2019学年云南省高二上学期期末考试数学(理)试卷【含答案及解析】
2022-2023学年云南省曲靖市高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省曲靖市高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合，，则{}2430A x x x =-+<{}480xB x =->A B =A ．B ．C ．D ．3(3,)2--3(3,2-3(1,)23(,3)2【答案】D【分析】先根据一元二次不等式和指数不等式的解法求出集合A,B ，再利用交集的定义求出.A B ⋂【详解】，，则()(){}{}31013A x x x x x =--<=<<{}233222x B x x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭，故选D.332A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟练掌握交集运算是解题的关键.2．复数（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）31iz i +=-A ．B ．C ．D ．21-i-2i【答案】D【分析】根据复数的乘除法运算法则可得复数，再根据复数的概念可得其虚部.12z i =+【详解】因为，()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+--+所以复数的虚部是2，z 故选：D ．【点睛】本题考查了复数的乘除法算法则，考查了复数的概念，属于基础题.3．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为，大正方形的边长为，直角三角形中较小的锐角为，则210θ（ ）c 26os sin πθθπ⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎭⎝+⎪⎝⎭A BC D 【答案】D【分析】设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出x 的值，从而求出sin θ，cos θ的值，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．【详解】直角三角形中较短的直角边为x ，则：x 2+（x +2）2＝102，解得：x ＝6，∴sin θ，cos θ，35=45=∴sin （）﹣cos （）＝﹣cos θ﹣（cos θcos ）sin θ）cos θ2πθ-6πθ+66sin sinππθ-12=1=故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．4．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8；则可以判定数学成绩优秀的同学为（ ）A ．甲、丙B ．乙、丙C ．甲、乙D ．甲、乙、丙【答案】A【分析】根据题意，由中位数，平均数，众数以及方差的意义，即可得到结果.【详解】在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120，所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127，故甲同学数学成绩优秀，故①成立；在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127，可以找到很多反例，如：118，119，125，128，128，故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8，设，1234x x x x <<<则()()()()()222221234112812812812813512819.85x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦∴，()()()()2222123412812812812850x x x x -+-+-+-=∴，()211112850128128120x x x -≤⇒-≤⇒≥->∴丙同学数学成绩优秀，故③成立，∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学．故选:A5．函数的部分图象是（ ）()22sin 1x f x x -=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先判断出为偶函数，然后结合时，为负数，确定正确选项.()f x 06x π<<()f x 【详解】因为，所以是偶函数，则的图象关于()()()222sin 12sin 1x x f x f x x x ----===-()f x ()f x轴对称，排除C ，D ；当时，，排除B.y 06x π<<()0f x <故选：A【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.6．的内角，，的对边分别为，，，已知，ABC A B C a b c cos cos 3cos a B b A c C +=，则（ ）sin sin sin 0a A c C b A -+=b a =A ．B ．C ．D ．53737252【答案】A【解析】由正弦定理及，先求得，又由正弦定理及cos cos 3cos a B b A c C +=1cos 3C =，得，结合余弦定理，即可求得本题答sin sin sin 0a A c C b A -+=22a c ab -=-222cos 2a b c C ab +-=案.【详解】在中，由正弦定理及，ABC cos cos 3cos a B b A c C +=得，sin cos cos sin 3sin cos A B A B C C +=∴，sin()sin 3sin cos A B C C C +==又，∴；sin 0C ≠1cos 3C =由正弦定理及，得，sin sin sin 0a A c C b A -+=22a c ab -=-又由余弦定理得，22221cos 223a b c b ab C ab ab +--===所以，得．213b a -=53b a =故选：A【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，考查学生的转化能力和运算求解能力.7．已知曲线在点处的切线方程为，则e ln xy a x x =+()1,ae 2y x b =+A ．B ．C ．D ．,1a e b ==-,1a e b ==1,1a e b -==1,1a e b -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．a b 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++，1|12x k y ae ='==+=1a e -∴=将代入得，故选D ．(1,1)2y x b =+21,1b b +==-【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上，22221x y a b +=12,F F 122FF c =A ， ，则椭圆的离心率1120AF F F ⋅= 212AF AF c ⋅=e =A B CD【答案】C【详解】由于，则， ， 1120AF F F ⋅= 2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()12,0,,0F c F c -22120,,2,b b AF AF c a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ， ， ， ， ，，42122b AF AF c a ⋅== 2b ac=22a c ac -=21e e -=210e e +-=e = ，则，选C.01e <<e 二、多选题9．如图，在长方体中，，M ，N 分别为棱的中点，1111ABCD A B C D -14,2AA AB BC ===111,C D CC 则下列说法正确的是（ ）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面平面ADM ⊥11CDDC C ．直线与所成角的为D ．平面BN 1B M 60︒//BN ADM【答案】BC【分析】A.由点A 、M 、B 在平面内，点N 在平面外判断；B.平面，11ABC D 11ABC D AD ⊥11CDD C 再利用面面垂直的判定定理判断；C.取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，由，得到为1//BE B M EBN ∠异面直线与所成的角判断；D.利用反证法判断.BN 1B M【详解】A.点A 、M 、B 在平面内，点N 在平面外，故错误；11ABC D 11ABC DB.在正方体中，平面，又平面ADM ，所以平面平面，故正确；AD ⊥11CDD C AD ⊂ADM ⊥11CDD CC.如图所示：取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，得，则 为异面直线与所成的角，易知1//BE B M EBN ∠BN 1B M 是等边三角形，则 ，所以直线与所成角的为，故正确；EBN △60EBN ∠= BN 1B M 60︒D. 若平面，又 平面ADM ，又，所以平面 平面ADM ，//BN ADM //BC BC BN B = 11//BCC B 而平面平面，矛盾，故错误；11//BCC B 11ADD A 故选：BC10．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ）A ．两件都是一等品的概率是13B ．两件中有1件是次品的概率是12C ．两件都是正品的概率是13D ．两件中至少有1件是一等品的概率是56【答案】BD【分析】由题意给产品编号，列出所有基本情况，逐项列出满足要求的情况，由古典概型概率公式逐项判断即可得解.【详解】由题意设一等品编号为、，二等品编号为，次品编号为，a b c d 从中任取2件的基本情况有：、、、、、，共6种；(),a b (),a c (),a d (),b c (),b d (),c d 对于A ，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A 错(),a b 116P =误；对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有、、，共3种，故两件中有1件是次(),a d (),b d (),c d品的概率，故B 正确；23162P ==对于C ，两件都是正品的基本情况有、、，共3种，故两件都是正品的概率(),a b (),a c (),b c ，故C 错误；33162P ==对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有、、、、，共5种，(),a b (),a c (),a d (),b c (),b d 故两件中至少有1件是一等品的概率，故D 正确.456P =故选：BD.【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解能力，列出基本情况是解题关键，属于中档题.11．下列四个命题中，正确命题有（ ）A ．当a 为任意实数时，直线恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线()1210a x y a --++=的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是()5,020x y -=221520x y -=C ．抛物线的准线方程为()20y ax a =≠14y a =-D ．已知双曲线，其离心率，则m 的取值范围是2214x y m +=()1,2e ∈()12,0-【答案】ABCD【分析】对于A ，求出点的坐标即可判断，对于B ，根据条件可得P ,a b ==对于C ，根据抛物线的知识可判断，对于D ，得到，然后可判断.22222244c a b me a a +-===【详解】对于A ，当a 为任意实数时，直线恒过定点P ，()1210a x y a --++=因为方程可化为()1210a x y a --++=()210a x x y +--+=所以，而过点，故A 正确；()2,3P -243x y=()2,3P -对于B ，由双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，()5,020x y -=则， ， ，解得，故双曲线的标准方程是，故B 正5c =2ba =222c ab =+,a b ==221520x y -=确；对于C ，抛物线的准线方程为，故C 正确；()20y ax a =≠14y a =-对于D ，根据题意，双曲线，其离心率，2214x y m -=-()1,2e ∈即，则，故D 正确.22222244c a b m e a a +-===4141204m m -<<⇒-<<故选：ABCD.12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有个球，从上往下n 层球的球的总数为，则（ ）n a n S A ．B ．11(2)n n a a n n --=+≥784S =C ．D ．9898992a ⨯=1232022111140442023a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】BCD 【分析】根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项123a a a 、、1n n a a n --=n a A 、C ；计算前7项的和即可判断B ；利用裂项相消求和法即可判断D.【详解】由题意得，，121321=1=2=3n n a a a a a a a n ----= ，，，，以上n 个式子累加可得，(1)=12(2)2n n n a n n ++++=≥ 又满足上式，所以，故A 错误；11a =(1)=2n n n a +则，2345673610152128a a a a a a ======，，，，，得，故B 正确；7127==1+3+6+10+15+21+28=84S a a a +++ 有，故C 正确；9898992a ⨯=由，1211=2((1)1n a n n n n =-++得，12202211111111140442(1)2(1)2232022202320232023a a a +++=-+-++-=-=故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知函数，则________．3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩(2020)f -=【答案】1-【解析】根据题意，由函数解析式可得，进而计算得到答案.(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=【详解】根据题意，当时，，0x <()(3)f x f x =+所以，(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=当时，，0x ≥3()log (1)2f x x =+-所以.3log (21)(22)1f +-=-=故答案为：.1-【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.14．若数列，都等差数列，且有，则__________．{}n a {}n b 1212532n n a a a n b b b n ++++=++++ 77a b =【答案】6815【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.n 【详解】设等差数列、的前项和分别为{}n a {}n b n n nS T 、由1131137711312131131977113121313()25133682213()21321522a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b++++++⨯+=======+++++++ 故答案为:681515．棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为_____________;【答案】【分析】一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，从而R求出这个球的体积【详解】解：一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，R 即解得2R =R=则其体积，343V Rπ===故答案为：．16．中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第x 1F 2F 一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范P 12PF F △2PF 210PF =围为，则椭圆离心率的取值范围是_____．()1,2【答案】2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：由题意得：，因此椭圆离心率(1,2)102102cc c ∈⇒>-521(,1).2105532c c c c c ==-∈+++【解析】椭圆离心率四、解答题17．已知函数.()πsin sin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期；()f x (2)在中，角所对的边分别为，若，且的面积为ABC ,,A B C ,,a b c ()3,24f C a ==ABC 的值.c【答案】(1)π(2)c =【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简函数的解析式，即可得到结果；()f x （2）根据条件求出，由三角形面积公式求出，再由余弦定理求出c 即可.C b 【详解】（1），π111cos 21π1()sin sin()sin sin 2sin(2)3222264x f x x x x x x x x ⎛⎫-=+==⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭故最小正周期为.2ππ2T ==（2），即，1π13()sin(22644f C C =-+=πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以，所以，ππ22,62C k k π-=+∈Z ,3C k k ππ=+∈Z 因为，所以，()0,C π∈π3C =由三角形面积公式，且，解得，1sin 2S ab C ==2a =4b =由余弦定理，22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=解得.c =18．若数列满足，.{}n a 11a =-121(N ,2)n n a a n n *-=-∈≥(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；{}1n a -{}n a (2)设，若数列的前项和为，求证：.2log (1)n n b a =-11(N )n n n b b *+⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭n n T 1n T <【答案】(1)证明见解析，12n n a =-(2)证明见解析【分析】（1）由变形得，可得数列为等比数列，通过求该数列121n n a a -=-()1121n n a a --=-{}1n a -的通项公式，可得数列的通项公式．{}n a （2）由（1）可得，故，利用裂项相消法求和即可．n b n =11111n n b b n n +=-+【详解】（1）证明：∵，121n n a a -=-()2n ≥∴，()1121n n a a --=-又，1120a -=-≠∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n a -2-2∴， ()11222n nn a --=-⋅=-∴．12n n a =-（2）解：由（1）知，()22log 1log 2n n n b a n =-==∴，()1111111n n b b n n n n +==-++∴.11111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 19．某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为）．[)[)[]4050506090100 ，，，，，，（1）求成绩在的频率，并补全此频率分布直方图；[)7080，（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．[)4050，[]90100，【答案】（1），频率分布直方图见解析；（2）；（3）．0.2572.50.4【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义可得第四小组的频率：；（2）根据频率分布直方图的意义可得这次考试()10.0050.0150.0200.0300.005100.25-++++⨯=平均分的估计值为：；（3）450.05550.15650.20750.25850.30950.0572.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=成绩在和的人数分别为，将成绩在的人分别记为，成绩在[)40,50[]90,1003,3[)40,503,,a b c的人分别记为，从成绩在和的学生中任选两人的结果共种，成[]90,1003,,A B C [)40,50[]90,10015绩在同一分组区间的结果共种，利用古典概率计算公式即可得出所求概率．6试题解析：（1）由题意得成绩在的频率为[)70,80，频率分布直方图如图所示；()10.0050.0150.0200.0300.005100.25-++++⨯=（2）由题意可得这次考试平均分的估计值为：；450.05550.15650.20750.25850.30950.0572.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）由题意可得，成绩在的人数为，记他们分别是，成绩在[)40,50600.005103⨯⨯=,,a b c 的人数为，记他们分别是，则从成绩在和的学生[]90,100600.005103⨯⨯=,,A B C [)40,50[]90,100中任选两人的结果分别是，共()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b A c B C B a B b B c C a C b C c a b a c b c 15种，他们的成绩在同一分组区间的结果是，共6种．()()()()()(),,,,,,,,,,,A B A C B C a b a c b c 所以他们的成绩在同一分组区间的概率为．60.415P ==【解析】1、频率分布直方图；2、古典概率．【方法点睛】由样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数的方法：（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标；（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．本题主要考查由样本频率分布直方图估计总体的平均数以及古典概率，属于基础题．20．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC =BC =2，∠CBB 1=，点A 在平面3πBCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形；（2）求二面角E -B 1C -A 1的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）通过勾股定理得出，又，进而可得平面，则可得到1CE BB ⊥1AE BB ⊥1BB ⊥AEC ，问题得证；1AA AC ⊥（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，求出平面的法E EC 1EB EA x y z 1EB C 向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.11A B C 【详解】（1）因为平面，所以，⊥AE 11BB C C 1AE BB ⊥又因为，，，所以1112BE BB ==2BC =3EBC π∠=CE 因此，所以， 222BE CE BC +=1CE BB ⊥因此平面，所以，1BB ⊥AEC 1BB AC ⊥从而，又四边形为平行四边形，1AA AC ⊥11ACC A 则四边形为矩形；11ACC A （2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，所以E EC 1EB EA x y z，11(0,0,1),(0,2,1),(0,1,0),A A B C 平面的法向量，设平面的法向量，1EB C (0,0,1)m = 11A B C (,,)n x y z =由，1(,,)(0n CB x y z y ⊥⇒⋅=⇒= 由，11(,,)(0,1,1)00n B A x y z y z ⊥⇒⋅=⇒+=令，1x y z =⇒==n =所以，cos ,m n <>== 所以，所求二面角的余弦值是【点睛】本题考查空间垂直关系的证明，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力，是中档题.21．为了保护某库区的生态环境，凡是坡度在以上的坡荒地都要绿化造林．经初步统计，在该25︒库区内坡度大于的坡荒地面积约有万亩．若从年年初开始绿化造林，第一年绿化25︒ 2 6402016万亩，以后每一年比上一年多绿化万亩．12060(1)若所有被绿化造林的坡荒地全都绿化成功，则到哪一年年底可使该库区的坡荒地全部绿化?(2)若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为万立方米，每年树木木材量的自然生长率为，0.120%那么当整个库区以上坡荒地全部绿化完成的那一年年底，一共有木材多少万立方米？(结果保留25︒1位小数，，)91.2 5.16≈81.2 4.30≈【答案】(1)年2023(2)万立方米543.6【分析】（1）根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果；n （2）根据题意，由错位相减法即可得到结果.【详解】（1）设各年造林的亩数依次构成数列，{}n a 由题意知数列是等差数列，且首项，公差．{}n a 1120a =60d =设第n 年后可以使绿化任务完成，则有，解得．(1)12060 2 6402n n n S n -=+⨯≥8n ≥所以到年年底可使该库区的坡荒地全部绿化.2023（2）因为年造林数量为，20238120760540a =+⨯=设到年年底木材总量为万立方米，2023S由题意得876120 1.2180 1.2240 1.2540 1.0(.)21S =⨯+⨯+⨯++⨯⨯ ．8762 1.23 1.2)9 1.2(=⨯⨯+⨯++⨯ 令①，872 1.23 1.29 1.2S'=⨯+⨯++⨯ 两边同乘以，得②．1.29821.22 1.23 1.29 1.2S'=⨯+⨯++⨯ ②①，得-98720.22 1.2 1.2 1.2(1).29 1.2S'=⨯++++-⨯ 2791.2(1 1.2)2 1.210.81 1.2-=--⨯⨯+．97 1.218=⨯-所以，所以．957 1.218(90).6S'=⨯⨯-≈690.6543.6S =⨯=故到年年底共有木材万立方米．2023543.622．已知点与点的距离比它的直线的距离小2．M ()4,0F :60l x +=(1)求点的轨迹方程；M (2)是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出,OA OB M AB x 该点坐标；若不经过，说明理由．【答案】(1)216y x=(2)直线过定点.()16,0【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解；（2）法一：设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系y 数的关系和平面向量的数量积为0进行求解；法二：设出定点坐标为，根据、、三()0,0P x A B P 点共线，结合向量共线定理，即可求解.【详解】（1）（1）由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，M ()4,0:6l x =-即动点到的距离与它到直线的距离相等，M ()4,04x =-由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，M ()4,0则点的轨迹方程为；M 216y x =（2）（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为0，AB设直线的方程为，，AB ()0x ty m m =+≠()()1122,,,A x y B x y 联立方程，消去，可得，即，216y x x ty m ⎧=⎨=+⎩x 216160y ty m --=0∆>240t m +>，，121216,16y y t y y m +==-22212121616y y x x m =⨯=由题意知，即，则，OA OB ⊥OA OB ⊥ 12120x x y y +=故， ，，直线的方程为，2160m m -=0m ≠16m =AB 16x ty =+故直线过定点，且定点坐标为；AB ()16,0法二：假设存在定点，设定点，()()()()0112212,0,,,,0P x A x y B x y y y ≠， ， 故，OA OB ⊥OA OB ⊥ 12120x x y y +=在抛物线上，即代入上式，可得，A B 、221212,1616y y x x ==()212120256y y y y +=故，三点共线， ，，12256y y =-A B P 、、PA PB ∥2221121212120121216161616y y y y y x x y y y x y y y y --===-=--假设成立，直线经过轴的定点，坐标为．AB x ()16,0【点睛】本题考查了根据定义求抛物线轨迹，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线垂直转化为向量垂直计算是解题的关键.。
二项式定理(1)
x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。
2022-2023学年云南省昆明市第一中学高二上学期期末考试化学试题(解析版)
昆明市第一中学2022~2023学年度上学期期末考试高二化学总分：100分 时间：120分钟可能用到的相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 K39 Mn55第Ⅰ卷(选择题，共42分)一、选择题(本题共21小题，每题2分，共42分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把正确选项涂在答题卡相应位置，答在试卷上无效．．。
) 1. 2022年诺贝尔化学奖授予Carolyn R Bertozzi 等三位在“点击化学和生物正交化学”方面做出突出贡献的科学家。
叠氮—炔环加成是经典的点击化学反应。
反应示例如图所示：下列说法错误的是A. 化合物A 的分子式为C 2H 5N 3B. 化合物B 的所有原子不在同一条直线上C. 化合物B 和化合物C 均可使溴水褪色D. 化合物C 和化合物D 均属于不饱和烃 【答案】D 【解析】【详解】A ．由A 的结构简式可知化合物A 的分子式为：C 2H 5N 3，故A 正确； B ．B 为丙炔，其中存在一个甲基，所有原子不可能均在同一条直线上，故B 正确； C ．化合物B 存在碳碳三键，能够使溴水褪色，化合物C 存在碳碳双键，能够使溴水褪色，故C 正确；D ．化合物C 和化合物D 中均含N 原子，不属于烃类，故D 错误； 故选：D 。
2. 下列说法不正确．．．的是 A. 乙醇和丙三醇互为同系物 B.35Cl 和37Cl 互为同位素C. 2O 和3O 互为同素异形体D. 丙酮()和环氧丙烷()互为同分异构体【答案】A【解析】【详解】A．结构相似，组成上相差若干个CH2原子团的有机化合物为同系物，乙醇(CH3CH2OH)是饱和一元醇，丙三醇是饱和三元醇，两者所含官能团数目不同，不互为同系物，A错误；B．质子数相同、中子数不同的同种元素互为同位素，35Cl的质子数为17，中子数为18，37Cl的质子数为17，中子数为20，两者质子数相同、中子数不同，互为同位素，B正确；C．由同种元素组成的不同的单质互为同素异形体，O2和O3是由氧元素组成的不同的单质，两者互为同素异形体，C正确；D．分子式相同、结构不同的化合物互为同分异构体，丙酮和环氧丙烷的分子式相同、结构不同，两者互为同分异构体，D正确；答案选A。
2021-2022学年云南省曲靖市宣威市落水镇第一中学高二数学理上学期期末试题含解析
2021-2022学年云南省曲靖市宣威市落水镇第一中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞1的概率是（）A．0.25 B．0.5 C．0.6 D．0.75参考答案：D【考点】几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，可得答案．【解答】解：数集（1，4]的长度为3，数集[0，4]的长度为4，∴在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞1的概率为： =0.7，故选：D．2. 安排一张有5个独唱节目和3个合唱节目的节目单，要求任何2个合唱节目不相邻而且不排在第一个节目，那么不同的节目单有（）A．7200种B．1440种C．1200种D．2880种参考答案：A【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、将5个独唱节目全排列，排好后，分析可得有5个空位可以安排合唱节目，②、在5个空位中，任选3个，安排3个合唱节目，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、将5个独唱节目全排列，有A55=120种排法，排好后，除去第一空位，有5个空位可以安排合唱节目，②、在5个空位中，任选3个，安排3个合唱节目，有A53=60种排法，则不同的节目单有120×60=7200种；故选：A．3. 已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．4 B．8 C．2 D．1参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故选：B．4. 关于x的方程，其解得个数不可能是A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案：A5. 若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项参考答案：A略6. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面ABCD所成角的余弦值为 ( )．A．B．C．D．参考答案：C7. 已知，，则、的等差中项是（）A． B． C．D．参考答案：A8. 正项等比数列｛a n｝与等差数列｛b n｝满足且，则，的大小关系为（）A. =B.＜C.＞D.不确定参考答案：B略10、设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为( )A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3D．6∶5∶4参考答案：D 10. 已知随机变量X服从正态分布且P（X≤4）=0.88，则P（0＜X＜4）=（）A. 0.88B. 0.76C. 0.24D. 0.12参考答案：B【分析】正态曲线关于对称，利用已知条件转化求解概率即可。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
2022-2023学年云南省昆明市高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
昆明市2022-2023学年度上学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设函数是函数的导函数，若，则（ ）()f x '()f x ()cos f x x =π6f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭A.B.C.12-12【答案】B 【解析】【分析】根据余弦函数的导数公式求解.【详解】因为，()cos f x x =所以，()sin f x x '=-所以，ππ1sin 662f ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭故选：B.2. 已知等差数列的前n 项和为，若，则（）{}n a n S 76a =13S =A. 6 B. 12C. 78D. 156【答案】C 【解析】【分析】由条件根据等差数列前项和公式结合等差数列性质可求.n 13S 【详解】因为，()11313713132a a S a+==又，76a =所以，1313678S =⨯=故选：C.3. 如图，在平行六面体中，M 是的中点，设1111ABCD A B C D -11B C ，则（ ）1,,AB a AD b AA c===AM =A.B. C.D.12a b c ++ 12a b c++12a b c++1122a b c++ 【答案】B 【解析】【分析】利用向量的线性运算法则即可计算.【详解】解：因为在平行六面体中，M 是的中点，1111ABCD A B C D -11B C 所以111111111222A cA M AB AB AB BB B M A BC AA AD a b ++=+++==+=++故选：B4. 直线与圆交于两点，则为（ ）22y x =+224670x y x y ++--=,MN MN C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由圆方程求圆心坐标和半径，利用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合弦长公式求.MN【详解】方程可化为，224670x y x y ++--=()()222320x y ++-=所以圆的圆心的坐标为，半径为224670x y x y ++--=()2,3-圆心到直线的距离，()2,3-22y x =+d 所以MN ==故选：D.5. 空间直角坐标系中，已知点，则平面的一O xyz -(2,0,2),(2,1,0),(0,2,0)A B C ABC 个法向量可以是（）A. B. C. D.(1,2,1)(1,2,1)-(2,1,2)(2,1,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据法向量的求解方法求解即可.【详解】解：由题知，()()0,1,2,2,1,0AB BC =-=-设平面的一个法向量为，ABC (),,n x y z =所以，即，令得00n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22y z y x =⎧⎨=⎩1x =()1,2,1n = 所以，平面的一个法向量可以是.ABC ()1,2,1n =故选：A6. 在中，，则（ ）ABC1,5,cos2A AB AC ===BC =AD.【答案】A 【解析】【分析】先利用二倍角公式求，再运用余弦定理求即可.cos A BC 【详解】因为cos2A =所以，23cos 2cos 125A A =-=-由余弦定理可得，2222cos BC AB AC AB BC A =+-⋅因为，1,5AB AC ==所以，23125215325BC⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以BC =故选：A.7. 已知等比数列的各项都是正数，为其前项和，若，，则{}n a n S n 48S =824S =16S =A. 40B. 56C. 72D. 120【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的片段求和性质求解即可.【详解】因为,,,成等比数列,所以,48S =8416S S -=128S S -1612S S -12832S S -=,,161264S S -=()()()164841281612S S S S S S S S =+-+-+-8163264120=+++=故选：D .【点睛】本题主要考查了等比数列片段求和的性质,属于基础题.8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不R ()f x ()f x '3()()0,(ln 2)1f x f x f +<='等式的解集为（ ）3()e 8xf x >A. B. C. D.(,2)-∞(,ln 2)-∞(ln 2,)+∞(2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】因为不等式等价于，故考虑构造函数3()e 8xf x >()33ln 2()e ln 2e x f x f >，结合已知条件证明其单调性，结合单调性解不等式即可.()()3e x g x f x =【详解】令，函数的定义域为，()()3e x g x f x =()g x R 因为()()30f x f x '+<所以，()()33(e )e 0x x f x f x ''+<故()()3(e )0x g x f x ''=<故在R 上单调递减，()g x 又因为()ln 21f =所以，，()()3ln 2e ln 28ln 2g f ==所以不等式可化为，3()e 8xf x >()()ln 2g x g >所以，ln 2x <所以的解集为3()e 8xf x >(),ln 2-∞故选：B.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.9. 下列关于双曲线的结论中，正确的是（ ）221x y -=A. B. C. 两条渐近线互相垂直 D. 焦点到渐近线的距离为1【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可.【详解】双曲线，可得，，221x y -=1a =1b =c =则双曲线的离线率为A 正确；221x y -=ce a ==焦距，故B 错误；2c =渐近线为与，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C 正确；y x =y x =-焦点到渐近线的距离为，故D 正确；1b =故选：ACD.10. 设是数列的前n 项和，且，，则下列结论中，正确n S {}n a 11a =()12n n a S n *+=∈N 的是（ ）A.是等比数列 B.是等比数列{}n a {}n S C. D.13n na -=13n n S -=【答案】BD 【解析】【分析】利用与的关系可得的递推关系即可判断A ，C ；利用与的关系可n a n S {}n a n a n S 得的递推关系即可判断B ，D ．{}n S 【详解】由，所以当时，有，两式相减得，12n na S +=2n ≥12n n a S -=13n n a a +=又，，所以数列不是等比数列，故A 错误；C 错误；11a =2122a S =={}n a 由，得，所以数列是首项为1，公比为3的等比数112n n n nS a S S ++==-13n n S S +={}n S 列，所以，故B 正确；D 正确．11133n n n S --=⨯=故选：BD ．11. 设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，2:6C y x =F 1l l F C ,A B若，则下列结论中正确的是（ ）3AF FB = A. 直线B. 的中点到的距离为4l AB 1lC. D. （O 为坐标原点）112||||3AF BF +=OA OB ⊥【答案】ABC 【解析】【分析】由题设直线的方程为，，进而联立方程，结合向l 32x my =+()()1122,,,A xy B x y量关系得，再依次讨论各21y y m ==-=21y y m ===选项即可.【详解】解：由题知焦点为，准线为，3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭13:2l x =-所以，设直线的方程为，，l 32x my =+()()1122,,,A x y B x y 所以，得，2632y x x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩2690y my --=所以，，①，②，236360m ∆=+>126y y m +=129y y =-因为，即，3AF FB = 112239,,33,322AF x y FB x y ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以③，123y y -=所以，由①②③得，21y y m ==-=21yy m ===所以直线的斜率为，故A 选项正确；l 1m =所以，，故的中点的横坐标为，()212123635x x m y y m +=++=+=AB 52所以，的中点到的距离为，故B选项正确；AB 1l53422⎛⎫--= ⎪⎝⎭当，此时，21y y m ==-=91,,22A B ⎛⎛- ⎝⎝93622AF =+=，故；13222BF =+=112||||3AF BF +=当时，，此时，21y y m ===91,,22A B ⎛⎛ ⎝⎝93622AF =+=，故；故C 选项正确；13222BF =+=112||||3AF BF +=因为，故不成立，故D 选项()212121212909364y y OA OB x x y y y y ⋅=-=+≠+= OA OB ⊥错误.故选：ABC12. 已知函数，则下列结论中正确的是（）32()1f x x mx =-+A. 有两个极值点()f x B. 当时，在上是增函数1m =-()f x (0,)+∞C. 当时，在上的最大值是11m =()f x [1,1]-D. 当时，点是曲线的对称中心3m =(1,1)-()y f x =【答案】BCD 【解析】【分析】求函数的导函数，根据极值点的定义判断A ，结合导数判断函数的单调性()f x 求最值，判断B ，C ，结合奇函数的定义判断D.【详解】因为，()321f x x mx =-+所以，()()23232f x x mx x x m '=-=-当时，，当且仅当时，0m =()230f x x '=≥0x =()0f x '=函数在上单调递增，()f x (),-∞+∞函数没有极大值点也没有极小值点，A 错误；()f x 当时，，1m =-()()32f x x x '=+当时，，函数在上单调递增，B 正确；()0,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()0,∞+当时，，1m =()()32f x x x '=-令可得，或，()0f x '=0x =23x =当时，，函数在上单调递增，[)1,0x ∈-()0f x ¢>()f x [)1,0-当时，，函数在上单调递减，20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，213x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()0f x ¢>()f x 213⎛⎤ ⎥⎝⎦，又，()01f =()11f =所以函数在上的最大值为1，C 正确；()f x []1,1-当时，，3m =32()31f x x x =-+，()()323(1)131131f x x x x x +=+-++=--设，()()11g x f x =++则，，()33g x x x=-()()33g x x x g x -=-+=-所以函数为奇函数，()()11g x f x =++所以函数的图象关于原点对称，()g x 所以函数关于点对称，D 正确.()f x ()1,1-故选：BCD.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线在点处的切线方程为____________.21()2x f x x +=-(1,3)-【答案】520x y +-=【解析】【分析】再结合导数的几何意义 切线斜率，代入切线方程公式即可．【详解】因为，21()2x f x x +=-所以，()()()()()222221522x x f x x x --+-'==--所以．()15f '=-故切线方程为．520x y +-=故答案为：．520x y +-=14. 在直三棱柱中，，则直线与所成111ABC A B C -190,BAC AB AC AA ∠=== 1AC 1A B 角的余弦值为____________.【答案】##120.5【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，利用向量夹角公式求两向量夹角，结合异面直线夹角定义可得两直线的余弦值.【详解】因为三棱柱为直三棱柱，且，111ABC A B C -90BAC ∠= 所以以点为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系,A 1,,AC AB AA ,,x y z 设，则11AB AC AA ===，11(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)A B A C 所以，11(0,1,1),(1,0,1)A B AC =-=所以，1111111cos ,2A B AC A B AC A B AC ⋅===-因为异面直线所成的角在，(0,90]所以异面直线与所成的角余弦值为，1AC 1A B 12故答案为：.1215. 已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，(2,1)P 1-l 222:1(0)b x yC a b a +=>>,A B 若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为________________.P AB C 【解析】【分析】设，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得关系，从而()()1122,,,A x y B x y ,a b 可得离心率．【详解】解：设，，()()1122,,,A x y B x y 2211221x y a b +=①2222221x y a b +=②是线段的中点，P AB ，两式相减可得，12122,122x x y y ++∴==①②22221212220x x y y a b --+=整理得，即，()()121222420x x y y a b --+=2122122y y b x x a -=--∵弦的斜率为AB 1-，即21221221yy b x x a -∴=-=--a =．c e a ∴====．16. 已知中，，则面积的最大值为_____ABC 2,2BC AB AC ==ABC 【答案】43【解析】【分析】设，则，根据面积公式得AC x =2AB x=ABC S ∆=代入化简，由二次函cos C ABC S ∆=223x <<数的性质求得取得最大值．ABC S∆【详解】解：设，则，根据面积公式得AC x =2AB x =1sin sin 2ABC S AC BC C x C ∆=== 由余弦定理可得，2224443cos 44x xxC x x +--==可得：，ABCS ∆===由三角形三边关系有：，且，解得：，22x x +>22x x +>223x <<故当时，取得最大值，x =ABC S ∆43故答案为：．43【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．四、解答题本大题共6个小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17. 已知等差数列的前n 项和为.{}n a 25,3,25n S a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和.11n n n b a a +={}n b n T 【答案】（1）21n a n =-（2）21n nT n =+【解析】【分析】（1）设数列的公差为，列方程求，写出等差数列通项公式；{}n a d 1,a d （2）利用裂项相消法求和.【小问1详解】设数列的公差为，{}n a d 因为，253,25a S ==所以，，13a d +=151025a d +=解得，，11a =2d =所以．12(1)21n a n n =+-=-【小问2详解】，111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭因为2231n n nT b b b b b -=+++++ 所以．1111111111123352325121271n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪---+⎝⎭ 所以.11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭18. 在中，内角A ，B ，C 对的边长分别为a ，b ，C ，且.ABC cos 2cb a C =-（1）求角A ；（2）若面积的最大值.a =ABC【答案】（1）；2π3（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理，，据cos 2sin()2sin cos sin 2cb a C A C A C C =-⇒+=-此可得答案；（2），21122si n si n si n si n si n si n si n ABC a S bc A B C A B CA ⎛⎫=== ⎪⎝⎭又由（1）可知，则再利用辅助角公式与三π3BC +=3πsi n si n ，ABC S C C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 角函数有界性可得答案【小问1详解】由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==，cos 2sin 2sin cos sin 2cb a C B A C C=-⇒=-又在三角形中，.()()si n si n π--si n B A C A C ==+则，又，2sin 2sin cos sin 2cos sin sin B A C C A C C =-⇒=-sin 0C >得，结合，知.1cos 2A =-()0,πA ∈2π3A =【小问2详解】由正弦定理，可知.si n ，si n si n si n a ab Bc CA A=⋅=⋅则.21122si n si n si n si n si n si n si n ABCa S bc A B C A B CA ⎛⎫=== ⎪⎝⎭又由（1）可知，π3B C +=则.2332πsi n si n si n cos si n ABC S C C C C C⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭())3212224si n cos si n cos C C C C =--=+-，因，26πsi n C ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π2,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故当，即时，ππ262C +=π6C =ABC S 19. 已知数列满足.{}n a ()112,32n n a a a n *+==+∈N （1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；{}1n a +{}n a （2）设，求数列的前n 项和.n n b na ={}n b n S 【答案】（1）证明见解析，31nna =-（2）()12233214n n n nS n +-=+-⋅+【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明，并结合通项公式求解即可；（2）由题知，进而根据错位相减法和分组求和法求解即可.3nn n b na n n ==⋅-【小问1详解】解：数列满足{}n a ()112,32n n a a a n *+==+∈N ，即，113(1)n n a a ++=+ 1131n n a a ++=+∴数列是以为首项，为公比的等比数列，{}1n a +113a +=3，即；11333n n n a -∴+=⋅=31n n a =-∴31nna =-【小问2详解】解：由题知，3nn n b na n n ==⋅-设的前项和为，{}3nn ⋅n nT ，231323333n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅ ，23413132333(1)33n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，()23111313312233333331322n n n n n n n T n n +++--∴-=++++-⋅=-⋅=-+⋅- 1321344n n n T +-∴=+⋅∵数列的前n 项和为{}n ()2122n n n n++=∴数列的前n 项和{}n b ()1222133223212213444n n n n S n n n n T n n n n++-=-+⋅-+-⋅+++=-=20. 已知函数.()ln 2,f x x ax a =-∈R （1）当时，求函数的单调区间；1a =()f x （2）若函数有两个零点，求a 的取值范围.()f x 【答案】（1）单调增区间；减区间 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函()f x ()0f x ¢>()0f x '<数的单调递减区间；（2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利()0f x =ln 2xa x =y a =()ln x g x x =用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.()g x a 【小问1详解】当时，，该函数的定义域为，1a =()ln 2f x x x=-()0,∞+，()1122xf x x x -'=-=令可得，列表如下：()0f x '=12x =x10,2⎛⎫⎪⎝⎭121,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '取值为正0取值为负()f x 单调递增极大值单调递减所以，函数在上单调递增，在上单调递减；()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【小问2详解】由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，()0f x =ln 2xa x =y a =()ln 2x g x x =函数的定义域为，，()ln 2x g x x =()0,∞+()21ln 2xg x x -'=由，可得，列表如下：()0g x '=e x=x()0,e e()e,+∞()g x '取值为正0取值为负()g x 单调递增极大值单调递减所以，函数的极大值为，()g x ()1e 2e g =且当时，，1x >()0g x >当时，和函数相比，一次函数呈爆炸性增长，所以，x→+∞ln y x =()0f x →且，，()0f x '<()0f x '→又，()10f =根据以上信息，作出其图象如下：当时，直线与函数的图象有两个交点，102e a <<y a =()ln 2x g x x =因此，实数的取值范围是.a 10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21. 如图，在四棱锥中，面，，且P ABCD -PA ⊥ABCD //AB CD ，，为的中点．22,CD AB BC ===90ABC ∠=︒M BC （1）求证：平面平面；PDM ⊥PAM （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．P DM A --30︒PC PDM 【答案】（1）详见解析；（2【解析】【分析】（1）在直角梯形中，由条件可得，即．再由ABCD 222AD AM DM =+DM AM ⊥面，得，利用线面垂直的判定可得平面，进一步PA ⊥ABCD DM PA ⊥DM ⊥PAM 得到平面平面；PDM ⊥PAM （2）由（1）知，，则为二面角的平面角,PM DM AM DM ⊥⊥PMA ∠P DM A --为，求得．以为坐标原点，分别以所在直线为30︒tan 301PA AM =⋅︒=A ,,AE AB AP 轴建立空间直角坐标系，求出的坐标及平面的一个法向量，由与所,,x y z PC PDM PCn 成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．PC PDM 【详解】（1）证明：在直角梯形中，由已知可得，ABCD 1,2,AB CD BM CM ====可得，223,6AM DM ==过作，垂足为，则，A AE CD ⊥E 1,DE AE ==29AD =则，∴．222AD AM DM =+DM AM ⊥∵面，PA ⊥ABCD ∴，DM PA ⊥又，∴平面，PA AM A = DM ⊥PAM ∵平面，DM ⊂PDM ∴平面平面；PDM ⊥PAM （2）解：由（1）知，，则为二面角的平,PM DM AM DM ⊥⊥PMA ∠P DM A --面角为，30︒则．tan 301PA AM =⋅︒=以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，A ,,AE AB AP ,,x y z 则，，，，()0,0,1P 1,0)D-CM．1),1,1),1)PC PD PM =-=--=-设平面的一个法向量为，PDM (,,)n x yz =由，取，得．00n PD y z n PM y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1x=n ⎛= ⎝ ∴直线与平面所成角的正弦值为：PC PDM|||cos ,|||||PC n PC n PC n ⋅<>===⋅【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且2222C :1(b 0)xy a a b +=>>12F (F 该椭圆过点．1A 2⎫⎪⎭，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；C （Ⅱ）过点作一条斜率不为0的直线，直线与椭圆相交于两点，记点()40B ，l l C P Q ，关于轴对称的点为点，若直线与轴相交于点，求面积的最大值．P x P 'P Q 'x D DPQ ∆【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）2214x y +=34【解析】【分析】（Ⅰ）根据，和计算椭圆的标准方程；（Ⅱ）题意122a AF AF =+222b ac =-可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到l 4(0)x my m =+≠，根据坐标设出的方程，并得到的面积，代121222812,44m y y y y m m -+==++P Q 'DPQ ∆入根与系数的关系，并求最大值.【详解】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，解得121242a AF AF =+== .2a =又，2221b a =-=所以椭圆的标准方程为C 2214x y +=（Ⅱ）由题意可设直线的方程为 .l 4(0)x my m =+≠设，则.()()1122,,,P x y Q x y ()11,P x y '-由，消去可得22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，x ()2248120m y my +++=121222812,44m y y y y m m -∴+==++()2216120,12m m ∆=->∴> ，()21212121P Q y y y y k x x m y y '++==-- 直线的方程为.∴P Q '()()211121y y y y x x m y y ++=--令，0y =可得，()2111212121244m y y y my y x my y y y y -=++=+++22122244441884m m m m m m ⋅+=+=+=--+(1,0)D ∴ DPQ BDQ BDPS S S ∆∆∆∴=-121||2BD y y=⋅-==令，(0,)t t =∈+∞则266316164DPQ t S t t t∆==++当且仅当，即4t =m =±面积的最大值为DPQ ∴∆34【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.。
2024-2025学年云南省曲靖市富源县多校高二上学期开学考试数学试题(含答案)
2024-2025学年云南省曲靖市富源县多校高二上学期开学考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A={x|−2<x≤0}，B={x|−1<x<2}，则A∪B=( )A. {x|−2<x<2}B. {x|−1≤x<2}C. {x|−1≤x≤0}D. {x|−1<x<0}2.命题“∀x∈R,2x2+3x−5>0”的否定是( )A. ∀x∈R,2x2+3x−5<0B. ∀x∈R,2x2+3x−5≤0C. ∃x∈R,2x2+3x−5≤0D. ∃x∈R,2x2+3x−5<03.已知复数z=1−i1+i(其中i为虚数单位)，则复数z+3在复平面内对应的点位于()．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边落在直线y=3x上，则tan(2α+π) =()．A. 3B. −3C. 32D. −325.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是( )A. 24B. 26C. 30D. 366.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是( )A. 若m//α，n⊂α，则m//nB. 若m//n，m⊥α，则n⊥αC. 若m⊥n，m//α，则n//αD. 若α⊥β，m⊥α，则m//β7.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，事件A=“第一次向上一面的数字是2”，事件B=“第二次向上一面的数字是3”，事件C=“两次向上一面的数字之和是7”，事件D=“两次向上一面的数字之和是8”，则( )A. C与D相互独立B. A与D相互独立C. B与D相互独立D. B与C相互独立8.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AD⋅GB=( )A. 9B. −9C. 12D. −12二、多选题：本题共3小题，共18分。
五华县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
五华县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是（ ）2()45f x x x =-+[]0,m m A ．B ．C ．D ．[2,)+∞[]2,4(,2]-∞[]0,22． 已知集合A={0，1，2}，则集合B={x ﹣y|x ∈A ，y ∈A}的元素个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．93． 如图，△ABC 所在平面上的点P n （n ∈N *）均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3；1，=﹣（2x n +1）（其中，{x n }是首项为1的正项数列），则x 5等于（ ）A ．65B ．63C ．33D ．314． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=3，，A=60°，则满足条件的三角形个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对5． 有以下四个命题：①若=，则x=y ．②若lgx 有意义，则x ＞0．③若x=y ，则=．④若x ＞y ，则 x 2＜y 2．则是真命题的序号为（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④6． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．7． 在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，1111ABCD A B C D -M 11AC M ABD -36p 则正方体棱长为（）A ．2 B ．3C ．4D ．5【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．8． 下列判断正确的是（ ）A ．①不是棱柱B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱台9． 如图，三行三列的方阵中有9个数a ij （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（ ）A ．＜，乙比甲成绩稳定B ．＜，甲比乙成绩稳定C ．＞，甲比乙成绩稳定D ．＞，乙比甲成绩稳定11．是z 的共轭复数，若z+=2，（z ﹣）i=2（i 为虚数单位），则z=（）A ．1+i B ．﹣1﹣i C ．﹣1+i D ．1﹣i12．已知函数f （x ）＝若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）{log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1)A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．14．向区域内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ． 15．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= ．16．（若集合A ⊊{2，3，7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．17．当a ＞0，a ≠1时，函数f （x ）=log a （x ﹣1）+1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣y+n=0上，则4m +2n 的最小值是 ．18．将曲线向右平移个单位后得到曲线，若与关于轴对称，则1:C 2sin(),04y x πωω=+>6π2C 1C 2C x ω的最小值为_________.三、解答题19．（本小题满分12分）一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．（Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；（Ⅱ）设为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求的分布列与数学期望．ξξ20．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，若函数在上(这里）恰有两个不同的零点,求实数的取值范围．21．已知，且．（1）求sinα，cosα的值；（2）若，求sinβ的值．22．设不等式的解集为.（1）求集合；（2）若，∈，试比较与的大小。
应县第一中学校高二数学上学期期末考试试题理含解析
14.已知p：（x－m)2〉3(x－m）是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
【答案】｛m｜m≥1或m≤－7｝
【解析】
由命题p中的不等式（x－m）2〉3(x－m)变形，得（x－m)(x－m－3)>0，解得x〉m＋3或x〈m；
【详解】双曲线 ： 的右焦点为 ， 由 ,可得直线 的方程为 ， , 设直线 与双曲线相切，且切点为左支上一点， 联立 ，可得 ，
由 , 解得 （4舍去），
可得 到直线 的距离为 ，
即有 的面积Байду номын сангаас最小值为 ．
故答案为: ．
【点睛】本题考查三角形的面积的最小值的求法,注意运用联立直线方程和双曲线方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
【详解】(Ⅰ）当 t＝1 时，
≤3 在［1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题．
（Ⅱ)若 p∨q 为假命题，则 p,q 都是假命题．
当 p 为假命题时，Δ＝ －4<0，解得－1〈t〈1；
当 q 为真命题时， ≤4 －1，即 －1≥0，解得 t≤ 或 t≥
∴当 q 为假命题时,
∴t 的取值范围是 .
所以圆心到直线的距离
可解得 ，所以切线方程为
当在x轴与y轴上的截距不为0时，设切线方程为
所以 ,解得 或 (舍)，即切线方程为
所以共有3条切线方程
所以选C
【点睛】本题考查了点到直线距离 简单应用，直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.给出下列两个命题，命题 “ "是“ ”的充分不必要条件;命题q：函数 是奇函数，则下列命题是真命题的是( ）
云南省大理州2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试卷(含答案)
大理州2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试卷（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，则的虚部是（ ）A.1B.-1C.D.2.已知集合，则（ ）A.B.C.D.3.在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）A.B.C.D.4.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A.34B.39C.42D.455.若，则（ ）A.B. C. D.6.已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）24i13iz +=-z i -i{}220,{ln 0}A xx x B x x =-=>∣∣…()A B ⋂=R ð()0,∞+()1,∞+()0,1()1,2()()0,1,0,1A B -M AM BM 12M ()22220x y x +=≠()22220x y x -=≠()22220x y x -=≠()22220y x x -=≠{}n a n n S 51011,24S S ==15S =15sin tan 4αα⋅=cos2α=7878-15161516-,a b()1,1,2,a b a b ==-= a bA. B. C. D.7.已知菱形沿对折至，使，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.8.已知函数的导数为，若方程有解，则称函数是“T 函数”，则下列函数中，不能称为“函数”的是（ ）A. B.C.D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.小华到大理旅游，对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，下列各事件关系中正确的是（ ）A.事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件B.事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件C.事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件D.事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件10.已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是（ ）A. B.的图象关于对称C.的图象关于对称 D.在上单调递增11.已知为坐标原点，曲线图象酷似一颗“红心”（如图）.对于曲线C ，下列结论正确的是：（）12,1010⎛⎫⎪⎝⎭12,1010⎛⎫-- ⎪⎝⎭12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭12,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,,3ABCD ADC AB ∠==DAC AC PAC PB =P ABC -12π27π28π48π()f x ()f x '()()0f x f x -'=()f x T ()2f x x=()ln f x x =()tan f x x =()1f x x x=+()2221cos cos 3332f x x x x ⎫=-+⎪⎭π4()g x ()42πcos 33g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()g x π4x =()g x π,08⎛⎫-⎪⎝⎭()g x ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭O 22:1C x y x y +=+A.曲线恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）B.曲线上存在一点使得C.曲线上存在一点使得D.曲线所围成的“心形”区域的面积大于3第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.某年级有男生490人，女生510人，为了解学生身高，按性别进行分层，并通过分层随机抽样的方法得到样本容量为100的样本数据，若抽样时在各层中按比例分配样本，并得到样本中男生､女生的平均身高分别为和，在这种情况下，可估计该年级全体学生的平均身高为__________.13.设分别是椭圆的左､右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为__________.14.对函数做如下操作：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推.现已知初始点为，若按上述过程操作，则__________，所得三角形的面积为__________.（用含有的代数式表示）四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）已知的内角的对边分别为.（1）求的值；（2）若，求的周长.16.（15分）已知，分别是数列和的前项和，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.17.（15分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别是C C P OP =C P 2OP =C 170cm 160cm cm 12,F F 2222:1(0)x y E a b a b +=>>2F E ,P Q 122,2PF PQ PF QF ⊥=E ()3xf x =x ()11,0P x ()f x ()()111,Q x f x x ()22,0P x ()f x ()()222,Q x f x x ()33,0P x ()f x ()()333,Q x f x ()10,0P 3x =1n n n P Q P + n ABC ,,A B C (),,,5cos cos cos a b c C a B b A c +=cos C 3,c ABC = ABC ,n n S T {}n a {}n b n ()*5125,2n n S a a n +=-=∈N()*233n n T b n =-∈N {}n a {}n b n n n c a b =⋅{}n c n n R 111ABC A B C -12,AA AB AC BC ====,M N的中点，点为线段上一点，.（1）证明：；（2）若平面与平面，试求的值.18.（17分）已知函数为函数的极值点.（1）求实数的值，并求出的极值；（2）若时，关于的方程有两个不相等实数根.①求实数的范围；②求证.19.（17分）已知定点，直线，动圆过点且与直线相切，动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线C 的方程；（2）若为正数，圆与曲线只有一个交点，求正数的取值范围；（3）在（2）的条件下所得到半径最大的圆记为圆，点是曲线上一点，且，过作圆的两条切线，分别交轴于两点，求面积的最小值.1,CC BC P 11A B 1A P a =AM PN ⊥PMN ABC a ()1ln ,1xf x x x ax-=+=()f x a ()f x 1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ()f x m =12,x x m 121x x >10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭1:2l y =-F l C a 222()x y a a +-=C a M ()00,P x y C 02y >P M x ,A B PAB2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高二数学参考答案及评分标准一､单选题；题号12345678答案ADDBBBCC二､多选题题号91011答案CDBCABD三､填空题12.164.914.，（第二空答案也可写为）.（第1空2分，第2空3分）四､解答题15.（13分）（1）因为，由正弦定理可得：，可得，且，可知，可得（2）由（1）可知：，则因为的面积为，可得，由余弦定理可得，可得所以的周长为.16.（15分）（1）由可知数列是公差为2的等差数列2ln3-112ln3e n -⋅91log e e n -()5cos cos cos C a B b A c +=()5cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=5sin cos sin C C C =()0,πC ∈sin 0C ≠1cos 5C =()10,π,cos 5C C ∈=sin C ==ABC 1sin 2ABC S ab C =25ab =22222cos ()22cos c a b ab C a b ab ab C =+-=+--a b +=ABC 3a b c ++=+()*12n n a a n +-=∈N{}na由，解得，所以.由，则，两式相减并整理得：，所以数列是公比为3的等比数列，由得，所以（2）由（1）可得，所以，则，所以，所以.17（15分）（1）因为，则，即，如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，则，又因为，可得，所以.（2）假设存在，易知平面的一个法向量为因为，5252S d =⎧⎨=⎩112a d =⎧⎨=⎩()12121n a n n =+-=-()*233n n T b n =-∈N11233n n Tb ++=-()*13n n b b n +=∈N {}n b 11233T b =-13b =3n n b =()c 213nn n =-⨯()123133353213nn R n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ()23413133353213n n R n +=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1231213232323213nn n R n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ ()()()211123133213622313n n n n n -++⨯-=+--⨯=---⨯-()1313n n R n +=+-⨯2,AB AC BC ===222AB AC BC +=AB AC ⊥A ()()()()()()110,0,2,2,0,2,0,2,1,1,1,0,,0,2,1,1,2A B M N P a PN a =--()0,2,1AM = 0AM PN ⋅=AM PN ⊥ABC ()0,0,1u =()()1,1,1,1,1,2MN PN a =--=--设是平面的一个法向量，则，令，可得，可得，则化简得，解得或，因为，可得.18.（17分）（1）由已知：，依题意：，解得，此时，当时，则单调递减，当时，单调递增，故是函数唯一的极小值点，则，无极大值.（2）①由（1），时单调递减，时单调递增，故.又，则，由方程有两解可得，(),,n x y z = PMN ()0120n MN x y y n PN a x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩3x =2,1z a y a =-=+()3,1,2n a a =+-cos ,u n u n u n ⋅===⋅221150a a -+=12a =5a =[]0,2a ∈12a =()21ax f x ax -='()10f '=1a =()21x f x x-='()0,1x ∈()()0,f x f x '<()1,x ∞∈+()()0,f x f x '>1x =()f x ()10y f ==极小1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()f x (]1,2x ∈()f x ()min ()10f x f ==()111ln2,2ln222f f ⎛⎫=-=-+⎪⎝⎭()3113ln ln1621ln2ln22ln22222f f -⎛⎫⎛⎫-=---+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3311e 2.716,20,222f f ff ⎛⎫⎛⎫>>∴->∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()f x m =10ln22m <≤-+②由题意可知，要证，即证，由于且时单调递减即证，由于，即证令所以在单调递减，所以，所以成立，所以原命题成立，即成立.19.（1）解：由题意，动圆圆心到点的距离等于到直线的距离，故曲线是以为焦点，为准线的抛物线，曲线的方程为.（2）圆方程与曲线方程联立，得，解得：.由于两曲线只有一个交点，且由可知，则必须，即.又因为为正数，故.（3）设，由，则直线的方程为，依题意圆心到的距离为1，即化简得，同理可得，所以是方程的两根，121122x x ≤<<<121x x >121x x >211,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()f x ()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()12f x f x =()221f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()()112ln ,1,2F x f x f x x x x x ⎛⎫=-=+-∈⎪⎝⎭()2221(1)0x x x F x x x'-+--==-<()F x ()1,2x ∈()()10F x F <=()221f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭121x x >F l C F l C 22x y =C 22222()x yx y a a⎧=⎨+-=⎩()2220y a y +-=120,22y y a ==-()0,022x y =0y ≥2220y a =-≤1a ≤a (]0,1a ∈()(),0,,0A b B c ()00P ,x y PA ()0000y x x b y y b ---=()0,1PA 1=()2000220y b x b y -+-=()2000220y c x c y -+-=,b c ()2000220y x x x y -+-=所以，依题意，则，又，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最小值8.0000222x b c y y bc y -⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩02y >()22200020448()2y x y c b y +--=-2002x y =()220204()2y c b y -=-0022y b c y -=-()200000142448222PABy S b c y y y y =-⋅==-++≥+=-- 0004242y y y -=⇒=-PAB。
2022-2023学年云南省玉溪市高二上学期期末教学质量检测数学试题(解析版)
2022-2023学年云南省玉溪市高二上学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2A =，()(){}210B x x x =-+<，则A B =（ ） A ．{}1 B ．{}2C ．{}1,2D ．∅【答案】A【分析】求一元二次不等式的解集，再求集合A 与集合B 的交集即可. 【详解】∵{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<，∴{1}A B ⋂=. 故选：A. 2．已知复数()21i1i z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】C【分析】由复数的运算结合定义求解. 【详解】()2221i1i i i 11i 2i 2i 221i z +++====-+---，即z 的虚部为12. 故选：C3．欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．56【答案】A【分析】运用列举法解决古典概型.【详解】记4部书籍分别为a 、b 、c 、d ，则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共有6个，抽到《几何原本》的基本事件为ab 、ac 、ad 共有3个，所以抽到《几何原本》的概率为：3162P ==. 故选：A.4．过点()1,0-的直线l 与圆C ：222440x y x y +-+-=相交于A ，B 两点，弦AB 长的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】C【分析】判断点(1,0)-在圆C 内，根据当l 垂直于圆心与定点所在直线时，弦长||AB 最短，代入公式||AB =.【详解】∵圆C ：222440x y x y +-+-=，即：22(1)(2)9x y -++=， ∴圆C 的圆心(1,2)C -，半径为3. 又∵22(11)(02)9--++<， ∴点(1,0)M -在圆C 内， ∴当l CM ⊥时，弦长||AB 最短. 又∵||CM ==∴||2AB ===. 故选：C.5．已知等比数列{}n a 满足220n n a a +-=，10n n a a +<，12a =，则6a 的值为（ ） A ．4 B．-C ．8 D．-【答案】D【分析】由10n n a a +<得出0q <，再由通项结合220n n a a +-=得出q ，进而得出6a 的值. 【详解】设公比为q ，110,0n n n na a a q a ++<∴=<. 220n n a a +-=，111120n n a q a q +-∴-=.即()12220n qq--=，解得q =55612(a a q ==⨯=-故选：D6．已知直线1l ：()31302a x y +++=和直线2l ：210x ay ++=，则12l l ∥的充要条件为（ ） A ．2a = B ．3a =- C ．25a =-D ．2a =或3a =-【答案】B【分析】根据两直线平行得出关于实数a 的方程，解出即可. 【详解】∵12//l l ，∴313221a a +=≠，即：2602? a a a ⎧+-=⎨≠⎩，解得：3a =-.故选：B.7．碳14的半衰期为5730年.在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的函数关系式是5730012x y A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中0A 为生物体死亡时体内碳14含量）.考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的60%，由此可以推测到发掘出该生物标本时，该生物体在地下大约已经过了（参考数据：lg 20.3≈，lg30.5≈）（ ）A ．2292年B ．3580年C ．3820年D ．4728年【答案】C【分析】运用对数运算性质解方程即可.【详解】由题意知，5730001()0.62xA A =，所以16lg lg 5730210x =，即lg 2lg 61lg 2lg310.30.510.25730x -=-=+-≈+-=-， 即：lg 20.25730x-≈-，解得：0.20.2573057303820lg 20.3x ≈⨯≈⨯=（年）. 故选：C.8．若22lg 2lg 5a =+，ln 44b =，ln 55c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D【分析】根据,b c 的形式可构造函数()()ln 3xf x x x=>，利用导数可求得()f x 单调性，由()()45f f >可得,b c 大小关系；根据基本不等式和对数运算可求得12a b >>，由此可得结果. 【详解】令()()ln 3x f x x x =>，则()1ln 0xf x x -'=<，f x 在()3,+∞上单调递减，()()45f f ∴>，即ln 4ln 545>，c b ∴<； ()2222lg 2lg5lg 2lg 5lg 2lg52lg 2lg512lg 2lg5122+⎛⎫+=+-=->-⨯ ⎪⎝⎭111242=-⨯=，12a ∴>， 又2ln 4ln 2111ln 2ln e 44222b ===<=，b a ∴<，c b a ∴<<. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查通过构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据所给数值的共同形式，准确构造函数，将问题转化为同一函数的不同函数值的大小关系比较问题，从而利用函数单调性来确定结果.二、多选题9．如图，在ABC 中，若点D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，设AD ，BE ，CF 交于一点O ，则下列结论中成立的是（ ）A ．BC AC AB =- B ．1122AD AC AB =+ C ．2233AO AC AB =+ D ．2233OC AC AB =- 【答案】AB【分析】利用向量的加减法则进行判断.【详解】根据向量减法可得BC AC AB =-，故A 正确； 因为D 是BC 的中点，所以1122AD AC AB =+，故B 正确； 由题意知O 是ABC 的重心， 则()2211133233AO AD AC AB AC AB ==⨯+=+，故C 错误； 221111121()()332333333OC CF CB CA CB CA CA AB CA AC AB =-=-⨯+=--=-+-=-，故D 错误.故选：AB.10．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．若将()f x 的图象向右平移π6个单位长度，则所得图象关于y 轴对称【答案】ABD【分析】根据三角函数的性质以及函数图象变换即可求解. 【详解】由题意可知，7πππ2,212122T A ==-=，则2ππT ω==，则2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又因为()f x 的图象过点π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ22π2π126k k ϕϕ⋅+=⇒=-+，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确；()5π5ππ2sin 22sin π012126f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确； 令πππ2π22π,Z 262k xk k ，解得：ππππ,Z 63k xk k ，令1k =可得：5π4π63x ≤≤，所以C 不正确； 将()f x 的图象向右平移π6个单位长度，则πππ2sin 22sin 22cos 662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，关于y 轴对称，所以D 正确. 故选：ABD.11．已知双曲线M ：()222108x y a a -=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作M 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，连接2AF ，记e 为双曲线M 的离心率，C 为12AF F △的周长，若直线2AF 与另一条渐近线交于点B ，且2AB BF =，则（ ）A ．e =B ．22eC ．8C =+D ．8C =+【答案】AD【分析】不妨设垂足A 在第二象限，从而可求得1AF ，再根据2AB BF =，可得1OB AF ∕∕，则1AF OB k k =，即可求出a ，进而可得离心率，求出直线1AF 斜率，即可得12AF F ∠，再在12AF F △中，利用余弦定理求得2AF 即可.【详解】双曲线M ：()222108x y a a -=>的渐近线方程为0bx ay ±=，()1,0F c -， 不妨设垂足A 在第二象限，即点A 在直线0bx ay +=上， 则12222bc AF b a b-===+，因为2AB BF =，所以B 为2AF 的中点， 又因O 为12F F 的中点，所以1OB AF ∕∕， 则1AF OB k k =，即a bb a=，所以228a b ==， 故224c a b =+=， 所以2ce a==， 所以11AF OB k k ==，则12πtan 4AF F ∠=， 在12AF F △中，11222,8AF F F ==，则22221121121222cos 8642228402AF AF F F AF F F AF F =+-∠=+-⨯⨯⨯=， 所以2210AF =，所以12AF F △的周长822210C =++.故选：AD.12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上有一动点G ，则下列说法正确的是（ ）A ．当点G 在线段11A C 上运动时，三棱锥1G ACB -的体积为定值 B ．当点G 在线段AC 上运动时，1B G 与11A C 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得AG 与平面ABCD 所成角为45°的点G 的轨迹长度为π42+D ．若P 是线段1AB 的中点，当点G 在底面ABCD 上运动且满足//PG 平面11B CD 时，线段PG 长的最6【答案】ACD【分析】对于选项A ，运用等体积法转化可得；对于选项B ，通过作平行线研究异面直线所成的角；对于选项C ，通过线面垂直找到线面角，再根据线面角可得点G 的轨迹计算即可.对于选项D ，通过面面平行的判定定理证得面1A BD //面11B CD ，从而得到点G 的轨迹，在PBD △中，运用等面积法求得PG 的最小值.【详解】对于选项A ，因为1CC ⊥面1111D C B A ，11B D ⊂面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥， 当点G 在线段11A C 上运动时， 因为1111B D A C ⊥，111B D CC ⊥，1111AC CC C =，11A C 、1CC ⊂面11ACC A ，所以11B D ⊥面11ACC A ， 又因为11//AC A C ，所以111111111111111422222323223223G ACB B AGC AGC V V S B D AC AA B D --==⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯△.所以三棱锥1G ACB -的体积为定值43，故选项A 正确；对于选项B ，因为11//AC A C ，所以异面直线1B G 与11A C 所成角为1B GC ∠或其补角，在△1AB C 中，1122AB BC AC ===1π3B CG ∠=， 所以1ππ32B GC ≤∠≤，故1B G 与11A C 所成角的取值范围为ππ[,]32，故选项B 错误；对于选项C ，∵1BB ⊥面ABCD ，则145B AB ︒∠=，∴当G 在线段1AB 上时，AG 与面ABCD 所成角为45︒，122AB =， 同理：当G 在线段1AD 上时，AG 与面ABCD 所成角为45︒，122AD =， 若点G 在面1111D C B A 上，∵面ABCD //面1111D C B A ， ∴AG 与面1111D C B A 所成角为45︒，又∵1AA ⊥面1111D C B A ，1AG ⊂面1111D C B A ， ∴11AA A G ⊥，145A GA ︒∠=， ∴112AG AA ==， ∴点G 在以1A 为圆心 ，2为半径的圆上， 又∵点G 在面1111D C B A 上，∴点G 在圆与四边形1111D C B A 的交线11B D 上，∴11B D 的长为12ππ4r ⨯=，∴点G 的轨迹长度为11112222ππ42B D AB AD l ++=++=+， 故选项C 正确；对于选项D ，连接DP 、DB ，取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，则1//PE AA ，1AA ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PE DE ⊥，如图所示，∵11//BB DD 且11=BB DD ， ∴四边形11BDD B 为平行四边形， ∴11//BD B D ，又∵BD ⊄面11B CD ，11B D ⊂面11B CD ，∴//BD 面11B CD ， 同理1//A B 面11B CD ， 又∵1BDA B B =，BD 、1A B ⊂面1A BD ，∴面1A BD //面11B CD ， 又∵//PG 面11B CD ， ∴∈G 面1A BD ，又∵∈G 面ABCD ，面1A BD面ABCD BD =，∴G BD ∈，即：G 的轨迹为线段BD . ∴当PG BD ⊥时，PG 最短.在Rt DAB 中，2AD AB ==，1AE =，所以BD =，DE ，在1Rt A AB △中，112PB A B ==在Rt PED 中，1PE =，所以PD =在PBD △中，因为222PB PD BD +=，所以PB PD ⊥，所以由等面积法得1122PBD S PB PD BD h =⋅=⋅△，即：1122=⨯，解得：h =线段PG 故选项D 正确. 故选:ACD.三、填空题13．为估计某中学高一年级男生的身高情况，随机抽取了25名男生身高的样本数据（单位：cm ），按从小到大排序结果如下164.0164.0165.0165.0166.0167.0167.5168.0168.0170.0170.0170.5171.0171.5172.0172.0172.5172.5173.0174.0174.0175.0175.0176.0176.0据此估计该中学高一年级男生的第75百分位数约为___________. 【答案】173【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】由75%2518.75⨯=，所以该中学高一年级男生的第75百分位数为第19个数，即173. 故答案为：17314．若正数x ，y 满足112x y+=，则9x y +的最小值是___________. 【答案】8【分析】利用常数“1”代换结合基本不等式进行求解. 【详解】因为112xy +=，则11112x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ()111191999101028222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=⋅++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当9y x x y =，即2,23x y ==时等号成立， 所以9x y +的最小值是8. 故答案为：8.15．已知等腰三角形底角的正切值为52，则顶角的正弦值是___________.【答案】459##459 【分析】由倍角公式结合同角三角函数的基本关系求解.【详解】如下图所示，等腰三角形ABC ，其中A 为顶角，因为5tan 2B =，所以 ()2222sin cos 2tan 545sin sin 2sin 22sin cos 5sin cos tan 1914B B B A B B B B B B B π=-======+++.故答案为：45916．已知函数()f x 的定义域为R ，()32y f x =++是偶函数，当3x ≥时，()2log f x x =，则不等式()()221f x f x +>-的解集为___________.【答案】533x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【分析】运用函数的奇偶性可得()f x 关于3x =对称，再运用函数的单调性、对称性可得|21||4|x x ->-，解绝对值不等式即可.【详解】∵(3)2y f x =++是偶函数，∴(3)2(3)2f x f x ++=-++，即：(3)(3)f x f x +=-+∴()f x 关于3x =对称.∵当3x ≥时，2()log f x x =，∴()f x 在[3,)+∞上单调递增，又∵(22)(1)f x f x +>-，∴|223||13|x x +->--，即：|21||4|x x ->-，∴22(21)(4)x x ->-，即：234150x x +->，解得：3x <-或53x >. 故答案为：{|3x x <-或5}3x >.四、解答题17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，满足22a =，37S =(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)12n n a -=(2)()12n n n T -=【分析】（1）根据等比数列单调性和通项公式可构造方程求得公比q ，进而得到n a ；（2）利用等差数列求和公式可求得n T .【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，{}n a 为递增的等比数列，220a =>，1q ∴>，23222227a S a a q q q q ∴=++=++=，解得：12q =（舍）或2q ，2122n n n a a q --∴==.（2）由（1）得：12log 21n n b n ，又10b =，11n n b b +-=，∴数列{}n b 是以0为首项，1为公差的等差数列，()()01122n n n n n T +--∴==. 18．已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0c a B b C -+=(1)求ABC ∠；(2)如图，点D 在AC 延长线上，且CD BC =，4AB =，7AD =，求ABC 的面积.【答案】(1)π3. 333 【分析】（1）由正弦定理边化角及和角公式化简可得结果；（2）在△ABC 中应用余弦定理解得BC 的值，代入三角形面积公式计算即可.【详解】（1）∵()2cos cos 0c a B b C -+=，∴由正弦定理得()sin 2sin cos sin cos 0C A B B C -+=，即sin cos 2sin cos sin cos 0C B A B B C -+=，()sin 2sin cos B C A B +=，即sin 2sin cos A A B =， ∵ sin 0A ≠，∴ 1cos 2B = 又∵()0,πB ∈，∴ 3B π=. （2）设CD x =，则7AC x =-， 在△ABC 中，()22247π1cos 3242x x x +--==⨯，解得：3310x = 则△ABC 的面积11333333sin 423210ABC S AB BC π=⨯⨯⨯=⨯⨯△19．2022年，某市教育体育局为了解九年级语文学科教育教学质量，随机抽取100名学生参加某项测试，得到如图所示的测试得分（单位：分）频率分布直方图.(1)根据测试得分频率分布直方图，求a 的值；(2)根据测试得分频率分布直方图估计九年级语文平均分；(3)猜测平均数和中位数（不必计算）的大小存在什么关系？简要说明理由.【答案】(1)0.007a =(2)79.2(3)中位数大于平均数，理由见解析【分析】（1）由频率之和等于1，得出a 的值；（2）由频率分布直方图求平均数的方法求解；（3）观察频率分布直方图数据的分布，得出平均数和中位数的大小关系.【详解】（1）解：()0.0030.0050.0150.02201a ++++⨯=解得0.007a =（2）语文平均分的近似值为()0.003300.005500.015700.02900.00711020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯79.2=， 所以，语文平均分的近似值为79.2.（3）中位数大于平均数.因为和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边.20．如图，三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，侧面11ABB A 是正方形，2AB AC ==，D 为线段11A B 上的一点（不包括端点）且1AC CD ⊥(1)证明：AC AB ⊥；(2)当点D 为线段11A B 的中点时，求直线1AC 与平面BCD 所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析 (2)22【分析】（1）法一：由线面垂直的判定定理证得11A B ⊥平面11AAC C ，则11A B AC ⊥，又11//AB A B ，所以AB AC ⊥.法二：设1B D k AB =，由空间向量基本定理表示出1,AC CD ，由1AC CD ⊥可得10AC CD ⋅=，代入化简即可得出AC AB ⊥.（2）建立空间直角坐标系，分别求出直线1AC 的方向向量和平面BCD 的法向量，由线面角的向量公式求解即可.【详解】（1）法一：证明：连接1A C ，在直三棱柱111ABC A B C 中，∵1AB AC A A ==，∴四边形11ACC A 是正方形，∴11A C AC ⊥，又∵1AC CD ⊥且1CD AC C ⋂=，1,CD AC ⊂平面1A CD ， ∴1AC ⊥平面1A CD ，因为11A B ⊂平面1A CD ，∴111AC A B ⊥，又∵111A B AA ⊥，11,AC AA ⊂平面11AAC C ，11A AC AA ⋂=，∴11A B ⊥平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，∴11A B AC ⊥，又∵11//AB A B ，∴AB AC ⊥，法二：证明：设1B D k AB =，11AC AC AA =+，()()()1111CD CB BD AC BB B B AB D k AB AC B =+=-++=+-+∵1AC CD ⊥，∴10AC CD ⋅=，即()()1111111k AB AC AC AC BB AC k AB AA AC AA BB AA +⋅-⋅+⋅++⋅-⋅+⋅()1400040k AB AC =+⋅-++-+=又∵点D 不与11A B 的端点重合，∴10k +≠，∴0AB AC ⋅=，即AC AB ⊥.（2）由（1）得AC ，AB ，1AA 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()12,0,2C ，()2,0,0C ，()0,2,0B ，()0,1,2D()12,0,2AC =，()0,1,2BD =-，()2,1,2CD =-设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =0202200n BD y z x y z n CD ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩，令2x =，则2,1==y z ， 可求得()2,2,1n =设直线1AC 与平面BCD 所成角为θ， 11162sin cos 62AC nAC n AC n θ⋅=⋅===⋅， ∴直线1AC 与平面BCD 2 21．已知31,22a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，π2πcos ,sin 33b x x ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0ω>，设()f x a b =⋅ (1)若函数()y f x =图象相邻的两对称轴之间的距离为π，求()f x ；(2)当函数()y f x =在定义域内存在1x ，()212x x x ≠，使()()1212f x f x +=，则称该函数为“互补函数”.若函数()y f x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“互补函数”，求ω的取值范围.【答案】(1)()sin f x x =(2)3ω≥【分析】（1）根据数量积的坐标公式及辅助角公式将函数()f x 化简，再根据()y f x =相邻的对称轴距离为π求出ω，即可得解；（2）分3ππ222T -≥、3ππ22T -<、3ππ222T T ≤-<三种情况讨论，分别求出ω的取值范围，即可得解.【详解】（1）解：因为31,22a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，π2πcos ,sin 33b x x ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()3π12πcos sin2323f x a b x x ωω⎛⎫⎛⎫=⋅=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π1πππsin sin sin 32333x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为函数()y f x =相邻的对称轴距离为π，所以2πT =，即2π2πω=，解得1ω=，所以()sin f x x =.（2）解：因为函数()sin x y f x ω==在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“互补函数”， 函数()y f x =在定义域内存在1x ，()212x x x ≠使()()1212f x f x +=，即()()122f x f x +=， ①当3ππ222T -≥，即3ππ2π2220ωω⎧-≥⋅⎪⎨⎪>⎩，解得4ω≥，显然成立； ②当3ππ22T -<，即3ππ2π220ωω⎧-<⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<<时，显然不成立； ③当3ππ222T T ≤-<时，即24ω≤<时， 所以ππ223π5π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或者π5π223π9π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或者π9π223π13π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩， 解得ω的取值范围为34ω≤<，综上所述3ω≥.22．已知曲线C ：()222210x y a b a b +=>>，且点M ⎛ ⎝⎭和点N ⎛ ⎝⎭在曲线C 上. (1)求曲线C 的方程；(2)若点O 为坐标原点，直线AB 与曲线C 交于A ，B 两点，且满足OA OB ⊥，试探究：点O 到直线AB 的距离是否为定值.如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由【答案】(1)2213x y += (2)【分析】（1）方法1：待定系数法（代入曲线的标准方程中）求得椭圆的方程. 方法2：待定系数法（代入曲线的一般式方程中）求得椭圆的方程.（2）分类讨论①若直线AB 斜率存在时，由韦达定理及0OA OB ⋅=可得2k 与2m 的关系式，代入计算点O 到直线AB 的距离即可. ②当直线AB 的斜率不存在时检验也成立.【详解】（1）方法1：由已知M ⎛ ⎝⎭及点N ⎛ ⎝⎭在曲线C 上， 则2222161938199a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：2231a b ⎧=⎨=⎩， 所以曲线C 的方程为2213x y +=. 方法2：由已知可设曲线C 的方程为221mx ny +=，(0)n m >>，因为M ⎛ ⎝⎭及点N ⎛ ⎝⎭在曲线C 上， 则61938199m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：131m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ， 所以曲线C 的方程为2213x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，①若直线AB 斜率存在，设直线的方程为y kx m =+，则：22330y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩ 消去y 后得()222136330k x kmx m +++-=，则222222Δ364(13)(33)3612120k m k m k m =-+-=-+>， 122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+， 由OA OB ⊥知，()()()()2212121212121210x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=++⋅+=++++=22433m k ⇒=+，此时0∆>，又点O 到直线AB的距离d所以d ==.②当直线AB 的斜率不存在时，A 、B 两点关于x 轴对称， 而且当11x y =时，代入方程2213x y +=，可得1x = 所以直线AB的方程为x =， 此时O 点到直线AB的距离d =. 综上所述，点O 到直线AB。
2024-2025学年张掖市肃南裕固族自治县四年级数学第一学期期末检测试题含解析
2024-2025学年张掖市肃南裕固族自治县四年级数学第一学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、我会选（把正确答案的序号填在括号里。
每题 2 分，共 10 分）1．和万位相邻的两个数位分别是（）A．千位和百位B．十万位和百位C．十万位和千位2．录入一篇书稿，甲单独录完要13小时，乙单独录完要14小时，甲乙合作（）小时能完成．A．712B．127C．173．6平方米＝（）平方分米．A．6 B．60 C．6004．有一组对边平行，另两条边相等的四边形一定是( )。
A．长方形B．梯形C．正方形5．截止至2019年10月31日，共有110所中小学应用广州智慧阅读平台，学生使用人数135278名，教师使用人数10035名，提交阅读作品近12万份。
以上信息的划线部分，（）是近似数。
A．110 B．135278 C．12万D．10035二、我会判断。
（对的打√，错的打×。
每题 2 分，共 12 分）6．准确数50亿和近似数50亿相比，准确数大．（____）7．做一件工作，甲用了12小时，乙用了13小时，乙的效率高些。
（____）8．480÷40＝24÷2。
（______）9．线段有两个端点，是直线的一部分。
（______）10．读数和写数都从个位起。
（______）11．画一条2厘米长的直线。
（______）三、我能填。
（每题 2 分，共24分）12．如图，以电影院为观测点，学校在___偏___的方向上；火车站在___偏___的方向上．13．最大的九位数和最小的十位数的差是（______）。
14．10枚一元硬币叠放在一起的高度约是2厘米。
照这样计算，60枚叠放在一起的高度约是（_______）厘米。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
张家界市2024-2025学年三年级数学第一学期期末经典试题含解析
张家界市2024-2025学年三年级数学第一学期期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、认真计算。
1．直接写出得数．2．笔算下面各题。
204×6＝308＋597＝408－156＝240×5＝3．脱式计算。
328－（200－172）1511010--654－54÷6 （403－368）÷5二、我会判断。
（对的画√，错的画×）4．28小时是1日零4小时. （_____）5．8的9倍是72，9的8倍是72。
（________）6．在计算小数的加减法时，将小数点对齐，也就是将相同数位对齐．（_____）7．1吨铁比1吨棉花重。
（________）8．205×6中，因为因数205的中间有0，所以205×6的积的中间一定有0。
（________）三、精挑细选。
（把正确答案的序号填在括号里）9．小芳晚上8：40看电视，看了30分钟就睡觉，小芳睡觉时间是（）。
A．9：00 B．9：10 C．9：20 D．9：3010．爸爸有2张50元、5张20元和5张10元的人民币。
他买一双100元的鞋，一共有（）种恰好付给100元的方式。
A．6 B．5 C．711．如果把○与△一个隔一个地排成一行，○有16个，△可能有（）个。
A．15 B．16 C．17 D．以上都有可能12．下面选项中不可以用算式240÷4÷2解决的问题是（）。
A．学校用240元买了4箱水壶，每箱2个，平均每个水壶多少元？B．4辆卡车2次运240台机器，平均每辆卡车每次运了多少台机器？C．王华用2天时间看了240页的书，照这样计算，4天能看多少页？D．一辆洒水车酒水的宽度为2米，行驶了4分钟，洒湿了240平方米的地面，这辆洒水车平均每分钟行驶多少米？13．一根绳子长300米，第一次用去78米，第二次用去52米，现在绳子的长度比原来短了多少米？（）。
2022-2023学年云南省昆明市高二上学期2月期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省昆明市高二上学期2月期末考试数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}25A x x =≤≤，(){}2log 22B x x =>，则()U A B = ð（）A ．(],5-∞B ．[]5,2-C ．[]2,5D ．{}2【答案】D【分析】根据对数函数单调性求集合B ，再根据集合间的运算求解.【详解】由题意可得：(){}{}{}2log 22242B x x x x x x =>=>=>，则{}2U B x x =≤ð，可得()U A B = ð{}2.故选：D.2．已知复数z 满足()2i 2i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】先求出复数z ，再利用求模的公式即可求出答案.【详解】因为()2i 2i z +=-，所以()()()22i 2i 34i 2i 2i 2i 5z ---===++-，所以2234155z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3714a a +=，515S =，则4a =（）A ．7B ．5C ．4D ．1-【答案】B【分析】根据等差中项分析运算.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，可得375214a a a +==，则57a =，53515S a ==，则33a =，由435210a a a =+=，即45a =.故选：B.4．设平面向量()()1,2,2,m n b =-= ，若m n ⊥，则m n - 等于（）A ．5B ．10C ．13D ．35【答案】B【分析】根据m n ⊥ ，可得0m n ⋅=r r，从而可求出b ，再根据向量的模的计算公式计算即可.【详解】因为m n ⊥ ，所以0m n ⋅=r r，即220b -+=，解得1b =，即()()1,2,2,1m n =-= ，则()3,1m n -=-，所以9110m n -=+=.故选：B.5．地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：lg 4.8 1.5E M =+，其中M 为震级，E 为地震能量.2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（）倍（参考数据 2.0910123≈， 2.210158≈）A ．100B ．120C ．125D ．160【答案】C【分析】根据题意结合对数运算分析求解.【详解】设3.6级地震的地震能量为1E ，5.0级地震的地震能量为2E ，由题意可得12lg 4.8 1.5 3.6 4.8 5.4lg 4.8 1.5 5.0 4.87.5E E =+⨯=+⎧⎨=+⨯=+⎩，两式相减得21lg 2.1E E =，因为2.1更接近于2.09，可得2.1 2.09211010123E E =≈≈，结合选项可知：所以第一次地震能量大约是第二次地震能量的125倍.故选：C.6．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（）A ．若甲、乙两组数据的平均数分别为1x ，2x ，则12x x >B ．若甲、乙两组数据的方差分别为21s ，22s ，则2212s s >C ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D ．甲成绩比乙成绩稳定【答案】B【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况即可作出判断.【详解】对于A ，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，A 正确；对于B ，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳定，所以2212s s <，B 错误，对于C ，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C 正确；对于D ，甲成绩比乙成绩稳定，D 正确.故选：B7．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为16，122AB AA BC ==，1AD 与1A D 相交于点E ，则三棱锥E ACD -的外接球的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．18πD ．20π【答案】D【分析】根据已知线面关系，判断三棱锥E ACD -的外接球球心的位置并计算出求得半径，从而得外接球的表面积即可.【详解】解：设1222AB AA BC x ===，则由长方体的体积公式，得216x x x ⋅⋅=，解得2x =，所以1224AB AA BC ===，由题可知，四边形11ADD A 为正方形，所以AE DE ⊥，所以EAD 外接圆的圆心为AD 的中点，记为点M ，如下图：又ACD 是直角三角形，同理ACD 外接圆的圆心为AC 的中点，记为点N ，过点M ，N 分别作平面ADE 与平面ACD 的垂线，两条垂线的交点为AC 的中点N ，所以三棱锥E ACD -的外接球的球心是AC 的中点N .又25AC =，所以外接球半径152R AC ==，所以外接球的表面积为24π20πR =.故选：D.8．已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x =-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，则()()20222023f f +=（）A ．1-B ．1C ．0D ．2【答案】A【分析】根据奇函数的性质得到()00f =，再分析得到函数()f x 的周期，根据周期性及所给函数解析式计算可得.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，则()00f =，又()()2f x f x =-，即()()()2f x f x f x -=+=-，所以()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 是以4为周期的周期函数，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，所以()()()()202245052200f f f f =⨯+===，()()()()()120234506111211f f f f =⨯-=-=-=--=-，所以()()202220213f f +=-.故选：A二、多选题9．已知函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象的相邻两个最高点的距离为π2，()02f =，则下列说法正确的是（）A ．4ω=B ．()f x 的图像关于直线π4x =对称C ．函数π16f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数D ．函数()f x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】AC【分析】对于A ：根据函数的周期求ω；再根据()02f =求ϕ.对于B 、C 、D ：结合三角函数的性质逐项分析判断.【详解】对于A ：由题意可得：2ππ2T ω==，且0ω>，解得4ω=，故A 正确；可得()()2sin 2f x x ϕ=+，因为()02sin 2f ϕ==，即2sin 2ϕ=，且π02ϕ<<，可得π4ϕ=，故()π2sin 44x x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于B ：因为πππππ2sin 42sin π2sin 244444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭不是最值，所以()f x 的图像不关于直线π4x =对称，故B 错误；对于C ：πππ2sin 42sin 416164f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，故C 正确；对于D ：因为π0,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ3π4,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且sin y x =在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，所以函数()f x 在π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，故D 错误；故选：AC.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，则下列说法正确的是（）A ．平面1A MN ⊥平面1ACCB ．平面1A BD ⊥平面1ACC C ．1MC 与平面1ACC 所成角的正弦值为26D ．1BC 与平面1ACC 所成角的正弦值为24【答案】ABC【分析】对于A 、B ：根据线面、面面垂直的判断定理分析判断；对于C 、D ：根据线面夹角的定义分析计算.【详解】设正方体的棱长为4，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则1AA BD ⊥，又因为AC BD ⊥，1AA AC A = ，1,AA AC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，对于A ：因为M ，N 分别为AB ，AD 的中点，则MN //BD ，可得MN ⊥平面1ACC ，且MN ⊂平面1A MN ，所以平面1A MN ⊥平面1ACC ，故A 正确；对于B ：因为BD ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面1ACC ，故B 正确；对于C ：设MN AC E =I ，连接1C E ，因为MN ⊥平面1ACC ，则1MC 与平面1ACC 所成角为1MC E ∠，可得2,32EM CE ==，则2222111134,6C E C C CE C M C E EM =+==+=，所以1MC 与平面1ACC 所成角的正弦值112sin 6ME MC E C M ∠==，故C 正确；对于D ：设BD AC O ⋂=，连接1C O ，因为BD ⊥平面1ACC ，则1BC 与平面1ACC 所成角为1BC O ∠，可得122,42BO BC ==，所以1BC 与平面1ACC 所成角的正弦值11221sin 242BO BC O BC ∠===，故D 错误；故选：ABC.11．下列说法正确的有（）A ．若不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则2a c +=B ．对任意终边不在坐标轴上的角θ都有22119sin 4cos 4θθ+≥恒成立C ．定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()10f =，则不等式()10f x x-<的解集为()1,1-D ．函数()()10f x x x x=+>，若()2f x m m ≥+恒成立，则实数m 的取值范围是[]2,1-【答案】ABD【分析】对于A ：根据三个二次之间的关系分析运算；对于B ：根据题意结合基本不等式分析运算；对于C ：根据奇函数的性质结合函数单调性分析运算；对于D ：根据恒成立问题解得基本不等式可得22m m ≥+，解一元二次不等式即可.【详解】对于A ：若不等式220ax x c ++>的解集为{}12x x -<<，则1,2-为方程220ax x c ++=的两根，且a<0，可得212a c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得24a c =-⎧⎨=⎩，所以2a c +=，故A 正确；对于B ：由题意可知：(](]2222sin cos 1,sin 0,1,cos 0,1θθθθ+=∈∈，则()222222222222221111cos sin 5cos sin 59sin cos 2sin 4cos sin 4cos sin 4cos 4sin 4cos 44θθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪⎝⎭，当且仅当2222cos sin sin 4cos θθθθ=，即2tan 2θ=时，等号成立，所以22119sin 4cos 4θθ+≥，故B 正确；对于C ：由题意可得：()f x 在(),0∞-上单调递增，且()10f -=，结合奇函数可得：若()0f x <，则1x <-或01x <<；若()0f x >，则10x -<<或1x >；因为()10f x x -<，则()010x f x <⎧⎨->⎩或()010x f x >⎧⎨-<⎩，可得011011x x x <⎧⎨-<--⎩或或011011x x x >⎧⎨-<-<-<⎩或，解得12x <<，所以不等式()10f x x-<的解集为()1,2，故C 错误；对于D ：因为0x >，则()1122f x x x x x=+≥⨯=，当且仅当1x x=，即1x =时，等号成立，可得22m m ≥+，解得21m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[]2,1-，故D 正确；故选：ABD.12．已知椭圆22143x y +=的右顶点为A ，过右焦点F 的直线交椭圆于,P Q 两点，设()11,P x y ，()22,,,Q x y PA QA 的斜率分别记为12,k k ，以下各式为定值的是（）A ．1212x x y y +B ．()121252x x x x +-C ．12k k +D ．12k k 【答案】BD【详解】易得()()2,0,1,0A F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理逐项判断.【分析】解：如图所示：由已知得()()2,0,1,0A F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立得221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：()2234690m y my ++-=，设()()1122122122Δ06,,,,34934m P x y Q x y y y m y y m ⎧⎪>⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，所以()2121212226811223434m x x my my m y y m m +=+++=++=-+=++，12x x ()()()2121212111my my m y y m y y =++=+++，222222961241343434m m m m m m ---+=++=+++，则2212122221249125343434m m x x y y m m m -+---+=+=+++（与m 有关，不是定值），故选项A 错误.()2212122224012424325228343434m m x x x x m m m -+++-=-⨯==+++是定值，故选项B 正确.()()1212121212212121212222111my y y y y y y y k k x x my my m y y m y y -++=+=+=-----++，22222962343439613434mm m m m m m m m m --⋅-++==---⋅-⋅+++（与m 有关，不是定值）故选项C 错误.()1212121221212121222111y y y y y y k k x x my my m y y m y y =⋅=⋅=-----++，2222993496413434m mm m m m -+==---⋅-⋅+++（定值）故选项D 正确.故选：BD三、填空题13．命题“[]1,2a ∃∈-，210ax +<”的否定为________；【答案】[]1,2a ∀∈-，210ax +≥【分析】根据特称命题的否定分析判断.【详解】由题意可得：命题“[]1,2a ∃∈-，210ax +<”的否定为“[]1,2a ∀∈-，210ax +≥”.故答案为：[]1,2a ∀∈-，210ax +≥.14．写出同时满足下列条件的数列{}n a 的一个通项公式：n a =________；①数列{}n a 是递减数列，②1n a >【答案】112n⎛⎫+ ⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的{}n a ，令112nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再检验即可.【详解】令112nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且当0x >时1102x⎛⎫< ⎪⎝<⎭，所以112nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，且131122n⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，符合题意.故答案为：112n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（答案不唯一）15．已知函数()222,0log 1,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()f x a =有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________；【答案】()0,1【分析】原题意等价于()y f x =与y a =有四个不同的交点，结合图象分析求解.【详解】原题意等价于()y f x =与y a =有四个不同的交点，作出()y f x =的图象，如图所示：可得：当a<0时，()y f x =与y a =有且仅有一个交点；当0a =或1a =时，()y f x =与y a =有且仅有三个交点；当01a <<时，()y f x =与y a =有且仅四个交点；当1a >时，()y f x =与y a =有且仅有两个交点；综上所述：若()y f x =与y a =有四个不同的交点，则实数a 的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1.16．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，()sin cos cos 3sin b B C B a b C =-，若4b =，则ABC 面积的最大值为_________.【答案】43【分析】由正弦定理边化角，结合两角和与差的正弦公式可得π3B =，再利用余弦定理，结合基本不等式即可求解.【详解】因为()sin cos cos 3sin b B C Ba b C =-，由正弦定理可得()2sin cos cos 3sin sin sin B C BA B C =-，整理得()()3sin cos sin sin cos sin cos sin sin sin sin A B B B C C B B B C B A =+=+=，又因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠，可得3cos sin B B =，整理得tan 3B =，且()0,πB ∈，则π3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即2221422a c ac =+-⨯，则22162ac a c ac +=+≥，当且仅当a c =时，等号成立，整理得16ac ≤，可得ABC 面积113sin 1643222ABC S ac B =≤⨯⨯= ，所以ABC 面积的最大值为43.故答案为：43.四、解答题17．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取100名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100六组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中a 的值，并估计这100人竞赛成绩的平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）(2)估计竞赛成绩不低于60分的概率.【答案】(1)0.015a =，平均数为72(2)0.8【分析】（1）由频率分布直方图，利用频率和为1，列方程解出a 值，并利用平均数的定义求解；（2）根据频率分布直方图，可计算竞赛成绩不低于60分的概率．【详解】（1）由题意，(0.0050.0200.0300.0250.005)101a +++++⨯=，解得0.150.01510a ==，所以(0.005450.015550.020650.030750.025850.00595)10⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯(0.2250.825 1.300 2.250 2.1250.475)10=+++++⨯72=，故这100人竞赛成绩的平均数为72；（2）竞赛成绩不低于60分的概率为(0.0200.0300.0250.005)100.8+++⨯=．18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2sin b C c B =，ABC 的外接圆半径为233，(1)求角C ；(2)若ABC 的面积为43，求ABC 的周长.【答案】(1)π3C =(2)2132+【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理分析运算；（2）先利用正弦定理求得2c =，再利用面积公式、余弦定理运算求解.【详解】（1）因为sin sin 22sin cos c B b C b C C ==，由正弦定理可得sin sin 2sin sin cos C B B C C =，又因为(),0,πB C ∈，则sin 0,sin 0B C ≠≠，可得12cos C =，即1cos 2C =，所以π3C =.（2）由正弦定理43sin 3c C =，可得43433sin 2332c C ==⨯=，因为ABC 的面积1sin 2ABC S ab C =，即134322ab ⨯=，可得16ab =，由余弦定理()222222cos 22a b ab c a b c C ab ab+--+-==，即()23241232a b +--=，解得213a b +=或213a b +=-（舍去），所以ABC 的周长为2132a b c ++=+.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2π3ADC ∠=，24PD DC BC ===，点E 是线段AD 的中点，点F 在线段AP 上且满足AF AP λ=，PD ⊥面ABCD .(1)当13λ=时，证明：PC //平面BFE ；(2)当λ为何值时，平面BFE 与平面PBD 所成的二面角的正弦值最小？【答案】(1)证明见详解(2)12λ=【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）建系，利用空间向量求二面角，并结合二次函数分析运算.【详解】（1）设AC BE M =I ，因为AE //BC ，则12AM AE CM CB ==，若13λ=，即13AF AP = ，可得12AM AF CM PF ==，所以MF //PC ，MF ⊂平面BFE ，PC ⊄平面BFE ，故PC //平面BFE .（2）连接DB ，由题意可得：24,60AB AD BAD ==∠=︒，在ABD △中，由余弦定理22212cos 164242122DB AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，即23DB =，可得222AB AD DB =+，则AD BD ⊥，且PD ⊥面ABCD ，如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()2,0,0,0,23,00,0,4,1,0,0A B P E ，可得()()2,0,4,1,23,0AP EB =-=-uuu r uur ，设点(),,F a b c ，则()2,,AF a b c =-uuu r，因为AF AP λ= ，则2204a b c λλ-=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2204a b c λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即()22,0,4F λλ-，可得()12,0,4EF λλ=-uuu r，设平面BFE 的法向量为(),,n x y z = ，则()1240230n EF x z n EB x y λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令43x λ=，则()321,2z y λλ=-=，即()()43,2,321n λλλ=-r ，由题意可得：平面PBD 的法向量()1,0,0m =，设平面BFE 与平面PBD 所成的二面角为θ，则()22224343cos cos ,641231484321n m n m n m λλθλλλλλ⋅====-+⋅⨯++-r u r r u r r u r ，由题意可知：[]0,1λ∈，则有：当0λ=时，则cos 0θ=；当(]0,1λ∈时，则243cos 31264θλλ=-+，因为(]0,1λ∈，则[)11,λ∈+∞，关于1λ的二次函数231264y λλ=-+开口向上，对称轴12λ=，当12λ=，即12λ=时，231264λλ-+取到最小值52，即23126452λλ++≥，可得239cos 0,13θ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦；综上所述：239cos 0,13θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以当12λ=时，cos θ取到最大值23913，sin θ取到最小值1313.即当12λ=时，平面BFE 与平面PBD 所成的二面角的正弦值最小.20．某家庭有12万元存款，为增加家庭收入，决定用其中的10万元进行风险投资.他们对甲乙两种产品进行市场调研，得到如下结论：甲产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图1），乙产品的利润与投资额成正比（如图2），（利润与投资额的单位均为万元）(1)分别写出甲乙两种产品的利润()f x ，()g x 与投资额x 之间的函数关系；(2)这个家庭应如何分配甲乙两种产品的投资额，可以获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)() 1.5f x x =，()0.3g x x=(2)该家庭对甲种产品投资6.25万元，对乙种产品投资3.75万元，可以获得最大利润，最大利润是4.875万元.【分析】（1）根据题意可知，甲种产品的利润1()f x k x =，乙种产品的利润2()g x k x =，结合图象，求解1 1.5k =，20.3k =，最后写出解析式即可；（2）设该家庭对甲种产品投资x 万元，则对乙种产品投资(10)x -万元，[]0,10x ∈，该家庭获得的利润为()0.3 1.53h x x x =-++，[]0,10x ∈，利用换元法，结合二次函数的性质，求解即可．【详解】（1）根据题意可知，甲种产品的利润1()f x k x =，乙种产品的利润2()g x k x =，根据图象可知，132k =，20.31k =⨯，解得1 1.5k =，20.3k =，故() 1.5f x x =，()0.3g x x =；（2）设该家庭对甲种产品投资x 万元，则对乙种产品投资(10)x -万元，[]0,10x ∈，该家庭获得的利润为() 1.50.3(10)0.3 1.53h x x x x x =+-=-++，[]0,10x ∈，令x t =，则2()0.3 1.53h t t t =-++，0,10t ⎡⎤∈⎣⎦，对应二次函数开口向下，对称轴为 2.5 6.25t x ==，，所以()()max 2.5 4.875h t h ==，即为最大利润，故该家庭对甲种产品投资6.25万元，对乙种产品投资3.75万元，可以获得最大利润，最大利润是4.875万元．21．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，①22n n a S -=，*n ∈N ，②()*12122,n n a a a a n n -++⋅⋅⋅+=-≥∈N ，且24a =，③112n n a a +=，12a =请从①②③中选择一个条件进行求解.注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列()211log n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使2023n m T >恒成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2nn a =(2)存在，m 的最大值为1011【分析】（1）对①②：根据前n 项和与通项之间的关系，结合等比数列分析运算；对③：根据等比数列分析运算；（2）利用裂项相消法求n T ，根据数列单调性结合恒成立问题运算求解.【详解】（1）若选①：22n n a S -=，*n ∈N ，当1n =时，则1122a a -=，即12a =；当2n ≥时，则1122n n a S ---=，可得1220n n n a a a ---=，整理得12n n a a -=，故数列{}n a 是以首项12a =，公比2q =的等比数列，则1222n nn a -=⨯=；若选②：()*12122,n n a a a a n n -++⋅⋅⋅+=-≥∈N ，且24a =，令2n =，则1222a a =-=，可得1212n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，两式相减得1n n n a a a +=-，即()122n n a a n +=≥，注意到212a a =，故数列{}n a 是以首项12a =，公比2q =的等比数列，则1222n nn a -=⨯=；若选③：112n n a a +=，12a =，即12n na a +=，故数列{}n a 是以首项12a =，公比2q =的等比数列，则1222n nn a -=⨯=.（2）存在，m 的最大值为1011.由（1）可知：2n n a =，则()()()22111111log 1log 211n n n a n n n n n ===-++++，所以11111111112233411n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可知{}n T 为递增数列，则112n T T ≥=，所以122023m >，解得20231011.52m <=，且m 为正整数，则m 的最大值为1011.22．已知双曲线222:1x C y a-=的右焦点为F ，点,M N 分别为双曲线C 的左、右顶点，过点F 的直线l 交双曲线的右支于,P Q 两点，设直线,MP NP 的斜率分别为12,k k ，且1213k k =.(1)求双曲线C 的方程；(2)当点P 在第一象限，且tan 1tan 2MPN MQN ∠=∠时，求直线l 的方程.【答案】(1)22 1.3x y -=(2)112110x y --=.【分析】（1）设点11(,)P x y ，根据1213k k =，结合点P 是双曲线上的点，化简求得23a =，即得答案.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，利用两角和的正切公式化简tan 1tan 2MPN MQN ∠=∠可得122y y =-，设直线:2(0)l x my m =+>，并联立双曲线方程，可得根与系数的关系，化简求得m 的值，即得答案.【详解】（1）由题意得(0),(0)M a N a -，，，设点11(,)P x y .则211111121222111111,,3y y y y y k k k k x a x a x a x a x a ==⋅=⋅==+-+--.因为点P 是双曲线上的点，则221121x y a-=，∴.2122211y x a a =-，∴23a =，则双曲线C 的方程为22 1.3x y -=（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，点P在第一象限，则()11tan tan 0,0,tan tan 1tan tan PMN PNMx y MPN PMN PNM PMN PNM∠+∠>>∠=-∠+∠=--∠⋅∠，又1111tan ,tan 33PM PN y y PMN k PNM k x x -∠==∠=-=+-，故111111222111111113323233tan 342133y y x x y y MPN y y x y y y x x -+-∠=-===+-+⨯+-，同理可得2213tan 1tan ,2tan 2y MPN MQN y MQN y ∠∠=-==-∠，即122y y =-，则直线l 的斜率大于0，由（1）可知2,0)F (，设直线:2(0)l x my m =+>，联立22213x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简得()223410m y my -++=，则222230,164(3)12120m m m m -≠∆=--=+>，故12122241,033m y y y y m m -+==<--,2123,20,m y y ∴<=-> ，代入韦达定理得12222122243123m y y y m y y y m -⎧+==-⎪⎪-⎨⎪==-⎪-⎩，所以22241233m m m -⎛⎫-= ⎪--⎝⎭，解得1111m =或1111m =-（舍去），所以直线l 的方程为112110x y --=.【点睛】关键点点睛：解决此类直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般设出直线方程，并联立圆锥曲线，得到根与系数的关系式，化简求解，解答此题的关键在于要能利用两角和的正切公式结合tan1tan2MPNMQN∠=∠进行化简得到122y y=-，从而再结合根与系数的关系化简求解即可.。
云南省高二上学期期末教育学业质量监测数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则（ ） {}2210,{02}A xx x B x x =--≤=<<∣∣A B = A ． B ．C ．D ．(]0,1[]1,2-1,12⎛⎤⎥⎝⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由题知，再根据集合交集运算求解即可. 112A xx ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣【详解】解：解不等式得，2210x x --≤112x -≤≤所以， {}2121012A xx x x x ⎧⎫=--=-⎨⎬⎩⎭∣∣………所以. {01}A B xx ⋂=<∣…故选：A2．设，则（ ） 232i z z +=-1z +=A ．BC ．D 【答案】C【分析】设，，则由已知条件可求出复数，从而可求出 i z a b =+,a b ∈R z 1z +【详解】设，，则，则，， i z a b =+,a b ∈R 23i 32i +=-=-z z a b 1a =2b =所以 112i 122i +=++=+z=故选：C3．已知数列，则这个数列的第8项为（ ）3151,1,,,,4216-- A ．B ．C ．D ． 18-116-964-1132-【答案】B【分析】依据前五项的规律写出数列的通项公式，由通项公式求出数列的第8项即可. 【详解】由已知条件得 ∵数列，，，， 0112=1212-=-23342=31422-=-455,162= ∴， 11(1)2n n n n a +-=-则 98781(1).216a =-=-故选：.B4．双曲线的实轴长为（ ） 22432-=x y A ．1 BC ．2D ．【答案】B【分析】由双曲线的标准方程可求出，即可求双曲线的实轴长.a 【详解】由可得：， 22432-=x y 2211223x y -=，即212a ∴=a =实轴长∴2a =故选：B5．已知椭圆的两个焦点分别为，，是椭圆上一点，2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F P ，且的短半轴长等于焦距，则椭圆的标准方程为（ ）12||||10PF PF +=C C A ．B ．2212510x y +=2212520x y +=C ．D ．2213020+=x y 2214530+=x y 【答案】B【分析】由题可得，，即求. 5a =2222,==+b c a b c 【详解】因为， 12210PF PF a +==所以.5a =因为， 2222,==+b c ab c 所以c b ==故椭圆的标准方程为.C 2212520x y +=故选：B.6．已知等比数列的前n 项和为，公比为q ，若，，则（ ） {}n a n S 639S S =445S =1qa =A ．3 B ．6C ．9D ．12【答案】B【分析】根据等比数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】设的公比为q ，因为，所以，则有，{}n a 639S S =1q ≠6311(1)(1)911a q a q q q --=⋅--即，解得.又，所以，.319q +=2q =()41124512a -=-13a =16qa =故选：B7．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（ ）0mn <221x y m n+=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲0mn <0m >0n <0m <0n >221x y m n+=线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立，221x y m n+=0mn <故选：.C 8．已知数列满足，其前n 项和为，则（ ） {}n a sin 26n n a p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n S 2021S =A ．B ．C ．D 12-12【答案】D【分析】利用代入法可以判断出该数列的周期，利用周期性进行求解即可.【详解】因为，，，1a 212a =-3a =412a =5a =所以是周期为4的周期数列，，所以. {}n a 40S =20211S a ==故选：D9．椭圆，则（ ） 22182x y m +=-m =A ．6 B ．10C ．6或18D ．10或18【答案】C【分析】对椭圆的焦点位置分两种情况讨论，解方程即得解.【详解】解：当椭圆的焦点在轴上时，.22182x y m +=-x 820,210m m >->∴<<则，得； ()2828m --=6m =当椭圆的焦点在轴上时，.22182x y m +=-y 28,10m m ->∴>则，得. ()2282m m --=-18m =故选：C10．已知经过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，为坐标22(0)y px p =>F ()11,A x y ()22,B x y O 原点，直线交抛物线的准线于点，则下列说法不正确的是（ ）OA l D A ．B ． 212y y p =-12AB x x p =++C ．D ．直线平行于轴2122p x x =DB x 【答案】C【分析】根据焦点弦的性质判断B ，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消AB 2px my =+元、列出韦达定理，即可判断A 、C ，求出点的纵坐标，即可判断D.D 【详解】解：由题知，焦点的坐标为，准线的方程为，所以点的横坐标为F ,02p ⎛⎫⎪⎝⎭l 2p x =-D 2p -.由抛物线的定义知，，所以，故B 正确. 12pAF x =+22p BF x =+12AB x x p =++设直线的方程为，联立方程组得，AB 2p x my =+222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩2220y pmy p --=则，所以，故A 正确，C 错误. 212y y p =-2221212244y y p x x p ==因为直线的方程为，所以点的纵坐标为，因为，所以直线平行于OA 12p y x y =D 21p y -221p y y =-DB 轴，故D 正确.x 故选：C11．若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n 为{}n a ()()()1112n n n a n a n --=+≥12a =870n a <（ ） A ．28 B ．29C ．30D ．31【答案】A【分析】依题意可得，再利用累乘法求出通项公式，再解一元二次不等式即可； 111n n a n a n -+=-【详解】解：由，得， ()()()1112n n n a n a n --=+≥111n n a n a n -+=-所以 23211213412121n n n a a a n a a n n a a a n -+=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=+- 因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数n 为28. 870n a <28700n n +-<3029n -<<故选：A12．3D 打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm ，下底直径为6cm ，高为9cm ，则喉部（最细处）的直径为（ ）A B cm C D 【答案】D【分析】作该塔筒的轴截面图像并建立坐标系，根据双曲线的性质求出其实轴长度即可. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以C 为喉部对应点，设A 与B 分别为上、下底面对应点，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为x 轴建立如图所示的坐标系.由题意可知，，， 2A x =3B x =9A B y y -=设，则．()2,A m ()3,9B m -设双曲线的方程为，()222210,0x y a b a b-=>>∵∴．=3b a =方程可化简为(*)，22299x y a -=将A 和B 的坐标代入(*)式可得解得 ()2222369,8199,m a m a ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩a =则喉部的直径cm ． 2a =故选：D二、双空题13．某地区在2020年底全面建成小康社会，随着乡村振兴战略规划的实施，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加.现统计了该地区2016年到2020年农村居民人均消费支出情况，对有关数据进行处理后，制成如图所示的折线图，其中变量（万元）表示该地区农村居y 民人均年消费支出，则这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数为___________，方差为___________.（本题第一空2分，第二空3分）【答案】 1.3 0.04【分析】根据题意得该地区农村居民人均年消费支出数据为，进而根据公式求解即1,1.2,1.3,1.4,1.6可.【详解】解：该地区农村居民人均年消费支出数据为， 1,1.2,1.3,1.4,1.6所以这五年该地区农村居民人均年消费支出的平均数，1 1.2 1.3 1.4 1.61.35x ++++==方差.222222(1.31)(1.3 1.2)(1.3 1.3)(1.3 1.4)(1.3 1.6)0.045s -+-+-+-+-==故答案为：；1.30.04三、填空题14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.现有一道和书中内容类似的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且较多的三份面包个数之和的是较少的两份13面包个数之和，则最少的一份面包个数为_____________.【答案】10【分析】设每人所得的面包个数从小到大依次为，，，，， 2a d -a d -a a d +2a d +由题意列方程组求出a ，d ，即可得到结论.【详解】设每人所得的面包个数从小到大依次为，，，，， 2a d -a d -a a d +2a d +则， 225100a d a d a a d a d a -+-+++++==所以. 20a =因为，所以，所以，()1223a d a d a a d a d -+-=++++()14036033d d -=+5d =所以最少的一份面包个数为. 210a d -=故答案为：1015．抛物线上有一动点，其焦点为，则的最小值为___________. 224y x =-P (),9,5F A -PF PA +【答案】15【分析】根据抛物线的定义得到，进而结合几何图形可确定最小值.PF PA PC PA +=+【详解】由题可知，抛物线焦点为，准线为， (6,0)F -:6l x =过作准线的垂线为交准线为点， P PC C 根据抛物线的定义可知， PF PC =所以，PF PA PC PA +=+因为为抛物线上的动点，所以当为点时，P P P '取到最小值为,PF PA PC PA +=+6(9)15AB =--=故答案为: .1516．动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点的轨迹方程是P ()2,0F 8x =1:2P ___________.【答案】2211612x y +=【分析】设动点，用坐标表示已知条件并化简即可．(,)P x y 【详解】设，化简得：，(,)P x y 12=2211612x y +=故答案为：．2211612x y +=【点睛】本题考查动点轨迹方程，解题方法是直接法，即设动点坐标为，用坐标表示出题中动(,)x y 点满足的几何条件，然后化简即可．四、解答题17．已知等差数列的前项和为，公差是的等比中项，. {}n a n n S 20,d a ≠15,a a 575S =(1)求的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和.11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1) 63n a n =-(2)189n n +【分析】（1）根据等差数列的公式列方程求解得，进而得通项公式；16,3,d a =⎧⎨=⎩（2）结合（1）得，再根据裂项求和法求解即可. 1111166363n n a a n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭【详解】（1）解：由题意知 ()()2111514,51075,a a d a d S a d ⎧+=+⎪⎨=+=⎪⎩因为，所以 0d ≠16,3,d a =⎧⎨=⎩所以.63n a n =-（2）解：因为()()111111636366363n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以 111111111163991563636363189n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ .18．已知的内角所对的边分别为，且.ABC A ,,A B C ,,a b c 3cos 5sin 3cos b C a A c B =-(1)求；sin A (2)若，求的面积.3,5a b ==ABC A 【答案】(1)35(2)6【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；（2）首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用余弦定理求出，最后根据面积公式计cos A c 算可得；【详解】（1）解：因为， 3cos 5sin 3cos b C a A c B =-所以，3sin cos 5sin sin 3sin cos B C A A C B =-所以， 23sin cos 3sin cos 3sin()5sin B C C B B C A +=+=即， 23sin 5sin A A =因为，所以. sin 0A ≠3sin 5A =（2）解:因为，所以，所以. a b <A B <4cos 5A ==因为，2222cos ,3,5a b c bc A a b =+-==所以，所以，24925255c c =+-⨯⨯28160c c -+=解得，4c =故的面积为.ABC A 113sin 546225bc A =⨯⨯⨯=19．如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的动点，且a 1111OABC O A B C -E F AB BC .AE BF =(1)求证：；11A F C E ⊥(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角余弦值.1B BEF -1B EF BEF【答案】(1)证明见解析 (2) 13【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，表示出、的坐标，根据空间向量法得到AE BF x ==E F ，即可得证；110A C E F ⋅=（2）利用基本不等式求出三棱锥的体积的最大值，从而求出，过作于，1B BEF -x B BD EF ⊥D 即可得到，则是二面角的平面角，再根据锐角三角函数计算可得. 1B D EF ⊥1B DF ∠1B EF B --【详解】（1）证明：如图建立坐标系设，则，，，AE BF x ==()1,0,A a a ()1,,0F a x a -()1,,C x a a --所以，， ()1,,A F x a a =-- ()1,,C E a x a a =--所以， ()2110A F C E xa a x a a ⋅=-+-+= 所以；11A F C E ⊥（2）解：由（1）可知，，BE a x =-BF x =所以三棱锥的体积， 1B BEF -()()221166224x a x a V x a x a a ⎡⎤+-=-≤⋅=⎢⎥⎣⎦当且仅当，即时取得最大值， x a x =-2ax =过作于，又平面，平面， B BD EF ⊥D 1BB ⊥ABCD EF ⊂ABCD 所以，又，平面， 1BB EF ⊥1BB BD B ⋂=1,BB BD ⊂1BB D 所以平面，平面，EF ⊥1BB D 1B D ⊂1BB D所以，1B D EF ⊥所以是二面角的平面角，1B DF ∠1B EF B --在直角三角形中，，， BEF 2a BE BF ==12BD EF ===所以且， 11tan B B B DB BD ∠==111sin tan cos B DB B DB B DB ∠∠=∠2211sin cos 1B DB B DB ∠+∠=解得或（舍去）， 11cos 3B DB ∠=11cos 3B DB ∠=-因此平面与平面的夹角余弦值为. 1B EF BEF 1320．甲､乙两名同学玩摸球游戏，在一个不透明的纸箱中装有大小相同的6个球，其中编号为1的球有3个，编号为2的球有2个，编号为3的球有1个，规定每人一次性取其中的3个，取出编号为1的球记1分，取出编号为2的球记2分，取出编号为3的球记3分.首先由甲取出3个球，并不再将所取球放回原纸箱中，然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获.(1)求甲不输的概率；(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.【答案】(1) 1320(2)先后取球的顺序不影响比赛的公平性【分析】（1）根据题意，记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为，进,,a b c ,d e f 而列举基本事件，结合古典概型概率公式和对立事件公式求解即可；（2）结合（1），分别求甲、乙获胜的概率即可判断.【详解】（1）解：记编号为1的球为，编号为2的球为，编号为3的球为， ,,a b c ,d e f 则甲取球的所有情况有,,,,,,,,,,,,,,,,,abc abd abe abf acd ace acf ade adf aef bcd bce bcf bde bdf bef cde cdf ，，共20种.,cef def 因为6个小球的总分为分，31221310⨯+⨯+⨯=所以若要甲不输，则甲要至少得5分.设事件表示“甲不输”，则包含，共7个基本事件， A A ,,,,,,abc abd abe acd ace bcd bce 所以， ()720P A =故甲不输的概率. ()71312020P A =-=（2）解：由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是7分或6分，即取出的3个小球中有1个编号为3的球和2个编号为2的球，或有1个编号为3的球和1个编号为2的球和1个编号为1的球，有，，共7种情况，,,,,adf aef bdf bef cdf ,cef def 即甲获胜的概率. 1720P =若甲､乙平局，则各得5分，包含，共6个基本事件，,,,,,abf acf bcf ade bde cde 所以甲､乙平局的概率， 2632010P ==所以甲输，即乙获胜的概率， 33771102020P =--=因此甲､乙获胜的概率相同.同理，由乙先取球时，甲､乙获胜的概率也相同.故先后取球的顺序不影响比赛的公平性.21．已知函数．()()e 1e x x f x a -=++(1)若是偶函数，求a 的值；()f x (2)若对任意，不等式恒成立，求a 的取值范围．()0,x ∈+∞()1f x a +…【答案】(1)0(2)(],3-∞【分析】（1）由偶函数的定义得出a 的值；（2）由分离参数得，利用换元法得出的最小值，即可得出a ()1f x a +…2e e 1e 1x x x a -+≤-2e e 1e 1x x x -+-的取值范围．【详解】（1）因为是偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=即，故．()()e 1e e 1e x x x x a a --++=++0a =（2）由题意知在上恒成立，()e 1e 1x x a a -++≥+()0,∞+则，又因为，所以，()2e 1e e 1x x x a --+…()0,x ∈+∞e 1x >则．令，则， 2e e 1e 1x x x a -+≤-()e 10x t t -=>e 1x t =+可得， ()()22111111t t t t a t t t t+-++++≤==++又因为，当且仅当时，等号成立，所以，即a 的取值范围是． 113t t ++≥1t =3a ≤(],3-∞22．已知双曲线. 221416x y -=(1)过点的直线与双曲线交于，两点，点能否是线段的中点，为什么？()1,1N S T N ST(2)直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、():2l y kx m k =+≠±M M l x y 轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线.(),0A x ()0,B y M (),P x y 【答案】(1)不能，理由见解析(2)的轨迹方程为，其中，的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10P 22100125x y -=0y ≠P x 的双曲线（去掉两个顶点）.【分析】（1）设，，线段的中点为，设直线的方程为()11,S x y ()22,T x y ST ()00,Q x y ST ，联立直线与双曲线方程，即可求出，再令求出，再代入检验即可；()11y n x -=-0x 01x =n （2）联立直线与双曲线方程，消元，根据，得到，即可得到的坐标，即可Δ0=()2244m k =-M 求出过点且与直线垂直的直线方程，从而得到、的关系，即可得解.M l x y 【详解】（1）解：点不能是线段的中点，理由如下：N ST 设，，线段的中点为，()11,S x y ()22,T x y ST ()00,Q x y 显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，即.ST ST ()11y n x -=-1y nx n =-+因为双曲线的渐近线的斜率为，所以.2±2n ≠±联立方程组得①， 2211416y nx n x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22242(1)(1)160n x n n x n -+----=所以，则，令，解得. 1222(1)4n n x x n -+=-02(1)4n n x n -=-2(1)14n n n -=-4n =当时，方程①变为，因为，4n =21224250x x -+=Δ0<所以方程①没有实数根，所以不能作一条直线与双曲线交于，两点，使点是线段 的中点.S T N ST （2）解：联立方程组得，221416x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()()22242160k x kmx m ---+=因为，且是双曲线与直线唯一的公共点，2k ≠±M l 所以，得，()()222Δ(2)44160km k m =-+-+=()2244m k =-所以点的坐标为，其中. M 416,k mm ⎛⎫-- ⎪⎝⎭0km ≠因为过点且与直线垂直的直线为， M l 1614k y x m k m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭令，得，令，得， 0y =20k x m =-0x =20y m =-所以， 22222224004001600410010044k m x y m m m ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭即的轨迹方程为，其中， P 22100125x y -=0y ≠的轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点）.P x。
陕西省西安中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)
西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试高二数学（理）一、选择题（共12小题；共60分） 1.抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是（ ） A. （0，1）B. （1，0）C. 1(0,)16D.1(,0)16【答案】C 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，即可得到焦点坐标.【详解】抛物线24y x =的标准方程为214x y =，即18p =，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，故焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.2.已知(2,1,2),(4,2,)a b x =-=-v v ,且//a b r r ，则x=( )A. 5B. 4C. -4D. -5【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行，坐标对应成比例可求得x. 【详解】由题意可知，因为//a b rr，所以21242x-==-，所以x=-4,选C. 【点睛】本题考查空间向量平行的坐标关系，两向量平行，坐标对应成比例． 3.给出下列命题：①若空间向量,a b r r 满足a b =r r ，则a b =r r ；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量c r，由a c b c ⋅=⋅r r rr，则a b =rr；④在向量的数量积运算中()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r.其中假．命题的个数是（ ） A 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】 【分析】结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】对于①，空间向量,a b rr 的方向不一定相同，即a b =rr不一定成立，故①错误； 对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；对于③，取()0,0,0a =r ，()1,0,0b =r ，()0,1,0c =r ，满足0a c b c ⋅=⋅=r r rr ，且0c ≠r r ，但是a b ≠r r ，故③错误；对于④，因为a b ⋅r r 和b c ⋅r r 都是常数，所以()a b c ⋅⋅r r r 和()a b c ⋅⋅r r r 表示两个向量，若a r 和c r 方向不同，则()a b c ⋅⋅r r r 和()a b c ⋅⋅r r r不相等，故④错误.故选：D.【点睛】本题考查向量的概念与性质，考查向量的数量积，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4.下列命题，正确的是（ ）A. 命题“0x R ∃∈，使得2010x -<”的否定是“x R ∀∈，均有210x ->”B. 命题“存在四边相等的空间四边形不是正方形”，该命题是假命题C. 命题“若22x y =，则x y =”的逆否命题是真命题D. 命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠” 【答案】D 【解析】对于选项A,正确的是“,x R ∀∈ 均有210x -≥”; 对于选项B,命题是真命题,存在四边相等的空间四边形不是正方形,比如正四面体,选项B 错; 对于选项C,由于原命题为假命题,所以其逆否命题为假命题,选项C 错; 对于选项D,从否命题的形式上看,是正确的.故选D. 点睛：本题以命题的真假判断应用为载体, 考查了四种命题, 特称命题等知识点,属于中档题. 解题时要认真审题, 仔细解答.5.过抛物线26y x =的焦点F 作直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，如果126x x +=，那么||AB =（ ）A. 10B. 9C. 6D. 4【答案】B 【解析】 【分析】依据抛物线的定义，可以求出点A ，B 到准线距离，即可求得AB 的长． 【详解】抛物线26y x =的准线方程是32x =-，所以132AF x =+， 232BF x =+，1239AB AF BF x x =+=++=，故选B ． 【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用以及过焦点弦的弦长求法．6.设,a b r r 是非零向量，则“存在实数λ，使得λa b =r r”是“a b a b +=+r r r r ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合向量共线的性质分类讨论充分性和必要性是否成立即可. 【详解】存在实数λ，使得λa b =r r，说明向量,a b r r 共线，当,a b r r同向时，a b a b +=+r r r r 成立， 当,a b r r反向时，a b a b +=+r r r r 不成立，所以，充分性不成立.当a b a b +=+r r r r 成立时，有,a b r r 同向，存在实数λ，使得λa b =r r成立，必要性成立，即“存在实数λ，使得λa b =r r”是“a b a b +=+r r r r ”的必要而不充分条件.故选B .【点睛】本题主要考查向量共线的充分条件与必要条件，向量的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，则m 等于（ ）A. 4B. 8C. 4或8D. 12【答案】C 【解析】 【分析】分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，分别求出2a 、2b 的表达式，结合2224a b c +==可求出答案.【详解】因为221102x ym m +=--为椭圆，所以10020102m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即()()2,66,10m ∈U ， 若椭圆的焦点在x 轴上，则210a m =-，22b m =-，故()21021224c m m m =---=-=，解得4m =，符合题意；若椭圆的焦点在y 轴上，则22a m =-，210b m =-，故()22102124c m m m =---=-=，解得8m =，符合题意.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8.（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为B.32D. 2【答案】A【解析】试题分析：由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.9.已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( ) A. (1,0，－2) B. (1,0,2) C. (－1,0,2) D. (2,0，－1)【答案】C 【解析】 【分析】利用PA u u u r ⊥AB u u u r ，PA u u u r ⊥AC u u ur ⇔0PA AB PA AC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ．即可得出．【详解】∵()111AB =---u u u r ，，，()201AC =u u u r ，，，()1PA x z =--u u u r，，． ∵PA u u u r ⊥AB u u u r ，PA u u u r ⊥AC u u u r ，∴0PA AB PA AC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r．∴1020x z x z -+=⎧⎨--=⎩，解得12x z =⎧⎨=-⎩．∴P (－1,0,2) ． 故选C ．【点睛】本题考查向量数量积与垂直的关系，考查运算能力，属于基础题.10.已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任意一点，过一焦点引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则动点Q 的轨迹为（ ▲ ）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】A 【解析】【详解】不妨设过焦点1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，延长F 1Q 交F 2P 与M 点,连OQ ，则21211()=22OQ F M F P PF a ==+,所以动点Q 的轨迹为圆，选A. 11.如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为3，底面边长11111A C B C ==，且11190A C B ∠=o，D 点在棱1AA 上且12AD DA =，P 点在棱1C C 上，则1PD PB ⋅u u u r u u u r的最小值为（ ）A.52B. 14-C.14D. 52-【答案】B 【解析】 【分析】由题易知1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设()03PC a a =≤≤，可知()0,0,P a ，进而可得1,PD PB u u u r u u u r的坐标，然后求得1PD PB ⋅u u u r u u u r 的表达式，求出最小值即可.【详解】由题意可知，1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,1,3B ，()1,0,2D ，设()03PC a a =≤≤，则()0,0,P a ，所以()1,0,2P a D =-u u u r ，()10,1,3a PB =-u u u r，则()()2151 002324a a aPD PB⎛⎫=++--=--⎪⎝⋅⎭u u u r u u u r，当52a=时，1PD PB⋅u u u r u u u r取得最小值14-.故选：B.【点睛】本题考查两个向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12.已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线:340l x y-=交椭圆E于,A B两点．若4AF BF+=，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.3B.3(0,]4C.3D.3[,1)4【答案】A【解析】试题分析：设1F是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y-=过原点，因此,A B两点关于原点对称，从而1AF BF是平行四边形，所以14BF BF AF BF+=+=，即24a=，2a=，设(0,)M b，则45bd=，所以4455b≥，1b≥，即12b≤<，又22224c a b b=-=-，所以03c<≤3ca<≤．故选A．考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．二、填空题（共4小题；共20分）13.O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB OC t =++u u u r u u u r u u u r u u u r，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．【答案】18【解析】 【分析】根据四点共面的充要条件即可求出t 的值.【详解】P ，A ，B ，C 四点共面，且3148OP OA OB OC t =++u u u r u u u r u u u r u u u r，31148t ++=，解得18t =. 故答案为: 18【点睛】本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题.14.设P 是椭圆221169x y +=上一点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，若12||.||12PF PF =，则12F PF ∠的大小_____. 【答案】60o 【解析】 【分析】1PF m =，2PF n =，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得22122812282m n a mn m n mncos F PF+==⎧⎪=⎨⎪=+-∠⎩，解得121cos 2F PF ∠=，从而可得结果．【详解】椭圆221 169xy+=，可得28a=，设1PF m=，2PF n=，可得2221228124282m n amnc m n mncos F PF+==⎧⎪=⎨⎪==+-∠⎩，化简可得：121cos2F PF∠=，1260F PF∴∠=o，故答案为60o．【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cosa b c bc A=+-；（2）222cos2b c aAbc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15.如图，二面角lαβ--等于120︒，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC l⊥，BD l⊥，且1AB AC BD===，则CD的长等于______．【答案】2【解析】【分析】由已知中二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由22()CD CA AB BD=++u u u r u u u r u u u r u u u r，结合向量数量积的运算，即可求出CD的长．【详解】∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l ﹣β的平面角θ等于120°，且AB ＝AC ＝BD ＝1，∴0CA AB AB BD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，CA DB =u u u r u u u r ＜，＞60°，1160CA BD cos ⋅=⨯⨯︒u u u r u u u r∴22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r2222422=CA AB BD CA AB AB BD CA BD =+++⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ||2CD =u u u r故答案为2．【点睛】本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中利用22()CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，结合向量数量积的运算，是解答本题的关键．16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为6，渐近线方程为13y x =±，动点M 在双曲线左支上，点N 为圆22:(1E x y ++=上一点，则2||||MN MF +的最小值为_______【答案】9 【解析】 【分析】求得双曲线的a ，b ，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接1EF ，交双曲线于M ，圆于N ，计算可得所求最小值． 【详解】解：由题意可得26a =，即3a =，渐近线方程为13y x =±，即有13b a =，即1b =，可得双曲线方程为2219x y -=，焦点为1(F 0)，2F ，0)，由双曲线的定义可得211||2||6||MF a MF MF =+=+，由圆22:(1E x y +=可得(0,E ，半径1r =， 21||||6||||MN MF MN MF +=++，连接1EF ，交双曲线于M ，圆于N ，可得1||||MN MF +取得最小值，且为1||6104EF =+=， 则则2||||MN MF +的最小值为6419+-=． 故答案为：9．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆的方程的运用，以及三点共线取得最值，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题． 三、解答题（共12小题；共70分） 17.根据下列条件求曲线的标准方程： （1）准线方程为32y =-的抛物线； （2）焦点在坐标轴上，且过点(3,27-、()62,7--的双曲线．【答案】（1）26x y =；（2）2212575y x -=【解析】 【分析】（1）设抛物线的标准方程为22(0)x py p =>，利用准线方程为32y =-，可求出p 的值，即可求出抛物线的标准方程；（2）设所求双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<，将点(3,27-、()62,7--代入方程，可求出,m n ，进而可求出双曲线的标准方程. 【详解】（1）设抛物线的标准方程为22(0)x py p =>． 其准线方程为32y =-，所以有322p -=-，故3p =． 因此抛物线的标准方程为26x y =．（2）设所求双曲线的方程为221(0)mx ny mn +=<，因为点()3,27-、()62,7--在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得928172491m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得175125m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此所求双曲线的方程为2212575y x -=.【点睛】本题考查抛物线与双曲线的标准方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．求证：（1）1BD ⊥平面1AB C ； （2）平面EAC ⊥平面1AB C .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，求出平面1AB C 的法向量m u r ，通过证明1//BD m u u u u r u r，可得出1BD ⊥平面1AB C ；（2）结合（1），平面1AB C 的法向量是m u r ，然后求出平面EAC 的法向量n r，进而可证明m n ⊥u r r，从而可知平面EAC ⊥平面1AB C .【详解】（1）以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,1E ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()12,2,2B ，()2,2,0B ，()10,0,2D ，所以()2,2,0AC =-u u u r，()2,0,1AE =-u u u r ，()10,2,2AB =u u u r ，()12,2,2BD =--u u u u r ， 设平面1AB C 的法向量(),,m x y z =u r，则1220220m AC x y m AB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取1x =，得()1,1,1m =-u r ． 因为12BD m =-u u u u r u r ，所以1//BD m u u u u r u r，所以1BD ⊥平面1AB C ；（2）设平面AEC 的法向量(),,n x y z '''=r，则20220n AE x z n AC x y ⎧''⋅=-+=⎪⎨''⋅=-+=⎪⎩r u u u r r u u u r ，取1x '=，得()1,1,2n =r ， 1120m n ⋅=+-=Q u r r， ∴平面EAC ⊥平面1AB C.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，利用空间向量法是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于基础题.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知12AA =，1AC BC ==，且AC BC ⊥，M 是11A B 的中点．（1）求证：1//CB 平面1AC M ；（2）设AC 与平面1AC M 的夹角为θ，求sin θ． 【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】 【分析】（1）易知1,,CA CB CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，求得平面1AC M 的法向量n r，从而可证明1n CB ⊥u u u r r ，又1CB ⊄平面1AC M ，即可证明1//CB 平面1AC M ；（2）由（1）可得AC u u u r 及平面1AC M 的法向量为n r ，设AC u u u r 和n r的夹角为α，可得sin cos A nnC AC θα==⋅⋅u u u r r u u u r r ，求解即可.【详解】（1）由题易知，1,,CA CB CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()10,0,2C ，()1,0,0A ，()10,1,2B ，()11,0,2A ， M Q 是11A B 的中点，11,,222M ⎛⎫∴⎪⎝⎭． 由此可得，11,,222AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，()10,1,2CB =u u u r，设向量(),,n x y z =r为平面1AC M 的一个法向量，则1112211222n C M x yn AM x y z⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩u u u u rru u u u rr，取2x=，得2y=-，1z=，()2,2,1n∴=-r为平面1AC M的一个法向量．1·2021120n CB=⨯-⨯+⨯=u u u rrQ，1n CB∴⊥u u u rr，1CB⊄Q平面1AC M，1//CB∴平面1AC M.（2）()1,0,0AC=-u u u r，平面1AC M的一个法向量为()2,2,1n=-r，AC与平面1AC M的夹角为θ，设AC u u u r和n r的夹角为α，则()222212sin cos312(2)1ACACnnθα⨯-====⨯+-⋅+⋅u u u r ru u u r r.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.20.一个圆经过点()2,0F，且和直线20x+=相切．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点()1,0B-，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P Q、，若x轴是PBQ∠的角平分线，证明直线l过定点．【答案】（1）28y x=；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）圆心到定点()2,0F 与到定直线2x =-的距离相等，可知圆心的轨迹是以点F 为焦点的抛物线，求出方程即可；（2）易知直线l 斜率存在且不为零，可设直线():0l my x n m =+≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线l 与抛物线方程，可得关于y 的一元二次方程，由x 轴是PBQ ∠的角平分线，可得121211y y x x -=++，整理可求得128y y =-，再结合韦达定理128y y n =，从而可求得n 的值，进而可求得直线l 过定点.【详解】（1）由题意，圆心到定点()2,0F 与到定直线2x =-的距离相等， 根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹是以点F 为焦点的抛物线，其方程为28y x =. （2）由题可知，直线l 与C 有两个交点且不垂于于x 轴，所以直线l 斜率存在且不为零，设直线():0l my x n m =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立28my x n y x=+⎧⎨=⎩，可得2880y my n -+=，则264320m n ∆=->，且1280y y m +=≠，128y y n =，又2118y x =，2228y x =，x 轴是PBQ ∠的角平分线，所以12122212121188y y y y x x y y --=⇒=++++，整理可得128y y =-， 所以1288y y n ==-，即1n =-，此时满足>0∆，故l ：1my x =-， 所以，直线PQ 过定点()1,0.【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查直线恒过定点问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.如图，正三角形ABE 与菱形ABCD 所在的平面互相垂直，2AB =，60ABC ∠=o ，M 是AB 的中点．（1）求证:EM AD ⊥;（2）求二面角A BE C --的余弦值;（3）在线段EC 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45o ，若存在，求出EPEC的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）5 ；（3） 在线段EC 上存在点P ,理由见解析. 【解析】 【分析】（1）推导出EM AB ⊥，从而EM ⊥平面ABCD ，由此能证明EM AD ⊥．（2）推导出EM MC ⊥，MC AB ⊥，从而MB 、MC 、ME 两两垂直，建立空间直角坐标系M xyz -，利用向量法能求出二面角A BE C --的余弦值．（3）求出AP u u u r和平面ABE 的法向量，利用向量法能示出在线段EC 上存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45o ，且23EP EC =． 【详解】证明：(Ⅰ)EA EB =Q ，M 是AB 的中点，EM AB ∴⊥，Q 平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE I 平面ABCD AB =，EA ⊂平面ABE ，EM ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，.EM AD ∴⊥解：（2） EM ⊥Q 平面ABCD ，EM MC ∴⊥，ABC QV 是正三角形，.MC AB MB ∴⊥∴、MC 、ME 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系.)M xyz -则(0,M 0，0)，(1,A -0，0)，(1,B 0，0)，()C ，(0,E 0，()BC =-u u u r ，(1,BE =-u u u r，设(,m x =ry ，)z 是平面BCE 的一个法向量，则0m BC x m BE x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v r u u u v r ， 令1z =，得)m =r，y Q 轴与平面ABE 垂直，(0,n ∴=r1，0)是平面ABE的一个法向量.cos ,5m n m n m n ⋅===⋅r rr rr r ，∴二面角A BE C --（3）假设在线段EC 上存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45o ．(1,AE =u u u r0，(EC =u u u r ，设(),EP EC λ==u u u r u u u r，()001λ≤≤，则()AP AE EP =+=u u u r u u u r u u u r，Q 直线AP 与平面ABE 所成的角为45o ，sin 45,2AP n cos AP n AP n ⋅∴====⋅ou u u r ru u u r r u u u r r ， 由01λ≤≤，解得23λ=， ∴在线段EC 上存在点P ，使得直线AP 与平面ABE 所成的角为45o ，且2.3EP EC =【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．22.已知()13,0F -是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，O 为坐标原点，22,2P -⎭为椭圆上的点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,A B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上，求AOB V 面积的最大值，及此时直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）AOB V 面积的最大值为1， 此时直线AB 的方程为112y x =- 【解析】 【分析】（1）依题意可得222221123a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，求出,a b ，即可得到椭圆C 的标准方程； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，易知直线AB 的斜率存在，设为k ，将,A B 两点坐标分别代入椭圆方程，所得两式相减，可得到004x y k +⋅=，进而可求出k 的值，从而设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，分别表示出弦长AB 及点O 到直线AB 的距离d ，从而可求得AOB V 面积的表达式，进而求出最大值，并求得此时直线的方程.【详解】（1）依题意可得222221123a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩， 即42230b b +-=，解得21b =，则24a =．故椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ， 依题意可知，直线AB 的斜率存在，设为k ，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2222121204x x y y -+-=，即()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=，又1202x x x +=，1202y y y +=，2121y y k x x -=-，所以0004x y k +⋅=，又直线OP ：12y x =-，M 在线段OP 上，所以0012y x =-，所以12k =．设直线AB 的方程为12y x m =+， 联立方程221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得222220x mx m ++-=，，122x x m +=-，21222x x m =-，且12002x x ∆>⎧⎪⎨<<+⎪⎩，即()()22024220m m m ⎧∆=--><-<⎪⎨⎪⎩，解得0m <<，21 所以12x x -====，122AB x x =-== 又点O 到直线AB的距离d ==所以221121222OAB m m S AB d -+=⨯⨯==≤=V ， 当且仅当222m m -=，即1(1m m =-=舍去)时，等号成立，此时直线方程为112y x =-. 所以AOB V 面积的最大值为1，此时直线AB 的方程为112y x =-. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于难题.。
2023-2024学年云南省大理白族自治州高二下学期3月月考数学试题(含答案)
2023-2024学年云南省大理白族自治州高二下册3月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|030,1,3,4A x x B =≤≤=，，则A B = （）A ．{}01，B ．{}013，，C ．{}014，，D ．{}034，，【正确答案】B【分析】由集合A 和B 求交集即可.【详解】由集合{}03A x x =≤≤及{}0,1,3,4B =，所以{}0,1,3A B = .故选.B 2．若1i42i 1iz -=+-+，则z =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【正确答案】A【分析】复数的基本运算【详解】因为1i42i=1iz -=+-+i 42i 43i -+-=-，所以5z =．故选：A.3．已知直线1310l y -+=，若直线2l 与1l 垂直，则2l 的倾斜角是（）A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【正确答案】B【分析】由题意得出直线1l 的斜率，由直线2l 与1l 垂直可得121l l k k ⋅=-进而求得2l k 的斜率，就可得到2l 的倾斜角.【详解】∵直线11310,l l y k -+=∴2l 与1l 垂直，121l l k k ∴⋅=-，解得2l k =2l ∴的倾斜角为120︒.故选：B.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若721S =，25a =，则公差为（）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【正确答案】B【分析】由前n 项和及等差中项的性质可得747S a =求得43a =，进而求公差即可.【详解】由71274...721S a a a a =+++==，则43a =，∴公差4212a a d -==-.故选：B.5．已知一正方体的棱长为2，则该正方体内切球的表面积为（）A ．πB ．43πC ．4πD ．16π【正确答案】C【分析】根据正方体内切球半径为棱长的一半可得球的半径，代入球的表面积公式即可.【详解】 正方体内切球半径为棱长的一半，即1R =∴所求内切球的表面积244S R ππ==故选：C本题考查正方体内切球表面积的求解，关键是明确正方体内切球半径为棱长的一半，属于基础题.6．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为A ．12B ．1C ．2D ．4【正确答案】C【详解】抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=-2p ，因为抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x-3）2+y 2=16相切，所以3+2p=4，p=2；故选C ．7．函数()()2e xf x x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可判断A 、D ，再根据0x <时函数值的特征排除C ，即可判断；【详解】解：因为()()2e xf x x x =-，所以()()21e x f x x x '=+-，令()0f x '=，即210x x +-=，解得112x -=、212x -=，所以当12x -+>或12x -<时()0f x ¢>x <<时()0f x '<，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭和⎛-∞ ⎝⎭上单调递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，故排除A 、D ；当0x <时e 0x >，()210x x x x -=->，所以()()2e 0x f x x x =->，故排除C ；故选：B8．已知1F ，2F 分别是双曲线22221,(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，1260F PF ∠=︒，12F PF ∠的角平分线PA 交x 轴于点A ，123F A AF =，则双曲线的离心率为（）A ．2B CD ．3【正确答案】B【分析】利用角平分线定理、余弦定理以及离心率公式计算求解.【详解】由角平分线定理知11223PF F A PF AF ==，又122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，在12F PF △中，由余弦定理得()()22222212121212||||32cos 223PF PF F F a a c F PF PF PF a a+-+-∠==⨯⨯，又1260F PF ∠=︒，所以222110426a c a -=，整理得2223104a a c =-，即274c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以c e a ==A ，C ，D 错误.故选：B ．二、多选题9．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（）A ．秋千绳与墙面始终平行B ．秋千绳与道路始终垂直C ．秋千板与墙面始终垂直D ．秋千板与道路始终垂直【正确答案】ACD【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化.而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．故选：ACD.10．下列求导运算正确的是（）A ．()2ln 2121x x '-=⎡⎤⎣⎦-B ．2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ．()221e 2e xx x -'=D ．()21e e x xx xx '+⎛⎫=⎪⎝⎭【正确答案】AB【分析】根据导数运算法则依次讨论求解即可；【详解】解：对于A 选项，()()12ln 21212121x x x x ''-=⋅-=⎡⎤⎣⎦--，故正确；对于B 选项，21111x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；对于C 选项，()()222e e 22e x x x x ''=⨯=，故错误；对于D 选项，()()22e e 1e e x x x x x x x x x x '''-⋅-⎛⎫== ⎪⎝⎭，故错误；故选：AB11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，有下列判断，其中正确的是（）A ．异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π0,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．三棱锥1D APC -的体积不变C ．平面1PB D ⊥平面1ACD D ．若1AB =，则1CP PD +【正确答案】BCD【分析】根据P 为1BC 中点时，异面直线1A P 与1AD 所成角为π2判断A ；根据111111112D APC C D AP B C V V AD D C --==⋅⋅⋅判断B ；证明1B D ⊥平面1ACD 即可判断C ；将平面1BCC 沿1BC 展开使其与平面11ABC D 重合时，再求1D C 的距离即可判断D.【详解】解：对于A 选项，由正方体的性质易知11//AD BC ，11A BC V 为等边三角形，所以，当P 为1BC 中点时，11BC A P ⊥，所以11AD A P ⊥，此时，异面直线1A P 与1AD 所成角为π2，故A 选项错误；对于B 选项，由正方体的性质易知AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，侧面11BCC B 为正方形，所以1AB B C ⊥，11B C BC ⊥，由于11,,AB BC B AB BC =⊂ 平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D 设C 到平面1D AP 的距离为h ，则112h B C =，因为111112D AP S AD D C =⋅⋅ ，所以，三棱锥1D APC -的体积111111111312D APC C D AP D AP B C V V S h AD D C --==⋅=⋅⋅⋅ ，故正确；对于C 选项，由正方体的性质易知11A B ⊥平面11ADD A ，1AD ⊂平面11ADD A ，所以11AD DA ⊥，111A B AD ⊥，由于1111A B A D A = ，111,A B A D ⊂平面11A B D ，所以1AD ⊥平面11A B D ，1B D ⊂平面11A B D ，所以11AD B D ⊥，同理证得1AC B D ⊥，由于1AD AC A = ，1,AD AC ⊂平面1AD C ，所以1B D ⊥平面1AD C ，因为1B D ⊂平面1B DP ，所以平面1PB D ⊥平面1ACD ，故C 选项正确；对于D 选项，根据题意，将平面11BCC B 沿1BB 展开使其与平面11BDD B 重合时，如图，因为1AB =，所以111111,2AB BC CC C D AD BC ======1BC CC ⊥，所以21212212222C PD CD P ⎛⎫⎛⎫≥=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭故选：BCD12．已知函数()f x 对x ∀∈R 都有()()()42f x f x f =++，若函数()3y f x =+的图象关于直线3x =-对称，且对1x ∀，[]20,2x ∈，当12x x ≠时，都有()()()()21210x x f x f x -->，则下列结论正确的是（）A ．()20f =B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期为4的周期函数D ．()()34f f <-【正确答案】ABC【分析】由()3y f x =+的图象关于直线3x =-对称，得到()y f x =关于y 轴对称，赋值后得到()20f =，进而得到()()4f x f x =+，判断出ABC 均正确；根据1x ∀，[]20,2x ∈，当12x x ≠时，都有()()()()21210x x f x f x -->，得到()f x 在[]0,2上单调递增，结合函数的周期及奇偶性得到()()04f f =-，()()()311f f f =-=，判断出()()34f f >-.【详解】()3y f x =+的图象关于直线3x =-对称，故()y f x =关于y 轴对称，()f x 是偶函数，B 正确；()()()42f x f x f =++中，令2x =-得：()()222f f -=，因为()()22f f -=，所以()()222f f =，解得：()20f =，A 正确；故()()4f x f x =+，()f x 是周期为4的周期函数，C 正确；对1x ∀，[]20,2x ∈，当12x x ≠时，都有()()()()21210x x f x f x -->，故()f x 在[]0,2上单调递增，又()f x 是周期为4的周期函数，且()f x 是偶函数，故()()04f f =-，()()()311f f f =-=，因为()()10f f >，所以()()34f f >-，D 错误.故选：ABC 三、填空题13．某班有30名男生，20名女生，其中男生平均身高为170cm ，全班平均身高为168cm ，女生的平均身高为______cm ．【正确答案】165【分析】设全班女生的平均身高为a ，故根据题意得301702016850a⨯+=，解方程即可得答案.【详解】解：设全班女生的平均身高为a ，因为该班有30名男生，20名女生，其中男生平均身高为170cm ，全班平均身高为168cm ，所以301702016850a⨯+=，解得165a =所以女生的平均身高为165cm .故16514．设{}()* N n a n ∈是等比数列，且12a =，312a =，则q =__________．【正确答案】12或12-【分析】利用等比数列的通项公式计算求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，12a = ，312a =，∴2112a q =，∴解得12q =或12q =-，故12或12-15．需要测量某塔的高度，选取与塔底D 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，现测得75DAB ∠= ，45ABD ∠= ，96AB =米，在点A 处测得塔顶C 的仰角为30 ，则塔高CD 为__________米【正确答案】【分析】根据正弦定理可得AD =，然后利用解直角三角形即得.【详解】因为在BAD 中，75DAB ∠= ，45ABD ∠= ，96AB =米，所以180754560ADB ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin AB ADADB ABD=∠∠22=AD =米)，在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，所以tan30CD AD =︒=CD =米).故答案为.16．已知不等式221e ln ln (0)2x kx x x k k -+≥+>恒成立，则k 的最大值为__________.【正确答案】2e【分析】法一：利用同构得到e x≥，即2e x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，构造()e x g x x =，0x >，利用导函数求出其最小值，得到2e k ≤；法二：先代入1x =求出2e k ≤，再构造函数，证明其必要性即可.【详解】法一：221e ln ln (0)2x kx x x k k -+≥+>变形为())22e lne )lnxx +≥+，构造2ln y x x =+，定义域为()0,∞+，则120y x x'=+>在()0,∞+上恒成立，所以2ln y x x =+在()0,∞+单调递增，故e x≥，两边平方后变形得到2e x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，构造()e xg x x =，0x >，则()()2e 1x x g x x -'=，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，故()e xg x x =在1x =处取得极小值，也是最小值，可知min e e x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2e k ≤，k 的最大值为2e ；法二：221e ln ln (0)2x kx x x k k -+≥+>中令1x =得：21e 1ln 2k k +≥+，解得：2e k ≤，当2e k =时，只要证222e e ln 1x x x x -+≥+，0x >，其中ln 1x x ≥+，0x >显然成立，以下是证明过程：构造()ln 1h x x x =--，0x >，()11h x x'=-，当1x >时，()0h x '>，当01x <<时，()0h x '<，故()ln 1h x x x =--在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故()()10h x h ≥=，故ln 1x x ≥+，0x >，只要证222e e 0x x -≥，即222e e x x ≥，由于e 0,e 0x x >>，故只要e e x x ≥，构造()e e xk x x =-，0x >，则()e e xk x '=-，当1x >时，()0k x '>，当01x <<时，()0k x '<，故()e e xk x x =-在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，故()()10k x k ≥=，故e e x x ≥，0x >，综上：可得k 的最大值为2e .故2e 数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.四、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1222a a -=，540S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)22n a n =+(2)22n T nn =+【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n 项和公式展开可求得结果；（2）由裂项相消求和可得结果.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意可得11251040a d a d -=⎧⎨+=⎩解得142a d =⎧⎨=⎩，则()1122n a a n d n =+-=+（2）由（1）可知()11112221n b n n n n ⎛⎫==- ++⎝⎭，则1231111111122231n n n T b b b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112122n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭18．某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”．时间分组频数[0,20)12[20,40)20[40,60)24[60,80)26[80,100)14[100,120)4高二学生日均使用手机时间的频数分布表(1)将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由．(2)若高二年级的100名学生中超过100分钟的“手机迷”为两名男生和两名女生，现从这4人中选出2人来进行调查，则选出的2人中至少有一名女生的概率是多少？【正确答案】(1)高一年级的学生是“手机迷”的概率大，理由见解析；(2)56.【分析】（1）根据给定的频率分布直方图和频率分布表分别求出对应的概率，再比较大小作答.（2）给两名男生和两名女生编号，利用列举法求出概率作答.【详解】（1）由频率分布直方图知，高一学生是“手机迷”的概率为：()10.00250.010200.25P =+⨯=，由频数分布表知，高二学生是“手机迷”的概率为21440.18100P +==，因为12P P >，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大.（2）设2人中至少有一名女生为事件A ，2人中没有女生为事件B ，则事件A 和B 为对立事件，设两名男生和两名女生编号依次为1、2、3、4，则4人中选出2人的试验含有的基本事件为()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，共有6个基本事件，而事件B 含有的基本事件为()1,2，有1个基本事件，则有()16P B =，所以选出的2人中至少有一名女生的概率是()()516P A P B =-=.19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．【正确答案】(1)π3C =；(2).【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.（2）由（1）的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.【详解】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =，所以π3C =．（2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：221a b ab =+-，因此12ab ab ≥-，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11sin (0,22ABC S ab C ==⨯=∈△，所以ABC 面积的取值范围是．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD，且1AB =，2CD =，BC =1PA =，AB BC ⊥，N 为PD 的中点．(1)求证：//AN 平面PBC ；(2)求二面角B PC D --的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）取PC 中点为M ，连接NM ，MB ，进而证明四边形NMBA 为平行四边形即可证明结论；（2）取DC 中点为E ，以A 为空间直角坐标系原点，AE 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；【详解】（1）证明：取PC 中点为M ，连接NM ，MB ，如图所示，因为M ，N 分别是PC ，PD 的中点，所以NM DC ∥且12NM DC =，又因为AB DC 且12AB DC =，所以NM AB ∥，NM AB =，所以四边形NMBA 为平行四边形，所以AN BM ∥，又因为AN ⊄平面PBC ，BM ⊂平面PBC ，所以//AN 平面PBC ．（2）解：取DC 中点为E ，以A 为空间直角坐标系原点，AE 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()0,1,0B ，()1,0D -，()C ，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，因为()0,1,1BP =-，()BC = ，所以00BP m y z BC m ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1y =，解得01x z =⎧⎨=⎩，即()0,1,1m = ，设平面PDC 的法向量为(),,n a b c = ，因为()1,1PD =-- ，()0,2,0DC = ，所以020PD n b c DC n b ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩，令a =04b c =⎧⎨=⎩，即)n = ，记平面PDC 与平面PBC 夹角为θ，π02θ≤≤，则2cos cos ,3m n m n m n θ⋅===⋅，sin 3θ==，所以二面角B PC D --21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =222x y +=过椭圆C 的上、下顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为12，且直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，证明：0AE AQ k k +=．【正确答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据圆经过上、下顶点可求b ，利用离心率和,,a b c 的关系可得答案；（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出AE k ，AQ k ，求和验证即可.【详解】（1）因为圆222x y +=过椭圆C的上、下顶点，所以b =；又因为离心率e =c a =28a =，所以椭圆的方程为22182x y +=.（2）由于直线l 的斜率为12，可设直线l 的方程为12y x t =+；代入椭圆方程2248x y +=，可得222240x tx t ++-=，由于直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，所以2244(24)0,t t ∆=-->整理解得22t -<<,设点()()1122,,,P x y Q x y ，由于点P 与点E 关于原点对称，故()11,E x y --,212122,24x x t x x t +=-=-；因为()2,1A -，所以211221212111(2)(1)(2)(1)22(2)(2)AE AQ y y x y x y k k x x x x ------+++=+=+-++-112211,,22y x t y x t =+=+1221(2)(1)(2)(1)x y x y ---++2112211242()()y y x y x y x x =-++---211212121212()()44x x x x tx tx x x x x t x x =--=--+++--+-2(24)(2)40,t t t =-----=故0AE AQ k k +=，结论得证.22．已知函数()ln (0)f x a x x a =->．（1）当a e =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的零点个数．【正确答案】（1）(e 1)e 0x y ---=；（2）答案见解析.【分析】（1）当a e =时，求得导数e ()1f x x'=-，得到(1),(1)f f '的值，结合点斜式方程，即可曲解；（2）求得导数()a x f x x -'=，得出函数的单调性和极大值()(ln 1)f a a a =-，分0a e <<，a e =和a e >三种情况讨论，结合2()(2ln )f a a a a =-，利用函数()2ln (e)h x x x x =->，，的单调性与极值，即可求解.【详解】（1）当a e =时，函数()ln f x e x x =-，可得e ()1f x x '=-，所以(1)1f =-，(1)1f e '=-，可得切线方程为1(e 1)(1)y x +=--，即(e 1)e 0x y ---=．所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为(e 1)e 0x y ---=.（2）由函数()ln (0)f x a x x a =->的定义域为(0,)+∞，且()1a a x f x x x'-=-=，当0x a <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当x a >时()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 在x a =处取得极大值为()ln (ln 1)f a a a a a a =-=-，当0a e <<时，()0f a <，()0f x <恒成立，函数()f x 无零点；当a e =时，()0f a =，函数()f x 有唯一零点；当a e >时，()ln (ln 1)0f a a a a a a =-=->，因为(1)10f =-<，所以函数()f x 在(0,)a 上有一个零点，易得222()ln (2ln )f a a a a a a a =-=-，令()2ln (e)h x x x x =->，则2()0x h'x x-=<，所以函数()h x 在(,)e +∞上单调递减，则()2ln e e 2e <0h x <-=-，所以2()0f a <，所以函数()f x 在(,)a +∞上有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点．综上可得，当0a e <<时，函数()f x 无零点；当a e =时，函数()f x 有唯一零点；当a e >时，函数()f x 有两个零点．本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
云南省昆明市2025届高三上学期摸底测试 数学试题[含答案]
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数学试卷注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚2每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效3考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分150分，考试用时120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合，则（ ）{13},{(2)(4)0}A xx B x x x =≤≤=--<∣∣A B = A ．B ．C ．D ．(2,3][1,2)(,4)-∞[1,4)2．已知命题，则p 的否定是（ ）2:,10p z z ∃∈+<C A ．B ．C ．D ．2,10z z ∀∈+<C 2,10z z ∀∈+≥C 2,10z z ∃∈+<C 2,10z z ∃∈+≥C 3．正项等差数列的公差为d ，已知，且三项成等比数列，则{}n a 14a=135,2,a a a -（ ）d =A ．7B ．5C ．3D ．14．若，则（ ）sin160m ︒=︒=si n 40A ．B ．2m-2-C ．D ．2-25．已知向量，若，则（ ）(1,2),||a a b =+ (2)b b a ⊥- cos ,a b 〈〉=A ．B ．C D6．函数是奇函数且在上单调递增，则k 的取值集合为（ ）)()lnf x kx =R A ．B ．C ．D ．{}1-{0}{1}{1,1}-7．函数，若对恒成立，且在π()3sin ,06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()(2π)f x f ≤x ∈R ()f x 上有3条对称轴，则（ ）π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω=A ．B ．C ．D ．或167613616768．设椭圆的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线与E 交于A ，B 两2222:1(0)x y E a b a b +=>>点，点C 满足，若，则E 的离心率为（ ）23AF FC=0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=A B C D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．数列的前n 项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）{}n a n S 22()n S kn n k =-∈R A ．为等差数列B ．不可能为常数列{}n a {}n a C ．若为递增数列，则D ．若为递增数列，则{}n a 0k >{}n S 1k >10．甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以、110.820y x =+的方式赋分，其中分别表示甲、乙两班原始考分，分别表示甲、220.7525y x =+12,x x 12,y y 乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（ ）A ．甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B ．甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C ．甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D ．若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高11．已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且()f x ()f x 'R (1)f x +()f x '，则下列结论正确的是（ ）(1)(1)2f f -+=A ．B ．4是的一个周期(1)0f '=()f x 'C ．D ．的图象关于点对称(2024)0f =()f x (2,1)三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．曲线在处的切线方程为．()e x f x x=-0x =13．若复数在复平面内对应的点位于直线上，cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭y x =则的最大值为．λ14．过抛物线的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x2:3C y x =轴交于M ，N 两点，若，则．||12AB =||MN =四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知．ABC 22cos 0a b c A -+=(1)求角C ；(2)若AB 边上的高为1，的周长．ABC ABC 16．如图，PC 是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，AB 为圆的直径，12O O ABC 2O 2O4,AB AC ==(1)证明：；AB PC ⊥(2)若圆台的高为3，体积为，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值．12O O 7π17．已知函数．()ln f x x ax =+(1)若在恒成立，求a 的取值范围；()0f x ≤(0,)x ∈+∞(2)若，证明：存在唯一极小值点，且．()1,()e ()xa g x f f x ==-()g x 01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()02g x >18．动点到直线与直线的距离之积等于，(,)M x y 1:l y =2:l y =34且．记点M 的轨迹方程为．|||y x <Γ(1)求的方程；Γ(2)过上的点P 作圆的切线PT ，T 为切点，求的最小值；Γ22:(4)1Q x y +-=||PT (3)已知点，直线交于点A ，B ，上是否存在点C 满足40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭:2(0)l y kx k =+>ΓΓ若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．0GA GB GC ++=19．设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬n ∈N (),n n a b ()00,(0,0)a b =币的正面朝上时，若，则，否则；当n n a b >()()11,1,1n n n n a b a b ++=++()()11,1,n n n n a b a b ++=+硬币的反面朝上时，若，则，否n n b a >()()11,1,1n n n n a b a b ++=++则．抛掷n 次硬币后，记的概率为．()()11,,1n n n n a b a b ++=+n n a b =n P (1)写出的所有可能情况，并求；()22,a b 12,P P (2)证明：是等比数列，并求；13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n P (3)设抛掷n 次硬币后的期望为，求．n a n E n E1．A【分析】解出集合，再利用交集含义即可得到答案.B 【详解】，{(2)(4)0}{24}B xx x x x =--<=<<∣∣而，则.{|13}A x x =≤≤(2,3]A B ⋂=故选：A.2．B【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.【详解】由存在量词命题的否定形式可知：的否定为.2:,10p z z ∃∈+<C 2,10z z ∀∈+≥C 故选：B 3．C【分析】由等比中项的性质再结合等差数列性质列方程计算即可；【详解】由题意可得，()23152a a a -=又正项等差数列的公差为d ，已知，{}n a 14a=所以，即，()()2111224a d a a d +-=+()()222444d d +=+解得或（舍去），3d =1-故选：C.4．D【分析】利用诱导公式求出，然后结合平方公式和二倍角公式可得.sin 20︒【详解】因为，所以()sin160sin 18020sin 20m︒=︒-︒=︒=cos 20︒=所以sin 402sin 20cos 202︒=︒︒=故选：D 5．C【分析】联立求出即可得解.||a b += (2)0b b a ⋅-= ,b a b⋅【详解】因为，所以，所以，(1,2)a = a = 222||27a b a b a b +=++⋅= 整理得①，222b a b +⋅=又，所以②，(2)b b a ⊥- 2(2)20b b a b a b ⋅-=-⋅= 联立①②求解得，11,2b a b =⋅=所以.cos ,a b a b a b⋅〈〉===故选：C 6．C【分析】根据奇函数的定义得得，即可验证单()))()222()lnln ln 10f x f x kx kx x k x -+=+=+-=1k =±调性求解.【详解】是奇函数，故)()lnf x kx =，()))()222()ln ln ln 10f x f x kx kx x k x -+=+=+-=则，，解得，22211x k x +-=210k -=1k =±当时，在为单调递1k =-)()lnf x x ==y x =(0,+∞)增函数，故单调递减，不符合题意，()f x=(0,+∞)当时，，由于在为单调递增函数且1k=)()lnf x x =y x =(0,+∞)，故为单调递增，根据奇函数的性质可得()00f =)()lnf x x =(0,+∞)在上单调递增，符合题意，)()ln f x x =R 故，1k =故选：C 7．B 【分析】根据求解即可.()2π3,2π2f T T=≤<【详解】由题知，当时取得最大值，即，2πx =()f x π(2π)3sin 2π36f ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以，即，ππ2π2π,Z62k k ω+=+∈1,Z 6k k ω=+∈又在上有3条对称轴，所以，()f x π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦13ππ2π266T T ≤-=<所以，所以.2π12T ω≤=<76ω=故选：B 8．D 【分析】设，表示出，根据列方程，用表(),A m n ,,,OA OC AF BF0,0AB OC AC BF ⋅=⋅= c 示出，然后代入椭圆方程构造齐次式求解可得.,m n 【详解】设，则，则，(),A m n ()(),,,0B m n F c --()()(),,,,,OA m n AF c m n BF c m n ==--=+因为，所以，23AF FC= ()555,222n AC AF c m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ 所以，()()55533,,,22222n c n OC OA AC m n c m m ⎛⎫⎛⎫=+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为，0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=所以，得，222253302220c OA OC m m n AF BF c m n ⎧⎛⎫⋅=--=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⋅=--=⎩ 34,55m c n c ==又在椭圆上，所以，即，(),A m n 222291625251c ca b +=()()222222229162525c a c a c a a c -+=-整理得，即，4224255090a a c c -+=42950250e e -+=解得或（舍去），所以.259e =25e =e =故选：D【点睛】关键点睛：根据在于利用向量关系找到点A 坐标与c 的关系，然后代入椭圆方程构造齐次式求解.9．AC【分析】根据的关系求出通项，然后根据公差即可判断ABC ；利用数列的函数性，,n n a S n a 分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D.【详解】当时，，1n =112a S k ==-当时，，2n ≥()()()221212122n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=-----=-+⎣⎦显然时，上式也成立，所以.1n =()22n a kn k =-+对A ，因为，()()()1222122n n a a kn k k n k k-⎡⎤-=-+---+=⎣⎦所以是以为公差的等差数列，A 正确；{a n }2k 对B ，由上可知，当时，为常数列，B 错误；0k ={a n }对C ，若为递增数列，则公差，即，C 正确；{a n }20k >0k >对D ，若为递增数列，由函数性质可知，解得，D 错误.{}n S 02322k k >⎧⎪⎨<⎪⎩23k >故选：AC 10．ACD【分析】根据期望和标准差的性质求出赋分前的期望和标准差即可判断AB ；作差比较，结合自变量范围即可判断C ；作出函数的图象，结合图象可判0.820,0.7525y x y x =+=+断D.【详解】对AB ，由题知，()()1215E y E y ====因为，，110.820y x =+220.7525y x =+所以，()()120.82060,0.752515Ex E x +=+===解得，()()1250,20E x E x=≈==所以A 正确，B 错误；()()12E x E x >=对C ，因为，，111200.2y x x -=-[]10,100x ∈所以，即，所以C 正确；10200.220x ≤-≤110y x -≥对D ，作出函数的图象，如图所示：0.820,0.7525y x y x =+=+由图可知，当时，有，12100y y =<21x x <又因为单调递增，所以当时必有，D 正确.0.820y x =+12y y >12x x >故选：ACD 11．ABD【分析】注意到为偶函数则，由两边求导，令()f x '()()2f x f x -+=()(1)1f x f x -+=+可判断A ；结合导函数的奇偶性可判断B ；利用的周期性和0x =()()11f x f x --='+'()f x 奇偶性可判断C ；根据和可判断D.()()2f x f x -+=()(1)1f x f x -+=+【详解】因为为偶函数，所以，即，()f x '()()f x f x -'='()()f x f x c--=+而，故，故，(1)(1)2f f -+=2c =-()()2f x f x +-=又为偶函数，所以，即，(1)f x +()(1)1f x f x -+=+()()2f x f x =-所以，故即，()2()2f x f x -+-=()(2)2f x f x ++=()2(4)2f x f x +++=，所以4是的周期，故B 正确.()()4f x f x =+()f x 对A ，由两边求导得，()(1)1f x f x -+=+()()11f x f x --='+'令得，解得，A 正确；0x =()()11f f -'='()10f '=对C ，由上知，所以，()()2f x f x +-=()01f =所以，C 错误；()()(2024)450601f f f =⨯==对D ，因为，，()()2f x f x +-=()()2f x f x =-故，故的图象关于对称，()2(2)2f x f x -++=()f x (2,1)故选：ABD【点睛】关键点睛：本题解答关键在于原函数与导数数的奇偶性关系，以及对两边求导，通过代换求导函数的周期.()(1)1f x f x -+=+12．##1y =10y -=【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程.【详解】因为，则，()e x f x x =-()01f =又，所以，()e 1x f x '=-()00f '=所以曲线在处的切线方程为．()e x f x x=-0x =1y =故答案为：1y =13##11-【分析】根据复数对应的点在得cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x =，即可利用二倍角公式以及基本不等式求解.212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【详解】对应的点为，cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭cos 21sin ,sin 2θλθθ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，cos 21sin sin 2θλθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭故，212sin 1sin sin 2θλθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭由于，故，()0,πθ∈sin 0θ>则，2sin 1111sin sin sin 122sin θλθθθθ==≤=++++当且仅当，即时等号成立，1sin 2sin θθ=sin θ=π3π,44θθ==114．【分析】联立直线与抛物线方程，得韦达定理，根据焦点弦的公式可得，解得，即可求解得，即223332122k AB k +=+=213k =()111:AM y x x y k =--+11M x ky x=+可代入求解.【详解】的焦点为，2:3C y x =(34,0)根据题意可知直线有斜率，且斜率不为0，l 根据对称性不设直线方程为，34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭联立直线与可得，34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭23y x =22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭设，故，()()1122,,,A x y B x y 2121223392,16k x x x x k ++==故，解得，21223332122k AB x x p k +=++=+=213k =直线，令，则，同理可得，()111:AM y x x y k =--+0y =11M x ky x =+22N x ky x =+如下图，故，()()()211221212121M N MN x x ky x ky x k y y x x kx x =-=+--=-+-=+-(21113MN k ⎛=+=+= ⎝故答案为：15．(1)；π3C =(2)【分析】（1）利用余弦定理角化边，整理后代入余弦定理即可得解；（2）利用面积公式求出，然后由面积公式结合余弦定理联立求解可得，可得周长.c a b +【详解】（1）由余弦定理角化边得，，整理得，2222202b c a a b c bc +--+⨯=222a b c ab +-=所以，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===因为，所以.()0,πC ∈π3C =（2）由题知，，112c ⨯=c =由三角形面积公式得，所以，1πsin 23ab =43ab =由余弦定理得，()222π42cos 333a b ab a b ab +-=+-=所以，所以()2416433a b +=+=a b +=所以的周长为ABC a b c ++=16．(1)证明见详解；.【分析】（1）转化为证明平面，利用圆台性质即可证明；AB ⊥12O O CP （2）先利用圆台体积求出上底面的半径，建立空间坐标系，利用空间向量求线面角即可.【详解】（1）由题知，因为为圆的直径，所以，AB 2O AC BC ⊥又，4,AB AC ==AB =因为为的中点，所以，2O AB 2O C AB ⊥由圆台性质可知，平面，且四点共面，12O O ⊥ABC 12,,,O O P C因为平面，所以，AB ⊂ABC 12O O AB ⊥因为是平面内的两条相交直线，所以平面，122,O O O C 12O O CP AB ⊥12O O CP 因为平面，所以.PC ⊂12O O CP AB PC⊥（2）圆台的体积，其中，12OO (2211ππ237π3V r =⋅+⋅⨯=11r PO =解得或(舍去).11r =13r =-由（1）知两两垂直，分别以为轴、轴、轴建立空间直角122,,O O AB O C 2221,,O B O C O O x y z 坐标系，如图，则，(2,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,1,3)A B C P -所以.(4,0,0),(2,1,3),(2,2,0)AB BP BC ==-=-设平面的一个法向量为，PBC (,,)n x y z =则解得230,220,n BP x y z n BC x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,3,x y x z =⎧⎨=⎩于是可取.(3,3,1)n =设直线与平面的夹角为，AB PBC θ则sin cos ,AB n θ===.17．(1)；1,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦(2)证明见解析.【分析】（1）参变分离，构造函数，利用导数求最值即可；()ln xh x x =-（2）求导，利用零点存在性定理结合单调性判断导函数的唯一零点在内，利用零点方(12,1)程代入，使用放缩法即可得证.()0g x 【详解】（1）在恒成立，等价于在上恒成立，()0f x ≤(0,)x ∈+∞ln xa x ≤-(0,)+∞记，则，()ln x h x x =-()2ln 1x h x x ='-当时，，当时，，0e x <<ℎ′(x )<0e x >ℎ′(x )>0所以在上单调递减，在上单调递增，ℎ(x )()0,e ()e,∞+所以当时，取得最小值，e x =ℎ(x )()ln e 1e e e h =-=-所以，即a 的取值范围.1a e ≤-1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦（2）当时，，则，1a =()()e ()e ln ,0xxg x f f x x x =-=->1()e x g x x '=-因为在上均为增函数，所以在单调递增，1e ,x y y x ==-(0,)+∞()g x '(0,)+∞又，()121e 20,1e 102g g ⎛⎫=-''=- ⎪⎝⎭所以在区间存在，使得当时，，当时，，(12,1)0x x ∈(0,x 0)()0g x '<x ∈(x 0,+∞)()0g x '>所以在上单调递减，在上单调递增，()g x ()00,x ()0,x ∞+所以存在唯一极小值点.()g x 01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为，即，所以，001e 0x x -=00ln x x =-00000()e ln =e x x g x x x =-+因为，且在上单调递增，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=e xy x +(12,1)所以，12001()=e e 2x g x x +>+又，所以，所以.9e 4>123e 2>00031()=e 222x g x x +>+=18．(1)2213y x -=(2)2(3)34C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，（2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得，即可由二PT =次函数的性质求解，（3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得，将其代入双曲线方程即可求解.()02201224,3443k x k ky y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩【详解】（1）根据到直线与直线的距离之积等于，可得(,)M x y 1:l y=2:l y =34，化简得，342233x y -=由于，故，即.||||y x <2233x y -=2213y x -=（2）设，(,)P x y PT ====故当时，最小值为23y =PT（3）联立与可得，:2(0)l y kx k =+>2233x y -=()223470k xkx ---=设，()()()112200,,,,,A x y B x y C x y 则，12122247,33k x x x x k k -+==--故()212122444,3k y y k x x k +=++=+-设存在点C 满足，则，0GA GB GC ++= 1201200433x x x y y y ++=⎧⎪⎨++=⨯⎪⎩故，()02201224,3443k x k k y y y k ⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-+=⎪-⎩由于在，故，()00,C x y 2233x y -=22222443333k k k k ⎛⎫-⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭化简得，即，解得或（舍去），421966270k k -+=()()2231990k k --=2919k =23k =由于，解得且，()22Δ162830k k =+->27k <23k ≠故符合题意，由于，故2919k =0k >k =故,故，02202434334k x k k y k ⎧=-=⎪⎪-⎨-⎪==-⎪-⎩34C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭故存在，使得34C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭0GA GB GC ++= 19．(1)答案见详解；(2)证明见详解，；1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭(3)21113929nn E n ⎛⎫=+--⎪⎝⎭【分析】（1）列出所有和的情况，再利用古典概型公式计算即可；()11,a b ()22,a b （2）构造得，再利用等比数列公式即可；1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭（3）由（2）得，再分，和讨论即可.()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n n a b >n n a b =n n a b <【详解】（1）当抛掷一次硬币结果为正时，；()()11,1,0a b =当抛掷一次硬币结果为反时，.()()11,0,1a b =当抛掷两次硬币结果为（正，正）时，；()()22,2,1a b =当抛掷两次硬币结果为（正，反）时，；()()22,1,1a b =当抛掷两次硬币结果为（反，正）时，；()()22,1,1a b =当抛掷两次硬币结果为（反，反）时，.()()22,1,2a b =所以，.12210,42P P ===（2）由题知，，1n n a b -≤当，且掷出反面时，有，此时，n n a b >()()11,,1n n n n a b a b ++=+11n n a b ++=当，且掷出正面时，有，此时，n n a b <()()11,1,n n n n a b a b ++=+11n n a b ++=所以，()()()()()1111112222n n n n n n n n n n P P a b P a b P a b P a b P +⎡⎤=>+<=>+<=-⎣⎦所以，1111323n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭所以是以为首项，为公比的等比数列，13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11133P -=-12-所以，所以.1111332n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭1111332n n P -⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭（3）设与的概率均为，n n a b >n n a b <n Q 由(2)知，()11111232nn n Q P ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦显然，.111110222E =⨯+⨯=若，则，当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为n n a b >1n n a b =+11n n a a +=+反面朝上时，;1n n a a +=若，则当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，n n a b =11n n a a +=+;1n n a a +=若，则，n n a b <1nn b a =+当下次投掷硬币为正面朝上时，，当下次投掷硬币为反面朝上时，.11n n a a +=+11n n a a +=+所以时，期望不变，概率为;1n n a a +=111122262nn n Q P ⎡⎤⎛⎫+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦时，期望加1，概率为.11n n a a +=+1111111124226262n nn n Q P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+-=--⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以.()11111112144626262nn nn n n n E E E E +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-++⨯--=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故12112111111444626262n n n n n n E E E -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+--+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=1111111446262n E -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--++--⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11111111444626262n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦111241612nn ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.21113929nn ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭经检验，当时也成立.1n =.21113929nn E n ⎛⎫∴=+--⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是分和时讨论，最后再化简1n n a a +=11n n a a +=+的表达式即可.n E。
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2019学年云南省高二上学期期末考试数学（理）试卷
【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 高二某班共有学生56人，座号分别为1,2,3,…,56,现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个
同学的座号是（）
A. 30
B. 31
C. 32
D. 33
2. 设则“ ≥1且≥1”是“ ≥ ”的（）
A. 必要不充分条件________
B. 充分不必要条件
C. 充要条件________
D. 既不充分又不必要条件
3. 设是等差数列的前项和，，则为（）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
4. 在区间上随机取两个数，则事件“ ≤ ”的概率是（）
A. B. C. D.
5. 如果执行如图的程序框图，那么输出的 S= （）
A. 22
B. 46
C. 94
D. 190
6. 如上图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为（）
A. B. C. 14 D.
7. 已知是椭圆 C ：的两个焦点，为椭圆 C 上的一
点，且 1 . 若的面积为 9 ，则＝（）
A. 3
B. 6
C. 3
D. 2
8. 直线被圆截得的弦长等于（）
A. B. C. D.
9. 已知变量满足，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
10. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为
（）
A. 8
B. 4
C. D.
11. 在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（） A. B.
C. D.
12. 若以为焦点的双曲线与直线有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为（）
A. B. C. D.
二、填空题
13. 在中，，，，则边的长为 ______ ．
14. 已知双曲线 ( a ＞ 0 ， b ＞ 0) 的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点为，则双曲线的方程为 ______ ．
15. 某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段： [40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如右图所示），则分数在[70，80）内的人数是 _______ ．
16. 椭圆 ( 为定值，且 )的左焦点为，直线与椭圆交于
两点，的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率为 _____ ．
三、解答题
17. 已知命题：，命题：（）．
（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，为真命题，为假命题，求实数的取值范围．
18. 某产品的三个质量指标分别为 ,用综合指标评价该产品的等级，若，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质
量指标列表如下：p
19. ly:宋体; font-size:11.5pt">产品编号质量指标
( ) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (1，1，1) (1，2，1) 产品编号质量指标
( ) (1，2，2) (2，1，1) (2，2，1) (1，1，1) (2，1，2)
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”．
求事件发生的概率．
20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆
上．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为 1 的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，求．
21. 设的内角
所对应的边长分别是
且．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求
的周长．
22. 设数列的前项和为，且 .
(1) 求的值，并用表示；
(2) 求数列的通项公式；
(3) 设，求证： .
23. 已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率为双曲线
离心率的一半，直线被椭圆截得的线段长为 .直线：
与轴交于点，与椭圆交于两个相异点，且 . （1）求椭圆的方程；
（2）是否存在实数，使？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】。