《 工程问题》Ⅰ (2015.4.1)
(word完整版)小学奥数工程问题十大类(2021年整理精品文档)
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小学奥数工程问题十大类工程问题就是从分率的角度来解决工作方面的问题,其基本数量关系仍然是工作量，工作时间和工作效率三者之间的关系，只不过不再是具体的数量，而是把“一项工程”、“一段路”、“一批零件”、“一份稿件”、“一个水池"等这些没有告诉具体数量的工作量看作“1”；几天完成，也就是把这个“1”平均分成几份；每天完成几分之几，就是工作效率。
在解答工程问题时，要充分利用“工作效率×工作时间=工作总量"这个关系。
建立“数量间的对应关系”是解题的突破口；掌握工程问题的解题方法，抓住解答工程问题的特点，理清题目的解题思路，是提高解答工程问题能力的关键。
运用常用的数学思想及解题方法，如:假设法、转化法、代换法、列举法、方程等来解答工程问题。
一、单位“1”例题1一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成.这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工用了14天.这件工作由甲先做了几天?例题2一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。
先由甲、乙两队合修4天,再由丙队参加一起修7天后全部完成。
如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？练习一：1、一项工程,甲独做要40天完成, 乙独做要30天完成。
现在先由甲做了若干天，然后由乙接着做，共用了35天完成任务。
工程问题练习题2
14、一列慢车从甲站开往乙站要8小时，一列快车从乙站开往甲站要6小时，两车相向而行，慢车从甲站开出1小时后，快车从乙站开出，快车开出几小时后两车相遇？13一列慢车从甲站开往乙站要8小时，一列快车从乙站开往甲站要6小时，两车相向而行，经过几小时两车相遇？相遇时两车各行了全程的几分之几？15、一项工程，甲乙两队合修12天完成，甲、乙两队工作效率的比是3：2。
甲、乙两队单修各需要多少天可以完成？16、一项工程，甲队单独做4天完成它的51，乙队单独做5天完成它的61。
甲乙两队合做，多少天可以完成？17、一项工程，甲队单独做要15天完成，乙队单独做要12天完成，两人合作一段时间后，乙有事请假，甲又做了6天，正好完成任务，甲乙合作了多少天？18、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。
现在先由甲队独做了几天，再由乙接着单独做，共用了25天，两队各做了几天？19、师徒两人生产一批零件，师傅单独做要18天完成，徒弟单独做要27天完成。
两人合作多少天能超额完成这批任务的9120、生产一批零件，由甲、乙两人共同完成，甲单独做需要20小时完成，甲的工作效率比乙低53，甲乙全做完成这批零件需要几小时？21、一项工程，甲、乙两队合做要12天完成，由乙队单独做30天可以完成，现在甲队独做了若干天后，剩下的由甲、乙两队合作，经过15天完成。
乙队在完成全部工程中共做了多少天？22、快车从甲地驶往乙地要20小时，慢车从乙地驶往甲地要30小时，两车同时从两地相向而行，相遇时快车共走了600千米，甲乙两地相距多远？23、一批零件甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作2天后，甲比乙多做了48个零件。
这批零件共有多少个？24、一份稿件，甲、乙合打需要12小时完成，现在甲单独打了2小时，然后又打了3小时，一共打完了这份稿件的51。
甲乙单独打完成这份稿件各需要多少小时？。
1工程问题(已整理)
工程问题一、什么是工程问题在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务,完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是工作量=工作效率×时间.在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”二、工程问题存在的比例关系工作总量相同,工作效率和工作时间成反比；工作时间相同，工作效率和工作总量成正比；工作效率相同，工作时间和工作总量成正比。
三、例子例:一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成?一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作１.所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位,再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率＝6(天)？两人合作需要6天．一、两个人的问题标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作?解一:甲做了3天,完成的工作量是＼ｆ（３，９) =１３,乙还需完成的工作量是１－错误!=错误!乙每天能完成的工作量(工作效率）是错误!,完成余下错误!的工作量所需时间是错误!÷错误!=４(天) 答：乙需要做4天可完成全部工作．解二:9与６的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成２份,乙每天完成3份．乙完成余下工作所需时间是(18- 2 ×3）÷ 3= 4（天).解三：甲与乙的工作效率之比是6∶ 9= 2∶ 3.甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-２=4(天).例2 一件工作,甲、乙两人合作3０天可以完成,共同做了６天后,甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？解:共做了６天后，原来,甲做２4天,乙做２４天，现在,甲做０天，乙做40=(24+16）天．这说明原来甲2４天做的工作，可由乙做１6天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的＼ｆ(１6,24）=２3如果乙独做，所需时间是如果甲独做，所需时间是答:甲或乙独做所需时间分别是７５天和5０天.例3 某工程先由甲独做63天,再由乙单独做２8天即可完成；如果由甲、乙两人合作,需４8天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天?解：先对比如下：甲做63天，乙做28天;甲做４8天,乙做4８天.就知道甲少做63-48=1５(天），乙要多做48－２８=2０(天）,由此得出甲的甲先单独做42天，比63天少做了63-42＝21(天),相当于乙要做因此，乙还要做28+28= 5６（天）.答：乙还需要做 56天．例4 一件工程,甲队单独做１0天完成，乙队单独做30天完成．现在两队合作，其间甲队休息了２天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）．问开始到完工共用了多少天时间？解一:甲队单独做８天,乙队单独做２天,共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是２+8+ 1= 11(天)．答:从开始到完工共用了1１天.解二:设全部工作量为30份．甲每天完成3份,乙每天完成1份．在甲队单独做8天,乙队单独做2天之后，还需两队合作(30- 3 ×８- １× 2）÷(3+1)= 1（天）.解三:甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做 8天后，还余下(甲队） 10-8＝２(天)工作量.相当于乙队要做2×3=6（天).乙队单独做2天后,还余下(乙队)6-2＝４（天）工作量．4=３+1，其中３天可由甲队１天完成，因此两队只需再合作１天.例5一项工程，甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了1６天．问乙队休息了多少天?解一:如果1６天两队都不休息,可以完成的工作量是由于两队休息期间未做的工作量是乙队休息期间未做的工作量是乙队休息的天数是答：乙队休息了５天半.解二:设全部工作量为6０份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.两队休息期间未做的工作量是(3+2)×1６－6０= 2０（份).因此乙休息天数是（20- 3 ×３）÷ 2= 5.5（天）.解三:甲队做2天，相当于乙队做3天.甲队休息3天,相当于乙队休息4.5天.如果甲队16天都不休息,只余下甲队4天工作量，相当于乙队６天工作量，乙休息天数是１6-6－４．５=5.5(天).例6 有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要１０天,单独完成乙工作要1５天;李单独完成甲工作要 8天,单独完成乙工作要2０天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？解：很明显,李做甲工作的工作效率高,张做乙工作的工作效率高．因此让李先做甲,张先做乙.设乙的工作量为６０份（15与20的最小公倍数）,张每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作(６0-4×8）份．由张、李合作需要（6０－４×８)÷(4+３）=4(天).8+4=1２（天)．答:这两项工作都完成最少需要12天.例７一项工程,甲独做需１0天,乙独做需15天，如果两人合作,他要８天完成这项工程，两人合作天数尽可能少,那么两人要合作多少天?解:设这项工程的工作量为30份,甲每天完成3份,乙每天完成2份．两人合作,共完成3× 0.8 ＋２×0.9= ４.2（份)．因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成,所以两人合作的天数是(30-3×８)÷(4．２-3)=５（天）.很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.例8 甲、乙合作一件工作,由于配合得好,甲的工作效率比单独做时如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？解：乙6小时单独工作完成的工作量是乙每小时完成的工作量是两人合作6小时,甲完成的工作量是甲单独做时每小时完成的工作量甲单独做这件工作需要的时间是答：甲单独完成这件工作需要33小时.这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是,“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便．例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每有一点方便,但好处不大.不必多此一举.二、多人的工程问题我们说的多人，至少有3个人,当然多人问题要比2人问题复杂一些,但是解题的基本思路还是差不多.例9 一件工作，甲、乙两人合作３6天完成，乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？解:设这件工作的工作量是1．甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成答:甲一人独做需要90天完成.例9也可以整数化，设全部工作量为18０份,甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份,甲、丙合作每天完成3份.请试一试,计算是否会方便些?例10 一件工作,甲独做要12天，乙独做要１８天，丙独做要２４天．这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的２倍,终于做完了这件工作.问总共用了多少天?解:甲做１天,乙就做3天,丙就做3×2=６(天）.说明甲做了2天,乙做了２×3＝6(天）,丙做２×6=12(天),三人一共做了2＋６+1２＝20(天).答:完成这项工作用了20天.本题整数化会带来计算上的方便.12,18,2４这三数有一个易求出的最小公倍数72．可设全部工作量为72．甲每天完成6，乙每天完成４，丙每天完成3.总共用了例1１一项工程,甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做４天,或者由甲、乙两人合作１天.问这项工程由甲独做需要多少天?解：丙2天的工作量,相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷２=2（倍）,甲、乙合作１天，与乙做4天一样．也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍．他们共同做13天的工作量，由甲单独完成,甲需要答：甲独做需要26天.事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1,就知甲做1天,相当于乙、丙合作１天.三人合作需１３天,其中乙、丙两人完成的工作量,可转化为甲再做1３天来完成．例12 某项工作，甲组３人8天能完成工作,乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组７人合作多少时间能完成这项工作?解一：设这项工作的工作量是１.甲组每人每天能完成乙组每人每天能完成甲组2人和乙组7人每天能完成答:合作3天能完成这项工作．解二：甲组3人8天能完成,因此2人１2天能完成;乙组4人７天能完成,因此７人4天能完成.现在已不需顾及人数，问题转化为:甲组独做1２天，乙组独做4天,问合作几天完成?小学算术要充分利用给出数据的特殊性．解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数．例1３制作一批零件，甲车间要10天完成,如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做,需要8天才能完成.现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个．问丙车间制作了多少个零件？解一：仍设总工作量为1.甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是丙车间制作的零件数目是答:丙车间制作了4２0０个零件.解二:１0与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为3０份.甲每天完成３份，甲、乙一起每天完成５份,由此得出乙每天完成2份．乙、丙一起,８天完成.乙完成8×2=16(份），丙完成30-１6＝14(份），就知乙、丙工作效率之比是1６∶14＝８∶７.已知甲、乙工作效率之比是 3∶2＝ 1２∶8.综合一起,甲、乙、丙三人工作效率之比是12∶8∶7.当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400÷（1２- 8) × 7= 4２０0（个）．例14搬运一个仓库的货物，甲需要１0小时,乙需要12小时，丙需要１5小时.有同样的仓库A和B,甲在A 仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间?解:设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量２，所需时间是答:丙帮助甲搬运３小时,帮助乙搬运5小时．解本题的关键,是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为6０.甲每小时搬运6,乙每小时搬运５，丙每小时搬运4．三人共同搬完，需要６０× 2÷（６+ 5＋ 4）= 8（小时).甲需丙帮助搬运(６０－6× 8)÷ 4= ３(小时）．乙需丙帮助搬运(60- 5× 8）÷4＝5(小时）．三、水管问题从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程,注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率．至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同．例15 甲、乙两管同时打开,9分钟能注满水池.现在，先打开甲管,10分钟后打开乙管,经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入０．6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？甲每分钟注入水量是乙每分钟注入水量是因此水池容积是答：水池容积是27立方米.例16有一些水管,它们每分钟注水量都相等．现在按预定时间注满水池,如果开始时就打开１0根水管，中途不增开水管,也能按预定时间注满水池．问开始时打开了几根水管？答:开始时打开6根水管.例17 蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙、丁两条排水管．要灌满一池水,单开甲管需3小时，单开丙管需要５小时.要排光一池水,单开乙管需要、乙、……的顺序轮流打开１小时,问多少时间后水开始溢出水池？,否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.以后(20小时),池中的水已有此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的:一只掉进了枯井的青蛙,它要往上爬3０尺才能到达井口,每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？看起来它每小时只往上爬3- 2= 1(尺)，但爬了2７小时后,它再爬1小时,往上爬了３尺已到达井口．因此，答案是2８小时，而不是30小时.例18 一个蓄水池,每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空,如果打开8个水龙头,1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空?解:先计算1个水龙头每分钟放出水量．２小时半比１小时半多６０分钟，多流入水4 ×6０= 240(立方米).时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是２40 ÷（５×１5０- 8 × 90）= 8（立方米)，８个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 ×９0，其中 90分钟内流入水量是４× 90,因此原来水池中存有水 8 × 8 ×90－4 ×90＝ 5400(立方米).打开1３个水龙头每分钟可以放出水8×13,除去每分钟流入4，其余将放出原存的水,放空原存的540０，需要５400 ÷(8 ×１3- 4）=５4（分钟）．答：打开13个龙头,放空水池要54分钟.水池中的水,有两部分,原存有水与新流入的水,就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.例19一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开Ｃ管，12小时可将满池水排空.如果打开Ａ，B两管，４小时可将水排空.问打开B,C两管，要几小时才能将满池水排空？解：设满水池的水量为１.Ａ管每小时排出A管4小时排出因此，Ｂ，Ｃ两管齐开,每小时排水量是B，C两管齐开，排光满水池的水,所需时间是答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完.本题也要分开考虑，水池原有水(满池）和渗入水量．由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样．这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与１2的最小公倍数２４.1７世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题,这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例１８和例1９是类同的．题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草．这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量,是完全类同的．例20有三片牧场,场上草长得一样密,而且长得一草；２１头牛９星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛1８星期才能吃完第三片牧场的草？解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式,可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.原有草+4星期新长的草＝１2×４.原有草＋9星期新长的草=7×9.由此可得出,每星期新长的草是（7×9-12×4）÷(9-4）=3.那么原有草是7×9-3×9＝36(或者12×4-3×4).对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是这些草能让90×7.2÷１8=36（头）牛吃1８个星期.答:３６头牛１8个星期能吃完第三片牧场的草．例２0与例19的解法稍有一点不一样．例20把“新长的”具体地求出来,把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算．事实上,如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，１0小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系．但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗?“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子．例21画展9点开门,但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点９分就不再有人排队,如果开5个入场口，9点５分就没有人排队.问第一个观众到达时间是８点几分?解:设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位．从9点至9点９分进入观众是3×9,从９点至９点5分进入观众是5×5.因为观众多来了9-5＝4(分钟）,所以每分钟来的观众是(3×９－5×5)÷（９-５)=0.５.9点前来的观众是5×５-0.5×5=22．5.这些观众来到需要22．5÷０．5=45(分钟)．答:第一个观众到达时间是8点1５分.。
五年级工程问题.pdf
14、加工一批零件，原计划每天加工
30 个。当加工完 1 时，由于改进了技术，工作效率提高了 3
结果提前 4 天完成任务。问这批零件共有多少个？
10%，
能力练习：
1、 春天的时候，学校组织学生去果园给果树浇水，如果甲班的学生单独去需要
12 天完成，乙班单
独去需要 15 天完成。如果两个班共同做了 4 天，那么乙班独自完成剩下的浇水工作需要多少天？
共需要多少天完成？如果甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，而甲队继续修了
5 天才修完，那
么乙队一共修了多少天？
1
2、 一件工作，甲 5 小时完成了 多少时间才能完成？
1 ，乙 6 小时完成了剩下的一半；余下的部分由甲、乙合作，还需要 4
3、 一项工程，乙单独做要 14 天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，需要
4、 一项工程，甲单独做需要 12 天完成，乙单独做需要 15 天完成，丙单独做需要 20 天完成，那么
三人共同做需要多少天才能完成？中间的时候乙有其他任务离开了，
结果用了 6 天才把工作完成， 那
么乙工作了几天？
5、 有一批零件需要加工， 甲单独做需要 5 小时完成， 乙单独做需要 8 小时完成， 现在两人开始合作， 3 小时后甲比乙多做了 9 个零件，那么两人目前一共加工了多少零件？
26 天时
9、 一项工程，甲单独做需要 10 天，乙单独做需要 15 天，如果两人合作，甲的工作效率就要降低，
只能完成原来的 4 ，乙只能完成原来的 9 ，现在要 8 天完成这项工程，两人合作的天数尽可能少，
5
10
那么两人要合作多少天？
10、 甲、乙两个工程队共同完成一项工程需要 问：甲、乙两队独立完成该工程各需多少天？
工程问题初一ppt课件ppt课件
系统工程方法
系统工程方法是一种基于系统思 想的工程管理方法，将工程系统 视为一个整体，从全局的角度出
发进行优化和管理。
系统工程方法包括系统分析、系 统设计、系统综合、系统评价等 阶段，通过各阶段的迭代和优化
，实现工程系统的最优解。
系统工程方法广泛应用于航空航 天、交通运输、制造业等领域， 可以提高工程项目的效率和成功
计算机模拟是通过计算机程序模拟实际系统的运行过程，可以用于预测和优化系统 的性能。
计算机模拟可以模拟各种复杂的工程系统，如机械系统、控制系统、流体系统等， 通过模拟可以发现潜在的问题并进行优化。
计算机模拟常用的工具有MATLAB、Simulink、COMSOL Multiphysics等，可以 根据具体需求选择合适的工具进行模拟。
问题分析
总结词
深入理解问题背景和相关因素
详细描述
对问题进行分析，包括理解问题的背景、相关因素和限制条件，以及识别关键变 量和参数。
解决方案设计
总结词
提出可能的解决方案
详细描述
基于问题分析，设计可能的解决方案，并考虑各种可能性和可行性。这一步可能涉及创新思维和多学科知识。
实施解决方案
总结词
实施解决方案并监控进展
案例三：环保工程的可持续发展问题
要点一
总结词
要点二
详细描述
环保工程的可持续发展问题涉及到环境保护、资源利用和 经济发展等多个方面，是当前全球关注的热点问题。
随着人类活动的不断扩大，环境问题日益严重。为了实现 可持续发展，工程师需要在环保工程中采取一系列措施， 包括减少污染物排放、提高资源利用效率、开发可再生能 源等。同时，还需要加强环境监测和评估，确保各项环保 措施的有效性和可持续性。
2024版工程问题一人教版六年级教案设计
contents •工程问题概述•基础知识梳理•典型例题分析与解答•解题思路与方法总结•拓展延伸与提高训练•课程回顾与作业布置目录01工程问题概述工程问题定义与特点定义特点六年级学生认知水平分析认知发展阶段六年级学生处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的时期，思维逐渐由具体形象思维向抽象逻辑思维发展。
已有知识基础学生已经掌握了一定的数学、科学等学科知识，具备了一定的分析问题和解决问题的能力。
学习需求与兴趣学生对与现实生活密切相关的工程问题感兴趣，希望通过学习了解更多关于工程方面的知识。
教学目标与要求知识与技能过程与方法情感态度与价值观02基础知识梳理相关数学概念回顾单位“1”的概念分数与百分数的应用在工程问题中，经常用到分数和百分数来表示工作进度或者部分与整体的关系。
工程问题中常用术语解释合作、单独完成等甲、乙工程队等描述工作实体的工作方式，合作即多个工作实体共同完成一项任务，单独完成则是一个工作实体独立完成任务。
同时、先后等通过建立方程或者比例关系来解决问题。
需要注意单位统一和计算准确性。
将实际问题中的工作实体、工作方式和时间关系等转化为数学模型中的元素。
实际问题与数学模型联系03典型例题分析与解答题目描述2. 计算乙队工作效率3. 计算合作效率4. 计算合作完成所需时间1. 计算甲队工作效率解题思路例题一：合作完成工程问题0102题目描述解题思路 1. 确定甲队完成任务…2. 确定乙队完成任务…3. 计算整个工程完成…030405例题二：分工明确型工程问题0102题目描述解题思路 1. 计算甲队工作效率2. 设乙队工作效率为…3. 解方程得到乙队工…030405例题三：复杂条件下工程问题04解题思路与方法总结1 2 3画图法可以帮助理解题意画图法可以辅助分析数量关系画图法可以检验答案的正确性画图法在工程问题中应用列表法辅助解决复杂情境列表法可以梳理已知条件01列表法可以比较不同方案02列表法可以辅助计算过程03逻辑推理能力培养逻辑推理在工程问题中的应用01如何培养学生的逻辑推理能力02逻辑推理能力对解题的重要性0305拓展延伸与提高训练类似题型变换及挑战变换题型挑战高难度题目创新思维引导鼓励一题多解启发创新思维小组合作探究分组讨论将学生分成小组，让他们针对某个工程问题进行讨论，共同探究解题方法和思路。
工程问题(一)
工程问题(一)◆您现在正在阅读的工程问题(一)文章内容由收集!将为您提供更多的精品教学资源!工程问题(一)教学目标1．使学生掌握工程问题的特点和解答方法，并能解答有关的简单实际问题。
2．培养学生的观察、比较以及分析的综合能力。
3．渗透辩证唯物主义观点。
教学重点和难点1．使学生理解、掌握把工作总量看成单位“1”。
用单位时间内完成工作总量的几分之一表示工作效率。
2．理解工程问题的数量关系，掌握解答方法。
教学过程(一)复习准备1．复习旧知。
张师傅4小时做了200个零件，平均每小时做多少个零件？(200÷4=50(个))(1)问：50个表示什么？生：50个表示每小时做的个数，就是张师傅的工作效率。
(2)张师傅4小时做了20个零件，1小时完成这些零件的几分之几？同吗？互相讨论后学生说出自己的理由。
教师小结：分之几？2．导入。
准备题一段公路30千米，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，甲、乙两队合修，几天可以完成？(1)分析：①找学生读题，并理解题意。
②提问：要想求合修几天可以完成，要先求什么？生：先求两队的工作效率和。
③学生独立完成。
④指名学生边说，教师边板书。
30÷(30÷10＋30÷15)=6(天)⑤运用哪种数量关系？学生边回答教师边板书：工作总量÷工作效率和=工作时间(2)将“30千米”改成“60千米”，怎样解答？学生独立完成后，教师板书：60÷(60÷10＋60÷15)=6(天)(3)将“60千米”改成“90千米”，怎样解答？90÷(90÷10＋90÷15)=6(天)问：同学们在做这3道题的时候，你发现了什么吗？生：结果都是6天。
师：刚才，我们把工作总量“30千米”改成“60千米”，再改成“90千米”，最后结果都是一样的。
如果工作总量改成“10千米”呢？“120千米”呢？“150千米呢”？(结果都是6天)师：既然工作总量发生变化而工作时间却不变。
工程问题应用题集锦之欧阳索引创编
典型工程问题欧阳家百（2021.03.07）工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。
下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并加以简要的评点，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。
我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为单位“１”，因此工作效率就是工作时间的倒数。
它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间。
一、基本工程问题例1：甲、乙两队开挖一条水渠。
甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成。
现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内完成。
乙队挖了多少天？例2：加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙欧阳索引创编欧阳索引创编 单独做30天可以完工。
现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了2 .5天，乙休息了若干天，这样共14天完工。
乙休息了几天？例3：一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。
现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。
乙单独开几小时可以灌满？例4：某工程，甲、乙合作1天可以完成全工程的245。
如果这项工程由甲队单独做2天，再由乙队单独做3天，能完成全工程的2413。
甲、乙两队单独完成这项工程各需要几天？例5：一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合做7天，这样才能完成全工程的一半。
已知甲、乙工效的比是2:3。
如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？例题详解：例1解：可以理解为甲队先做3天后两队合挖的。
⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-121813811=3（天）欧阳索引创编 例2解：分析：共14天完工，说明甲做（14－2.5）天，其余是乙做的，用14天减去乙做的天数就是乙休息的天数。
14－301205.2141÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--=141（天） 例3解：分析：把乙先开做6小时看作与甲做2小时，与丙做2小时，还有2小时，现在可理解为甲乙同开2小时，乙丙同开2小时，剩下的是乙2小时放的。
工程问题应用题集锦之欧阳数创编
典型工程问题工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。
下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并加以简要的评点，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。
我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为单位“１”，因此工作效率就是工作时间的倒数。
它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间。
一、基本工程问题例1：甲、乙两队开挖一条水渠。
甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成。
现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内完成。
乙队挖了多少天？例2：加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。
现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了2 .5天，乙休息了若干天，这样共14天完工。
乙休息了几天？ 例3：一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。
现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。
乙单独开几小时可以灌满？例4：某工程，甲、乙合作1天可以完成全工程的245。
如果这项工程由甲队单独做2天，再由乙队单独做3天，能完成全工程的2413。
甲、乙两队单独完成这项工程各需要几天？ 例5：一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合做7天，这样才能完成全工程的一半。
已知甲、乙工效的比是2:3。
如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？例题详解：例1解：可以理解为甲队先做3天后两队合挖的。
⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-121813811=3（天）例2解：分析：共14天完工，说明甲做（14－2.5）天，其余是乙做的，用14天减去乙做的天数就是乙休息的天数。
14－301205.2141÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--=141（天） 例3解：分析：把乙先开做6小时看作与甲做2小时，与丙做2小时，还有2小时，现在可理解为甲乙同开2小时，乙丙同开2小时，剩下的是乙2小时放的。
工程问题应用题集锦之欧阳理创编
典型工程问题工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。
下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并加以简要的评点，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题。
我们通常所说的：“工程问题”，一般是把工作总量作为单位“１”，因此工作效率就是工作时间的倒数。
它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间。
一、基本工程问题例1：甲、乙两队开挖一条水渠。
甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成。
现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内完成。
乙队挖了多少天？ 例2：加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。
现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了 2 .5天，乙休息了若干天，这样共14天完工。
乙休息了几天？例3：一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。
现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。
乙单独开几小时可以灌满？例4：某工程，甲、乙合作1天可以完成全工程的245。
如果这项工程由甲队单独做2天，再由乙队单独做3天，能完成全工程的2413。
甲、乙两队单独完成这项工程各需要几天？例5：一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合做7天，这样才能完成全工程的一半。
已知甲、乙工效的比是2:3。
如果这项工程由乙单独做，需要多少天才能完成？ 例题详解：例1解：可以理解为甲队先做3天后两队合挖的。
⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-121813811=3（天）例2解：分析：共14天完工，说明甲做（14－2.5）天，其余是乙做的，用14天减去乙做的天数就是乙休息的天数。
14－301205.2141÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--=141（天） 例3解：分析：把乙先开做6小时看作与甲做2小时，与丙做2小时，还有2小时，现在可理解为甲乙同开2小时，乙丙同开2小时，剩下的是乙2小时放的。
小学数学奥数题
小学奥数教程：工程问题例题讲解①
在日常生活中，做某一件工作，制造某种产品，完成某项工程等等，都要涉及到工作效率、工作时间和工作量这三个量，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。
工程问题是中小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生逻辑思维能力的重要工具。
它是函数一一对应思想在应用题中的有力渗透。
工程问题也是教材的难点。
工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。
另外，工程问题是数学运算中最经典的题型之一，工程问题在公务员考试中占据了很重要的位置。
在往年的国家公务员考试中经常出现，虽然现在出现的频率略有下降，但是几乎每年还有出现，在各省市的公务员考试中更是频频出现。
9道例题
1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解： 1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率
9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一
天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程 1-1/120*x＝（1-1/60*x）*2 解得x＝40。
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《工程問題》（Ⅰ）
①甲有20元，乙有15元，甲乙兩人共有元。
②小天1分鐘可以做30次掌上壓，小地1分鐘可以做20次掌上壓，那麼1分鐘內兩人
共可做次掌上壓。
③有300塊磚，小王一分鐘搬30塊，獨自全部搬完需分鐘；小李一分鐘搬
20塊，獨自全部搬完需分鐘；若兩人一起搬，共需分鐘可以搬完。
④有二十道數學題，甲獨自完成需時20分鐘，則甲每分鐘可完成道題目；乙
獨自完成需時5分鐘，則乙每分鐘可完成道題目；若兩人一起分工合作完成這二十到數學題，需時分鐘。
上題中甲每分鐘的工作效率是，乙每分鐘的工作效率是。
⑤完成某一項工程量，甲需6天時間，則每天完成整項工程的分之一；乙需10
天，則每天完成整項工程的分之一。
★基本公式
工作效率×工作時間＝工作總量
工作總量÷工作時間＝工作效率
工作總量÷工作效率＝工作時間
有些工程問題，不給出工作總量和工作效率，而只給出一些有關時間數據，這時我們把
工作總量看作「1」。
如t表示完成工作的時間，則1
t
表示工作效率；例上面題⑤中，
甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是
練習：
①甲每天工作效率是20，工作5天完成的工作總量是；乙完成工作總量是200 需10天，則他每天工作效率是；丙每小時工作效率是5，則他完成總量是40的工作需要小時。
②「一件工作，甲獨自先做10天，然後由乙接力獨自做7天」可以利用「合計法」描述，等同於「甲乙兩人合作先做天，然後由甲獨自多做天」。
③一項工程，甲20天完成，則工作效率是；乙60天完成，則工作效率是；若甲乙兩人合作完成，則他們的工作效率是，完成這項工程共需天。
④一項工程，甲、乙兩隊合作需10天完成，甲隊單獨工作15天可以完成，則乙隊單獨工作需天完成。
⑤某一項基建工程，甲獨自做需60天完成，乙獨自做20天完成，甲獨自完成此項工
作量的2
3
需要天，乙獨自完成此項工作量的
2
5
需要天。
⑥一項工作，甲獨自做10天完成，乙獨自做20天完成，甲先獨自工作7天，剩下的甲乙兩人合作做需天完成。
功課：
①工程隊修一條公路，一隊獨自修要10天完成，二隊獨自修要15天完成，如果兩隊合作，需要多少天修完？
②打一份稿件，小王需30分鐘，小李需20分鐘，如果兩個人合作一起打字需要多少分鐘可以完成這份稿件？
③一項工作，甲獨自做6天完成，乙獨自做12天完成，兩人合作完成這項工作的3 4
需要多少天？
④修一條公路，甲隊獨自做20天完成，乙隊獨自做30天完成，開始甲隊先獨自做5 天，剩下的工程由兩隊合作完成需多少天？
⑤某項工程，甲獨自做6天完成，乙獨自做12天完成，若兩人先合作工作3天後，剩下的由乙獨自完成需多少天？
⑥甲、乙兩隊開挖一條水渠，甲隊單獨挖要8天完成，乙隊單獨挖要12天完成。
現在兩隊同時挖了若干天後，乙隊調走，餘下的甲隊3天挖完。
問乙隊挖了多少天？
⑦一項工程，甲、乙兩人合作需6天完成，乙、丙兩人合作需10天完成，甲、丙兩人合作需15天完成，現在甲、乙、丙三人合作做需要多少天完成？。