垂径定理习题课教学设计
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
垂径定理教学设计
垂径定理教学设计一、教学目标：1. 理解垂径定理的概念和基本原理。
2. 熟练运用垂径定理解题。
3. 培养学生的逻辑思维和解题能力。
二、教学重点：1. 垂径定理的概念和基本原理。
2. 基于垂径定理的解题方法。
三、教学难点：基于垂径定理的解题方法。
四、教学过程设计：1. 激发兴趣（5分钟）通过引入一个有趣的问题或故事，激发学生对垂径定理的兴趣，引发学生思考。
2. 理解垂径定理的概念（10分钟）介绍垂径定理的概念，并通过示意图和实例解释清楚概念中的关键要素，确保学生对垂径定理的理解准确。
3. 讲解垂径定理的基本原理（15分钟）通过推导和解释，向学生介绍垂径定理的基本原理，并实际演示如何应用垂径定理解决几何问题。
4. 分组合作讨论（15分钟）将学生分成小组，每组给出一个几何问题，要求使用垂径定理解决。
鼓励学生彼此合作，共同思考解决问题的方法和步骤。
5. 整理归纳（10分钟）让不同小组的学生轮流分享他们的解题思路和答案，通过对比和讨论，整理归纳出解题的一般步骤和技巧。
6. 解题实践（20分钟）分发练习册或工作纸，让学生独立或小组合作解答一些基于垂径定理的练习题。
教师巡视并及时纠正学生的错误，引导他们找到正确的解题思路。
7. 知识拓展（15分钟）进一步引入一些拓展的几何问题，要求学生尝试使用垂径定理进行解题。
通过这些拓展问题，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
8. 总结归纳（10分钟）老师对垂径定理的基本原理、解题方法进行总结和归纳，强化学生对垂径定理的理解和掌握。
五、教学评价：1. 参与度评价：观察学生在课堂讨论和小组合作中的积极程度。
2. 表现评价：通过练习题的完成情况评价学生对垂径定理的掌握程度。
3. 思维评价：评价学生解题时的思维逻辑和解题能力的发展程度。
六、教学延伸：1. 在课后布置相关作业，加深学生对垂径定理的理解和应用能力。
2. 鼓励学生自主学习和研究其他几何定理和原理，扩大他们的几何知识面。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。
同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材：教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。
同时，引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。
垂径定理优秀教学设计(教案)
垂径定理优秀教学设计(教案)一、教学内容本节课为人教版数学四年级下册第七单元《几何图形》中的“垂径定理”。
教材通过生活中的实例，引导学生探究圆的性质，掌握垂径定理，并运用该定理解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生通过观察、操作、探究，掌握垂径定理，提高空间想象能力。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点重点：掌握垂径定理及运用。
难点：理解并证明垂径定理。
四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔。
学具：圆、直尺、三角板、圆规。
五、教学过程1. 情境引入：利用PPT展示生活中的圆形物体，如地球、篮球等，引导学生关注圆的性质。
提问：“你们知道圆有哪些性质吗？”2. 自主探究：3. 小组交流：4. 例题讲解：利用PPT展示例题，如：“在圆中，已知直径AB，求证：垂直于AB的线段CD也是直径。
”让学生独立思考，然后讲解解题思路，引导学生运用垂径定理解决问题。
5. 随堂练习：出示随堂练习题，如：“已知圆的直径为10cm，求证：垂直于直径的线段也是10cm。
”学生独立完成练习，教师巡回指导，及时纠正错误。
6. 巩固提高：出示拓展题目，如：“在圆中，已知一条弦长为8cm，求证：垂直于该弦的线段也是8cm。
”学生分组讨论，运用垂径定理解决问题。
7. 课堂小结：六、板书设计板书垂径定理板书内容：1. 圆的性质：圆中心到圆上任意一点的距离相等。
2. 垂径定理：垂直于直径的线段也是直径。
七、作业设计1. 请用文字和图形描述垂径定理。
答案：垂径定理：垂直于直径的线段也是直径。
在圆中，已知直径AB，求证：垂直于AB的线段CD也是直径。
答案：略。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过生活中的实例，引导学生探究圆的性质，掌握垂径定理。
在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力、观察能力和空间想象能力。
课堂练习和拓展延伸环节，让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
1.2 过程与方法：通过观察、猜想、证明的过程，让学生体验数学的探究过程。
运用图形计算器或信息技术工具，帮助学生更好地理解垂径定理。
1.3 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和自信心。
培养学生合作交流的能力，提高学生的团队协作能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：分析教材中关于垂径定理的定义、证明和应用。
理解垂径定理在圆的性质和几何图形中的应用。
2.2 学情分析：了解学生对圆的基本知识和垂线的概念。
了解学生对几何证明的掌握程度，为学生提供必要的支持。
第三章：教学重难点3.1 教学重点：让学生掌握垂径定理的证明过程和定理的内容。
能够运用垂径定理解决相关的几何问题。
3.2 教学难点：理解并证明垂径定理。
灵活运用垂径定理解决实际问题。
第四章：教学方法与手段4.1 教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、猜想、证明。
运用小组合作学习，鼓励学生互相交流、讨论。
4.2 教学手段：使用图形计算器或信息技术工具，展示几何图形，帮助学生更好地理解垂径定理。
提供相关的练习题和案例，供学生实践和应用垂径定理。
第五章：教学过程5.1 导入：通过引入实际问题或情境，激发学生的兴趣和好奇心。
引导学生观察和猜想垂径定理的内容。
5.2 探究与证明：引导学生进行小组合作学习，共同探究垂径定理的证明过程。
引导学生运用几何知识和证明方法，进行逻辑推理和证明。
5.3 应用与练习：提供相关的练习题和案例，让学生运用垂径定理解决问题。
引导学生进行自主学习和合作交流，解答练习题和案例。
鼓励学生反思自己的学习过程，提出问题和建议，为后续学习做好准备。
1. 导入新课通过展示实际问题，引入垂径定理的概念和意义。
提供具体的垂径定理案例，让学生观察和分析，引导学生猜想垂径定理的内容。
第五章：垂径定理的证明通过引导学生运用已有知识，尝试证明垂径定理。
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。
本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。
垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。
通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。
2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。
2.难点：垂径定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。
2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。
3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。
2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。
3.练习题：巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。
引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。
3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。
学生分组讨论，分享解题方法。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标理解垂径定理的概念和意义。
学会运用垂径定理解决实际问题。
1.2 过程与方法目标通过观察和实验，发现垂径定理的规律。
学会运用几何画图工具，准确地画出垂直平分线。
1.3 情感态度与价值观目标培养学生的观察能力和思维能力。
培养学生的合作意识和解决问题的能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析介绍垂径定理的内容和证明过程。
通过实际例题，展示垂径定理的应用。
2.2 学情分析学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。
学生具备一定观察和实验的能力。
第三章：教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题，引发学生对垂径定理的思考。
引导学生观察和实验，发现垂径定理的规律。
3.2 探究与发现学生分组进行实验，观察垂直平分线与弦的关系。
引导学生总结垂径定理的表述。
3.3 知识讲解讲解垂径定理的证明过程。
通过示例，解释垂径定理的应用。
3.4 练习与巩固学生独立完成一些练习题，巩固对垂径定理的理解。
教师引导学生互相讨论和解答问题。
第四章：教学评价4.1 课堂评价教师通过观察学生的实验和练习情况，评价学生对垂径定理的理解和应用能力。
学生之间互相评价，分享解题经验和思路。
4.2 课后评价教师布置一些相关的课后作业，检验学生对垂径定理的掌握程度。
学生通过完成作业，进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。
第五章：教学资源5.1 教材教师使用的教材，包括课本和相关教辅材料。
5.2 实验材料学生分组进行实验所需的材料，如几何画图工具、圆规、直尺等。
5.3 多媒体教学资源利用多媒体课件和教学视频，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
第六章：教学策略6.1 讲授法教师通过讲解垂径定理的证明过程和应用实例，引导学生理解和掌握知识点。
6.2 实验法学生通过分组实验，观察和验证垂径定理，培养动手能力和观察能力。
6.3 讨论法教师组织学生进行小组讨论，分享解题经验和思路，促进互动交流。
第七章：教学难点与重点7.1 教学难点学生对垂径定理的证明过程的理解和应用。
垂径定理教学设计
垂径定理教学设计教学设计：垂径定理教学目标：1.理解垂径定理的定义和原理；2.掌握应用垂径定理解决问题的方法；3.培养学生的逻辑思维和证明能力。
教学步骤：一、导入（15分钟）1.通过提问的方式，引出垂径定理的概念和作用，激发学生对该定理的兴趣。
2.给学生展示一些实际生活中使用垂径定理的例子，如建筑设计、地理测量等，说明学习垂径定理的重要性。
二、理解垂径定理（30分钟）1.引导学生观察和发现：在一个圆内，以圆心为端点的半径与圆上条切线之间的关系。
2.引导学生总结并给出垂径定理的定义：在一个圆内，以圆心为端点的半径与圆上的切线垂直。
3.通过给出几个具体的案例，帮助学生理解垂径定理的意义和应用。
三、应用垂径定理解决问题（30分钟）1.给学生出示一些具体问题，引导他们应用垂径定理解决问题。
2.阐述解决问题的一般步骤：根据问题条件，确定圆心、半径和切线，应用垂径定理判断是否垂直。
3.给学生分组讨论解决问题的方法，并在黑板上进行总结和讨论。
四、拓展练习（30分钟）1.给学生分发一些练习题，让他们独立或小组完成，并在课堂上进行讲解和讨论。
2.引导学生思考问题的多个解法和证明的不同方法，培养他们的思考能力和证明能力。
3.鼓励学生提出疑问和讨论，引导他们思考如何应用垂径定理解决更复杂的问题。
五、总结（15分钟）1.综合学生的讨论和解答，总结垂径定理的定义、应用和解决问题的方法。
2.提出作业：让学生写一篇500字以上的短文，总结垂径定理的原理和应用，并分析具体案例。
3.回顾整个课堂内容，引导学生思考学习垂径定理的感受和收获。
教学资源：1.教师准备的课件，包括垂径定理的定义、案例和应用；2.练习题，用于课堂练习和讨论；3.学生课本和笔记本，用于记录课堂内容和思考问题。
教学评价：1.在课堂上观察学生的参与情况，检查他们对垂径定理的理解和应用；2.根据学生的讨论和解答，评价他们的思考能力和证明能力；3.根据学生的作业，评价他们对垂径定理的理解和总结能力。
垂径定理课堂教学设计
垂径定理课堂教学设计一、教学目标本节课的教学目标是让学生掌握并理解垂径定理的概念和应用，能够准确运用垂径定理解题。
二、教学内容1. 垂径定理的概念介绍和基本性质2. 垂径定理的应用实例三、教学过程1. 导入新知识（5分钟）学生在上一节课已学过勾股定理的内容，通过复习勾股定理的概念和应用，引入今天的课程内容。
教师可以提出一个问题，如：“如何求一个等腰直角三角形的高？”，并引导学生思考和讨论。
2. 引入垂径定理（10分钟）教师通过给出一个具体的图形示例，如一个半径为r的圆，和一个直线段AB与圆相交于两个点C和D，其中CD是直径。
教师向学生解释CD是直径的概念，并引导学生观察并发现CD的特性。
教师提问：在这个图形中，你们观察到了什么特点？学生通过观察和思考，发现CD是一个垂线段。
教师提出问题：我们能否得出结论，对于任意与圆相交于两个点的直线段AB，它的中垂线也必然与圆相交于两个点，并且这两个点与原直线段的交点构成的线段也是直径？3. 垂径定理的概念和证明（15分钟）教师向学生介绍垂径定理的概念和基本性质，同时告知学生本定理的证明过程。
教师可以通过画图和数学推理的方式来展示垂径定理的证明过程，并引导学生思考和理解。
垂径定理：对于任意与圆相交于两个点的直线段AB，它的中垂线也必然与圆相交于两个点，并且这两个点与原直线段的交点构成的线段也是直径。
教师带领学生进行垂径定理的证明过程，教师可以通过提问引导学生思考和推理。
4. 垂径定理的应用实例（15分钟）教师通过给出具体的题目例子，来让学生运用垂径定理解题。
教师可以设计一些有趣的题目，如：“已知一个圆的半径为5cm，且一个直线段与圆相交于两个点，这个直线段的长度是8cm，请问这个直线段的中点到这个圆心的距离是多少？”教师引导学生利用垂径定理解决这个问题，并指导学生解答过程。
5. 总结和讨论（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并与学生讨论垂径定理的实际应用和拓展思考。
【教案】圆4：垂径定理习题课
回顾垂径定理及推论！
类型1：利用垂径定理及推论求线段长度
例题1 如图1，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E
（1）若CD⊥AB，且半径为5，CD=6，求BE的长；
（2）若CD⊥AB，且AE：BE=3：1，CD=6，求圆的半径。
（3）连接BD，若CE=DE，且OE=4，弦BD=10，求圆的半径。
（4）如图2，已知∠ CEB=30°，AE=9，BE=3，求弦CD的长
图1 图2
类型2：利用垂径定理及推论解决实际问题
例题2 如图，AB是圆形镜子的一条弦，OC⊥AB，垂足为，AB=28cm ，你能求出这面镜子的半径吗
例题 3 如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠直径为10mm，测得钢珠顶端离零件表面距离为8mm，求宽口AB的长度
题型3：利用垂径定理及推论证明线段相等
例题4 在⊙Ｏ中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC 于E．
求证：四边形ADOE是正方形．
【课堂小结】
1．垂径定理及推论的应用，找直角三角形
2．常用思想方法：转化思想，逆向思维
【课后作业】。
垂径定理教学设计(共19篇)
垂径定理教学设计〔共19篇〕篇1：垂径定理教学反思垂径定理教学反思本节课的教学目的是使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题。
垂径定理是圆的轴对称性的重要表达，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要根据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用。
垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比拟，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点。
这节课我通过七个环节来完本钱节课的教学目的，采用了类比，启发等教学方法。
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
这点学生理解的很好。
根据这个性质先按课本进展合作学习1.任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；2.作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交于点E.提出问题：把圆沿着直径CD所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在学生探究的根底上，得出结论：〔先介绍弧相等的概念〕①EA=EB；②AC=BC，AD=BD.理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合，∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。
∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的`弧。
垂径定理的几何语言∵CD为直径，CD⊥AB〔OC⊥AB〕∴EA=EB，AC=BC，AD=BD.在学生掌握了垂径定理后，及时应用定理画图和解决实际问题，练习由根底到进步，层层深化，学生很有兴趣。
做完题目后总计解题的主要方法：〔1〕画弦心距是圆中常见的辅助线；〔2〕半径〔r〕、半弦、弦心距〔d〕组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长本节课缺乏之处是在处理垂径定理的推论时，应归纳相关垂径定理的五个元素：直径、弦中点、垂直、优弧中点、劣弧中点的规律：“知二得三”。
垂径定理教案
垂径定理教案教案标题：探索垂径定理教案目标：1. 通过本课学习，学生将理解并掌握垂径定理的概念和应用。
2. 学生将能够运用垂径定理解决几何问题并进行相关证明。
3. 培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力和团队合作意识。
教学重点：1. 理解垂径定理的基本概念和性质。
2. 掌握垂径定理的证明方法。
3. 运用垂径定理解决几何问题。
教学难点：1. 学生对垂径的理解和运用能力。
2. 学生对垂径定理的证明理解和能力。
教学准备：1. 教师准备投影仪、电脑、教学课件、纸板和笔等教学工具。
2. 学生准备几何工具、笔记本和教材等学习用具。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 教师用一幅图形或实物引入垂径的概念，激发学生对垂径的兴趣，并提出一个与垂径有关的问题。
2. 引导学生思考，让学生尝试从直观上解答问题。
步骤二：学习垂径定理（20分钟）1. 教师通过投影仪展示垂径定理的定义和相关的性质，引导学生分析和理解。
2. 教师示范垂径定理的证明过程，解释每一步的思路和理由。
3. 学生跟随教师一起完成标注图和注释，加深对垂径定理的理解。
步骤三：运用垂径定理（25分钟）1. 学生个人或小组合作，完成教材上的练习题，通过练习问题的解答，增强对垂径定理的运用能力。
2. 教师引导学生思考，提出一个垂径定理的应用问题，并组织学生探讨答案和解决方法。
3. 学生自主解答并展示答案，教师引导学生分析答案的准确性和方法的合理性。
步骤四：归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结垂径定理的要点和证明方法。
2. 学生自主进行笔记整理，并将重点、难点等内容记录下来。
步骤五：拓展延伸（10分钟）1. 学生个人或小组自主探索垂径定理在其他几何问题中的应用。
2. 学生将其拓展的问题和解决思路进行分享和讨论。
步骤六：作业布置（5分钟）1. 布置相关练习题作为课后作业，并要求学生在完成作业的过程中思考垂径定理的应用和证明方法。
教学反思：通过本节课的教学，学生对垂径定理有了较好的理解和掌握，能够应用垂径定理解决实际问题，并能运用相关的证明方法进行推理。
垂径定理的教学设计
垂径定理的教学设计垂径定理是高中数学中的一个重要定理，也是平面几何中的基本定理之一。
教学设计的目的是帮助学生深入理解和掌握垂径定理的概念、性质和应用。
下面是一份针对高中数学教学的垂径定理教学设计，内容包括教学目标、教学过程、教学方法和评估方式。
一、教学目标1. 理解垂径定理的概念和性质。
2. 学会运用垂径定理解决相关几何问题。
3. 培养学生的几何思维能力和证明能力。
二、教学过程1. 导入（10分钟）通过引入“垂径定理”的实际例子（如建筑物中的立柱与地面），激发学生对该定理的兴趣，并询问学生是否了解或听说过垂径定理，并请学生描述该定理的内容。
2. 理解定理（15分钟）教师通过使用动态展示或示意图等形式，引导学生观察和思考，进一步深入理解垂径定理的内涵。
教师可以给出几个实际问题来引导学生思考，并共同探究垂径定理的性质。
3. 探究和发现（30分钟）教师组织学生小组活动，以小组合作的形式让学生们自主探究，发现垂径定理的相关性质。
教师可以引导学生做出以下观察和猜想：观察：a) 直线与平行线的关系；b) 垂直和平行线的关系；c) 任意一条线段和平行线的关系。
猜想：a) 如果两条线段互相垂直，这两段线段的长度是否存在某种关系？b) 如果两条平行线与一条直线相交，这三条线段的长度是否存在某种关系？c) 是否存在一个定理可以总结上述关系？学生小组进行讨论和研究，最后每个小组进行展示和总结。
4.定理的表述和证明（30分钟）通过学生小组的讨论和总结，教师向学生介绍垂径定理的准确表述，并给出该定理的证明过程。
教师可以使用带有图像的演示或幻灯片，以直观的方式向学生展示证明过程。
5. 练习和应用（25分钟）为了巩固学生对垂径定理的理解和掌握，教师提供相关的练习题和应用题，让学生进行个人或小组完成。
练习题可以包括直接运用垂径定理解决问题的计算题，也可以包括应用题例如证明题、选择题或证明前提题等。
6. 总结和拓展（15分钟）教师与学生共同总结垂径定理的概念和性质，对学生的提问进行回答，检查学生对该定理的理解和掌握程度。
垂径定理的运用教学设计
垂径定理的运用教学设计引言：垂径定理是几何学中的一条重要定理，它解决了关于圆和直线之间的关系问题。
在几何学中，了解和掌握垂径定理的应用是非常重要的，因为它在解决许多几何问题时起着关键的作用。
本文将介绍一种针对垂径定理的教学设计，旨在帮助学生理解和掌握垂径定理的应用。
一、教学目标：1. 了解垂径定理的概念和基本性质；2. 能够灵活运用垂径定理解决几何问题；3. 培养学生的逻辑思维和几何推理能力。
二、教学内容：1. 垂径定理的概念和公式；2. 垂径定理的证明方法；3. 垂径定理的应用范围和实际问题。
三、教学步骤：步骤一：引入垂径定理首先，教师可以通过举例的方式引入垂径定理的概念和基本性质。
例如，讲解一个垂径定理相关的问题，如一个点到圆的切线的长度与该点到该圆心的距离之间的关系。
通过这个问题，引导学生思考并提出猜想。
步骤二：垂径定理的公式推导在引入了垂径定理的概念后，教师可以引导学生一起探究垂径定理的证明方法。
首先，给出一个具体的问题，如证明垂径定理中的公式。
然后，教师可以通过几何推理的方法，引导学生一步一步推导出该公式。
通过这个过程，学生将会更深入地理解垂径定理的本质。
步骤三：垂径定理的应用范围和实际问题在学生掌握了垂径定理的基本概念和证明方法后，教师可以将垂径定理应用于实际问题中。
例如，教师可以给出一些与垂径定理相关的练习题目，引导学生应用垂径定理解决几何问题。
这样可以帮助学生将垂径定理应用于实际问题中，提高他们的几何解决问题的能力。
四、教学评估：为了评估学生对垂径定理的理解和应用能力，教师可以设计一些相关的测试题目。
例如，让学生推导和证明垂径定理中的公式，或者让学生解决一些实际问题，并给出他们的解决思路和步骤。
通过这些评估措施，教师可以了解学生对垂径定理的掌握情况，并及时进行补充和提醒。
五、教学扩展：为了提高学生的兴趣和参与度，教师还可以将垂径定理与其他数学或几何概念进行联系，拓展学生的数学思维。
3.3垂径定理-(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了垂径定理及其在实际问题中的应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思和总结。
首先，关于导入新课环节，我通过提出与生活密切相关的问题，激发了学生的兴趣。这种方法有助于吸引学生的注意力，使他们更快地进入学习状态。在今后的教学中，我将继续采用这种导入方式，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“垂径定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“你们认为垂径定理在建筑设计中有哪些应用？”
-理解垂径定理的证明过程：学生对几何证明的逻辑推理过程往往感到困难。
-作图的准确性：学生在作图时难以精确地表示出直径垂直于弦，以及弦被平分的情况。
-弦、弦心距、半径之间数量关应用于不同题型。
-解决实际问题时构建数学模型的能力：学生需要学会将实际问题转化为数学问题，并运用垂径定理进行解决。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理指出，圆的直径垂直于其所在的弦，并且平分这条弦。这个定理在几何学中非常重要，它不仅揭示了圆的内在性质，还在解决实际问题中有着广泛的应用。
《3.3垂径定理(选学)》作业设计方案-初中数学浙教版12九年级上册
《垂径定理（选学）》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课程的主要目标是使学生理解并掌握垂径定理的数学概念及其在几何证明中的应用。
通过实践练习，提高学生解决几何问题的能力，加深对垂径定理的理解和记忆。
二、作业内容本课作业围绕垂径定理及其应用展开，内容设计如下：1. 基础概念理解：要求学生回顾并理解垂径定理的定义，包括垂径线、垂径圆心角等基本概念，并能够准确描述其性质。
2. 定理证明：通过例题的形式，让学生尝试证明垂径定理，并理解其在几何证明中的重要性。
3. 实际应用：设计一系列与日常生活相关的几何问题，如测量、画图等，让学生在解决问题的过程中应用垂径定理。
4. 作业题集：提供一份包括选择题、填空题、简答题和综合题在内的习题集，难度逐步提升，让学生从多个角度巩固和拓展对垂径定理的理解。
三、作业要求本节作业要求学生独立完成，要求如下：1. 准确理解垂径定理的每一个概念和性质，并能够准确运用在解题过程中。
2. 认真完成每一道题目，尤其是综合题，要尽量运用所学知识进行全面解答。
3. 题目解答过程中，要求步骤清晰、逻辑严密，注重解题思路的阐述。
4. 作业完成后需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。
四、作业评价教师将根据以下标准对学生的作业进行评价：1. 学生对垂径定理的理解程度及运用能力。
2. 解题步骤的逻辑性和条理性。
3. 答案的准确性和完整性。
4. 学生的自我检查和修正情况。
五、作业反馈教师将对每一份作业进行批改和点评，并通过以下方式进行反馈：1. 对每一道题目进行详细讲解和评分，对出现错误的地方进行详细解释和纠正。
2. 对于解题思路和方法进行归纳总结，强调解题技巧和思路。
3. 对于学生的优点和不足进行及时反馈，鼓励学生继续努力。
4. 对于普遍存在的问题进行课堂讲解和讨论，帮助学生加深理解和记忆。
通过上述的作业设计旨在全面、系统地提升学生的垂径定理理解和应用能力。
同时，它还鼓励学生进行独立思考和自主学习，培养学生的问题解决能力和创新思维。
《3.3垂径定理(选学)》作业设计方案-初中数学浙教版12九年级上册
《垂径定理（选学）》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 使学生通过《垂径定理（选学）》的课程学习，能够理解和掌握垂径定理的内容。
2. 让学生运用垂径定理解决基本的数学问题，提升数学思维能力及解决问题的能力。
3. 培养学生自主学习的习惯和团队合作的精神。
二、作业内容1. 预习资料- 垂径定理的基本概念及几何意义。
- 垂径定理的证明过程及相关的证明技巧。
2. 实践作业- 学生需要自己绘制包含直径和垂径的简单圆图，并用直尺测量并计算半径与直径的比值。
- 利用直尺和量角器绘制两条经过圆心的弦与半径形成的角度，然后验证是否为直角，即判断弦是否垂直于对应的直径或半圆上的一段直径，并通过实例深化对垂径定理的理解。
3. 书面作业- 完成一组关于垂径定理的应用题，包括但不限于计算弦长、判断线段是否垂直于直径等。
- 撰写一份关于垂径定理学习心得的短文，记录学习过程中的困惑与收获。
三、作业要求1. 学生需在规定时间内独立完成作业，并保证作业的准确性和完整性。
2. 实践作业中，学生需使用正确的测量工具进行测量和计算，保持图形清晰可见。
3. 书面作业要求解题步骤完整，计算准确，并在每一道题后简要注明解题思路。
4. 书写短文时，需体现个人的理解和对学习的思考，如有相关困惑应加以明确指出。
四、作业评价1. 准确性：根据学生完成的书面作业及学习心得的内容来判断学生对垂径定理的掌握程度和准确性。
2. 完整性：学生作业完成是否全面，包括预习资料的理解程度和解题步骤的完整性。
3. 创新性：鼓励学生在解题过程中提出新的思路和方法，以培养其创新思维和解决问题的能力。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行批改和点评，及时反馈学生的错误和不足，并给出相应的指导建议。
2. 对于表现出色的学生，教师应给予肯定和鼓励，并分享其优秀的学习方法和经验。
3. 教师将收集学生在学习过程中的疑问和建议，以便于在后续的课堂教学中做出相应的调整和改进。
人教版九年级数学上垂径定理教学案(第1课时)学生用教案课堂练习课时作业含答案
CD B 第17题图 垂径定理（第1课时）【教学目标】1．理解圆的轴对称性．2．掌握垂径定理及其结论，并会运用这些结论解决一些有关证明、计算和作图问题．【要点呈现】1．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．说明：①圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身．②圆有无数条对称轴． 2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．用符号语言描述：∵⊙O 中CD 是直径、AB 是弦，且CD ⊥AB 于M ，∴AM ＝BM ，AC BC =，AD BD =．说明：①垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；②在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦的距离等问题中，垂径定理常常和勾股定理结合使用，即：（弦的一半）2＋（圆心到弦的距离）2＝（半径）2．例1 （2010广东佛山）如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是 A ．MP 与RN 的大小关系不定 B.MP=RN C.MP ＜RN D.MP ＞RN例2 （2010山东潍坊）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于D 点，且AB ＝6cm ，OD ＝4cm ，求DC 的长【课堂操练】1．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB 大小为（ ）A 、25°B、30° C 、40°D 、50°2．（2010福建宁德）如图，在直径AB ＝12的⊙O 中，弦C D ⊥AB 于M ，且M 是半径OB 的中点，求弦C D 的长（结果保留根号）.3．（2010内蒙呼和浩特）如图，⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，OM ：OC ＝3：5，求AB 的长4 如图，已知：在半径为5的⊙O 中，弦AB=6，CD=8，且AB ∥CD.求：AB 、CD 之间的距离.【课堂操练】3．垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 说明：垂径定理的其他推论：一条直线若满足下列结论中的两点，其它一定成立：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．例3 （2010江苏徐州）如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若大圆的半径为5 cm ，小圆的半径为3 cm ，则弦AB 的长为_______cm ．F EBA OD C B A 例3OBAD C·P（第20题）例4 如图，已知圆内两条弦AB、CD，利用直尺和圆规确定圆心的位置，并写出作法．【课堂操练】1（2010江西）如图，以点P为圆心的圆弧与X轴交于A，B；两点，点P的坐标为（4，2）点A的坐标为（2，0）则点B的坐标为．（15题）2如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（）A.32cm B. 23 cm C.24 cm D. 34 cm【课后盘点】1．如图3，（2010 云南玉溪）如图6，在半径为10的⊙O 中，OC垂直弦AB于点D，AB＝16，求CD的长．2．（2010江苏南通）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．3如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的AB），点O是这段弧的圆心，C是AB上一点，OC AB⊥，垂足为D，300mAB=，50mCD=，则这段弯路的半径是 m．参考答案【要点梳理】例1解：作OA ⊥MN 于A ． ∵OA ⊥MN ，∴MA =NA ，P A =RA ． ∴MP =RN ． 故选B ．例2解：连接O A ， 则O A 2=O D 2+AD 2，∴25=（5﹣DC ）2+16， ∴DC =2c m ．【课堂操练】1.解：由垂径定理，得：AC BC =；∴∠CDB =12∠AOC =25°；故选A ． 2解：连接OC ；Rt △OCM 中，OC =6，OM =AB =3， 由勾股定理得：MC ； ∴CD =2MC3解：如图所示，⊙O 的直径CD =10c m ，则⊙O 的半径为5c m ，即O A =O C =5， 又∵OM ：O C =3：5，所以OM=3，∵AB ⊥CD ，垂足为M ，∴A M=B M ， 在Rt △A OM 中，AM=43522=-，∴AB =2A M=2×4=8．4解：经过点O 作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F .∵AB ∥CD ∴EF ⊥CD由圆的对称性可知 AE=21A B=3 ， CF=21CD= 4 在Rt △OAE 中 OE=22AE OA -=2235-=4 在Rt △OCF 中 OF=22CF OC -=2245-=3（1）当AB 、CD 在圆心O 的同侧时 EF=OE+OF =4+3=7 （2）当AB、CD 在圆心O 的两侧时 EF=OE-OF =4-3=1 .【课堂操练】 例3解：连接OC ，则O C ⊥AB，根据勾股定理，得=4cm ，根据垂径定理，得AB=2AC=8cm ．例4作法：1.画线段AB 的垂直平分线；2. 画线段CD 的垂直平分线；两线交于点O 所以，点O 为圆心的位置。
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《垂径定理习题课》教学设计
石泉县城关中学 蒋栋三
教学目标：
使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。
教学内容与过程：
一、 情境创设
在⊙O 中，直径为10cm ，圆心O 到AB 的距离（即弦心距）为3cm ，则弦AB 的长为 。
在⊙O 中，直径为10cm ，弦AB 的长为8cm ，则圆心O 到AB 的距离为 。
解决这两个问题的依据是什么？
这节课让我们再次走进“垂径定理”（板书课题）
二、学生探究 （过渡语：老师这有个题目，看谁能又快又正确的做出来） 例1、⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为多少?最大值为多少?
例2、ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦AB ⊥CD,E 为垂足，若CE=9，DE=1，求AB 的长？
三、展示归纳
例题学生做后，解答过程生说老师写，发动学生纠正和完善，教师画龙点睛强调，最后指出这就是今天的两个例题。
四、变式练习
学生按要求完成相关练习；师安排学生到黑板前解答相关问题；师生共同纠错，并强调注意事项。
变式1：油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度
_D
B A
变式2：图所示，两个同心圆O ，大圆的弦AB 交小圆于C 、D
.求证：BD AC
变式3：如图，AB 为⊙O 直径，D 是 BC
中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB =10，求AC 的长.
五、反馈补救
在每个变式练习处理完后如有问题都进行补救，强调和画龙点睛。
此环节一般在变式练习环节同步进行。
六、小结与归纳
引导学生先进行自主小结，再进行概括总结。
七、布置作业
师布置作业，学生完成作业。
如图，A 、B 、C 在圆上，且AB=AC=5厘米，BC=8厘米，求圆的半径。