2017-2018学年高中数学苏教版必修三课下能力提升：(七) 算法案例 Word版含答案

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2017-2018学年高一数学苏教版必修三教学案：第1章 1.4 算法案例

问题1：如何求12与20的最大公约数？提示：短除法．一般情况下数字不应过大．问题2：若求6 750与3 492的最大公约数，上述方法还奏效吗？提示：数值很大时短除法不方便用．问题3：对于问题1中12与20的最大公约数是4.若用20除以12余8，再用8去除12余4，再用4去除8余数为0，也可求得最大公约数为4.若对较大两数可否用此法求公约数？提示：可以．1．孙子问题(1)问题名称：人们将“韩信点兵——孙子问题”这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．(2)问题思想：“孙子问题”相当于求关于x ，y ，z 的不定方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3x ＋2m ＝5y ＋3的正整数解.m ＝7z ＋22．欧几里得辗转相除法(1)含义：公元前3世纪，欧几里得在《原本》第七篇中介绍了求两个正整数a ，b (a ＞b )的最大公约数的方法，这种方法称为“欧几里得辗转相除法”．(2)步骤：计算出a ÷b 的余数r ，若r ＝0，则b 即为a ，b 的最大公约数；若r ≠0，则把前面的除数b 作为新的被除数，把余数r 作为新的除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为a ，b 的最大公约数．3．两个常用函数(1)Mod(a ，b )表示a 除以b 所得的余数． (2)Int(x )表示不超过x 的最大整数．1．由除法和减法的性质可知，对于任意两个正整数，辗转相除法或更相减损术总可以在有限步之后完成，故总能用这两种方法求出任意两个正整数的最大公约数．2．辗转相除法的理论依据是：由a＝nb＋r⇒r＝a－nb得a、b与b、r有相同的公约数．[例1] 有3个连续的正整数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，画出求满足要求的一组三个连续正整数的流程图，并写出伪代码．[思路点拨] 设这三个数分别为m，m＋1，m＋2，则m满足的条件是Mod(m,15)＝0且Mod(m ＋1,17)＝0且Mod(m＋2,19)＝0.[精解详析] 流程图：伪代码：m←2While Mod(m,15)≠0orMod(m＋1,17)≠0orMod(m＋2,19)≠0m←m＋1End WhilePrint m，m＋1，m＋2[一点通]解决此类问题的方法就是从m＝2开始，对每一个正整数逐一检验，当m满足所有已知条件时，结束循环，输出m.1．如图所示的流程图，输出的结果是________．解析：m ＝10时，不满足条件，则m ←10＋7.m ＝17时，Mod(m,3)＝2且Mod(m,5)＝2成立，故输出17. 答案：172．下面一段伪代码的功能是________．m ←2While Mod(m,2)≠1 orMod(m,3)≠2 or Mod(m,5)≠3m ←m ＋1End While Print m解析：由代码含义可知，m 满足的条件是除以2余1，除以3余2，除以5余3，又m 逐个增大，故输出的m 是满足条件的最小正整数．答案：求关于x 、y 、z 的不定方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2x ＋1m ＝3y ＋2m ＝5z ＋3的最小正整数解[例2] 设计用辗转相除法求8 251与6 105的最大公约数的算法，并画出流程图，写出伪代码．[思路点拨] 按照辗转相除法的步骤设计算法、画流程图，根据流程图，写出伪代码． [精解详析] 算法如下S1 a ←8 251； S2 b ←6 105；S3 如果Mod(a ，b )≠0，那么转S4，否则转S7； S4 r ←Mod(a ，b )； S5 a ←b ； S6 b ←r ，转S3； S7 输出b . 流程图与伪代码：[一点通] 辗转相除法是当大数被小数除尽时，结束除法运算，较小的数就是最大公约数．3．下图表示的流程图，输出的结果是________．解析：第一次执行循环体：r ＝34，a ＝119，b ＝34，第二次执行循环体r ＝17，a ＝34，b ＝a ←8 251b ←6 105While Mod (a ，b )≠0 r ←Mod (a ，b )a ←b b ←r End While Print b17.第三次执行循环体r＝0，输出b＝17.答案：174．求三个数168,56,264的最大公约数．解：先求168与56的最大公约数．∵168＝56×3，故168与56的最大公约数是56.再求56与264的最大公约数．∵264＝56×4＋40，56＝40×1＋16，40＝16×2＋8，16＝8×2.故56与264的最大公约数是8.因此168,56,264的最大公约数是8.[例3] (12分)设计用二分法求方程x3－2＝0在区间[1,2]内的近似解(误差不超过0.005)的流程图，写出伪代码．[思路点拨] 根据二分法求方程近似解的步骤画出流程图，然后根据流程图写出算法伪代码．[精解详析] 流程图如图：(6分)伪代码如下：a ←1b ←2c ←0.005Do x 0←2a b＋ f a a 3－2f x 030x －2If f x 0＝0 ThenExit DoIf f a f x 0Thenb ←x 0Elsea ←x 0End If Until |a －b |<c End Do Print x 0(12分)[一点通] 针对这个类型的题目书写伪代码时一定要注意伪代码的具体格式，另外循环语句中一定包含有条件结构的语句．求高次方程近似解时，一定要给出精确度．5．下面的流程图表示的算法的功能是________．答案：用二分法求方程x2－3x＋1＝0在区间[0,1]内的一个近似解(误差不超过0.001) 6．写出用区间二分法求方程x3－2x－3＝0在区间[1,2]内的一个近似解(误差不超过0.001)的算法伪代码，并画出流程图．解：该问题的流程图如图所示．伪代码：Read a ，b ，c Dox 0←a ＋b 2f (a )←a 3－2a －3 f (x 0)←x 30－2x 0－3If f (x 0)＝0 Then Exit DoIf f (a )×f (x 0)＜0Thenb ←x 0 Else a ←x 0 End If Until |a －b |＜c End Do Print x 01．用辗转相除法求两个数最大公约数的操作过程是先用较大的数除以较小的数，得商和余数，再用除数除以余数，重复操作，直到余数为零．这时小数就是要求的最大公约数，终止循环的条件是余数为零．2．用二分法求方程的近似解就是逐步把“解”所在的区间缩短，直到求出近似解或方程的解所在的区间长度小于误差为止．课下能力提升(七)一、填空题1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是________．解析：294＝84×3＋42，84＝42×2，故需要做2次．答案：22．下列伪代码运行的一个结果是________．m ←2While Mod(m,4)≠2 orMod(m,5)≠3 or Mod(m,7)≠3m ←m ＋1End While Print m解析：此伪代码的功能是求⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4x ＋2，m ＝5x ＋3，m ＝7x ＋3的最小正整数∴m ＝38. 答案： 383．如图所示的流程图，输出的结果是________．解析：由86>68得a ＝18，b ＝68，由68>18得b ＝50，a ＝18；由50>18得b ＝32，a ＝18；由32>18得b ＝14，a ＝18；由18>14得a ＝4，b ＝14；由14>4得b ＝10，a ＝4；由10>4得b ＝6，a ＝4；由6>4得b ＝2，a ＝4；由4>2得a ＝2，b ＝2.满足a ＝b ，输出2.答案：24．84和32的最小公倍数是________．解析：先求84和32的最大公约数． 84＝32×2＋20 32＝20＋12 20＝12＋812＝8＋48＝4×2.故84和32的最大公约数是4.所以84和32的最小公倍数为84×32÷4＝672.答案：6725．下列伪代码的运行结果是________．a←120b←252While a≠bIf a＞ba←a－bElseb←b－aEnd IfEnd WhilePrint a解析：此伪代码的功能是求两个正整数的最大公约数．a，b的值依次是：(120,252)→(120,132)→(120,12)→(108,12)→(96,12)→(84,12)→(72,12)→(60,12)→( 48,12)→(36，12)→(24,12)→(12,12)，∴输出12.答案：12二、解答题6．已知如图所示的流程图(其中的m、n为正整数)：Array(1)这个算法的功能是什么？(2)当m＝286，n＝91时，运行的结果是什么？解：(1)这个算法的功能是用辗转相除法求两个正整数的最大公约数．(2)∵286＝91×3＋13,91＝13×7，∴286与91的最大公约数是13.故运行结果为13.7．试写出用二分法求方程x3＋x2－1＝0在[0,1]上的近似解的伪代码(精确度为0.01)．解：伪代码如下：a←0b←1ε←0.01Dox0←(a＋b)/2f(a)←a3＋a2－1f(x0)←x30＋x20－1If f(x0)＝0 Then Exit DoIf f(a)f(x0)>0 Thena←x0Elseb←x0End IfUntil |a－b|<εEnd DoPrint x08．有一堆围棋子，5个5个地数余2,7个7个地数余3,9个9个地数余4，请画出求这堆围棋子共有多少个的流程图，并写出伪代码．解：流程图：伪代码：m←2While Mod(m,5)≠2orMod(m,7)≠3orMod(m,9)≠4m←m＋1End WhilePrint m。

苏教版高中数学必修三知识讲解_算法案例_提高

算法案例：：【学习目标】1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序；3.了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质；4.了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之间的转换.【要点梳理】要点一：辗转相除法也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的.利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r0=0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；第三步：若r1=0，则r0为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；……依次计算直至r n=0，此时所得到的r n－1即为所求的最大公约数.用辗转相除法求最大公约数的程序框图为：INPUT “m=”;mINPUT “n=”;nIF m<n THENx=mm=nn=xEND IFr=m MOD nWHILE r<>0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT nEND要点诠释：辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数，考虑到算法中的赋值语句可以对同一变量多次赋值，我们可以把较大的数用变量m 表示，把较小的数用变量n 表示，这样式子)0(n r r q n m <≤+⋅=就是一个反复执行的步骤，因此可以用循环结构实现算法.要点二：更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.翻译出来为：第一步：任意给出两个正整数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数.理论依据：由r b a r b a +=→=-，得b a ,与r b ,有相同的公约数更相减损术一般算法：第一步，输入两个正整数)(,b a b a >；第二步，如果b a ≠，则执行3S ，否则转到5S ；第三步，将b a -的值赋予r ；第四步，若r b >，则把b 赋予a ，把r 赋予b ，否则把r 赋予a ，重新执行2S ；第五步，输出最大公约数b .程序:INPUT “a=”，aINPUT “b=”，bWHILE a<>bIF a>=bELSEb=b-aWENDENDPRINT b或者INPUT “请输入两个不相等的正整数”；a ，bi=0WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0a=a/2b=b/2i=i+1WENDDOIF b<a THENt=aa=bb=tEND IFc=a －ba=bb=cLOOP UNTIL a=bPRINT a^iEND要点诠释：用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单.要点三：秦九韶计算多项式的方法12121012312102312101210()()(())((()))n n n n n n n n n n n n n n n n n n n f x a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------------=+++++=+++++=+++++==+++++令12(1)((()))k n n n n k n k v a x a x a x a x a -----=+++++，则有01nk k nkv a v v x a --=⎧⎨=+⎩，其中n k ,2,1=.这样，我们便可由0v 依次求出n v v v ,,21；1323212101,,,a x v v a x v v a x v v a x v v n n n n n +=+=+=+=----要点诠释：显然，用秦九韶算法求n 次多项式的值时只需要做n 次乘法和n 次加法运算要点四：进位制进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值.可使用数字符号的个数称为基数，基数为n ，即可称n 进位制，简称n 进制.现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数.对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示.比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的.表示各种进位制数一般在数字右下角加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.1.k 进制转换为十进制的方法：012211)(0121a k a k a k a k a a a a a a a n n n n k n n +⨯+⨯++⨯+⨯=--- ，把k 进制数a 转化为十进制数b 的算法程序为：INPUT “ a,k,n=”;a,k,ni=1b=0WHILE i<=nt=GET a[i]b=b+t*k^(i-1)i=i+1WENDPRINT bEND2.十进制转化为k 进制数b 的步骤为：第一步，将给定的十进制整数除以基数k ，余数便是等值的k 进制的最低位；第二步，将上一步的商再除以基数k ，余数便是等值的k 进制数的次低位；第三步，重复第二步，直到最后所得的商等于0为止，各次所得的余数，便是k 进制各位的数，最后一次余数是最高位，即除k 取余法.要点诠释：1、在k 进制中，具有k 个数字符号.如二进制有0，1两个数字.2、在k 进制中，由低位向高位是按“逢k 进一”的规则进行计数.3、非k 进制数之间的转化一般应先转化成十进制，再将这个十进制数转化为另一种进制的数，有的也可以相互转化.【典型例题】类型一：辗转相除法与更相减损术例1．分别用辗转相除法和更相减损术求378与90的最大公约数．【答案】18【解析】用辗转相除法：378=90×4+18，90=18×5．∴378与90的最大公约数是18．用更相减损术：∵378与90都是偶数，∴用2约分后得189和45．189－45=144，144－45=99，99－45=54，54－45=9，45－9=36，36－9=27，27－9=18，18－9=9．∴378与90的最大公约数为2×9=18．【总结升华】比较辗转相除法与更相减损术的区别(1)都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显；(2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.由该题可以看出，辗转相除法得最大公约数的步骤较少.对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为0，更相减损术是到达减数和差相等.举一反三：【变式1】（1）用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．（2）利用辗转相除法求3869与6497的最大公约数与最小公倍数．【解析】（1）因为84=21×4，72=18×4，所以21－18=3，18－3=15，15－3=12，12－3=9，9－3=6，6－3=3．所以21和18的最大公约数等于3．所以84和72的最大公约数等于12．【总结升华】先约简，再求21与18的最大公约数，然后乘以约简的4得84与72的最大公约数．（2）6497=3869×1+2628，3869=2628×1+1241，2628=1241×2+146，1241=146×8+73，146=73×2+0．所以3 869与6 497的最大公约数为73，最小公倍数为3 869×6497÷73=344341．例2．求三个数：168，54，264的最大公约数．【思路点拨】运用更相减损术或辗转相除法，先求168和54的最大公约数a，再求a与264的最大公约数．【答案】6【解析】采用更相减损术先求168和54的最大公约数．（168，54）→（114，54）→（60，54）→（6，54）→（6，48）→（6，42）→（6，36）→（6，30）→（6，24）→（6，18）→（6，12）→（6，6）．故168和54的最大公约数为6．采用辗转相除法求6和264的最大公约数．∵264=44×6+0，∴6为264与6的最大公约数，也是这三个数的最大公约数．【总结升华】求最大公约数通常有两种方法：一是辗转相除法；二是更相减损术，对于3个数的最大公约数的求法，则是先求其中两个数的最大公约数m，再求m与第三个数的最大公约数．同样可推广到求3个以上数的最大公约数．举一反三：【变式1】求三个数324，243，135的最大公约数．【答案】27【解析】∵324=243×1+81，243=81×3+0，∴324与243的最大公约数为81．又135=81×1+54，81=54×1+27，54=27×2+0，∴81与135的最大公约数为27．∴三个数324，243，135的最大公约数为27．更相减损术：∵324－243=81，243－81=162，162－81=81，∴81是324和243的最大公约数．又135－81=54，81－54=27，54－27=27，∴27是81与135的最大公约数．∴三个数324，243，135的最大公约数为27．例3.甲、乙、丙三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？【思路点拨】由题意，每个小瓶最多能装的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数.【答案】7g【解析】先求147与343的最大公约数.343-147=196，196-147=49，147-49=98，98-49=49，∴147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数.133-49=84，84-49=35，49-35=14，35-14=21，21-14=7，14-7=7.∴147，343，133的最大公约数是7.故每瓶最多装7g .【总结升华】本题关键是分析清楚题意，找出三个数的最大公约数.求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数来求得.类型二：秦九韶算法例4．利用秦九韶算法求2345()10.50.166630.041680.00835f x x x x x x =+++++在x=0.2时的值．写出详细计算过程．【思路点拨】秦九韶算法是我国南宋的数学家秦九韶首先提出来的．（1）特点：它通过一次式的反复计算，逐步计算高次多项式的求值问题，即将一个n 次多项式的求值问题，归结为重复计算n 个一次式1()i i a x a -+．即1210()((()))n n n f x a x a x a x a x a --=++++．（2）具体方法如下：已知一个一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++0．当x=x 0，我们可按顺序一项一项地计算，然后相加，求得0()f x ．【答案】1.2214024【解析】v 0=0.00835，v 1=v 0x+0.04168=0.00835×0.2+0.04168=0.043 35，v 2=v 1x+0.16663=0.04335×0.2+0.16663=0.1753，v 3=v 2x+0.5=0.1753×0.2+0.5=0.53506，v 4=v 3x+1=0.53506×0.2+1=1.107012，v 5=v 4x+1=1.107012×0.2+1=1.2214024．【总结升华】秦九韶算法的原理是01(1,2,3,,)nk k n k v a v v x a k n --=⎧⎨=+=⎩．在运用秦九韶算法进行计算时，应注意每一步的运算结果，像这种一环扣一环的运算，如果错一步，则下一步，一直到最后一步就会全部算错．同学们在计算这种题时应格外小心．举一反三：【变式1】用秦九韶算法求多项式764()85321f x x x x x =++++当x=2时的值．【答案】1397【解析】 765432()85030021((((((85)0)3)0)0)2)1f x x x x x x x x x x x x x x x =++⋅++⋅+⋅++=+++++++． v 0=8，v 1=8×2+5=21，v 2=21×2 -0=42，v 3=42×2 -3=87，v 4=87×2+0=174，v 5=174×2+0=348，v 6=348×2+2=698，v 7=698×2+1=1397，所以，当x=2时，多项式的值为1397．【变式2】用秦九韶算法计算多项式65432()654327f x x x x x x x =++++++在x=0.4时的值时，需做加法和乘法的次数和是（）A ．10B ．9C ．12D ．8【答案】 C【解析】 ()(((((65)4)3)2)1f x x x x x x x =++++++．∴加法6次，乘法6次，∴6+6=12（次），故选C ．类型三：进位制例5．（1）试把十进制数136转化为二进制数；（2）试把十进制数1 234转化为七进制数．【答案】（1）10001000（2）（2）3412（7）【解析】（1）由于136=2×68+0，68=2×34+0．34=2×17+0．17=2×8+1．8=2×4+0．4=2×2+0．2=2×1+0．1=2×0+1．所以136=10001000（2）．（2）1234=7×176+2，176=7×25+1．25=7×3+4．3=7×0+3．所以1234=3412（7）．【总结升华】（1）应注意搞清每一次除法中的被除数、除数，当商为零时停止除法，把每步所得的余数倒着排成一个数，就是相应的二进制数．（2）十进制数转化为七进制数与转化为二进制数的方法类似，要认真体会其原理．举一反三：【变式1】（1）把十进制数89转化为二进制数；（2）将十进制数2l 转化为五进制数．【解析】（1）用除2取余法：∴89=2×(2×(2×(2×(2×(2×(2×0+1)+0)+1)+1)+0)+0)+1=2×(2×(2×(2×2×(22×0+2+0)+1)+1)+0)+0)+1 =……=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22×0×21+1×20=1011001(2)（2）用除5取余法，可得∴21=41（5）．例6．把210121l （3）转化为八进制数．【答案】3326（8）【解析】先将三进制数转化为十进制数，再将十进制数转化为八进制数．2101211（3）=2×36+1×35+1×33+2×32+1×31+1×30=1458+243+27+18+3+1=1750．1750=8×218+6．218=8×27+2．27=8×3+3．∴1750=8×218+6=8（8×27+2）+6=8（8（8×3+3）+2）+6=8（3×82+3×8+2）+6=3×83+3×82+2×8+6=3326（8），∴2101211（3）=3326（8）．【总结升华】从本例的解答中，大家要有两个提高．第一，把三进制数转化为八进制数，十进制数起了桥梁和纽带的作用，具体体现是2101211（3）=1750=3326（8）．第二，在把1750转化为3326（8）时，我们没有列竖式，大家要从中体会一下方法的内在规律．举一反三：【变式1】在十进制中，01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在五进制中数码2 004折合成十进制为（）A ．29B ．254C ．602D ．2 004【答案】B解析：0123200445050525254=⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B ．【变式2】（1）将二进制数1611111个（2）转化成十进制数；（2）将七进制数235（7）转化成八进制数．【答案】（1）1621-（2）174（8）【解析】对于（1），按照形式a n a n ―1a n ―2…a 1a 0（2）=a n ×2n+a n ―1×2n ―1+…+a 1×2+a n 计算即可；对于（2），先将七进制数转化成十进制数，再将所得十进数转化成八进制数．（1）151********(2)11111212121221=⨯+⨯++⨯+⨯=-个．（2）235（7）=2×72+3×7+5=124，利用除8取余法得124=174（8），过程如图所示，所以235（7）转化成八制数为174（8）．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修3 1.4.1 算法案例》

算法案例〔第三课时〕——进位制一、教学目标（1）知识与技能：学生了解进位制的概念，学会表示进位制数，理解各种进位制与十进制之间的转换规律，会利用各种进位制与十进制之间的联系，进行各种进位制之间的转换。

（2）过程与方法：学生经历得出各种进位制与十进制之间转换的规律过程，进一步掌握进位制之间的转换方法。

（3）情感态度价值观：学生通过合作完成任务，领悟十进制、二进制的特点，了解计算机在电路与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系，培养他们合作精神和严谨的态度。

二、教学重点与难点重点：各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换难点：“除取余法〞的理解三、教学方法与手段讲授法、归纳式、讨论法、类比法、多媒体展示四、教学过程设计1、创设情境引入课题小故事：很久很久以前，我们的祖先如何清点猎物？2、新课讲授〔1〕进位制的概念：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。

约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；等等，也就是说，“满几进一〞就是几进制，几进制的基数就是几。

我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的你能举出一些实例么生活中的进位制: 如:60进制在时间上,1小时分成60分钟，1分钟分成60秒；在角度上，1度分成60分，1分分成60秒、12进制〔月份、生肖、一打〕、七进制〔一周七天〕、16进制〔古称一斤为16两，故而有了半斤八两之说〕、24进制〔节气〕等等不同的进位制之间又有什么联系呢〔2〕探究十进制问题1、日常生活中，常用的是十进制数，十进制数用哪些数字进行记数？答:0、1、2、3、4、5、6、7、8、9问题2、结构特征？答：满十进一问题3、十进制数3578表示的数可以写成位权：个位、十位、百位、千位〔3〕探究二进制特征（4）进制转化成十进制例1、二进制数110011〔2〕四进制数 123〔4〕（5）十进制转化成进制〔除取余法〕例2、十进制数191化为五进制数是什么数？例3、将十进制数458分别转化为四进制数和六进制数？3、综合提高：将五进制数3241〔5〕转化为七进制数小组讨论，合作交流。

2017-2018学年高中数学苏教版必修三教学案：第1章 1.1 算法的含义

第1章算法初步1．2013年全运会在沈阳举行，运动员A 报名参赛100米短跑并通过预赛、半决赛、决赛最后获得了银牌．问题1：请简要写出该运动员参赛并获银牌的过程．提示：报名参赛→预赛→半决赛→决赛．问题2：上述参赛过程有何特征？提示：参赛过程是明确的．问题3：假若你家住南京，想去沈阳观看A 的决赛，你如何设计你的旅程？提示：首先预约定票，然后选择合适的交通工具到沈阳，按时到场，检票入场，进入比赛场地，观看比赛．2．给出方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2， ①x －y ＝1， ②问题1：利用代入法求解此方程组．提示：由①得y ＝2－x ，③把③代入②得x －(2－x )＝1，即x ＝32.④把④代入③得y ＝12.得到方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12.问题2：利用消元法求解此方程组．提示：①＋②得x ＝32.③将③代入①得y ＝12，得方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12.问题3：从问题1、2可以看出，解决一类问题的方法唯一吗？提示：不唯一．1．算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法． 2．算法的特征(1)算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题，其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．(2)算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．1．算法的基本思想就是探求解决问题的一般性方法，并将解决问题的步骤用具体化、程序化的语言加以表述．2．算法是机械的，有时要进行大量重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”，其最大优点是可以让计算机来完成．3．求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可能有不同的算法．[例1] 下列关于算法的说法： ①求解某一类问题的算法是唯一的 ②算法必须在有限步操作后停止③算法的每一步操作必须是明确的，不能存在歧义 ④算法执行后一定能产生确定的结果其中，不正确的有________．[思路点拨] 利用算法特征对各个表述逐一判断，然后解答．[精解详析] 由算法的不唯一性，知①不正确；由算法的有穷性，知②正确；由算法的确定性，知③和④正确． [答案] ① [一点通]1．针对这个类型的问题，正确理解算法的概念及其特点是解决此类问题的关键． 2．注意算法的特征：有限性、确定性、可行性．1．下列语句表达中是算法的有________．①从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达 ②利用公式S ＝12ah 计算底为1，高为2的三角形的面积③12x >2x ＋4 ④求M (1,2)与N (－3，－5)两点连线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式方程求得解析：算法是解决问题的步骤与过程，这个问题并不仅仅限于数学问题．①②④都表达了一种算法．答案：①②④2．计算下列各式中的S 值，能设计算法求解的是________． ①S ＝1＋2＋3＋…＋100 ②S ＝1＋2＋3＋…＋100＋… ③S ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥1且n ∈N)解析：算法的设计要求步骤是可行的，并且在有限步之内能完成任务．故①、③可设计算法求解．答案：①③[例2] 已知直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0，求l 1，l 2，y 轴围成的三角形的面积．写出解决本题的一个算法．[思路点拨] 先求出l 1，l 2的交点坐标，再求l 1，l 2与y 轴的交点的纵坐标，即得到三角形的底；最后求三角形的高，根据面积公式求面积．[精解详析] 第一步解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋12＝0，3x ＋2y －6＝0得l 1，l 2的交点P (－2,6)；第二步在方程3x －y ＋12＝0中令x ＝0得y ＝12，从而得到A (0,12)；第三步在方程3x ＋2y －6＝0中令x ＝0得y ＝3，得到B (0,3)；第四步求出△ABP 底边AB 的长|AB |＝12－3＝9；第五步求出△ABP 的底边AB 上的高h ＝2；第六步代入三角形的面积公式计算S ＝12|AB |·h ；第七步输出结果． [一点通]设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： (1)认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述； (3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出来．3．写出求两底半径分别为1和4，高也为4的圆台的侧面积、表面积及体积的算法．解：算法步骤如下：第一步取r 1＝1，r 2＝4，h ＝4；第二步计算l ＝r 2－r 12＋h 2；第三步计算S 1＝πr 21，S 2＝πr 22；S 侧＝π(r 1＋r 2)l ；第四步计算S 表＝S 1＋S 2＋S 侧；第五步计算V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .4．已知球的表面积为16π，求球的体积．写出解决该问题的两个算法．解：算法1：第一步 S ＝16π；第二步计算R ＝S4π(由于S ＝4πR 2)；第三步计算V ＝43πR 3；第四步输出运算结果V . 算法2：第一步 S ＝16π；第二步计算V ＝43π(S4π)3；第三步输出运算结果V .[例3] (12分)某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计算方法是：3人或3人以下的住房，每月收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费．[精解详析] 设某户有x 人，根据题意，应收取的卫生费y 是x 的分段函数，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， x ≤3，1.2x ＋1.4，x >3. (4分)算法如下：第一步输入人数x ；(6分)第二步如果x ≤3，则y ＝5，如果x >3，则y ＝1.2x ＋1.4； (10分)第三步输出应收卫生费y .(12分)[一点通]对于此类算法设计应用问题，应当首先建立过程模型，根据模型，完成算法．注意每步设计时要用简炼的语言表述．5．如下算法：第一步输入x 的值；第二步若x ≥0成立，则y ＝2x，否则执行第三步；第三步 y ＝log 2(－x )；第四步输出y 的值．若输出结果y 的值为4，则输入的x 的值为________．解析：算法执行的功能是给定x ，求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，log 2－x ，x <0对应的函数值．由y ＝4知2x＝4或log 2(－x )＝4. ∴x ＝2或－16. 答案：2或－166．已知直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，设计一个求该三角形周长的算法．解：算法如下：第一步计算斜边c ＝a 2＋b 2；第二步计算周长l ＝a ＋b ＋c ；第三步输出l .1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性． 2．在具体设计算法时，要明确以下要求：(1)算法设计是一类问题的一般解法的抽象与概括，它要借助一般问题的解决方法，又要包含这类问题的所有可能情形．设计算法时往往要把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有些步骤是重复执行的，但最终却必须在有限个步骤之内完成．(2)借助有关的变量或参数对算法加以表述． (3)要使算法尽量简单，步骤尽量少．课下能力提升(一)一、填空题1．写出解方程2x ＋3＝0的一个算法过程．第一步__________________________________________________________________；第二步__________________________________________________________________．答案：第一步将常数项3移到方程右边得2x ＝－3；第二步在方程两边同时除以2，得x ＝－32.2．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步令A ＝89，B ＝96，C ＝99；第二步计算总分S ＝________；第三步计算平均分M ＝________；第四步输出S 和M .解析：总分S 为三个成绩数之和，平均数M ＝A ＋B ＋C 3＝S3. 答案：A ＋B ＋C S33．给出下列算法：第一步输入x 的值；第二步当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步；第三步计算y ＝4－x ；第四步输出y .当输入x ＝0时，输出y ＝__________. 解析：由于x ＝0>4不成立，故y ＝4－x ＝2. 答案：24．已知点P 0(x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点到直线距离的一个算法有如下几步： ①输入点的坐标x 0，y 0； ②计算z 1＝Ax 0＋By 0＋C ； ③计算z 2＝A 2＋B 2；④输入直线方程的系数A ，B 和常数C ； ⑤计算d ＝|z 1|z 2；⑥输出d 的值．其正确的顺序为________．解析：利用点到直线的距离公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.答案：①④②③⑤⑥5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法．第一步输入实数a .第二步 __________________________________________________________________. 第三步输出a ＝18.解析：从序列数字中搜索18，必须依次输入各数字才可以找到．答案：若a ＝18，则执行第三步，否则返回第一步二、解答题6．写出求a ，b ，c 中最小值的算法．解：算法如下：第一步比较a ，b 的大小，当a >b 时，令“最小值”为b ；否则，令“最小值”为a ；第二步比较第一步中的“最小值”与c 的大小，当“最小值”大于c 时，令“最小值”为c ；否则，“最小值”不变；第三步 “最小值”就是a ，b ，c 中的最小值，输出“最小值”． 7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋ω－， ω>50.其中ω(单位：kg)为行李的重量，如何设计计算费用c (单位：元)的算法．解：算法步骤如下：第一步输入行李的重量ω；第二步如果ω≤50，那么c ＝0.53ω；如果ω>50，那么c ＝50×0.53＋(ω－50)×0.85；第三步输出运费c .8．下面给出一个问题的算法：第一步输入a ；第二步若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步；第三步输出2a －1；第四步输出a 2－2a ＋3.问题：(1)这个算法解决的是什么问题？ (2)当输入a 等于多少时，输出的值最小？解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题．(2)当x ≥4时，f (x )＝2x －1≥7，当x <4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴当x ＝1时，f (x )min ＝2.即当输入a 的值为1时，输出的值最小．。

2017-2018学年苏教版高中数学必修3全册课后能力提升训练

2017-2018学年苏教版数学必修3全册课后能力提升训练目录课下能力提升(一)算法的含义 (1)课下能力提升(二)顺序结构选择结构 (4)课下能力提升(三)循环结构 (8)课下能力提升(四)赋值语句输入、输出语句 (12)课下能力提升(五)条件语句 (16)课下能力提升(六)循环语句 (20)课下能力提升(七)算法案例 (24)课下能力提升(八)简单随机抽样 (28)阶段质量检测(一)算法初步 (30)课下能力提升(九)系统抽样 (37)课下能力提升(十)分层抽样 (40)课下能力提升(十一)频率分布表频率分布直方图与折线图 (43)课下能力提升(十二)茎叶图 (47)课下能力提升(十三)总体特征数的估计 (51)课下能力提升(十四)线性回归方程 (55)阶段质量检测(二)统计 (59)课下能力提升(十五)随机事件及其概率 (67)课下能力提升(十六)古典概型 (70)课下能力提升(十七)几何概型 (73)课下能力提升(十八)互斥事件 (76)阶段质量检测(三)概率 (80)阶段质量检测(四)模块综合检测 (86)课下能力提升(一)算法的含义一、填空题1．写出解方程2x＋3＝0的一个算法过程．第一步________________________________________________________________；第二步________________________________________________________________．2．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均分的一个算法为：第一步令A＝89，B＝96，C＝99；第二步计算总分S＝________；第三步计算平均分M＝________；第四步输出S和M.3．给出下列算法：第一步输入x的值；第二步当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步；第三步计算y＝4－x；第四步输出y.当输入x＝0时，输出y＝__________.4．已知点P0(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点到直线距离的一个算法有如下几步：①输入点的坐标x0，y0；②计算z1＝Ax0＋By0＋C；③计算z2＝A2＋B2；④输入直线方程的系数A，B和常数C；⑤计算d＝|z1|z2；⑥输出d的值．其正确的顺序为________．5．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法．第一步输入实数a.第二步______________________________________________________________. 第三步输出a＝18.二、解答题6．写出求a，b，c中最小值的算法．7．某铁路部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为c ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.53ω， ω≤50，50×0.53＋(ω－50)×0.85，ω>50. 其中ω(单位：kg)为行李的重量，如何设计计算费用c (单位：元)的算法．8．下面给出一个问题的算法：第一步输入a ；第二步若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步；第三步输出2a －1；第四步输出a 2－2a ＋3.问题：(1)这个算法解决的是什么问题？ (2)当输入a 等于多少时，输出的值最小？答案1．第一步将常数项3移到方程右边得2x ＝－3；第二步在方程两边同时除以2，得x ＝－32.2．解析：总分S 为三个成绩数之和，平均数 M ＝A ＋B ＋C 3＝S 3.答案：A ＋B ＋C S33．解析：由于x ＝0>4不成立，故y ＝4－x ＝2. 答案：24．解析：利用点到直线的距离公式： d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 答案：①④②③⑤⑥5．解析：从序列数字中搜索18，必须依次输入各数字才可以找到．答案：若a ＝18，则执行第三步，否则返回第一步 6．解：算法如下：第一步比较a ，b 的大小，当a >b 时，令“最小值”为b ；否则，令“最小值”为a ；第二步比较第一步中的“最小值”与c 的大小，当“最小值”大于c 时，令“最小值”为c ；否则，“最小值”不变；第三步 “最小值”就是a ，b ，c 中的最小值，输出“最小值”． 7．解：算法步骤如下：第一步输入行李的重量ω；第二步如果ω≤50，那么c ＝0.53ω；如果ω>50，那么c ＝50×0.53＋(ω－50)×0.85；第三步输出运费c .8．解：(1)这个算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x <4的函数值问题．(2)当x ≥4时，f (x )＝2x －1≥7，当x <4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴当x ＝1时，f (x )min ＝2.即当输入a 的值为1时，输出的值最小．课下能力提升(二) 顺序结构选择结构一、填空题1．如图所示的流程图最终输出结果是________．2．如图所示的流程图，若a ＝5，则输出b ＝________.3．已知函数y ＝|x －3|，如流程图表示的是给定x 的值，求其相应函数值的算法，请将该流程图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．4．阅读如图所示的流程图，若运行该程序后输出的y 值为18，则输入的实数x 的值为________．5．如图是一个算法的流程图，当输入的值为3时，输出的结果是________．二、解答题6．某学生五门功课成绩为80,95,78,87,65.写出平均成绩的算法，画出流程图．7.某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3分钟，则超过部分以0.1元/分收取通话费(时间以分钟计，不足1分钟按1分钟计算)，画出计算话费的流程图．8．求方程ax2＋(a＋1)x＋1＝0根的算法流程图如图所示，根据流程图，回答下列问题：(1)本题中所给的流程图正确吗？它表示的是哪一个问题的算法流程图？(2)写出一个正确的算法，并画出流程图．答案1．解析：第二步中y ＝2，第三步中y ＝22＋1＝5. 答案：52．解析：这是一个分段函数b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1， a ≤5，2a ， a ＞5，的求值问题．根据条件易知，b ＝52＋1＝26.答案：263．解析：由y ＝|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，3－x ，x ＜3.∴①处应填“x ＜3”，②处应填“y ←x －3”．答案：x ＜3 y ←x －34．解析：由流程图知：令2x 2－1＝18(x >0)，则x ＝34，令(12)x ＝18(x ≤0)，无解，∴输入的实数x ＝34. 答案：345．解析：流程图反映的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1 (x ＜5)，2x 2＋2 (x ≥5)的求值问题， ∴当x ＝3时，y ＝32－1＝8. 答案：86．解：算法如下：流程图S1 S ←80 S2 S ←S ＋95 S3 S ←S ＋78 S4 S ←S ＋87 S5 S ←S ＋65 S6 A ←S /5 S7 输出A7．解：根据题意：话费S (元)与时间t (分钟)有如下函数关系：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2，t ≤30.2＋0.1(t －3)，t >3且t ∈N *0.2＋0.1([t ]－2)，t >3且t ∉N *流程图如下图所示．8．解：本题中给出的流程图不正确．因为它没有体现出对a 的取值的判断，它只解决了算法中的一部分，即a ≠0时的情形，这样是达不到求解的目的的．(2)算法如下： S1 输入a ；S2 如果a ＝0，则x ←－1，输出x ，否则x 1←－1，x 2←－1a ，输出x 1，x 2. 流程图如右图所示．课下能力提升(三)循环结构一、填空题1．一个算法流程图如图所示，则输出S为________．2．如图流程图中，(1)若判断框内的条件是I≤19，则输出的结果为________．(2)若输出的结果为400，则判断框内的条件是________．3．按如图所示的流程图运算，若输出k＝2，则输入x的取值范围是________．4．运行如图所示的程序，其输出结果是________．5．(重庆高考改编)执行如图所示的流程图，则输出的k 的值是________．二、解答题6．用循环结构写出计算11×3＋12×4＋13×5＋…＋1100×102的流程图．7.下列三图是为计算22＋42＋62＋…＋1002而绘制的算法流程图，根据流程图回答后面的问题：(1)其中正确的流程图有哪几个？错误的流程图有哪几个？错误的要指出错在哪里？(2)错误的流程图中，按该流程图所蕴含的算法，能执行到底吗？若能执行到底，最后输出的结果是什么？8．某高中男子田径队的50 m 赛跑成绩(单位：s)如下：6．3,6.6,7.1,6.8,7.1,7.4,6.9,7.4,7.5,7.6,7.8，6．4,6.5,6.4,6.5,6.7,7.0,6.9,6.4,7.1,7.0,7.2.设计一个算法，从这些成绩中搜索出成绩小于6.8 s 的队员，并画出流程图．答案1．解析：0＋1＋…＋9＝45.答案：452．解析：(1)S＝1＋3＋5＋…＋19＝100；(2)已知S＝1＋3＋5＋…＋n＝400，得n＝39.即I≤39(或I＜40或I＜41)．答案：(1)100(2)I≤39(或I＜40或I＜41)3．解析：第一次运行x＝2x＋1，k＝1，第二次运行x＝2(2x＋1)＋1，k＝2，此时输出x的值，则2x＋1≤115且2(2x＋1)＋1>115，解得28<x≤57.答案：(28,57]4．解析：由题意知，流程图功能为1×3×5×…×i≥10 000，∴i＝11，故输出的结果为i＝11＋2＝13.答案：135．解析：利用循环结构相关知识直接运算求解．k＝1，s＝1＋02＝1；k＝2，s＝1＋12＝2；k＝3，s＝2＋22＝6；k＝4，s＝6＋32＝15；k＝5，s ＝15＋42＝31＞15.故输出k＝5.答案：56．解：如图所示：7．解：(1)正确的流程图只有图③，图①有三处错误：第一处错误，第二个图框中i←42，应该是i←4，因为本流程图中的计数变量是i，不是i2，在22,42，…，1002中，指数都是2，而底数2,4,6,8，…，100是变化的，但前后两项的底数相差2，因此计数变量是顺加2.第二处错误，第三个图框中的内容错误，累加的是i2而不是i，故应改为p←p＋i2.第三处错误，第四个图框中的内容，其中的指令i←i＋1，应改为i←i＋2，原因是底数前后两项相差2.图②所示的流程图中有一处错误，即判断框中的内容错误，应将框内的内容“i＜100”改为“i≤100”或改为“i＞100”且判断框下面的流程线上标注的Y和N互换．(2)图①虽然能进行到底，但执行的结果不是所期望的结果，按照这个流程图最终输出的结果是p＝22＋42＋(42＋1)＋(42＋2)＋…＋(42＋84)．图②虽然能进行到底，但最终输出的结果不是预期的结果而是22＋42＋62＋…＋982，少了1002.8．解：此男子田径队有22人，要解决该问题必须先对运动员进行编号．设第i个运动员编号为N i，成绩为G i，设计的算法如下：S1i＝1.S2输入N i，G i.S3如果G i<6.8，则输出N i，G i，并执行S4；否则，直接执行S4.S4i＝i＋1.S5如果i≤22，则返回S2；否则，算法结束．该算法的程序框图如图所示．课下能力提升(四)赋值语句输入、输出语句一、填空题1．如图所示的伪代码a←2b←5c←a＋ba←c＋4Print a输出的结果是________．2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上的两点，试设计一个伪代码，输入A，B两点的坐标，输出其中点的坐标．现已给出伪代码的一部分．试在横线上填上适当的语句，把伪代码补充完整．3．下列算法的结果是________．a←2b←－5c←7a←b＋cb←c＋ac←a＋b＋cPrint a，b，c4．下面算法的功能是________________，输出的结果为________．A←1A←A＋2A←A＋3A←A＋4A←A＋5Print A5．读如下两个伪代码，完成下列题目．x←1x←2x x←3x Print x Read x y←x2＋6 Print y(Ⅰ)(Ⅱ) (1)Ⅰ输出的结果为________．(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入的值为________．二、解答题6．把如图所示的伪代码用流程图表示出来． A ←20B ←15A ←A ＋BB ←A －B A ←ABC ←A ＋BPrint C7.已知函数f (x )＝－x 2＋4x －7.求f (3)、f (－5)及f (5)，并计算f (3)＋f (－5)＋f (5)．用赋值语句和输入、输出语句写出算法的伪代码，并画出相应的流程图．8．求用长度为c 的细铁丝分别围成一个正方形和圆时，所围成的正方形和圆的面积，试设计一个求正方形和圆的面积的算法，写出伪代码，并画出流程图．答案1．解析：a ＋b ＝7，此时c ＝7,7＋4＝11，故a ＝11.答案：112．解析：利用中点坐标公式求解．答案：①x ←x 1＋x 22 ②y ←y 1＋y 223．解析：由a ←2，b ←－5，c ←7知a ＝2，b ＝－5，c ＝7.又a ←b ＋c ，b ←c ＋a ，c ←a ＋b ＋c ，∴a ＝b ＋c ＝2，b ＝c ＋a ＝9，c ＝2＋9＋7＝18.答案：2 9 184．解析：按算法语句的顺序执行A 的值依次为1,3,6,10,15，因此此算法的功能是求1＋2＋3＋4＋5的值，结果为15.答案：计算1＋2＋3＋4＋5的值 155．解析：(1)输出的结果应为x＝2×3＝6. (2)由条件知x2＋6＝6，∴x＝0.应输入的x＝0. 答案：606．解：流程图如下：7．解：伪代码和相应的算法流程图如下：x ←3y1←－x2＋4x－7x←－5y2←－x2＋4x－7x←5y3←－x2＋4x－7y←y1＋y2＋y3Print y1，y2，y3，y8.解：流程图如图所示：伪代码：Read ca←c4r←c 2πS1←a2S2←πr2 Print S1，S2课下能力提升(五)条件语句一、填空题1．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是20，则输入的x的值是________．2．下面程序的运行结果是________．A←100B←90If A＜B ThenT←A A←B B←TElseA←A－BEnd IfPrint A3．求函数y＝|x－4|＋1的函数值，则横线处应为________．4．给出一个算法：Read xIf x≤0Thenf(x)←4xElsef(x)←2xEnd IfPrint f(x)根据以上算法，可求得f(－3)＋f(2)的值为________．5．下列伪代码运行结果是________．X←0If X＞0ThenX←X＋1ElseX←X－1End IfIf X＞0 ThenY←XElse If X＝0 ThenY←1ElseY←3－XEnd IfEnd IfPrint Y二、解答题6．已知算法：Read a，b，cm←aIf b>m Thenm←bEnd IfIf c>m Thenm←cEnd IfPrint m若输入10、12、8，求输出的结果．7.用算法语句表示下列过程，输入一个学生的成绩S，根据该成绩的不同值作以下输出：若S<60，则输出“不及格”；若60≤S≤90，则输出“及格”；若S>90，则输出“优秀”．8．某商场为迎接店庆举办促销活动，活动规定：购物额在100元及以内不予优惠；在100～300元之间(含300元)优惠货款的5%；超过300元之后，超过部分优惠8%，原优惠条件仍然有效．用伪代码写出根据输入购物额能输出应付货款的算法，并画出流程图．答案1．解析：由10x＝20，得x＝2.由2.5x＋5＝20，得x＝6.答案：2或62．解析：由题意可知：A＝100－90＝10.答案：103．解析：当x<4时，y＝4－x＋1＝5－x，故横线处应填y←5－x.答案：y←5－x4．解析：由题意知f(－3)＝－12，f(2)＝4，∴f(－3)＋f(2)＝－12＋4＝－8.答案：－85．解析：当X＝0时，将X－1的值赋给X，此时X为－1，当X＝－1时，将3－X的值赋给Y，则Y＝3－(－1)＝4.答案：46．解：∵12>10，∴m＝12，又8>12不成立．∴输出m为12.7．解：伪代码如下：y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ， x ≤100，0.95x ， 100<x ≤300，285＋(x －300)×0.92， x >300伪代码如下：课下能力提升(六)循环语句一、填空题1．如图是一算法的伪代码，执行此算法，最后输出的n的值为______．n←6s←0While s＜15s←s＋nn←n－1End WhilePrint n2．以下伪代码运行结果t＝________.a←1b←1While b＜5c←a＋ba←bb←cEnd WhilePrint b4．如果下列伪代码运行后输出的结果是720，则在横线处应填入的正整数为________．I共循环________次．S←0I←1While S＜60S←S＋II←I＋1End While二、解答题6．写出下列伪代码执行的结果．a←2i←1While i≤6a←a＋1Print i，ai←i＋1End While7．试确定S＝1＋4＋7＋10＋…中加到第几项时S≥300？写出伪代码．8．给出某班50名学生的数学测试成绩，60分及60分以上的为及格，要求统计及格人数、及格人数的平均分、全班同学的平均分，画出流程图，并写出伪代码．答案1．解析：s＝6，n＝5；s＝11，n＝4；s＝15，n＝3，退出循环，此时n＝3.答案：32．解析：由条件i From 2 To 5知共循环4次．第一次循环t←1×2＝2，第二次循环t←2×3＝6，第三次循环t←6×4＝24，第四次循环t←24×5＝120.故运行结果为120.答案：1203．解析：第一步：c＝2，a＝1，b＝2；第二步：c＝3，a＝2，b＝3；第三步：c＝5，a＝3，b＝5.答案：54．解析：依题意需计算10×9×8，该循环体共执行了三次，当完成S←S×8后应结束循环，因此在横线处应填8.答案：85．解析：由题意知该程序的作用是判断S＝1＋2＋3＋…＋n≥60的最小整数n.∵1＋2＋3＋…＋10＝55＜601＋2＋3＋…＋11＝66＞60.故可知该程序循环了11次．答案：116．解：算法中用到了While循环语句，从a←2，i←1开始，第一次循环求2＋1，并输出1,3；第二次求3＋1，并输出2,4；第三次求4＋1，并输出3,5，…；第六次求7＋1，并输出6,8.即输出结果为1,32,43,54,65,76,87．解：伪代码一：伪代码二：S←0n←1i←1While S＜300 S←S＋nn←n＋3i←i＋1End While Print i－1S←0n←1i←1DoS←S＋nn←n＋3i←i＋1 Until S≥300 End Do Print i－18．解：流程图如下伪代码：M←0i←1S←0T←0DoRead xIf x≥60Then S←S＋xM←M＋1End IfT←T＋xi←i＋1Until i＞50End DoP←S/MT←T/50Print M，P，T课下能力提升(七)算法案例一、填空题1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是________．2．下列伪代码运行的一个结果是________．________．4．84和32的最小公倍数是________．5．下列伪代码的运行结果是________．a←120b←252While a≠bIf a＞ba←a－bElseb←b－aEnd IfEnd WhilePrint a二、解答题6．已知如图所示的流程图(其中的m、n为正整数)：(1)这个算法的功能是什么？(2)当m ＝286，n ＝91时，运行的结果是什么？7．试写出用二分法求方程x 3＋x 2－1＝0在[0,1]上的近似解的伪代码(精确度为0.01)．8．有一堆围棋子，5个5个地数余2,7个7个地数余3,9个9个地数余4，请画出求这堆围棋子共有多少个的流程图，并写出伪代码．答案1．解析：294＝84×3＋42,84＝42×2，故需要做2次．答案：22．解析：此伪代码的功能是求⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4x ＋2，m ＝5x ＋3，m ＝7x ＋3的最小正整数∴m ＝38.答案： 383．解析：由86>68得a ＝18，b ＝68，由68>18得b ＝50，a ＝18；由50>18得b ＝32，a ＝18；由32>18得b ＝14，a ＝18；由18>14得a ＝4，b ＝14；由14>4得b ＝10，a ＝4；由10>4得b ＝6，a ＝4；由6>4得b ＝2，a ＝4；由4>2得a ＝2，b ＝2.满足a ＝b ，输出2.答案：24．解析：先求84和32的最大公约数．84＝32×2＋2032＝20＋1220＝12＋812＝8＋48＝4×2.故84和32的最大公约数是4.所以84和32的最小公倍数为84×32÷4＝672.答案：6725．解析：此伪代码的功能是求两个正整数的最大公约数．a，b的值依次是：(120,252)→(120,132)→(120,12)→(108,12)→(96,12)→(84,12)→(72,12)→(60,12)→(48,12)→(36,12)→( 24,12)→(12,12)，∴输出12.答案：126．解：(1)这个算法的功能是用辗转相除法求两个正整数的最大公约数．(2)∵286＝91×3＋13,91＝13×7，∴286与91的最大公约数是13.故运行结果为13.7．解：伪代码如下：伪代码：课下能力提升(八) 简单随机抽样一、填空题1．为了了解某校高一学生的期末考试情况，要从该年级700名学生中抽取120名学生进行数据分析，则在这次考查中，考查总体数为________，样本容量是________．2．一个总体共有30个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为7的样本，则某个特定个体入样的可能性是________．3．下列抽样中：①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验，在抽样时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后，再把它放回盒子里；③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取)．其中属于简单随机抽样的是________．4．某工厂共有n 名工人，为了调查工人的健康情况，从中随机抽取20名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可能性为15，则n ＝________. 5．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数表法抽取10件检查，对100件产品采用下面编号方法：①01,02，03，…，100；②001,002,003，…100；③00,01,02，…，99.其中最恰当的序号是________．二、解答题6．要从3 000辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．7．某师范大学为支援西部教育事业发展，计划从应届毕业生中选出一批志愿者．现从符合报名条件的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．8．说出下列抽取样本时运用了哪种抽样方法？并说明原因．设一个总体中的个体数N ＝345，要抽取一个容量为n ＝15的样本，现采用如下方法：从随机数表中任意选取三列构成三位数字号码，从中依次取出不同的三位数字号码，当数在001～345之间时，该号码抽入样本；当数在401～745之间时，则该数减去400的号码抽入样本中，其余的000,346～400,746～999的号码都不要；当某号码已抽入样本中，而再次遇到该号码被抽入样本时，只算一次．答案1．700 1202．解析：每个个体被抽取的可能性为730.答案：7303．解析：根据总体的个数有限，可知①不是简单随机抽样；根据抽样是不放回地逐个抽取可知②不是简单随机抽样；只有③是简单随机抽样．答案：③4．解析：∵简单随机抽样为机会均等的抽样， ∴20n ＝15，即n ＝100. 答案：1005．解析：只有编号时数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．否则的话，由①是先选二位数字呢？还是先选三位数字呢？那就破坏了随机抽样．②③的编号位数相同，可以采用随机数表法，但②中号码是三位数，读数费时，③省时．答案：③6．解：本题中总体容量较大，样本的容量较小，故可选用随机数表法来抽取含3个个体的样本，其抽样过程如下：第一步，将3 000辆汽车进行编号，号码是0 001，0 002，0 003，……，3 000. 第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，如选第5行第11列的数3.第三步，从选定的数3开始向右读，依次得满足条件的号码为2 231，0 990,0 618. 第四步，把编号为2 231,990,618的汽车取出，即得到一个容量为3的样本． 7．解：第一步，将18名志愿者编号，号码为1,2,3， (18)第二步，将号码分别写在18张大小、形状都相同的纸条上，揉成团，制成号签．第三步，将制好的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀．第四步，从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号．第五步，所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．8．解：运用了简单随机抽样中的随机数表法．简单随机抽样的要求是给个体编号，逐个不放回抽取，操作的个体数量不宜太多，每个个体被抽取的机会均等，只有符合这些特点才是简单随机抽样．本题虽然取数时，设计了特别的规则，但是从随机数表中任意取数符合简单随机抽样的每个特点，所以本题运用了简单随机抽样法中的随机数表法．阶段质量检测(一) 算法初步[考试时间：90分钟试卷总分：120分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．如图表示的算法结构是________结构．2．语句A ←5，B ←6，A ←B ＋A ，逐一执行后，A 、B 的值分别为________． 3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则lg 1 000⊗(12)－2＝________.4．如图是一个算法的流程图，最后输出的W ＝________.5．下面的伪代码运行后的输出结果是________． a ←1b ←2c←3a ←b b ←c c ←aPrint a ，b ，c6.一个伪代码如图所示，输出的结果是________．S ←1For I From 1 to 10 S ←S ＋3×I End For Print S7．下面的伪代码输出的结果是________． i ←1s ←1While i ≤4 s ←s ×i i ←i ＋1End While Print s8．459与357的最大公约数是________．9．下列算法，当输入数值26时，输出结果是________． Read xIf 9＜x ＜100 Then a ← x \10 b ← Mod(x,10) x ←10b ＋a Print x End If10．(广东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．(10题图) (11题图)11．如图所示的流程图输出的结果为________．12．执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是________．13.下列伪代码运行后输出的结果为________． a ←0j ←1While j ≤5a ←mod (a ＋j ，5) j ←j ＋1End While Print a14．执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是________．二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)写出求最小的奇数I ，使1×3×5×7×…×I >2 012的伪代码．16．(本小题满分12分)高中毕业会考等级规定：成绩在85～100为“A”，70～84为“B”，60～69为“C”，60分以下为“D”．试编制伪代码算法，输入50名学生的考试成绩(百分制，且均为整数)，输出其相应的等级．17．(本小题满分12分)下面是计算应纳个人所得税的算法过程，其算法如下： S1 输入工资x (x ≤8 000)； S2 如果x ≤3 500，那么y ＝0；如果3 500<x ≤5 000，那么y ＝0.03(x －3 500)；否则y ＝45＋0.1(x －5 000) S3 输出税款y ，结束．请写出该算法的伪代码及流程图．18．(本小题满分14分)某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)写出该城市人口数y (万人)与年份x (年)的函数关系式； (2)用伪代码表示计算10年以后该城市人口总数的算法；(3)用流程图表示计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人的算法．答案1．解析：由流程图知为顺序结构．答案：顺序2．解析：∵A ＝5，B ＝6，∴A ＝6＋5＝11，B ＝6. 答案：11、63．解析：令a ＝lg 1 000＝3，b ＝(12)－2＝4，∴a <b ，故输出b －1a ＝4－13＝1.答案：14．解析：第一次循环后知S ＝1.第二次循环后知T ＝3，S ＝9－1＝8.第三次循环后知T ＝5，S ＝25－8＝17.所以输出W ＝17＋5＝22.答案：225．解析：第4行开始交换，a ＝2，b ＝3，c 为赋值后的a ，∴c ＝2. 答案： 2,3,26．解析：由伪代码可知S ＝1＋3×1＋3×2＋…＋3×10＝1＋3×(1＋2＋…＋10)＝166. 答案：1667．解析：由算法语句知s ＝1×1×2×3×4＝24.答案：248．解析：459＝357×1＋102,357＝102×3＋51,102＝51×2，所以459与357的最大公约数是51.答案：519．解析：这是一个由条件语句为主体的一个算法，注意算法语言的识别与理解．此算法的目的是交换十位、个位数字得到一个新的二位数．(x\10是取x除以10的商的整数部分)．答案：6210．解析：本题第1次循环：s＝1＋(1－1)＝1，i＝1＋1＝2；第2次循环：s＝1＋(2－1)＝2，i＝2＋1＝3；第3次循环：s＝2＋(3－1)＝4，i＝3＋1＝4；第4次循环：s＝4＋(4－1)＝7，i＝4＋1＝5.循环终止，输出s的值为7.答案：711．解析：由题意知，输出的b为24＝16.答案：1612．解析：依据循环结构运算并结合输出结果确定条件．k＝2，s＝1，s＝1×log23＝log23，k＝3，s＝log23·log34＝log24，k＝4，s＝log24·log45＝log25，k＝5，s＝log25·log56＝log26，k＝6，s＝log26·log67＝log27，k＝7，s＝log27·log78＝log28＝3.停止，说明判断框内应填k≤7或k＜8.答案：k≤7(或k＜8)13．解析：第一步：a＝mod(1,5)＝1，j＝2；第二步：a＝mod(1＋2,5)＝3，j＝3；第三步：a ＝mod(3＋3,5)＝1，j＝4；第四步：a＝mod(1＋4,5)＝0，j＝5；a＝mod(0＋5,5)＝0，j＝6，此时输出，∴a＝0.答案：014．解析：由题知，k＝1，S＝0，第一次循环，S＝2，k＝2；第二次循环，S＝2＋2×2＝6，k ＝3；……；第六次循环，S＝30＋2×6＝42，k＝6＋1＝7；第七次循环，S＝42＋2×7＝56，k＝7＋1＝8，此时应输出k的值，从而易知m的取值范围是(42,56]．答案：(42,56]15．解：t←1I←1While t≤2 012t←t×II←I＋2End WhilePrint I－216．解：伪代码如图：While I ≤50Read a I (学生成绩)If a I ＜60 Then Print “D ”Else If a I ＜70 Then Print “C ”Else If a I ＜85 Then Print “B ”ElsePrint “A ”End If I ←I ＋1EndWhile17．解：伪代码：18．解：(1)y ＝100×1.012x (2)伪代码如下：I←1.012For x From 1 To 10 S←S×IEnd ForPrintS(3)即求满足100×1.012x≥120的最小正整数x，其算法流程图如图．课下能力提升(九) 系统抽样一、填空题1．若总体中含有1 645个个体，现在要采用系统抽样，从中抽取一个容量为35的样本，编号后应均分为______段，每段有________个个体．2．从2 013个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为________． 3．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．4．某企业利用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，若每一个职工入样的可能性为0.2，则该企业的职工人数为________．5．某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，……，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．二、解答题6．为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？7．下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样过程，阅读并回答问题．本村人口：1 200人，户数：300，每户平均人口数4人；应抽户数：30户；抽样间隔：1 20030＝40；确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12；确定第一样本户：编码为12的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52，编号为52的户为第二样本户； ……(1)该村委会采用了何种抽样方法？ (2)说明抽样过程中存在哪些问题，并修改． (3)抽样过程中何处应用了简单随机抽样？8．一个总体中有1 000个个体，随机编号为0,1,2,3，…，999，以编号顺序将其平均分成10个小组，组号依次为0,1,2,3，…，9，要用系统抽样方法抽取一容量为10的样本，规定：如果在第0小组中随机抽取的号码为x ，那么依次错位地得到后面各组中的号码，即第k 小组中抽取的号码的后两位数字与x ＋33k 的后两位数字相同．(1)当x ＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个号码的后两位数字是87，求x 的取值范围．答案1．解析：因为1 64535＝47，故采用系统抽样法时，编号后分成35段，每段47个个体．答案：35 472．解析：先从2 013个个体中剔除13个，则分段间隔为2 00020＝100.答案：1003．解析：第7组中号码的十位数字为6.又m ＋k ＝6＋7＝13，由规定知抽取号码的个位数字为3，所以抽取号码为63.答案：634．解析：系统抽样中，每个个体被抽到是等可能的，设该企业职工人数为n ，则60n ＝0.2，故n＝300.答案：3005．解析：∵组距为5，∴(8－3)×5＋12＝37. 答案：376．解：交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8.7．解：(1)系统抽样．。

1.4.算法案例-苏教版必修3教案

1.4.算法案例-苏教版必修3教案
算法背景
在高中数学学科中，算法是一个重要的概念。

算法是一系列解决问题的指令集合，用于将输入转换为输出。

在本次课程中，我们将以苏教版必修3教材为基础，介绍几个与算法相关的案例。

算法案例
线性规划问题
对于一个线性规划问题，我们只需要确定一个线性目标函数，并解决线性不等式或等式约束条件。

这是一个常见的优化问题，它可以在材料管理、运输和分配
等方面得到应用。

在苏教版必修3教材中，还包括针对线性规划问题的单纯形法。

这是一个基于松弛变量搜索所有角点的方法。

图论算法
在图论中，我们需要学习多个不同的算法，例如：最短路径算法、最小生成树算法等。

最短路径算法用于查找两点之间的最短路径，最小生成树算法用于查找图中的最小生成树。

在苏教版必修3教材中，介绍了两个常用的算法：迪杰斯特拉
算法和克鲁斯卡尔算法。

这两个算法都在查找图中的最短路径方面应用广泛。

字符串匹配算法
在计算机科学中，字符串匹配是一个基本的问题。

字符串匹配的主要目标是确定一个字符串是否包含另一个字符串。

在苏教版必修3教材中，介绍了KMP算法。

它是一种比较高效的字符串匹配算法，通常用于在较长的文本中查找子串。

本章小结
这篇教案中，我们介绍了苏教版必修3教材中的一些算法案例。

通过学习这
些案例，学生可以更好地理解算法的基本概念以及如何应用这些概念来解决不同的问题。

同时，通过对算法案例的学习，学生可以增强自己的数学思维能力，更好地应对复杂的问题和考试。

2017-2018学年高中数学苏教版必修三教学案：第1章章末小结与测评

一、算法的设计1．算法设计它与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽象与概括，它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．2．设计算法时的注意事项(1)与解决该问题的一般方法相联系，从中提炼与概括算法步骤．(2)将解决的问题过程划分为若干步骤．(3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达．(4)用简炼的语言将各步骤表达出来．二、流程图1．流程图的定义用规定的图框和流程线来准确、直观、形象地表示算法的图形．2．算法的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：(2)选择结构：(3)循环结构：3．画流程图的规则(1)使用标准的图框符号．(2)一般按从上到下、从左到右的方向画．(3)除判断框外，其他图框只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号．(4)一种判断框分为“是”与“不是”两个分支，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有几种不同的结果．(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚．三、基本算法语句(1)赋值语句的一般格式：变量←表达式(2)输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是表达式、变量或函数；输出语句可以输出常量、变量或表达式的值甚至也可以输出字符．(3)条件语句的一般形式：If　A　ThenBElseCEnd If(4)条件语句的嵌套的一般形式：其相应的流程图如下图所示．(5)循环语句①当型语句：While P循环体End While②直到型语句：Do循环体Until PEnd Do③当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示．“For”语句的一般形式为：For I From“初值”To“终值”Step“步长”循环体End For(6)使用算法语句时应注意的几个问题：①一个输入语句可以对多个变量赋值，中间用“，”隔开，输出语句也类似．②赋值号左边只能是变量，而不能是表达式．两边不能对换，若对换，需引入第三个变量．③条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的正负，确定两数大小等．④当型循环是当条件满足时执行循环体．而直到型循环是当条件不满足时执行循环体．⑤在解决一些需要反复执行的任务时，如累加求和、累乘求积通常都用循环语句来实现，要注意循环变量的控制条件．⑥在循环语句中嵌套条件语句时，要注意书写格式．四、算法案例(求最大公约数)1．更相减损术更相减损术(也叫等值算法)是我国古代数学家在求两个正整数最大公约数时的一个算法，其操作过程是：对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，接着把得到的差与较小的数比较，用这两个数中较大的数减去较小的数，继续上述操作(大数减去小数)，直到产生一对相等的数为止，那么这个数(等数)即是所求的最大公约数．2．辗转相除法辗转相除法(即欧几里得算法)就是给定两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将较小的数和余数继续上面的除法，直到余数为零，此时的除数就是所求的最大公约数．3．二者的区别与联系辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除，而更相减损术进行的是减法运算，即辗转相减，但实质都是一个递归过程．(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．如图表示的算法结构是________结构．解析：由流程图知为顺序结构．答案：顺序2．语句A ←5，B ←6，A ←B ＋A ，逐一执行后，A 、B 的值分别为________．解析：∵A ＝5，B ＝6，∴A ＝6＋5＝11，B ＝6.答案：11、63．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则lg1 000⊗()－2＝________.12解析：令a ＝lg1 000＝3，b ＝()－2＝4，12∴a <b ，故输出＝＝1.b －1a 4－13答案：14．如图是一个算法的流程图，最后输出的W ＝________.解析：第一次循环后知S ＝1.第二次循环后知T ＝3，S ＝9－1＝8.第三次循环后知T ＝5，S ＝25－8＝17.所以输出W ＝17＋5＝22.答案：225．下面的伪代码运行后的输出结果是________．a ←1b ←2c ←3a ←b b ←c c ←aPrint a ，b ，c解析：第4行开始交换，a ＝2，b ＝3，c 为赋值后的a ，∴c ＝2.答案： 2,3,26．一个伪代码如图所示，输出的结果是________．S ←1For I From 1 to 10S ←S ＋3×I End For Print S 解析：由伪代码可知S ＝1＋3×1＋3×2＋…＋3×10＝1＋3×(1＋2＋…＋10)＝166.答案：1667．下面的伪代码输出的结果是________．i←1s←1While i≤4s←s×ii←i＋1End WhilePrint s解析：由算法语句知s＝1×1×2×3×4＝24.答案：248．459与357的最大公约数是________．解析：459＝357×1＋102，357＝102×3＋51，102＝51×2，所以459与357的最大公约数是51.答案：519．下列算法，当输入数值26时，输出结果是________．Read　xIf　9＜x＜100　Then　a←　x\10　b←　Mod(x,10)　x←10b＋aPrint　xEnd　If解析：这是一个由条件语句为主体的一个算法，注意算法语言的识别与理解．此算法的目的是交换十位、个位数字得到一个新的二位数．(x\10是取x除以10的商的整数部分)．答案： 6210．(广东高考)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为________．解析：本题第1次循环：s＝1＋(1－1)＝1，i＝1＋1＝2；第2次循环：s＝1＋(2－1)＝2，i＝2＋1＝3；第3次循环：s＝2＋(3－1)＝4，i＝3＋1＝4；第4次循环：s＝4＋(4－1)＝7，i＝4＋1＝5.循环终止，输出s的值为7.答案： 711．如图所示的流程图输出的结果为________．解析：由题意知，输出的b为24＝16.答案：1612.执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是________．解析：依据循环结构运算并结合输出结果确定条件．k＝2，s＝1，s＝1×log23＝log23，k＝3，s＝log23·log34＝log24，k＝4，s＝log24·log45＝log25，k＝5，s＝log25·log56＝log26，k＝6，s＝log26·log67＝log27，k＝7，s＝log27·log78＝log28＝3.停止，说明判断框内应填k≤7或k＜8.答案：k≤7(或k＜8)13．下列伪代码运行后输出的结果为________．a←0j←1While　j≤5a←mod a＋j，5j←j＋1End　WhilePrint　a解析：第一步：a＝mod(1,5)＝1，j＝2；第二步：a＝mod(1＋2,5)＝3，j＝3；第三步：a＝mod(3＋3,5)＝1，j＝4；第四步：a＝mod(1＋4,5)＝0，j＝5；a＝mod(0＋5,5)＝0，j＝6，此时输出，∴a＝0.答案：014．执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是________．解析：由题知，k＝1，S＝0，第一次循环，S＝2，k＝2；第二次循环，S＝2＋2×2＝6，k＝3；……；第六次循环，S＝30＋2×6＝42，k＝6＋1＝7；第七次循环，S＝42＋2×7＝56，k＝7＋1＝8，此时应输出k的值，从而易知m的取值范围是(42,56]．答案：(42,56]二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)写出求最小的奇数I，使1×3×5×7×…×I>2 012的伪代码．解：t←1I←1While　t≤ 2 012t←t×II←I＋2End WhilePrint I－216．(本小题满分12分)高中毕业会考等级规定：成绩在85～100为“A”，70～84为“B”，60～69为“C”，60分以下为“D”．试编制伪代码算法，输入50名学生的考试成绩(百分制，且均为整数)，输出其相应的等级．解析：伪代码如图：I←1While　I≤50Read　aI 学生成绩If　aI＜60　ThenPrint　“D”Else　If　aI＜70　ThenPrint　“C”Else　If　aI＜85　ThenPrint　“B”ElsePrint　“A”End　IfI←I＋1End　While17．(本小题满分12分)下面是计算应纳个人所得税的算法过程，其算法如下：S1　输入工资x(x≤8 000)；S2　如果x≤3 500，那么y＝0；如果3 500<x≤5 000，那么y＝0.03(x－3 500)；否则y＝45＋0.1(x－5 000)S3　输出税款y，结束．请写出该算法的伪代码及流程图．解：伪代码．Read x(x≤8 000)If　x≤3 500 Theny←0ElseIf x≤5 000 Theny←0.03(x－3 500)Elsey←45＋0.1(x－5000)End IfEnd IfPrint y流程图18．(本小题满分14分)某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)用伪代码表示计算10年以后该城市人口总数的算法；(3)用流程图表示计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人的算法．解：(1)y＝100×1.012x(2)伪代码如下：S←100I←1.012For x From 1 To 10S←S×IEnd ForPrint S(3)即求满足100×1.012x≥120的最小正整数x，其算法流程图如图．。

高中数学算法案例教案苏教版必修3

2014高中数学算法案例教案苏教版必修3总课题算法案例总课时第 9 课时分课题算法案例分课时第 1 课时教学目标通过了解中国古代算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献．重点难点通过案例分析，体会算法思想，熟练算法设计．例【案例1】韩信是秦末汉初的著名军事家，据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么办法，不要逐个报数，就能知道场上士兵的人数．韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2人多余；接着他立刻下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这一次又剩下2人无法成整行．韩信看此情形，立刻报告共有士兵2333人．众人都愣了，不知韩信用什么办法清点出准确人数的．这个故事是否属实，已无从查考，但这个故事却引出一个著名的数学问题，即闻名世界的“孙子问题”．这种神机妙算，最早出现在我国《算经十书》之一的《孙子算经》中，原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三．”所以人们将这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．【算法设计思想】“孙子问题”相当于求关于z y x ，，的不定方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=273523z m y m x m 的整数解．设所求的数为m ，根据题意，m 应同时满足下列三个条件：（1）m 被3除后余2，即2)3(= ，m Mod ；（2）m 被5除后余3，即3)5(= ，m Mod ；（3）m 被7除后余2，即2)7(= ，m Mod ；首先，从2=m 开始检验条件，若3个条件中有任何一个不满足，则m 递增1，当m 同时满足3个条件时，输出m ．【流程图】【伪代码】【案例2】写出求两个正整数)(,b a b a >的最大公约数的一个算法．公元前3世纪，欧几里得介绍了求两个正整数)(b a b a >，的最大公约数的方法，即求出一列数：0121 -，，，，，，，n n r r r r b a ，这列数从第三项开始，每一项都是前两项相除所得的余数（即)(12--=n n n r r Mod r ，），余数等于0的前一项n r ，即是a 和b 的最大公约数，这种方法称为“欧几里得辗转相除法”．【算法设计思想】欧几里得展转相除法求两个正整数b a ，的最大公约数的步骤是：计算出b a ÷的余数r ，若0=r ，则b 即为b a ，的最大公约数；若0≠r ，则把前面的除数b 作为新的被除数，把余数r 作为新的除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为b a ，的最大公约数．求)(b a b a >，的最大公约数的算法为：1S 输入两个正整数b a ，；2S 如果0)(≠b a Mod ，，那么转3S ，否则转6S ；3S )(b a Mod r ，←；4S b a ←；5S r b ←，转2S ；6S 输出b ．【流程图】【伪代码】【案例3】写出方程013=--x x 在区间]511[．，内的一个近似解（误差不超过001.0）的一个算法．【算法设计思想】如下图：如果设计出方程0)(=x f 在某区间[]b a ，内有一个根*x ，就能用二分搜索求得符合误差限制c 的近似解．算法步骤可表示为：1S 取[]b a ，的中点)(210b a x +=，将区间一分为二； 2S 若0)(=x f ，则0x 就是方程的根，否则判断根*x 在0x 的左侧还是右侧；若0)()(0>x f a f ，则),(0b x x ∈*，以0x 代替a ；若0)()(0<x f a f ，则),(0x a x ∈*，以0x 代替b ；3S 若c b a <-，计算终止，此时0x x ≈*，否则转1S ．【流程图】【伪代码】巩固练习1．下面一段伪代码的目的是______________________________________________．ad Re m ，n While )(nm Int n m ≠ c ←m )(n m Int n ⨯- m n ←n c ← a 0x*x b0)(>b f )(x f y = O注明：案例3的图2．在直角坐标系中作出函数x y 2=和x y -=4的图像，根据图像判断方程x x -=42的解的范围，再用二分法求这个方程的近似解（误差不超过001.0），并写出这个算法的伪代码，画出流程图．课堂小结通过案例分析，体会算法思想，熟练算法设计，进一步理解算法的基本思想，在分析案例的过程中设计规范合理的算法．课后训练班级：高二（）班姓名：____________一基础题1．一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩留下来的物质的质量约为原来，那么，约经过多少年，剩留的质量是原来的一半？试写出运用二分法计算这个近似值的伪代码．2．设计一个算法，计算两个正整数b a ，的最小公倍数．二提高题3．判断某年份是否为闰年，要看此年份数能否被4整除．若不能被4整除则是平年，2月是28天；若能被4整除但不能被100整除，则该年是闰年，2月是29天；若能被4整除又能被100整除，还要看能否被400整除，若能则为闰年，否则为平年．画出上述算法的流程图，并写出伪代码．4．我国古代劳动人民对不定方程的研究作出过重要贡献，其中《张丘建算经》中的“百鸡问题”就是一个很有影响力的不定方程问题，今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百只，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何．其意思是：一只公鸡的价格是5钱，一只母鸡的价格是3钱，三只小鸡的价格是1钱，想用100钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡个买几只．设z y x ，，分别代表公鸡、母鸡、小鸡的只数，我们可以大致确定z y x ，，的取值范围：若100钱全买公鸡，则最多可买20只，即x 的取值范围是20~0；若100钱全买母鸡，则最多可买33只，即y 的取值范围是33~0；当y x ，在各自的范围内确定后，小鸡的只数y x z --=100也就确定了．根据上述算法思想，画出求解的流程图，并写出相应的伪代码．。

2017-2018学年高三数学苏教版必修三课下能力提升：(七) 算法案例

课下能力提升(七) 算法案例一、填空题1．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是________．2．下列伪代码运行的一个结果是________．________．4．84和32的最小公倍数是________．5．下列伪代码的运行结果是________．a ←120b ←252While a ≠bIf a ＞ba ←a －b Elseb ←b －aEnd IfEnd WhilePrint a二、解答题6．已知如图所示的流程图(其中的m 、n 为正整数)：(1)这个算法的功能是什么？(2)当m ＝286，n ＝91时，运行的结果是什么？7．试写出用二分法求方程x 3＋x 2－1＝0在[0,1]上的近似解的伪代码(精确度为0.01)．8．有一堆围棋子，5个5个地数余2,7个7个地数余3,9个9个地数余4，请画出求这堆围棋子共有多少个的流程图，并写出伪代码．答案1．解析：294＝84×3＋42,84＝42×2，故需要做2次．答案：2 2．解析：此伪代码的功能是求⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4x ＋2，m ＝5x ＋3，m ＝7x ＋3的最小正整数∴m ＝38.答案： 38 3．解析：由86>68得a ＝18，b ＝68，由68>18得b ＝50，a ＝18；由50>18得b ＝32，a ＝18；由32>18得b＝14，a＝18；由18>14得a＝4，b＝14；由14>4得b＝10，a＝4；由10>4得b＝6，a＝4；由6>4得b＝2，a＝4；由4>2得a＝2，b＝2.满足a＝b，输出2.答案：24．解析：先求84和32的最大公约数．84＝32×2＋2032＝20＋1220＝12＋812＝8＋48＝4×2.故84和32的最大公约数是4.所以84和32的最小公倍数为84×32÷4＝672.答案：6725．解析：此伪代码的功能是求两个正整数的最大公约数．a，b的值依次是：(120,252)→(120,132)→(120,12)→(108,12)→(96,12)→(84,12)→(72,12)→(60,12)→(48,1 2)→(36,12)→(24,12)→(12,12)，∴输出12.答案：126．解：(1)这个算法的功能是用辗转相除法求两个正整数的最大公约数．(2)∵286＝91×3＋13,91＝13×7，∴286与91的最大公约数是13.故运行结果为13.7．解：伪代码如下：伪代码：。

2017-2018学年数学苏教版必修3：课下能力提升(四) 赋值语句输入、输出语句

A←1 A←A＋2 A←A＋3 A←A＋4 A←A＋5 Print A
5．读如下两个伪代码，完成下列题目．
x←1
x←2x
Read x
x←3x y←x2＋6
Print x Print y
(Ⅰ) (Ⅱ)
(1)Ⅰ输出的结果为________．
(2)若Ⅰ、Ⅱ输出的结果相同，则伪代码Ⅱ输入的值为________．
3．解析：由 a←2，b←－5，c←7 知 a＝2，b＝－5，c＝7.
又 a←b＋c，b←c＋a，c←a＋b＋c，
∴a＝b＋c＝2，b＝c＋a＝9，c＝2＋9＋7＝18. 答案：2 9 18
4．解析：按算法语句的顺序执行 A 的值依次为 1,3,6,10,15，因此此算法的功能是求
1＋2＋3＋4＋5 的值，结果为 15.
课下能力提升(四) 赋值语句输入、输出语句
一、填空题
1．如图所示的伪代码
输出的结果是________．
a←2 b←5 c←a＋b a←c＋4 Print a
2．已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上的两点，试设计一个伪代码，输入 A，B 两点的坐标，输出其中点的坐标．现已给出伪代码的一部分．试在横线上填上适当的语句，把伪
二、解答题
6．把如图所示的伪代码用流程图表示出来．
A←20 B←15 A←A＋B B←A－B A←AB C←A＋B Print C
7.已知函数 f(x)＝－x2＋4x－7.求 f(3)、f(－5)及 f(5)，并计算 f(3)＋f(－5)＋f(5)．用赋值语句和输入、输出语句写出算法的伪代码，并画出相应的流程图．
y←y1＋y2＋y3 Print y1，y2，y3，y
8.解：流程图如所示：

高中数学算法案例苏教版必修三

算法案例民间谚语说，不了解过去，就不可能懂得现在的真正涵义和未来的目的．这对于数学也是适用的．事实上，从世界文明古代数学到我国古代数学，它们中都蕴藏着大量丰富的“寓理于算”的引人入胜的数学问题、趣题，这些问题的“算法化”解决，可帮助同学们进一步体会“算法”的概念，提高逻辑思维能力和算法设计水平，进而为上机实践作好更为充分的准备并节省计算机资源．同时，不仅在古代，就是在当今，也有着许多充满了挑战意味的（算法）问题，值得我们去开拓去玩味去思索．现在，同学们肯定也一定很想知道到底有哪些问题是如此地吸引着我们的眼球吧．那就请你随着我们一起去走进数学问题的算法大观圆吧．学法建议“数学来源于实践”．作为算法，也不例外，它是许多优秀成果（无论是古代的，还是当今的）的浓缩、抽象与概括．追根溯源，我们再用“算法”理念来研究体验一下充满着体现古代数学对现代数学的伟大贡献的成果，那就不仅具有深远的现实意义，而且同样具有深远的教育意义．在本节的学习中，要能综合运用所学的算法知识解决实际问题，会用自然语言、流程图和伪代码表述问题的算法过程．一、知识网络南宋数学家秦九韶对《孙子算经》中的“物不知数”问题产生了兴趣并进行了研究，提出了一种新的算法——大衍求一术，该法和高斯的算法在本质上完全一致，但比高斯早了500余年，可见中国古代数学史对世界古代数学史的贡献．二、知识归纳 1．辗转相除法①所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小的数就是原来两个数的最大公约数．②算法步骤（以求两正整数a ，b 的最大公约数为例）S 1 输入两个正整数a ，b (a ＞b )；S 2 r ←a ÷b 的余数； S 3 a ←b ；中国剩余定算法案例更相减损二分法辗转相除法S 4 b ←r ；S 5 如果r =0，则输出最大公约数a ；若r ≠0，则转S 2．所示．mod(a ，b )表示所得的余数，例如，mod(5，2)=1，mod(46，20)=6． ⑤取整函数int(x )的最大整数，例如int(4.3)=4，int(-3.6)= -4． 2①所谓更相减损术就是对于给定的两个数，以两数中较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成一对新数，再用较大的数减去较小的数，反此时相等的两数便为原两数的最大公约数．②算法步骤:()S 1 输入两个正整数a ，b (a ＞b )；S 2 若a 不等于b ，则执行S 3；否则执行S 5；S 3 r ←a -b ；S 4 如果b ＞r ，a ←b ，b ←r ；否则，a ←r ，执行S 2；S 5 输出最大公约数b ．③流程图和伪代码如图5-4-2所示．3．中国剩余定理中国剩余定理，也称为孙子剩余定理．该定理在近代数学和电子计算机程序设计中有着广泛的应用．①剩余问题在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，从而要求出适合条件的这个被除数的问题，叫做剩余问题．②两个性质性质1 几个数相加，如果只有一个加数，不能被数a 整除，而其他加数均能被数a 整除，那么它们的和，就不能被数a 整除．10 Read a ，b 20r ←mod (a ，b ) 30 a ←b 40 b ←r 50 If r ≠0 then 80 60 Print a 70 Goto 90 80 Goto 20 90 End if 100 End 5-4-1 Read a ，b While a ≠b r ←a -bIf b ＞r thena ←b b ←r Else a ←r End ifEnd while Print b 5-4-2如：10能被5整除，15能被5整除，但7不能被5整除，所以（10+15+7）不能被5整除．性质2 二数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）．如：22÷7=3 (1)（22×4）÷7=12……1×4（=4）（要余2：22×2÷7=6……2；（22×9）÷7=28……1×9-7（=2））（想余5，则22×5÷7=15……5）③中国剩余定理中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题（称为“物不知数”问题）及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二．问物几何？答曰：23．术曰：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十．并之，得二百三十三，以二百一十减之即得．”“术”即解法．书中还介绍了上述问题中余数为一的一般解法：凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一则置十五；一百六以上，以一百五减之即得．在明朝程大位著《算术统宗》一书中，把上述问题的基本解法，用诗句概括为：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百令五便得知．解依定理译成算式解为：70×2+21×3+15×2=233，233-105×2=23．这就是享誉中外的《中国剩余定理》．④至于“物不知数”问题的算法分析与算法的流程图与伪代码表示，请直接参见教材相关部分．三、图解重点算法思想——程序化思想算法的思想方法，题的习惯．潜能开发将1092作为大数，468作为小数，执行辗转相除法和更相减损术的步骤即可．[解答]用辗转相除法：1248=585×2+78， 585=78×7+39， 78=39×2+0．故1248和585的最大公约数是39．用更相减损术检验：（1248，585）→（663，585）→（78，585）→（78，507）→（78，429）→（78，351）→（78，273）→（78，195）→（78，117）→（78，39）→（39，39）∴1248和585的最大公约数是39．先引入三人各自舀米的次数变量，写出它们所满足的条件，变形后写出算法分析． [解答]设x 、y 、z 分别表示用木勺、本盒、大碗舀米的次数，依题意必须求：方程19x +1=17y +14=12z +1的正整数解．解题规律1．用辗转相除法求两数最大公约数时，是当大数恰好被小数整除时停止除法，这时的小数就是要求的两数的最大公约数．2．用更相减损术求两数最大公约数时，是当大数减小数恰好等于小数时停止减法，这时的小数就是要求的两数的最大公约数．知识延伸本问题的算法如下：S 1 t ←1；S 2 判断17能否整除228t -13．若能，转S 5；若不能，转S 3；S 3 t ←t +1； S 4 转S 2；S 5 输出“甲偷米”；19×12×t ；S 6 输出 “乙偷米”；228×t -13；S 7 输出 “丙偷米”；19×12×t ．课外拓展中国数学著作《数书九章》编纂于变形可得19x=12z，1219x z ．由于x、y、z均为整数，故可令z=19t，t为整数．进而可得17y+13=228t．因此，只须让t分别取1，2，3，…，直至y为整数为止．现用伪代码写出算法如图5-4-4所示．分析清晰这里的数据的个数及其关系即可．[解答]用伪代码表示算法如图5-4-5所示．借助计算机用穷举法来完成．[解答]设直角三角形的两直角边分别为a，b，则依题意有宋代．下面问题也来自该书：5头牛和2只羊共值银11俩，2头牛和8只羊共值银8俩，每头牛和每只羊各值多少？（答案：一头牛值银2俩，一只羊值银半俩．）历史片断埃及是世界第二个古代文化中心，而第一个则是巴比伦．埃及是一个金字塔的国度，远在公元前数千年就出现了庙宇和金字塔等巨大建筑，其中一部分一直保存到今天．各种建筑工作以及以人工灌溉为基础的土地耕作，很早就引起需要数学知识，特别是对几何学的需要．感悟方法计算机最大的特点就是利用穷举进行重复计算，本题便是借助了计算机的这一特点，对所有可能的情形进行了穷举．显然这在手工阶段是难以完成的．这t←1While int((228t-13)/17)≠(228t-13)/17t←t+1End whilePrint “甲偷米”；19×12×tPrint “乙偷米”；228×t-13Print “丙偷米”；19×12×tEndS←0a←1For I from 1 to 5a←7×aPrint aS←S+aEnd forPrint SEnd图5-4-5a ，b ≤100，a ，b 为正整数，且a 2+b 2为完全平方数，ab =2(a +b．因a 2+b 2为完全平方数，为整数的判断可借助于取整函数来实现．于是我们可以有如下的算法（用伪代码来表示，图形示意为图5-4-6）就是高科技带来的计算革命．问题变式请你设计一个算法，找出这样的矩形，使它满足以下三个条件：第一，四条边长均为整数；第二，面积数与周长数相等；第三，周长不超过400．请你根据左边的算法分析，独立给出上述问题的解答．（要求写出伪代码）体验探究一、科海拾贝刘微——割圆术——π的近似值的计算刘微，我国魏晋时期的数学家，他在注《九章算术》中采用正边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算了圆周率π．刘微说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”刘微的这一思想后来又得到祖冲之的推进和发展，计算出的圆周率近似值在世界上很长时间里处于领先地位．刘微从圆内接六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些圆内接正多边形的面积，从而得到一系列逐渐递增的数值，来一步一步地逼近圆面积，最后求出圆周率的近似值．可以想象，在当时需要付出多少艰辛的劳动．计算机的最大的特点是运算速度快，能做重复计算，而刘微的思想恰是重复的基础．我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形、……的面积关系进行一个分析，找出它们之间的关系．如图5-4-7所示，设圆的半径为1，面积为S ，圆内接正n 边形的面积为S n ，边长为x n ，边心距为h n ，则由勾股定理有n h =For a from 1 to 100 For b from 1 to 100 Ifint(sqr(a 2+b 2))=sqr(a 2+b 2)and ab =2(a +b +sqr(a 2+b 2))Print a ，b ，sqr(a 2+b 2) Else End if Next b Next aEndD图5-4-7正2n 边形的面积为正n 边形的面积S n 再加上n 个等腰三角形（ADB ）的面积和，即21(1)2n n n n S S n x h =+-． ① 正2n 边形的边长为2n x从正六边形的面积开始计算，即n =6，则正六边形的面积66S = 用公式①重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形、……的面积．由于圆的半径为1，所以随着n 的增大，S 2n 的值就无限逼近于圆周率，这样不断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率的值．如图，5-4-8便是用伪代码写出的算法．其中m 为正偶数．运行以上的程序，当边数为192时，就可以得到刘微求得的圆周率的近似值3.14；当边数为24576时，就得到了祖冲之计算的结果3.1415926．由于是用圆内接正多边形逼近圆的，因而得到的圆周率总是小于π的实际值的．那当然如果用圆外接正多边形去逼近圆的面积，则所得到的圆周率总应大于π的实际值的．用圆外接正多边形去逼近圆的面积求圆周率的近似值的方法，请读者自行去分析去解决．二、智慧列车正方体的所有棱长都相等，故必须将钢筋剪裁成长度相等的钢筋条；又必须不浪费，这就说明必须剪后无剩余．于是为了保证正方体的体积最大，故剪得钢筋的最大长度为3.6m 和7.8m 的最大公约数．可用更相减损术求最大公约数．[解答]先求36与78的最大公约数：（36，78）→ （36，42）→（36，6）→（30，6）→（24，6）→（18，6）→（12，6）→（6，6）．故36与78的最大公约数为6．∴3.6与7.8的最大公约数为0.6，即当剪成的正方体的棱长为0.6m 米时，正方体的体积最大且不浪费．Read m n ←6 S ←6×sqr(3)/4 For I from 1 to mh ←sqr(1-x ×x /4)S ←S +n ×x ×(1-h )/2 n ←2×nx ←sqr(x ×x /4+(1-h )×(1-h ))End forPrint n ，S 图5-4-8。

高中数学算法案例(全套)教案苏教版必修3

§1.4 算法案例(1)教学目标：（1）介绍中国古代算法的案例－韩信点兵－孙子问题；（2）用三种方法熟练的表示一个算法；（3）让学生感受算法的意义和价值．教学重点、难点:不定方程解法的算法．教学过程：一、问题情境(韩信点兵-孙子问题)：韩信是秦末汉初的著名军事家。

据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数。

韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行。

在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人。

众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的。

同学们，你知道吗？背景说明:1．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」”2．孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理(孙子定理)。

中国剩余定理在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；3．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。

在中国还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止。

所得结果就是某数的最小正整数值。

用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：2×70+3×21+2×15=233，233－105×2=23，即所求物品最少是23件。

[推荐学习]2018-2019学年高中数学苏教版必修三课下能力提升：(十七) 几何概型-含答案

课下能力提升(十七) 几何概型一、填空题1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x∈[0,1]的概率为 ________.2．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．3.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．4．一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．5.如图，在平面直角坐标系中，∠xOT＝60°，以O 为端点任作一射线，则射线落在锐角∠xOT 内的概率是________．二、解答题6．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，求劣弧AB 的长度小于1的概率．7．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 距离大于1的概率．8．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率．答案1．解析：[－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以概率是13.答案：132．解析：由题意，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π cm 2，故所求概率为77π81π＝7781. 答案：77813．解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83. 答案：834.解析：边长为3,4,5三边构成直角三角形，P ＝－1－＋－1－＋－1－3＋4＋5＝612＝12. 答案：125．解析：以O 为起点作射线，设为OA ，则射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．记“射线OA 落在锐角∠xOT 内”为事件A ，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P (A )＝60360＝16. 答案：166．解：如图，圆周上使AM 的长度等于1的点M 有两个，设为M1，M 2，则过A 的圆弧12M AM 的长度为2，B 点落在优弧12M AM 上就能使劣弧AB 的长度小于1，所以劣弧AB 的长度小于1的概率为23.7．解：区域D 的体积V ＝π×12×2＝2π，当P 到点O 的距离小于1时，点P 落在以O 为球心，1为半径的半球内，所以满足P到O距离大于1的点P所在区域d的体积为V1＝V－V半球＝2π－23π＝43π.所求的概率为V1V＝23.8.解：设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x－y≤23.两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：P＝S阴影S单位正方形＝1－13212＝89.。

苏教版数学高一必修3教案 1.4《算法案例》(2)

1.4 算法案例（2）教学目标（1）理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析；（2）基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.教学重点理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法．教学难点把辗转相除法转换成程序框图与程序语言．教学过程:一、问题情境在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求204与85的最大公约数？1.辗转相除法引例．求两个正数204和85的最大公约数．（分析：204与85没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）解：204＝85×2＋34因为204与85的最大公约数是85的最大公约数，所以204与85的最大公约数也是34的最大公约数，从这一步说明，204与85的最大公约数也应该是85与34的最大公约数.85＝34×2＋17从这一步说明，85与34的最大公约数也应该是34与17的最大公约数.34＝17×2+0从这一步说明，34与17的最大公约数就是17.所以204与85的最大公约数是17.这就是辗转相除法，也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的．我们可以证明，对于任意两个正整数，上述步骤总可以在有限步之后完成，从而总可以用辗转相除的方法求出最大公约数.一般情况下：如何用辗转相除法找出两个正整数a,b的最大公约数？2.更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术．更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数．3.比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显．（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到．二、算法设计思想利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果.1．自然语言（1）结合引例，思考应该利用__________结构实现该算法.（2）每一次循环中所进行的是什么样的运算？________________________.（3）循环何时结束？下一次循环的输入整数应该是什么？利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r0＝0,则n为m,n的最大公约数;若r0≠0,则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；第三步：若r1＝0,则r1为m,n的最大公约数;若r1≠0,则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；……依次计算直至rn＝0,此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数.S1 输入两个正整数a,b；S2 若Mod（a,b）＝0公约数b，算法结束；否则r←a← b，b←r，转S2 .2．流程图3．辗转相除法的伪代码更相减损术的伪代码三、数学运用1．例题例1 两个正整数的最小公倍数，实际上就是这两数乘积除以它们的最大公约数，试写出求正整数a,b最小公倍数的伪代码.Read a,bc←abWhile mod(a,b)≠0r← mod(a,b)a←bb←rEnd WhilePrint c/b例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝14所以，98和63的最大公约数等于7 2．练习练习1 下面一段伪代码的目的是 BA.求a,b 的最小公倍数B.求a,b 的最大公约数C.求a 被b 整除的商D.求b 除以a 的余数分析：解题关键就是：a －int(a/b)×b ＝mod(a,b)练习2 写出右边流程图所表达算法的伪代码，并求出最后输出的n 的值.10 m←147 20 n←84 30 r←mod(m,n)40 If r=0 Then Goto 70 50 m←n,n←r 60 Goto 30 70 Print n 80 End n 的值为21练习3 用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4.10 Read a ,b20 If a /b ＝Int (a /b ) Then goto 70 30 c ←a －Int (a /b )×b 40 a ←b 50 b ←c 60 Goto 20 70 Print b注：Int (x)表示不超过x 的最大整数。

2020-2021学年苏教版高中数学必修三《算法案例》课时同步练习及解析

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修三1.4 算法案例课时目标通过三种算法案例：孙子剩余定理、辗转相除法、利用二分法求方程的近似解，进一步体会算法的思想，提高逻辑思维能力和算法设计水平．1．“孙子问题”是求关于x，y，z的一次不定方程组_______________________________．2．欧几里得辗转相除法求两个正整数a，b的最大公约数的步骤是:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 3．利用“二分法”求方程f(x)＝0在区间[a，b]上的近似解的步骤为：S1 ____________________________________________________________________；S2 若__________________________________________________________________________________________________________________________________________：若__________________________________________________________________；若__________________________________________________________________；S3 若__________________________________________________________________________________________________________________________________________.一、填空题1．对于下列等式：①Int(10.01)＝10；②Int(－1)＝－1；③Int(－5.2)＝－5.其中正确的有________个．2．对下列不等式：①Mod(2,3)＝3；②Mod(3,2)＝2；③Mod(2,3)＝1；④Mod(3,2)＝1.成立的有________(写出成立的等式的序号)．3．Int(0.35)＝________，Int(－0.01)＝________，Int(0)＝________.4．1 037和425的最大公约数是________．5．如果a，b是整数，且a>b>0，r＝Mod(a，b)，则a与b的最大公约数与下面的________相等．(填写正确答案的序号)①r；②b；③b－r；④b与r的最大公约数．6．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r<b)成立的q和r的值分别为________．7．下面的说法：①若f(a)f(b)<0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上一定有根；②若f(a)f(b)>0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上一定没有根．③连续不间断的函数y＝f(x)，若f(a)f(b)<0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上只有一个根．其中不正确的说法有________个．8．用二分法求方程x2－2＝0的近似根(误差不超过0.001)的一个算法补充完整：S1 令f(x)＝x2－2，因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1＝1，x2＝2；S2 令m＝____________，判断f(m)是否为0，若f(m)＝0，则m即为所求；若否，则判断__________的符号；S3 若____________，则x1←m；否则x2←m；S4 判断____________<0.001是否成立，若是，则x1，x2之间的任意值均为满足条件的近似根，若否，________.二、解答题9．用辗转相除法求204与85的最大公约数．10．设计求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小正整数的算法，画出流程图，写出伪代码．能力提升11．读入50个正整数a 1，a 2，…，a 50，统计出其中奇数的个数，用伪代码表示解决这个问题的算法．12．在平面直角坐标系中作出函数f(x)＝1x和g(x)＝lg x 的图象，根据图象判断方程lg x ＝1x的解的范围，再将用二分法求这个方程的近似解(误差不超过0.001)的算法用伪代码表示．1．求两个正整数的最大公约数时，用辗转相除法进行设计的关键是：将“辗转”的过程用循环语句表示．2．由于为了避免求循环次数(对两个具体的正整数，循环次数可以求出，但会使程序更为复杂)，最好使用“While”语句．3．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间上是否有解．4．二分法的过程是一个多次重复的过程，故可用循环结构处理．5．二分法过程中需要对中点(端点)处函数值的符号进行判定，故实现算法需用选择结构，即用条件语句进行分支选择．答案知识梳理1.⎩⎨⎧ m ＝3x ＋2m ＝5y ＋3m ＝7z ＋2的正整数解 2.计算出a ÷b 的余数r ，若r ＝0，则b 即为a ，b 的最大公约数；若r ≠0，则把前面的除数b 作为新的被除数，把余数r 作为新的除数，继续运算，直到余数为0，此时的除数即为a ，b 的最大公约数 3.取[a ，b]的中点x 0＝12(a ＋b)，将区间一分为二 f(x 0)＝0，则x 0就是方程的根；否则判断根x *在x 0的左侧还是右侧f(a)f(x 0)>0，则x *∈(x 0，b)，以x 0代替a f(a)f(x 0)<0，则x *∈(a ，x 0)，以x 0代替b |a －b|<c ，计算终止，此时x *≈x 0，否则转S1作业设计1．2解析 ①、②正确，③错误．因为Int(x)表示的是不超过x 的最大整数．2．④解析 Mod(a ，b)表示a 除以b 所得的余数，所以Mod(2,3)＝2，Mod(3,2)＝1.3．0 －1 04．17解析 ∵1 037＝425×2＋187，425＝187×2＋51，187＝51×3＋34，51＝34×1＋17，34＝17×2，∴1 037和425的最大公约数是17.5．④解析根据辗转相除法的算法思想，就是将较大的数的最大公约数转化为较小的数的最大公约数．6．13,21解析用333除以24，商即为q ，余数就是r.7．3 解析 ①的反例：f(x)＝⎩⎨⎧－x ＋1， x ≤0，－x －1， x>0，区间：(－1,1)．②的反例：图象为，区间：(－1,2)．③的反例：y＝sin x，区间(－32π，32π)．8.x1＋x22f(x1)f(m) f(x1)f(m)>0 |x1－x2| 转S29．解S1 204÷85＝2…………34；S2 85÷34＝2…………17；S3 34÷17＝2…………0.17是204与85的最大公约数．10．解流程图：伪代码：n←1WhileMod(n,6)≠4 orMod(n,10)≠8 orMod(n,9)≠4n ←n ＋1EndWhilePrint n11．解k ←0For i From 1 To 50Read a iIfMod (a i ，2)＝1 Then k ←k ＋1EndForPrint k12．解图象为设h(x)＝1x －lg x.∵h(2)＝12－lg 2>0，h(3)＝13－lg 3<0，∴h(x)＝0在(2,3)内有解．伪代码为：。