【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 8-4椭圆新人教A版

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【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 1-3充分条件与必要条件新人教A版

1-3充分条件与必要条件基础巩固强化1.(2011·大纲全国文，5)下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3[答案] A[解析] ∵a>b＋1⇒a－b>1⇒a－b>0⇒a>b，∴a>b＋1是a>b的充分条件．又∵a>b⇒a－b>0⇒/ a>b＋1，∴a>b＋1不是a>b的必要条件，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．[点评] 如a＝2＝b，满足a>b－1，但a>b不成立；又a＝－3，b＝－2时，a2>b2，但a>b不成立；a>b⇔a3>b3.故B、C、D选项都不对．2．(2012·浙江理)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a ＋1)y＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[分析] 由l1∥l2的充要条件(A1B2－A2B1＝0)可求得a的值，然后进行判断．[答案] A[解析] 若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．3．(2011·湖南湘西州联考)已知条件p：a<0，条件q：a2>a，则綈p是綈q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由a2>a得，a<0或a>1.所以q是p成立的必要不充分条件，其逆否命题綈p也是綈q的必要不充分条件4．(文)(2011·聊城模拟)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] k＝1时，圆心O(0,0)到直线距离d＝12<1，∴直线与圆相交；直线与圆相交时，圆心到直线距离d ＝|k |2<1，∴－2<k <2，故选A.(理)(2011·通化模拟)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的充分不必要条件是( )A ．－3<m <1B ．－4<m <2C ．0<m <1D ．m <1[答案] C[解析] 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2＋y 2－2x －1＝0，得x 2＋(x ＋m )2－2x －1＝0，即2x 2＋(2m －2)x ＋m 2－1＝0，直线与圆有两个不同交点的充要条件为Δ＝(2m －2)2－4×2(m 2－1)>0，解得－3<m <1，只有C 选项符合要求．[点评] 直线与圆有两个不同交点⇔－3<m <1，故其充分不必要条件应是(－3,1)的真子集．5．(文)(2011·太原模拟)“α≠β”是“sin α≠sin β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 命题“若α≠β，则sin α≠sin β”等价于命题“若sin α＝sin β，则α＝β”，这个命题显然不正确，故条件是不充分的；命题“若sin α≠sin β，则α≠β”等价于命题“若α＝β，则sin α＝sin β”，这个命题是真命题，故条件是必要的．故选B.(理)(2011·沈阳二中月考)“θ＝2π3”是“tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 解法1：∵θ＝2π3为方程tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的解，∴θ＝2π3是tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ成立的充分条件；又∵θ＝8π3也是方程tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的解，∴θ＝2π3不是tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的必要条件，故选A.解法2：∵tan θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ，∴sin θcos θ＝－2sin θ， ∴sin θ＝0或cos θ＝－12，∴方程tan θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋θ的解集为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪θ＝k π或θ＝2k π±23π，k ∈Z，显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3 A ，故选A.6．(文)已知数列{a n }，“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝3x ＋2上”是“{a n }为等差数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 点P n (n ，a n )在直线y ＝3x ＋2上，即有a n ＝3n ＋2，则能推出{a n }是等差数列；但反过来，{a n }是等差数列，a n ＝3n ＋2未必成立，所以是充分不必要条件，故选A.(理)(2011·杭州质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 12>0是S 9≥S 3的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 解法1：将它们等价转化为a 1和d 的关系式．S 12>0⇒12a 1＋12×11×d 2>0⇒2a 1＋11d >0；S 9≥S 3⇒9a 1＋9×8×d 2≥3a 1＋3×2×d2⇒2a 1＋11d ≥0.故选A.解法2：S 12>0⇒12a 1＋a 122>0⇒a 1＋a 12>0.S 9≥S 3⇒a 4＋a 5＋…＋a 9≥0⇒3(a 1＋a 12)≥0.故选A.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.[答案] －23[解析] x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔ 1·m ＋(m ＋1)·2＝0，得m ＝－23.8．给出下列命题：①“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充要条件． ②对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |，n ＝1,2，…”是{a n }为递增数列的充分不必要条件． ③已知a ，b 为平面上两个不共线的向量，p ：|a ＋2b |＝|a －2b |；q ：a ⊥b ，则p 是q 的必要不充分条件．④“m >n ”是“(23)m <(23)n”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． [答案] ①②[解析] ①∵m >n >0，∴0<1m <1n ，方程mx 2＋ny 2＝1化为x 21m＋y 21n＝1，故表示焦点在y 轴上的椭圆，反之亦成立．∴①是真命题；②对任意自然数n ，a n ＋1>|a n |≥0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }为递增数列；当取a n ＝n －4时，则{a n }为递增数列，但a n ＋1>|a n |不一定成立，如a 2>|a 1|就不成立．∴②是真命题；③由于|a ＋2b |＝|a －2b |⇔(a ＋2b )2＝(a －2b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，因此p 是q 的充要条件，∴③是假命题；④∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 是减函数，∴当m >n 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫23m <⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，反之，当(23)m <⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 时，有m >n ，因此m >n ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫23m <⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ，故④是假命题．9．(2011·济南三模)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，3－x ≥0，x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x ，y ∈R ，r >0)，若p是q 的充分不必要条件，则r 的取值范围是________．[答案] (0，125][解析] 设A ＝(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0，3－x ≥0，x ＋3y ≤12.B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x ，y ∈R ，r >0}，则集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆的外部，设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ，则d ＝|4×0＋3×0－12|5＝125，∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，则0<r ≤125.10．(2010·浙江温州十校联考)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．[解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1， ∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1<5，或⎩⎪⎨⎪⎧m －1>1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4.能力拓展提升11.(文)(2011·湖南高考)设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝ 2.故是充分不必要条件．[点评] 若N ⊆M ，则应有a 2＝1或a 2＝2，∴a ∈{－1,1，2，－2}，由于{1} {－1,1，2，－2}，∴应选A.(理)(2011·东北三校三模)若集合A ＝{x ||x |≤3，x ∈Z }，B ＝{x |x 2－4x ＋3≤0，x ∈Z }，则( )A ．“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件但不是必要条件B ．“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件但不是充分条件C ．“x ∈A ”是“x ∈B ”的充要条件D ．“x ∈A ”既不是“x ∈B ”的充分条件，也不是“x ∈B ”的必要条件 [答案] B[解析] 由题可知集合A ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合B ＝{1,2,3}，所以“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件但不是充分条件，故选B.12．(文)(2011·杭州二检)已知α，β表示两个不同的平面，m 是一条直线且m ⊂α，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B [解析]⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βm ⊂α⇒α⊥β；但α⊥β时，设α∩β＝l ，当m ∥l 时，m 与β不垂直，故选B.(理)(2011·浙江五校联考)已知不重合的直线a ，b 和不重合的平面α，β，a ⊥α，b ⊥β，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥b b ⊥β，∴a ∥β或a ⊂β，∵a ⊥α，∴α⊥β；反之，由α⊥β也可以推出a ⊥b ，故选C.13．(文)(2011·宁夏三市联考)设x 、y 是两个实数，命题“x 、y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2 D ．xy >1[答案] B[解析] 命题“x 、y 中至少有一个数大于1”等价于“x >1或y >1”．若x ＋y >2，必有x >1或y >1，否则x ＋y ≤2；而当x ＝2，y ＝－1时，2－1＝1<2，所以x >1或y >1不能推出x＋y >2.对于x ＋y ＝2，当x ＝1，且y ＝1时，满足x ＋y ＝2，不能推出x >1或y >1.对于x 2＋y 2>2，当x <－1，y <－1时，满足x 2＋y 2>2，不能推出x >1或y >1.对于xy >1，当x <－1，y <－1时，满足xy >1，不能推出x >1或y >1.故选B.(理)(2012·重庆)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件 [答案] D[解析] ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在[0,1]上为增函数，∴f (x )在[－1,0]上为减函数，∴当3≤x ≤4时，－1≤x －4≤0，∴当x ∈[3,4]时，f (x )是减函数，反之也成立，故选D. [点评] 本题运用数形结合的方法更容易求解．14．(2011·广州二测)已知p ：k >3；q ：方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，则p 是q 的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] 由k >3得3－k <0，k －1>0，方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线，因此p 是q 的充分条件；反过来，由方程x 23－k ＋y 2k －1＝1表示双曲线不能得到k >3，如k ＝0时方程x 23－k ＋y 2k －1＝1也表示双曲线，因此p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件，选A.15．(2011·日照模拟)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a ≠0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． [解析] (1)a ＝1时，p ：x 2－4x ＋3<0，即p ：1<x <3，q ：⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即q ：2<x ≤3，由p ∧q 为真知，2<x <3.(2)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －a )(x －3a )<0，若a <0，则3a <x <a ，不合题意；若a >0，则a <x <3a ，由题意知，(2,3] (a,3a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a >3，∴1<a ≤2.*16.(2011·蚌埠质检)设函数f (x )＝ln x －px ＋1.(1)当p >0时，若对任意的x >0，恒有f (x )≤0，求p 的取值范围；(2)证明：当x >0时，1＋ln xx≤1.[解析] (1)显然函数定义域为(0，＋∞)．且f ′(x )＝1x －p ＝1－px x.当p >0时，令f ′(x )＝0，∴x ＝1p∈(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可以看出：当p >0时，有唯一的极大值点x ＝p.当p >0时在x ＝1p处取得极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＝ln 1p，此极大值也是最大值，要使f (x )≤0恒成立，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1p ＝ln 1p≤0，即p ≥1.∴p 的取值范围为[1，＋∞)． (2)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1.由(1)可知，函数f (x )在x ＝1处取最大值，即f (x )≤f (1)＝0，即ln x ≤x －1. 故当x >0时，1＋ln xx≤1.1．△ABC 中，“cos A ＝2sin B sin C ”是“△ABC 为钝角三角形”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos B cos C ＋sin B sin C ＝2sin B sin C ，∴cos(B －C )＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C >π2，故为钝角三角形，反之显然不成立，故选B.2．(2012·泰安质检)设集合A ＝{x |－a <x <a }，其中a >0，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1或a >2B ．0<a <1或a ≥2C ．1<a ≤2D ．1≤a ≤2[答案] C[解析] 由1∈A 知，－a <1<a ，∴a >1；由2∈A 知，a >2.p ∨q 为真命题，只需p 与q 中至少有一个为真即可，p ∧q 为假命题，只需p 与q 中至少有一个为假即可，因此命题p 和q 只能一真一假，当p 真q 假时，可得1<a ≤2，当p 假q 真时，解集为空集．因此a 的取值范围是1<a ≤2.3．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间(－∞，1]上为减函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1x ≥1，1－x x <1，所以f (x )在区间(－∞，1]上是减函数；若f (x )在区间(－∞，1]上是减函数，结合图象可得a ≥1，所以前者是后者的充分不必要条件．4．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直⇔1×1＋1×(－a )＝0⇔a ＝1. 5．“x ＝π4”是“函数y ＝sin2x 取得最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] x ＝π4时，y ＝sin2x 取最大值，但y ＝sin2x 取最大值时，2x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，不一定有x ＝π4.6．(2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 [答案] C[解析] 本题主要考查全称命题的否定．根据存在性(特称)命题与全称命题的关系求解，①量词要变化，②命题的结论要否定． [点评] 注意綈表示命题的否定，还有“∀”与“∃”的含义，要准确理解． 7．(2012·浙江省温州八校联考)已知f (x )＝2x ＋3(x ∈R )，若|f (x )－1|<a 的必要条件是|x ＋1|0)，则a 、b 之间的关系是( )A ．b ≥a 2B ．b <a 2C ．a ≤b2D ．a >b2[答案] A[解析] 由|f (x )－1|＝|2x ＋2|＝2|x ＋1|<a 得， |x ＋1|<a 2，由题意知a2≤b ，故选A.8．(2011·成都二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x ≥1，x ＋c x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当c ＝－1时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x ≥1x －1x <1，易知函数f (x )在(－∞，1)、(1，＋∞)上分别是增函数，且注意到log 21＝1－1＝0，此时函数f (x )在R 上是增函数；反过来，当函数f (x )在R 上是增函数时，不能得出c ＝－1，如c ＝－2，此时也能满足函数f (x )在R 上是增函数．综上所述，“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件，选A.9．(2012·沈阳市模拟)设a ，b 是平面α内两条不同的直线，l 是平面α外的一条直线，则“l ⊥a ，l ⊥b ”是“l ⊥α”是( )A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件11 [答案] C[解析] l ⊥α⇒l ⊥a ，l ⊥b ；⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b ⇒/ l ⊥α，因为a 与b 可能平行． 10．(2012·内蒙包头市模拟)有下列命题： ①设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件； ②命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的逆否命题是：若b ∈M ，则a ∉M ；③若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；④命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定綈p ：“∀x ∈R ，x 2－x －1≤0”则上述命题中为真命题的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．②④D ．②③④ [答案] C[解析] ∵N M ，∴a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件，∴①为假命题；逆否命题是将原命题的条件和结论都否定后分别作为新命题的结论与条件，a ∈M 否定后a ∉M 为结论，b ∉M 否定后b ∈M 为条件，故②为真命题；p ∧q 为假命题时，p 、q 至少有一个为假命题，不一定“p 、q 都是假命题”，故③为假命题；特称命题的否定为全称命题，>的否定为≤，故④为真命题，∴选C.。

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学1-8

人教
A
版
分析：由 f(x)为一次函数可设出其解析式，利用其单调性及定义域和值域都是[1,2]可列出方程组求系数．

第1章
第八节
高考数学总复习
解析：设 f(x)＝kx＋b(k≠0)，由 f(x)的单调性及条件
k＋b＝1 知， 2k＋b＝2 k＝1 ∴ b＝0 k＋b＝2 或 2k＋b＝1
第八节
高考数学总复习
Δ＝b2－4ac 分类 a>0
Δ>0 a<0
Δ＝0 a>0 a<0 {x|x∈ a>0
Δ<0 a<0
人教
二次不等式解集 ax ＋bx＋c<0
2
{x|x<x {x|x1< x<x2}
1
R且 ∅ x≠－ b } 2a ∅ R
或
A
版
x>x2}
第1章
第八节
高考数学总复习
四、实系数一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实根的符号与系数之间的关系 1．方程有两个不相等的正实数根⇔ Δ＝b2－4ac>0， x ＋x ＝－b>0， 2 1 a c x1·2＝ >0； x a
图象
A
版
第1章
第八节
高考数学总复习
Δ＝b2－4ac 分类 y> 0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c
Δ>0 a>0 x<x1 或 x>x2 x1<x <x2 a<0
Δ＝0 a>0 x≠ a<0 x的
Δ<0 a>0 a<0 x的
人教
b 值不 x∈R 值不－ 2a 存在存在 x≠ x的

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-1

人教
A
版
第8章
第一节
高考数学总复习
7．两直线的位置关系对于直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
k1＝k2 且 b1≠b2 l1∥l2⇔________________
l1⊥l2⇔k1·2＝____. k －1 对于直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2⇔A1B2＝A2B1 且 A2C1≠A1C2(或 B1C2≠B2C1)．
人教
A
版
第8章平面解析几何
高考数学总复习
3．圆锥曲线常通过客观题考查圆锥曲线的基本量(概念、性质)，通过大题考查直线与圆锥曲线的位置关系，求圆锥曲线的方程等． (1)圆锥曲线定义的应用；(2)圆锥曲线的标准方程； (3)圆锥曲线的几何性质，求离心率，求双曲线的渐近线； (4)直线与圆锥曲线相交弦长及位置关系判断；(5)焦点三角形；(6)求参数的值或取值范围；(7)讨论最值．
x ＋x y1＋y2 2 1 P . ， 2 2
第8章第一节
人教
A
版
高考数学总复习
3．直线的倾斜角与斜率
向上 (1)x 轴正向与直线______的方向所成的角叫做直线
的倾斜角， x 轴平行或重合的直线倾斜角为零度角．与因此，倾斜角的取值范围是 0° ≤α<180°.
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第8章平面解析几何
高考数学总复习
4．在知识交汇点处命题是解析几何的显著特征．与平面向量、三角函数、不等式、数列、导数、立体几何等知识结合，考查综合分析与解决问题的能力．如结合三角函数考查夹角、距离，结合二次函数考查最值，结合向量考查平行、垂直、面积，直线与圆锥曲线的位置关系与向量结合求参数的取值范围等，与导数结合考查直线与圆锥曲线位置关系将成为新的热点，有时也与简易逻辑知识结合命题．

《走向高考》2013(春季发行)高三数学(人教A版)总复习11-12章课件12-1几何证明选讲

第十二章选考部分
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
三、不等式选讲(理) 1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式． 2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；
第十二章选考部分
夯实基础稳固根基一、平行线分线段成比例定理 1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． ⇒1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． ⇒2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
第十二章第一节
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第十二章选考部分
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(4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．
(5)借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别．
第十二章选考部分
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
二、坐标系与参数方程 1．坐标系 (1)回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用． (2)通过具体例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况． (3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
第十二章选考部分

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-8

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第八章第八节
高考数学总复习
x y 已知直线 l：＋＝1，M 是直线 l 上的一个动点， 4 3 过点 M 作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，点 P 是线段 AB 的靠近点 A 的一个三等分点，则点 P 的轨迹方程为________．
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第八章第八节
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第八章第八节
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5．常见的轨迹 (1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线． (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线． (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆．
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第八章第八节
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第八章第八节
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方程(x2＋y2－4) x＋y＋1＝0 的曲线形状是(
)
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第八章第八节
高考数学总复习
分析： B＝0⇔A＝0 或 B＝0， A· 但要保证其有意义．本题中限制条件为根号下的被开方数 x＋y＋1≥0.
x2＋y2－4＝0 解析：由题可得 x＋y－1≥0
化简得 ax1＋by1－a2－b2＝0. ∴所求点 P 的轨迹方程为 2ax＋2by－a2－b2＝0.
第八章第八节
高考数学总复习
解法 3：(参数法)(1)当 l1 不平行于 y 轴时，设 l1 的斜 1 率为 k1，依题意 k1≠0，∵l1⊥l2，∴l2 的斜率为－ . k1 l1 的方程为 y－b＝k1(x－a)， 1 l2 的方程为 y－b＝－ (x－a)， k1 b 在①中令 y＝0，得 M 点的横坐标 x0＝a－， k1 ① ②

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 2-8函数与方程、函数模型及其应用新人教A版

2-8函数与方程、函数模型及其应用基础巩固强化1.(2011·北京东城一模)已知函数f(x)＝(12)x－x13，在下列区间中，含有函数f(x)零点的是( )A．(0，13) B．(13，12)C．(12，1) D．(1,2)[答案] B[解析] f(0)＝1>0，f(13)＝(12)13－(13)13>0，f(12)＝(12)12－(12)13<0，∵f(13)·f(12)<0，且函数f(x)的图象为连续曲线，∴函数f(x)在(13，12)内有零点．[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到．2．(文)(2011·杭州模拟)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C[解析] 在同一坐标系内作出函数y＝|x－2|与y＝ln x的图象，∵ln e＝1，e<3，∴由图象可见两函数图象有两个交点，∴函数f(x)有两个零点．(理)(2011·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点[答案] B[解析] 在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝x 和y ＝cos x 的图象，如图，由于x >1时，y ＝x >1，y ＝cos x ≤1，所以两图象只有一个交点，即方程x －cos x ＝0在[0，＋∞)内只有一个根，所以f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内只有一个零点，所以选B.3．(文)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝sin x 的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．(理)(2011·深圳一检)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 3<x 2<x 1[答案] A[解析] 令f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.4．(2012·河南六市模拟)若定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x －1 x >12xx ≤1，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]内的零点的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6 [答案] B[解析] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，又x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，∴f (x )的图象如图所示，在同一坐标系中作出函数g (x )的图象，可见y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝2x (x ≤1)有5个交点，y ＝f (x )(－5≤x ≤5)与y ＝log 3(x －1)(x >1)的图象有3个交点，∴共有8个交点．5．(2012·新疆维吾尔自治区检测)在以下区间中，函数f (x )＝x 3－4x 2－x ＋4不存在零点的区间是( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[3,4][答案] C[解析] ∵f (0)＝4，f (1)＝0，f (3)＝－8<0，f (4)＝0，f (2)＝－6，由于在区间[0,1]，[1,2]，[3,4]内都存在零点，故选C.[点评] 注意，不能由f (2)＝－6<0，f (3)＝－8<0，做出判断f (x )在区间[2,3]内无零点．6.如图，A 、B 、C 、D 是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量之比为6 2 3 4，且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比．现从P 、Q 、R 、S 中选一个中转站，要使中转费用最少，则应选( )A ．P 点B ．Q 点C ．R 点D ．S 点 [答案] B[解析] 设图中每个小正方形的边长均为1，A 、B 、C 、D 四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a (a >0)，设s i (i ＝1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时s i (i ＝1,2,3,4)的大小．如果选在P 点，s 1＝6a ＋2a ×2＋3a ×3＋4a ×4＝35a ，如果选在Q 点，s 2＝6a ×2＋2a ＋3a ×2＋4a ×3＝32a ，如果选在R 处，s 3＝6a ×3＋2a ×2＋3a ＋4a ×2＝33a ，如果选在S 处，s 4＝6a ×4＋2a ×3＋3a ×2＋4a ＝40a ，显然，中转站选在Q 点时，中转费用最少．7．(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] 本题考查二次函数的值域、一元二次不等式的解法等知识．∵f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24的最小值为b －a 24，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝(x ＋a2)2.∴f (x )<c ，即x 2＋ax ＋b <c ，则(x ＋a2)2<c ，∴c >0且－a 2－c <x <－a2＋c ，∴(－a 2＋c )－(－a2－c )＝6，∴2c ＝6，∴c ＝9.8．有一批材料可以建成200m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．[答案] 2500m 2[解析] 设所围场地的长为x ，则宽为200－x 4，其中0<x <200，场地的面积为x ×200－x 4≤14⎝⎛x ＋200－x 22＝2500m 2，等号当且仅当x ＝100时成立． 9．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d (km)(d <200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d 达到n (km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．(经济效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本)，则n 的值为________.[解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y 1、y 2、y 3、y 4，则y 1＝50－0.6d ，y 2＝15－0.3d ，y 3＝40－0.4d ，y 4＝18－0.3d ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 3≥y 1，y 3≥y 2，y 3≥y 4，d <200.⇒50≤d <200，故n ＝50.10．当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小．请根据以下数据：①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12km ；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16km ；③一辆出租车日平均行程为200km.(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱．[解析] (1)设出租车行驶的时间为t 天，所耗费的汽油费为W 元，耗费的液化气费为P 元，由题意可知，W ＝200t 12×2.8＝140t3(t ≥0且t ∈N )， 200t 16×3≤P ≤200t15×3 (t ≥0且t ∈N )，即37.5t ≤P ≤40t .又140t3>40t ，即W >P ，所以使用液化气比使用汽油省钱． (2)①设37.5t ＋5000＝140t3，解得t ≈545.5，又t ≥0，t ∈N ，∴t ＝546. ②设40t ＋5000＝140t3，解得t ＝750. 所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t ∈[546,750]时，省出的钱等于改装设备的钱.能力拓展提升11.(文)(2012·天津理)函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．∵f (x )＝2x＋x 3－2,0<x <1，∴f ′(x )＝2x ln2＋3x 2>0在(0,1)上恒成立，∴f (x )在(0,1)上单调递增．又f (0)＝20＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，f (0)f (1)<0，则f (x )在(0,1)内至少有一个零点，又函数y ＝f (x )在(0,1)上单调递增，则函数f (x )在(0,1)内有且仅有一个零点． [点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数． (理)(2011·舟山月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 x >0－x x ＋1 x ≤0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0；当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，故f (x )共有3个零点．12．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2x D ．y ＝100log 2x ＋100[答案] C[解析] 观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.[点评] 也可以将x ＝1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大．13．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝12x－1＋12C ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －xD ．f (x )＝lgsin x[答案] C[解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点．经验证：f (x )＝|x |x 不存在零点；f (x )＝12x －1＋12不存在零点；f (x )＝e x －e －x e x ＋e－x 的定义域为全体实数，且f (－x )＝e －x －e x e －x ＋e x ＝－f (x )，故此函数为奇函数，且令f (x )＝e x －e －xe x ＋e－x ＝0，得x ＝0，函数f (x )存在零点；f (x )＝lgsin x 不具有奇偶性．14．(文)(2011·山东济宁一模)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定[答案] B [解析]分别作出y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象如图，当0<x 0<a 时，y ＝2x 的图象在y ＝log 12x 图象的下方，所以，f (x 0)<0.(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1 x ≤0f x －1＋1 x >0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝2n －2(n ∈N *) [答案] C[解析] 当x ≤0时，f (x )＝2x －1；当0<x ≤1时，f (x )＝f (x －1)＋1＝2x －1－1＋1＝2x－1；当1<x ≤2时，f (x )＝f (x －1)＋1＝f (x －2)＋2＝2x －2－1＋2＝2x －2＋1；… ∴当x ≤0时，g (x )的零点为x ＝0；当0<x ≤1时，g (x )的零点为x ＝1；当1<x ≤2时，g (x )的零点为x ＝2；…当n －1<x ≤n (n ∈N *)时，g (x )的零点为n ，故a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，…，a n ＝n －1.15．(文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元．每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400kg ，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400kg 不需要保管)．(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1(元)关于x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y (元)最少，并求出这个最小值．[解析] (1)每次购买原材料后，当天用掉的400kg 原材料不需要保管，第二天用掉的400kg 原材料需保管1天，第三天用掉的400kg 原材料需保管2天，第四天用掉的400kg 原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400kg 原材料需保管x －1天．∴每次购买的原材料在x 天内的保管费用为y 1＝400×0.03[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝6x 2－6x .(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x ＝6x 2＋594x ＋600(元)，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y ＝600x＋6x ＋594≥2600x·6x ＋594＝714.当且仅当600x＝6x ，即x ＝10时，取得等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元． (理)(2011·日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入．工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x (元)与年产量t (t)满足函数关系x ＝2000t ，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s 元(以下称s 为赔付价格)．(1)将工厂的年利润w (元)表示为年产量t (t)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s 是多少？[解析] (1)工厂的实际年利润为：w ＝2000t －st (t ≥0)． w ＝2000t －st ＝－s (t －1000s)2＋10002s，当t ＝(1000s)2时，w 取得最大值．所以工厂取得最大年利润的年产量t ＝(1000s)2(t)．(2)设农场净收入为v 元，则v ＝st －0.002t 2.将t ＝(1000s )2代入上式，得v ＝10002s－2×10003s 4.又v ′＝－10002s 2＋8×10003s5＝100028000－s 3s 5，令v ′＝0，得s ＝20. 当0<s <20时，v ′>0；当s >20时，v ′<0.所以当s ＝20时，v 取得最大值．因此李明向张林要求赔付价格s 为20元/吨时，获得最大净收入． *16.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，证明方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)；(3)是否存在a 、b 、c ∈R ，使f (x )同时满足以下条件：①当x ＝－1时，函数f (x )有最小值0；②对任意实数x ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2.若存在，求出a 、b 、c 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋c ＝0，故b ＝a ＋c .因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2. 当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点． (2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 1－f x 22，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f x 2－f x 12，因为g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2<0(f (x 1)≠f (x 2))，所以g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．(3)假设a 、b 、c 存在，由①得－b 2a ＝－1，4ac －b 24a＝0，即b ＝2a ，b 2＝4ac ，所以4a 2＝4ac ，故a ＝c .由②知对任意实数x ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2.令x ＝1，得0≤f (1)－1≤0，所以f (1)－1＝0，即a ＋b ＋c ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，b ＝2a ，a ＝c ，解得a ＝c ＝14b ＝12.当a ＝c ＝14，b ＝12时，f (x )＝14x 2＋12x ＋14＝14(x ＋1)2，其顶点为(－1,0)满足条件①，又f (x )－x ＝14(x －1)2，所以对任意x ∈R ，都有0≤f (x )－x ≤12(x －1)2，满足条件②.所以存在a 、b 、c ∈R ，使f (x )同时满足条件①②.1．(2012·昆明一中检测)已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] B[解析] 解法1：不妨设a 2，∴f (a )＝－lg(a －1)，f (b )＝lg(b －1)，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)，∴(a －1)(b －1)＝1，∴a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2>2a －1b －1＋2＝4.解法2：结合f (x )的图象得－lg(b －1)＝lg(a －1)，得lg(a －1)＋lg(b －1)＝0，所以(a －1)(b －1)＝1，化简得，a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b 1，所以a ＋b ＝(1a ＋1b )(a ＋b )＝2＋b a ＋ab＋2＝4，当a ＝b 时取“＝”，而由已知a ≠b ，故选B.2．(2011·温州十校模拟)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)[答案] B[解析] 当m ≤0时，显然不合题意；当m >0时，f (0)＝1>0，①若对称轴4－m2m ≥0即0<m ≤4，结论显然成立；②若对称轴4－m2m <0，即m >4，只要Δ＝4(4－m )2－8m ＝4(m －8)(m －2)<0即可，即4<m <8.综上0<m <8，选B.3．(2011·江南十校联考)定义域为D 的函数f (x )同时满足条件：①常数a ，b 满足a <b ，区间[a ，b ]⊆D ，②使f (x )在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ](k ∈N *)，那么我们把f (x )叫做[a ，b ]上的“k 级矩形”函数．函数f (x )＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a ，b )共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对[答案] C[分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知，f (x )＝x 3的定义区间为[a ，b ]时，值域为[a ，b ]，可考虑应用f (x )的单调性解决．[解析] ∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上单调递增， ∴f (x )的值域为[a 3，b 3]．又∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上为“1级矩形”函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a b 3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，故满足条件的常数对共有3对．[点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型，它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力，而这恰是学生后续学习必须具备的能力，解决这类问题的关键是先仔细审题，弄清“定义”的含义，把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识．然后加以解决．4．(2012·龙岩质检)若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝(110)x 在[0，103上根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 由题意知f (x )是周期为2的偶函数，故当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，画出f (x )的图象，结合y ＝(110)x 的图象可知，方程f (x )＝(110)x 在x ∈[0，103时有3个根．[点评] 要注意在x ∈(3，103]时方程无解． 5．已知函数f (x )＝a x－x －a (a >0，a ≠1)，那么函数f (x )的零点个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．至少1个[答案] D[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象，a >1时，如图(1)，0<a <1时，如图(2)，故选D.[点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法．6．设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116 D.34[答案] C[解析] 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )>0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1＋a －b ≤0，f 2＝8＋2a －b ≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有：a ＝1,2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8.a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12.a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为11167．(2012·河南新乡、平顶山、许昌调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ，x ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1，x ∈0，＋∞，若方程f (x )－m ＝0有且仅有两个实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．－1<m ≤1B ．－1<m <0或m ＝1C ．－1<m ≤0或m ＝1D ．－1<m ≤1[答案] C[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－xx ∈－∞，0]，x 3－3x ＋1 x ∈0，＋∞，∴当x ≤0时，f (x )＝11－x单调递增，且0<f (x )≤1，又x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，x ≥1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－1，∴当m ＝1时，直线y ＝m 与函数f (x )的图象有两个交点，当－1<m ≤0时，直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有两个交点，故选C.8．(2011·龙岩模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a ≤12)、4m ，不考虑树的粗细，现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD .设此矩形花园的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花园内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )[答案] C[解析] 设BC ＝x ，则DC ＝16－x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，16－x ≥4，得a ≤x ≤12，矩形面积S ＝x (16－x ) (a ≤x ≤12)，显然当a ≤8时，矩形面积最大值u ＝64，为常数，当a >8时，在x ＝a 时，矩形面积取最大值u ＝a (16－a )，在[a,12]上为减函数，故选C.9．(2012·湖南文)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0<f (x )<1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8 [答案] B[解析] 本题考查函数奇偶性，利用导数研究函数单调性，图象交点个数等．由x ∈(0，π)，x ≠π2时，(x －π2)f ′(x )>0知，当x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．当x ∈(π2，π)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当x∈(－π，0)时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，则画出函数y＝f(x)示意图如下：而y＝f(x)－sin x的零点个数，即f(x)＝sin x的根，即y＝sin x与y＝f(x)图象交点个数．由图象知有4个交点．10．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0.①有三个实根②当x<－1时，恰有一实根③当－1<x<0时，恰有一实根④当0<x<1时，恰有一实根⑤当x>1时，恰有一实根正确的有________．[答案] ①②[解析] ∵f(－2)＝－5.99<0，f(－1)＝0.01>0，即f(－2)·f(－1)<0，∴在(－2，－1)内有一个实根，结合图象知，方程在(－∞，－1)上恰有一个实根．所以②正确．又∵f (0)＝0.01>0，结合图象知f (x )＝0在(－1,0)上没有实数根，所以③不正确．又∵f (0.5)＝0.5×(－0.5)×1.5＋0.01＝－0.365<0，f (1)>0.所以f (x )＝0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根．∴f (x )＝0在(0,1)上有两个实根．所以④不正确．由f (1)>0结合图象知，f (x )＝0在(1，＋∞)上没有实根，∴⑤不正确，由此可知①正确．11．学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10 7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)，能最快完成全部任务？[分析] 弄清题意，建立完成全部任务的时间与制课桌或椅子的人数的函数关系，转化为求函数的最值问题．[解析] 设x 名工人制课桌，(30－x )名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，所以制作100张课桌所需时间为P (x )＝1007x制作200把椅子所需时间为Q (x )＝2001030－x ＝2030－x，完成全部任务所需的时间为P (x )与Q (x )的最大值F (x )．为求得F (x )的最小值，需满足P (x )＝Q (x )，即1007x ＝2030－x，解得x ＝12.5，考虑到x 表示人数，所以x ∈N *.∵P (12)>P (13)，Q (12)<Q (13)，故考查P (12)与Q (13)．P (12)＝10084Q (13)＝2017≈1.18. 即F (12)>F (13)．所以用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．。

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 8-1直线的方程与两条直线的位置关系新人教A版

8-1直线的方程与两条直线的位置关系基础巩固强化1.(文)(2012²乌鲁木齐地区质检)在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )A.π6 B.π4 C.π3D.3π4[答案] B[解析] 圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)所在直线斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是π4.(理)(2012²内蒙包头模拟)曲线y ＝x 2＋bx ＋c 在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 到该曲线对称轴距离的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0，12]C ．[0，|b |2]D ．[0，|b －1|2][答案] B[解析] y ′|x ＝x 0＝2x 0＋b ，设切线的倾斜角为α，则0≤tan α≤1，即0≤2x 0＋b ≤1，∴点P (x 0，f (x 0))到对称轴x ＝－b 2的距离d ＝|x 0＋b 2|＝12|2x 0＋b |∈[0，12]，故选B.2．(文)(2011²辽宁沈阳二中检测)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线平行的充要条件是2a ＝a 2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a ＝±2.故a＝2是直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行的充分不必要条件．[点评] 如果适合p 的集合是A ，适合q 的集合是B ，若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件，若B 是A 的真子集，则p 是q 的必要不充分条件．(理)(2011²东营模拟)已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] l 1∥l 2时，an －bm ＝0；an －bm ＝0时⇒/ l 1∥l 2. 故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件．3．(2011²烟台模拟)点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)[答案] B[解析] x ＝2－4＝－2，y ＝2－(－3)＝5，故选B.4．(文)(2011²梅州模拟)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( )A ．5B ．4C ．2D ．1 [答案] C[解析] 由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0，∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab |＝|a ＋1a |＝|a |＋1|a |≥2.(当且仅当a ＝±1时取“＝”)．(理)已知a 、b 为正数，且直线(a ＋1)x ＋2y －1＝0与直线3x ＋(b －2)y ＋2＝0互相垂直，则3a ＋2b的最小值为( )A ．12 B.136C ．1D ．25[答案] D[解析] ∵两直线互相垂直，∴3(a ＋1)＋2(b －2)＝0， ∴3a ＋2b ＝1， ∵a 、b >0，∴3a ＋2b ＝(3a ＋2b )(3a ＋2b )＝13＋6b a＋6ab≥13＋26b a ²6a b＝25.等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧6b a ＝6a b3a ＋2b ＝1，∴a ＝b ＝15，故3a ＋2b的最小值为25.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )[答案] A[解析] 直线l 1在x 轴上的截距与直线l 2在y 轴上的截距互为相反数，直线l 1在y 轴上的截距与l 2在x 轴上的截距互为相反数，故选A.[点评] 可用斜率关系判断，也可取特值检验．6．(文)(2011²安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点P (2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] C[解析] 设过点P (2,1)的直线方程为x a ＋y b＝1，则2a ＋1b＝1，即2b ＋a ＝ab ，又S ＝12|a ||b |＝4，即|ab |＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋a ＝ab ，|ab |＝8，解得a 、b 有三组解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，⎩⎨⎧a ＝－4－42，b ＝－2＋22，或⎩⎨⎧a ＝42－4，b ＝－2－2 2.所以所求直线共有3条，故选C.(理)(2012²山东模拟)若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是( )A.12<m <1 B ．－1<m ≤12C ．－12≤m <1D.12≤m ≤1 [答案] D[解析] 若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则直线过二、三、四象限，则斜率和截距均小于等于0.直线变形为y ＝(m 2－1)x －2m ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1≤0，－2m ＋1≤0，⇒12≤m ≤1，故选D.[点评] (1)令x ＝0得y ＝－2m ＋1，令y ＝0得，x ＝2m －1m 2－1，则⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1<0，2m －1m 2－1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋1＝0，m 2－1≤0，也可获解．(2)取特值m ＝0,1，检验亦可获解．7．(2011²宁夏银川一中月考)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________．[答案] －2或1[解析] 令x ＝0得y ＝2＋a ，令y ＝0得x ＝a ＋2a，由条件知2＋a ＝a ＋2a，∴a ＝－2或1. 8．(文)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤[解析] 求得两平行线间的距离为2，则m 与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m 的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.(理)(2012²佛山市高三检测)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案] 12[解析] 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，由ab＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2(b －12)2＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.9．(2011²大连模拟)已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________．[答案] 3[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入直线方程解得m ＝3.[点评] 还可利用AB ⊥l 求解，或AB →为l 的法向量，则AB →∥a ，a ＝(1,2)，或先求AB 中点纵坐标y 0，利用AB 的中点在直线上求出其横坐标x 0再求m .10．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，m ＝1，∴当m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (1，－1)．(2)l 1∥l 2⇔m 2＝8m ≠n－1，得：m ＝4，n ≠－2，或m ＝－4，n ≠2. (3)l 1⊥l 2⇔m ³2＋8³m ＝0， ∴m ＝0，则l 1：8y ＋n ＝0.又l 1在y 轴上的截距为－1，则n ＝8. 综上知m ＝0，n ＝8.[点评] 讨论l 1∥l 2时要排除两直线重合的情况．处理l 1⊥l 2时，利用l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0可避免对斜率存在是否的讨论.能力拓展提升11.(文)(2012²辽宁文)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0[答案] C[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0化为标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝4， ∵直线平分圆，∴直线过圆心．因此，可代入验证．经验证得C 正确．[点评] 关键是明确圆是轴对称图形，对称轴过圆心．(理)(2011²西安八校联考)已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且直线l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[答案] B[解析] 依题意知，直线l 的斜率为k ＝tan 3π4＝－1，则直线l 1的斜率为1，于是有2＋13－a ＝1，∴a ＝0，又直线l 2与l 1平行，∴1＝－2b，∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2，选B.12．(文)若三直线l ：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )A.32 B ．－2 C.32和－1 D.32、－1和－12[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x ＋3y ＋8＝0，得交点P (－1，－2)，若P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12.此时三条直线交于一点；k ＝32时，直线l 1与l 3平行． k ＝－1时，直线l 2与l 3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k ≠－12，32和－1.(理)(2011²北京文，8)已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] A[解析] 因为|AB |＝22，要使三角形面积是2，则C 点到直线AB 的距离为 2.直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，设C 点所在的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，所以d ＝|m ＋2|2＝2，解得m ＝0或m ＝－4，所以C 点的轨迹为x ＋y ＝0，或x ＋y －4＝0.又因为点C 在函数y ＝x 2的图象上，x ＋y ＝0，和x ＋y －4＝0与y ＝x 2分别有两个交点．故这样的点共有4个．[点评] 可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判定．13．已知指数函数y ＝2x的图象与y 轴交于点A ，对数函数y ＝lg x 的图象与x 轴交于点B ，点P 在直线AB 上移动，点M (0，－2)，则|MP |的最小值为________．[答案]322[解析] A (0,1)，B (1,0)，∴直线AB ：x ＋y －1＝0，又M (0，－2)，当|MP |取最小值时，MP ⊥AB ，∴|MP |的最小值为M 到直线AB 的距离d ＝|0－2－1|2＝322.14．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则l 1与l 2的距离为________．[答案] 3或5[解析] 由(k －3)³(－2)－2(k －3)³(4－k )＝0，且－2³1－(4－k )³3≠0，∴k ＝3或5.当k ＝3时，l 1：y ＋1＝0，l 2：－2y ＋3＝0，此时l 1与l 2距离为：52；当k ＝5时，l 1：2x －y ＋1＝0，l 2：4x －2y ＋3＝0，此时l 1与l 2的距离为|3－2|42＋－22＝510. 15．(文)已知两条直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？[解析] (1)当m ＝－5时，显然l 1与l 2相交；当m ≠－5时，两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m 4，k 2＝－25＋m，它们在y 轴上的截距分别为 b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m .由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m ，即m ≠－7，且m ≠－1.∴当m ≠－7，且m ≠－1时，l 1与l 2相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，得m ＝－7.∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行．(3)由k 1k 2＝－1，得－3＋m 4²(－25＋m)＝－1，m ＝－133.∴当m ＝－133时，l 1与l 2垂直．(理)(2011²青岛模拟)已知三点A (5，－1)、B (1,1)、C (2，m )，分别求满足下列条件的m 值．(1)三点构成直角三角形ABC ； (2)A 、B 、C 三点共线．[解析] (1)若角A 为直角，则AC ⊥AB ， ∴k AC ²k AB ＝－1，即m ＋12－5²1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若角B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ²k BC ＝－1，即－12²m －12－1＝－1，得m ＝3；若角C 为直角，则AC ⊥BC ， ∴k AC ²k BC ＝－1，即m ＋1－3²m －12－1＝－1，得m ＝±2，综上可知，m ＝－7，或m ＝3，或m ＝±2. (2)方法一：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－1＋m 3，由k AB ＝k AC ，得－12＝－1＋m 3，即m ＝12.∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法二：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴AB →＝(－4,2)，AC →＝(－3，m ＋1)，由AB →＝λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝－3λ2＝λm ＋1，得λ＝43，m ＝12，∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法三：∵A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )， ∴|AB |＝25，|BC |＝m 2－2m ＋2， |AC |＝m 2＋2m ＋10.由三点横坐标可知，|BC |＋|AC |＝|AB |，即m 2－2m ＋2＋m 2＋2m ＋10＝25，m 2＋2m ＋10＝－m 2－2m ＋2＋25，两边平方，得5²m 2－2m ＋2＝3－m ，两边平方，得4m 2－4m ＋1＝0，∴m ＝12，经验证m ＝12符合题意，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法四：点A (5，－1)与B (1,1)确定的直线方程为x ＋2y －3＝0，将C (2，m )的坐标代入得m ＝12，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．16．(文)(2011²西安模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程． (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a ≠－1)．由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0. ∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]．(理)过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．[解析] 当k 不存在时B (3,0)，C (3,6)．此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |，∴直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为：y ＋1＝k (x －3)，令y ＝0得B (3＋1k，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y ＋1＝k x －3得C 点横坐标x c ＝1＋3kk －2.若|BC |＝2|AB |则|x B －x C |＝2|x A －x B |， ∴|1＋3k k －2－1k －3|＝2|1k |，∴1＋3k k －2－1k －3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k，解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.1．函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°[答案] D[分析] 由函数的对称轴方程可以得到a 、b 的关系式，进而可求得直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ，再由k ＝tan α可求倾斜角α.[解析] 令f (x )＝a sin x －b cos x ， ∵f (x )的一条对称轴为x ＝π4， ∴f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴a b ＝－1. ∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.2．若三直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12＝0相交于一点，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C ．2D.12[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P (－1，－2)，P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，∴k ＝－12.3．(2011²江西)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－33，33) B ．(－33，0)∪(0，33) C ．[－33，33] D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞) [答案] B [解析]曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，图形为圆心为(1,0)，半径为1的圆；曲线C 2：y ＝0或者y －mx －m ＝0，直线y －mx －m ＝0恒过定点(－1,0)，即曲线C 2图象为x 轴与恒过定点(－1,0)的两条直线．作图分析：k 1＝tan30°＝33，k 2＝－tan30°＝－33，又直线l 1(或直线l 2)、x 轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m ＝k ∈(－33，0)∪(0，33)． 4．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直[解析] 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，由正弦定理得：k 1²k 2＝－sin A a ²bsin B＝－1，所以两条直线垂直，故选C.5．(2011²安徽省高三联考)点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] ∵点P 到点A 和定直线x ＝－1距离相等，易知P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x .设P (t 2,2t )，则22＝|2t －t 2|2，解之得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，∴P 点有三个，故选C.6．(2011²深圳二月模拟)设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为________．[答案] 2x －y ＋8＝0[解析] 由条件知l 1⊥l 3，∴k l 1＝2，∴tan α＝2，又l 2的倾斜角为2α，tan2α＝－43，∴l 2：y ＝－43x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，得P (－3,2)，又P 在l 1上，∴l 1：2x －y ＋8＝0. 7．曲线y ＝xx ＋2在(－1，－1)处的切线为l ，直线kx ＋2y ＋10＝0与2x －3y ＋5＝0与x 轴、y 轴围成的四边形有外接圆，则外接圆的圆心到l 的距离为________．[答案]19530[解析] 由y ＝xx ＋2得，y ′|x ＝－1＝2x ＋22|x ＝－1＝2，∴切线l ：y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0，又由条件知，直线kx ＋2y ＋10＝0与2x －3y ＋5＝0垂直，∴2k －6＝0，∴k ＝3. 在3x ＋2y ＋10＝0中含y ＝0得x ＝－103，∴A (－103，0)，在2x －3y ＋5＝0中令x ＝0得y ＝53，∴B (0，53)，AB 的中点C (－53，56)为圆心，故所求距离为19530. 8．(2011²苏北四市二调)已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R )，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝____________.[答案] 13[解析] 两条直线垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0，对于本题而言就是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.。

2013版高考数学一轮复习精品学案：8.4椭圆

2013版高考数学一轮复习精品学案：第八章解析几何8.4 椭圆【高考新动向】1．考纲点击（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；（2）了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用。

（3）理解数形结合的思想 2．热点提示（1）椭圆的定义、标准方程、几何性质是高考的重点，而直线与椭圆的位置关系既是高考的重点也是高考的热点；（2）椭圆的定义、标准方程、几何性质常常独立考查；直线与椭圆的位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题；（3）选择题、填空题、解答题三种题型都有可能出现.【考纲全景透析】1．对椭圆定义的理解：平面内动点P 到两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数2a,当2a>|1F 2F |时，动点P 的轨迹是椭圆；当2a=|1F 2F |时，轨迹为线段1F 2F ；当2a<|1F 2F |时，轨迹不存在。

2．椭圆的标准方程和几何性质注：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度的关系（离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆）。

3．点与椭圆的位置关系2200002222000022220000221(,).1(,).1(,).x y x y a b x y x y a b x y x y a b+=⇔+>⇔+<⇔点在椭圆上点在椭圆外点在椭圆内【热点难点全析】（一）椭圆的定义以及标准方程 ※相关链接※ 1.椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.椭圆的标准方程（1）当已知椭圆的焦点在x 轴上时，其标准方程为22x a +22y b =1(a>b>0)；当已知椭圆的焦点在y 轴上时，其标准方程为y a 22+y b22=1(a>b>0)；（2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为2x m +2y n=1(m>0,n>0,m ≠n)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2+By 2=1(A>0,B>0,A ≠B)这种形式,在解题时更简便.求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。

2013届高考数学一轮复习_8-4椭圆课件_理_新人教A版

2 2 x y 4.方程：Ax2＋By2＝1 或 A ＋ B ＝1(A>0，B>0，A≠
B)也表示椭圆．
(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． x2 y2 (2)设方程：根据上述判断设方程 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)或 a b x2 y2 ＋＝1(a>b>0)． b2 a2 (3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组． (4)得椭圆方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
y2 x2 在椭圆方程 2＋ 2＝1中，令y＝± c， a b b2 b2 2 10 2 得|x|＝ a ，依题意可知 a ＝ 5，∴b ＝ . 3 3 x2 3y2 y2 3x2 ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 5 10 5 10
3．椭圆的几何性质标准方程范围 x2 y2 ＋＝1， a2 b2 (a>b>0) |x|≤a，，||y y||≤ ≤b b y2 x2 ＋＝1， a2 b2 (a>b>0) ||x x||≤ ≤b b，，||y y||≤ ≤a a
标准方程对称性顶点离心率
x2 y2 ＋＝1， a2 b2 (a>b>0)
第八章平面解析几何
第4课时
椭圆
考纲下载 1．了解椭圆的实际背景． 2．掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质．请注意！椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，主要考查椭圆的定义、性质、方程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题．
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 1. 椭圆的定义在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}， |F1F2|＝2c，其中 a>0， c>0，且 a，c 为常数；

【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 1-2命题、量词、逻辑联结词新人教A版

1-2命题、量词、逻辑联结词基础巩固强化1.(2013·江西吉安一中上学期期中考试)下列命题中，不是真命题的为( )A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题[答案] D[解析] A中原命题为真命题，故逆否命题为真；B中逆命题为“正方形的四条边相等”，它是真命题；C中否命题为“若x2≠9，则x≠3”显然为真命题；D中逆命题为“若两个角相等，则这两个角互为对顶角”显然为假，故选D.2．(文)(2011·聊城模拟)下列命题中为假命题的是( )A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2[答案] B[解析] 由指数函数值域知2x－1>0恒成立；当x＝1时，lg x＝0<1；∵直线y＝2与y＝tan x的图象有交点，∴方程tan x＝2有解；∴A、C、D都是真命题，当x＝1∈N*时，(x－1)2>0不成立，∴B为假命题．(理)(2011·山东实验中学模拟)下列命题中是真命题的为( )A．∀x∈R，x2<x＋1B．∀x∈R，x2≥x＋1C．∃x∈R，∀y∈R，xy2＝y2D．∀x∈R，∃y∈R，x>y2[答案] C[解析] 令f(x)＝x2－x－1，∵Δ>0，∴f(x)的图象与x轴有交点，∴f(x)的值有正有负，故A、B假；令x＝－1，则对任意y∈R都有x<y2，故D假．当x＝1时，∀y∈R，xy2＝y2，故C真．3．(2011·西安二检)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0[答案] C[解析] 依题意得，命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x 2＋1>0”，选C.4．(2011·辽宁铁岭六校联合考试)与命题“若p ，则q ”的否命题真假相同的命题是( )A ．若q ，则pB ．若綈p ，则qC ．若綈q ，则pD ．若綈p ，则綈q[答案] A[解析] 原命题的否命题与原命题的逆命题是等价命题，真假相同，故选A. 5．(文)(2012·安阳模拟)已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2[答案] A[解析] 由p ∨q 为假命题可知p 和q 都是假命题，即非p 是真命题，所以m >－1；再由q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立为假命题知m ≥2或m ≤－2，∴m ≥2，故选A.(理)(2011·广东省东莞市一模)已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x<3x；命题q ：∀x ∈(0，π2)，cos x <1，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧q D ．p ∧(綈q )[答案] C[解析] 在x ∈(－∞，0)上，y ＝2x的图象恒在y ＝3x的上方，所以不存在这样的x 使得2x<3x成立，命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以(綈p )∧q 为真命题，故选C.6．(文)(2011·山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是( ) A ．若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若a 1bC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列 D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43成立[答案] D[解析] 对于A ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0也成立，此时不一定是a ＝0或b ＝0；对于B ，当a ＝0，b ＝1时，该命题就不成立；对于C ，b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的必要不充分条件；对于D ，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，且43∈[－2，2]，所以该命题正确．(理)(2012·合肥第一次质检)下列命题： ①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题为( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④[答案] A[解析] 由x 2＋2x >4x －3推得x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log 2x ＋log x 2≥2成立需要log 2x >0，∴x >1，故②正确；由a >b >0得0<1a <1b ，又c <0，可得c a >cb，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p 是真命题，命题q 是真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故④错误．所以选A.7．(文)(2011·济南模拟)命题p ：∃x ∈R ，lg x ＝0，q ：∀x ∈R,2x>0，命题(綈p )∧q 的真假为________(填“真”或“假”)．[答案] 假[解析] ∵x ＝1时，lg x ＝0，∴p 真；由指数函数值域知2x>0恒成立，∴q 真； ∴(綈p )∧q 为假．(理)(2011·南京一调)设p ：函数f (x )＝2|x －a |在区间(4，＋∞)上单调递增；q ：log a 2<1.如果“非p ”是真命题，“p 或q ”也是真命题，那么实数a 的取值范围是________．[答案] (4，＋∞)[解析] ∵“非p ”为真命题，∴p 为假命题，又p 或q 为真命题，∴q 为真命题．若a >1，由log a 2<1知a >2，又f (x )＝2|x －a |在(a ，＋∞)上单调递增，且p 为假命题，∴a >4，因此得，a >4；若0<a <1，则p 、q 都是真命题，不合题意．综上，a 的取值范围是(4，＋∞)．8．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是____________． [答案] 对∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0.9．(2012·洛阳部分重点中学教学检测)给出下列命题： ①y ＝1是幂函数；②函数f (x )＝2x－log 2x 的零点有1个；③x －1(x －2)≥0的解集为[2，＋∞)； ④“x <1”是“x <2”的充分不必要条件； ⑤函数y ＝x 3是在O (0,0)处的切线是x 轴．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案] ④⑤[解析] y ＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y ＝2x与y ＝log 2x 的图象，由两图象没有交点知函数f (x )＝2x－log 2x 没有零点，②错误；x ＝1是不等式x －1(x －2)≥0的解，③错误；x <1⇒x <2，而x <2⇒/ x <1，④正确；y ′＝(x 3)′＝3x 2，∴切线的斜率k ＝0，过原点的切线方程为y ＝0，⑤正确．10．给出下列三个结论：①命题“若a >b ，则a 2>b 2”的逆命题为假命题；②已知直线l 1：ax ＋2y －1＝0，l 2：x ＋by ＋2＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－2； ③对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，f ′(x )>g ′(x )．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)． [答案] ①③[解析] ①显然正确．②中l 1⊥l 2⇔a ＋2b ＝0，但a ＋2b ＝0与a b＝－2不等价，∵当a ＝b ＝0时，a b＝－2不成立，故②错；③由条件知，f (x )为奇函数，在x >0时单调增，故x <0时单调增，从而x <0时，f ′(x )>0；g (x )为偶函数，x >0时单调增，从而x <0时单调减，∴x <0时，g ′(x )<0，∴x <0时，f ′(x )>g ′(x )，故③正确.能力拓展提升11.(2011·北京模拟)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1 D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x>1＋x [答案] D[解析] ∵对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，∴A 假；当x ＝π4时，sin x ＝cos x ，∴B 假；对于函数y ＝x 2＋x ＋1，∵Δ＝－3<0，∴y >0恒成立，∴C 假；对于函数y ＝e x－x －1，∵y ′＝e x－1，当x >0时，y ′>0，∴y ＝e x－x －1在(0，＋∞)上为增函数，∴y >e 0－0－1＝0，即e x >1＋x 恒成立，∴D 真．12．(文)(2011·大连质检)下列命题中真命题的个数是( ) ①∀x ∈R ，x 4>x 2；②若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 当x ＝0时，x 4>x 2不成立，∴①假；p ∧q 是假命题，则p 、q 至少有一个为假，∴②假；③显然为真，故选B.(理)(2011·汕头模拟)下列说法中，正确的是( ) A ．命题“若am 2<bm 2，则a 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0” C ．命题“p ∨q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件 [答案] B[解析] 命题“若am 2<bm 2，则a 1⇒/ x >2，但x >2⇒x >1，∴x >1是x >2的必要不充分条件，故D 假，B 显然为真．13．(2011·宿州模拟)已知命题p ：∃x ∈[0，π2]，cos2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[－98，－1]B ．[－98，2]C ．[－1,2]D ．[－98，＋∞)[答案] C[解析] 依题意：cos2x ＋cos x －m ＝0在x ∈[0，π2]上有解，即cos2x ＋cos x ＝m 在x∈[0，π2]上有解．令f (x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98，由于x ∈[0，π2]，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值范围是[－1,2]．14．(文)(2011·长沙调研)下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)[答案] ①③[解析] ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确．所以正确结论的序号为①③.(理)(2011·常德模拟)已知命题“如果|a |≤1，那么关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有________个．[答案] 2[解析] 由|a |≤1，得－1≤a ≤1，且Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4) ＝5(a ＋25)2－45－12≤5(1＋25)2－645<0，∴原命题为真，逆否命题亦为真．反之，如a ＝－2时，所给不等式的解集即为空集，但a ∉[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假．15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点． (1)求证：“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解析] (1)设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)、B (3，－6)． ∴OA →·OB →＝3.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k x －3，得，ky 2－2y －6k ＝0，则y 1y 2＝－6.又∵x 1＝12y 21，x 2＝12y 22，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝14(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3. 综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题．(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2＝2x 于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝3，那么直线过点T (3,0)．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，此时OA →·OB →＝3，直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．16．(文)已知命题p ：在x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围．[解析] ∵x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立， ∴a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈[1,2]上恒成立，令g (x )＝2x－x ，则g (x )在[1,2]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝1， ∴a >1.即若命题p 真，则a >1.又∵函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数，∴u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )＝x 2－2ax ＋3a >0在[1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1，u (1)>0，∴－1<a ≤1，即若命题q 真，则－1<a ≤1. 若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.(理)探求关于x 的方程x 2＋2mx ＋12－m ＝0两根都大于2的充要条件．[解析] 设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1>2，x 2>2，而⎩⎪⎨⎪⎧x 1>2，x 2>2，⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1－2x 2－2>0，x 1－2＋x 2－2>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m 2－412－m ≥0，12－m －2×－2m ＋4>0，－2m －4>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－4，m >－163，m <－2，⇔－163<m ≤－4.∴方程两根都大于2的充要条件为－163<m ≤－4.1．(2011·福州月考)下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0” D ．命题“若x ＝y ，则cos x ＝cos y ”的逆否命题为真命题 [答案] D[解析] A 中，否命题应为若x 2≠1，则x ≠1；B 中，x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0，反之则不成立，应为充分不必要条件；C 中，命题的否定应为∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.2．(2011·浙江省台州市调研)给出下列命题，其中错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．“x 2－3x －4＝0”是“x ＝4”的必要不充分条件 C ．若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题D ．命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0 [答案] C[解析] 选项A 根据逆否命题的写法，是正确的；选项B“x 2－3x －4＝0”不能推出“x ＝4”，但是“x ＝4”能推出“x 2－3x －4＝0”所以B 正确；选项C 中若p ∧q 是假命题，只需要其中一个是假命题即可，故选项C 错误．根据特称命题与全称命题的否定，选项D 正确．3．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x>2B ．∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0)C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数 D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数[答案] D[解析] ∵x ＋1x≥2等号在x ＝1时成立，∴A 真；将x ＝1，y ＝0代入直线方程ax ＋y＝a 中成立，∴B 真；令m －1＝1得m ＝2，此时f (x )＝x －1是幂函数，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 为偶函数，故D 假．4．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0.”若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}C ．{a |a ≥1}D ．{a |－2≤a ≤1}[答案] A[解析] “p ∧q ”为真，即p 、q 同为真．对于命题p ，∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0恒成立，只需12－a ≥0成立，即a ≤1；对于命题q ，∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，只需保证判别式Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2或a ≥1，∴选A.5．(2011·南昌模拟)给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．②③ [答案] B[解析] 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．6．已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切． (1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (其中k ，m ∈Z )与(1)中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线x 24－y 212＝1交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得向量DF →＋BE →＝0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．[解析] (1)圆M ：(x －2)2＋y 2＝64的圆心M 的坐标为(2,0)，半径R ＝8. ∵|AM |＝4<R ，∴点A (－2,0)在圆M 内．设动圆C 的半径为r ，圆心为C (x ，y )，依题意得r ＝|CA |，且|CM |＝R －r ，即|CM |＋|CA |＝8>|AM |.∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以A 、M 两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝12. ∴所求动圆的圆心C 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 216＋y 212＝1，消去y 化简整理得：(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－48＝0，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2Δ1＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－48)>0①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y212＝1，消去y 化简整理得：(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0.设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2km 3－k 2，Δ2＝(－2km )2＋4(3－k 2)(m 2＋12)>0②∵DF →＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，BE →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)，且DF →＋BE →＝0，∴(x 4－x 2)＋(x 3－x 1)＝0，即x 1＋x 2＝x 3＋x 4，∴－8km 3＋4k 2＝2km3－k 2，∴km ＝0或－43＋4k 2＝13－k 2.解得k ＝0或m ＝0.当k ＝0时，由①、②得－23<m <23， ∵m ∈Z ，∴m 的值为－3，－2，－1,0,1,2,3；当m ＝0时，由①、②得－3<k <3，∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1.∴满足条件的直线共有9条．。

《2016届走向高考》高三数学一轮(人教A版)课件第8章第4节椭圆

y 轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )
A．16
B．13
C．
3 6
• [答案] D
D．
3 3
[解析] 设 PF1 的中点为 M，连接 PF2，由于 O 为 F1F2 的中点，则 OM 为△PF1F2 的中位线，所以 OM∥PF2，
所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°. 由于∠PF1F2＝30°，所以 PF1＝2PF2，由勾股定理得 F1F2＝ PF21－PF22＝ 3PF2，由椭圆定义得 2a＝PF1＋PF2＝3PF2⇒a＝3P2F2，2c＝F1F2 ＝ 3PF2⇒c＝ 32PF2，所以椭圆的离心率为 e＝ac＝ 32PF2·3P2F2 ＝ 33.故选 D．
B．x42＋ y23＝1
C．x42＋y22＝1
• [答案] D
D．x42＋y32＝1
[解析]
依
题意，
设椭圆
方程为
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)，
所以
c＝1 ac＝12 c2＝a2－b2
，解得 a2＝4，b2＝3.
3．(文)(2013·新课标Ⅱ)设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝ 30°，则 C 的离心率为( )
椭圆的离心率
(2013·辽宁五校联考)设点 A1、A2 分别为椭圆ax22 ＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点 A1、A2 的点 P，使得 PO⊥PA2，其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是________．
[答案] ( 22，1)
[解析] 由题设知∠OPA2＝90°，设 P(x，y)(x>0)，以 OA2 为直径的圆的方程为(x－a2)2＋y2＝a42，与椭圆方程联立，得(1 －ba22) x2－ax＋b2＝0.易知，此方程有一实根 a，且由题设知，此方程在区间(0，a)上还有一实根，由此得 0<a1b－2 ba22<a，化简得 0 <a2－c2 c2<1，即 0<1－e2e2<1，得 e2>12，所以 e 的取值范围为( 22， 1)．

【走向高考】高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)8-8圆锥曲线的综合问题课件新人教A版

[解析]
(x－y＋2) x2＋y2－9＝0 变形为：
x－y＋2＝0，或 2 2 x ＋y －9≥0.
x2＋y2－9＝0
表示以原点为圆心，3 为半径的圆和直线 x－y＋2＝0 在圆 x2＋y2－9＝0 外面的两条射线，如下图．
[方法规律总结]
判断方程的曲线时，先将方程等价变换
为学过的基本曲线类型，再作判断，要特别注意范围的限制．
直译法求轨迹方程
→ → 已知两点 M(－1,0)，N(1,0)，且点 P 使MP· MN， → → → → PM· PN，NM· NP成公差小于零的等差数列，求点 P 的轨迹方程． [分析] 设出点 P 的坐标(x，y)，由所给条件可直接写出
A．圆 C．双曲线的一部分
[答案] D
[解析]
∵x1]x*a)＝ x＋a2－x－a2＝2 ax，
则 P(x,2 ax)．设 P(x1，y1)，即 x1＝x y1＝2 ax ，消去 x 得，
2 y1 ＝4ax1(x1≥0，y1≥0)，

故点 P 的轨迹为抛物线的一部分．故选 D.
[答案] C
)
B．8,11 D．10,12
[解析]
由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦
点，且|PF1|＋|PF2|＝10， ∴(|PM|＋|PN|)min＝10－2＝8， (|PM|＋|PN|)max＝10＋2＝12，故选 C.
3．已知平面上两定点 A、B 的距离是 2，动点 M 满足条 → → 件MA· MB＝1，则动点 M 的轨迹是( A．直线 C．椭圆
2．求曲线方程的基本步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

2013走向高考,贾凤山,高中总复习,数学8-4

人教
A
版
第8章
第四节
高考数学总复习
人教
A
版
答案：(－3,0)或(3,0)
第8章
第四节
高考数学总复习
椭圆与其它知识的综合
x2 y2 x2 [例 5] 曲线＋＝1 (m<6)与曲线＋ 10－m 6－m 5－n y2 ＝1 (5<n<9)的( 9－n A．焦距相等 C．焦点相同 ) B．离心率相等 D．有两顶点相同
F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c(c＝ a2－b2) |x|≤b，|y|≤a
人教
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关于 x 轴、y 轴和原点对称 (± a,0)，(0，± b) (0，± a)，(± b,0)
长轴长 2a，短轴长 2b c e＝ a (0<e<1)
第8章
第四节
高考数学总复习
误区警示 1．椭圆的定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况． x y 2．椭圆 2＋ 2＝1(a>0，b>0)中，|x|≤a，|y|≤b 的范 a b 围在求有关最值时不要漏掉．
答案：8
人教
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第8章
第四节
高考数学总复习
(理)(2011· 新课标全国高考)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的 2
人教
A
版
周长为 16，那么 C 的方程为________．
人教
A
版
1 答案： 2
第8章
第四节
高考数学总复习
椭圆中的最值问题

【走向高考】高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)8-4椭圆课件新人教A版

x2 y2 1 ( 理 ) 若椭圆＋＝ 1 的离心率 e ＝，则 k 的值为 2 k＋8 9 ________．
5 [答案] 4 或－4
[解析]
(1)若焦点在 x 轴上，
即 k＋8>9>0 时，a2＝k＋8，b2＝9，
2 2 2 a － b k－1 1 c 2 e ＝a2＝ a2 ＝＝， k＋8 4
考点自测把脉弱点 1．(文)(2013· 广东)已知中心点在原点的椭圆 C 的右焦点 1 为 F(1,0)，离心率等于，则 C 的方程是( 2 x2 y2 A. 3 ＋ 4 ＝1 x2 y2 C. ＋＝1 4 2 x2 y2 B. 4 ＋＝1 3 x2 y2 D. ＋＝1 4 3 )
[答案]
解得 k＝4. (2)若焦点在 y 轴上，即 0<k＋8<9 时， a2＝9，b2＝k＋8，
2 2 2 a － b 1－k 1 c 5 2 e ＝a2＝ a2 ＝ 9 ＝4，解得 k＝－4.
5 综上，k＝4 或 k＝－4.
[失误与防范] 椭圆的标准方程：本题易犯的错误是忽视对焦点位置的分析造成下面的错解：由已知 a2＝k＋8，b2＝9，
[答案]
)
1 B.3 3 D. 3
D
[解析]
解法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|
＝2m，|F1F2|＝ 3m， c 2c |F1F2| 3m 3 故离心率 e＝a＝2a＝＝＝3. |PF1|＋|PF2| 2m＋m
解法二：由 PF2⊥F1F2 可知 P 点的横坐标为 c，将 x＝c b2 b2 代入椭圆方程可解得 y＝±a ，∴|PF2|＝ a .又由∠PF1F2＝30° b2 可得|F1F2|＝ 3|PF2|，故 2c＝ 3· ，变形可得 3(a2－c2)＝2ac， a 3 等式两边同除以 a ，得 3(1－e )＝2e，解得 e＝ 3 或 e＝－ 3

高中总复习第一轮数学(新人教A) 第八章 8.1 椭圆

第八章圆锥曲线的方程网络体系总览考点目标定位1.椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程.2.双曲线及其标准方程,双曲线的简单几何性质。

3。

抛物线及其标准方程,抛物线的简单几何性质。

复习方略指南本章主要内容有椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单几何性质。

它们作为研究曲线和方程的典型问题，成了解析几何的主要内容,在日常生活、生产实践和科学技术上有着广泛的应用。

因此在高考中,圆锥曲线成为命题的热点之一。

分析近几年高考试题，有下面几个显著特点：1.注重双基保持稳定圆锥曲线在题型、题量、难度等方面风格独特，每年的试卷中客观题2至3道，主观题1道，分值占全卷的15%左右,“难、中、易”层次分明，既有基础题，又有能力题.2。

全面考查重点突出试题中，圆锥曲线的内容几乎全部涉及,考查的知识点约占圆锥曲线总知识点的四分之三,通过知识的重新组合,考查学生系统掌握课程知识的内在联系,重点仍在直线与圆锥曲线的位置关系上。

3。

考查能力探究创新试题具有一定的综合性，重点考查学生画图、数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、合理运算以及综合运用知识的能力.在今后的高考中，圆锥曲线仍将考查圆锥曲线的概念和性质、求曲线方程、直线和圆锥曲线的位置关系、解析几何中的定值最值问题.其中直线和圆锥曲线的位置关系仍是命题的热点,解析几何中的定值及最值问题也会有所加强。

圆锥曲线内容的“应用性问题”和“探索性问题”将会出现在今后的高考中。

学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题。

为此建议在学习中做到:1。

搞清概念（对概念定义应“咬文嚼字”）；2.熟悉曲线（会“速写”出符合题目数量特征要求的曲线）；3.熟练运用代数、三角、几何、向量的知识;4.处理问题时要在“大处着眼”（即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想）“小处着手”（即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法).8.1 椭圆巩固·夯实基础一、自主梳理1。

【走向高考】(春季发行)高三数学第一轮总复习等比数列新人教A版

［答案］B• 8= q 3, • q = 2, n - • a n = 2 11# 1 \ n -1，• a n = (2)，［解析］• 9$= S ，…8( a i + a 2 + a 3)= a 4 + ct + ct ,5 31-=36故选B .i ｛—｝的前5项和为 —— 1 2 7 1 - 24. （2011 •江西抚州市高三模拟）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S,若S 、S 3、S 2成等差数列，则｛a n ｝的公比等于（）A. 1 1C - 2 ［答案］C D. 2［解析］2S B = S + $,即卩 2(a 1 + a 1q + ag) = a 1 + a 1 + ag , 得q =-£故选C. 5.（文）（2011 •哈尔滨九中模拟）已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = 2n - 1，则数列｛a n ｝的奇数项的前n 项和为（） A.n + 12 — 2 B.-3C. 22n 2n2 — 2 D 丁［答案］C［解析］当 n = 1 时，a 1 = S= 1,当 n 》2 时，a n = S — S n -1 = 2 — 2 1 = 2 1.n — 1*• a n = 2 (n € N),则数列｛a n ｝的奇数项的前 n 项和为1- 22n _1-22 =,故选C.（理）（2011 •泉州市质检 )等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 1+ a 2+ a s + a 4= 1, a 5 + a e+ a 7 + a 8= 2, S= 15,则项数 n 为( )A. 12B. 14C. 15 ［答案］DD. 16,.a 5+ a 6+ a 7 + a 8 4［解析］=q = 2，由 a i + a 2+ a 3+ a 4= 1.a i 十 a 2 + a 3 + a 4得 a i (1 + q + q 2+ q 3) = 1,41 — q即 a 1 • = 1 ,「• a 1 = q — 1,1 — qn丄八二 q = 16,又•/ q 4 = 2,「. n = 16.故选 D.6.(2011 •安徽皖南八校联考)设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，令b n = a n +1( n = 1,2，…), 若数列｛b n ｝有连续四项在集合｛ — 53,— 23,19,37,82｝中，则q 等于()A. ［答案］C［解析］集合｛ — 53 , — 23,19,37,82｝中的各元素减去1得到集合｛ — 54 ,— 24,18,36,81｝，其中一24, 36,— 54,81 或 81,— 54,36 , — 24 成等比数列，■■ q=- 2或-17.已知f (x )是一次函数,若f (3) = 5,且f (1)、f (2)、f (5)成等比数列,则f (1) + f (2) +…+ f (100)的值是 __________________________ .［答案］10000［解析］设 f (x ) = kx + b , f (3) = 3k + b = 5,由 f (1)、f (2)、f (5)成等比数列得(2 k +2b ) = (k + b ) • (5k + b )，可得 k = 2, b =— 1. /• f (n ) = 2n — 1,上上100X 99贝U f (1) + f (2) +…+ f (100) = 100X 1+ x2= 10000.& (文)(2010 •浙江金华)如果一个n 位的非零整数 a 1a 2…a n 的各个数位上的数字 a , 比，…，a n或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数aa 2…a n 为n 位“等比数”.如124,913,333等都是三位“等比数”. 那么三位“等比数”共有 ______________ 个.(用数字作答)［答案］27又S n = 15,即1 —q n1 — q15,B.［解析］适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999; (2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第⑵ 类“等比数” 有3X 6= 18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个.(理)(2012 •北京东城练习)已知等差数列｛a n｝首项为a,公差为b,等比数列｛b n｝首项为b,公比为a,其中a、b都是大于1的正整数，且a i2，则a<b< ，解得a<3，即2<a<3，即不存在a满足a —2条件，由此可得a= 2.当a = 2 时，a n = 2+ ( n —1) b, b n= b X2n—1,若存在m€ N*,使得b n= a m+ 3 成立，贝U b x/ —1= 2 + ( m—1) b+ 3,即得b x2n—1= 5 —b,当b = 5 时，方程2n—1= m总有解，此时a n = 5n—3.9. （2011 •锦州模拟）在等比数列｛a n｝中，若公比q>1，且a2a8= 6, a4 + a6 = 5,则-=a72［答案］3［解析］T a2a8= 6，—a4a6= 6,又T a4 + a6= 5，且q>1 ,二a4= 2, a6= 3,a5 04 2a7 a6 310. (文)(2012 •北京东城练习)已知数列｛a n｝的前n项和为S,且S = 4a n—3(n€ N*).(1) 证明：数列｛a n｝是等比数列；⑵若数列｛b n｝满足5+ 1= a n+ b n(门€ N)，且4= 2 ,求数列｛5｝的通项公式.［解析］(1)证明：因为S= 4a n—3,所以n= 1时，a1 = 4a1 —3，解得a1= 1.因为S n= 4a n —3,贝V S n- 1 = 4a n- 1 —3(门》2),所以当n》2 时，a n= S— S1-1 = 4a n—4a n-1,4整理得a n= ［a n-1.3又a1= 1工0,4所以｛a n｝是首项为1,公比为3的等比数列.34 n—1 *(2) 因为a n= (3) ,b n +1 = a n + b n( n € N),4 n—1所以b n+1—b n= (3).可得b n= b1+ ( b2 —b1) + ( b3—b2) + …+ (b n—b n—1)n — 14n—1=3・(3)— 1(n 》2),当n = 1时符合上式，••• 3・（4）n —1— 1.3(理)(2012 •浙江绍兴质量调测 )已知数列｛a n ｝中，a 1= 1, S 是数列｛a n ｝的前n 项和，且对任意n € N *,有a n +1= kS + 1(k 为常数).(1) 当k = 2时，求a 2、a 3的值；(2) 试判断数列｛a n ｝是否为等比数列？请说明理由. ［解析］⑴当 k = 2 时，a n +1= 2S + 1,令 n = 1 得 a 2= 2Si +1,又 a = S = 1,得比=3 ；令 n = 2 得 a 3= 2S 2 +1 = 2(a 1+ a 2) + 1 = 9,「. a 3= 9.•- a 2 = 3, a 3= 9.(2)由 a n +1 = kS +1,得 a n = kS n —1+1, 两式相减，得 a n +1 — a n = ka n (n 》2),即 a n +1 = ( k +1) a n ( n >2),1, n = 1故当 k =— 1 时，a n= ... rn 上此时，｛a n ｝不是等比数列；a n + 1当k 工一1时，—=k + 1工0,此时，｛a n ｝是首项为1,公比为k + 1的等比数列.综上，当k =— 1时，｛a n ｝不是等比数列；当k 工一1时，｛a n ｝是等比数列.能力拓展提升11. （2011 •浙江温州质检）一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为（）1 B.1C V 5— 1 C. 4 5+ 1PT［答案］A「a 2 且a ;=k +1k + 1,故 a n +1 = (k + 1) a n .［解析］设三内角A 0，n = 1,2，…，且 a 5 • a»5 =2n2 (n 》3)，则当 n 》l 时，log 2^+ log 2a s +^+ Iog 2&n —1=()［答案］C［解析］设等比数列｛a n ｝的首项为a,公比为q ，「a 5・ a 2n —5= ag 4 •ag 2n —6 = 22n ,即a 2•q 2n2 2n.n — 1、2 2n. 2n 、2n2n — 1=2 ? (a 1 • q ) = 2 ? a n = (2 )，: a n >0， • a n = 2， • a 2n — 1 = 2 ， • log 231 + log 2a 3 + …选C.（理）（2011 •辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考）已知数列｛a n ｝满足log 3a n + 1 =*1log 3a n +1（ n € N ）且 a 2 + a 4 + a 6= 9，贝V log 3（ a 5 + a 7 + a 9）的值是（）3A. — 5C. 5 ［答案］A［分析］根据数列满足Iog 3a n + 1 = Iog 3a n +1（n € N *） •由对数的运算法则，得出 a n +1与a n 的关系，判断数列的类型，再结合a 2+ a 4 + a 6= 9得出a 5+ a ?+ a 9的值.［解析］由 log 3a n +1 = log 3a n + 1（n € N *）得，a n +1 = 3a n ， ■/ a n >0， •数列｛a n ｝是公比等于 3 的等比数列，•- a 5 + a 7 + a 9 = （a 2+ a 4 + a 6）X 3 3= 35，c >0，A. n (2n — 1) C. n 2B. D. (n + 1) (n — 1)+ log 2a 2n —1 = log 22+ log 223+…+ log 222n—1= 1 + 3+・・・ +(2 n - 1) =1+ 2n-12-n = n 2，故B. sin A,故选 A.1. 1 5--log 3( a5 + a7 + a9) = —log 33 = —5.33a n13. （文）（2011 •长春模拟）已知正项等比数列｛a n｝的前n项和为$，5=才，且｛b n｝a n+ 1的前n项和为T n，若对一切正整数n都有$>T n，则数列｛a n｝的公比q的取值范围是（）B. q>1A. 0<q<1C. q> 2D. 1<q< 2［答案］B左、，a3 1 1［解析］由于｛a n｝是等比数列，公比为q,所以b n= 2—= 2a n ,于是b l + b2+…+ b n = 2 a n+1 q q1 2 S n *（a i + a2 +-+ a n），即T n= = • S.又S>T n,且T n>0，所以q2=〒>1.因为a n>0对任意n€ N都qI n成立，所以q>0,因此公比q的取值范围是q>1.（理）（2011 •榆林模拟）在等比数列｛a n｝中，a n>0（n€ N+），公比q€ （0,1），且&低+ 2a§a5S S2 + a2a8= 25,又a3与a5的等比中项为2, b n= log?/,数列｛b n｝的前n项和为S，则当〒+勺+…（）+S最大时，n的值等于A. 8B. 9C. 8 或9D. 17［答案］C［解析］■/ a1a5+ 2a3a5 + a2a$= 25,2 2 ••• a3 + 2a3a5 + a5= 25,又a n>0,「・a3 + a5= 5,又q€ (0,1) , • a3>a5,a3a5= 4,「. a3= 4, a5= 1,1 1n_1 5_n•q=, a1= 16, a n= 16x(p = 2 ,b n= log 2a n= 5—n, b n+ 1 —b n=—1,• {b n}是以b1= 4为首项，一1为公差的等差数列，,n 9—n S n 9 —n--Si ~~，… ~~,2 ' n 2 'S S $•••当r K8 时，>0;当n= 9 时， =0;当n>9 时，<0,n n nS1 S2 S•当n= 8 或9 时，-+ - +•••+ 后最大.14. （2012 •江苏，6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，一3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________ .3［答案］5［解析］本题考查等比数列及古典概型的知识.等比数列的通项公式为 a n = ( — 3) nT .所以此数列中偶数项都为负值，奇数项全为正值.若 an >8,贝y n 为奇数且(一3)n —1= 3n —1>8,贝U n —1>2,二 n 》3,二 n = 3,5,7,9 共四项满足要求.4 ..p 1 —10［点评］直接考虑情况较多时，可以从其对立面来考虑问题.11 15. (2011 •新课标全国文,17)已知等比数列｛a n ｝中，a 1 = 3 公比q =-.33(2)设 b n = log 3d + log 3a + •••+ log 3a n ,求数列｛b n ｝的通项公式. ［解析］⑴因为a n = 3x -n —1= £(2) b n = log 3a 1 + log 3a 2+・・・+ log 3a n =—(1 + 2 + ・・・+ n )n n + 1=— 2 .所以｛b n ｝的通项公式为b n =16. (文)(2011 •山东淄博一模)设｛a n ｝是公比大于1的等比数列，S 为数列｛a n ｝的前n 项和.已知 S 3= 7,且d+ 3,3 a 2, a s + 4构成等差数列.(1)求数列｛a n ｝的通项公式;(2)令 b n = ln a 3n +1, n = 1,2，…，求数列｛ b n ｝的前 n 项和 T n . ［解析］ ⑴ 设数列｛ a n ｝的公比为q (q >1),(1) S 为｛a n ｝的前n 项和，证明:Si = 1 —ch 2 ；所以S=1 —a n2解得 a= 1,q =2.a 1 + a 2+ a 3= 7, 即 a 1 — 6a2 + a 3 = —7,a1 1+ q + q 2= 7,a 1 1 — 6q + q 2 =—乙n _ 1故数列｛a n｝的通项为a n= 2 .⑵由⑴得a3n +1 = 23n,「•b n = In a3n+1 = In2 " = 3n ln2 ,又b n+1 —b n= 3In2 ,••• ｛b n｝是以b i= 3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列.• • • T n = b l + b2 +•••+ b nn b i + b n n 3ln2 + 3n］n2 3n n+1 ln2= 2 = 2 = 2即T n=3n n+l ln2.1(理)(2011 •安庆模拟)已知数列｛a n｝中，a i =-，点(n, 2a n+1_a n)在直线y= x上，其中n= 1,2,3 ….(1) 令b n = a n + 1 —a n —1 ,求证数列｛b n｝是等比数列;(2) 求数列｛a n｝的通项.1［解析］⑴由已知得2a n+1= a n+ n,又a1 = ,3 1 3b1= a2—a1—1 2= 4_2_ 1= _ 4,又.b n= a n+1 — a —1,…b n+1 = a n+2—a n+1 —1,.b n+1 a n+2—a n+1 —1b n a n+ 1 —a n—1a n+1+ n+l a n+ n--------------------- ——--- ——12 2a n+ 1 —a n—1a n + 1 —a n —12 = 1a n + 1 — ch —1 2 n+ 132a n — a n — i = 1 — 3x(㊁)11 1 1各式相加得a n = n — 1 — 3X ［(2)+ (㊁)+…+(2)】+ 22•等比数列的首项为 1,项数是偶数，所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则这个等比数列的项数为（）A. 4B. 6C. 8D. 10［答案］［解C由题意知，85q = 170 ,• q = 2,1X2n — 1•- 85 + 170 = , • n = 8.2— 13. （2011 •山东济南模拟）已知各项不为0的等差数列｛a n ｝，满足2a 3 — a 2 + 2少=0,数列｛b n ｝是等比数列，且 b 7= a 7,贝y b 6b 8等于（）1 =n —2 — 3x 1 4 x ［1 - 2 n—1］ 11 ---- 23 =2^+ n — 2. 备选题库1.已知数列｛a n ｝的前n 项的和 S 满足S = 2n — 1（ n € N *），则数列｛aj 的前n 项的和为（）nA. 4 — 1B.*4n - 1)金—1)n 2D. (2 — 1)［答案］B ［解析］n 时，a n = S n — S n -1 = (2 "一 1) — (2“ 1 — 1) = 2 又 a 1= S = 2 — 1 = 1 也满足，a n = 2 1(n € N). 设 b n = a l ,贝V b n = (2 n ) 2= 4 1 ,•••数列｛ b n ｝是首项b 1= 1,公比为4的等比数列,I x故｛b n ｝的前n 项和T n =A. 2［答案］D2［解析］由题意可知，a ? = 2( a 3+ an) = 4a.T a 7丰0,— a 7 = 4,「. b e b 8= b 7= a 7= 16.4.已知等比数列｛a n ｝的公比q >0,其前n 项的和为D.不确定［答案］A2 2 2［解析］(1)当 q = 1 时，$a 5— S =a 4= 4a 1 — 5a 1 = — a 1<0.⑵当q ^l 且q >0时，22 3a 1 4 8 3 8 a 〔qSa 5— S ^a4= 1 —q (q — q — q + q ) = 1—q (q— 1)=—a 1q 3<0.［点评］作差，依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法, 应注意对公比分类讨论.5. （2012 •广州一模）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类•如下图中的实心点个数1,5,12,22 ，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1 = 1,第2个五角形数记作 a 2= 5,第3个五角形数记作 a 3= 12,第4个五角形数记作 a 4C. 8D. 16B. S,则$a 5与Sa 4的大小关系是（A. S i a 5<Sa 4B. S i a 5>Sa 4C. Sa 5= S 5a 4=22，…，若按此规律继续下去，则 a 5=,若 a n = 145,则 n =12［答案］3510［解析］ a 2 — a 1 = 4, a 3 — a 2= 7, a 4— a 3 = 10, € N ）构成首项为4，公差为3的等差数列，所以观察图形可得，数列｛a n — a —1｝（ n 》2, n a 5— a 4= 13,所以 a 5= 35, a n — a n — 1= 3n —n +22 ,2(n 》2, n € N)，应用累加法得 a n — a= 4 + 7+ 10 +…+ (3 n — 2)=」^所以a n = 2曲 + 1(n 》2, n € N *)，当 a n = 145 时，亠=145，解得 n = 10.6.已知｛a n ｝是首项为◎、公比q （q z 1）为正数的等比数列，其前 n 项和为S,且有5S=4S ,设 b n = q + S.(1) 求q 的值；(2) 数列｛b n ｝能否是等比数列？若是，求出 a i 的值；若不是，请说明理由.［解析］(1)由题意知5S 2= 4S ,•-5(1 - q 2) = 4(1 - q 4)，又 q >0」q = 2.于是1若｛b n ｝是等比数列，则+ 2a 1= 0,I n +2— = f,...数列｛b n ｝是等比数列.1n + 1 221所以存在实数a 1 = - 4，使数列｛b n ｝为等比数列.7.已知数列｛ a n ｝和｛ b n ｝，数列｛a n ｝的前n 项和记为 S.若点(n , S)在函数y = — x 2+ 4x x的图象上，点(n , b n )在函数y =2的图象上.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛a n b n ｝的前n 项和T. ［解析］(1)由已知得S=— n 2+ 4n , 当 n 》2 时，a n = S — S-1 = - 2n + 5,又当 n = 1 时，a 1 = S 1 = 3,符合上式.二 a n =— 2n + 5. (2)由已知得 b n = 2 , a n b n = ( — 2n + 5)2 .T n = 3X2 + 1X2 + ( — 1) X2 +…+ ( — 2n + 5) X2 , 2T n = 3X 2 2+ 1 X 2 3 +•••+ ( — 2n + 7) X2n+ ( — 2n + 5) X2两式相减可得,3 4 n + 1T n =- 6+ (2 + 2 +•+ 2) + ( — 2n + 5)X2=(7 — 2n ) X2 n +1 — 14.1-q 2 1-q 41 - qa i ⑵••• S=— l-q n1-qb n + 1b nn + 13n — 12 — 21 — 2+ ( — 2n + 5) X2 +— 6=2a 1 —a 1 1b n = q + Si = 2 + 2a 1 — a 1 ••• a 1 = -£ 此时,1…a n + 1 —a n = 1 —3X( Q)1a? —a1 = 1 —3X( Q)a s—a?= 1 —3X( 1)3。

【走向高考】高考数学一轮总复习 8-4椭圆课后强化作业新人教A版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-4椭圆课后强化作业新人教A 版基础巩固强化一、选择题1．(文)设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10[答案] D[解析] ∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.(理)椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．32B ．16C ．8D ．4 [答案] B[解析] 由题设条件知△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16.2．(文)(2012·丽水模拟)若P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率为( )A.53B.23C.13D.12[答案] A[解析] 在Rt △PF 1F 2中，不妨设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2.|F 1F 2|＝5，∴e ＝2c 2a ＝53.(理)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|＝4:3:2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2 D.23或32[答案] A[解析] 设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t (t >0)，若Γ为椭圆，则离心率为e ＝3t 6t ＝12，若Γ为双曲线，则离心率为3t 2t ＝32.3．(2013·浙江绍兴一模)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32[答案] B[解析] 连接MF 2.已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10，∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8. 如图，|ON |＝12|MF 2|＝4.故选B.4．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [答案] D[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A 、B 在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1.两式相减得，x 21－x 22a 2＝y 22－y 21b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∵AB 的中点为(1，－1)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2a2，又∵k ＝－1－01－3＝12，∴b 2a 2＝12，又∵c 2＝a 2－b 2＝2b 2－b 2＝b 2，c 2＝9，∴b 2＝9，a 2＝18， ∴椭圆E 的标准方程为x 218＋y 29＝1，故选D.5．(文)若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 [答案] A[解析] 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1.(理)(2013·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1 [答案] A[解析] 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.6．椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.6433B.9133C.1633D.643 [答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.二、填空题7．(文)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点距离为________．[答案] 4[解析] |OM |＝3，|PF 2|＝6，又|PF 1|＋|PF 2|＝10，∴|PF 1|＝4.(理)(2013·池州二模)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为________．[答案] 8[解析] M (3，0)与F (－3，0)是椭圆的焦点，则直线AB 过椭圆左焦点F (－3，0)，且|AB |＝|AF |＋|BF |，△ABM 的周长等于|AB |＋|AM |＋|BM |＝(|AF |＋|AM |)＋(|BF |＋|BM |)＝4a ＝8.8．若方程x 2sin2α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么α的取值范围是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫2k π＋7π6，2k π＋3π2，k ∈Z [解析] 根据题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－1cos α>1sin2α，cos α<0，sin2α>0.化简得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤sin α<－12，cos α<0.解得α∈⎝⎛⎭⎫2k π＋76π，2k π＋32π(k ∈Z )． 9．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的面积为πab ，M 包含于平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2，|y |≤ 3.内，向Ω内随机投一点Q ，点Q 落在椭圆M 内的概率为π4，则椭圆M 的方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1[解析]平面区域Ω：⎩⎨⎧|x |≤2，|y |≤ 3.是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得πab 83＝π4，即ab ＝2 3. 因为0<a ≤2,0<b ≤3，所以a ＝2，b ＝ 3. 所以，椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.三、解答题10．椭圆的两焦点坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，且椭圆过点M (1，－32)． (1)求椭圆方程；(2)过点N (－65，0)作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于P 、Q 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠P AQ 的大小是否为定值，并说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意c ＝3，且椭圆过点M (1，－32)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线PQ ：x ＝ty －65，由⎩⎨⎧x ＝ty －65，x24＋y 2＝1.消去x 得，(t 2＋4)y 2－125ty －6425＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， ∴y 1y 2＝－6425(t 2＋4)，y 1＋y 2＝12t5(t 2＋4)，又A (－2,0)，∴AP →·AQ →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋y 1y 2＝(ty 1＋45)(ty 2＋45)＋y 1y 2＝(t 2＋1)y 1y 2＋45t (y 1＋y 2)＋1625＝0，∴∠P AQ ＝π2(定值).能力拓展提升一、选择题11．(2013·荆州市质检)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋2bx ＋c ＝0的两个实数根分别是x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)到原点的距离为( )A. 2B.72C ．2 D.74[答案] A[解析] 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，由a 2＝b 2＋c 2，得b a ＝32，x 1＋x 2＝－2ba ＝－3，x 1x 2＝c a ＝12，点P (x 1，x 2)到原点(0,0)的距离d ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝ 2. 12．(文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45 B.35 C.25 D.15 [答案] B[分析] 要求离心率e ＝ca ，先由条件建立a 、b 、c 的方程，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，两边同除以a 2即可化为e 的方程．[解析] 由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，故选B. (理)(2013·全国大纲理，8)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1][答案] B [解析]如图：A 1(－2,0)，A 2(2,0)直线A 2M 的方程为y ＝－(x －2)，即y ＝2－x ，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中消去y 得，7x 2－16x ＋4＝0，∴2＋x ＝167，∴x ＝27，∴M 点坐标为(27，127)．同理可得N 点坐标为(2619，2419)∵kA 1M ＝12727＋2＝34，kA 1N ＝24192619＋2＝38，∴直线P A 1斜率的取值范围是[38，34]．[解法探究] 点P 在椭圆C 上运动，P A 2的斜率取值已知，求P A 1的斜率的取值范围，若能找到kP A 1与kP A 2的关系，则解答更简便．由条件知，A 1(－2,0)，A 2(2,0)，设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，于是kP A 1·kP A 2＝y 20x 20－22＝3－34x 20x 20－4＝－34.∴kP A 1＝3－4kP A 2，∵－2≤kP A 2≤－1，∴4≤－4kP A 2≤8，∴38≤kP A 1≤34.13．(文)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A 、B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．b 2＝12D ．b 2＝2[答案] C [解析]由已知双曲线渐近线为y ＝±2x .圆方程为x 2＋y 2＝a 2，则|AB |＝2a .不妨取y ＝2x 与椭圆交于P 、Q 两点，且P 在x 轴上方，则由已知|PQ |＝13|AB |＝2a 3，∴|OP |＝a 3.则点P 坐标为(5a 15，25a15)，又∵点P 在椭圆上，∴5a 2225a 2＋20a 2225b2＝1.①又∵a 2－b 2＝5，∴b 2＝a 2－5.②，解①②得⎩⎨⎧a 2＝112，b 2＝12.故选C. (理)设F 是椭圆x 225＋y216＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点P i (x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，2011)，且线段|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…，|FP 2011|的长度成等差数列，若|FP 1|＝2，|FP 2011|＝8，则点P 2010的横坐标为( )A.20082011B.1005201 C.1004201 D.53667[答案] C[解析] ∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴F (－3,0)，由|FP 1|＝2＝a －c ，|FP 2011|＝8＝a ＋c ，可知点P 1为椭圆的左顶点，P 2011为椭圆的右顶点，即x 1＝－5，x 2011＝5＝－5＋2010d ，∴d ＝1201，则数列{x i }是以－5为首项，1201为公差的等差数列，∴x 2010＝－5＋2009×1201＝1004201. 二、填空题14．(文)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为________．[答案] e 2－1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b 2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1.(理)以椭圆的右焦点F 2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线MF 1与此圆相切，则椭圆的离心率e 等于________．[答案]3－1[解析] 由题意知，MF 1⊥MF 2，|MF 2|＝|OF 2|＝c ，又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆的定义，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴3c ＋c ＝2a ，∴e ＝ca＝3－1.15．(2013·苏北四市联考)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3. [答案] ①④[解析] 由题意可知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是x 24＋y 23＝1，①把y ＝x ＋1代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2＋8x －8＝0，∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点， ∴y ＝x ＋1是“A 型直线”．②把y ＝2代入x 24＋y 23＝1，得x 24＝－13不成立，直线与椭圆无交点，∴y ＝2不是“A 型直线”．③把y ＝－x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，7x 2－24x ＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．④把y ＝－2x ＋3代入x 24＋y 23＝1并整理得，19x 2－48x ＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0，∴y ＝－2x ＋3是“A 型直线”．三、解答题16．(文)(2012·广东文，20)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． [解析] (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1，将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得1b 2＝1，即b 2＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0 整理得2k 2－m 2＋1＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得， k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，因为直线l 与抛物线C 2相切，所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0，整理得km ＝1，②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. (理)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a b ＝23，c ＝2.解得a 2＝16，b 2＝12.所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1，故－4≤x ≤4.因为MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12×⎝⎛⎭⎫1－x 216. ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. 因为当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当x ＝4时，|MP →|2取得最小值．而x ∈[－4,4]，故有4m ≥4，解得m ≥1.又点M 在椭圆的长轴上，即－4≤m ≤4. 故实数m 的取值范围是m ∈[1,4]．考纲要求1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．补充说明1．求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)，可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)，这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．2．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，当椭圆焦点位置不确定时，可设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )；(3)找关系：根据已知条件，建立方程组；(4)写出标准方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 3．函数与方程的思想(1)在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其他量的函数，运用函数的方法解决．(2)求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．4．焦点三角形问题椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上称为焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：①定义；②正、余弦定理；③三角形面积．5．求椭圆的离心率时，常常要列出a 、b 、c 的一个齐次方程，结合b 2＝a 2－c 2，两边同除以a 2化为e (e ＝ca)的二次方程求解．6．椭圆上点M 到焦点距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c . 备选习题1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1 D ．x 2＋y 23＝1[答案] A[解析] 抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.2．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个顶点，若2DF 1→＝DA →＋DF 2→，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.15[答案] B[解析] 由2DF 1→＝DA →＋DF 2→知F 1是AF 2的中点， ∴a －c ＝2c ，∴a ＝3c ，e ＝13.3．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为()A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] ∵PQ 平分∠F 1P A ，且PQ ⊥AF 1， ∴Q 为AF 1的中点，且|PF 1|＝|P A |， ∴|OQ |＝12|AF 2|＝12(|P A |＋|PF 2|)＝a ，∴Q 点轨迹是以O 为圆心，a 为半径的圆．4．(2013·乌鲁木齐一诊)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，直线B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为________．[答案] (5－12，1)[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1P A 2为钝角可转化为B 2A 2→与F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故(c a )2＋ca －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，所以5－12<e <1.。

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