列? 如果存在, 求出H 点坐标,如果不存在,请说明理由;（3）设直线 ,AH BH 与直线 :9l x = 分别交于 M N 、点,请问 : 以 MN 为直径的圆是否经过点 H 的轨迹外的定点? 并说明理由. 【解析】(1)设点(),H x y ,由题意得9,8C x y ⎛⎫⎪⎝⎭,则()93,,3,8AC x y BH x y ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭.由于AC BH ⊥,于是229908AC BH x y ⋅=-+=. 又0y =时,,AC BH 共线,不合题意,故点H 的轨迹方程为()221098x y y +=≠. (2)【解法一】()()1,0,1,0P Q -是点H 的轨迹椭圆()221098x y y +=≠的两个焦点, 6HP QH ∴+=.(1)若111,,HP PQ QH 成等差数列,则1121PH QH PQ+==.(2)由(1)(2)可解得33HP QH ==3HP =3QH =+而24,HP 24,QH故111,,HP PQ QH不能构成等差数列. 【解法二】设()()()3cos ,0,,2H αααπππ∈⋃.则()()3cos 1,22sin ,3cos PH QH αααα=+=-.故21111663213cos 3cos 9cos 84PQPHQHααα+=+=<=<=+--, 111,,HP PQ QH∴不能构成等差数列. (3)【解法一】设()00,H x y ,则()()0000:3,:333y yAH y x BH y x x x =+=-+-, 当9x =时可以求得00001269,,9,33y y M N x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭.以MN 为直径的圆的方程为()()000012699033y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭,即220000126(9)64033y y x y y x x ⎛⎫-+-+-=⎪+-⎝⎭,解得1,0x y =⎧⎨=⎩(舍去)或17,0.x y =⎧⎨=⎩故以MN 为直径的圆必过椭圆外定点()17,0.【解法二】设()()9,,9,M m N n ,则()()3,0,3,0A B -.于是()()12,,3cos AM m AH αα==+,由,,A H M三点共线得()123cos 30cos 1m m αααα⨯-+=⇔=+由,,B H N三点共线得cos 1n αα=-,9,,9,cos 1cos 1M N αααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭又以MN 为直径的圆的方程为:()()990cos 1cos 1x x y y αααα⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭,即22(9)640cos 1cos 1x y y αααα⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪+-⎝⎭解得1,x y =⎧⎨=⎩(舍去),或(){17,17,0.x MN =故以为直径的圆必过椭圆外定点。

高三数学(理)二轮复习：专题六解三角形与平面向量 Word版含解析

专题六解三角形与平面向量1．三角形的有关公式：(1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝sin_C ，sin A ＋B 2＝cos_C2； (2)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ；(3)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ；(4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝12r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)．2．平面向量的数量积a ·b ＝|a ||b |cos_θ．(θ为两个非零向量a ，b 的夹角) 特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件．3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ． 4．平面向量坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ≠0，b ≠0，则： (1)a·b(2)|a |2＝|a |2＝x 21＋y 21； (3)a ∥⇔x 1y 2－y 1x 2＝0；(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a |·|b |＝5．△ABC 中向量常用结论 (1)P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； (2)P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心；(3)向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心； (4)|P A →|＝|PB→|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．考点一解三角形考点精析b ＝2，B ＝π3，C ＝π4，则△ABC 的面积为()A ．1＋33B.3＋1C ．1－33D.3－1考点：正弦定理，三角形面积求法．分析：利用正弦定理列出关系式，将b ，sin B ，sin C 的值代入求出c 的值，且根据B 与C 的度数求出A 的度数，由b ，c ，sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC 的面积．解析：在△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，C ＝π4，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得：c ＝b sin C sin B ＝2×2232＝263.∵A ＝π－B －C ＝5π12，∴sin A ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＋π4＝12×22＋32×22＝6＋24，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×263×6＋24＝1＋33. 答案：A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．例1－2△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，角A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为() A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形考点：正弦定理的应用．分析：根据条件求出B ＝π3，然后根据正弦定理即可得到结论．解析：∵A ，B ，C 成等差数列， ∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，∴B ＝π3. ∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ，在△ABC 中，sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，∴A ＝π3或2π3.当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件． ∴A ＝π3，此时C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．答案：C点评：本题主要考查正弦定理的应用，根据等差数列的性质求出角B 是解决本题的关键．例1－3若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ()A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．分析：先根据正弦定理及题设，推断a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，再通过余弦定理求得cos C 的值小于零，推断C 为钝角．解析：根据正弦定理，a sin A ＝b sin B ＝csin C ，又sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13.设a ＝5t ，b ＝11t ，c ＝13t (t ≠0)， ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25t 2＋121t 2－169t 22×5t ×11t＝－23110<0，∴角C 为钝角．答案：C点评：本题的关键是应用余弦定理来判断角的类型，注意与正弦定理的巧妙结合．规律总结正弦定理，余弦定理是解三角形的基础，是与其他知识的交汇点，因而一直是高考命题的热点问题．考查时，既有小题，也有大题，以选择、填空题形式考查正弦定理、余弦定理的常见类型有：一是解三角形及其应用(如例1－1)；二是判断三角形的形状(如例1－2)；三是正弦定理、余弦定理与其他知识的综合运用(如例1－3)．变式训练【1－1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝()A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析：根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， ∴b 2＝a 2－c 2＋2bc ·cos A ，即b 2＝4－12＋6b ，解得b ＝2或b ＝4.∵b <c ，∴b ＝2. 答案：C【1－2】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为()A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：由正弦定理及已知条件可知sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，而B ＋C ＝π－A ，所以sin(B ＋C )＝sin A ，所以sin 2A ＝sin A ，又0<A <π，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，故选A. 答案：A【1－3】在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝()A ．5B.13或37 C.37D.13解析：由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin ∠BAC ＝33，得sin ∠BAC ＝32.因为△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，故∠BAC ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得， BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D. 答案：D例1－4已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．考点：余弦定理；等差数列的性质；平面向量数量积的运算；正弦定理．分析：(1)根据n 和m 表示出m ·n ，求得m ·n ＝sin C ，进而根据已知可推断出sin C ＝sin2C ，再用二倍角公式求得cos C 的值，进而求得C .(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可推断出2sin C ＝sin A ＋sin B ，利用正弦定理把角转化为边的问题，进而根据CA →·(AB →－AC →)求得ab cos C ＝18，最后由余弦定理求得C .解析：(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C ， ∴m ·n ＝sin C . 又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，即2sin C cos C ＝sin C ，又sin C ≠0，所以cos C ＝12，而0<C <π，因此C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA→·(AB →－AC →)＝18， ∴CA→·CB →＝18，即ab cos C ＝18，由(1)知cos C＝12，所以ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3×36，整理得c2＝36，∴c＝6.点评：本题主要考查了正、余弦定理和平面向量积的运算．考查了学生综合分析问题和运算的能力，关键是对公式的熟练掌握，难度中等．规律总结以解答题形式考查正弦定理、余弦定理及其综合应用一直是高考命题的热点问题．这类问题往往涉及到三角形的面积问题，因此我们必须熟练掌握三角形的面积公式．并且这类问题考查的重点是三角形中的三角变换问题．变式训练【1－4】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a3cos A＝csin C.(1)求A的大小；(2)若a＝6，求b＋c的取值范围．解析：(1)∵a3cos A＝csin C＝asin A，∴3cos A＝sin A，∴tan A＝3，∵0<A<π，∴A＝π3.(2)∵asin A＝bsin B＝csin C＝6sinπ3＝43，∴b＝43sin B，c＝43sin C，∴b＋c＝43sin B＋43sin C＝43[sin B＋sin(π－A－B)]＝43⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin B＋sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3＋B＝12sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫B＋π6.∵π6<B ＋π6<5π6，∴6<12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π6≤12，即b ＋c ∈(6，12]．【1－5】△ABC 的外接圆的直径为1，三个内角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，m ＝(a ，cos B )，n ＝(cos A ，－b )，a ≠b ，已知m ⊥n .(1)求sin A ＋sin B 的取值范围；(2)若abx ＝a ＋b ，试确定实数x 的取值范围．解析：(1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，∴a cos A －b cos B ＝0.由正弦定理知，a sin A ＝bsin B ＝1， ∴a ＝sin A ，b ＝sin B .∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B . ∵A ，B ∈(0，π)， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π. ∴A ＝B ，或A ＋B ＝π2.又a ≠b ，所以A ≠B ，故A ＋B ＝π2.∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π4， ∵π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π4≤1. ∴sin A ＋sin B 的取值范围为(1，2]． (2)∵abx ＝a ＋b ，∴sin A ·sin B ·x ＝sin A ＋sin B ， ∴x ＝sin A ＋cos A sin A cos A .令sin A ＋cos A ＝t ∈(1，2]，sin A cos A ＝t 2－12，∴x ＝2t t 2－1＝2t －1t.∵t －1t 在(1，2]上单调递增，∴0<t －1t ≤2－12＝22，∴x ≥22，故x 的取值范围为[22，＋∞)．例1－5如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．考点：解三角形的实际应用．分析：(1)由题意推出∠BAC ＝120°，利用余弦定理求出BC ＝28，然后推出渔船甲的速度．(2)(方法1)在△ABC 中，直接利用正弦定理求出sin α. (方法2)在△ABC 中，利用余弦定理求出cos α，然后转化为sin α.解析：(1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时．答：渔船甲的速度为14海里/时．(2)(方法1)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 答：sin α的值为3314. (方法2)在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC ，即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314.因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 答：sin α的值为3314.点评：本题考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．规律总结解三角形的实际应用问题在新的《课程标准》中有所加强．因此这类问题也会出现在高考试卷中，所以我们必须熟练掌握基本的解题方法．变式训练【1－6】如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1040(m)．所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋×1213＝200，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内．考点二平面向量考点精析1．两个向量的和仍是向量．特别注意的是：在向量加法的表达式中，零向量一定要写成0，而不应写成0；在△ABC 中，AB ＋BC ＋CA ＝0(如图)．2．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．3．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．也就是说，要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b ＝λa ，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．4．由于数量积是新运算，所以不能将代数运算的运算律完全照搬过来，在代数中使用的运算或规则不一定成立．以下三点要特别注意．第一点，当a ≠0时，a·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0，所以在代数中我们常用的“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”在向量的数量积中不适用．第二点，由a·b ＝b·c 不能推出a ＝c ，即等式两边都是数量积时，其公因式不能约去．这是因为原等式左右两边均是实数，是一个实数等式；而a ＝c 是一个向量等式，所以二者不等价．另外，我们学习的向量运算中没有除法，相约实质是相除，这是不允许的．这就是说，在代数中常见的“若2x ＝6则x ＝3”的变形在数量积中不适用．第三点，结合律对数量积不成立，即(a·b )c ≠a (b·c )．这是因为(a·b )c表示一个与向量c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与向量a 共线的向量，但向量a 和向量c 不一定共线(即使共线，其积也不一定相等)，所以(a·b )c ≠a (b·c )．5．由于向量有几何法和坐标法两种表示，它的运算也因为这两种不同的表示而有两种方式，因此向量问题的解决理论上讲有两个途径，即基于几何表示的几何法和基本坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．例2－1已知正三角形ABC 的顶点A (3，1)，B (33，1)，顶点C在第一象限，若点M (x ，y )在△ABC 的内部或边界，则z ＝OA →·OM →取最大值时，3x 2＋y 2有()A ．定值52B ．定值82C ．最小值52D ．最小值50 考点：平面向量的综合题．分析：利用向量的相关运算及线性规划，求出z ＝OA→·OM →取最大值时，x ，y 满足的关系式，再利用二次函数的相关知识求出最值即可．解析：由题意得C (23，4)，OA→＝(3，1)，OM →＝(x ，y )， ∴OA→·OM →＝3x ＋y ，由线性规划知当M 在线段BC 上时，z ＝OA→·OM →取最大值，故点M (x ，y )的坐标满足3x ＋y ＝10(23≤x ≤33)． ∴y ＝10－3x (23≤x ≤33)． ∴s ＝3x 2＋y 2 ＝3x 2＋(10－3x )2 ＝6x 2－203x ＋100，∵对称轴x ＝533，∴s ＝f (x )在[23，33]上单调递增，∴当x ＝23时s 有最小值52. 答案：C点评：本题主要考查了向量的相关运算及二次函数的最值求解问题．例2－2如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP→＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．考点：平面向量的加、减法，数乘及数量积等运算的法则与应用．分析：向量的运算一般有两种方法，即基底法和坐标法，本题可以以AB→，AD →作基底，用基底法求解，也可以以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，用坐标法求解．解析：(方法1)由题意，得AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP→＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →， ∴AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB → ＝|AD →|2－12AD →·AB →－316|AB →|2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD→·AB →＝22.(方法2)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(如图)，易得B (8，0)，设D (x ，y )，则x 2＋y 2＝5，DP ＝14DC ＝2，那么P (x ＋2，y )，AP→＝(x ＋2，y )，BP →＝(x －6，y )．由AP →·BP →＝2得：(x ＋2)·(x －6)＋y 2＝2，即x 2＋y 2－4x －12＝2.将x 2＋y 2＝5代入得x ＝114.所以AB→·AD →＝8x ＋0×y ＝8x ＝22. 答案：22点评：解决平面向量数量积问题，一是可以从平面向量基本定理出发，找准“基底”，围绕“基底”运算，二是建立坐标系，将运算坐标化．体会向量是联系代数与几何的“桥梁”．例2－3如图在等腰直角△ABC 中，点O 是斜边BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN→，则mn 的最大值为()A.12B ．1 C ．2D ．3考点：向量在几何中的应用；基本不等式在最值问题中的应用．分析：利用三角形的直角建立坐标系，求出各个点的坐标，由条件求出M 和N 坐标，则由截距式直线方程求出MN 的直线方程，根据点O 在直线上，求出m 和n 的关系式，利用基本不等式求出mn 的最大值，注意等号成立时条件是否成立．解析：以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则O 点坐标为(1，1)，B (0，2)、C (2，0)．∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →， ∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0.∴直线MN 的方程为nx 2＋my2＝1. ∵直线MN 过点O (1，1)， ∴m 2＋n2＝1，即m ＋n ＝2.∵m ＋n ≥2mn (m >0，n >0)，∴mn ≤（m ＋n ）24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号， ∴mn 的最大值为1.答案：B点评：本题考查了利用向量的坐标运算求最值问题，需要根据图形的特征建立坐标系，转化为几何问题，根据条件求出两数的和，再由基本不等式求出它们的积的最大值．注意验证的三个条件：一正二定三相等，考查了转化思想．规律总结综观2019年的高考试题，不难发现：高考对平面向量的考查，主要以选择、填空题为主(至于解答题中，也会涉及到平面向量的有关知识，但考查的重心却是其他知识，此时平面向量只是作为叙述有关条件的工具而已)．而且在选择、填空题考查平面向量有关知识题目与前几年相比较又有所变化：现在的高考题，要么非常常规，只要我们熟练掌握平面向量的基本知识和基本方法即可顺利过关；要么是新型问题．这正是需要我们在二轮复习中重点突破的地方．变式训练【2－1】，定义一种向量积a ·b ＝(a 1，a 2)·(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ·OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值为________．解析：设Q (x ，y )，P (x ′，y ′)，则由OQ →＝m ·OP →＋n 得 (x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ′，12sin x ′＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3，0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′＋π3，y ＝12sin x ′，消去x ′得y ＝f (x )的解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－π6，x ∈R ，易得y ＝f (x )的最大值为12.答案：12【2－2】在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO→|的最小值为________．解析：如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°.∵CO→＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1， ∴O 在AB 上，∴当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →|min＝12. 答案：12例在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．考场错解：∵sin A ＋cos A ＝22，∴两边平方得2sin A cos A ＝－12. 又0°<2A <360°，∴2A ＝210°或2A ＝330°，即A ＝105°或A ＝165°. 当A ＝105°时，tan A ＝tan(45°＋60°)＝1＋31－3，sin A ＝sin(45°＋60°)＝2＋64，△ABC 的面积为12AC ·AB ·sin A ＝3（2＋6）4；当A ＝165°时，tan A ＝tan ＝－2＋3，sin A ＝sin ＝6－24，△ABC 的面积为12AC ·AB ·sin A ＝34(6－2)．专家把脉：没有注意到平方是非恒等变形的过程，产生了增根，若A ＝165°，则sin A ＝6－24，cos A ＝－6＋24，此时sin A ＋cos A ＝－22，显然与sin A ＋cos A ＝22的已知条件矛盾．对症下药：(方法1)∵sin A ＋cos A ＝22，∴2cos(A －45°)＝22，即cos(A －45°)＝12，又0°<A <180°，∴A －45°＝60°，即A ＝105°.∴tan A ＝tan(45°＋60°)＝－2－3，sin A ＝sin(45°＋60°)＝2＋64，S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝34(6＋2)．(方法2)∵sin A ＋cos A ＝22，∴2sin A ·cos A ＝－12<0. 又0°<A <180°， ∴sin A >0， cos A <0.∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝32，∴sin A －cos A ＝62.解得sin A ＝2＋64，cos A ＝2－64，∴tan A ＝sin Acos A ＝－2－3，S △ABC ＝12AC ·AB ·sin A ＝34(6＋2)．专家会诊：解三角形的题目，一般是利用正弦定理、余弦定理结合三角恒等变形来解．要注意角的范围与三角函数值符号之间的联系与影响，注意利用大边对大角来确定解是否合理，要注意利用△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得一些基本关系式sin(B ＋C )＝sin A ，cos(B ＋C )＝－cos A ，sin B ＋C 2＝cos A2等，进行三角变换的运用．判断三角形的形状，必须从研究三角形的边与边的关系，或角与角的关系入手，要充分利用正弦定理，余弦定理进行边角转换.一、选择题 1．，则(2a ＋b )·a ＝() A ．－1B ．0 C ．1D ．2解析：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，∴2a ＋b ＝(1，0), ∴(2a ＋b )·a ＝1×1＋0×(－1)＝1. 答案：C2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是() A ．锐角三角形B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定解析：∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，由正弦定理可得，a 2＋b 2<c 2，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，∴π2<C <π，∴△ABC 是钝角三角形．答案：C3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝() A.3B.7C ．22D.23解析：根据题意画出相应的图形，如图所示：∵AB→·BC →＝1，设∠B ＝θ，AB ＝2. ∴2·BC ·cos(π－θ)＝1，即cos θ＝－12BC .又根据余弦定理得：cos θ＝22＋BC 2－324BC＝BC 2－54BC ， ∴－12BC ＝BC 2－54BC ，即BC 2＝3，则BC ＝ 3. 答案：A4．锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则ab 的取值范围是() A ．(1，2)B ．(1，3) C ．(2，2)D ．(2，3)解析：∵△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2B <π2，0<π－3B <π2，∴π6<B <π4，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ， a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．答案：D5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为()A.33B.36 C.63D.66解析：设AB ＝x ，由题意可得AD ＝x ，BD ＝23x ，BC ＝43x . △ABD 中，由余弦定理可得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD＝2x 2－4x 232x 2＝13，∴sin A ＝223.△ABD 中，由正弦定理可得AB sin ∠ADB ＝BDsin A ⇒sin ∠ADB ＝AB BD sin ∠A ＝x 2x 3×223＝63，∴sin ∠BDC ＝63.在△BDC 中，由正弦定理可得BD sin C ＝BCsin ∠BDC，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝233x ·6343x3＝66. 答案：D6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于()A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m 解析：如图，由图可知，∠DAB ＝15°， ∵tan15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋1×33＝2－ 3.在Rt △ADB 中，又AD ＝60，∴DB ＝AD ·tan15°＝60×(2－3)＝120－60 3. 在Rt △ADC 中，∠DAC ＝60°，AD ＝60， ∴DC ＝AD ·tan60°＝60 3.∴BC ＝DC －DB ＝603－(120－603)＝120(3－1)． ∴河流的宽度BC 等于120(3－1)m.答案：C7．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则()A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2解析：由于|a ＋b|，|a －b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错．当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b|>|a －b|，此时|a ＋b|2>|a|2＋|b|2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b|<|a －b|，此时|a －b|2>|a|2＋|b|2；当a ⊥b 时，|a ＋b|2＝|a －b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.答案：D8．＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，若AB→·BC →＝|AB →|2，则ω＝()A.π3B.π4 C.π6D.π12解析：由题意可知|BC→|＝2|AB →|，由AB →·BC →＝|AB →|2知－|AB →|·|BC →|cos ∠ABC ＝|AB→|2，∠ABC ＝120°，过B 作BD 垂直于x 轴于D ，则|AD →|＝3，T ＝12，ω＝2πT ＝π6，故选C.答案：C 二、填空题9．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且a cos B－b cos A ＝35c ，则tan Atan B 的值为______．解析：由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝35sin C ，即sin A cos B －sin B cos A ＝35sin(A ＋B )，即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，即sin A cos B ＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，所以tan A tan B ＝4. 答案：410．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315，∴bc ＝24，解方程组⎩⎨⎧b －c ＝2，bc ＝24得b ＝6，c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，所以a ＝8.答案：811．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，AB ＝600m ，由正弦定理得，600sin 45°＝BCsin 30°，∴BC ＝3002m.在Rt △DBC 中，∠DBC ＝30°，∴tan30°＝CDBC ，∴CD ＝BC ·tan30°＝1006(m)．答案：100 6 三、解答题12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．解析：(1)在△ABC 中，由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A ＝3×6333＝3 2.(2)由B ＝A ＋π2得，cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝33×⎝⎛⎭⎪⎫－33＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.13．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解析：(1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)(方法1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝7，b ＝2，A ＝π3，所以7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.(方法2)由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217.又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．解析：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝sin2C ＝2sin C cos C ，解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55.又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010. 由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.15．，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，－32，f (x )＝(m －n )·m .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π8＝－24，a ＝3，求b ＋c 的值．解析：(1)∵m －n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －sin x ，12， ∴f (x )＝(m －n )·m ＝(cos x －sin x )cos x －12＝cos 2x －sin x ·cos x －12 ＝12cos2x －12sin2x＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4. 令2k π－π≤2x ＋π4≤2k π，k ∈Z ，则k π－5π8≤x ≤k π－π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－5π8，k π－π8(k ∈Z )． (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A －π8＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2A －π4＋π4＝－24，∴cos2A ＝－12.∵0<A <π2，∴0<2A <π， ∴2A ＝2π3，∴A ＝π3.∵S ＝12bc sin A ＝12bc 123＝3， ∴bc ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ，即9＝b 2＋c 2－bc ，又(b ＋c )2＝b 2＋c 2＋2bc ＝9＋3bc ＝21, ∴b ＋c ＝21.。

2020高考数学核心突破《专题三三角函数、解三角形与平面向量》(含往年真题分析)

专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象1．(1)要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( C ) A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度(2) (2017·山西朔州模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为__－1__.突破点拨(1)先利用诱导公式将两函数化为同名三角函数，再利用平移法则求解． (2)先求函数f (x )的解析式，再利用解析式求最值．解析 (1)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π3，所以要得到函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度．故选C. (2)由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象，可得A ＝2，14·2πω＝5π6－7π12，解得ω＝2.再根据图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，可得2·7π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，故函数f (x )的最小值为2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1. 2. 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．突破点拨(1)由表中数据先写出A ，ω，φ的值，再由ωx ＋φ＝0，π，2π，求出其余值． (2)写出函数y ＝g (x )的解析式，由y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，利用整体思想建立关于θ的方程，根据k ∈Z 及θ＞0，求出θ的最小值．解析 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表.且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(1)三角函数图象平移问题需注意三点：一是函数名称是否一致；二是弄清由谁平移得到谁；三是左右的平移是自变量本身的变化．(2)对于由三角函数的图象确定函数解析式的问题，一般由函数的最值可确定A ，由函数的周期可确定ω，由对称轴或对称中心和φ的范围确定φ.题型二三角函数的性质1. 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．突破点拨(1)先将已知解析式化简，然后求解．(2)根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)与y ＝sin x 的关系求解．解析 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增；当π2<2x －π3≤π，即5π12<x ≤2π3时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎝⎛⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 2. 设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f (x )的最小正周期．突破点拨(1)先用公式化简，再利用三角函数的性质求解． (2)将x ＝π8代入，求ω，则周期可求．解析由已知得f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4. 又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，所以f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，即f (x )取最大值时，x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z . 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，其最小正周期为π.求解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式． (2)整体意识：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入的方法求解．(3)讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论．三角函数的综合应用【预测】已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω＞0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度，得到的函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间．思维导航(1)解题导引：①先化简函数f (x )的解析式，再利用图象与x 轴相邻两个交点的距离是半个周期求解析式；②先求函数g (x )的解析式，再求在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． (2)方法指导：三角函数的综合应用主要是将三角函数的图象和性质与三角变换相结合，通过变换将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意整体思想的应用．规范解答(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2 ＝32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)．根据函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，可得函数f (x )的最小正周期为2×π2＝2π2ω，得ω＝1. 故函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数 g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象．根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0，所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )．因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z . 结合x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，可得g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. 【变式考法】已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ (0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解析 (1)由题意，知 f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .因为y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，3和⎝⎛⎭⎫2π3，－2，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即y ＝g (x )的图象上到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y ＝g (x )并整理得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z .1．(教材回归)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意，故选A. 2．(2017·广西南宁质检)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度后，得到f (x )的图象，则( B )A ．f (x )＝－sin 2xB ．f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称C ．f ⎝⎛⎭⎫7π3＝12D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称解析将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象对应的解析式为f (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3.函数f (x )的图象的对称轴满足2x ＋2π3＝k π(k ∈Z )，即对称轴方程为x ＝k π2－π3(k ∈Z )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称；令2x ＋2π3＝k π＋π2，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，即f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0对称；f ⎝⎛⎭⎫7π3＝－12.故选B. 3．(2017·湖北襄阳模拟)同时具有性质“①最小正周期是4π；②直线x ＝π3是图象的一条对称轴；③在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数”的一个函数是( D )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3解析对于A 项，B 项，∵T ＝2π2＝π，故A 项，B 项不正确．对于C 项，若直线x ＝π3为其图象的一条对称轴，则π3×12＋π3＝k π，k ∈Z ，得π2＝k π，k ∈Z ，k 不存在，不满足题意，故C 项不正确．对于D 项，因为T ＝2π12＝4π，且由x 2＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π3，k ∈Z ；当k ＝0时，x ＝π3为图象的一条对称轴．由2k π＋π2≤x 2＋π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π3，4k π＋7π3，k ∈Z ，所以函数在区间⎝⎛⎭⎫2π3，5π6上是减函数，故D 项正确．故选D.4．(2017·山西晋中考前测试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数y ＝f (x )的图象向左平移4π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，5π2上的最大值为( C )A ．3B ．332C.322D ．22解析由图象可知函数y ＝f (x )的周期为2⎝⎛⎭⎫7π3－π3＝4π， ∴ω＝12.又点⎝⎛⎭⎫π3，0，⎝⎛⎭⎫0，－32在函数y ＝f (x )的图象上， ∴⎩⎨⎧A sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，A sin φ＝－32，且|φ|<π2.∴φ＝－π6，A ＝3，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6， ∴g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋4π3－π6＝3cos 12x . 由x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2，可得12x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，则3cos 12x ∈⎣⎡⎦⎤－3，322，即g (x )的最大值为322.5．(书中淘金)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃.解析依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5. 答案 20.56．(高考改编)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中，正确判断的序号是__②④__.解析将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，所以①不正确．f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，而⎣⎡⎦⎤0，π6⃘⎣⎡⎦⎤－512π＋k π，π12＋k π(k ∈Z )，所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ，令－3＋a ＝3，得a ＝23，所以④正确．所以正确的判断为②④.7．(考点聚焦)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx ·cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．解析 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋2π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 8．(2018·山东青岛调考)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解析 (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，可得函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，1＋32. 9．(母题营养)已知函数f (x )＝sin x cos x ＋12cos 2x .(1)若tan θ＝2，求f (θ)的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由函数y ＝f (x )的图象上所有的点向右平移π4个单位长度而得到，且g (x )在区间(0，m )内是单调函数，求实数m 的最大值．解析 (1)因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ. 代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得cos 2θ＝15.所以f (θ)＝sin θcos θ＋12cos 2θ＝2cos 2θ＋12(2cos 2θ－1)＝3cos 2θ－12＝110.(2)由已知得f (x )＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 依题意，得g (x )＝22sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4，即g (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 因为x ∈(0，m )，所以2x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，2m －π4. 又因为g (x )在区间(0，m )内是单调函数，所以－π4＜2m －π4≤π2，即0＜m ≤3π8，故实数m的最大值为3π8.10．(母题营养)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域．解析 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝⎛⎭⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，从而ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4，0，得f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫53x －π6－2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴53x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， ∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2]．1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点，于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋2B ．32C ．62D ．－2解析由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝2＋ 2.故选A.第2讲三角变换与解三角形题型一三角恒等变换1．(1)(2018·河南郑州模拟)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( A )A.17 B ．16C ．57D ．56(2) (2017·河北唐山中学模拟)已知α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝( D )A.210B ．－210C ．－7210D ．7210突破点拨(1)注意到β＝(α＋β)－α，再结合已知条件求tan β的值． (2)注意到cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4，再实施运算．解析 (1)tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12－131＋12×13＝17.故选A.(2)∵α是三角形的内角，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45<32， ∴α＋π3是钝角，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35，cos ⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫5π12－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫712π＋α＝－cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3·cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π4＝7210.故选D. 2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．突破点拨(1)利用诱导公式转化为二倍角公式，再利用同角三角函数基本关系式求解． (2)切化弦，转化为二倍角公式，再利用(1)的结论求解．解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin α cos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.利用三角恒等变换公式解题的常用技巧(1)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (2)降幂与升幂：通过二倍角公式得到． (3)弦、切互化：一般是切化弦．题型二解三角形1. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ． (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．突破点拨(1)根据正弦定理把已知条件转化为边的关系，然后利用余弦定理求解．(2)利用勾股定理得到边的一个方程，结合已知条件解方程组求得边长，然后求面积．解析 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14.(2)由(1)知b 2＝2ac . 因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2，故a 2＋c 2＝2ac ，进而可得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为12×2×2＝1.【变式考法】 (1)在本例条件下，求角B 的范围． (2)在本例条件下，若B ＝60°，b ＝2，求a 的值．解析 (1)因为b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －2ac2ac ＝0，又因为0<B <π，所以0<B ≤π2.(2)因为b 2＝2ac ，b ＝2，所以ac ＝1，又因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2＝3，所以a ＋c ＝5，所以a ＝5＋12或5－12. 2. △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin ∠B sin ∠C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．突破点拨(1)利用面积关系得边的关系，再利用正弦定理求解． (2)先利用面积比求BD ，再利用余弦定理求解．解析 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.利用正、余弦定理解三角形的技巧解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理，正弦定理可以将角转化为边，也可以将边转化成角，当涉及边的平方关系时，一般利用余弦定理，要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式，灵活选用．有关解三角形的综合问题(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .思维导航(1)由已知条件选择余弦定理求得AP .(2)由三角形的面积和(1)结论解得PB ，再由余弦定理及正弦定理求得AB 和sin ∠BAP . 规范解答(1)在△APC 中，因为∠P AC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4，由余弦定理得PC 2＝AP 2＋AC 2－2AP ·AC ·cos ∠P AC ，所以22＝AP 2＋(4－AP )2－2AP ·(4－AP )·cos 60°，整理得AP 2－4AP ＋4＝0，解得AP ＝2，所以AC ＝2.所以△APC 是等边三角形，所以∠ACP ＝60°.(2)因为∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB ＝120°.因为△APB 的面积是332，所以12AP ·PB ·sin ∠APB ＝332，所以PB ＝3.在△APB 中，AB 2＝AP 2＋PB 2－2AP ·PB ·cos ∠APB ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，所以AB ＝19.在△APB 中，由正弦定理得AB sin ∠APB ＝PBsin ∠BAP，所以sin ∠BAP ＝3sin 120°19＝35738.【变式考法】 (2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，AC <BC ，P 为BC 右上方一点，满足∠BPC ＝90°.(1)若BP ＝2，求AP 的长； (2)求△BPC 周长的最大值．解析由题意知1＝AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝2(BC ＝1舍去，则∠CAB ＝90°.又∠BPC ＝90°，且BP ＝2，所以∠PBC ＝45°，从而∠ABP ＝75°.连接AP ，由余弦定理得AP ＝3＋2－2×3×2×6－24＝6＋22. (2)由(1)可知BC ＝2或BC ＝1，又因为求△BPC 周长的最大值，所以BC ＝2，设BP ＝m ，PC ＝n ，则m 2＋n 2＝4.由于BC 长为定值，因此求△BPC 周长的最大值只需求BP ＋PC ＝m ＋n 的最大值即可．又4＝m 2＋n 2≥(m ＋n )22，则m ＋n ≤22，当且仅当m ＝n ＝2时取等号，此时△BPC 的周长取得最大值，为2＋2 2.1．(教材回归)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( D ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12解析原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．(2017·“江南十校”模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若C＝2B ，则sin Bsin A＝( D )A.c 2a 2＋b 2－c 2 B ．b 2a 2＋b 2－c 2C.a 2a 2＋b 2－c2 D ．c 2a 2＋c 2－b2解析由已知，得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以sin C sin B ＝2cos B ．由正弦定理及余弦定理，得c b ＝2×a 2＋c 2－b 22ac ，则b a ＝c 2a 2＋c 2－b2. 再由正弦定理，得sin B sin A ＝c 2a 2＋c 2－b 2，故选D.3．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为__3__.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.4．(2017·河南郑州调考)已知△ABC 中，角C 为直角，D 是边BC 上一点，M 是AD 上一点，且CD ＝1，∠DBM ＝∠DMB ＝∠CAB ，则MA ＝__2__.解析如图，设∠DMB ＝θ，则∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝π2－2θ，∠AMB ＝π－θ，∠ABM ＝π2－2θ，在Rt △ABC 中，cos θ＝cos ∠CAB ＝ACAB ；在△CDA 中，由正弦定理得CD sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ACsin 2θ；在△AMB 中，由正弦定理得MA sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θ＝ABsin (π－θ)， ∴CD MA ＝AC ·sin θAB ·sin 2θ＝AC ·sin θ2AB ·sin θcos θ＝12，从而MA ＝2. 5．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝__1__.解析在△ABC 中，由余弦定理的推论可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，由正弦定理可知sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a ·cos Ac ＝2×4×346＝1.6．(书中淘金)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB . ∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB ，得600sin 45°＝CBsin 30°，有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.7．(考点聚焦)已知函数f (x )＝2sin ωx ＋m cos ωx (ω＞0，m ＞0)的最小值为－2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和m 的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫θ2＝65，θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，求f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8的值．解析 (1)易知f (x )＝2＋m 2sin(ωx ＋φ)(φ为辅助角)， ∴f (x )min ＝－2＋m 2＝－2，∴m ＝ 2.由题意知函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝65， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，∴θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， ∴f ⎝⎛⎭⎫θ＋π8＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π8＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝4×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－4825. 8．(教材回归)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解析 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ，所以C ＜A ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 9．(2017·河北唐山二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab . (1)若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；(2)若λ＝4，AB 边上的高为3c6，求C . 解析 (1)已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，结合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0，解得sin A ＝6±24. 因为0<A <π6，所以sin A <12，所以sin A ＝6－24.(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )．从而有3sin C ＋cos C ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1. 又π6<C ＋π6<7π6，所以C ＝π3.10．(2017·山东淄博模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理，得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以A ＝π3. (2)方法一由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝⎛⎭⎫0<B <2π3，因为a sin A ＝2sin π3＝43，所以由正弦定理得b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝433⎝⎛⎭⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋33.易知－π6<2B －π6<7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3.方法二由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c＝2时，等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.1．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的取值范围．解析 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )－⎝⎛⎭⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴函数f (x )的最大值为2，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )取最大值时x 的取值集合为x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝ 1，即a 2≥1，当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c >a ，得a <2， ∴a 的取值范围是[1,2)．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值．解析 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A . ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.3．(2017·浙江重点中学联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若C ＝2B ，求证：cos A ＝3cos B －4cos 3B ；(2)若b sin B －c sin C ＝a ，且△ABC 的面积S ＝b 2＋c 2－a 24，求角B .解析 (1)证明：∵C ＝2B ，∴A ＝π－3B ， ∴cos A ＝cos(π－3B )＝－cos(B ＋2B ) ＝－cos B cos 2B ＋sin B sin 2B ＝－cos B (2cos 2B －1)＋2sin 2B cos B＝cos B －2cos 3B ＋2cos B (1－cos 2B )＝3cos B －4cos 3B ， ∴cos A ＝3cos B －4cos 3B .(2)在△ABC 中，∵S ＝b 2＋c 2－a 24，∴S ＝b 2＋c 2－a 24＝12bc sin A .由余弦定理知b 2＋c 2－a 24＝12bc cos A ，∴12bc cos A ＝12bc sin A ，∴tan A ＝1，而A ∈(0，π)，∴A ＝π4.∵b sin B －c sin C ＝a ，由正弦定理，得 sin 2B －sin 2C ＝sin A ＝22， ∴cos 2C －cos 2B ＝ 2.∵2C ＝2π－2A －2B ＝3π2－2B ，∴－sin 2B －cos 2B ＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π4＝－1. ∵B ∈(0，π)，∴2B ＋π4＝3π2，∴B ＝5π8.4．(2017·武汉武昌五月调研)已和函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫0，12，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2－cos A ＝12，bc ＝1，b ＋c ＝3，求a 的值．解析 (1)将⎝⎛⎭⎫0，12代入f (x )的解析式，得sin φ＝12. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.又因为最小正周期T ＝π2×2＝π，所以ω＝2.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以π6≤2x ＋π6≤13π6，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2或2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤3π2，13π6时，f (x )递增，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6或x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，π时，f (x )递增．所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π6，⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)由(1)知f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，代入已知等式得 sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6－cos A ＝32sin A ＋12cos A －cos A ＝32sin A －12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，所以A －π6＝π6或5π6，即A ＝π3或A ＝π(舍去)．又因为bc ＝1，b ＋c ＝3，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝6，所以a ＝ 6. 5．(2018·山东青岛模拟)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．解析 (1)在△ABC 中，∵S ＝12bc sin A ，∴23＝12×4×c ×32，∴c ＝2.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2×12＝2 3.(2)∵a sin A ＝b sin B ，即2332＝4sin B，∴sin B ＝1，又0<B <π，∴B ＝π2，∴C ＝π6，∴f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 6．(2018·辽宁协作体一模)设△ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B sin ⎝⎛⎭⎫π3－B . (1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c )．解析 (1)∵(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ，∴sin 2A －sin 2B ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B⎝⎛⎭⎫32cos B －12sin B ，即sin 2A ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B＝34(cos 2B ＋sin 2B )＝34， ∵角A 为锐角△ABC 的内角，∴sin A >0， ∴sin A ＝32，∴A ＝π3. (2)AB →·AC →＝bc cos A ＝12，∴bc ＝24，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝(27)2， ∴b ＋c ＝10，又∵b <c ，∴b ＝4，c ＝6.第3讲平面向量题型一向量的概念及线性运算高考中常从以下角度命题：1. (1)平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．若(a＋k c)∥(2b－a)，则k＝－1613.(2)如图，E为平行四边形ABCD的边DC的中点，F为△ABD的重心，且AB→＝a，AD→＝b，则FE→＝23b＋16a.突破点拨(1)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解．(2)利用向量加、减法的几何意义和重心公式求解．解析(1)因为(a＋k c)∥(2b－a)，又a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，所以k＝－1613.(2)由F为△ABD的重心，得AF→＝23×12AC→＝13(a＋b)．又AE→＝AD→＋DE→＝b＋12a，所以FE→＝AE→－AF→＝23b＋16a.2．(1)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝12，y＝－16.(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__－3__.突破点拨(1)画出图形，利用向量加减法则求解．(2)利用向量的坐标运算求解．。

2019年高考_平面向量_专题解题分析_肖伟华

.
分析：该题主要涉及单位向量的概念、平面向量
因为 0 ≤ θ ≤ π ，
的数量积、向量的夹角. 可以根据条件先直接求出
所以
θ
=
π 3
.
故答案选B.
2. 平面向量的模的运算
例3 （全国Ⅱ卷·文3）已知向量 a = (2，3)，b =
(3，2) ，则 | a - b| 的值为（）.
（A） 2
（B） 2
一、高考平面向量试题分类解析
2019 年高考平面向量试题主要是选择题与填空
题，并且延续了前两年高考平面向量试题的特点，试
题题干叙述简单，思维量与计算量适中，注重对基础
知识、基本思想和基本方法的考查.
1. 平面向量垂直的充要条件
例 1 （北京卷 · 文 9）已知向量 a = (-4，3) ，
· 59 ·
中国数学教育·高中版 2019 年第 7—8 期（总第 199—200 期）
又因为点 A，B，C 不共线，所以 AB 与 AC 的夹角为锐角.
| | 所以“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“ AB + AC > | |BC ”的充分必要条件.
故答案选C.
例7 （全国Ⅱ卷·理3）已知 AB = (2，3) ， AC =
的中点，点 E 在边 AB 上， BE = 2EA， AD 与CE 交于点O.
若
AB
·
AC
= 6AO
·
EC
，则
AB AC
的值是
.
A
E
O
B
D
C
图1
分析：该题以三角形为背景，综合了向量的加

高考数学必做解答题——平面向量与解三角形

高考数学必做解答题——平面向量与解三角形作者：汤小梅来源：《数学金刊·高考版》2014年第08期1 平面向量与平面几何和解析几何（）必做1 在平行四边形OABC中，已知过点C的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N，若=sinθ· ，=cosθ· ，其中θ∈0， .（1）求sin2θ的值；（2）记△OMN的面积为S ，平行四边形OABC的面积为S，试求的值.破解思路此题既涉及向量的加减运算，又综合了三角公式化简，是向量与三角、解三角形的交汇题，彰显向量在解平面几何问题时的工具价值.精妙解法（1）由题意可得 = = - ，所以 = - = -（1+sinθ）· .又 = - =cosθ· -sinθ· ，M，N，C三点共线，所以 = ，则sinθ-cosθ=sinθ·cosθ ①.①式两边平方，得1-2sinθ·cosθ=sin2θ·cos2θ，即sin22θ+4sin2θ-4=0.解得sin2θ=2 -2或-2 -2（舍去）.（2）由题意得S = · ·sin∠AOB= sin2θ·S = S，即 = .极速突击重视平面向量体现出的数形结合的思想方法，体验向量在解题过程中的工具性特点.（）必做2 如图1，已知椭圆C： + =1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l 为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M，若AM=MN，求∠AMB的余弦值.破解思路先由解析几何的知识得到向量的坐标，进而借助向量的数量积的坐标运算完成解答.精妙解法由已知可得A（-4，0），B（4，0），F（2，0），直线l的方程为x=8.设N（8，t）（t>0），因为AM=MN，所以M2， .由M在椭圆上，得t=6，故点M的坐标为M（2，3）.所以 =（-6，-3）， =（2，-3）， · =-12+9=-3，所以cos∠AMB= = =- ，即∠AMB的余弦值为- （用余弦定理也可求得）.？摇极速突击用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果，值得同学们重视.金刊提醒向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合. 注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量可转换性解决问题.2 平面向量与三角函数（）必做1？摇已知向量a=（2cos2x，）， b=（1，sin2x），且函数f（x）=a·b-1，g （x）=b2-1.（1）求方程g（x）=0的解集；（2）求函数y=f（x）的最小正周期及单调增区间.破解思路（1）利用平面向量的模长公式，求出函数g（x），解三角方程，得方程g （x）=0的解集.（2）利用平面向量的数量积公式，求出函数f（x），利用倍角公式与辅助角公式，化简函数f（x），再利用正弦函数的性质，即可得结论.精妙解法（1）g（x）=b2-1=sin22x，由g（x）=0得sin2x=0，所以2x=kπ（k∈Z），即x= （k∈Z），故方程g（x）=0的解集为xx= （k∈Z）.（2）f（x）=a·b-1=（2cos2x，）·（1，sin2x）-1=2cos2x+ sin2x-1=cos2x+sin2x=2sin2x+ ，所以函数f（x）的最小周期T= =π.由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ（k∈Z），得- +kπ≤x≤ +kπ（k∈Z）. 所以函数f（x）的单调增区间为- +kπ，+kπ（k∈Z）.极速突击本题把平面向量与三角函数自然融合. 平面向量的数量积、模、坐标表示是解题的突破口，有关三角函数的恒等变换是求解的桥梁.三角函数的图象和性质的应用是求解的关键，如y=Asin（ωx+φ）（Aω≠0）的单调区间的探求，一般先考虑A，ω的符号，再将ωx+φ视为一个整体，利用y=sinx的单调区间，整体运算，解出x的取值范围即可.（）必做2 已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx（x∈R）.（1）当x∈0，时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3， f（C）=2，若向量m=（1，sinA）与向量n=（2，sinB）共线，求a，b的值.破解思路（1）利用倍角公式与辅助角公式，化简函数f（x），再利用正弦函数的单调性，求函数的单调递增区间.（2）利用f（C）=2，得角C的三角方程，求出角C的值；由向量m与向量n共线，得sinA与sinB的关系式，利用正弦定理，转化为边a，b的方程；再利用余弦定理，得边a，b 的方程，从而联立方程可求出边a，b的值.精妙解法（1）f（x）=2cos2x+ sin2x=cos2x+ sin2x+1=2sin2x+ +1. 令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ（k∈Z），解得kπ- ≤x≤kπ+ （k∈Z）. 因为x∈0，，所以f（x）的递增区间为0， .（2）由f（C）=2sin2C+ +1=2，得sin2C+ = . 而C∈（0，π），所以2C+ ∈，，所以2C+ = π，得C= .因为向量m与向量n共线，所以 = ，由正弦定理得 = ①；由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos ，即a2+b2-ab=9 ②.联立方程①②，解得a= ，b=2 .极速突击有关平面向量、解三角形、三角函数相融问题的求解关键：一是活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是平面向量的坐标是数形转化的载体，会利用“方程的思想”破解向量共线（或垂直）求参问题. 有关解三角形的关键是正确分析边角关系，由于边与角可谓形影不离的“好姐妹”，在正、余弦定理的帮助下，边角互化，即可妙解三角形.金刊提醒三角形中的综合题涉及的知识点多，综合性强，解题时对知识和能力都有较高的要求. 在解题时要注意分析题目的已知和求解目标之间的关系，确定合理的解题方案，防止漫无目的进行解答. 三角形的三个内角是与三角形的内角和联系在一起的，当由其中的一个角的三角函数值求另外角的三角函数值时，就要受到三角形内角和的范围的制约，在解题中要充分注意这个制约条件，不要出现扩大角的范围的现象.3 解三角形与实际问题（）必做1 如图1，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向2 千米处.图1（1）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距千米的点P处，记∠PBC=α，求sinα的值；（2）游客甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲、乙同时出发，甲的速度为1千米/时，乙的速度为2千米/时. 若甲、乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问：有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：≈2.2，≈3.9 ）破解思路（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2 ，从而可求出角C；在△PBC中，利用余弦定理求出PC的值，再利用正弦定理求sinα的值.（2）把时间分为两类：0≤t精妙解法（1）在Rt△ABC中，因为AB=2，BC=2 ，所以∠C=30°.在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2-2BC·PC·cos30°=BP 2，即12+PC2-2×2 ×PC× =7，化简得PC2-6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍）.在△PBC中，由正弦定理得 = ，即 = ，所以sinα= .（2）Rt△ABC中，BA=2，BC=2 ，AC= =4. 设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4-t.①当0≤t图2在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4-t）2+（2t）2-2×2t×（4-t）×cos60°=7t2-16t+16. 令MQ>3即MQ2>9，得7t2-16t+7>0，解得t< 或t> ，所以0≤t< .②当1≤t≤4时，乙在景点B处，如图3所示.图3在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4-t）2+4-2×2×（4-t）×cos60°=t2-6t+12. 令BM>3即BM2>9，得t2-6t+3>0，解得t3+ . 而1≤t≤4时，不合题意.综上所述，当0≤t< 时，甲、乙间的距离大于3千米.又≈0.6，故两人不能通话的时间大约为0.6小时.极速突击破解此类以实际应用为背景的三角形问题的关键：一是准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；二是根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；三是将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答.误点警示求解第（2）问时没有对时间t进行分类讨论，想当然只做了第一种情形，虽然最终答案正确，但解题过程出错.（）必做2 如图4，在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC=120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示. 已知∠ACD=60°，路宽AD=24 m，设灯柱高AB=h m，∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）.（1）求灯柱的高h（用θ表示）；（2）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记所用材料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值.精妙解法（1）因为∠ABC=120°，∠ACB=θ，所以∠BAC=60°-θ，因为∠BAD=90°，所以∠CAD=30°+θ.因为∠ACD=60°，所以∠ADC=90°-θ.在△ACD中，因为 = ，所以AC= =16 ·cosθ.在△ABC中， = ，所以AB= =16sin2θ，即h=16sin2θ.（2）在△ABC中，因为 = ，所以可得BC= =32cosθsin（60°-θ）=8 +8 ·cos2θ-8sin2θ，则S=AB+BC=8 +8 ·cos2θ+8sin2θ=8 +16sin（2θ+60°）.因为30°≤θ≤45°，所以120°≤2θ+60°≤150°. 所以当θ=45°时，S取得最小值为（8 +8）m.金刊提醒正弦定理、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，高考对其考查重点是在解三角形中的工具性作用及结合三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.其得分秘籍：一是脱掉应用的外衣. 解三角形在实际生活中的应用，应能脱掉应用外衣，把所求的问题转化为在两个或者三个三角形中根据两个定理求解三角形的一些元素，把求解的目标归入到一个可解的三角形中.二是适时进行转化. 对三角形与其他知识相交汇的问题，需要我们理解题意，能从各种相交汇的问题中“抽取”出它们之间的数量关系，在解题过程中要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.。

平而不俗兼收并蓄——道高考解三角形小题的赏析

蓄，纵横联系，做到简约而不简单、平而不俗．这样
２０１３年浙江省数学高考理科卷第１６题如下：
题目在 △ＡＢＣ中，Ｃ＝９０。，Ｍ是ＢＣ的中
１
设计试题体现了命题者的别具匠心．３解法赏析
分析如图１，在ＡＡＢＣ中，角
．肺
第８期
ｓｉｎｚ＿Ｂａｃ＝ＢＣ
＝
．
王勇强，等：平而不俗
兼收并蓄
・２７・
解得ａ＝，故
３
ＡHale Waihona Puke 解法３（利用三角形面积公式）由三角形面
积公式可知，
｜ｓ△ Ａ删：埘．ＡＢ．ｓｉｎＺＢＡＭ：
图１
及阅卷结果来看，许多考生不会做或给出了错误的
答案，得分之低出人意料．于是笔者静下心仔细思考，再细品此题，忽然产生了一种新的感觉，觉得此题简约而不简单、平而不俗、兼收并蓄，重在考查学
则
＿ √ １＋（
解得＝，故
数量积运算解决问题．方法的多样性体现了对考生
运算能力的考查中包含了对思维能力、思维品质的
考查．特别是解法３利用三角形面积 “ 算两次” 、解
法４利用两角差的正切公式、解法５利用平面向量
ｓｉｎｃ＝鬈＝＝．
一十＋・．ｔｓ．２一（詈）２，／Ｙ

微专题五：平面向量与解三角形结合的中档题类型-解析

微专题：平面向量与解三角形结合的中档题类型一、单选题1．已知12,e e 为单位向量，且1222e e +≤，若非零向量a 满足12a e a e ⋅≤⋅，则()122a e e a⋅+的最大值是（） A．4B．2C．2D ．4【答案】D 【分析】设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，由1222e e +≤，计算可得1cos 4α≤-，设()cos ,sin a r r ββ=，0r >，由12a e a e ⋅≤⋅，计算可得()cos cos βαβ≤-，可推出()22πk k βα=+∈Z 时，等号成立，计算可得()()1222cos cos a e e aβαβ⋅+=+-()3cos αβ≤-3cos β=，结合21cos cos 22cos14αββ==-≤-，可求出cos 44β-≤≤，从而可求出()122a e e a⋅+的最大值. 【详解】由题意，可设()11,0e =，()2cos ,sin e αα=，则()12212cos ,2sin e e αα+=+，由1222e e +≤，可得()2212cos +4sin 4αα+≤，整理得1cos 4α≤-，设()cos ,sin a r r ββ=，0r >，由12a e a e ⋅≤⋅，可得()()()()cos ,sin 1,0cos ,sin cos ,sin r r r r ββββαα⋅≤⋅，即cos cos cos sin sin r r r ββαβα≤+，所以()cos cos βαβ≤-，当()cos cos βαβ=-时，()2πk k βαβ=-+∈Z 或()2πk k βαβ=-++∈Z ，即()22πk k βα=+∈Z 或()2πk k α=∈Z ，因为1cos 4α≤-，所以()2πk k α=∈Z 不符合题意，故()cos cos βαβ=-时，()22πk k βα=+∈Z .而()()1222cos cos cos sin sin 2cos cos a e e r r r raββαβαβαβ⋅+++==+-，因为()cos cos βαβ≤-，所以()122a e e a⋅+()3cos αβ≤-，当()22πk k βα=+∈Z 时，等号成立，此时()()3cos 3cos 2π3cos k αβββ-=-=，因为()21cos cos 22πcos 22cos14k αβββ=-==-≤-，所以23cos 8β≤，即cos β≤≤，所以()122a e e a⋅+()3cos 3cos αββ≤-=≤故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量与三角函数的综合问题，解题的关键是设出题中向量的坐标，利用平面向量的坐标运算及三角函数的运算性质，将所求不等式转化为三角函数关系式，进而求出最大值.考查学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于难题． 2．若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，则m =（）A．12B．2 C．3D 【答案】D 【分析】利用垂心的性质，连接CO 并延长交AB 于D ，得到CD AB ⊥，把已知条件中的式子化简，得到()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+，再两边同乘以AB ，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到cos sin 2C B B +=⋅，再把cos C 化为5cos 6B π⎛⎫-⎪⎝⎭，整理后得到m 值. 【详解】在ABC ∆中，sin sin 0B C ≠，由sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，得cos cos 2sin sin C BAB AC m AO C B+=⋅，连接CO 并延长交AB 于D ，因为O 是ABC ∆的垂心，所以CD AB ⊥，AO AD DO =+，所以()cos cos 2sin sin C BAB AC m AD DO C B+=⋅+ 同乘以AB 得，()cos cos 2sin sin C B AB AB AC AB m AD DO AB C B ⋅+⋅=⋅+⋅ 2cos cos cos 22cos sin sin C Bc bc A m AD AB m b A c C B+=⋅⋅=⋅⋅因为6A π=，所以2cos cos 33sin sin 2C B c bc mbc C B += 由正弦定理可得3cos sin cos sin 3sin sin 2C C B C m B C += 又sin 0C ≠，所以有3cos cos 3sin 2C B m B +=⋅，而56C A B B ππ=--=-，所以531cos cos cos sin 622C B B B π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以得到1sin 3sin 2B m B =，而sin 0B ≠，所以得到36m =，故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．3．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（）A ．45B ．54C ．56D ．12【答案】A 【分析】把已知等式中,MB MC 向量用,,AB AC AM 表示后可求得,x y ，由余弦定理得,,a b c 的关系，求出a b c+的最值，再由不等式性质得结论．【详解】∵0aMA bMB cMC ++=，∴()()a AM bMB cMC b AB AM c AC AM =+=-+-， ∴b cAM AB AC a b c a b c=+++++，又AM x AB y AC =+，∴,b c x y a b c a b c==++++，11b cx y a a b cb c++==++++，由余弦定理得2222227152cos ()44a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，由2()4b c bc +≤（当且仅当b c =时取等号），得222215()()()4416b c b c a b c ++≥+-⨯=， ∴14a b c ≥+，∴141514x y +≤=+，即x y +的最大值是45．故选：A.【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值．解题关键是由平面向量基本定理把,x y用,,a b c 表示出来．4．已知1OA =，3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且OC 与OA 的夹角为30，设(),OC mOA nOB m n R =+∈，则mn的值为（） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】C 【详解】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB ==，，则 10033OA OB OC mOA nOB m n ==∴=+=（，），（，），（，），3330n tan ∴︒== 3m n ∴=．故选C5．已知AB 是半圆O 的直径，2AB =，等腰三角形OCD 的顶点C ､D 在半圆弧AB 上运动，且OC CD =，120COD ∠=︒，点P 是半圆弧AB 上的动点，则PC PD ⋅的取值范围（）A ．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【分析】由圆的参数方程，设出C ､D 点的坐标，进而找出PC PD ⋅与角的关系，通过三角转化为三角函数，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，可得(1,0),(1,0)A B -，设(cos ,sin )(cos(120),sin(120))D C αααα++，设(cos ,sin )P θθ，其中[0,60],[0,180]αθ∈∈，所以(cos(120)cos ,sin(120)sin ),(cos cos ,sin sin )PC PD αθαθαθαθ=+-+-=--，所以[(cos(120)cos ](cos cos )[sin(120)sin ](sin sin )PC PD αθαθαθαθ=+--++⋅--21313(cos sin )cos (cos sin )cos cos cos cos 2222αααααθαθθ=------+21313(sin cos )sin (sin cos )sin sin sin sin 2222αααααθαθθ+-+--+-+1131(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )222αθαθαθαθ=+-++- 1131cos()sin()sin(30)2222αθαθαθ=--+-=+--，因为[0,60],[0,180]αθ∈∈，所以30[210,30]αθ--∈-，可得1sin(30)[1,]2αθ--∈-，即PC PD ⋅的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及圆的参数方程，三角函数的化简及三角函数的性质的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题.6．在ABC ∆中，26AB AC ==，2BA BC BA ⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅=A ．35B ．9-C ．7D ．25-【答案】B 【分析】由题意结合平面向量的定义可得2CAB π∠=，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算法则确定当222PA PB PC ++取得最小值时点P 的坐标，然后求解AP BC ⋅的值即可. 【详解】2||||cos ||BA BC BA BC B BA ⋅=⋅=，||cos ||BC B BA ∴⋅=， CA AB ∴⊥，2CAB π∠=，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则(6,0),(0,3)B C ，设(,)P x y ，则222222222(6)(3)PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-222231236453(2)(1)10x x y y x y ⎡⎤=-+-+=-+-+⎣⎦，所以当x =2，y =1时222PA PB PC ++取最小值，此时(2,1)(6,3)9AP BC ⋅=⋅-=-.故选B .【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算法则，平面向量的坐标运算，二次函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、多选题7．已知点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=，则下列选项正确的是（）A ．1324AO AB AC =+ B ．直线AO 必过BC 边的中点C ．:3:2AOB AOC S S =△△D ．若1OB OC ==，且OB OC ⊥，则13OA = 【答案】ACD 【分析】根据题设条件，化简得到423AO AB AC =++，可判定A 是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到2()4OB OC AC OD +=-=-，可判定B 不正确；根据4AC OD =-，得到32BE EC =，结合三角形的面积公式，可判定C 正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D 是正确的. 【详解】如图所示，点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=，可得223350AO OB OA OC OA OA +-+-+=，即()()23AO OB OA OC OA =-+-，即423AO AB AC =+，所以1324AO AB AC =+，所以A 是正确的；在ABC 中，设D 为BC 的中点，由230AO OB OC ++=，可得()2()0AO OC OB OC +++=，所以2()4OB OC AC OD +=-=-，所以直线AO 不过BC 边的中点，所以B 不正确；由4AC OD =-，可得4AC OD =且//AC OD ，所以14DE OD EC AC ==，所以14DE EC =，可得25EC BC =，所以32BE EC = 所以1sin 3212sin 2AOB AOCAD BE AEB S BE S EC AD EC OEC ⨯∠===⨯∠△△，所以C 正确；由230AO OB OC ++=，可得23OA OB OC =+ 因为1OB OC ==，且OB OC ⊥，可得222223412913OA OB OC OB OB OC OC =+=+⋅+=，所以13OA =，所以D 是正确的. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8．有下列说法其中正确的说法为（） A ．若a b ，b c ，则a c ：B ．若230OA OB OC ++=，AOC S ∆，ABC S ∆分别表示AOC ∆，ABC ∆的面积，则:1:6AOC ABC S S ∆∆=； C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向；D ．若a b ，则存在唯一实数λ使得a b =λ 【答案】BC 【分析】A 选项错误，例如0b =，推不出a c ∥，B 选项利用向量可确定O 点位置，可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16,故正确，C 选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =. 【详解】A 选项错误，例如0b =，推不出a c ∥，B 选项,设AC 的中点为M, BC 的中点为D, 因为230OA OB OC ++=，所以2220OM OD ⨯+=,即2OM OD =-,所以O 是MD 的三等分点，可知O 到AC 的距离等于D 到AC 距离的13,而B 到AC 的距离等于D 到AC 距离的2倍，故可知O 到AC 的距离等于B 到AC 距离的16，根据三角形面积公式可知正确，C 选项两边平方可得22||||a b a b -⋅= ，所以cos ,1a b <>=-，即夹角为π，结论正确，D 选项错误，例如0b =. 故选 B C.【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.三、填空题9．已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集FP FM FQ FM A F FP FQ ⎧⎫⋅⋅⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若对于任意的3m ≥，当1F 、2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的取值范围为________.【答案】3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】推导出PM mMQ =且FM 为PFQ ∠的角平分线，可得出PM PFm QM QF==，然后以点P 为坐标原点，PQ 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设1PM =，求出点F 的轨迹是圆，结合12F F k PQ ≤可得出21k m m≥-，求出函数21y x x=-在区间[)3,+∞上的最大值，由此可求得实数k 的取值范围. 【详解】111m OM OP OQ m m =+++，即111111m m OM OM OP OQ m m m m +=+++++， ()()111m OM OP OQ OM m m ∴-=-++，PM mMQ ∴=，由于FP FM FQ FM A F FP FQ ⎧⎫⋅⋅⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则cos cos FM PFM FM QFM ∠=∠，所以，FM 为PFQ ∠的角平分线，则点M 到PF 和PQ 的距离相等，所以，PFMQFM PM PF S m S QM QF===△△，以点P 为坐标原点，PQ 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设1PM =，则()0,0P ，()1,0M ，()1,0Q m +，设点(),F x y ，由PFm QF=()22221x y m x m y +=--+，化简可得222211m m x y m m ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，故点F 是以点2,01m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭为圆心，1mm -为半径为圆上的一点，要使得不等式12F F k PQ ≤对圆上任意两点12,F F 恒成立，而1222()1mF F r m ≤=+，所以只需()211m k m m ≤+-对任意的3m ≥恒成立，22211m k m m m∴≥=--，由于函数21y x x =-在区间[)3,+∞上单调递增，则max 231433y ==-，34k ∴≥. 因此，实数k 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题． 10．圆M 的方程为()()()2225cos 5sin 1x y R θθθ--+-=∈，圆C 的方程为()2224x y -+=，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE PF ⋅的最小值为__________.【答案】6 【分析】设CPE α∠=，可得出2EPF α∠=，利用三角函数的定义以及平面向量数量积的定义可得出223212PE PF PC PC=+-⋅，利用圆的几何性质求得2PC 的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得PE PF ⋅的最小值.【详解】设CPE α∠=，则2EPF α∠=，由切线长定理可得PE PF =，24PC PE =+，cos PE PCα=，()222222cos 22cos 114P PE PE PF PE PE P E PF E αα⎛⎫ ⎪=⋅=⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⋅+⎭()()22422222222442322416444PE PE PE PE PE PE PE PE PE ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-=-=+-+-+++()22223232412124PE PC PE PC =++-=+-+，圆心M 的坐标为()25cos ,5sin θθ+，则(25MC =+=，由图可得11MC PC MC -≤≤+，即46PC ≤≤，则21636PC ≤≤，由双勾函数的单调性可知，函数3212y x x=+-在区间[]16,36上单调递增，所以，当216PC =时，PE PF ⋅取得最小值321612616+-=.故答案为：6. 【点睛】本题考查平面向量数量积的最值，同时也考查了双勾函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.11．在△ABC 中，12BD DC =，AE EB =，点F 为△ADC 内（包括边界）任意一点，若EF EB ED λμ=+，则2λμ-的取值范围为________【答案】[]8,1--【分析】记2ED EG =-，可得出2EF EB EG λμ=-，设直线EF 交BG 于点N ，设EN mEB nEG =+，证明出1m n +=，设EF k EN =，可得出2EF k EN λμ-==-，然后过点F 作BG的平行线交CE 于点P ，进而得出EP k EM =-，求出EP EM的最大值和最小值，进而可得出2λμ-的取值范围.【详解】记2ED EG =-，从而2EF EB ED EB EG λμλμ=+=-，在直线BG 上任取一点N ，设EN mEB nEG =+，由于//BN BG ，则存在实数x ，使得BN xBG =，即()EN EB x EG EB -=-， ()1EN x EB xEG mEB nEG ∴=-+=+，则11m n x x +=-+=，设直线FE 交直线BG 于点N ，过点F 作直线BG 的平行线交直线CE 于点P ，则EF EPEN EM =，设EF k EN =，则EP k EM =，且()EF kEN k mEB nEG ==+，即2EB EG kmEB knEG λμ-=+，由于EB 、EG 不共线，则2km knλμ=⎧⎨-=⎩，()2km kn k m n k λμ∴-=+=+=，由于EP 与EM 方向相反，则k 0<且EP k EM =-，过点A 作直线BG 的平行线交CE 于点Q ，当点P 与点Q 重合时，此时EP EM 取得最小值，此时1EP EA EM EB==，即max 1k =-；当点P 与点C 重合时，此时EP EM取得最大值，设直线AQ 交BC 于点S ，直线AQ 交DG 于点T ，易证AET BEG ≅△△，可得EG ET =，2ED EG =-，可得22ED EG ET ==，所以，T 为线段ED 的中点， //AS BG ，则13DS DT BD DG ==，12BD DC =，则26DC BD DS ==，取BS 的中点U ，连接UE ，则//UE AS ，且13BU BD =，从而8CU BU =， //AS BG ，则//EU BG ，所以，8CECUEM BU ==，所以，EP EM的最大值为8，即min 8k =-.综上所述，2λμ-的取值范围是[]8,1--.故答案为：[]8,1--.【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求含参代数式的取值范围，考查了等和线性质的应用，考查数形结合思想以及计算能力，属于难题.12．已知正ABC 的边长为2，PQ 为ABC 内切圆O 的一条直径，M 为ABC 边上的动点，则MP MQ ⋅的取值范围为______________.【答案】[]0,1【分析】先由正ABC 的性质，求出其内切圆半径，再利用向量的三角形法则，得到=MP MO OP +，=MQ MO OQ +，再结合=OQ OP -，可得到22213MP MQ MO OP MO ⋅=-=-，再根据图像利用临界值法，求出MP MQ ⋅的取值范围.【详解】如图所示，O 为正ABC 内切圆圆心，OD 为内切圆半径，在BDO △中，=1BD ，=30OBD ︒∠，可求得内切圆半径3OD .又PQ 为圆O 的直径, =OQ OP ∴-，利用向量的线性表示可得，=MP MO OP +，=MQ MO OQ MO OP +=-，2221()()3MP MQ MO OP MO OP MO OP MO ∴⋅=+-=-=-，又M 为ABC 边上的动点，由图可知，当M 为ABC 边的中点时，MO 最小为3，即min 0MP MQ ⋅=；当M 为ABC 的顶点时，MO 最大为23，即max 1MP MQ ⋅=. MP MQ ∴⋅的取值范围为[]0,1.故答案为：[]0,1.。

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