高中数学专题训练——古典概型与几何概型人教版必修3

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高中数学概率几何概型古典概型精选题目(附答案)

高中数学概率几何概型古典概型精选题目（附答案）一、古典概型1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，当事件A与B对立时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P(A)＝mn求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．1.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[解]甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E，F表示．(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P＝4 9.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种．所以，选出的2名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.注：解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．2．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员名单中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为()A.13 B.110C.25 D.310解析：选D设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P＝3 10.3．随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3 000名学生的体重发育评价情况，得下表：0.15.(1)求x的值；(2)若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？(3)已知y ≥243，z ≥243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．解：(1)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15，可知x3 000＝0.15，所以x ＝450.(2)由题意，可知肥胖学生人数为y ＋z ＝500(人)．设应在肥胖学生中抽取m 人，则m 500＝603 000.所以m ＝10.即应在肥胖学生中抽10名．(3)由题意，可知y ＋z ＝500，且y ≥243，z ≥243，满足条件的基本事件如下： (243,257)，(244,256)，…，(257,243)，共有15组．设事件A ：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y ≤z ，满足条件的(y ，z )的基本事件有：(243,257)，(244,256)，…，(250,250)，共有8组，所以P (A )＝815.所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为815.二、几何概型(1)几何概型满足的两个特点：①等可能性；②无限性． (2)几何概型的概率求法公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积、体积)试验的全部结果长度(面积、体积).4.(1)已知平面区域D 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )| ⎩⎨⎧|x |＜2，|y |＜2，D 2＝{}(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2＜4.在区域D 1内随机选取一点P ，则点P 恰好取自区域D 2的概率是( )A.14 B.π4 C.π16D.π32(2)把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为________．[解析] (1)因区域D 1和D 2的公共部分是一个半径为2的圆的14，从而所求概率P ＝14×22π42＝π16，故选C.(2)将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于13木棒长度的区域内，故所求概率为2×13＝23.[答案] (1)C (2)23 注：几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P (A )＝mn 求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．5．如图，两个正方形的边长均为2a ，左边正方形内四个半径为a2的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a 的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的大小关系是( )A ．P 1＝P 2B ．P 1＞P 2C ．P 1＜P 2D ．无法比较解析：选A 由题意知正方形的边长为2a .左图中圆的半径为正方形边长的14，故四个圆的面积和为πa 2，右图中圆的半径为正方形边长的一半，圆的面积也为πa 2，故P 1＝P 2.6．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：选A 不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.7．圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M ，现随机往图4的圆内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.34πB.334πC.2πD.3π解析：选B 设圆内每一个小正三角形的边长为r ，则一个三角形的面积为12×r ×32r ＝34r 2， ∴阴影部分的面积为334r 2. 又圆的面积为πr 2，∴点A 落在区域M 内的概率是334r 2πr 2＝334π.。

人教版高中数学高一-A版必修3练习古典概型

[A 基础达标]1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x ，y )表示结果，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的基本事件数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D.事件A 包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．故选D.2．下列关于古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k n. A ．②④ B ．①③④C ．①④D ．③④解析：选B ．根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B ．3．下列是古典概型的是( )(1)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；(2)同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；(3)近三天中有一天降雨的概率；(4)10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．A ．(1)(2)(3)(4)B ．(1)(2)(4)C ．(2)(3)(4)D ．(1)(3)(4)解析：选B ．(1)(2)(4)为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而(3)不适合等可能性，故不为古典概型．4．已知集合A ＝{2，3，4，5，6，7}，B ＝{2，3，6，9}，在集合A ∪B 中任取一个元素，则它是集合A ∩B 中的元素的概率是( )A.23 B ．35C.37 D ．25解析：选 C.A ∪B ＝{2，3，4，5，6，7，9}，A ∩B ＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是37. 5．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2只有一个解的概率为( ) A.512 B ．1112C.513 D ．913解析：选B ．点(a ，b )取值的集合共有36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax ＋by ＝3与x ＋2y ＝2相交，即a 1≠b 2，即b ≠2a ，而满足b ＝2a 的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2只有一个解的概率为3336＝1112.6．甲、乙两人随意入住三间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．解析：设房间的编号分别为A 、B 、C ，事件甲、乙两人各住一间房包含的基本事件为：甲A 乙B ，甲B 乙A ，甲B 乙C ，甲C 乙B ，甲A 乙C ，甲C 乙A 共6个，基本事件总数为3×3＝9，所以所求的概率为69＝23. 答案：237．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a －b |≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．解析：数字a ，b 的所有取法有36种，满足|a －b |≤1的取法有16种，所以其概率为P ＝1636＝49. 答案：498．(2016·石家庄检测)一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为26＝13. 答案：139．(2014·高考山东卷)海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区A B C 数量 50 150 100(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1，150×150＝3，100×150＝2. 所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为：A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有： {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个．所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415. 10．(2016·长沙联考)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13，停车费多于14元的概率为512，求甲的停车费为6元的概率；(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．解：(1)设“一次停车不超过1小时”为事件A ，“一次停车1到2小时”为事件B ，“一次停车2到3小时”为事件C ，“一次停车3到4小时”为事件D .由已知得P (B )＝13，P (C ＋D )＝512. 又事件A ，B ，C ，D 互斥，所以P (A )＝1－13－512＝14. 所以甲的停车费为6元的概率为14. (2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个；而“停车费之和为28元”的事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个，所以所求概率为316. [B 能力提升]1．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则( )A ．P 10＝110P 1B ．P 10＝19P 1 C ．P 10＝0 D ．P 10＝P 1解析：选D.摸球与抽签是一样的，虽然抽签的顺序有先后，但只需不让后人知道先抽的人抽出的结果，那么各个抽签者中签的概率是相等的，并不因抽签的顺序不同而影响到其公平性．所以P 10＝P 1.2．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析：两本不同的数学书用a 1，a 2表示，语文书用b 表示，由Ω＝{(a 1，a 2，b )，(a 1，b ，a 2)，(a 2，a 1，b )，(a 2，b ，a 1)，(b ，a 1，a 2)，(b ，a 2，a 1)}．于是两本数学书相邻的情况有4种，故所求概率为46＝23.答案：233．某班体育兴趣小组共有12名同学(学号为1到12)，要从中选出一个同学去参加某项比赛，由于1号同学受伤，只好从2至12号同学中选出．因为这11位同学水平相当，所以有人提议用如下的办法选出：用两台完全相同的计算机各随机产生1到6中的一个整数，这两个整数的和是几就选择几号．你认为这种方法公平吗？若公平，说明理由；若不公平，说明这种方法最有可能选中几号？几号同学被选中的可能性最小？解：所以基本事件空间中共有36个基本事件．其中，选中2号与12号的概率都为136，选中3号与11号的概率都为236＝118，选中4号与10号的概率都为336＝112，选中5号与9号的概率都为436＝19，选中6号与8号的概率都为536，选中7号的概率为636＝16，所以这种方法不公平，最有可能选中7号，2号和12号同学被选中的可能性最小．4．(选做题)田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A 、B 、C ，田忌的三匹马分别为a 、b 、c ；三匹马各比赛一次，胜两场者获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A >a >B >b >C >c .(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A ，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．解：(1)比赛配对的基本事件共有6个，它们是：(Aa ，Bb ，Cc )，(Aa ，Bc ，Cb )，(Ab ，Ba ，Cc )，(Ab ，Bc ，Ca )，(Ac ，Ba ，Cb )，(Ac ，Bb ，Ca )．经分析：仅有配对为(Ac ，Ba ，Cb )时，田忌获胜，且获胜的概率为16. (2)田忌的策略是首场安排劣马c 出赛，基本事件有2个：(Ac ，Ba ，Cb )，(Ac ，Bb ，Ca )，配对为(Ac ，Ba ，Cb )时，田忌获胜且获胜的概率为12.故正常情况下，田忌获胜的概率为16，获得信息后，田忌获胜的概率为12.。

高中数学必修3-古典概型、几何概型复习总结

古典概型、几何概型必修32．从含有3件正品和1件次品的4件产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是A ．14B ．13C ．12D ．1 3．将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是 A.181 B.3611 C.3625 D.361 4．要将一根长为60cm 的木棒截成两段，有一段小于15cm 的概率是 A. 41 B. 21 C. 31 D. 32 5．在半径为2的圆中随机地撒一把豆子，则豆子落在圆内接正三角形ABC ∆中的概率等于A ．2πB ．2πC ．4πD ．4π7．口袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个大小相同的球，其中1到3号为红球，4号和5号为白球，现从中任意摸出2个球．（1）求摸出的两球同色的概率；（2）求摸出的两球不同色，且至少有一个球的编号为奇数的概率．8.某校高一年级要从3名男生a 、b 、c 和2名女生d 、e 中任选3名代表参加学校的演讲比赛. 求：（1）男生a 被选中的概率；（2）求男生a 和女生d 至少一人被选中的概率.12．等腰Rt ABC ∆中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM 的长小于AC 的长的概率为．13．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是．16.袋中有大小相同的红、绿两种颜色的球各1个，每次从中任取一球，记下颜色，有放回地抽取3次，求：（1）“3次抽的都是红球”的概率；（2）“3次恰有两次抽的是绿球”的概率；（3）“3次抽的球颜色不全相同”的概率.17.某校学生李明放学回家有2路和11路两路公共汽车可供选择，其中2路车每5分钟一班，11路车每10分钟一班，问李明等车时间不超过3分钟的概率是多少？1.C2.C3.B4.B5.C6. ()()()1P A P B P C ++=7．解：基本事件共10个：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}（1）记“摸出的两球同色”为事件A ，事件A 包含的基本事件有4个：{1，2}，{1，3}，{2，3}，{4，5}，P(A)=42105= （2）记“摸出的两球不同色，且至少有一个球的编号为奇数” 为事件B ，事件B 包含的基本事件有5个： {1，4}，{1，5}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，P(B)=51102= 8.解:基本事件共(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,e)，(a,c,d)，(a,c,e)，(a,d,e) ，(b,c,d)，(b,c,e)，(b,d,e)，(c,d,e)共10种.(1)男生a 被选中的选法是:(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,e)，(a,c,d)，(a,c,e)，(a,d,e)共6种男生a 被选中的概率为63105= (2)男生a 和女生d 至少一人被选中的选法是:(a,b,c)，(a,b,d)，(a,b,e)，(a,c,d)，(a,c,e)，(a,d,e)， (b,c,d)， (b,d,e)，(c,d,e)共9种男生a 和女生d 至少一人被选中的概率为9109.D 10.A 11.B 12.13. 8π 14. 52325300138=⨯⨯ 15．解：A B 这一事件包括4种结果，即出现1，2，3和5，42()63P A B == 16.17.解：设2路车到达时间为x 和11路到达时间为y .(x , y )可以看做平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为{(,)|05010}x y x y Ω=≤≤≤≤且，这是一个长方形区域，面积为51050S Ω=⨯= A 表示李明等车时间不超过3分钟，所构成的区域为{(,)|03,03}A x y x y =≤≤≤≤或，即图中的阴影部分，面积为3103236A S =⨯+⨯=，这是一个几何概型，所以36()0.7250A S P A S Ω===。

人教版高中数学必修3训练 3.3.1几何概型

3.3几何概型3.3.1几何概型一、基础达标1．下列概率模型：①在区间[－10，10]中任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10，10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10，10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的整数的概率；④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．其中，是几何概型的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①是．因为区间[－10，10]有无限多个点，取到1这个数的概率为0.②是．因为在[－10，10]和[－1，1]上有无限多个点可取，且在这两个区间上每个数取到的可能性相同．③不是．因为[－10，10]上的整数只有21个，不满足无限性．④是．因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且每个点被投中的可能性相同．2．有四个游戏盘，如图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为()答案 A解析对A，P(A)＝38，对B，P(B)＝13；对C，P(C)＝4－π4＜14；对D，P(D)＝1π，显然P (A )最大，因此应选游戏盘A.3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是 ( )A.110 B.19 C.111D.18答案 A解析试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110.4．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12 C.34 D.23答案 C解析如右图所示，在边AB 上任取一点P ，因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S4”等价于事件“|BP |∶|AB |＞14”．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|PA ||BA |＝34. 5．在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．答案 785解析设正方形边长为2a ，则S 正＝4a 2，S 圆＝πa 2.因此芝麻落入圆内的概率为P ＝πa 24a 2＝π4，大约有1 000×π4≈785(粒)． 6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．答案 0.005解析由几何概型知P ＝2400＝0.005.7．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r ＜a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解设事件A ：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，参看图，这样线段OM 长度(记作|OM |)的取值范围是[0，a ]，只有当r ＜|OM |≤a 时，硬币不与平行线相碰，其长度范围是(r ，a ]．所以P (A )＝（r ，a ]的长度[0，a ]的长度＝a －r a .二、能力提升8．(2013·蚌埠高一检测)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 ( ) A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π答案 A解析设OA ＝OB ＝r ，则两个以r2为半径的半圆的公共部分面积为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝（π－2）r 28，两个半圆外部的阴影部分面积为14πr 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22×2－（π－2）r 28＝（π－2）r 28，所以所求概率为2×（π－2）r 2814πr 2＝1－2π. 9．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为 ( )A ．1－3π12B ．1－3π24 C.3π12D.3π24答案 B解析设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－3π24.10．(2013·湖北高考)在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________．答案 3解析由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2＜m ＜4时，由题意得m －（－2）6＝56，解得m ＝3.11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率．解如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设M －ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h <16，又S 四边形ABCD ＝1，则h <12，即点M 在正方体的下半部分．故所求概率P ＝12V 正方体V 正方体＝12.三、探究与创新12．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问： (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 (1)如图(1)所示，因为O 落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD 的边相交接是在圆板的中心O 到与它靠近的边的距离不超过1 cm 时，所以O 落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD 的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm 2)，因此所求的概率是3292＝3281.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O 与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm 时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm 2，故所求概率是π81.13．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a是从区间[0，3]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.。

【精准解析】2021人教A版数学必修3：第三章习题课古典概型与几何概型

的点为(1,1).则 P(M)=19.
答案 C 4.在集合 A={2,3}中随机取一个元素 m,在集合 B={1,2,3}中随机取一个元素 n,得到点 P(m,n),则点 P 在圆 x2+y2=9 内部的概率为( )
A.12
B.13
C.34
D.25
解析点 P(m,n)的情况为(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共 6 种,只有(2,1),(2,2)这两个点在圆 x2+y2=9
3
解法一(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为 A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2,从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共 10 个.
解法二(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为 A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1,B2.
从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有的基本事件是:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共 10 个.
2
所以 P(A)=π 2
π1.
答案 1
π
8.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题:“今有勾五步,股
十二步.问勾中容方几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步,问其内接正方

高中数学必修三同步练习题库：古典概型(选择题：较难28,困难29)

古典概型（选择题：较难28，困难29）1、位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为A． B． C． D．2、从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，则所选人中至少有名女生的概率（）A． B． C． D．3、某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为（）A． B． C． D．4、某班共有6个数学研究性学习小组，本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去，则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是（）A． B． C． D．5、某初级中学篮球队假期集训，集训前共有个篮球，其中个是新的（即没有用过的球），个是旧的（即至少用过一次的球），毎次训练都从中任意取出个球,用完后放回,则第二次训练时恰好取到个新球的概率为（）A． B． C． D．6、五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自已的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A． B． C． D．7、对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为（）A． B． C． D．8、某高中数学老师从—张测试卷的道选择题、道填空题、道解答题中任取道题作分析，则在取到选择题时解答题也取到的概率为（）A． B．C． D．9、国庆节前夕，甲、乙两同学相约10月1日上午8:00到8:30之间在7路公交赤峰二中站点乘车去红山公园游玩，先到者若等了10分钟还没有等到后到者，则需发短信联系．假设两人的出发时间是独立的，在8:00到8:30之间到达7路公交赤峰二中站点是等可能的，则两人不需要发短信联系就能见面的概率是（）A． B． C． D．10、一个射箭运动员在练习时只记射中环和环的成绩，未击中环或环就以环记．该远动员在练习时击中环的概率为，击中环的概率为，既未击中环也未击中环的概率为（，，），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为环，则当取最小值时，的值为（）A． B． C． D．11、端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（）A． B． C． D．12、高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为（）A． B． C． D．13、若，则的概率为（）A． B． C． D．14、箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取黑球,则放回箱中,重新取球,若取出白球,则停止取球,那么恰好在第4次取球后停止的概率为A． B． C． D．15、投掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于A． B． C． D．16、从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知P(A)=" 0.65" ，P(B)="0.2" ，P(C)=0.1。

高中数学必修三同步练习题库：古典概型(填空题：较难22,困难23)

古典概型（填空题：较难22，困难23）1、设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．2、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为．3、将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇A 的概率为（用数字作答）4、设函数是从1，2，3三个数中任意取一个数，是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则的概率是__________．5、已知集合，则满足条件的事件的概率为__________；集合的元素中含奇数个数的期望为_________．6、已知随机变量服从正态分布，，则．7、公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.0228来设计的．设男子身高服从正态分布（单位：），参考以下概率，，，则车门的高度（单位：）至少应设计为______．8、若随机变量服从两点分布，且，令，则.9、在棱长为的正方体中，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于的概率为________．10、甲乙二人玩猜字游戏，先由甲在心中想好一个数字，记作，然后再由乙猜甲刚才所想到的数字，并把乙猜到的数字记为，二人约定：、，且当时乙为胜方，否则甲为胜方．则甲取胜的概率是______．11、一盒子装有只产品，其中有只一等品，只二等品．从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样．设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则条件概率．12、从，，，这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是．13、已知菱形ABCD的边长为2，，则该菱形内的点到点A、B的距离均不小于1的概率是。

14、无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1<a2， a2>a3， a3<a4， a4>a5时称为波形数，则由1，2，3，4，5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为 .15、为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．16、有一批种子的发芽率为，每粒种子能成长为幼苗的概率为，则在这批种子中，出芽后的幼苗成活率为。

人教版高中数学必修三3.3几何概型

1．下面关于几何概型的说法错误的是( )A ．几何概型也是古典概型的一种B ．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D ．几何概型中每个结果的发生具有等可能性解析：古典概型属有限等可能性，而几何概型是无限等可能，所以几何概型不能划到古典概型之列．答案：A2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒，当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )A.112B.38C.116D.56 解析：530＋45＋5＝580＝116. 答案：C3．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖(阴影部分)上的概率是( )A.13B.23C.14D.18解析：地板砖共有3×4＝12块，黑色有4块．∴412＝13. 答案：A4．一条河上有一个渡口，每隔一小时有一趟渡船，河的上游还有一座桥，某人到这个渡口等候渡船，他准备等候20分钟，如果20分钟渡船不到，他就要绕到上游从桥上过河．则他乘船过河的概率是__________．解析：2060＝13. 答案：135．在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________ (结果保留整数)．解析：设正方形边长为2a ，则S 正＝4a 2，S 圆＝πa 2.因此芝麻落入圆内的概率为P ＝πa 24a 2＝π4，大约有1 000×π4≈785粒．答案：7856．将一长为 18 cm 的线段随机地分成三段，则这三段能组成一个三角形的概率是多少？解：假设x 与y 表示三个长度中的两个，因为是长度，所以应有：x >0，y >0和x ＋y <18，即所有x 和y 值必须在如图所示的以(0,18)，(0,0)和(18,0)为顶点的三角形内．要组成三角形，由组成三角形的条件知，x 和y 都小于9，且x ＋y >9(如图所示的阴影部分)，又因为阴影部分三角形的面积占大三角形面积的14，故能够组成三角形的概率为0.25.。

人教版高中数学必修三第三章概率古典概型与几何概型

第1页共4页古典概型与几何概型
【知识概述】
1．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个
. (2)每个基本事件出现的可能性相等
. 2．如果一次试验中可能出现的结果有
n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是n 1
；
如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)＝n m
.
3.古典概型的概率公式
P(A)＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数
4.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度
(面积或体积)成比例，则称这样的概率
模型为几何概率模型，简称为几何概型. 5.几何概型中，事件A 的概率公式P(A)＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
. 6.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
7.几何概型的试验中，事件A 的概率P(A)只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．
8.求试验中几何概型的概率，
关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入
公式即可求解．
9．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合
I ，基本事件的个数
n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P(A)＝A
I ＝m n . 【学前诊断】。

(完整word版)高中数学必修三古典概型与几何概型

古典概型与几何概型1.1 基本领件的特色①任何两个基本领件都是互斥的；②任何事件（除不行能事件）都能够表示成基本领件的和.1.2 古典概型1.2.1 古典概型的观点我们把拥有 :①试验中所有可能出现的基本领件只有有限个；②每个基本领件出现的可能性相等，两个特色的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型.1.2.2 古典概型的概率公式:假如一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由 n 个基本领件构成，并且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本领件的概率都是1，假如某个事件 A 包括的结果有nm 个基本领件，那么事件 A 的概率 P Am. n1.3 几何概型1.3.1 几何概型的概率公式：在几何概型中，事件 A 的概率的计算公式以下：构成事件 A的地区长度（面积或体积）P A实验的所有结果所构成的地区长度（面积或体积）1．从长度为 1， 3，5， 7， 9 五条线段中任取三条能构成三角形的概率是()A ．1B ．3C．1D ．2 210552．甲、乙、丙三人任意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为()A ．1B ．1C．1D．1 23463．袋中有白球 5 只，黑球 6 只，连续拿出 3 只球，则次序为“黑白黑”的概率为 ()A ．1B ．2C．4D ．5 113333334．先后投掷两枚平均的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4， 5，6），骰子向上的面的点数分别为X ， Y ，则log2 X Y1 的概率为()A ．1B ．5C．1D．1 6361225．在正四周体的6 条棱中随机抽取 2 条，则其 2 条棱相互垂直的概率为 ()32 1 1 A ． 4B ．3C ．5D ．36．将 8 个参赛队伍经过抽签分红 A 、B 两组，每组 4 队，此中甲、乙两队恰巧不在同组的概率为 ()A ．4B ．1C ．2D ．372757．将 4 名队员随机分入 3 个队中，关于每个队来说，所分进的队员数 k 知足 0≤k ≤4，假定各样方法是等可能的，则第一个队恰有3 个队员分入的概率是 () A ．16B ．21C ．8D ．24818181818．取一个正方形及其余的外接圆，随机向圆内抛一粒豆子，则豆子落入正方形外的概率为()A ．2B ．2C ．2D ．49．以下图，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在地区的时机均等，那么两个指针同时落在奇数所在地区的概率是 ()184B ．22773A ．99359142C ．2D ．13 310．在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角极点的距离不大于 1 的概率是 ()A ．πB ．πC ．πD ．π16 84 211．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆。

高中数学复习古典概型与几何概型人教版必修3

• 分析：(文)将10件产品编号，用列举法可写出所有可能的基本事件，然后找出问题中的事件所包含的基本事件，即可求出概率． • (理)依据组合数原理求出基本事件构成的集合和所求事件中的事件数，代入古典概型公式即可．
解析：(文)从 10 件产品中任取 2 件是等可能的，按顺序记录结果(x，y)，x 有 10 种可能，y 有 9 种可能，但(x， y)与(y，x)是相同的，所以试验的所有结果共有 10×9÷ 2＝ 45 种． (1)记事件 A 为“两件都是正品”，即从 8 件正品中任取 2 件，按上面的计算方法，共有可能结果 8×7÷ 2＝28 28 种，故所求事件的概率是 P(A)＝ . 45
• 2．“概率为0的事件”与“不可能事件” 是两个不同的概念，应区别． • 3．计算古典概型和几何概型时，一定要先进行事件等可能性的判断，防止因基本事件发生的可能性不相等而致误． • 4．抽样问题要区分有无放回抽样，是否与顺序有关．
• 5．理清基本事件关系，正确使用互斥、对立事件概率公式 • 在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，前提条件是A与B互斥，如果A与B不互斥，则应为 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． • 6．古典概型中的基本事件数是有限的，几何概型中的基本事件数是无限的．
πx 1 0≤cos ≤ 2 2 可得出 x 的取值范围 A，即分析：由－1≤x≤1 在[－1,1]中任取一个数 x，求 x∈A 的概率，这是长度型几何概型．
π 1 π π π π 解析：∵0≤cos x≤ ，－1≤x≤1，∴ ≤ x≤ 或－ 2 2 3 2 2 2 π π 2 2 ≤ x≤－，∴ ≤x≤1 或－1≤x≤－， 2 3 3 3 即
一、解答概率初步题解题要点 1．求解古典概型概率，首先要找准基本事件，判断的标准就是有限性和等可能性．基本事件空间中基本事件的计算方法和事件 A 中包含的基本事件计算方法必须保持一致，计数时可以采取一一列举的方法，也可以采用模型化方法或用计数原理求，并辅以必要的文字说明． 2．注意事件是否互斥；遇到“至多”、“至少”等事件时，注意对立事件概率公式的应用．

高中数学专题讲解古典概型新人教A版必修3

古典概型开篇语用做实验的方法可以得到某个事件的频率，随着实验次数的增加，频率稳定在概率附近，所以，通过大量做实验的方法可以得到事件的概率，但是可操作性太差．本讲我们推出一种重要的概率模型，古典概型，只要满足古典概型的特点，那么事件的概率就可以用公式进行计算了．重难点易错点解析题一：1个盒子中装有4个完全相同的小球，分别标有号码1、2、3、5，有放回地任取两球．(1)求这个试验的基本事件总数；(2)写出“取出的两球上的数字之和是6”这一事件包含的基本事件．题二：从数字1、2、3、4、5中任取2个数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45金题精讲题一：袋中有12个小球，分别为红球，黑球，黄球，绿球．从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？题二：第一小组有足球票3张，篮球票2张，第二小组有足球票2张，篮球票3张，甲从第一小组5张票和乙从第二小组5张票中各任意取出一张，两人都抽到足球票的概率是多少？题三：运行如图所示的程序框图，则输出的数是5的倍数的概率为( )A ．15B ．110C ．12D ．120题四：已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15题五：一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，设该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，设该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．题六题面：已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.设集合P ＝{－1, 1, 2, 3, 4, 5}和Q ＝{－2,－1, 1, 2, 3, 4}，分别从集合P 和Q 中任取一个数作为a 和b 的值，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．古典概型讲义参考答案重难点易错点解析题一：(1) 16；(2) (1,5)，(3,3)和(5,1)题二：B金题精讲题一：P (取得黑球)＝14，P (取得黄球)＝16，P (取得绿球)＝14 题二：625题三：A 题四：B 题五：(1) 13；(2)1316 题六：49。

高中数学人教A版必修3《古典概型综合练习》PPT

古典概型的概率计算公式：
P（A）
A包含的基本事件的个数m
基本事件的总数 n
在使用古典概型的概率公式时，应该注意：要判断所用概率模型是不是古典概型（前提）
基本概念方法探究典型例题课堂训练课堂小结
例2．同时抛掷两枚均匀的硬币，会出现几种结果？列举出来. 出现 “一枚正面向上，一枚反面向上” 的概率是多少？
（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向上点数之和为9的结果（记为事件A）有4种，因此，
P（A）＝ A所包含的基本事件的个数＝ 4 ＝1
基本事件的总数
36 9
基本概念方法探究典型例题课堂训练课堂小结
为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号会出
现什么情况？你能解释其中的原因吗？如果不标上记号，类似于（3，6）和（6，3）的结果将没有区别。这时，所有可能的结果将是：
所去掉大王和小王，在剩下的52张牌中随意抽出一张牌，
试求以下各个事件的概率： A：抽到一张Q
41 52 13
思考题
B：抽到一张“梅花” 13 1
C：抽到一张红桃 K
52 1
4
52
同时抛掷三枚均匀的硬币，会出现几种结果？
出现“一枚正面向上，两枚反面向上”的概率是多少？
3. 一副扑克牌，去掉大王和小王，在剩下的52张牌中随意抽出一张牌，
试求以下各个事件的概率： A：抽到一张Q B：抽到一张“梅花” C：抽到一张红桃 K
基本概念方法探究典型例题课堂训练课堂小结
1. 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从 A 、B 、C 、D 四个
选项中选择一个正确的答案。
树状图
基本概念方法探究典型例题课堂训练课堂小结

高中数学_人教A版2003课标版_必修3_古典概型和几何概型

A. 5
B. 1
C. 3
D. 1
16
4
16
8
易错规避
典型错误无从下手
错因分析
没能合理设正方形的边长并正确求出阴影部分的面积
题型训练
1.一个不透明的袋子中装有大小相同且编号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次从袋中任取一个球并不放回，第一次抽取的号码记为x，第二次抽取的号码记为y，抽取的数字x， y构成一个两位数，则这个两位数是3与4的公倍数的概率是（）
题型呈现
【情形1】求无放回抽取的一个或多个事件产生的概率；
【情形2】求有放回抽取的一个或多个事件产生的概率；
【情形3】在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A产生的概率。
典例示范
【例1】一个袋子中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5的5个球，从中无放回地随机抽取 2次，每次取一个球，则抽到的2个球的编号的奇偶性不同的概率为（）
小结
1.利用列举法、树状图法、列表法解决计数问题；
2.古典概型概率公式，即
P( A)
A包含的基本事件的个数基本事件的总数
3.几何概型概率公式，即
P( A)
构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
A. 1
B. 1
C. 3
32
64
64
D. 3 32
易错规避
典型错误
满足条件的基本事是我们祖先的一项创造，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）

人教版数学必修三练习3.2古典概型

3.2.1 古典概型(一)一、基础过关1．下列是古典概型的是 ( ) A ．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B ．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C ．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D ．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止2．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( ) A.38B.23C.13D.143．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( ) A.14B.13C.38D.124．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( ) A.45B.35C.25D.155．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．6．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________．7．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．求：(1)基本事件总数；(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？ (3)摸出2个黑球的概率是多少？二、能力提升8．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )A.320B.25C.15D.3109．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．10．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．11．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．12．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率．三、探究与拓展13．编号分别为A 1，A 2，…，A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：(1)(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2人得分之和大于50的概率．1.答案 C解析 A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A 不是；B 项中的基本事件是无限的，故B 不是；C 项满足古典概型的有限性和等可能性，故C 是；D 项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D 不是． 2.答案 A解析所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为38.3.答案 C解析所有可能的结果是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，反，反)共8种，出现一枚正面，二枚反面的情况有3种，故概率为P ＝38.4.答案 D解析设所取的数中b >a 为事件A ，如果把选出的数a ，b 写成一数对(a ，b )的形式，则基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)，共15个，事件A 包含的基本事件有(1,2)、(1,3)、(2,3)，共3个，因此所求的概率P (A )＝315＝15.5.答案 15解析从5个数中任意取出两个不同的数，有10种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4)，(2,3)，共有2种，所以取出的两数之和等于5的概率为210＝15.6.答案 25解析设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有：(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共6个． ∴其概率为615＝25.7.解由于4个球的大小相等，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型．(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，所有基本事件构成集合Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个基本事件．(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件． (3)基本事件总数n ＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数m ＝3，故P ＝12.8.答案 D解析设取出的三根木棒能搭成三角形为事件A ，任取三根木棒按长度不同共有1、3、5,1、3、7,1、3、9,1、5、7,1、5、9,1、7、9,3、5、7,3、5、9,3、7、9,5、7、9共10种情况，由于三角形两边之和大于第三边，构成三角形的只有3、5、7,3、7、9,5、7、9三种情况，故所求概率为P (A )＝310.9.答案 15解析用A ，B ，C 表示三名男同学，用a ，b ，c 表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB ，AC ，A a ，Ab ，Ac ，BC ，Ba ，B b ，B c ，Ca ，Cb ，Cc ，ab ，ac ，b c ，故所求的概率为315＝15.10.答案 14解析用列举法知，可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1,2；2,1；2,4；4,2共4种，故所求的概率为416＝14.11.解 (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815. 12.解 (1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．∴P(A)＝412＝1 3.13.解(1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种．所以P(B)＝515＝13.。

人教版高中数学必修三专题讲义几何概型

几何概型开篇语上一讲我们学习了古典概型，同学们还记得古典概型的特点吗？试验的结果是有限个，且等可能．那么你能举出一个试验不符合古典概型吗？重难点易错点解析题一：在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________．题二：已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC < 12V S －ABC 的概率是( ) A ．34B ．78C ．12D ．14金题精讲题一：一海豚在水池中自由游弋．水池为长30m 、宽20m 的长方形．则此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率为________．题二：已知直线y ＝x ＋b 的横截距在区间[－2,3]内，则直线在y 轴上截距b 大于1的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45题三：点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A ．14B ．12C ．π4D ．π题四：设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点P 与A 连结，则弦长超过半径的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．12题五：设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都等于6cm，现用直径等于2cm 的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为________．题六题面：(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长3的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长3的概率是多少？题七：下表为某体育训练队跳高成绩(x)与跳远成绩(y)的分布，成绩分别为1～5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人.(2)现将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x分，跳远成绩为y分．求y＝4的概率及x＋y≥8的概率．几何概型讲义参考答案重难点易错点解析题一：π16 题二：B金题精讲题一：2375题二：A 题三：C 题四：C 题五：59题六：(1) 12；(2) 14；(3) 13 题七：(1) 3.025；(2) 740；15。

人教版高中数学高一-A版必修3练习第三章古典概型与几何概型(强化训练)

古典概型与几何概型(强化训练)[学生用书单独成册] [A 基础达标] 1．(2015·高考广东卷)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：选B ．记3件合格品为a 1，a 2，a 3，2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．故其概率为P (A )＝610＝0.6. 2．在一个游戏中，有两枚大小相同、质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别写着数字1，2，3，5.同时投掷一次，记x 为两个朝下的面上的数字之和，则x 不小于6的概率为( )A.18 B ．14C.38 D ．12解析：选D.因为骰子是均匀的，所以各面朝下的可能性相等，出现的所有可能情况为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)，共16种．记事件A ＝“x 不小于6”，则其包含的可能情况有：(1，5)，(2，5)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，5)，共8种，所以P (A )＝816＝12.故选D. 3．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为( ) A.12 B ．13C.23 D ．14解析：选B ．在区间[0，1]上随机产生一个数a ，即a ∈[0，1]，要使3a －1<0发生，即a <13成立．所以由几何概型知使事件“3a －1<0”发生的概率为P ＝符合条件的区间长度所有结果构成的区间长度＝131＝13. 4．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，点F 为边AD 的中点，AE 和BF 相交于点O ，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△AOB 内部的概率等于( )A.110B ．18 C.14D ．15解析：选D.设AB ＝x ，BC ＝y ，则所求事件涉及相关图形的面积问题．矩形ABCD 的面积为S 矩形ABCD ＝xy .过点O 向AB 作垂线，垂足设为G ，过点E 向AB 作垂线，垂足设为H ，则AD ∥OG ∥EH .在△AEH 中，OG EH ＝AG AH，① 在△ABF 中，OG AF ＝BG AB，② 又AF ＝12AD ，EH ＝BC ，AH ＝HB ，结合①②解得OG ＝25y ，所以△AOB 的面积为S △AOB ＝12AB ×OG ＝15xy . 由几何概型的概率公式得所求的概率为P ＝S △AOB S 矩形ABCD ＝15xy xy ＝15.故选D. 5．对于某次抽奖活动，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，则1张奖券不中特等奖且不中二等奖的概率为( )A ．0.000 1B ．0.000 2C ．0.988D ．0.949解析：选D.由等可能事件的古典概型概率，知P (A )＝11 000＝0.001，P (B )＝101 000＝0.01，P (C )＝501 000＝0.05，则1张奖券不中特等奖且不中二等奖是指A ＋C ，因为A ＋C 与A ＋C 是对立事件，所以P (A ＋C )＝1－P (A ＋C )＝1－P (A )－P (C )＝1－0.001－0.05＝0.949，即1张奖券不中特等奖且不中二等奖的概率为0.949.故选D.6．如图所示是一台微波炉的操作界面．若一个两岁小孩触碰A ，B ，C 三个按钮是等可解析：本题中总的基本事件Ω＝{AA ，BB ，CC ，AB ，AC ，BA ，CA ，BC ，CB }，共9种．记事件E ＝{小孩按两次按钮启动微波炉}，则E ＝{AA ，AB ，BA ，AC ，CA }，共5种．由古典概型的概率计算公式，可得P (E )＝n （E ）n （Ω）＝59. 答案：597．在等腰直角三角形ABC 中，直角顶点为C ，在∠ACB 的内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则满足AM <AC 的概率为________．解析：记“AM <AC ”为事件D ，在∠ACB 内的射线CM 是均匀分布的，所以射线CM 所在任何位置都是等可能的，则所求事件涉及对应角的角度问题．在AB 上取一点C 1，使得AC 1＝AC ，连接CC 1，则∠ACC 1＝67.5°，而∠ACB ＝90°，根据几何概型的概率公式，知满足AM <AC 的概率为P (D )＝构成事件D 的区域角度试验的全部结果所构成的区域角度＝∠ACC 1∠ACB ＝67.5°90°＝34. 答案：348．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________．解析：设2名男生为A ，B ，3名女生为a ，b ，c ，则从5名同学中任选2名的方法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共6种，故所求的概率P ＝1－610＝25. 答案：259．北京市为缓解交通压力，计划在某路段实施“交通限行”，为调查公众对该路段“交通限行”的态度，某机构从经过该路段的人员中随机抽查了80人进行调查，将调查情况进(1)若经过该路段的人员对“交通限行”的赞成率为0.40，求x 的值；(2)在(1)的条件下，若从年龄在[45，60)，[60，75)内的两组赞成“交通限行”的人中再随机选取2人进行进一步的采访，求选中的2人中至少有1人来自[60，75)内的概率．解：(1)经过该路段的人员中对“交通限行”赞成的人数为12＋14＋x ＋3，因为样本中的赞成率为0.40，所以12＋14＋x ＋380＝0.40，解得x ＝3.(2)记“选中的2人中至少有1人来自[60，75)内”为事件M .设年龄在[45，60)内的3位被调查者分别为A ，B ，C ，年龄在[60，75)内的3位被调查者分别为a ，b ，c ，则从这6位被调查者中抽出2人的情况有{a ，b }，{a ，c }，{a ，A }，{a ，B }，{a ，C }，{b ，c }，{b ，A }，{b ，B }，{b ，C }，{c ，A }，{c ，B }，{c ，C }，{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，共15个基本事件，且每个基本事件等可能发生．其中事件M 包括{a ，b }，{a ，c }，{a ，A }，{a ，B }，{a ，C }，{b ，c }，{b ，A }，{b ，B }，{b ，C }，{c ，A }，{c ，B }，{c ，C }，共12个基本事件，所以选中的2人中至少有1人来自[60，75)内的概率P (M )＝1215＝45. 10．在以3为半径的圆内任取一点P 为中点作圆的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．解：设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A .在以半径为3的圆内任取一点P 的结果有无限个，属于几何概型．如图所示，△BCD 是圆内接等边三角形，再作△BCD 的内切圆．则满足“弦长超过圆内接等边三角形边长”的点P 在等边△BCD 的内切圆内．可以计算得：等边△BCD 的边长为3，等边△BCD 的内切圆的半径为32，所以事件A 构成的区域面积是等边△BCD 的内切圆的面积π×⎝⎛⎭⎫322＝34π，全部结果构成的区域面积是π×(3)2＝3π，所以P (A )＝34π3π＝14，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.[B 能力提升] 1．在2016年的欧洲杯足球赛的小组赛中，英国队与法国队进行足球比赛，若两队平局的概率是14，法国队战输的概率是13，则法国队不胜的概率是( ) A.112 B ．712C.34 D ．23解析：选B ．记事件A 为“法国队不胜”，事件B 为“法国队战输”，事件C 为“两队平局”，则事件B ，C 为互斥事件，所以法国队不胜的概率为P (A )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝14＋13＝712. 2．在0～1之间随机选择两个数，这两个数对应的点把0～1之间的线段分成了三条，则这三条线段能构成三角形的概率为( )A.12 B ．14C.18 D ．116解析：选B ．记“三条线段能构成三角形”为事件M ，设三条线段的长度分别为x ，y ，1－x －y ，因为⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，0<1－x －y <1，则⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <－x ＋1.① 在平面上建立如图所示的直角坐标系，则不等式组①所表示的平面区域为三角形AOB 内部的区域G ，每一对(x ，y )对应着G 内的点(x ，y )，由题意可知，每一个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型．而三条线段能构成三角形当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x >x ，1－y >y ，即⎩⎪⎨⎪⎧y >－x ＋12，x <12，y <12，② 不等式组②所表示的平面区域为三角形CDE 内部的区域g . 容易求得区域g 的面积为18，区域G 的面积为12，则P (M )＝构成事件M 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积＝g 的面积G 的面积＝1812＝14，即这三条线段能构成三角形的概率为14.故选B ． 3．一只受伤的候鸟在如图所示(直角梯形ABCD )的草原上飞翔，其中AD ＝3，CD ＝2，BC ＝5，它可能随机落在该草原上任何一处(点)，若落在扇形沼泽区域(图中的阴影部分)CDE 以外候鸟能生还，则该候鸟生还的概率为________．解析：直角梯形ABCD 的面积S 1＝12(3＋5)×2＝8，扇形CDE 的面积S 2＝14π×22＝π，根据几何概型的概率公式，得候鸟生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝8－π8＝1－π8. 答案：1－π84．(选做题)“顶香居”食品有限公司对生产的某种面包按行业标准分成五个不同等级，等级系数X 依次为A ，B ，C ，D ，E .现从该种面包中随机抽取20件样品进行检验，对其等X A B C D E频率 0.1 0.2 0.45 0.15 0.1从等级系数为A ，D ，E 的样品中一次性任取两件(假定每件样品被取出的可能性相同)．(1)求取出的两件样品是等级系数为A 与D 的概率；(2)求取出的两件样品是不同等级的概率．解：(1)A 级所取的样品数为20×0.1＝2，D 级所取的样品数为20×0.15＝3，E 级所取的样品数为20×0.1＝2.将等级系数为A 的2件样品分别记为a 1，a 2；等级系数为D 的3件样品分别记为x 1、x 2，x 3；等级系数为E 的2件样品分别记为y 1，y 2.现从a 1，a 2，x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这7件样品中一次性任取两件，共有21种不同的结果，分别为{a 1，a 2}，{a 1，x 1}，{a 1，x 2}，{a 1，x 3}，{a 1，y 1}，{a 1，y 2}，{a 2，x 1}，{a 2，x 2}，{a 2，x 3}，{a 2，y 1}，{a 2，y 2}，{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}．记事件M 为“取出的两件样品是等级系数为A 与D ”，则事件M 所包含的基本事件有6种，分别为{a 1，x 1}，{a 1，x 2}，{a 1，x 3}，{a 2，x 1}，{a 2，x 2}，{a 2，x 3}．所以事件M 的概率P (M )＝621＝27. (2)法一：记事件N 为“取出的两件样品是等级系数为A 与E ”，则事件N 所包含的基本事件有4种，分别为{a 1，y 1}，{a 1，y 2}，{a 2，y 1}，{a 2，y 2}，所以事件N 的概率P (N )＝421. 记事件Q 为“取出的两件样品是等级系数为D 与E ”，则事件Q 所包含的基本事件有6种，分别为{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，所以事件Q 的概率P (Q )＝621＝27. 因为事件M ，N ，Q 为互斥事件，所以取出的两件样品是不同等级的概率为P (M ∪N ∪Q )＝P (M )＋P (N )＋P (Q )＝1621. 法二：记事件L 为“取出的两件样品是不同等级”，则事件L －为“取出的两件样品是同等级”，所以事件L －所含的基本事件有5种，分别为{a 1，a 2}，{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，所以事件L －的概率P (L －)＝521，所以P (L )＝1－P (L －)＝1－521＝1621，即取出的两件样品是不同等级的概率为1621.。