第三章地质构造分析的力学基础2

在⊿CD′F和⊿CDE中：CF=CE，∵OC=AC ∴OF=AE 故： σα+ σβ=σ1 说明：两个互相⊥的截面 上，正应力之和等于主应 力值，与截面方向无关。 在⊿CD′F和⊿CDE中： D′F=DE ∴ τα=DE=D′F=-τβ 说明：两个互相⊥的截面上，剪应力大小相 等，符号相反，称剪应力互等定律，它们成 对出现。
σ2
在双轴应力状态下， σ2 物体内任一点含σ3的任 意截面上的σ、τ和哪 些因素有关： ⅰ、和两个互相垂 直的主应力的大小和性质有关。 ⅱ、在主应力大小和性质相同情况下， 与α有关： 当α=0时， σ=σ1； τ=0 截面⊥σ1 当α=90O时，σ=σ2； τ=0 截面⊥σ2 当α=45O时，σ=σ1+σ2/2； τ=σ1-σ2/2 τ最大（τmax)
证明： OE=OC+CE=σ1/2+σ1/2· cos2α =σ1/2（1+cos2α）=σα ED=CD· sin2α=σ1/2· sin2α=τα
由此证明，莫尔 圆上的一个点，代表 单元体内一个面，点 的坐标就代表该面上 的σ和τ。
顺口溜 圆上的点，体上的面，二倍 角，同向转。
在莫尔圆上可以看到 下列特点： 1、α=0°时，则 σ=σ1 ；τ=0，正应力 值最大。 2、α=90°时，则 σ=0；τ=0，即主应力 σ1平行截面。 3、α=45°时， σ=σ1/2；τ=σ1/2，剪 应力最大。
第三章
地质构造分析的力学基础
褶
皱
断 层
岩层和岩体，发生变形和相对位移， 形成各式各样的地质构造，这是地壳运动所 引起的地应力作用的结果，所以，要研究地 质构造的发生、发展和组合规律，就必须研 究应力活动的规律与岩层的变形特征。 本章将重点介绍应力分析、变形分析的 基本概念及影响岩石力学性质与岩石变形的 因素。
（一）点应力状态
概念：物体受外力作 用后，其内部各点的应力 分布是不相同的。为了研 究物体内部应力分布规律， 常从点应力状态研究入手。 点应力状态：是指受力物体内一 点，通过该点各个方向截面上的应力 分布情况。
2 σ1 σ22 σ
σf
τ1
O
1 τ2
O点处合应力σf大小 一定。 当截面为1时，正应力及 剪应力为σ1、 τ1。 当截面为2时，正应力的关系： 设mm截面⊥nn截面，mm 截面上法线Nβ与σ1方向线 交角为90o+α，在莫尔圆上 对应mm截面的点是D′， D′点的坐标OF和FD ′分别 等于σβ、 τβ，半径CD ′ 与CD相差180O,所以，DD′ 是莫尔圆的直径。故在nn和 mm截面上，σ和σ1有如下 关系：
（2）在截面不⊥外力方 向，且内力不均布时：（可 取极限，令△F→0） 首先将作用于dF上的附 加内力dP分解为垂直于dF的 dN与平行dF的dT。
作用于dF截面上的应力为： 合应力：σf =dp/dF 正应力：σ=dN/dF 垂直于截面dF上的应力叫正应力。正应力 可以是压应力，也可以是张（拉）应力。 剪应力：τ =dT/dF 平行于截面dF上的应 力叫剪应力（切应力）。
明斯将物体内的一点的二维应力状态分 为八类：自己分析。
⊙
静水拉伸 一般拉伸 纯剪应力
单轴压缩
⊙
单轴拉伸
拉伸压缩 一般压缩
静水压缩
四、三维应力分析：（不讲）
五、应力场、构造应力场、 应力轨迹和应力集中
以上讨论的是受力物体内一点瞬时的应力 状态，而物体内一点到另一点应力是如何变化 的，整个物体和区域应力状态又如何，这是下 面要讨论的主要内容。 1、应力场：任一物体或岩体中的每一点都 存在着一个与该点对应的瞬时应力状态，一系 列瞬时的点应力状态组成的空间称为应力场。 均匀应力场：应力场中各点的应力状态如 果都相同，称为均匀应力场。 非均匀应力场：如果各点的应力状态并不 相同，从一点到另一点的应力状态存在着变化， 则称为非均匀应力场。
2
σ2 P2 P2
在σ1和σ2的共同作用下： σ=σα+σβ=σ1+σ2/2+σ1-σ2/2·cos2α τ=τα+τβ=σ1-σ2/2·sin2α 所以，双轴应力状态下，物体内任一点 含σ3的任意截面上的σ、τ为： σ1+σ2 σ1-σ2 cos2α σ= + 2 2 σ1-σ2 τ= sin2α 2
σ1=p1/Ao σA=p1/Aa Aa=Ao/cosα
在斜截面Aa上的正应力σ和剪应力τ分别为： σ=σA· cosα=（p1/Aa）· cosα =(p1/Ao) ·cos2α=σ1· 2α cos =σ1/2 ·（1+cos2α） （∵1+cos2α=2cos2α）二倍角公式 τ=σA· sinα=（p1/Aa）· sinα =(p1/Ao)· cosα· sinα=σ1· cosα· sinα =σ1/2 ·sin2α （∵sin2α=2cosαsinα）
符号规定
正应力（σ）：可以是挤压力， 也可以是拉张力。地质上习惯以压应 力为正，张应力为负。（注：材料力 学中张应力为正，压应力为负） 剪应力（τ）：其作用是使质点 沿截面发生相对剪切滑移。使物体有 逆时针转动趋势的剪应力为正，使物 体有顺时针转动趋势的剪应力为负。
+
_
+
_
二、点应力状态与应力椭球体
2、图解法：双轴应力莫尔圆 （1）概念： 将上式平方后相加：
_ 2 1＋ 2 ＋ 2 2 1 圆方程 － ＋ ＝
2

2


2

圆心
σ2
半径
σ1+σ2 ；0 2 σ1-σ2 2
（2）应用莫尔圆求σ、τ 设单元体某一截面的法线N α与主应 力σ1的夹角为α，在莫尔圆上从CA起以逆 时针方向取∠ACD=2α，D点坐标OE和DE分 别为σ、τ。
三、二维应力分析
只研究某二向应力的作用，不考虑 第三向应力的作用。当然单、双、三轴 应力状态均可进行二维应力分析。 （一）单轴应力状态的二维应力分析 是讨论：在单轴应力状态下，包含 σ2的任意截面上主应力σ1与σ、τ的 关系。 分析方法：计算法、图解法两种
1、计算法： 设作用于物体的外力为P1，内力为p1， 求在斜截面Aa上的正应力σ和剪应力τ。
（二）双轴应力状态的二维应力分析
是讨论：在双轴应力状态下，物体内任一 点含σ3(σ2)的任意截面上σ1、σ2 (σ3)与 σ、τ的关系。
P1﹥P2
2
P2 P2
σ2 P2
P2
P2
双轴应力状态分析
设物体受到互相垂直不为零的 压力P1，P2的作用，且P1＞P2。可用 单轴应力状态的公式分别求出在P1 和P2单独作用下，截面（MN）上的 正应力σα、σβ和剪应力τα、 τβ，进行代数相加即得出双轴应力 状态下正应力和剪应力的公式：
计算公式：σ=σ1/2·(1+cos2α) τ=σ1/2·sin2α
垂直于内力p1的截面MO的单位面积A0上的应 力σ1为: σ1=p1/Ao 与内力p1斜交的任意截面MN的面积Aa上的合 应力σA为： σA=p1/Aa 设斜截面MN与垂直截面MO的交角为α，此角 亦等于斜截面MN的法线与合应力σA的交角。斜截 面MN的面积Aa与垂直截面MO的面积Ao关系为： Aa=Ao/cosα（ cosα=Ao/Aa）
规定：σ轴自0点向右为正，代表压应 力，向左为负，代表张应力。 τ轴自0点向上为正，代表逆时针扭动， 向下为负，代表顺时针扭动。
τ
–
+
O –
· C
σ1
+σ
莫尔圆的圆 周是无数个点的 轨迹，这些点代 表α取任意值的那 些截面上的应力 值。
（2）应用莫尔圆求σ、τ 莫尔圆上的任意点都代 表一个截面，如nn截面，其 法线Nα与σ1的夹角为α， 从A逆时针方向取一圆心角 2α＝∠ACD。圆上的D点就 代表nn截面，D点的坐标OE 和ED分别等于截面上的正应 力（σ）和剪应力（τ）。 D’代表与D垂直的一个相邻 截面。其法线Nβ与σ1夹角 β＝90°＋α。
第一节 应力分析 第二节 变形分析
第三节 影响岩石力学性质 及岩石变形的因素
第一节 应力分析
一、外力、内力和应力 二、点应力状态与应力椭球体 三、二维应力分析 四、三维应力分析（不讲） 五、应力场、构造应力场、应 力轨迹和应力集中
第一节 应力分析
一、外力、内力和应力
1、外力：对于一个物体来说，另一个 物体施加于这个物体上的力称之为外力。 分两种： 面力：通过接触面传递的力，叫面力。 体力：相隔一定距离相互作用的力，叫 体力。如吸引力、重力等都是体力，体力是 物体的每个质点上都受到的力。
σf O
●
过一点的一切截面的应 力分布情况，称为该点的 应力状态。
怎样描述一点的应力呢？ 受力物体内任意点的应力分布可截取包含 该点在内的小单元体—正六面体来研究。
作用于单元体 的有 三个主应力： σ1、σ2、σ3 单元体内有 三个主平面： S1、S2、S3
主平面、主应 力及主应力轴
主平面：当物体受力处于平衡状态时，通过物 体内部任意点，总可以截取这样一个微小的立 方体，使其三对相互垂直的六个面上只有正应 力作用，而无剪应力作用，该六个面称为主平 面。 主应力:一般情况下，这六个面上三对主应力值 是不等的，分别称为最大主应力（σ1）、中 间主应力（σ2）和最小主应力（σ3） 。 主应力轴：每对主应力作用的方向线称为主应力 轴。
1、计算法：
设物体只受P1作用，MN截面上：
σα=σ1/2· (1+cos2α) τα=σ1/2· sin2α
设物体只受P2作用，MN截面上： σβ=σ2/2· (1+cos2β) =σ2/2· [1+cos（180O+2α）] =σ2/2· (1-cos2α) τβ=σ2/2· sin2β =σ2/2· sin（180O+2α) =-σ2/2· sin2α