高三数学集合的运算1

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高中数学(新人教A版)必修第一册：集合的基本运算【精品课件】

当A与B无公共元素时，A与B
的交集仍存在，此时A∩B＝∅.
（三）交集
【做一做】
【探究2】
已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，
则A∩B＝(
)
A．{0,2}
C．{0}
B．{1,2}
D．{－2，－1,0,1,2}
交集的性质：
[答案]
A
①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；
③A∩∅＝∅； ④若A⊆B，则A∩B＝A；
（四）集合的交并运算
【巩固练习1】
(1) 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(
A．{－1,2,3}
B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3}
D．{1，－2，－3}
(2) 若集合A＝{x|－2≤x＜3}，B＝{x|0≤x＜4}，则A∪B＝________.
⑤(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B.
（四）集合的交并运算
1.集合的并集运算
例1.
（1）设集合M＝{x| 2 ＋2x＝0，x∈R}，N＝{x| 2 －2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(
A.{0}
B.{0,2} C.{－2,0} D.{－2,0,2}
（2）已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，求A∪B。
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
第一章集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算（第2课时）
教材分析
本小节内容选自：
《普通高中数学必修第一册》
人教A版（2019）
第一课时
课时内容
集合的并集、交集运算
集合的补集、综合运算
所在位置
教材第10页

高三数学第一轮复习1.1 集合的概念与运算

B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}. ∵C={x∈R|-1≤x≤5}, ∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.
B解析-21-关闭关闭答案第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
≥ <
2��, -1
或
�� + 3 2�� >
≥ 4,
2��,解得
a<-4
或
2<a≤3.
综上可得,实数 a 的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).
(-∞,-4)∪(2,+∞)
图(1) 图(2)
关闭
解析答案
第一章
1.1 集合的概念与运算
知识体系
知识梳理
核心考点
-19-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合, 从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系.
2.解决集合间的基本关系的常用技巧:(1)若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则常用Venn图求解.
()
A.A=B
B.A∩B=⌀
C.A⊆B
D.B⊆A
思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系
的常用技巧有哪些? 关闭
∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x>-3}.
又B={x|x≥2},∴B⊆A.

备战高考数学复习考点知识与题型讲解1---集合

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第1讲集合一、知识梳理1.集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法A B(或B A )A∪B＝A∩B＝∁A＝常用结论1.空集的性质空集不含任何元素，空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A.2.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.(4)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.3.集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n －1个.二、教材衍化1.(人A必修第一册P5习题1.1T1(4)改编)若集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，则( )A.8∈AB.9.1∈AC.{8}∈AD.{9.1}⊆A 答案：A2.(人A必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________.解析：把集合A，B在数轴上表示如图.由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，所以∁RA＝{x|x＜3或x≥7}，因为∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}.所以(∁R答案：{x|x≤2或x≥10}{x|2＜x＜3或7≤x＜10}一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合.( )(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1.( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、易错纠偏1.(多选)(混淆元素、集合间的关系致误)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有( )A.∅⊆AB.－2∈AC.{0，2}⊆AD.A⊆{y|y＜3}解析：选ACD.因为A＝{0，2}，所以∅⊆A，{0，2}⊆A，A⊆{y|y＜3}均正确，－2∉A，故选ACD.2.(混淆子集与真子集的定义致误)已知集合A＝{x|x2<2，x∈Z}，则A的真子集的个数为( )A.3B.4C.6D.7解析：选D.因为A＝{x|x2<2，x∈Z}＝{－1，0，1}，所以其真子集的个数为23－1＝7.故选D.3.(多选)(忽视空集致误)已知集合A＝{2，3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m＝( )A.3B.2C.1D.0解析：选ABD.当m ＝0时，可得集合B ＝∅，此时满足B ⊆A ；当m ≠0时，可得集合B＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫6m ，所以6m ＝2或6m＝3，解得m ＝3或m ＝2，综上，实数m 等于0，2或3.考点一集合的概念(自主练透)复习指导：1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.1.(2022·常州市前黄高级中学高三适应性考试)设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{5，6}，C ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，则C 中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6解析：选C.由题知，当y ＝5时，x ＋y 的值有6，7，8，9，当y ＝6时，x ＋y 的值有7，8，9，10，于是得C ＝{6，7，8，9，10}，所以C 中元素的个数为5.2.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，b a ，b ，则a 2 023－b 2 023＝( )A.1B.－1C.2D.－2解析：选D.由题易得a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以a 2 023－b 2 023＝－2.3.已知集合P ＝{}x |x ＝2k ，k ∈Z ，Q ＝{}x |x ＝2k ＋1，k ∈Z ，M ＝{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且a ∈P ，b ∈Q ，则()A.a ＋b ∈PB.a ＋b ∈QC.a ＋b ∈MD.a ＋b 不属于P ，Q ，M 中的任意一个解析：选B.因为a ∈P ，所以a ＝2k 1，k 1∈Z .因为b ∈Q ，所以b ＝2k 2＋1，k 2∈Z .所以a ＋b ＝2(k 1＋k 2)＋1＝2k ＋1∈Q (k 1，k 2，k ∈Z ).4.(多选)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C.0D.23解析：选BC.若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根或有两个相等的实数根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的值为0或98.与集合中元素有关问题的求解步骤步骤一：确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集. 步骤二：看这些元素满足什么限制条件.步骤三：根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性.考点二集合间的基本关系(思维发散)复习指导：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义.(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }.若A ⊆B ，则m 的取值范围是________.【解析】 (1)由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}.(2)由题得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，若A ⊆B (如图)可得⎩⎨⎧－m ≤－1，m ≥3，所以m ≥3.故m 的取值范围是[3，＋∞). 【答案】 (1)D (2)[3，＋∞)(链接常用结论1)本例(2)中，若“A ⊆B ”改为“B ⊆A ”，其他条件不变，则m 的取值范围是________.解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m ＞0时，因为A ＝{x |－1＜x ＜3}. 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎨⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]. 答案：(－∞，1](1)判断两集合关系的2种常用方法列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系.数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.(2)根据两集合的关系求参数的方法①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性.②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到.[提醒] 题目中若有条件B ⊆A ，则应分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论.|跟踪训练|1.(2022·广州高一期中)已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝{y |y ＝x 12，x ≠0}，则下列选项正确的是( )A.M ＝NB.N ⊆MC.M ＝∁R ND.∁R NM解析：选C.由题意，得集合M ＝{y |y ≤0}，而集合N ＝{y |y >0}，所以∁R N ＝{y |y ≤0}，则M ＝∁R N ，故C 正确.2.(链接常用结论3)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N *}，则集合A 的真子集的个数为( )A.7B.8C.15D.16解析：选A.因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个). 3.(多选)(2022·河南范县高一月考)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14x ＋a ≥0，B ＝{x |x 2≤1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值可以是( )A.－2B.0C. 2D.4解析：选CD.因为A ＝{}x |x ≥－4a ，B ＝{x |－1≤x ≤1}，又因为B ⊆A ，则－4a ≤－1，解得a ≥14，故选CD.考点三集合的基本运算(多维探究)复习指导：1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.角度1 集合的运算(1)(2021·新高考卷Ⅰ)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B＝( )A.{2}B.{2，3}C.{3，4}D.{2，3，4}(2)(2021·高考全国卷乙)已知集合S ＝{s |s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T ＝( )A.∅B.SC.TD.Z【解析】 (1)由题易知A ∩B ＝{2，3}，故选B.(2)S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T ＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T ⊆S ，所以T ∩S ＝T .【答案】 (1)B (2)C 角度2 利用集合的运算求参数(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A.－4B.－2C.2D.4(2)设集合A ＝{(x ，y )|2x ＋y ＝1，x ，y ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|a 2x ＋2y ＝a ，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A.2B.4C.2或－2D.－2【解析】 (1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.(2)由题意可知，集合A ，B 的元素为有序数对，且都代表的是直线上的点.因为A ∩B＝∅，所以两条直线没有公共点，所以两条直线平行，所以⎩⎨⎧4－a 2＝0，－2a ＋a 2≠0，解得a ＝－2. 【答案】 (1)B (2)D本例(1)中，若“A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}”改成“A ∩B ⊆{x |－2≤x ≤1}”，则实数a 的取值范围是________.解析：A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x⎪⎪⎪x ≤－a 2，当A ∩B ＝∅时，即－a2＜－2，a ＞4时，符合题意；当A ∩B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥－2，－a2≤1，得－2≤a ≤4.综上，实数a 的取值范围是a ≥－2. 答案：[－2，＋∞) 角度3 集合的新定义问题(1)(2022·南阳一中第十四次考试)定义集合运算：A ⊙B ＝{Z |Z ＝xy ，x ∈A ，y∈B }，设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{sin α，cos α}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为 ( )A.1B.0C.－1D.sin α＋cos α(2)(2022·保定一模)设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |1＜2x ＜4}，Q ＝{y |y ＝2＋sin x ，x ∈R }，那么P －Q ＝( )A.{x |0＜x ≤1}B.{x |0≤x ＜2}C.{x |1≤x ＜2}D.{x |0＜x ＜1}【解析】 (1)因为x ∈A ，所以x 的可能取值为－1，0，1.同理，y 的可能取值为sinα，cos α，所以xy 的所有可能取值为(重复的只列举一次)：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.(2)由题意得P ＝{x |0＜x ＜2}，Q ＝{y |1≤y ≤3}，所以P －Q ＝{x |0＜x ＜1}. 【答案】 (1)B (2)D(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，则常用Venn 图求解.②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况. (2)利用集合的运算求参数的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.②若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性). (3)解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点①准确转化.解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.②方法选取.对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.|跟踪训练|1.(2021·高考全国卷乙)已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，则∁U (M ∪N )＝( )A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}解析：选A.因为集合M ＝{1，2}，N ＝{3，4}，所以M ∪N ＝{1，2，3，4}. 又全集U ＝{1，2，3，4，5}，所以∁U (M ∪N )＝{5}. 2.(2021·高考全国卷甲)设集合M ＝{}x |0<x <4，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x ≤5，则M ∩N ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4 C.{}x |4≤x <5 D.{}x |0<x ≤5解析：选B.M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13≤x <4. 3.(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.6解析：选C.由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4.4.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1∉S且x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个.解析：由题意知这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.答案：6[A 基础达标]0，m，m2－3m＋2，且2∈A，1.(2022·湖南师大附中高二入学考试)已知集合A＝{}则实数m的值为( )A.0B.1C.2D.3解析：选D.若m＝2，则m2－3m＋2＝0，不满足集合中元素的互异性，舍去；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，又m≠0，故m＝3.2.(2022·豫北名校联盟4月联考)已知集合A＝{1，3，5，6}，B＝{x∈N|0<x<8}，则图中阴影部分表示的集合的元素个数为( )A.4B.3C.2D.1解析：选B.B＝{x∈N|0<x<8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，图中阴影部分表示的集合为∁B A＝{2，4，7}，共3个元素.3.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4＜0}，则集合A的真子集有( )A.7个B.8个C.15个D.16个解析：选A.因为集合A＝{1，2，3}，所以集合A中共有3个元素，所以真子集有23－1＝7(个).x|2x>7，则M∩N＝( )4.(2021·高考全国卷甲)设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{}A.{7，9}B.{5，7，9}C.{3，5，7，9}D.{1，3，5，7，9}解析：选B.由题得集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >72，所以M ∩N ＝{5，7，9}.故选B.5.设集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜2，则下列结论中正确的是()A.NM B.M NC.N ∩M ＝∅D.M ∪N ＝R解析：选B.由题意得，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞12，所以M N .故选B.6.(多选)已知非空集合M 满足：①M ⊆{－2，－1，1，2，3，4}，②若x ∈M ，则x 2∈M .则集合M 可能是( )A.{－1，1}B.{－1，1，2，4}C.{1}D.{1，－2，2}解析：选AC.由题意可知3∉M 且4∉M ，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M 且2∉M ，所以满足条件的非空集合M 有{－1，1}，{1}.7.(2022·福建厦门质量检查)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，B ＝{x |x －a <0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A.(3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]解析：选D.集合A ＝{x |x <1或x >3}，B ＝{x |x <a }.因为B ⊆A ，所以a ≤1.8.设集合A ＝{－1，1，2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1，2}，则a 的值为________. 解析：由题知⎩⎨⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2，或⎩⎨⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意. 答案：－2或19.(2022·重庆高一月考)若集合M ＝{x ||x |>2}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3<0，则N ＝________；∁R (M ∩N )＝________.解析：由题意得N ＝{x |－1<x <3}，M ＝{x |x <－2或x >2}，所以M ∩N ＝{x |2<x <3}，所以∁R (M ∩N )＝{x |x ≤2或x ≥3}. 答案：{x |－1<x <3}{ |x x ≤2或 }x ≥310.已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为________. 解析：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)[B 综合应用]11.对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是 ( ) A.{x |x 是小于18的正奇数} B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z 且k <5 C.{}x |x ＝4s －3，s ∈N 且s ≤5 D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *且s ≤5解析：选D.对于A ：{x |x 是小于18的正奇数}＝{}1，3，5，7，9，11，13，15，17，故A 错误；对于B ：{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z 且k <5＝{}…，－3，1，5，9，13，17，故B 错误；对于C ：{}x |x ＝4s －3，s ∈N 且s ≤5＝{}－3，1，5，9，13，17，故C 错误；对于D ：{}x |x ＝4s －3，s ∈N *且s ≤5＝{}1，5，9，13，17，故D 正确.12.某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x ，最少人数为y ，则x －y ＝( )A.22B.21C.20D.19解析：选D.如图，设集合A ，B 分别表示围棋爱好者，足球爱好者，全班学生组成全集U ，A ∩B 就是两者都爱好的，要使A ∩B 中人数最多，则A ⊆B ，x ＝22，要使A ∩B 中人数最少，则A ∪B ＝U ，即22＋27－y ＝46，解得y ＝3，所以x －y ＝22－3＝19.13.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}＝{x ∈R |－5＜x ＜1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＜2，则B ＝{x |m ＜x ＜2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.答案：－1 114.定义集合P ＝{p |a ≤p ≤b }的“长度”是b －a ，其中a ，b ∈R .已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫m ≤x ≤m ＋12，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫n －35≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N的“长度”的最小值是________.解析：因为集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋12，所以集合M 的长度为12，因为集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －35≤x ≤n ，所以集合N 的长度为35，因为M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，所以m 最小为1，n 最大为2，此时集合M ∩N 的“长度”最小，为32－75＝110.答案：110。

高三数学一轮复习第1单元 1.1 集合的概念与运算课件理新人教A版

1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． 2．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
提示：(1)注意集合表示的列举法与描述法在形式上的区别，列举法一般适合于有限集，而描述法一般适合于无限集．
(2)注意集合中元素的互异性：集合{x|x2－2x＋1＝0}可写为{1}，但不可写为 {1，1}． 3．元素与集合的关系有：属于和不属于，分别用符号∈ 和 ∉ 表示．
结合思想方法的运用．
二、集合的运算 1．两个集合的交、并、补的运算分别与逻辑联结词且、或、非对应，但不能等同
和混淆． 2．数形结合的思想方法在集合的运算中也是常见的，对于一般的集合运算时可用
文氏图直观显示，例如若A⊆S，B⊆S，则全集S最多被四个集合A∩B，A∩(∁SB)， B∩(∁SA)和∁U(A∪B)所划分；对于可以用区间表示的数集可以利用数轴进行集合的运算．
【例2】 (2010·衡水中学调研)已知集合A＝{x|x2＋ x＋1＝0}，B＝{y|y＝x2＋a，
x∈R}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－ ] B.
C.
D．(－∞，－2]
解析：由x2＋ x＋1＝0得(2x＋1)(x＋2)＝0，则x＝－，或x＝－2，
既A＝ ≤－ .
. 又B＝{y|y＝x2＋a，x∈R}＝[a，＋∞)．由A∩B≠∅，知a
1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩 (Venn)图是( )
解析：N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，则N M，故选B. 答案：B
2．已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∩B＝B，则所有实数m的值组成的集合是( ) A．{－1,2} B．{1，－ } C．{1,0，－ } D．{－1,0， } 解析：∵A∩B＝B，即B⊆A，若m＝0，B＝∅⊆A；若m≠0，B＝{x|x＝－ }；由B⊆A得：－＝－1或－＝2， ∴m＝1或m＝－ .综上选C. 答案：C

高三集合复数知识点总结

高三集合复数知识点总结集合与复数是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和理解数学概念中扮演着关键角色。

本文将对高三阶段所涉及的集合与复数的知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和掌握这些概念。

一、集合的概念及运算集合是由具有某种特定性质的事物或对象组成的整体。

在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，如集合A、集合B等。

集合中的元素可以是数字、字母、图形等。

1. 集合的表示方法集合通常用大括号表示，元素之间用逗号分隔。

例如，集合A = {1, 2, 3} 表示集合A包含元素1、2和3。

2. 集合的分类集合可以分为有限集和无限集。

有限集是元素数量有限的集合，而无限集是元素数量无限的集合。

此外，还有空集，即不包含任何元素的集合。

3. 集合间的关系集合间的关系主要包括子集、真子集、相等和并集等。

子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素；真子集是指一个集合不仅是另一个集合的子集，而且还有自己独有的元素；两个集合相等是指它们包含完全相同的元素；并集是指将两个集合的所有元素合并在一起构成的新集合。

4. 集合的运算集合的运算主要包括并集、交集和补集。

并集运算用符号∪表示，交集运算用符号∩表示，补集运算用符号'或{ }^c表示。

例如，集合A 和集合B的并集是A∪B，交集是A∩B，集合A在全集U中的补集是A'或U^c。

二、复数的概念及运算复数是实数的扩展，它由实部和虚部组成，一般形式为a+bi，其中a 和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

1. 复数的表示复数可以在平面上表示为一个点或一个向量。

实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。

这种表示方法称为复平面。

2. 复数的分类复数可以根据实部和虚部的符号进行分类，包括实数、纯虚数、正实数、负实数等。

3. 复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

复数的加法和减法运算类似于向量的加法和减法，即将对应的实部和虚部分别相加或相减。

复数的乘法运算需要使用分配律和虚数单位i的幂运算规则。

高一数学集合知识点总结_高三数学知识点总结

高一数学集合知识点总结_高三数学知识点总结一、集合的概念集合是指具有某种特定性质的对象的总体。

一般记为大写英文字母A,B,C…集合中的对象称为元素，记作小写字母a,b,c…。

二、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的元素按一定次序一一列举出来。

例如：A={1,2,3,4,5}2. 描述法：给出集合中元素的某种性质的数学表达式。

例如：B={x|x为自然数，且0<x<6}三、集合的基本运算1. 并集定义：设A和B是两个集合，由所有属于集合A或者属于集合B的元素所构成的集合，称为A和B的并集，记作A∪B。

例如：若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}五、集合的基本定理1. 有限集的基本定理对于有限集A，|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B||A|表示集合A的元素个数。

2. 集合的基本性质（1）空集的性质空集是任意集合的子集。

（2）全集的性质全集是任意集合的父集。

六、集合的应用集合的相关知识在数学中有着广泛的应用，例如在概率统计中，集合的运算可以很好地描述事件、样本空间等概念；在数学分析中，集合可以用来表示数轴上的区间、开闭集等概念；在数理逻辑中，集合运算可以用来表示充分条件、必要条件等概念。

在高一数学中，集合的知识虽然只是数学的基础知识之一，但是却是十分重要的内容，能够帮助学生建立起数学基本思维，培养学生的逻辑思维能力，为将来数学的学习打下基础。

高三数学作为学生们数学学习的最后阶段，涉及到的知识点繁多，其中包括了微积分、立体几何、概率统计等内容。

下面就对高三数学的一些重要知识点进行总结。

一、微积分微积分是高三数学中一个重要的知识点，主要包括了导数、微分、积分等内容。

1. 导数导数是函数在某一点处的变化率，通常用函数f(x)关于自变量x的一阶微分dx的商来表示。

例如：若y=f(x)，则y’=f’(x)=lim（Δx→0）（f（x+Δx）-f(x)）/Δx2. 微分微分是导数的一种形式，通常用于刻画变化量小的两点之间的差别。

第1章第1讲集合的概念与运算-2021版高三数学(新高考)一轮复习课件共45张PPT

第一章集合与常用逻辑用语
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[解析] (1)B＝{x|x∈A}＝{1,2,3}＝A，故选 C．
(2)∵集合 A＝{x|x＝sin n3π，n∈Z}＝{0， 23，－ 23}，且 B⊆A，∴集合 B 的个数为 23＝8，故选 C．
(3)解法一：(列举法)，由题意知
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(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合 M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N
＝{y|y＝(12)x，x∈R}，则下列不正确的是(ABD )
A．M＝N
B．N⊆M
C．M＝∁RN
D．(∁RN)∩M＝∅
(3)已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|mx＋10>0}，若 A⊆B，则 m 的取值范
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(3)若 a＋2＝1，则 a＝－1，A＝{1,0,1}，不合题意；若(a＋1)2＝1，则 a＝0 或－
2，当 a＝0 时，A＝{2,1,3}，当 a＝－2 时，A＝{0,1,1}，不合题意；若 a2＋3a＋3＝1，
则 a＝－1 或－2，显然都不合题意；因此 a＝0，所以 2 0200＝1.
∵1∉A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得 a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1 解
A．(－1,1)
B．(1,2)
C．(－1，＋∞)
D．(1，＋∞)
[解析] 由题意得A∪B＝{x|x>－1}，即A∪B＝(－1，＋∞)，故选C．
第一章集合与常用逻辑用语
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6． (2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B

高三集合知识点总结

高三集合知识点总结在高三的学习过程中，我们学习了许多关于集合的知识点。

这些知识点是我们理解和应用数学的基础，为我们进一步学习和掌握其他数学概念奠定了重要的基础。

下面是对高三集合知识点的总结。

一、集合的定义和表示方法在数学中，我们将同一性质的对象的整体称为集合。

集合的表示方法有两种常用的方式：列举法和描述法。

列举法是通过把集合中的元素一一列举出来表示，描述法则是使用一个条件来表明集合中元素的特性。

二、集合的运算1. 并集：表示两个或多个集合中的所有元素的集合。

用符号“∪”表示。

例如，集合A和集合B的并集为A∪B。

2. 交集：表示两个或多个集合中共有的元素的集合。

用符号“∩”表示。

例如，集合A和集合B的交集为A∩B。

3. 差集：表示某个集合中除去其他集合中已有的元素所剩下的元素的集合。

用符号“－”表示。

例如，集合A减去集合B的差集为A－B。

4. 互斥：表示两个集合没有共同元素。

如果集合A∩B为空集，则集合A和集合B互斥。

5. 包含关系：表示一个集合是否包含另一个集合。

如果集合A中的所有元素都属于集合B，则集合A包含于集合B。

三、集合的性质1. 子集：表示一个集合中的所有元素都属于另一个集合。

如果集合A的所有元素都属于集合B，则集合A是集合B的子集。

用符号“A⊆B”表示。

2. 空集：表示没有任何元素的集合。

用符号“∅”表示。

3. 全集：表示包含所有可能元素的集合。

用符号“U”表示。

4. 幂集：表示一个集合的所有子集的集合。

用符号“P(A)”表示，其中A为给定集合。

四、集合的应用1. 排列组合：集合论在排列组合中有着广泛的应用。

通过对所求解的对象进行合理的划分，使用集合论的基本原理，可以更加简便地解决排列组合问题。

2. 数理逻辑：集合论为数理逻辑提供了基础，数学推理中的假设、条件、结论等都可以用集合的交集、并集来表示。

3. 概率论：集合论在概率论中起着关键作用。

通过集合的运算，可以更好地描述和解决概率问题。

高三数学集合的概念及运算知识精讲

高三数学集合的概念及运算【本讲主要内容】集合的概念及运算【知识掌握】【知识点精析】集合的基本概念及其表示法掌握之后，研究集合的关系，运算是后续基础知识，与第一讲的知识点构成集合的整体；为以后运用集合工具形成集合思想打基础。

1. 集合间的关系是包含与不包含，相等与不相等的关系，集合A 与集合B 之间的关系很直观地用文代图示于：A 是B 的子集⇔A 包含于B （B 包含A ）A 不是B 的子集⇔A 不包含于B （B 不包含A ）A 是B 的子集且B 是A 的子集⇔A 、B 相等客观存在很多如上关系，如数集之间的关系2. 集合的运算，由已知集合中的元素构造出与之相关的新集合，可以写作是已知集合的运算结果，定义运算是人为的，常用的集合运算有：（以两个集合为例）① 交集——由两个集合中的公共元素构成的集合。

② 并集——由两个集合中的所有元素构成的集合。

③ 补集——存在于全集中的某个集合的补集是由非本集合中的全集中其它元素构成的集合。

三. 要认识到以下几点：第一，从运算的角度认识“交集”、“并集”、“补集”运算的对象与结果都是集合。

第二，从相互间的联系认识运算的结果，结果又是集合家族的繁衍。

第三，运用变化的联系的观点认识不同关系下各种运算的结果，有怎样的联系。

第四，定义从两个集合的运算为基础，可扩展到多个集合间的运算。

四. 知识讲解程序：（一）集合间的关系1. 子集：设A 、B 是两个集合，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则称这两个集合有包含关系，且称A 是B 的子集，记作B A ⊆（或A B ⊇）（读作A 包含于B 或B 包含A ）说明：① 两个集合具有包含关系亦即一个集合是另一个集合的子集。

② 符号语言：A 是B 的子集⇔B A ⊆（读作A 包含于B ）⇔A B ⊇（B 包含A ）⇔A x ∈∀，都有B x ∈。

③ 图形语言（Venn 图示）思考：两图是否符合子集定义？2. 相等：如果A 是B 的子集，且B 是A 的子集，则称两个集合相等，记作A=B 。

专题01 集合的概念与运算 (解析版)

专题01 集合的概念与运算【名师预测】江苏高考对集合知识的考查比较低，以填空题的形式进行考查，主要考查集合与集合、元素与集合间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注重对Venn图、数轴等数形结合思想的考查。

集合的基本运算有时会以集合知识为载体，往往与函数、方程、不等式等知识结合考查，体现出小题目综合化的命题趋势。

集合的学习要有弹性，要有所取舍．比如我们不必在集合间的关系上过于深究，也不必在集合的概念等内容上过于钻研。

【知识精讲】1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4.集合关系与运算的常用结论(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有12n-个，非空子集有12n-个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)C U(A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U(A∪B)＝(C U A)∩(C U B)．【典例精练】考点一集合的基本概念例1． A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．故答案为9.例2．若－1∈{a－1,2a＋1，a2－1}，则实数a的取值集合是________．【解析】若a－1＝－1，解得a＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a＋1＝－1，解得a＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意；若a2－1＝－1，解得a＝0，不符合题意，综上所述，a＝－1．故答案为{－1}.例3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．①当a＝0时，x＝23，符合题意；②当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98. ∴a 的值为0或98故答案为0或98.例4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________．【解析】由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1；若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意．故m ＝2. 故答案为2.【方法点睛】与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集； (2)看这些元素满足什么限制条件；(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．考点二集合间的基本关系例5．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈，则集合B 的子集的个数是 . 【解析】∵集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈ ∴{}(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)B = ∴集合B 的子集个数是4216=. 故答案为16.例6．设集合{}2,4A =，{}2,2B a =，(其中0a <)，若A B =，则实数a =________. 【解析】∵集合{}2,4A =，{}2,2B a =，且A B = ∴24a = 又0a < ∴2a =- 故答案为－2.例7．已知集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆，则正实数a =________.【解析】∵集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆ ∴24a = ∴2a = 故答案为2.例8．已知集合{}15A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若()B A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．【解析】∵()B A B ⊆∴B A ⊆①当B =∅时，满足B A ⊆，此时3a a -≥+，即32a ≤-. ②当B ≠∅时，要使B A ⊆，则3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-由①②可知，实数a 的取值范围为(,1]-∞-．故答案为(,1]-∞-.【方法点睛】判断集合间关系的3种方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系；②结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断； ③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系，运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．考点三集合的基本运算例9．设全集{}*5,U x x x N =<∈，集合{}1,2A =，{}2,4B =，则()U C AB = .【解析】∵集合{}{}*5,1,2,3,4U x x x N =<∈=，且集合{}1,2A =，{}2,4B = ∴{}1,2,4AB =∴{}()3U C AB =故答案为{}3.例10．已知全集{}22,3,23U a a =+-，{}21,2A a =-，{}5U C A =，则实数a ＝________. 【解析】由题意知，2235a a +-=，解得a ＝－4或a ＝2.① 当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9U ∉，所以a ＝－4不满足题意，舍去； ② 当a ＝2时，|2a －1|＝3，3U ∈，满足题意．故实数a 的值为2. 故答案为2.例11．设集合{}(,)1A x y y ax ==+，集合{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =，则a b +=____.【解析】∵集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =∴521a =+，且52b =+ ∴2a =，3b = ∴5a b += 故答案为5.例12．设A ，B 是非空集合，定义{}()()A B x x A B x A B ⊗=∈∉且．已知集合{}02A x x =<<，{}0B y y =≥，则A B ⊗=________.【解析】∵{}02A x x =<<，{}0B y y =≥ ∴{}0AB x x =≥，{}02A B x x =<<∴{}02A B x x x ⊗==≥或故答案为{}02x x x =≥或.【方法点睛】解集合运算问题4个技巧① 看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键； ② 对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；③ 数形结合：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图；④新定义型问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.【名校新题】一、填空题1．（2019·江苏徐州第一次质量检测）已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =_________．【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂= 故答案为：{}1,22．（2019·苏北七市第二次质量检测）已知集合{}13A a =，，，{45}B =，．若A B ={4}，则实数a 的值为____．【解析】∵A B ⋂= {}4，∴a=4 故答案为43．（2019·江苏金陵中学高考第四次模拟）设全集U ＝{}5N x x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ⋃B)＝_______．【解析】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝故答案为：｛3｝4．（2019·江苏南通四月质量检测）已知集合，B ，则A B _____．【解析】∵由题意可知A∩B 中的元素是2的整数倍，且在(-2,3)内， ∴A∩B ＝{0，2}．故答案为：{0，2}．5．（2019·江苏徐州高考考前模拟）集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【解析】A 中仅有1B -∈，故AB 中元素的个数为1，填1 .6．（2019·江苏宿迁调研测试）已知集合[)1,4,(,)A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是。

第10讲集合的运算 (解析版)

第10讲集合的基本运算一、集合的运算 (一)交集文字语言对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }图形语言阴影部分为A ∩B .例如(1){}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,8A B ==,{}3,4,5AB =(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}32|{<<=x x B A性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A【例1】交集（1）已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{－1,2}，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{2}C ．{－1,2}D ．{1,2,3} 【答案】B【解析】由题得A ∩B ＝{}2（2）已知A ＝{y |y ≤1}，B ＝{x|x ≥0}，则集合A ∩B 等于( )A ．∅B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1} 【答案】C,利用数轴，容易得到答案。

这里注意，不少同学会认为是A 答案，为什么不对？（3）已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A ∩B ＝________. 【答案】{(0,1)，(－1,2)}【解析】A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．(4)集合A ＝{x |2k <x <2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |1<x <6}，求A ∩B ； (4)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}．【变式1】(1)设集合{1,2,3,4}A =，{2,4}B =，则集合A B = .答案：(1)AB ={2,4}(2)集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≤0或x >5}，求A ∩B ；答案：(2)A ∩B ＝{x |－2<x ≤0}．(3)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，求A ∩B . 答案：(3)A ∩B ＝∅.(4)设集合{}{}290,30A x x B x x a =-≤=+≥，且{}13A B x x ⋂=≤≤，则a =（）A ．1-B ．3-C ．1D ．3【答案】B 【分析】求出集合A ，B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】{}{}29033A x x x x =-≤=-≤≤，3a B x x ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭,由{}13A B x x ⋂=≤≤，所以13a-=，即3a =-. 故选：B.（二）并集，阴影部分为A ∈B例如(1){}{}{}1,3,52,3,4,62,3,4,5,6=(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}41|{<<=x x B A性质A ∈B ＝B ∈A ，A ∈A ＝A ，A ∈∅＝∅∈A ＝A ，如果A ∈B ，则A ∈B ＝B .【例2(1) 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B =( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4} D ．{1,3,4} 【答案】A【解析】∈A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，∈A ∈B ＝{1,2,3,4}．故选A. (2) A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≤1或x >3}，求A ∈B . 【解析】如图：由图知A ∈B ＝{x |x <2或x >3}．(3)已知集合2{|20}A x x x =-≥，{|}B x x a =<，且A B =R ，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≥ 【分析】先求出集合A ，然后由条件A B =R 结合数轴可得答案. 【详解】由220x x -≥解得0x ≤或2x ≥，则{|0,A x x =≤或}2x ≥，又{|}B x x a =<，若A B =R ，则2a ≥.故选：D .(4)A ＝{(x ，y )|x ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝2}．求A ∈B ，并说明其几何意义．【解析】A ∈B ＝{(x ，y )|x ＝2或y ＝2}，其几何意义是直线x ＝2和直线y ＝2上所有的点组成的集合．【变式2】(1)已知集合{}=23A x x -≤≤，{}240B x x x =-≤，则AB = .A ．[]2,4-B ．[]2,0-C ．[]0,3D ．[]4,3-【答案】A 【分析】先解出集合B ,再求A B .【详解】由{}240B x x x =-≤解得：{}04B x x =≤≤，所以A B =[]2,4-.故选：A(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B .解解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1得m <2，则B ＝{m |m <2}．用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．（三）补集（1）全集定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U . （2）补集例如(1)}{1,2,3,4,5=U ，{3,4}=A ，{1,2,5}=A C U(2)}51|{<<=x x U ,}32|{<<=x x B ,,21|{≤<=x x A C U 或}53<≤x性质A ∈∈A ＝U ；A ∩∈A ＝∈；∈(∈A )＝A .【例3】(1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则A C U ＝________. 【答案】{3,4,5}(2)若全集U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}，求A C U 【解析】∈U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}， ∈A C U ＝{x ∈R|0<x ≤2}.(3)设全集U ＝{x |x 是三角形}，A ＝{x |x 是锐角三角形}，B ＝{x |x 是钝角三角形}，求A ∩B ，)(B A C U ．【解析】根据三角形的分类可知，A ∩B ＝∈，A ∈B ＝{x |x 是锐角三角形或钝角三角形}，)(B A C U ＝{x |x 是直角三角形}．【变式3】(1)设U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3，4,5,6}，求A C U ，B C U .【解析】根据题意可知，U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以A C U ＝{4,5,6,7,8}，B C U ＝{1,2,7,8}． (2)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2≥0}，则A C R ＝________. 【答案】{x |－1<x <2}（四）集合运算的综合【例4】（1）已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝______，(∁U A )∩(∁U B )＝________. 答案 {x |0<x <1} {x |0<x <1}解析 A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．∁U A ＝{x |x >0}，∁U B ＝{x |x <1}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{x |0<x <1}．（2）设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－1 【答案】D【解析】因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a >－1.故选D 。

高三数学集合的运算试题答案及解析

高三数学集合的运算试题答案及解析1.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解一元二次不等式，得或，∴或，∴.【考点】1.一元二次不等式；2.集合的交集.2. [2013·课标全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【答案】B【解析】∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.∴集合A与B可用数轴表示为：由图象可以看出A∪B＝R，故选B.3.若集合且对中其它元素，总有则．【答案】【解析】本题实质求集合中所有点的横坐标的最小值.因为，所以当时当时因此.【考点】二次函数最值4.设全集为实数集R，,则图中阴影部分表示的集合是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴或，∴，∵，由图可知，阴影部分表示的是，∴，∴阴影部分为．【考点】一元二次不等式、集合的交集补集运算．A）∩B等于（）5.设全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x||x﹣2|≤3}，则（∁UA．[﹣1，0） B．（0，5] C．[﹣1，0] D．[0，5]【答案】C【解析】由A中的不等式变形得：2x＞1=20，得到x＞0，即A=（0，+∞），∵全集U=R，∴∁A=（﹣∞，0]，U由B中的不等式变形得：﹣3≤x﹣2≤3，即﹣1≤x≤5，∴B=[﹣1，5]，A）∩B=[﹣1，0]．则（∁U故选：C．6.设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是（）A．16B．8C．7D．4【答案】C【解析】∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，∴集合A的真子集是：φ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共有7个，故选C．7.集合，则（）A．（1，2）B．C．D．【答案】C【解析】,，所以,选C.8.已知集合，集合，则_______．【答案】【解析】由题意，．【考点】集合的运算．9.设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T等于()A．{0}B．{0,2}C．{-2,0}D．{-2,0,2}【答案】A【解析】集合运算问题需先对集合进行化简,明确集合中所含具体元素,因S={0,-2},T={0,2},所以S∩T={0}.故选A.10.集合M={a,b},N={a+1,3},a,b为实数,若M∩N={2},则M∪N=()A．{0,1,2}B．{0,1,3}C．{0,2,3}D．{1,2,3}【答案】D【解析】因为M∩N={2},所以a+1=2,a=1,所以b=2,所以M={1,2},N={2,3},故M∪N={1,2,3}.(x-2x2)},则(M∩N)=()11.已知集合M={x|y=},N={x|y=log2A．(,)B．(-∞,)∪[,+∞)C．[0,]D．(-∞,0]∪[,+∞)【答案】B【解析】集合M,N都是函数的定义域,其中M=[,+∞),N=(0,),所以M∩N=[,),其在实数集中补集(M∩N)=(-∞,)∪[,+∞).12.设集合若，则的范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据题意，，而，在数轴上表示可得，必有，故选B．【考点】集合与集合之间关系．13.已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝________.【答案】[0，]【解析】M＝{y|y≥0}，N＝{y|x2＝2－y2}＝{y|－≤y≤}．∴M∩N＝[0，]14.若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝}，则M∩P＝()．A．{y|y>1}B．{ y|y≥1}C．{ y|y >0}D．{ y|y≥0}【答案】C【解析】∵M＝{ y|y >0}，P＝{ y|y≥0}，∴M∩P＝{ y|y >0}．15.已知集合，，则 .【答案】【解析】本题中集合的元素是曲线上的点，因此中的元素是两个曲线的交点，故我们解方程组，得或，所以．【考点】集合的运算．16.设全集,集合,,则等于A．B．C．D．【答案】B【解析】因为全集,集合,,所以，所以=，选B.【考点】集合的运算17.设集合=（）A．{1，3}B．{2}C．{2，3}D．{3}【答案】A【解析】由已知得，∴．【考点】集合的运算.18.已知集合，，则．【答案】【解析】集合的元素都是函数的值域，这是我们在解与集合有关问题时，一定要弄清的东西，一个集合元素是什么？代表元是什么？而集合的交集就是由两个集合的公共元素所组成的集合．【考点】集合的交集．19.设集合，，，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，所以，所以，选B.【考点】集合的基本运算20.已知全集，集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.注意只取整数，所以.【考点】1、集合的运算；2、函数的定义域与值域；3、解不等式.21.已知全集，集合，则是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】，.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.集合的补集运算.22.设全集,，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得,则.【考点】集合的基本运算.23.设集合，，则等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】，，.【考点】1.分式不等式的解法；2.函数的定义域；3.集合的交集运算.24.已知集合，，若，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由，知，所以，若即，，满足，当时，由解得，且两等号不能同时取到，满足，综上.【考点】集合的包含关系.25.设全集，集合，，则为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以．【考点】主要考查集合的运算，考查学生对基本概念的理解，及学生的基本运算能力．26.集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】集合，集合，则．【考点】集合表示及运算．27.设集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，.【考点】交集运算.28.已知全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩(∁RB)＝( )A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜1} D．{x|1＜x＜2}【答案】A【解析】由可得，所以；由可得；所以，故选A.【考点】集合的基本运算.29.已知集合，集合，则 .【答案】或.【解析】，，.【考点】集合的交集运算30.已知集合, ,在集合中任意取一个元素,则的概率是___________.【答案】【解析】,,.【考点】几何概型.31.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知阴影部分表示的集合为，，，，,又,.故选A.【考点】1、文氏图，2、交集，补集以及集合的运算.32.集合若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，得，因此，即，所以.【考点】1.集合的运算；2.元素与集合的关系；3.对数运算.33.已知集合,则等于A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，=，故选A。

高三数学集合知识点总结大全

高三数学集合知识点总结大全集合是数学中非常基础且重要的一个概念，它在高中数学中占据着重要的地位。

在高三数学中，我们需要深入理解和掌握集合的相关知识点，以应对考试和解决实际问题。

下面是高三数学集合知识点的总结。

1. 集合的基本概念集合是由一些确定的事物组成的，这些事物叫作集合的元素。

通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。

集合中的元素可以是数、字母、词语等。

2. 集合的表示方法（1）列举法：将集合的元素一一列举出来。

例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}（2）描述法：利用一些性质描述集合的元素。

例如：B = {x | x 是自然数，且 0 < x < 6}3. 集合间的关系（1）相等关系：两个集合的元素完全相同。

例如：A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}，则 A = B（2）子集关系：A的所有元素都是B的元素。

例如：A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，则 A ⊆ B（3）真子集关系：A是B的子集且A不等于B。

例如：A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，则 A ⊂ B4. 集合的运算（1）并集：包含所有属于集合A或集合B的元素。

例如：A = {1, 2}，B = {3, 4}，则 A ∪ B = {1, 2, 3, 4}（2）交集：包含同时属于集合A和集合B的元素。

例如：A = {1, 2}，B = {2, 3}，则A ∩ B = {2}（3）差集：属于集合A但不属于集合B的元素。

例如：A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则 A - B = {1}（4）补集：相对于全集的差集。

例如：A = {1, 2}，全集U = {1, 2, 3, 4}，则 A' = {3, 4} 5. 集合的运算定律（1）交换律：A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A（2）结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)（3）分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)，A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)（4）德摩根定律：(A ∪ B)' = A' ∩ B'，(A ∩ B)' = A' ∪ B'6. 集合的应用（1）概率：集合可以用来描述随机试验的样本空间和事件，从而导出概率公式。

高三数学一轮复习(1)集合概念、子集

集合的概念及运算（1）总第1个教案【复习目标】：准确理解和使用集合概念；理解元素与集合、集合与集合之间的关系,能识别给定集合的子集.学会对简单的含参变量的讨论. 【复习重点】：注重集合中元素的形式，集合元素的互异性、子集与真子集、空集的特殊性【复习难点】：根据集合的含义求参数；分类讨论思想的培养 1、已知集合A ＝{}N a a a ∈<≤,40 ，用列举法能够表示为 2、已知集合A ＝{}m m m ++22,2，若A ∈3，则=m 3、下列集合表示同一集合的有（1）(){}2,3= M ,(){}3,2= N （2）(){}{}1,1,=+==+=y x y N y x y x M （3）{}5,4 =M ，{}4,5 =N （4）{}21，＝M ，{}），（＝21N 4、设集合A ＝{}R a a a x x ∈+-=,452，{}R b b b y y B ∈++==,2442 ，则A 、B 的关系是5、已知集合A ＝[)4,1，B ＝()a ,∞-，B A ⊆，则∈a 二、交流质疑精讲点拔例1、若R b a ∈，,集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a ba b a ，，，，01,求a b -的值. 变式训练：已知集合A ＝{}b a b a a 2,,++，B ＝{}2,,acac a ．若A ＝B ，求c 的值例2、已知集合A ＝{}R a x ax x ∈=+-,0232．(1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来；(3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．变式练习：已知1≤a 时，集合[]a a -2,中有且只有3个整数，则a 的取值范围是_______．例3、（1）若集合{}{}01,062=+==-+ax x S x x x P ＝，且P S ⊆，求由a 的可取值组成的集合。

（2）集合{}52≤≤-x x A ＝，集合{}121-≤≤+m x m x B ＝．若A B ⊆，求实数m 的取值范围。

高三集合知识点总结

高三集合知识点总结一、集合的基本概念集合是由一些特定事物所组成的整体，其中的成员称为元素。

用大写字母A、B、C来表示集合，用小写字母a、b、c来表示元素。

集合中的元素用逗号隔开，用大括号{}括起来，例如：A={a,b,c}表示A集合由元素a、b、c组成。

集合之间的关系有三种：包含关系、相等关系、不相交关系。

二、集合的运算1. 交集设A与B是两个集合，由所有既属于集合A，又属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A与B的交集”。

即A∩B={x|x∈A且x∈B}。

2. 并集设A与B是两个集合，由属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A与B的并集”。

即A∪B={x|x∈A或者x∈B}。

3. 差集设A与B是两个集合，由属于集合A但不属于集合B的元素所组成的集合叫做A与B的差集，记作A-B，读作“A与B的差集”。

即A-B={x|x∈A且x∉B}。

4. 互补集（补集）设U是给定的集合，则对于集合A，U-A称为A的互补集，记作A'或者A^C。

5. 交换律、结合律、分配律交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)三、集合的性质1. 互斥两个集合没有共同的元素，则称它们是互斥的，即A∩B=φ，则称A与B是互斥的。

2. 包含如果一个集合中的元素都是另一个集合中的元素，则这个集合包含另一个集合。

3. 幂集一个集合的所有子集组成的集合叫做幂集。

4. 定义域和值域函数f的定义域D(f)为x的集合，使f(x)有意义；f的值域R(f)为f(x)的集合。

5. 绝对值不等式|a-b|<ε等价于-a+ε<??b且a+ε>b。

6. 集合的运算律集合A与B的交集与其互补集的并集是全集：A∩A'＝U集合A与B的并集与其互补集的交集是空集：A∪A'＝∅四、集合的应用1. Venn图用来表示集合之间的关系，通常是用圆形、矩形等图形来表示。

中职对口升学-高三数学第一轮复习：集合的关系及运算

典例解析
例5 U为全集 ,集合M⫋U ,N⫋U ,且N⊆M , 则 ( ).
解析根据各集合之间的关系作图(见图1-4),
这样就很容易做出判断,故选之间的关系,用图形解答比较方便. (2)在数学中利用“数形结合”的思想,往往能使问题简单化.
同学们！再见！
技巧点拨
考查对集合运算的理解及性质的运用.
典例解析
例4 已知集合求实数a的取值范围.
解析
如图1-3所示,要使
必须满足
解得-1≤a≤2
所以实数a的取值范围为{a|-1≤a≤2}.
技巧点拨
图1-3
解题时利用数轴表示集合,便于寻求满足条件的实
数a.特别需要注意的是“端点值 ”的问题,要明
确是能取“=”还是不能取“=”.
技巧两个集合包含或相等关系的问题,通过建立方程(组),然后点拨解出未知数,最后利用集合元素的特征进行检验即可.
扩展：函数 y = ax^2 + bx + c ：1、对称轴方程 x = -b/2a。 2、顶点坐标（-b/2a，(4ac-
典例解析
例3 设全集U=R,集合
集合
求A∩B,A∪B,
解析所以
性质：任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆ A ；空集是任何集合的子集，即∅ ⊆ A ；对集合A ， B ，C，若A ⊆ B ， B ⊆ C，则A ⊆ C.
注意：不能把子集说成由原来集合中的部分元素组成的集合，因为A的子集包括它本身，而这个子集由A的全体元素组成；空集也是A的子集，但这个子集中不包括A中的任何元素.
知识点二集合的运算
1.交集
一般地,由既属于集合A 又属于集合B 的所有元素组成的集合,称为

高三数学集合的运算试题答案及解析

高三数学集合的运算试题答案及解析1.设集合，，则＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】化简集合，所以，故选Ｃ．【考点】集合的运算．2.设集合则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知所以，选C.【考点】不等式的解法，指数函数的性质，集合的运算.3.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)||x|＋|y|＝λ}，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是________．【答案】[1，]【解析】集合A表示圆x2＋y2＝1上点的集合，集合B表示菱形|x|＋|y|＝λ上点的集合，由λ＝|x|＋|y|≥0知λ表示直线在y轴正半轴上的截距，如图，若A∩B≠∅，则1≤λ≤.4.设集合，且，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以又，所以且解得.【考点】集合间关系5.已知集合A＝{x|}，B＝{x|}，则集合＝（）A．{x| 0＜x＜4}B．{x| 0＜x＜5}C．{x| 1＜x ≤ 4}D．{x| 4≤x＜5}【答案】C【解析】，.选C.【考点】集合的基本运算.6.已知集合A＝{x|4≤≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是（）A．(－∞，－2]B．C．(－∞，2]D．【答案】A【解析】集合是不等式的解集，由题意，集合，因为，故，，故，即的取值范围是．[故A正确。

【考点】1指数不等式；2集合的运算。

7.集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.选C.【考点】集合的基本运算.8.已知集合，，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可得.又因为.所以.【考点】1.二次不等式的解法.2.集合的运算.9.已知集合，，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】,则,阴影部分表示的集合为，选D.【考点】1.绝对值不等式的解法；2.集合的运算.10.若全集，集合，，则( )A．{2}B．{1，2}C．{1，2，4}D．{1，3，4，5}【答案】C【解析】根据交集的定义可得,再根据补集的定义可得,故选C【考点】交集补集11.已知集合,集合,则A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可得B={0,2,4,6}，所以.【考点】集合的运算.12.若集合A={1,2,3},B={1,3,4},则A∩B的子集个数为()A．2B．3C．4D．16【答案】C【解析】A∩B={1,3},其子集有{1,3},{1},{3},⌀共4个.故选C.13.已知集合A={a1,a2,a3,…,an},记和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数为M(A).如当A={1,2,3,4}时,由1+2=3,1+3=4,1+4=2+3=5,2+4=6,3+4=7,得M(A)=5.对于集合B={b1,b2,b3,…,bn},若实数b 1,b2,b3,…,bn成等差数列,则M(B)=.【答案】2n-3【解析】由题意可知,b1,b2,b3,…,bn成等差数列且各项不相同,由等差数列的性质,数列中任意两项之和,只要序号之和不同,该两项之和就不同,那么在从1到n中任意两项的序号之和最小的是3,然后是4,5,…且可以连续地取到,最大的和是n+(n-1)=2n-1,共有2n-3个不同的和.14.已知集合则满足的集合个数是（）A．2B．3C．4D．8【答案】C【解析】，，所以，即，其中，易知集合有4个子集，即有4种可能，从而集合个数是4个.【考点】集合的基本运算15.设全集U＝R，集合A＝｛x｜｝，B＝｛x｜1＜＜8｝，则（CUA）∩B等于（）A．[－1，3） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3）【答案】B【解析】由已知得或，，所以.【考点】1、分是不等式和指数不等式解法；2、集合的运算16.已知全集U，A，B，那么 __．【答案】【解析】这是基本题型，考查集合的运算，，即B的补集由全集U中不属于B的元素所组成.两个集合的并集简单地讲就是把两个集合的元素合在一起，相同的只写一个即可．【考点】集合的运算．17.设全 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.又因为.所以.故选D.本小题主要考查集合的交集，补集，全集的概念集合的运算.本题属于较基础的知识点.【考点】1.集合的交集.2.集合的补集.18.若，则．【答案】．【解析】由已知得．【考点】集合的运算．19.已知全集U，A，B，那么 __．【答案】【解析】这是基本题型，考查集合的运算，，即B的补集由全集U中不属于B的元素所组成.两个集合的并集简单地讲就是把两个集合的元素合在一起，相同的只写一个即可．【考点】集合的运算．20.已知集合若,则为.( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，因此，解得a=－1，又，所以b=，因为所以={}，故选D.【考点】1.集合的运算；2.集合元素的特征.21.已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】因为，因此，故选Ｂ．【考点】集合的运算．22.已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，所以.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.指数不等式的解法；3.集合的交集运算.23.已知全集U=R，集合A=，B=，则A∪B=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得：.由得：.所以A∪B=.【考点】1、指数函数与对数函数；2、集合的基本运算.24.集合，则= .【答案】【解析】由题意知，，由知，，所以，所以，即.【考点】集合的运算、一元二次不等式、函数的单调性25.已知集合,则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】化简得,所以.【考点】一元二次不等式的解法，集合的交集运算.26.已知集合则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】N集合是要求在范围内取整数，所以，然后和M集合求交集故.【考点】集合的运算.27.已知全集，集合，集合，则为A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】集合运算点评：集合A的补集为全集中除去A集合中的元素,剩余的元素构成的集合,两集合的并集是由属于两集合的所有的元素构成的集合28.已知全集,且,则A．B．C．D．【答案】B【解析】，，则，，故选B。

高三集合知识点总结

高三集合知识点总结集合是数学中一个基础而重要的概念，尤其在高中数学教学中占有举足轻重的地位。

高三学生在复习集合相关知识时，需要系统地整理和总结集合的基本概念、性质以及运算规则。

本文旨在帮助高三学生回顾和巩固集合的知识点，以便在高考中能够熟练运用集合知识解决问题。

首先，我们需要明确集合的基本定义。

集合是由一些明确的、互不相同的元素所构成的整体。

这些元素可以是数字、字母、人、物体等任何事物。

集合中的元素具有无序性和互异性，即元素在集合中的位置无关紧要，且集合中的元素不会有重复。

接下来，我们来了解集合的表示方法。

通常，集合可以用大写字母表示，如A、B、C等，集合中的元素则用小写字母表示。

集合可以用列举法表示，即将所有元素一一列出，如A = {1, 2, 3}；也可以用描述法表示，即用数学符号和语言描述元素的性质，如B = {x | x 是质数}。

在集合论中，还有一些特殊的集合符号和概念。

例如，空集用符号∅表示，它是不包含任何元素的集合。

全集用符号U表示，它是包含所有可能元素的集合。

子集用符号⊆表示，如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。

集合间的运算是集合论的核心内容之一。

最基本的集合运算有并集、交集和补集。

并集用符号∪表示，指的是将两个集合中所有的元素合并在一起组成的新集合。

交集用符号∩表示，指的是两个集合中共有的元素组成的集合。

补集用符号C表示，指的是全集中不属于某个集合的所有元素组成的集合。

除了上述基本运算，还有一些其他的集合运算，如差集、对称差集等。

差集用符号-表示，指的是一个集合中去掉另一个集合的元素后剩下的元素组成的集合。

对称差集用符号Δ表示，指的是两个集合中不相交的部分的并集。

在解决实际问题时，集合的知识往往与其他数学知识点相结合。

例如，在解决函数问题时，我们可能会用到集合的映射概念；在解决概率问题时，我们可能会用到集合的计数原理。

因此，掌握集合知识对于理解其他数学概念和解决综合问题具有重要意义。

专题01集合、集合间的关系、集合的运算(重难点突破)

专题一集合、集合间的关系、集合的运算一、学法指导与考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号2.集合间的基本关系3.集合之间的基本运算【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4. 数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N 对加法运算是封闭的;整数集Z 对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F 是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F 中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F 中的数,即运算封闭,则称F 为数域.5. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B ．二、重难点题型突破考点1 集合的概念及其表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．例1.（1）（集合的确定性）下列各组对象中不能形成集合的是( ) A ．高一数学课本中较难的题 B ．高二（2）班学生家长全体 C ．高三年级开设的所有课程D ．高一(12)班个子高于1.7m 的学生【思路分析】集合内的元素要满足：确定性，无序性，互异性．【答案】解：高一数学课本中较难的题不满足确定性，故不是集合；故选：A ．【点睛】本题考查了集合内的元素的特征，要满足：确定性，无序性，互异性，属于基础题．（2）．（2020·全国高一）（集合的互异性）已知集合(){}21,1A m m =+-，若1A ∈，则m =______.【解析】依题意11m +=或()211m -=，解得0m =或2m =；由集合中元素的互异性可知当0m =时，集合的两个元素相等，不合题意；所以2m =.故答案为：2.【变式训练1】（集合的确定性）考察下列每组对象，能构成集合的是( ) ①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． A ．③④ B ．②③④ C ．②③ D ．②④【解析】①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B. 考点2 元素与集合的关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . (3)常见的数集及表示符号归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题．例2．（2020·河北省河北正中实验中学高一期末）（整数集合元素个数）已知集合{}|21,A x x x Z =-<≤∈，则集合A 中元素的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】{}{}|21,1,0,1A x x x Z =-<≤∈=-，所以集合A 中元素的个数为3.故选：D. 例3.（单元素集合）若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值．【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.【变式训练1】设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围；（3）求：A 中各元素之和．【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1， ∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．考点3 集合间的基本关系 1.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个． (3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤; ∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.【变式训练1】．（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.考点4 集合的基本运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。

高三数学集合的运算1

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