第三章和第四章电子教案

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模拟电子技术电子教案

模拟电子技术电子教案第一章：模拟电子技术概述1.1 教学目标让学生了解模拟电子技术的基本概念、特点和应用领域。

让学生掌握常用的模拟电子元件及其功能。

培养学生对模拟电子技术的兴趣和好奇心。

1.2 教学内容模拟电子技术的定义和特点模拟电子技术的应用领域常用的模拟电子元件：电阻、电容、电感、二极管、晶体管等1.3 教学方法采用讲授法，讲解模拟电子技术的基本概念和特点。

通过实物展示和示范，介绍常用的模拟电子元件及其功能。

引导学生进行实验操作，培养学生的动手能力。

1.4 教学评估通过课堂提问，检查学生对模拟电子技术基本概念的理解。

通过对实验报告的评估，了解学生对常用模拟电子元件功能的掌握情况。

第二章：模拟电路的基本分析方法2.1 教学目标让学生掌握模拟电路的基本分析方法。

培养学生运用基本分析方法解决实际问题的能力。

2.2 教学内容模拟电路的基本分析方法：静态分析、动态分析、频率响应分析等。

常用电路分析工具：节点电压法、回路电流法、频率响应分析法等。

2.3 教学方法采用讲授法，讲解模拟电路的基本分析方法。

通过示例电路，演示常用分析方法的运用。

引导学生进行实际电路的分析，培养学生的实际操作能力。

2.4 教学评估通过课堂提问，检查学生对模拟电路基本分析方法的理解。

通过对实际电路分析的评估，了解学生对分析方法的掌握情况。

第三章：放大电路3.1 教学目标让学生了解放大电路的基本原理和特点。

培养学生掌握放大电路的设计和分析方法。

3.2 教学内容放大电路的基本原理：输入、输出和反馈关系。

放大电路的类型：共射放大电路、共基放大电路、共集放大电路等。

放大电路的设计和分析方法：晶体管参数、电压增益、频率响应等。

3.3 教学方法采用讲授法，讲解放大电路的基本原理和特点。

通过示例电路，介绍不同类型的放大电路。

引导学生进行放大电路的设计和分析，培养学生的实际操作能力。

3.4 教学评估通过课堂提问，检查学生对放大电路基本原理的理解。

中职电子技术教案

中职电子技术教案第一章：电子技术基础1.1 电子技术概述介绍电子技术的定义、发展历程和应用领域解释电子、电器、信息和通信技术的概念及其相互关系1.2 电子元件介绍电子元件的分类和功能，包括半导体、二极管、晶体管、电阻、电容等讲解电子元件的符号、性质和测量方法1.3 电路基本定律欧姆定律、基尔霍夫电压定律、基尔霍夫电流定律电阻、电容、电感的串联和并联电路分析第二章：数字电路2.1 数字电路概述数字电路的概念、特点和应用领域数字逻辑电路的分类和功能2.2 逻辑门电路与门、或门、非门、异或门等基本逻辑门电路的组成和功能逻辑门电路的应用实例2.3 组合逻辑电路编码器、译码器、多路选择器、算术逻辑单元等组合逻辑电路的组成和功能组合逻辑电路的设计方法和实例第三章：模拟电路3.1 模拟电路概述模拟电路的概念、特点和应用领域模拟电路与数字电路的区别3.2 放大电路放大电路的分类、组成和原理晶体管、运算放大器等放大电路的设计和应用3.3 滤波电路滤波电路的概念、作用和分类低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等的设计和应用第四章：电子测量技术4.1 电子测量概述电子测量的概念、目的和任务电子测量仪器的分类和功能4.2 电压、电流、电阻的测量电压表、电流表、万用表等测量仪器的使用方法测量误差的概念和减小方法4.3 频率、时间、信号的测量示波器、频率计、信号发生器等测量仪器的作用和应用信号的采样和量化过程第五章：电子技术应用实例5.1 电子计算器电子计算器的原理、结构和功能数码管、键盘、微处理器等组成部分的工作原理5.2 数字万用表数字万用表的原理、结构和功能示波器、频率计、信号发生器等测量仪器的应用实例5.3 无线通信设备无线通信设备的工作原理和结构调制、解调、编码、解码等关键技术第六章：电子电路设计基础6.1 电子电路设计流程电子电路设计的基本步骤和原则需求分析、原理图设计、PCB布局布线、调试与测试等环节6.2 原理图设计工具介绍常用的电子电路设计软件，如Altium Designer、Eagle、KiCad等原理图的绘制方法、元器件符号库的选用和使用技巧6.3 PCB设计基础PCB设计的基本概念、原则和流程布线规则、层叠结构、阻抗匹配、地平面设计等关键技术第七章：常用电子元器件7.1 电阻器、电容器、电感器介绍不同类型的电阻器、电容器、电感器及其特性阻值、容值、感值的选择与计算方法7.2 晶体管、集成电路晶体管的类型、结构和工作原理集成电路的分类、结构和应用，如放大器、驱动器、译码器等7.3 传感器传感器的概念、分类和作用温度传感器、压力传感器、光敏传感器等常见传感器的原理和应用第八章：实验与实践8.1 电子技术实验概述实验目的、实验要求和实验过程8.2 常用实验仪器与设备介绍实验室中常用的仪器设备，如示波器、信号发生器、电子测试仪等仪器的使用方法、操作步骤和注意事项8.3 实验项目与案例分析设计实验项目，如晶体管放大电路、数字逻辑电路设计等分析实验结果，解决问题和优化电路性能第九章：电子技术在工程应用9.1 电子技术在通信工程中的应用无线通信、有线通信、光通信等技术的基本原理和应用实例通信设备的结构、功能和工作原理9.2 电子技术在自动化控制中的应用自动化控制系统的原理、结构和分类控制器、传感器、执行器等组件的作用和应用9.3 电子技术在嵌入式系统中的应用嵌入式系统的概念、结构和特点嵌入式处理器、嵌入式操作系统、嵌入式应用程序等关键技术第十章：新技术与展望10.1 电子技术的最新发展动态集成电路、微电子技术、光电子技术等领域的前沿研究我国在电子技术领域的发展现状和战略规划10.2 前沿技术介绍、物联网、大数据、云计算等技术与电子技术的融合应用量子计算、量子通信等未来技术的发展趋势和应用前景10.3 电子技术的未来发展展望电子技术在国民经济、国防科技、民生等领域的重要作用培养高素质的电子技术人才，推动电子技术的持续发展重点和难点解析1. 电子技术基础电子、电器、信息和通信技术的概念及其相互关系电子元件的符号、性质和测量方法2. 数字电路逻辑门电路的组成和功能组合逻辑电路的设计方法和实例3. 模拟电路放大电路的分类、组成和原理滤波电路的分类、作用和设计方法4. 电子测量技术电子测量仪器的分类和功能测量误差的概念和减小方法5. 电子技术应用实例电子计算器、数字万用表、无线通信设备的工作原理和结构6. 电子电路设计基础电子电路设计的基本步骤和原则原理图设计工具和PCB设计基础7. 常用电子元器件电阻器、电容器、电感器的特性及其选择与计算方法晶体管、集成电路和传感器的原理和应用8. 实验与实践电子技术实验的目的、要求和过程实验仪器与设备的操作方法和注意事项9. 电子技术在工程应用电子技术在通信工程、自动化控制和嵌入式系统中的应用10. 新技术与展望电子技术的最新发展动态和前沿技术介绍电子技术的未来发展展望本文重点关注了中职电子技术教案中的各个环节，包括电子技术基础、数字电路、模拟电路、电子测量技术、电子技术应用实例、电子电路设计基础、常用电子元器件、实验与实践、电子技术在工程应用以及新技术与展望。

高等数学电子教案第三章(西北大学)

第三章微分中值定理与导数的应用第一讲微分中值定理(The Mean Value Theorem)微分中值定理是微分学的核心，她具有非常广泛的应用，是研究函数性态的有力工具。

本节介绍三大中值定理。

一罗尔中值定理：1．极值的定义：设)(x f 在区间I 上有定义，I x ∈0且存在I x U ⊂)(0，对任意)(0x U x ∈，())()()()(00x f x f x f x f ≥≤，则称0x 是)(x f 的极大值点（极小值点）。

)(0x f 是极大值（极小值），通称为极值。

注：极值和最值的本质区别：极值是局部概念（相对于某个邻域内）最值是整体概念（相对于整个定义域）● 极值只可能在定义域的内部取到，而最值可能在内部，也可能在端点处取到。

● 极值不是唯一的，最值（如果存在）则一定是唯一的。

● 极值不一定是最值，最值也不一定是极值，当最值在定义域内部取到时，最值就一定是极值。

2．费马引理（Fermat ）：函数)(x f 在区间I 上有定义，如果)1()(x f 在0x 点可导; )2(0x 是)(x f 的极值点.则0)(0'=x f .说明：（1）几何意义：)(x f 在0x 点存在切线，若0x 是极值点，则切线是平行于x 轴的。

（2）理论证明：只要证明0)()(lim00=--→x x x f x f x x ，即0)()(0'0'==-+x f x f .3．驻点：通常把0)(0'=x f 的点0x 称为)(x f 的驻点（临界点、稳定点）● 驻点不一定是极值点。

如：3x y =，0=x 不是极值点，在该点的两侧单调增加。

● 极值点不一定是驻点，如：x y =，0=x 是极小值点，但在该点不可导。

4．罗尔定理(Rolle)：如果函数)(x f 满足)1(],[b a 上连续； )2(),(b a 内可导； )3()()(b f a f =. 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf .● 几何意义：连续光滑曲线（无缝隙的光滑曲线）若两端点的函数值相等，则在曲线上至少存在一点，使得函数在该点的切线平行于x 轴。

原子核外电子排布教案

原子核外电子排布教案第一章：引言1.1 学习目标：了解原子核外电子排布的概念及其重要性。

掌握电子的基本性质和电子云的概念。

1.2 教学内容：介绍原子的基本结构，包括原子核和核外电子。

解释电子的基本性质，如负电荷、量子化等。

引入电子云的概念，解释其表示电子分布的方式。

1.3 教学活动：通过图片和示例介绍原子的基本结构。

利用动画演示电子的基本性质。

引导学生思考为什么电子不能随意分布在原子核周围。

1.4 作业与评估：设计一些简答题，让学生回答关于电子基本性质的问题。

让学生绘制简单的电子云示意图。

第二章：电子分层排布2.1 学习目标：掌握电子在原子核外的分层排布规律。

了解不同层上的电子数量限制。

2.2 教学内容：介绍电子的分层排布规律，包括K层、L层、M层等。

解释每个层上的电子数量限制，如K层最多容纳2个电子。

2.3 教学活动：通过示例和图解展示电子的分层排布。

引导学生理解电子在不同层上的排布规律。

2.4 作业与评估：设计一些填空题，让学生填写不同层上的电子数量限制。

让学生根据给定的原子核，绘制其电子的分层排布图。

第三章：电子亚层排布3.1 学习目标：掌握电子在同一层内的亚层排布规律。

了解不同亚层的名称和特点。

3.2 教学内容：介绍电子在同一层内的亚层排布规律，包括s亚层、p亚层、d亚层等。

解释不同亚层的名称和特点，如s亚层具有较低的能量。

3.3 教学活动：通过示例和图解展示电子在同一层内的亚层排布。

引导学生理解不同亚层的排布规律和特点。

3.4 作业与评估：设计一些选择题，让学生区分不同亚层的名称和特点。

让学生根据给定的原子核，绘制其电子的亚层排布图。

第四章：电子自旋排布4.1 学习目标：掌握电子自旋排布的规则。

了解电子自旋量子数和自旋状态。

4.2 教学内容：介绍电子自旋排布的规则，如泡利不相容原理、洪特规则等。

解释电子自旋量子数和自旋状态的概念。

4.3 教学活动：通过示例和图解展示电子自旋排布的规则。

数字电子技术》电子教案

《数字电子技术》电子教案第一章：数字电路基础1.1 数字电路概述数字电路的基本概念数字电路的特点数字电路的应用领域1.2 数字逻辑基础逻辑门逻辑函数逻辑代数1.3 数字电路的表示方法逻辑电路图真值表卡诺图第二章：组合逻辑电路2.1 组合逻辑电路概述组合逻辑电路的定义组合逻辑电路的特点组合逻辑电路的应用2.2 常见的组合逻辑电路编码器译码器多路选择器算术逻辑单元2.3 组合逻辑电路的设计方法最小化方法卡诺图化简法逻辑函数的优化第三章：时序逻辑电路3.1 时序逻辑电路概述时序逻辑电路的定义时序逻辑电路的特点时序逻辑电路的应用3.2 常见的时序逻辑电路触发器计数器寄存器移位寄存器3.3 时序逻辑电路的设计方法时序逻辑电路的建模状态编码的设计时序逻辑电路的仿真第四章：数字电路的设计与仿真4.1 数字电路设计流程需求分析逻辑设计电路实现测试与验证4.2 数字电路仿真技术数字电路仿真原理常用仿真工具仿真举例4.3 数字电路的测试与维护数字电路测试方法故障诊断与定位数字电路的维护与优化第五章：数字系统的应用5.1 数字系统概述数字系统的定义数字系统的特点数字系统的应用领域5.2 数字系统的设计方法数字系统设计流程数字系统模块划分数字系统的设计工具5.3 数字系统的应用实例数字控制系统数字通信系统数字音频处理系统第六章：数字集成电路6.1 数字集成电路概述数字集成电路的分类数字集成电路的优点数字集成电路的应用6.2 集成电路的制造工艺晶圆制造集成电路布局布线集成电路的封装与测试6.3 常见数字集成电路MOSFETCMOS逻辑门集成电路的封装类型第七章：数字信号处理器（DSP）7.1 数字信号处理器概述数字信号处理器的定义数字信号处理器的特点数字信号处理器的应用7.2 数字信号处理器的结构与工作原理中央处理单元（CPU）存储器输入/输出接口7.3 数字信号处理器的编程与开发编程语言开发工具与环境编程举例第八章：数字系统的可靠性8.1 数字系统的可靠性概述数字系统可靠性的重要性影响数字系统可靠性的因素数字系统可靠性评估方法8.2 数字系统的容错技术冗余设计容错算法故障检测与恢复8.3 数字系统的可靠性测试与验证可靠性测试方法可靠性测试指标可靠性验证实例第九章：数字电子技术的创新与应用9.1 数字电子技术的创新新型数字电路技术数字电子技术的研究热点数字电子技术的未来发展趋势9.2 数字电子技术的应用领域物联网生物医学工程9.3 数字电子技术的产业现状与展望数字电子技术产业概述我国数字电子技术产业发展现状数字电子技术的市场前景第十章：综合实践项目10.1 综合实践项目概述项目目的与意义项目内容与要求项目评价与反馈10.2 综合实践项目案例数字频率计的设计与实现数字音调发生器的设计与实现数字控制系统的设计与实现10.3 项目实施与指导项目实施流程项目指导与支持项目成果展示与讨论重点和难点解析1. 数字电路基础：理解数字电路的基本概念、特点及应用领域，掌握逻辑门、逻辑函数和逻辑代数的基础知识，熟悉数字电路的表示方法。

数字电子技术教案

数字电子技术教案第一章：数字电路基础1.1 数字电路简介了解数字电路的基本概念、特点和应用领域掌握数字电路的基本组成元素1.2 逻辑门认识与门、或门、非门、异或门等基本逻辑门掌握逻辑门的真值表和布尔表达式1.3 逻辑函数及其简化理解逻辑函数的概念和特点学会使用卡诺图和Karnaugh图进行逻辑函数的简化第二章：组合逻辑电路2.1 组合逻辑电路概述了解组合逻辑电路的定义和特点掌握组合逻辑电路的分析和设计方法2.2 常用组合逻辑电路认识加法器、编码器、译码器、多路选择器等常用组合逻辑电路学会分析组合逻辑电路的功能和真值表2.3 组合逻辑电路的设计方法学会使用逻辑门搭建组合逻辑电路掌握组合逻辑电路的测试和优化方法第三章：时序逻辑电路3.1 时序逻辑电路概述了解时序逻辑电路的定义和特点掌握时序逻辑电路的分析和设计方法3.2 常用时序逻辑电路认识触发器、计数器、寄存器等常用时序逻辑电路学会分析时序逻辑电路的功能和真值表3.3 时序逻辑电路的设计方法学会使用逻辑门和触发器搭建时序逻辑电路掌握时序逻辑电路的测试和优化方法第四章：数字电路仿真与实验4.1 数字电路仿真软件介绍了解常见的数字电路仿真软件及其功能学会使用至少一款数字电路仿真软件进行电路仿真4.2 组合逻辑电路实验利用仿真软件或实际电路搭建组合逻辑电路完成组合逻辑电路的功能测试和性能分析4.3 时序逻辑电路实验利用仿真软件或实际电路搭建时序逻辑电路完成时序逻辑电路的功能测试和性能分析第五章：数字电路应用案例分析5.1 数字电路在通信领域的应用了解数字电路在通信领域的主要应用实例分析通信系统中数字电路的作用和性能要求5.2 数字电路在计算机领域的应用了解数字电路在计算机领域的主要应用实例分析计算机中数字电路的作用和性能要求5.3 数字电路在其他领域的应用了解数字电路在其他领域的主要应用实例分析不同领域中数字电路的作用和性能要求第六章：数字电路设计方法与实践6.1 数字电路设计流程掌握数字电路设计的整体流程，包括需求分析、方案设计、原理图绘制、仿真测试、硬件实现和调试等步骤。

《无机化学》电子教案

《无机化学》电子教案第一章：绪论1.1 课程介绍了解无机化学的定义、范围和重要性了解无机化学的发展历程和现状了解无机化学与其他学科的联系1.2 基本概念物质、元素、化合物、离子、分子等基本概念原子结构、电子排布、离子键、共价键等基本概念1.3 化学方程式化学方程式的表示方法和平衡原理化学反应的类型和特点第二章：原子结构与元素周期律2.1 原子结构原子核的结构和组成电子云和电子轨道原子的大小和质量2.2 元素周期律元素周期表的排列原理和结构主族元素、过渡元素和稀有气体元素的特点元素周期律的应用2.3 化学键离子键的形成和特点共价键的形成和特点金属键的形成和特点第三章：氧化还原反应3.1 氧化还原反应的基本概念氧化还原反应的定义和特点氧化剂、还原剂、氧化数等基本概念3.2 电子转移和电荷守恒电子转移的类型和特点电荷守恒定律的应用3.3 氧化还原反应的平衡和动力学氧化还原反应的平衡常数和影响因素氧化还原反应的动力学原理和方法第四章：溶液与离子反应4.1 溶液的基本概念溶液的定义和分类溶剂的选择和溶解能力4.2 离子反应的基本概念离子反应的定义和特点离子反应的类型和规律4.3 离子反应的平衡和动力学离子反应的平衡常数和影响因素离子反应的动力学原理和方法第五章：化学键与晶体结构5.1 化学键的类型和特点离子键的形成和特点共价键的形成和特点金属键的形成和特点5.2 晶体结构的基本概念晶体的定义和分类晶格和晶胞的结构5.3 晶体结构的类型和特点离子晶体的结构特点和性质共价晶体的结构特点和性质金属晶体的结构特点和性质第六章：有机化学基础6.1 有机化合物的基本概念有机化合物的定义和特点有机化合物的命名规则6.2 有机化合物的结构碳原子的四价键特性有机化合物的立体化学6.3 有机化合物的性质有机化合物的物理性质有机化合物的化学性质第七章：有机化学反应7.1 有机化合物的合成反应加成反应、消除反应、取代反应等基本反应类型有机合成策略和催化方法7.2 有机化合物的分解反应热分解、光分解、氧化分解等反应类型有机化合物的稳定性7.3 有机化合物的转化反应醇、醚、酮等官能团的转化反应芳香族化合物的反应第八章：分析化学基础8.1 分析化学的基本概念分析化学的目标和任务分析化学的方法和分类8.2 定量分析方法滴定分析、原子吸收光谱法、质谱法等数据处理和误差分析8.3 定性分析方法光谱分析、色谱分析、电化学分析等定性分析的步骤和技巧第九章：物理化学基础9.1 热力学基本概念系统、状态、过程等基本概念能量、功、热量等基本物理量9.2 热力学定律热力学第一定律和第二定律熵和自由能的概念9.3 动力学基本概念反应速率和平衡常数化学动力学的级数和机理第十章：化学实验技能10.1 实验基本操作实验仪器的使用和维护实验安全常识和事故处理10.2 实验方案的设计与实施实验目的和步骤的制定实验数据的记录和分析实验报告的结构和内容实验结果的图表展示和讨论重点和难点解析重点环节1：原子结构与元素周期律原子结构的理解和电子轨道的概念是理解后续化学反应的基础。

电子技术全册教案教学设计

电子技术全册教案完整版教学设计第一章：电子技术基础1.1 电子技术概述了解电子技术的定义和发展历程。

掌握电子元件的基本概念和特性。

1.2 电子元件学习电阻、电容、电感等基本电子元件的符号和功能。

了解二极管、晶体管等半导体元件的原理和应用。

1.3 电子电路的基本分析方法学习电路分析的基本原理和方法，如欧姆定律、基尔霍夫定律等。

掌握电子电路的简单分析和计算能力。

第二章：模拟电子技术2.1 放大电路学习放大电路的基本原理和分类。

掌握放大电路的设计和分析方法。

2.2 滤波器了解滤波器的作用和分类。

学习模拟滤波器的设计和应用。

2.3 振荡电路掌握振荡电路的原理和分类。

学习振荡电路的设计和应用。

第三章：数字电子技术3.1 数字逻辑基础学习数字逻辑的基本概念和原理。

掌握逻辑门、逻辑函数和逻辑代数的基本运算。

3.2 数字电路学习组合逻辑电路和时序逻辑电路的原理和设计。

掌握数字电路的应用和实例。

3.3 数字计算机基础了解计算机的基本组成和工作原理。

学习计算机的中央处理器、存储器和输入输出系统。

第四章：电子测量与仪器4.1 电子测量基础学习电子测量的基本概念和方法。

掌握电子测量仪器的原理和使用方法。

4.2 常用电子测量仪器学习示波器、信号发生器、万用表等常用电子测量仪器的使用。

了解电子测量仪器的维护和保养。

4.3 电子测量实验进行电子测量实验，掌握实验操作技能和数据处理方法。

分析实验结果，提高实验能力和科学思维。

第五章：电子技术应用实例5.1 电子控制系统了解电子控制系统的基本原理和组成。

学习电子控制系统的设计和应用。

5.2 电子制作实例学习电子制作的步骤和技巧。

完成一个简单的电子制作项目，提高动手能力和创新能力。

5.3 电子技术在现代社会中的应用了解电子技术在现代社会中的广泛应用。

学习电子技术在通信、家电、工业控制等领域的应用实例。

第六章：集成运算放大器6.1 运算放大器概述学习运算放大器的基本原理和特性。

掌握运算放大器的应用领域和选用原则。

货币金融学教案(第3-4章) 货币金融学蒋先玲版

5、98.3放开贴现和转贴现利率
6、98.10各商业银行、城市信用社对小型企业贷款利率最高上浮幅度由10％扩大为20％，最低下浮幅度10％不变；农村信用社贷款利率最高上浮幅度由40％扩大为50％。
7、1999年4月1日起，各金融机构（不含农村信用社）县以下（不含县城）营业机构贷款利率最高上浮幅度扩大到30％。
3、熟悉几种重要的利率决定理论的主要内容；
4、熟悉利率的划分标准及其主要分类，能应用单利法和复利法进行计算；
5、了解利息的来源。
教学重点及难点提示：
1、重点掌握利息的本质、利息率的计算；
2、影响利息率的主要因素；
3、本章的难点在于理解利率发挥作用的原理，能够运用理论对我国利率市场化改革进行分析。
教学主要内容：
二、利率市场化的客观必要性
1、利率市场化是引导货币资金合理流动、实现社会资源优化配置的重要条件。
2、利率市场化是不完善间接调控体系的重要条件，有利于中央银行宏观调控。
3、利率市场化有利于推进资金商品化和融资市场化。
4、利率市场化有利于推进金融体制和信贷资金经营方式的转变。
我国目前存在的问题也要求利率市场化
（五）国内利率与国际利率
国内利率是反映一个国家金融市场资金供求总体状况的利率；国际利率是比较宽泛的概念，一般意义上是指国际金融市场的利率水平。在国际金融领域，习惯把伦敦同业拆借利率（LIBOR）、纽约同业拆借利率（NIBOR）、新加坡同业拆借利率（CIBOR）、香港同业拆借利率（HIBOR）看作是该国际金融市场的基准利率。国际金融市场的利率水平逐步趋向一致。
浮动利率是指在借贷关系存续期内，利率水平可随市场变化而定期变动的利率。
（四）名义利率和实际利率
名义利率，是指没有剔除通货膨胀因素的利率，即包括补偿通货膨胀风险的利率。

职业中学电工电子全部课程教案

职业中学电工电子全部课程教案第一章：电工基础1.1 电流、电压和电阻的概念电流：电荷的定向移动形成电流，电流的单位是安培（A）。

电压：电压是电势差的绝对值，电压的单位是伏特（V）。

电阻：电阻是电流流过导体时受到的阻碍，电阻的单位是欧姆（Ω）。

1.2 欧姆定律欧姆定律：电流I等于电压U除以电阻R，即I = U/R。

应用欧姆定律计算电路中的电流、电压和电阻。

1.3 电路的基本元件电源：提供电能的装置，如电池、发电机。

导体：电流流过的路径，如电线、金属。

电阻器：限制电流流动的装置，如电阻、电位器。

开关：控制电路通断的装置。

第二章：电子技术基础2.1 半导体概念半导体：导电性能介于导体和绝缘体之间的材料，如硅、锗。

N型半导体：掺入五价元素（如磷）的半导体。

P型半导体：掺入三价元素（如硼）的半导体。

2.2 PN结PN结：P型半导体和N型半导体接触形成的结。

PN结的正向偏压和反向偏压特性。

2.3 二极管二极管：由PN结组成的半导体器件。

二极管的导通和截止条件。

二极管的应用：整流、滤波、稳压等。

第三章：基本电路分析方法3.1 基尔霍夫定律基尔霍夫电流定律：电路中任意节点进入电流之和等于离开电流之和。

基尔霍夫电压定律：电路中闭合回路电压降之和等于电源电压之和。

3.2 电路的简化串联电路：电流相同，电压相加。

并联电路：电压相同，电流相加。

3.3 交流电路分析交流电：电压和电流随时间变化的电信号。

交流电路的阻抗和相位。

第四章：电子测量与调试4.1 电子测量仪器示波器：显示电压随时间变化的图形。

多用电表：测量电压、电流、电阻等。

信号发生器：产生不同频率和幅度的信号。

4.2 电路调试方法测量电路中的电压、电流、电阻等参数。

故障诊断和修复。

4.3 安全操作规程遵守安全操作规程，防止触电和短路等事故。

第五章：实用电子电路设计5.1 设计原则和步骤确定电路功能和性能要求。

选择合适的元器件。

绘制电路原理图和PCB图。

5.2 常用电路设计实例放大电路：放大微弱信号。

《电子技术基础》正式教案

《电子技术基础》正式教案第一章：电子技术概述1.1 电子技术的定义与发展介绍电子技术的定义讲解电子技术的发展历程1.2 电子技术的基本组成部分介绍电子电路的基本组成部分讲解电子元件的功能和特点1.3 电子技术的基本测量与测试方法介绍电子技术的测量与测试方法讲解测量工具的使用和测量原理第二章：模拟电子技术基础2.1 模拟电子元件介绍电阻、电容、电感等基本元件的特性讲解二极管、晶体管等有源元件的功能和特点2.2 模拟电子电路分析并讲解基本放大电路、滤波电路、振荡电路等介绍模拟集成电路的基础知识2.3 模拟信号处理讲解模拟信号的采样与保持介绍模拟信号的调制与解调第三章：数字电子技术基础3.1 数字电子元件介绍逻辑门、逻辑电路的功能和特点讲解触发器、计数器等数字电路的应用3.2 数字电路设计分析并讲解组合逻辑电路、时序逻辑电路的设计方法介绍数字集成电路的基础知识3.3 数字信号处理讲解数字信号的编码与解码介绍数字信号的滤波与加密技术第四章：电子电路的设计与实践4.1 电子电路设计的基本原则和方法讲解电子电路设计的基本原则介绍电子电路设计的方法和步骤4.2 电子电路仿真与实验讲解电子电路仿真软件的使用方法安排电子电路实验项目，讲解实验原理和方法4.3 电子电路的安装与调试讲解电子电路的安装工艺和注意事项介绍电子电路调试的方法和技巧第五章：现代电子技术应用与发展5.1 微电子技术及其应用介绍微电子技术的基本概念和特点讲解微电子技术在现代电子产品中的应用5.2 通信技术及其应用介绍通信技术的基本原理和分类讲解通信技术在现代通信系统中的应用5.3 嵌入式系统及其应用介绍嵌入式系统的基本概念和组成讲解嵌入式系统在现代工业中的应用第六章：传感器与信号检测6.1 传感器的基本原理与应用介绍传感器的作用和分类讲解常见传感器的原理及其在电子技术中的应用6.2 信号检测技术讲解信号检测的基本原理和方法介绍信号处理技术在电子技术中的应用6.3 传感器与信号检测实验安排传感器与信号检测实验项目讲解实验原理和操作方法第七章：电源技术与电子测量7.1 电源技术基础介绍电源的分类和基本原理讲解电源电路的设计和保护7.2 电子测量技术介绍电子测量的基本概念和方法讲解电子测量仪器仪表的使用和维护7.3 电源与电子测量实验安排电源与电子测量实验项目讲解实验原理和操作方法第八章：可编程逻辑器件与计算机8.1 可编程逻辑器件介绍可编程逻辑器件的分类和特点讲解可编程逻辑器件的设计和应用8.2 计算机硬件基础介绍计算机硬件系统的组成和功能讲解中央处理器（CPU）、存储器、输入输出设备等的基本原理和应用8.3 计算机软件与编程介绍计算机软件的分类和特点讲解计算机编程语言及其应用第九章：电子技术在工程应用中的案例分析9.1 电子技术在通信工程中的应用分析电子技术在通信系统、设备中的应用案例讲解通信工程中的关键技术及其解决方案9.2 电子技术在自动化控制中的应用分析电子技术在自动化控制系统中的应用案例讲解自动化控制工程中的关键技术及其解决方案9.3 电子技术在现代医疗设备中的应用分析电子技术在医疗设备中的应用案例讲解医疗电子工程中的关键技术及其解决方案第十章：电子技术的创新与发展趋势10.1 电子技术的创新与发展介绍电子技术在科研、产业等领域的创新成果分析电子技术的发展趋势和前景10.2 现代电子技术的应用领域讲解电子技术在物联网、大数据、等领域的应用10.3 电子技术的创新与产业发展探讨电子技术产业发展对经济社会的影响分析电子技术创新对人才培养的需求和挑战重点解析本文档是《电子技术基础》正式教案的完整版，共包含十个章节。

电子教案数字电子技术第三章组合逻辑电路XX1

电子教案数字电子技术第三章组合逻辑电路XX1
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2020/11/28
电子教案数字电子技术第三章组合逻辑电路XX1
•解：（1）列出真值表：
（2）由真值表写出各输出的逻辑表达式为：
电子教案数字电子技术第三章组合逻辑电路XX1
• 重新整理得：
• （3）由表达式画
• 出逻辑图：
电子教案数字电子技术第三章组合逻辑电路XX1
• （4）增加控制使能标志GS ：
• 当按下S0～ S9
• 任意一个键时，
• GS=1，表示有
例4.3.1 试用8选1数据选择器74151实现逻辑函数：
解：将逻辑函数转换成最小项表达式：
=m3+m5+m6+m7 画出连线图。
电子教案数字子技术第三章组合逻辑电路XX1
（2）当逻辑函数的变量个数大于数据选择器的地址输入变量个数时。例4.3.2 试用4选1数据选择器实现逻辑函数：解：将A、B接到地址输入端，C加到适当的数据输入端。作出逻辑函数L的真值表，根据真值表画出连线图。
按内部连接方式不同，七段数字显示器分为共阴极和共阳极两种。
2．七段显示译码器7448 七段显示译码器7448是一种与共阴极数字显示器配合使用的集成译码器。
电子教案数字电子技术第三章组合逻辑电路XX1
电子教案数字电子技术第三章组合逻辑电路XX1
•7448的逻辑功能：（1）正常译码显示。LT=1，BI/RBO=1时，对输入为十
如果想用与非门组成半加器，则将上式用代数法变换成与非形式：
由此画出用与非门组成的半加器。
电子教案数字电子技术第三章组合逻辑电路XX1

电子技术应用《数电》教案

电子技术应用《数电》教案第一章：数字电路基础1.1 数字电路概述了解数字电路的定义、特点和应用领域熟悉数字电路与模拟电路的区别1.2 数制和码制学习二进制、八进制、十六进制的表示方法掌握不同码制（如ASCII码、BCD码）的转换方法1.3 逻辑门学习与门、或门、非门、异或门等基本逻辑门电路掌握逻辑门的功能和真值表第二章：组合逻辑电路2.1 组合逻辑电路概述了解组合逻辑电路的定义和特点熟悉组合逻辑电路的分类和应用2.2 常用组合逻辑电路学习译码器、编码器、多路选择器、多路分配器等电路掌握组合逻辑电路的设计方法2.3 组合逻辑电路的设计实例设计一个4x1多路选择器设计一个全加器第三章：时序逻辑电路3.1 时序逻辑电路概述了解时序逻辑电路的定义和特点熟悉时序逻辑电路的分类和应用3.2 触发器学习SR触发器、JK触发器、T触发器、CTR触发器等电路掌握触发器的真值表、时序图和功能3.3 时序逻辑电路的设计实例设计一个2位同步计数器设计一个顺序检测器第四章：数字电路仿真4.1 数字电路仿真概述了解数字电路仿真的定义和意义熟悉数字电路仿真工具的使用4.2 常用数字电路仿真工具学习Multisim、Proteus等仿真工具的基本操作掌握仿真工具中元器件的选型和连接方法4.3 数字电路仿真实例利用仿真工具验证组合逻辑电路的功能利用仿真工具验证时序逻辑电路的功能第五章：数字电路实验5.1 数字电路实验概述了解数字电路实验的目的和意义熟悉数字电路实验步骤和注意事项5.2 数字电路实验器材和仪器学习数字电路实验所需的器材和仪器使用方法掌握实验器材和仪器的连接和调试方法5.3 数字电路实验实例完成一个组合逻辑电路的实验完成一个时序逻辑电路的实验第六章：数字电路测试与维护6.1 数字电路测试概述理解数字电路测试的目的和方法熟悉测试用例的设计和测试过程6.2 数字电路测试方法学习静态测试和动态测试两种方法掌握测试电路的搭建和测试结果的分析6.3 数字电路维护与故障排除了解数字电路维护的基本原则学习故障排除的步骤和方法第七章：数字系统设计流程7.1 数字系统设计概述理解数字系统设计的基本流程熟悉各个设计阶段的任务和目标7.2 需求分析与规格说明学习如何进行需求分析掌握编写数字系统规格说明书的方法7.3 数字系统设计实现学习数字系统设计的具体步骤掌握硬件描述语言（如Verilog）的使用第八章：数字信号处理器（DSP）8.1 DSP概述理解DSP的定义、特点和应用熟悉DSP与其他处理器的比较8.2 DSP的结构与工作原理学习DSP的内部结构和工作流程掌握DSP的指令集和编程方法8.3 DSP应用实例学习DSP在音频处理、图像处理等领域的应用设计一个简单的DSP应用系统第九章：数字电路与系统的安全与保护9.1 数字电路与系统的安全了解数字电路与系统的安全问题学习加密算法和数字签名技术9.2 硬件安全措施学习物理不可克隆功能（PUF）和硬件安全模块（HSM）掌握安全启动和安全存储的实现方法9.3 系统保护与版权保护了解系统保护的重要性学习数字版权管理（DRM）和软件保护的方法第十章：未来数字电路技术的发展趋势10.1 新兴数字电路技术了解量子计算、神经形态计算等新兴技术学习这些技术对传统数字电路的影响10.2 数字电路设计的未来趋势分析数字电路设计的发展方向探讨可持续发展和环保在数字电路设计中的作用10.3 教育与培训强调终身学习在数字电路技术发展中的重要性探讨在线教育和虚拟实验室在数字电路教学中的应用重点和难点解析一、数字电路基础：理解不同数制和码制之间的转换，以及逻辑门的功能和真值表。

电工电子教案

电工电子教案第一章：电工基础1.1 电流、电压和电阻教学目标：了解电流、电压和电阻的概念及其关系。

学会使用万用表测量电流、电压和电阻。

教学内容：电流、电压和电阻的定义。

电流、电压和电阻的测量方法。

万用表的使用方法。

教学活动：引入电流、电压和电阻的概念。

演示电流、电压和电阻的测量方法。

学生分组实验，使用万用表测量电流、电压和电阻。

1.2 电路元件教学目标：了解电路元件的种类和作用。

学会使用电路元件搭建简单电路。

教学内容：电路元件的种类：电源、开关、导线、电阻、电容等。

电路元件的作用。

简单电路的搭建方法。

教学活动：介绍电路元件的种类和作用。

演示简单电路的搭建方法。

学生分组实验，搭建简单电路。

第二章：电子技术基础2.1 电子元件教学目标：了解电子元件的种类和作用。

学会使用电子元件搭建简单电子电路。

教学内容：电子元件的种类：二极管、晶体管、电阻、电容等。

电子元件的作用。

简单电子电路的搭建方法。

教学活动：介绍电子元件的种类和作用。

演示简单电子电路的搭建方法。

学生分组实验，搭建简单电子电路。

2.2 电路分析方法教学目标：了解电路分析的基本方法。

学会使用欧姆定律、基尔霍夫定律等分析电路。

教学内容：电路分析的基本方法：欧姆定律、基尔霍夫定律等。

电路分析的步骤。

电路分析的实例。

教学活动：介绍电路分析的基本方法。

演示电路分析的步骤和实例。

学生分组实验，练习电路分析。

第三章：电机与控制3.1 直流电机教学目标：了解直流电机的工作原理和特性。

学会使用直流电机进行控制。

教学内容：直流电机的工作原理。

直流电机的特性：转速、转矩等。

直流电机的控制方法：开关控制、PWM控制等。

教学活动：介绍直流电机的工作原理和特性。

演示直流电机的控制方法。

学生分组实验，使用直流电机进行控制。

3.2 交流电机教学目标：了解交流电机的工作原理和特性。

学会使用交流电机进行控制。

教学内容：交流电机的工作原理。

交流电机的特性：转速、转矩等。

交流电机的控制方法：开关控制、变频控制等。

仪器分析电子教案(全)

第一章：概述1.1 课程介绍介绍本课程的目的、意义和主要内容。

讲解仪器分析在化学、生物技术、环境科学等领域的应用。

1.2 仪器分析的基本概念定义仪器分析及其分类（如光谱分析、色谱分析、电化学分析等）。

介绍仪器分析的基本原理和方法。

1.3 仪器分析的发展历程概述仪器分析技术的发展历程及其重要里程碑。

讲解现代仪器分析技术的主要特点和优势。

仪器分析电子教案(二)第二章：光谱分析2.1 紫外-可见光谱分析介绍紫外-可见光谱分析的基本原理。

讲解紫外-可见光谱仪器的结构及操作方法。

2.2 红外光谱分析介绍红外光谱分析的基本原理。

讲解红外光谱仪器的结构及操作方法。

2.3 拉曼光谱分析介绍拉曼光谱分析的基本原理。

讲解拉曼光谱仪器的结构及操作方法。

第三章：色谱分析3.1 气相色谱分析介绍气相色谱分析的基本原理。

讲解气相色谱仪器的结构及操作方法。

3.2 液相色谱分析介绍液相色谱分析的基本原理。

讲解液相色谱仪器的结构及操作方法。

3.3 色谱-质谱联用分析介绍色谱-质谱联用分析的基本原理。

讲解色谱-质谱联用仪器的结构及操作方法。

仪器分析电子教案(四)第四章：电化学分析4.1 电化学分析基本原理介绍电化学分析的基本原理。

讲解电化学分析仪器的结构及操作方法。

4.2 电位分析法介绍电位分析法的基本原理。

讲解电位分析仪器的结构及操作方法。

4.3 库仑分析法介绍库仑分析法的基本原理。

讲解库仑分析仪器的结构及操作方法。

第五章：现代仪器分析技术5.1 原子吸收光谱分析介绍原子吸收光谱分析的基本原理。

讲解原子吸收光谱仪器的结构及操作方法。

5.2 原子荧光光谱分析介绍原子荧光光谱分析的基本原理。

讲解原子荧光光谱仪器的结构及操作方法。

5.3 质谱分析介绍质谱分析的基本原理。

讲解质谱仪器的结构及操作方法。

仪器分析电子教案(六)第六章：样品处理与制备6.1 样品采集与处理讲解样品采集的方法和注意事项。

介绍样品的预处理方法，如过滤、稀释、浓缩等。

教案：第三章性格探索

大学生职业发展与就业指导课程教案教学内容摘要：一、性格的概念性格也称为人格特质，是一个人在生活中对人、对事、对自己、对外在环境所表现出来的一致性反应方式。

美国著名职业生涯指导专家约翰·霍兰德（John Holland）认为，性格是兴趣、价值观、需要、技能、信念、态度和学习风格的综合体；职业选择是性格的一种表现、是个人人格的反应和延伸。

二、性格与职业发展的关系在我们的周围人中可以发现，同一职业类型或团体中往往聚集着人格相似的工作，比如销售行业的人多数是性格外向性、会计行业人比较细心、教师善于关心爱护他人、从政的人手腕比较强硬，执行力强。

如果一个人所从事的职业与其人格类型是匹配的，则他工作起来就轻松愉快、得心应手、富有成就，反之则会不适应、困难重重，给个人的发展和组织造成影响。

在职业指导中，就是帮助人了解自己属于哪一种类型，然后在对应的职业环境中寻找合适的职业，这样不仅缩小了人们职业选择的搜索范围，使职业选择的方向性更强，而且选中的职业与自己个性最为匹配，有利于个人才能发挥和价值的实现。

三、MBTI人格类型理论1、MBTI简介MBTI（Myers-Briggs type indicator）的理论基础来源于瑞典心理学家荣格（Carl Jung）有关知觉、判断和人格态度的观点，由布莱格斯（Katherine C.Briggs）和她的女儿迈尔斯（Isabel Briggs-Myers）研究，后来发展成为心理测评工具，MBTI用途非常广泛，被用于自我探索、职业发展、人才选拔、管理培训、恋爱与婚姻咨询、教育咨询及多元文化培训中。

2、MBTI中的四个维度MBTI分别从四个维度考察个人的偏好, 每个维度由对立的两极构成：外向—内向；感觉—直觉；思维—情感；判断—知觉。

能量倾向：Extraversion vs. Introversion 外向/内向接受信息：Sensing vs. iNtuition 感觉/直觉处理信息：Thinking vs. Feeling 思考/情感行动方式：Judging vs. Perceiving 判断/知觉表3-1 MBTI维度解释（1）E-I维度外向—内向(extroversion—introversion，简称E—1)是指我们与世界相互作用的方式和能量的疏导方式。

《电工电子技术与技能》教案

《电工电子技术与技能》教案第一章：电工电子技术基础1.1 电流、电压和电阻的概念1.2 电路的基本元件1.3 电路的基本定律1.4 电路的简单分析方法第二章：直流电路2.1 直流电路的基本概念2.2 直流电路的基本定律2.3 直流电路的简单分析方法2.4 常用电路元件的识别与检测第三章：交流电路3.1 交流电路的基本概念3.2 交流电路的基本定律3.3 交流电路的简单分析方法3.4 交流电路的功率计算第四章：磁路与变压器4.1 磁路的基本概念4.2 变压器的基本原理4.3 变压器的结构与分类4.4 变压器的检测与维护第五章：电子元器件5.1 半导体基础知识5.2 常用半导体元器件5.3 集成电路的基本概念与分类5.4 常用集成电路的功能与应用第六章：电器设备与控制6.1 常用家用电器的结构与原理6.2 常用工业电器设备6.3 电器设备的控制原理与方法6.4 电器设备的安装与维护第七章：电机与变频器7.1 电机的基本原理与结构7.2 电机的分类与应用7.3 变频器的基本原理与功能7.4 变频器的应用与调试第八章：电力电子技术8.1 电力电子器件的基本原理与特性8.2 电力电子变换器的基本电路与控制8.3 电力电子技术的应用实例8.4 电力电子设备的安装与调试第九章：通信电子技术9.1 通信系统的基本原理与组成9.2 模拟通信技术9.3 数字通信技术9.4 通信电子设备的应用与维护第十章：电工电子技术综合应用10.1 电工电子技术在电力系统中的应用10.2 电工电子技术在工业控制中的应用10.3 电工电子技术在日常生活中的应用10.4 电工电子技术的创新与发展趋势重点和难点解析一、电流、电压和电阻的概念：电流、电压和电阻是电路分析的基础，理解这些基本概念对于后续电路分析至关重要。

二、电路的基本元件：电路的基本元件包括电源、导线、开关、电阻、电容和电感等，了解它们的特性和功能对于设计电路至关重要。

三、电路的基本定律：欧姆定律、基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律是分析电路的基础，掌握这些定律对于解决电路问题至关重要。

四年级上册道德与法治全册教案

四年级上册道德与法治全册教案第一章：遵守规则1.1 教学目标让学生了解生活中规则的重要性。

培养学生自觉遵守规则的良好习惯。

1.2 教学内容规则的定义和作用。

日常生活中常见的规则。

遵守规则的重要性。

1.3 教学方法讨论法：让学生举例说明规则的重要性。

案例分析法：分析违反规则的后果。

1.4 教学步骤引入：通过故事或实例引出规则的重要性。

讲解：讲解规则的定义和作用。

实践：让学生举例说明日常生活中遵守规则的重要性。

总结：强调遵守规则的重要性，引导学生自觉遵守规则。

第二章：尊重他人2.1 教学目标让学生理解尊重他人的重要性。

培养学生尊重他人的良好习惯。

2.2 教学内容尊重他人的定义和作用。

尊重他人的表现。

不尊重他人的后果。

2.3 教学方法讨论法：让学生举例说明尊重他人的重要性。

角色扮演法：模拟尊重他人的场景。

2.4 教学步骤引入：通过故事或实例引出尊重他人的重要性。

讲解：讲解尊重他人的定义和作用。

实践：让学生模拟尊重他人的场景。

总结：强调尊重他人的重要性，引导学生尊重他人。

第三章：诚实守信3.1 教学目标让学生理解诚实守信的重要性。

培养学生诚实守信的良好习惯。

3.2 教学内容诚实守信的定义和作用。

诚实守信的表现。

不诚实守信的后果。

3.3 教学方法讨论法：让学生举例说明诚实守信的重要性。

案例分析法：分析不诚实守信的后果。

引入：通过故事或实例引出诚实守信的重要性。

讲解：讲解诚实守信的定义和作用。

实践：让学生举例说明诚实守信的表现。

总结：强调诚实守信的重要性，引导学生诚实守信。

第四章：负责任4.1 教学目标让学生理解负责任的重要性。

培养学生负责任的良好习惯。

4.2 教学内容负责任的定义和作用。

负责任的表现。

不负责任的后果。

4.3 教学方法讨论法：让学生举例说明负责任的重要性。

案例分析法：分析不负责任的后果。

4.4 教学步骤引入：通过故事或实例引出负责任的重要性。

讲解：讲解负责任的定义和作用。

实践：让学生举例说明负责任的表现。

水文地球化学电子教案

水文地球化学电子教案第一章：水文地球化学概述1.1 水文地球化学的定义1.2 水文地球化学的研究对象和内容1.3 水文地球化学的发展简史1.4 水文地球化学的重要性第二章：水文地球化学基本概念2.1 地球化学的基本概念2.2 水的性质和分类2.3 地下水的形成和运动2.4 水文地球化学循环第三章：水文地球化学元素与同位素3.1 元素的性质和分布3.2 常见元素的水文地球化学行为3.3 同位素的水文地球化学应用3.4 元素和同位素在水文地球化学研究中的应用第四章：水文地球化学分析方法4.1 水文地球化学样品的采集与处理4.2 水文地球化学分析技术4.3 数据处理与质量控制4.4 水文地球化学分析方法的进展与挑战第五章：水文地球化学应用实例5.1 地下水污染的水文地球化学研究5.2 地下水资源评价与管理5.3 环境水文地球化学问题5.4 水文地球化学在工程中的应用第六章：水文地球化学循环与地球化学过程6.1 水文地球化学循环的基本原理6.2 岩石圈-大气圈-水圈-生物圈之间的水文地球化学循环6.3 地球化学过程在水文地球化学研究中的应用6.4 典型水文地球化学循环案例分析第七章：水文地球化学野外调查与采样技术7.1 野外调查的基本方法7.2 地下水采样技术7.3 岩石和土壤样品的采集7.4 数据处理与质量保证第八章：水文地球化学实验室分析技术8.1 常用实验室分析方法概述8.2 岩石和矿物分析8.3 水质分析8.4 同位素分析技术第九章：水文地球化学模型与应用9.1 水文地球化学模型的类型与构建9.2 地下水流动模型9.3 污染物迁移与转化模型9.4 水文地球化学模型在环境管理中的应用第十章：水文地球化学在我国的应用案例研究10.1 我国水文地球化学研究概况10.2 典型地区水文地球化学特征分析10.3 地下水资源评价与保护案例10.4 环境水文地球化学问题研究与治理案例第十一章：水文地球化学与环境健康11.1 水文地球化学与水质关系11.2 地下水中有害元素的来源与迁移规律11.3 水文地球化学指标在环境健康评估中的应用11.4 环境健康案例分析第十二章：水文地球化学在农业领域的应用12.1 农业水文地球化学背景12.2 土壤-植物系统中元素迁移与富集12.3 农业水文地球化学调查与评价方法12.4 农业水文地球化学应用案例第十三章：水文地球化学在能源领域的应用13.1 能源水文地球化学概述13.2 地下水资源在能源开发中的作用13.3 能源开发活动对水文地球化学的影响13.4 能源水文地球化学案例分析第十四章：水文地球化学在灾害防治中的应用14.1 地质灾害的水文地球化学因素14.2 水质预测与灾害预警14.3 水文地球化学在地质灾害防治中的应用14.4 灾害防治案例分析第十五章：水文地球化学研究的前沿与挑战15.1 水文地球化学研究的新技术与发展趋势15.2 跨学科研究在水文地球化学中的应用15.3 水文地球化学在全球变化研究中的作用15.4 未来水文地球化学研究的挑战与机遇重点和难点解析本教案全面覆盖了水文地球化学的基本概念、研究方法、应用领域及前沿挑战。

概率论与数理统计第三、四章教案

《概率论与数理统计》教案1第三章多维随机变量及其分布讲授内容：§1 二维随机变量 §2 边缘分布重点难点：重点——二维离散型随机变量的联合分布律及边缘分布律，二维连续型随机变量的联合概率密度及边缘概率密度．难点——利用二维概率分布求有关事件的概率，二维正态分布.§1 二维随机变量一、二维随机变量的概念在射击时，炮弹弹着点与横坐标和纵坐标有关，弹着点受两个变量的影响．横坐标和纵坐标是定义在一个样本空间的两个随机变量．与一维随机变量类似，一般地我们可定义二维随机变量如下：定义：设E 是一个随机试验，样本空间是 {}S e =，设 ()X X e =和()Y Y e = 是定义在其样本空间S 上的随机变量，由它们构成的向量(,)X Y ，称为定义在样本空间S 上的图1在研究随机向量的概率特征时，除每个随机变量的概率特征外，还要研究它们的联合概率特征：后者可以完全决定前者，但是前者一般不能完全决定后者．因此，只研究单个随机变量的分布是不够的，还必须研究随机向量作为一个整体的联合分布．与一维情形类似，为了研究二维随机变量的联合分布，我们引入“分布函数”来研究二维随机变量．定义：设(),X Y 是二维随机变量，对于任意的实数,x y ，二元函数：(,){()()}(,)F x y P X x Y y P X x Y y =≤⋂≤≤≤=记成称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量X 和Y 的联合分布函数．如果将二维随机变量),(Y X 看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数(,)X Y(,)F x y 在平面上任意点(,)x y 处的函数值就是随机点),(Y X 落在点(,)x y 左下方的整个无穷区域内的概率，如图2所示．借助图3容易算出随机点),(Y X 落在矩形区域 1212[,]x x x y y y <≤<≤ 的概率为121222211112{, }(,)(,)(,)(,)P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y <≤<≤=-+-联合分布函数(,)F x y 具有下列基本性质：1． (,)F x y 是变量,x y 的不减函数 2．0(,)1F x y ≤≤ ，且对任意固定的,(,)0y F y -∞=,对任意固定的,(,)0x F x -∞= ，(,)0F -∞-∞= (,)1F +∞+∞= ， 3．，(,)F x y 关于x 和y 均右连续．4．对任意 11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<，下述不等式成立：22211112(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y -+-≥二、二维离散型随机变量与一维随机变量的情形类似，我们这里讨论的也是离散型和连续型这两种类型的二维随机变量．定义：若二维随机变量),(Y X 的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称(,)(,0)F x y F x y =+(,)(0,)F x y F x y =+x图2图31x 2x O),(Y X 为二维离散型随机变量．显然，若(),X Y 是二维离散型随机变量，则其分量 X 和Y 都是一维离散型随机变量．设(,)X Y 是二维离散型随机变量，它所有可能的取值为(,),,1,2,i j x y i j = ，记{,},,1,2,i j i j P X x Y y p i j ==== ，则由概率的定义有1. 0i j p ≥ （非负性）2. ,1i ji jp=∑ （规范性）我们称{,},,1,2,i j i j P X x Y y p i j ==== 为二维离散变量(,)X Y的分布律，或随机变量X 和Y 的联合分布律．我们可以用表格表示X 和Y 的联合分布律：例1 设随机变量X 在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y 在1~X 中等可能的取一个值．试求(,)X Y 的分布律．解：由乘法公式容易求得(,)X Y 的分布律．易知{,}X i Y j ==的取值情况是：1,2,3,4,i j = 取不大于i 的正整数．且11{,}{|}{}4P X i Y j P Y j X i P X i i =======，1,2,3,4,i j i =≤ 于是(,)X Y 的分布律为：12jy y y 112111222212i i jjijp p p p p p p p p XY 12ix x x X1 2 3 4Y 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16将(,)X Y 看成一个随机点的坐标，由图2知道离散型随机变量X 和Y 的联合分布律为(,){,}i j i jx x y yF x y P X x Y y p≤≤=≤≤=∑∑ （1）例2 一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时各球被取到的可能性相等，以,X Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求,X Y 的分布律．解：(,)X Y 的可能取值为(1,2),(2,1),(2,2),121{1,2},323P X Y ===⋅=211{2,1},323P X Y ===⋅=211{2,2}.323P X Y ===⋅=1112212210,,3p p p p ==== 故(,)X Y 的分布律为三、二维连续型随机变量与一维情形类似，我们有如下定义：定义设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，若存在非负可积函数),(y x f 使得对于任意实数x 和y ，有则称),(Y X 为连续型的二维随机变量，(,)f x y 称为二维随机变量),(Y X 的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度．按定义，概率密度具有以下性质：（1）（非负性） (,)0f x y ≥(,)(,)d d y xF x y f x y x y -∞-∞=⎰⎰(,)f x y X1 2Y1 0 1/32 1/3 1/3（2）（规范性）(,)d d (,)1f x y x y F +∞+∞-∞-∞=∞∞=⎰⎰（3）设G 是xOy 平面上的区域，点(),X Y 落在G 内的概率为 (){(,)},d d GP X Y G f x y x y ∈=⎰⎰（4）若(,)f x y 在点(,)x y 连续，则有2(,)(,)F x y f x y x y∂∂∂= 在几何上(),z f x y =表示空间的一个曲面，由性质2知，界于它和xOy 平面的空间区域的体积为1．由性质3知，{(,)}P X Y D ∈值等于以D 为底、以曲面(),z f x y =为顶的曲顶柱体的体积．例3 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2,0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1) 求分布函数 (,)F x y ; (2)求概率 {}P Y X ≤ ．解：（1）(,)(,)y xF x y f x y dxdy -∞-∞=⎰⎰(2)002,0,y xx y edxdy x -+⎧>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其他即有2(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其他（2）将),(Y X {}{(,)}Y X X Y G ≤=∈ 其中G 为xOy 平面上直线 y x =及其下方的部分，如图4，于是{}{(,)}(,)GP Y X P X Y G f x y dxdy ≤=∈=⎰⎰(2)0123x y e dxdy +∞+∞-+==⎰⎰例4 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(6),02,24,(,)0,.k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它 x(1);(2){1,3};(3){ 1.5};(4){4}.k P X Y P X P X Y <<<+≤确定常数求求解：(1)(,)d d 1,f x y x y ∞∞-∞-∞=⎰⎰因为所以242(6)d d 1k x y y x --=⎰⎰，即181,;8k k ==(2) 130213{1,3}(6)d d ;88P X Y x y y x <<=--=⎰⎰ (3) { 1.5}P X < 1.5402127(6)d d ;832x y y x =--=⎰⎰(4) {4}P X Y +≤{4}P X Y =≤-442012(6)d d .83y x y x y -=--=⎰⎰注：1．1),(=⎰⎰Sdxdy y x f 往往是一个重要的隐含条件．２．计算类似于{4}P X Y +≤这种问题，关键在于先确定事件}4{≤+Y X 所对应的区域G 的图形，然后只需利用性质３将问题转化为G 上的重积分．四、多维随机变量关于二维随机变量的讨论可以推广到(2)n n >维随机变量的情况．一般地，设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}S e = ，设1122(),(),X X e X X e == ,()n n X X e = 是定义在其样本空间S 上n 维随机变量，由它们构成一个n 维向量，12(,,,)n X X X 叫做n 维随机向量或n 维随机变量．对于任意n 个实数12,,,n x x x ，n 元函数12(,,,)n F x x x1122{,,}n n P X x X x X x =≤≤≤称为n 维随机变量12(,,,)n X X X 的分布函数或随机变量12,,,n X X X 的联合分布函数.它具有类似于二维随机变量的分布函数的性质．§2 边缘分布一、边缘分布函数二维随机变量(,)X Y 作为一个整体，它具有联合分布函数(,)F x y ，而 X 和Y 都是一维随机变量，它们也有自身的概率分布函数，将它们分别记为()X F x ,()Y F y ，依次称为二维随机变量(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布函数．边缘分布函数可以由(,)X Y 的分布函数(,)F x y 所确定，事实上，(){}{}{}{,}(,)Y F y P Y y P Y y P X P X Y y F y =≤=≤⋅<+∞=<+∞≤=+∞即()(,)Y F y F y =+∞，同理()(,)X F x F x =+∞．下面分别讨论二维离散型随机变量和二维连续型随机变量的边缘分布：二、二维离散型随机变量设 (,)X Y 是二维离散型随机变量，其联合分布律为{,}i j i j P X x Y y p ===则 (,)X Y 关于X 的边缘分布律为 1{}{}{},1,2,,i i i jj P X x P X x P Y pi ∞====⋅<+∞==∑即{}i P X x =1i j j p ∞==∑1,2,,i = 其中：{,}i j i j p P X x Y y ===同理(,)X Y 关于Y 的边缘分布列为1{}1,2,,j i ji P Y y pj ∞====∑记11{},1,2,{},1,2,i i j i j j i j j i p p P X x i p p P Y y j ∞⋅=∞⋅=========∑∑分别称(1,2,)i p i ⋅=和(1,2,)j p j ⋅=为(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律．离散型随机变量的边缘分布可从联合分布列的表格形式直接得到．（强调这一点！）三、二维连续型随机变量定义：设(,)X Y 是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为 (,)f x y 由 ()(,)[(,)d ]xX F x F x f x y y dx +∞-∞-∞=+∞=⎰⎰所以X 的概率密度为 ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰同理Y 的概率密度为 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰分别称(),()X Y f x f y 为 (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度．例1 一整数N 等可能的在1,2,3,,10 十个值中取一个值．设()D D N =是能整除N 的正整数的个数，()F F N =是能整除N 的素数的个数（注意 1 不是素数）．试写出D 和F 的联合分布律．并求边缘分布律．解：先将实验的样本空间及D ，F 的取值情况列出如下：D 所有可能取的值为1,2,3,4;F 所有可能取的值为0,1,2.．容易得到(,)D F 取(,),1,2,3,4.0,1,2i j i j ==的概率，这样可以得到D 和F 的联合分布律及边缘分布律如下表所示：即有边缘分布律：k pk p D 1/10 0 0 0 1/10 0 4/10 2/10 1/10 7/10 0 0 0 2/10 2/10 F1 2 3 4 P {F=j } 0 1 2P{D= i}1/10 4/10 2/10 3/10 1样本点 D F1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2D1 2 3 41/10 4/10 2/10 3/10 F 0 1 21/10 7/10 2/102211222221122()()()()1(,)(2),2(1),x x y yf x yx yμμμμρρσσσσ⎡⎤----=--+⎢⎥-⎣⎦-∞<<+∞-∞<<+∞其中1212,,,,μμσσρ为常数，且2120,0,1,(,)x y Rσσρ>><∈我们称(,)X Y服从参数为1212,,,,μμσσρ的二维正态分布．记为221212(,)~(,,,,)X Y Nμμσσρ，试求二维正态随机变量的边缘概率密度．解：()(,)Xf x f x y dy+∞-∞=⎰由于222221221122212211()()()()2()y x y y x xμμμμμμρρρσσσσσσ-------=--于是21221()1222(1)2121()()xXy xf x e dyμσρμμρσσ---+∞--∞--=-⎰令2121()y xtμμρσσ--=-，则有22121()2211()e2x tXf x e dyμσπσ--+∞--∞=⎰，即2121()2(),xXf x xμσ--=-∞<<+∞同理2222()2(),yYf y yμσ--=-∞<<+∞由上可见，二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，且边缘分布与参数ρ无关，也就是说，如21ρρ≠，则()1222121,,,,ρσσaaN与()2222121,,,,ρσσaaN是不同的，也对应不同的二维正态分布，但它们都有相同的边缘分布．这也说明，边缘分布不能唯一确定联合分布．提问：边缘分布均为正态分布的随机变量，其联合分布一定是二维正态分布吗？解答：不一定，我们来看一个反例．令(,)X Y 的联合密度函数为2221(,)(1sin sin )2πx y f x y e x y +-=+显然(,)X Y 不服从正态分布，但是2222(),()x y X Y f x f y e--==因此边缘分布均为正态分布的随机变量，其联合分布不一定是二维正态分布．例4设,0,(,)~(,)0,y e x y X Y f x y -⎧<<=⎨⎩求(1)();(2){X f x P X Y +解： (1) 当0x >时，()(,)d X f x f x y y ∞-∞=⎰d y x e ∞-=⎰当0x ≤时，()(,X f x f x y ∞-∞=⎰故,0,()0,.x X e x f x -⎧>=⎨⎩其它(2) 1{1}(,)d d x y P X Y f x y x y +≤+≤=⎰⎰111(1)220d []d xyx x xdx e y e e x -----==--⎰⎰⎰11212.e e --=+-[作业布置]： P104：２，5，6，８讲授内容：§3 条件分布 §4相互独立的随机变量教学重难点：重点——条件分布律，条件概率密度的概念；两个随机变量相互独立的判定．难点——条件概率密度的计算．§3 条件分布由条件概率很自然的引出条件概率分布的概念．一、二维离散型随机变量的条件分布设(,)X Y 二维离散型随机变量，其分布律为(,),1,2,i j i j P X x Y y p i j ====，(,)X Y 关于X 和Y 的边缘分布律分别为()1,2,()1,2,i i ij j j ij P X x p p i P Y y p p j ∞∞======∑∑j=1i=1=，=，由条件概率公式，可得{}(,)1,2,,{}i j i j i j j jp P X x Y y P X x Y y i P Y y p ⋅========易知条件概率具有分布律的性质： 1．{}0i j P X x Y y ==≥ 2．{}11111i jj ij i ji i i j jjp p P X xY y pp p p ∞∞∞⋅===⋅⋅⋅======∑∑∑定义: 设),(Y X 是二维离散型随机变量，对于固定j ，若{}0j P Y y => ，则称{}(,)1,2,,{}i j i j i j j jp P X x Y y P X x Y y i P Y y p ⋅======== (1)为在 j Y y = 条件下随机变量 X 的条件分布律，简称条件分布．同样，对于固定i ，若{}0i P X x => ，则称{}(,)1,2,,{}i j i j j i i i p P X x Y y P Y y X x j P X x p ⋅======== (2)为在 i X x =条件下随机变量 Y 的条件分布律．例1 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的，其一是紧固3只螺栓，其二是焊接2处焊点．以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目，以Y 表示机器人焊接的不良焊点的数目．据积累的资料知(X,Y) 具有分布律：求在1X = 的条件下，Y 的条件分布律；(1) 求在0Y = 的条件下，X 的条件分布律．解：边缘分布已列入上表．在1X = 的条件下，Y 的条件分布律为：{0,1}0.030{0|1}{1}0.045{1,1}0.010{1|1}{1}0.045{2,1}0.005{2|1}{1}0.045P Y X P Y X P X P Y X P Y X P X P Y X P Y X P X =====================或写成同样可以得到在0Y = 的条件下，X 的条件分布律为例2 一射手在进行射击，击中目标的概率为(01)p p <<，射击直到击中目标两次为止．设以X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y 表示总共进行的射击次数，试求X 和Y 的联合分布律及条件分布律．（此例选择讲解）解：按题意Y n = 就表示在第n 次射击时击中目标，且在第１次，第２次，，第1n -次射击中恰有一次击中目标．已知各次射击是相互独立的，于是不管()m m n <是多少，概率{,}P X m Y n ==都应等于22n p p q q q p q -=（这里1q p =-）即得X 和Y 的联合分布律为22{,},2,3,;1,2,,1n P X m Y n p q n m n -=====-又2211{}{,}n n m n m P X m P X m Y n p q ∞∞-=+=+=====∑∑212211,1,2,,1m n m n m p q pqpq m q-∞--=+====-∑0.840 0.030 0.020 0.010 0.900 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020 Y0 1 2 3 P {Y=j } 0 1 2P{X = i}0.910 0.045 0.032 0.013 1.0000 1 2 6/9 2/9 1/9Y k ={|1}P Y k X ==0 1 2 3 84/90 3/90 2/90 1/90 {|0}P X k Y ==X k =X11222211{}{,}(1),2,3,.n n n n m m P Y n P X m Y n p qn p q n ----========-=∑∑于是由(1) (2) 式得到所求的条件分布概率为当2,3,.n =时，2222{|},1,2,,1(1)n n p q P X m Y n m n n p q --====--当1,2,m =时，2211{|},1,2,n n m m p q P Y n X m pq n m m pq----=====++例如1{|3},1,2;2P X m Y m ====4{|3},4,5,n P Y n X pq n -====注：本例中求和的上下限由n m <≤1确定，其定限思路类似于重积分定限．二、二维连续型随机变量的条件分布当(,)X Y 是连续型随机变量时，由于对任意实数x 和y ，有 {}0P X x == {}0P Y y ==因此，不能直接用条件概率公式，此时我们用极限的方法引入“条件分布函数”的概念：设(,)X Y 的概率密度函数为 (,)f x y ，(,)X Y 关于Y 的边缘概率密度函数为()Y f y ．给定y ，对于任意给定的0ε>，对任意 x ，考虑条件概率{ }P X x y Y y ε≤<≤+设{ }0P y Y y ε<≤+>，则有{ }P X x y Y y ε≤<≤+{}[(,)d ]d ,{}()d x y y y Y yf x y y x P X x y Y y P y Y y f y yεεεε+-∞+≤<≤+==<≤+⎰⎰⎰在某些条件下，当ε很小时，上式右端分子，分母分别近似于(,)d x f x y x ε-∞⎰和()Y f y ε，于是当ε很小时，有(,)d (,)d { }()()x x Y Y f x y xf x y x P X x y Y y f y f y εεε-∞-∞≤<≤+≈=⎰⎰(3)定义：设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(),f x y ，(,)X Y 关于Y 的边缘概率密度为()Y f y ．若对于固定的y ，()0Y f y >，则称()(),Y f x y f y 为在条件Y y =下X 的条件概率密度，记为()(),()X Y Y f x y f x y f y =(4)称(,)d ()d ()xxX Y Y f x y x f xy x f y -∞-∞=⎰⎰为在条件Y y =下，X 的条件分布函数，记为{|}P X x Y y ≤=或()X Y F x y ，即(,)d (){|}()xX Y Y f x y x F xy P X x Y y f y -∞=≤==⎰(5)类似地, 我们可以定义(,)()()Y X X f x y f y x f x = 和 ()Y X F y x ．由(3)知道，当ε很小时，有{ }()d ()x Y X Y X P X x y Y y f y x x F y x ε-∞≤<≤+≈=⎰上式说明了条件密度和条件分布函数的含义．例3 设随机变量(,)X Y 的联合概率密度为3,01,0,(,)0,.x x y x f x y ≤<≤<⎧=⎨⎩其它求11{}.84P YX ≤= 分析：能否这样考虑，由于1{}0,4P X ==11{}84P Y X ≤=11{,}481{}4P X Y P X =≤== 不存在？这样分析是不对的！因为1{}04P X ==并不表示1{}4X =为不可能事件，11{,}481{}4P X Y P X =≤=为00型，不一定没有极限．正确的解法为：()(,)d X f x f x y y ∞-∞=⎰3d ,01,0,.x x y x ⎧≤<⎪=⎨⎪⎩⎰其它 23,01,0,.x x ⎧≤<=⎨⎩其它因此233,0,(,)()()0,.Y X X x x x y x f x y f y x f x ⎧=≤<==⎨⎩其它于是118801111{}()d 4d 8442Y X P Y X f y y y -∞≤====⎰⎰．例4 设G 为平面上的有界区域，其面积为A ．若二维随机变量(,)X Y 具有概率密度：1,(,)(,)0,(,)x y Gf x y A x y G⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩则称(,)X Y 在区域G 上服从均匀分布．现设二维随机变量(,)X Y 在圆域221x y +≤ 上服从均匀分布，求条件概率密度(|)X Y f x y ．解：由假设随机变量(,)X Y 具有概率密度221,1(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他且有边缘概率密度111()(,)0,Y y f y f x y dx π+∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其他于是当11y -<<时有(|)0,X Y x f x y =≤≤=⎩其他当102y y ==和时，(|)X Y f x y 的图形分别如图6，7所示．0.50.577-0.8660.866例5 设数X 在区间(0,1)上随机的取值，当观察到(01)X x x =<<时，数Y 在区间(,1)x 上随机的取值，求Y 的概率密度()Y f y ．解：按题意X 具有概率密度1,01()0,X x f x <<⎧=⎨⎩其他对于任意给定的值(01)x x <<，在X x =的条件下，Y 的条件概率密度为1,1()10,Y X x y f y x x⎧<<⎪=-⎨⎪⎩其他所以X ，Y 的联合概率密度为1,01(,)()()10,X Y X x y f x y f y x f x x⎧<<<⎪==-⎨⎪⎩其他于是得到关于Y 的边缘概率密度为01ln(1),01()(,)10,y Y dx y y f y f x y dx x+∞-∞⎧=--<<⎪==-⎨⎪⎩⎰⎰其他§4 相互独立的随机变量一、两个随机变量的独立性对事件A ，B ，若()()()P AB P A P B =⋅，则称事件A 与事件B 是相互独立的．类似可引出两个随机变量相互独立的概念．定义设(,)()()X Y F x y F x F y 及，分别是二维随机变量(,)X Y 的分布函数和边缘分布函数．若对任意实数x 和y ,有{,}{}{}P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤⋅≤ ， (1)即(,)()()X Y F x y F x F y =⋅ (2) 则称随机变量X 与Y 是相互独立的．随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念，在大多数情形下，概率论和数理统计是以独立随机变量作为其主要研究对象的．对于离散型和连续型随机变量，我们分别有下列的结论．结论１设(,)X Y 是二维连续型随机变量，(,)()()X Y f x y f x f y ，，分别为 (,)X Y 的联合概率密度函数和边缘概率密度，则X 与Y 相互独立的充要条件(2)等价于等式(,)()()X Y f x y f x f y =⋅ (3)在平面上几乎处处成立．注：这里的“几乎处处”可理解为平面上使(3)不成立的点(,)x y 的全体只能形成面积为零的区域．结论２设(,)X Y 是二维离散型随机变量，其联合分布律为{,},1,2,i j i jP X x Y y p i j ====则Y 与X 相互独立的充要条件是对于任意的 (,), ,1,2,i j x y i j = , 有{,}{}{}i j i j P X x Y y P X x P Y y ====⋅= (4)即有 ,,1,2,i j i j p p p i j ⋅⋅=⋅= 成立．注：在实际使用中（3）式或（4) 式比使用 (2 ) 式方便．下面我们来看几个例子：§1例2 中的随机变量X 和Y ，由于22,0()0,x X e x f x -⎧>=⎨⎩其他,0()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他故有(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，因而X ，Y 是相互独立的．又如,X Y 具有联合分布律则有 1{0,1}{0}{1}61{0,2}{0}{2}62{1,1}{1}{1}62{1,2}{1}{2}6P X Y P X P Y P X Y P X P Y P X Y P X P Y P X Y P X P Y ========================因而,X Y 是相互独立的．§2例1 中随机变量F 和D ，由于1{1,0}{1}{0}10P D F P D P F ===≠== 因而F 和D 不是相互独立的．例 1 设(,X Y )～()221212,,,,N μμσσρ, 则,X Y 相互独立的充要条件是0=ρ．证明：(,X Y )的联合密度和边缘密度分别为()()()()()()222112222112221,21x x x y f x y μμρμμσσσσρ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪⎢⎥=--+⎨⎬-⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭()()21212x X f x μσ--=()()22222y Y f y μσ--=则 ()()()()22122212121exp 222X Y x x f x f y μμπσσσσ⎧⎫--⎪⎪⋅=--⎨⎬⎪⎪⎩⎭因此0=ρ时，对所有的,x y 有()()(),X Y f x y f x f y =⋅成立，即,X Y 相互独立．反之，若,X Y 相互独立，则有()()(),X Y f x y f x f y =⋅，对(,)x y 2R ∈成立．令1x μ=，2y μ=，则可得到：021121221221=⇒=-ρσπσρσπσ，即0=ρ证毕．X 1/6 2/6 1/2 1/6 2/6 1/2 Y1 2 P {Y=j } 1 2P{X= i}1/3 2/3 1例 2 设(1),01,0.(,)~(,)0,.Cy x x y x X Y f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它(1) 求C 的值；(2) 求关于X 关于Y 的边缘概率密度； (3) 判断,X Y 的独立性．解：(1) 由于(,)d d 1,f x y x y ∞∞-∞-∞=⎰⎰可得100(,)d d (1)d d xf x y x y Cy x y x ∞∞-∞-∞=-⎰⎰⎰⎰210(1)d 1224x CC x x =-==⎰，则24C =．故24(1),01,0.(,)0,.y x x y x f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它 (2) 当01x ≤≤时，20()(,)d 24(1)d 12(1)xX f x f x y y y x y x x ∞-∞==-=-⎰⎰，当0,1x x <>或时，()(,)d 0.X f x f x y y ∞-∞==⎰于是(,)X Y 关于X 的边缘概率密度为：212(1),01,()0,.X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其它当01y ≤≤时，12()(,)d 24(1)d 12(1).Y yf y f x y x y x x y y ∞-∞==-=-⎰⎰当0,1y y <>或时，()(,)d 0.Y f y f x y x ∞-∞==⎰因而有212(1),01,()0,.Y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其它 (3) 由于(,)()(),X Y f x y f x f y ≠⋅故(,)X Y 不独立．例 3 一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时, 他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7~9时, 设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟（1/12小时）的概率.解：设X 和Y 分别是负责人和他的秘书到达办公室的时间，由假设X 和Y 的概率密度分别为：14,812,()0,,X x f x <<⎧=⎨⎩其它 12,79,()0,,Y x f y <<⎧=⎨⎩其它由于,X Y 相互独立，故(,)X Y 的联合概率密度为18,812,79,(,)()()0,.X Y x y f x y f x f y <<<<⎧==⎨⎩其它1{112}(,)d d ()8GP X Y p x y x y G -≤==⨯⎰⎰的面积G ABC=∆而的面积2211311112122126⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是1{112}48P X Y -≤=．1548因此负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过分钟的概率为．二、多维随机变量的独立性将二维随机变量的概念推广到n 维随机变量的情形：n 维随机变量()12,,,n X X X 的分布函数定义为(){}121122,,,,,,,n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤其中 12,,,n x x x 为任意实数．若n 维随机变量()12,,,n X X X 的分布函数()12,,,n F x x x 已知，则()12,,,nX X X 的(1)k k n ≤<维边缘分布函数随之而定，如12(,,,)n X X X 关于 1X 、关于 ()12,,X X 的边缘分布函数就分别为()()111,,,X F x F x =+∞+∞()()12,1212,,,,,X X F x x F x x =+∞+∞若对任意的实数12,,,nx x x ，有()()()()121212,,,n n X X X n F x x x F x F x F x =⋅则称12,,,n X X X 是相互独立的．1212,,,,,,,m n x x x y y y进一步，若对任意的实数有()1212,,,,,,,m n X X X Y Y Y()()()12121212,,,,,,,,,,,,,m n X m Y n F x x x y y y F x x x F y y y =⋅其中12,,F F F 依次为 ()12,,,m X X X ，()12,,,n Y Y Y 、()1212,,,,,,,m n X X X Y Y Y 、的分布函数，则称随机变量()12,,,m X X X和 ()12,,,n Y Y Y 是相互独立的．现在，我们不加证明地给出一个有用定理，它在数理统计中是很有用的．定理若()12,,,m X X X 和()12,,,n Y Y Y 相互独立，则（1）i X 与j Y 相互独立，1,2,,.1,2,,.i m j n ==（2）若,h g 是连续函数，则 ()12,,,n h Y Y Y 和()12,,,m g X X X 相互独立．[作业布置] P105： 9，11，12，13，14，16§5 两个随机变量的函数的分布教学内容：随机变量函数的分布教学重难点：重点——二维随机变量的和、最大值、最小值的分布．难点——二维随机变量和的分布、卡方分布的性质．引入：上一章已经讨论过一个随机变量函数的分布，本节我们讨论二维随机变量的分布．需要注意的是，n 维随机变量函数形成的随机变量仍然是一维随机变量，这里我们主要讨论二维随机变量函数的分布问题，解决这类问题的关键是掌握其基本思想方法．新授：一、和的分布求 Z X Y =+的概率密度函数．对于任意的实数Z ，根据定义，有 (){}{Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤()()():,d d ,d d Z D x y zz yf x y x yf x y x +≤+∞--∞-∞==⎰⎰⎰⎰对固定的z 和y ，先作变换 x u y =- ()()(),d d ,d d z Z z F z f u y y u y f u y y y u∞-∞-∞∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰由概率密度的定义，即得Z 的概率密度为 ()(),d Z f z f z y y y +∞-∞=-⎰(1)由,X Y 的对称性， ()Z f z 又可以写成 ()(),d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰(2)特别，当X 与Y 相互独立时，设),(Y X 关于,X Y 的边缘概率密度分别为(),()X Y f x f y则 (1)，(2)式分别化为()()()d Z X Y f z f z y f y y +∞-∞=-⋅⎰ (3) ()()()d Z X Y f z f x f z x x +∞-∞=⋅-⎰(4)这两个公式称为卷积公式，记为*X Y f f ，即()()()()*d d X Y X Y X Y f f f z y f y y f x f z x x +∞+∞-∞-∞=-⋅=⋅-⎰⎰例 1 设,X Y 是两个相互独立的随机变量，它们都服从(0,1)N 分布, 其概率密度为22/2/2(),(),x X y Y f x x f y y --=-∞<<+∞=-∞<<+∞求Z X Y =+的分布密度. 解: 用卷积公式(4)式，()()()d Z X Y f z f x f z x x +∞-∞=⋅-⎰()2222()22241d 21d 2z x z x x z ee xe exππ---+∞---∞+∞--∞=⋅=⎰⎰令2zt x =-，得22224411()d 22t z z Z f z eex eeππ-+∞---∞===⎰即 Z 服从(0,2)N 分布.一般，设相互独立，且221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ, 则221212~(,)Z X Y N μμσσ=+++. 这个结论可以推广到n 个独立的正态随机变量之和的情况，即若),(~2i i i N X σμ),,2,1(n i =，且它们相互独立，则有),(~221∑∑+++=iii i n N X X X Z σμ ，更一般地，有结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布．例2 在一简单电路中，两电阻12R R 和串联，设12R R ，相互独立，他们的概率密度均为 10,010()500,xx f x -⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求总电阻12R R R =+的概率密度．解：由(4) ，R 的概率密度为()()()d R f z f x f z x x +∞-∞=⋅-⎰易知仅当x010010x z x <<⎧⎨<-<⎩，即01010x z x z <<⎧⎨-<<⎩时上述积分的被积函数不为零．由图１０，可得()()()()01010d ,010()d ,10200,z R z f x f z x x z f z f x f z x x z -⎧⋅-≤<⎪⎪⎪=⋅-≤≤⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰其他将()f x 的表达式代入上式得2331(60060),010150001()(20),1020150000,R z z z z f z z z ⎧-+≤<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪⎪⎩其他例3若X 与Y 独立,具有共同的概率密度1,01()0,x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它，求Z X Y =+的概率密度.解：由卷积公式()()()Z X Y f z f x f z x dx ∞-∞=-⎰为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域011x z x z≤≤-≤≤ 即0101x z x ≤≤≤-≤如图11所示，于是011,01()2,120,z Z z dx z z z dx z z -⎧=≤<⎪⎪==-≤<⎨⎪⎪⎩⎰⎰其它例4 设12,X X 为相互独立且分别服从()βα,1Γ，()βα,2Γ分布，12,X X 的概率密度分别为图 11()()1111/111,00,00,x X x e x f x αβαβααβ--⎧>⎪Γ=>>⎨⎪⎩其他()()2221/221,00,00,y X y e y f y αβαβααβ--⎧>⎪Γ=>>⎨⎪⎩其他试证明12X X +服从()12,ααβΓ+分布．（此例只讲思路和结论）证明：由(4)知，当0z ≤时，12Z X X =+的概率密度为()0Z f x =．而当0z >时，12Z X X =+的概率密度为()()()12121212121212121211/()/012/110121/1110121/()()11()()()()()(1)()()Z X X z x z x x z z z f z f x f z x dxx e z x e dx e x z x dx x zt z e t t dt Az e ααββααβααααααβααααααββαβαβααβαα+∞-∞--------++----+∆+--=-=-ΓΓ=-=ΓΓ=-ΓΓ=⎰⎰⎰⎰令其中12121110121(1)()()A t t dt ααααβαα--+=-ΓΓ⎰ 通过计算得到()12121A ααβαα+=Γ+于是()()12121/121,00,z Z z e z f z ααβααβαα+--+⎧>⎪Γ+=⎨⎪⎩其他即()1212~,X X ααβ+Γ+，说明-Γ分布对于其第一个参数具有可加性，因()n 2χ即⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ21,2n 分布，故-2χ分布也具有可加性．上述结论可以推广到n 个相互独立的-Γ分布变量之和的情况．二、 max(,),min(,)M X Y N X Y == 的分布设,X Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为(),()X Y F x F y ，现在来求max(,),min(,)M X Y N X Y ==的分布函数．由于 }),({z Y X M ≤=等价于 }{z X ≤且 }{z Y ≤，因此，对于任意的实数z有 {}{,}P M z P X z Y z ≤=≤≤又由于,X Y 相互独立，得到max(,)M X Y =的分布函数为max (){}{,}{}{}F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤⋅≤即有max ()()()X Y F z F z F z =⋅ (5) 类似地，可以得到min(,)N X Y =的分布函数为min (){}1{}1{,}1{}{}F z P N z P N z P X z Y z P X z P Y z =≤=->=->>=->⋅>即 min ()1[1()][1()]X Y F z F z F z =--- (６) 更一般地，设12,,,n X X X 是n 个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 (), 1,2,i X i F x i n =，则{}1max ,,n M X X =的分布函数为max 1()()i nX i F z F z ==∏{}1min ,,n N X X = 的分布函数为()min 1()11i nX i F z F z =⎡⎤=--⎣⎦∏特别，若1,,n X X 相互独立且有相同的分布()F x ，则max min ()[()],()1[1()]n nF z F z F z F z ==--第四章随机变量的数字特征§1 数学期望教学内容：随机变量的数学期望重点难点：常见分布的数学期望引入：在前面两章中我们讨论了随机变量的概率分布，这是关于随机变量统计规律的一种完整描述，然而在实际问题中，确定一个随机变量的分布往往不是一件容易的事，况且许多问题并不需要考虑随机变量的全面情况，只需知道它的某些特征数值.例如，在测量某种零件的长度时，测得的长度是一个随机变量，它有自己的分布,但是人们关心的往往是这些零件的平均长度以及测量结果的精确程度；再如，检查一批棉花的质量，既要考虑棉花纤维的平均长度，又要考虑纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越大，偏离程度越小，质量越好.这些与随机变量有关的数值，我们称之为随机变量的数字特征，在概率论与数理统计中起着重要的作用.本章主要介绍随机变量的数学期望、方差、矩以及两个随机变量的协方差和相关系数. 新授：1.1 数学期望的概念在实际问题中，我们常常需要知道某一随机变量的平均值，怎样合理地规定随机变量的的平均值呢？先看下面的一个实例.例1.1 设有一批钢筋共10根，它们的抗拉强度指标为110，135，140的各有一根；120和130的各有两根；125的有三根.显然它们的平均抗拉强度指标绝对不是10根钢筋所取到的6个不同抗拉强度：110，120，125，130，135，140的算术平均,而是以取这些值的次数与试验总次数的比值（取到这些值的频率）为权重的加权平均，即平均抗拉强度1(110120212531302135140)10=+⨯+⨯+⨯++⨯123211110120125130135140101010101010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯126=.从上例可以看出，对于一个离散型随机变量X ，其可能取值为12,,,n x x x ，如果将这n个数相加后除n 作为“均值”是不对的.因为X 取各个值的频率是不同的，对频率大的取值，该值出现的机会就大，也就是在计算取值的平均时其权数大.如果用概率替换频率，用取值的概率作为一种“权数”做加权计算平均值是十分合理的.经以上分析，我们可以给出离散型随机变量数学期望的一般定义.1.离散型随机变量的数学期望定义 1.1 设X 为一离散型随机变量，其分布律为{}k k P X x p ==（1,2,k =），若级数1k k k x p ∞=∑绝对收敛，则称此级数之和为随机变量X 的数学期望，简称期望或均值.记为()E X ，即1()k k k E X x p ∞==∑ （1.1）例1.2. 某人从n 把钥匙中任取一把去试房门，打不开则除去，另取一把再试直至房门打开.已知钥匙中只有一把能够把房门打开，求试开次数的数学期望.解设试开次数为X ，则分布律为1{},1,2,,P X k k n n ===，从而111(1)1()22nk n n n E X k n n =++=⋅=⋅=∑. 例1.3 设随机变量(,)XB n p ，求()E X .解因为{}C (1)k k n kk n p P X k p p -===- (0,1,,)k n =，11!()C (1)(1)(1)!()!n nnkkn kk n k k nk k k n E X kp k p p p p k n k --=====-=---∑∑∑11(1)11(1)!(1)(1)![1(1)]![(1)]nk n k k n n np p p k n k np p p np----=--=-----=+-=∑例1.4 设随机变量()X P λ，求()E X .解因为()XP λ，有{}!kP X k e k λλ-==0,1,2,,k =（）因此101()!(1)!kk k k E X eee e k k λλλλλλλλλ-∞∞---=====⋅=-∑∑.我们可以类似地给出连续型随机变量数学期望的定义，只要把分布律中的概率k p 改为概率密度()f x ，将求和改为求积分即可.因此，我们有下面的定义. 2 . 连续型随机变量的数学期望定义1.2 设X 为一连续型随机变量，其概率密度为()f x ，若广义积分()d xf x x +∞-∞⎰绝对收敛，则称广义积分()d xf x x +∞-∞⎰的值为连续型随机变量X 的数学期望或均值，记为()E X ，即()()d E X xf x x +∞-∞=⎰. （1.2）例1.5 设随机变量X 的概率密度为2,01()0,x x f x <<⎧=⎨⎩，其他，求()E X .解依题意，得，12()()d 2d 3E X xf x x x x x +∞-∞==⋅=⎰⎰. 例1.6 设随机变量X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，求()E X . 解依题意，X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，其他，因此1()()d d 2baa bE X xf x x x x b a +∞-∞+==⋅=-⎰⎰. 例1.7 设随机变量X 服从λ为参数的指数分布，求()E X . 解依题意， X 的概率密度为e ,0,()0,0x x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，因此1()()d e d x E X xf x x x x λλλ+∞+∞--∞==⋅=⎰⎰.例1.8 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，求()E X . 解由于 22()21()e2xf x因此()()d E X xf x x x+∞+∞-∞-∞==⎰⎰22()21d 2xex221()()ed 2t xttt 令22ed 2t t .例1.9 已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)12e ,0,0,(,)0,x y x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他，求()E X .解由第三章例3.2的结果关于X 的边缘概率密度为33e ,0,()0,0x X x f x x -⎧>=⎨≤⎩，即(3)XE ,因此1()3E X =. 1.2 随机变量函数的数学期望定理1.1 设随机变量Y 是随机变量X 的函数， ()Y g X =（其中g 为一元连续函数）. （1）X 是离散型随机变量，概率分布律为{}k k P X x p ==， 1,2,k =，则当无穷级数1()k k k g x p ∞=∑绝对收敛时，则随机变量Y 的数学期望为1()[()]()k k k E Y E g X g x p ∞===∑; （1.3）（2）X 是连续型随机变量，其概率密度为()f x ，则当广义积分()()d g x f x x 绝对收敛时，则随机变量Y 的数学期望为()[()]()()d E Y E g X g x f x x +∞-∞==⎰. （1.4）这一定理的重要意义在于，求随机变量()Y g X =的数学期望时，只需利用X 的分布律或概率密度就可以了，无需求Y 的分布，这给我们计算随机变量函数的数学期望提供了极大的方便.定理的证明超出了本书的范围，下面我们仅就连续型随机变量，且()Y g X =单调的情形给出证明.证明第二章给出了随机变量Y 的概率密度[()](),()0,X Y f h y h y y f y αβ⎧⎪⎨⎪⎩'<<=，其他.其中)(x f X 为随机变量X 概率密度，函数)(x g y =是处处可导的严格单调函数，它的反函数为)(y h x =，则有()()d Y E Y yf y y +∞-∞=⎰[()]|()|d X yf f y h y y βα'=⎰.当()0h y '>时()E Y [()]()d ()()d X X yf f y h y y g x f x x βα+∞-∞'==⎰⎰，当()0h y '<时()E Y [()]()d ()()d X X yf f y h y y g x f x x βα-∞+∞'=-=-⎰⎰()()d X g x f x x +∞-∞=⎰.例求随机变量232Y X =-的数学期望.解依题意，可得，22()[3(1)2]0.1(302)0.3E Y =⨯--⨯+⨯-⨯2(312)0.4+⨯-⨯2(322)0.2+⨯-⨯1.9=.例1.11 随机变量X (0,1)N ，求2Y X =的数学期望. 解依题意，可得22()()()d E Y E X x f x x +∞-∞==⎰222d x x x +∞--∞=⎰22dex x+∞--∞=2222e ed x x x x +∞+∞---∞-∞⎛⎫⎪=-⎪⎭⎰ 22ed 1x x +∞--∞==⎰例 1.12 国际市场每年对我国某种商品的需求量是随机变量X （单位：吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布，已知每售出1吨商品，可挣得外汇3万元;若售不出去而积压，则每吨商品需花费库存费等共1万元，问需要组织多少货源，才能使国家受益期望最大？解设组织货源t 吨，[2000,4000]t ，受益为随机变量Y （单位：万元），按照题意Y 是需求X 的函数3(),,()3,,X t X Xt Yg X t Xt 当当X 的概率密度为1,20004000()20000,x f x 其它.由（1.4），得()[()]()()d E Y E g X g x f x x400020001{[3()]d 3d }2000t t x t x x t x 21[2140008000000]2000t t 当3500t时()E Y 达到最大值，也就是说组织货源3500吨时国家的期望受益最大. 例1.13 柯西分布211()1f x xπ=+()x -∞<<+∞的数学期望由于 21||d (1)x x x π+∞-∞=+∞+⎰，所以不存在.上述的定理可以推广到两个或两个以上随机变量的函数上去，我们有下面的定理. 定理 1.2 设随机变量Z 是随机变量(,)X Y 的函数，(,)Z g X Y ,其中g 为二元连续函数，则（1）如果(,)X Y 为二维离散型随机变量,其分布律为ij j i p y Y x X P ===},{ ,1,2,i j =,且11(,)i j ij j i g x y p ∞∞==∑∑绝对收敛，则随机变量(,)Zg X Y 的数学期望为11()[(,)](,)i j ij j i E Z E g X Y g x y p ∞∞====∑∑；（1.5）（2）如果(,)X Y 为二维连续型随机变量时，概率密度为(,)f x y ,且(,)(,)d d g x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则随机变量(,)Zg X Y 的数学期望为()[(,)](,)(,)d d E Z E g X Y g x y f x y x y +∞+∞-∞-∞==⎰⎰. （1.6）。