[高中数学]10A-03-学生-不等式基本性质及证明

高中数学不等式的证明

高中数学不等式的证明高中数学中，不等式是一种重要的课程内容，也是数学证明的一个重要方向。

在本文中，我将对高中数学不等式的证明进行详细讨论。

不等式证明的一般步骤如下：1.提取已知条件：将不等式中的已知条件提取出来，以得到更清晰的表达式。

2.化简和变形：根据不等式的性质，对不等式进行适当的化简和变形操作，以便于进一步的证明。

3.应用不等式性质：应用已知的不等式性质、定理和公式，将给定的不等式与这些知识相结合，引入新的变量或不等式形式。

4.利用已知条件和定理进行推导：根据已知条件和定理，进行推导，从当前推导出的结论重新应用已知条件和定理。

5.逆向思考和反证法：如果直接的推导困难，可以尝试使用逆向思考或反证法来换一种证明的角度。

下面，我将通过实际的例子，对高中数学不等式的证明进行详细解释。

例子1：证明对于任意正实数a、b，有(a+b)² ≥ 4ab。

解：要证明这个不等式，我们可以根据一般的证明步骤来进行推导。

1.提取已知条件：已知条件为a、b是正实数。

2. 化简和变形：将不等式进行展开和化简得到a² + 2ab + b² ≥4ab。

3. 应用不等式性质：根据已知条件和定理，我们可以将不等式右边的4ab化简成2ab + 2ab，即得到a² + 2ab + b² ≥ 2ab + 2ab。

4. 利用已知条件和定理进行推导：我们可以继续推导，将左边的a² + b²进行分解成(a + b)² - 2ab，得到(a + b)² - 2ab ≥ 2ab + 2ab。

5. 逆向思考和反证法：我们可以将不等式进行变形，得到(a + b)² ≥ 4ab，即相当于证明了(a + b)² - 4ab ≥ 0。

由于(a + b)² - 4ab = (a - b)² ≥ 0，这是显然成立的，因为平方数是非负的。

高中数学不等式知识点

高中数学不等式知识点数学作为一门抽象的学科，有着严密的逻辑和精确的计算方法。

在高中数学中，不等式是一个重要的知识点。

不等式的概念和应用不仅仅存在于数学领域，也在现实生活中扮演着重要的角色。

本文将通过对不等式的定义、性质和解题方法的探讨，帮助读者深入了解高中数学不等式知识点。

一、不等式的定义和性质不等式是用于表示两个数之间大小关系的符号。

常见的不等式符号有“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等。

不等式中常见的数学符号有小于号(<)、大于号(>)、小于等于号(≤)、大于等于号(≥)。

不等式的定义为：设a和b为两个实数，如果a和b满足某种约束关系，就可表示为a≤b或a≥b。

当a和b之间存在一个不等于号，即a<b或a>b时，称之为真不等式；当a和b之间存在一个等于号，即a≤b或a≥b时，称之为假不等式。

不等式的性质有：1. 若a>b，则-a<-b。

2. 若a>b且c>0，则ac>bc。

3. 若a>b且c<0，则ac<bc。

4. 若a>b且c>0，则(a+c)>(b+c)。

5. 若a>b且c<0，则(a+c)<(b+c)。

二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数x，并且该未知数的最高次数为1的不等式。

解一元一次不等式可以采用图像法、等价变形法或区间法等方法。

图像法：首先将不等式转化为等式，画出对应的直线，然后确定不等式符号代表的方向。

最后根据图像确定解的区间。

等价变形法：通过等价变形将不等式化简为等价的简单不等式，然后求解。

例如，对于不等式3x+2>5x-1，可以将其化简为2x<3，然后解出x的取值范围。

区间法：根据不等式的性质，将未知数的取值范围划分成若干个区间，在每个区间上判断不等式的真假，并确定解的范围。

三、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数x，并且该未知数的最高次数为2的不等式。

不等式的定义与性质

不等式的定义与性质不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数、变量或数与变量之间的大小关系。

在代数学和几何学中，不等式具有重要的作用，而理解不等式的定义与性质对于解决各种数学问题至关重要。

一、不等式的定义在数学中，不等式是指通过不等号（<，>，≤，≥）来表示两个数或表达式之间的大小关系。

一个基本的不等式方程形式为：a > b，其中a和b是两个数或表达式。

不等式的表示方式可以分为两种形式：严格不等式和非严格不等式。

严格不等式使用大于号（>）或小于号（<）来表示，表示不等式两边的值不相等；非严格不等式使用大于等于号（≥）或小于等于号（≤）来表示，表示不等式两边的值可以相等。

二、不等式的性质1. 反身性质：对于任意实数a，a≥a或a≤a是成立的，即任何数与自身相等或小于等于自身。

2. 传递性质：如果a>b且b>c，则a>c。

也就是说，如果一个数大于另一个数，而这个数又大于另一个数，那么第一个数一定大于最后一个数。

3. 相加性质：对于任意实数a，b和c，如果a>b，则a+c>b+c。

也就是说，对不等式两边同时加上相同的数，不等式的大小关系保持不变。

4. 相乘性质：对于任意实数a，b和c，如果a>b且c>0，则ac>bc。

也就是说，如果一个数大于另一个数，而且还与一个正数相乘，那么乘积的大小关系保持不变。

以上性质在解决不等式问题时经常会使用，可以帮助我们推导和证明不等式的结果。

三、解不等式的方法解不等式是求解满足给定条件的变量范围。

常用的解不等式的方法包括移项法、分段法和因式法等。

1. 移项法：将含有未知数的项移到一边，常用于解一元一次不等式。

例如，对于不等式3x+5>7，我们可以通过将5移到不等式的右边，得到3x>2，再将不等式两边同时除以3，得到x>2/3。

2. 分段法：将不等式根据不同的条件范围进行分段，进而分别求解不等式。

不等式基本概念与性质

不等式基本概念与性质不等式是数学中重要的概念之一，用于表示两个数的大小关系。

与等式相比，不等式描述的是不等关系，由此引出了不等式的基本概念与性质。

本文将从不等式的定义、不等式的解集、不等式性质等方面进行论述，旨在让读者更全面地了解不等式的基本概念与性质。

一、不等式的定义不等式是表示两个数的大小关系的数学式子，用不等号（>、<、≥、≤）进行表示。

其中，>表示“大于”，<表示“小于”，≥表示“大于等于”，≤表示“小于等于”。

二、不等式的解集不等式的解集由使不等式成立的所有实数组成。

解集的表示方法有两种：用区间表示和用集合表示。

（1）用区间表示解集当不等式中含有“>”、“<”时，解集用开区间表示。

例如，不等式x > 3的解集表示为(3, +∞)，表示所有大于3的实数。

当不等式中含有“≥”、“≤”时，解集用闭区间表示。

例如，不等式x≤ 5的解集表示为(-∞, 5]，表示所有小于等于5的实数。

（2）用集合表示解集当解集中的元素不连续时，用集合表示解集。

例如，不等式2 < x < 5的解集表示为{x ∈ R | 2 < x < 5}，表示所有大于2且小于5的实数。

三、不等式的性质不等式具有一些基本的性质，这些性质对于解不等式方程非常有帮助。

（1）加减性质若a > b，则a + c > b + c，a - c > b - c，其中c为任意实数。

（2）乘除性质若a > b 且 c > 0，则ac > bc；若a > b 且 c < 0，则ac < bc。

（3）倒数性质若a > b 且 c > 0，则1/a < 1/b；若a > b 且 c < 0，则1/a > 1/b。

这些性质可以用来化简不等式的形式，使得求解不等式更加简单。

四、不等式的图示为了更直观地理解不等式的解集，我们可以将不等式的解集用数轴表示出来。

不等式基本性质和证明

第一讲不等式的基本性质与证明一、知识点分析不等式概念：我们把含有不等号的式子叫做不等式。

不等式的基本性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a ±>±⇒>（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向相加性）（5）bc ac c b a >⇒>>0,.，bc ac c b a <⇒<>0,（6）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向相乘性）（7）a ﹥b ，ab ﹥0，a 1⇒﹤b1(倒数变向性) （8）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则），)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）注：1、无同向相减性和同向相除性，且同向相乘性须正数2、性质（8）中，若n 为正奇数，则无须b a ,都大于零两个实数大小的比较：作差法 b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0作商法若b a ,﹥0，则b a ﹥1a ⇔﹥b ；b a ﹤1a ⇔﹤b ；ba=1a ⇔=b不等式的证明方法： ①作差法②作商法③综合法：由因到果 ④分析法：执果索因 ⑤放缩法：常见类型有⑴nn n n n n n n n111)1(11)1(11112--=-<<+=+- （放缩程度较大）;⑵)1111(2111122+--=-<n n n n （放缩程度较小）;⑶1(212221--=-+<=n n n n nn⑥数学归纳法：常用于数列类的不等式 ⑦利用函数单调性法二、例题精选例1.⑴比较a 与b 的大小：a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3⑵设21x x <，比较1211x x -+与2221x x -+的大小⑶设0,0>>b a ，试比较a b b a b a b a 与的大小例2．⑴已知y x x yx y x y x ---≤≤≤≤5,,2,51,322求的取值范围 ⑵已知y x y x y -≤-≤≤+≤2,51,3x 2求的取值范围例3. 判断下列命题A 是命题B 的什么条件 ⑴ A ：x >3 B:x 1<31 ⑵ A ：x <3 B ：x 1>31 ⑶ A ：x >y B ：yx 11< ⑷ A ：32>>y x 且 B:65>>+xy y x 且例4. 甲乙两人从A 地同时出发沿同一条路线步行到B 地，甲在前一半时间行走的速度为x ，后一半时间行走的速度为y ，乙用速度x 走完前半段路程，用速度y 走完后半段路程，若x ≠y ，试指出谁先到达B 地，并说明理由。

高中数学知识点不等式的性质及解法

不等式的性质及解法知识要点：不等式与等式有许多不同，主要包括：1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号，即a b ac bc c ac bc c ac bc c >⇒>>>=<<⎧⎨⎪⎩⎪()()()0002、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。

3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。

不等式的性质可分为：1、公理a b a b a b a b >⇔-><⇔-<⎧⎨⎩0这也是将不等式问题——比较两个实数a 、b 的大小，转化为恒等变形问题的依据。

2、基本性质：（1）对称性 a b b a >⇔<这个性质等式中也存在，即a b b a =⇔=，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。

当然若进行等价转化还会有许多变式。

（2）传递性 a b b c a c >>⇒>,这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。

（3）移项法则 a b a c b c >⇔+>+如：x x +>⇔>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。

3、运算性质：（1）加法运算：a b c d a c b d >>⇒+>+,（2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>⇒>->-⇒->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>⇒>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算a b c d a b d c a d bc>>>>⇒>>>>⇒>>0001100,,（由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c>>⇒>>0110）（5）乘方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,)（6）开方运算：a b a b n N n n n>>⇒>∈≥02(,)4、函数的单调性：（1）a b a b >⇒>33 （y x =-∞+∞3在上是增函数(,)）（2）a b a b >⇒>22 （y x =-∞+∞2在上是增函数(,)）诸如此类：a b a b y x >>⇒<=+∞00121212log log (log (,)在上是减函数)已知幂函数、指数函数、对数函数等函数的单调性可做为不等式的性质运用。

不等式性质及证明

制定经济政策
在制定经济政策的过程中，我们也需要利用不等式性质来描述经济变量之间的关系，比如货币政策、财政政策等。
05
不等式的扩展知识
不等式的几何意义
几何解释
不等式可以看作是数轴上的点的集合，满足不等式的点位于数轴上的某一侧，而不满足不等式的点位于另一侧。
几何意义的应用
通过几何图形可以直观地理解不等式的性质和证明，有助于解决一些复杂的不等式问题。
定义
反证法是通过假设结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论成立的证明方法。
描述
反证法是一种间接证明方法，它首先假设结论不成立，然后通过一系列推理和数学定理，推导出矛盾或与已知条件相矛盾的
结论，从而证明原命题成立。
例子
例如，要证明 a > b，可以假设 a ≤ b，然后推导出 a - b ≤ 0 与已知条件 a - b > 0 相矛盾，从而证明原命题成立。
不等式性质及证明
目录
• 不等式的定义与分类 • 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式的扩展知识
01
不等式的定义与分类
定义
总结词
不等式是数学中表示两个数或表达式大小关系的式子。
详细描述
不等式是用大于、小于、不等于等符号连接两个数或表达式的数学式子。它表示一个数或表达式比另一个数或表达式大或者小。
传递性
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，称为传递性。如果两个数a和b满足a>b，并且b和 c满足b>c，那么我们可以推断出a&果a>b，则a+c>b+c。
详细描述

高三数学不等式的性质不等式证明知识精讲通用版

高三数学不等式的性质、不等式证明知识精讲通用版【本讲主要内容】不等式的性质、不等式证明【知识掌握】【知识点精析】实数集及数轴间一一对应关系，数轴上任意两点所对应的实数都有大小之别（右边的点对应的实数较大），任取两实数a 、b ，a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三者中有且只有一式成立：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0。

在不等式的意义的基础上总结出的不等式的性质是我们证明不等式的理论基础，要熟练掌握。

对不等式的证明，从思想方法上，有如下四种：1. 比较法，这是直接利用不等式的意义：A ＞B ⇔A －B ＞0等等，有时为方便计，也使用其变种：⎪⎭⎪⎬⎫>>00B B A ⇔A ＞B 等等。

2. 分析法，从结论的需要出发，看条件是否能提供，如原来证明A ⇒B ，我们就由B ⇐C ⇐D ⇐…⇐A ，也有称之为“执果索因”的，只是书写时必须要注意，切不可写为：∵B ∴C ∴D …，∴A 由已知，命题成立，因为这样实际上是证明了逆命题，及原命题正确及否不相干。

3. 综合法，也有称为“执因索果”的，是由已知条件或定理出发，逐次推出结论成立。

4. 反证法，当正面证明不易奏效时，不妨考虑反证法，特别地，有“存在”、“至少”等词语的问题中，往往收到奇效。

其它还有判别式法，放缩法，函数法，换元法，有时也采用数学归纳法等。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。

要依据题设、条件的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。

在诸多方法中，最基本的方法是比较法，它的一般步骤是：作差（商）→变形→判断符号（值）。

变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述，如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。

数学中的不等式证明与推导

数学中的不等式证明与推导在数学领域中，不等式证明与推导是一项重要的技能，广泛应用于各个数学分支中。

通过证明与推导不等式，我们可以深入理解数学规律，拓展思维方式，并为解决实际问题提供定量依据。

本文将介绍不等式的基本概念、证明和推导方法，并以具体案例来说明其应用。

一、不等式的基本概念不等式是数学中常见的一个概念，用于表示两个数之间的大小关系。

常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。

例如，对于两个实数a和b，我们可以表示不等式a > b，表示a大于b。

在不等式中，除了变量外，还经常涉及到常数和函数。

常数即确定的数值，函数是一个数到另一个数的映射关系。

不等式中常用的函数有一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

二、不等式的证明方法不等式的证明方法主要分为直接证明法、间接证明法、反证法和数学归纳法等。

这里我们重点介绍直接证明法和间接证明法。

1. 直接证明法直接证明法是一种通过逻辑推理，从已知条件出发，逐步得出结论的证明方法。

在证明不等式时，我们需要根据不等式的性质和已知条件，运用数学定理和推理规则来逐步推导，直到达到所要证明的结论。

例如，我们需要证明对于任意正实数a和b，有(a+b)^2 ≥ 4ab。

可以按照以下步骤进行证明：（1）展开(a+b)^2，得到a^2 + 2ab + b^2；（2）根据二次项的非负性质，得到a^2 + 2ab + b^2 ≥ 2ab；（3）进一步化简，得到a^2 + 2ab + b^2 ≥ 2√(ab) * 2√(ab) = 4ab。

通过以上步骤的逐步推导，我们证明了(a+b)^2 ≥ 4ab。

2. 间接证明法间接证明法是一种通过对假设的否定进行推理，推导出矛盾结论来证明原命题的方法。

在证明不等式时，如果直接证明较为困难，我们可以采用间接证明法。

例如，我们需要证明对于任意正实数a，有(a+1/a) ≥ 2。

可以按照以下步骤进行证明：（1）假设(a+1/a) < 2；（2）根据假设，可得a^2 + 1 < 2a；（3）进一步化简，得到a^2 - 2a + 1 < 0；（4）根据二次函数的性质，得出(a-1)^2 < 0；（5）然而，根据实数的性质，一个数的平方不可能小于0，与假设矛盾；（6）因此，假设错误，可得出(a+1/a) ≥ 2。

高三数学不等式知识点

高三数学不等式知识点在高三数学学习中，不等式是一个重要的知识点。

不等式是数学中比较大小关系的一种表示方式，通过不等式的学习，我们可以进一步了解数的大小关系，并在解决实际问题中运用不等式进行推理和论证。

下面将介绍高三数学不等式的几个重要知识点。

一、基本概念不等式是数学中用不等号表示的大小关系。

常见的不等号有大于号（＞）、小于号（＜）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）等。

1.1 不等式的解集对于一个不等式，使得不等式成立的所有实数的集合称为不等式的解集。

解集可以用一组数的区间表示。

例如，对于不等式x ＞ 2，其解集可以表示为(2，∞)。

1.2 不等式的性质不等式具有传递性和加减乘除性质。

传递性：如果a ＞ b，且b ＞ c，则a ＞ c。

加减乘除性质：对于不等式a ＞ b，c＞0，有ac ＞ bc；对于c ＜0，有ac ＜ bc。

二、不等式的解法在解不等式时，我们需要根据不等式的特点选择相应的解法。

以下介绍几种常见的不等式解法。

2.1 加法法则和乘法法则加法法则：如果在不等式的两边同时加上一个相同的数，不等式的方向不变。

乘法法则：如果在不等式的两边同时乘上一个正数，不等式的方向不变；如果乘上一个负数，不等式的方向反向。

2.2 一元一次不等式一元一次不等式指的是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式。

解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围。

我们可以通过类似方程求解的方法，将未知数从不等式中解出。

例如，对于不等式2x ＞4，我们可以将其转化为x＞2的形式，表示解集为(2，∞)。

2.3 二次不等式二次不等式指的是含有一个未知数的二次多项式与0之间的大小关系。

解二次不等式的关键是将二次不等式转化为一元一次不等式。

我们需要判断二次不等式的首项系数和二次项系数的正负情况，然后确定解集的范围。

例如，对于不等式x^2 - 3x ＞ 2，我们可以将其转化为x^2 - 3x - 2 ＞ 0的形式，并通过分解或配方法将二次不等式转化为一元一次不等式。

高中数学中的不等式性质

高中数学中的不等式性质不等式在高中数学中占据着重要的地位，它不仅是解决数学问题的有效工具，还在其他科学领域具有广泛应用。

在学习不等式性质时，我们需要了解不等式的基本定义和性质，理解不等式的运算规则，并学习如何解决与不等式相关的问题。

下面将详细讨论高中数学中的不等式性质。

一、不等式定义不等式是数学中的一种大小关系表达式，用于描述两个数或多个数的大小关系。

常见的不等式符号有“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等。

不等式在现实生活中有很多应用，比如描述温度、距离、价格等的大小关系。

二、不等式的性质1. 前述性质对于任意实数a、b和c，不等式具有以下性质：（1）反身性：a ≥ a，a ≤ a是成立的。

（2）对称性：若a ≥ b，则b ≤ a；若a > b，则b < a。

（3）传递性：若a > b且b > c，则a > c。

2. 加减性在不等式中，如果两边同时加上（或减去）相同的数或同一个正数，不等式的方向不变。

举个例子：若a > b，则a + c > b + c，其中c为任意实数。

3. 乘除性在不等式中，如果两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的方向不变；如果两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等式的方向改变。

举个例子：若a > b，且c > 0，则ac > bc；若a > b，且c < 0，则ac < bc。

需要注意的是，当乘以一个负数时，不等式的不等号方向会发生改变。

4. 平方性在不等式中，如果两边同时取平方，不等式的方向可能发生改变。

举个例子：若a > b且a > 0，则a^2 > b^2；但如果a < 0，则a^2 < b^2。

5. 初等不等式基于加减性、乘除性和平方性，我们可以通过变换不等式，将其化简为简洁的形式。

不等式除法时需要注意分母不能为零。

认识不等式及其性质

认识不等式及其性质不等式在数学中是一个重要的概念，它用于描述数值之间的大小关系。

通过学习不等式，我们可以更深入地理解数学的性质和规律。

本文将介绍不等式的基本概念、性质以及与之相关的重要定理和推论。

一、不等式的基本概念1. 定义不等式是用不等号连接的数学表达式，表示两个数值的大小关系。

常见的不等号有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）。

2. 不等式的解集一个不等式可以有无穷多个值满足，这些满足不等式的值构成了不等式的解集。

解集可以用数轴上的线段表示，也可以用集合表示。

二、不等式的性质1. 传递性不等式具有传递性，即如果 a>b 且 b>c，则有 a>c。

这个性质在解不等式时非常有用。

2. 加法性对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a>b，则 a+c>b+c。

3. 减法性对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a>b，则 a-c>b-c。

4. 乘法性1）对于任意的实数 a、b 和正数 c，如果 a>b 且 c>0，则 ac>bc。

2）对于任意的实数 a、b 和负数 c，如果 a>b 且 c<0，则 ac<bc。

5. 除法性对于任意的实数 a、b 和正数 c，如果 a>b 且 c>0，则 a/c>b/c。

三、一元一次不等式一元一次不等式是一个最简单的不等式形式，形如 ax+b>0，其中 a 和 b 是已知常数，x 是未知数。

1. 解一元一次不等式的基本步骤对于一元一次不等式 ax+b>0，我们可以按照以下步骤解决：1）如果 a>0，则不等式解集为 x>-b/a。

2）如果 a<0，则不等式解集为 x<-b/a。

2. 一元一次不等式的规范形式规范形式是指将不等式整理成 a>0 或 a<0 的形式。

通过规范形式，我们可以更方便地求解不等式。

不等式基本性质与证明

第一讲不等式的基本性质与证明一、知识点分析不等式概念：我们把含有不等号的式子叫做不等式。

不等式的基本性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a ±>±⇒>（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向相加性）（5）bc ac c b a >⇒>>0,.，bc ac c b a <⇒<>0,（6）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向相乘性）（7）a ﹥b ，ab ﹥0，a 1⇒﹤b1(倒数变向性) （8）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则），)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）注：1、无同向相减性和同向相除性，且同向相乘性须正数2、性质（8）中，若n 为正奇数，则无须b a ,都大于零两个实数大小的比较：作差法 b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0作商法若b a ,﹥0，则b a ﹥1a ⇔﹥b ；b a ﹤1a ⇔﹤b ；ba=1a ⇔=b不等式的证明方法： ①作差法②作商法③综合法：由因到果 ④分析法：执果索因 ⑤放缩法：常见类型有⑴nn n n n n n n n111)1(11)1(11112--=-<<+=+- （放缩程度较大）;⑵)1111(2111122+--=-<n n n n （放缩程度较小）;⑶1(212221--=-+<=n n n n nn⑥数学归纳法：常用于数列类的不等式 ⑦利用函数单调性法二、例题精选例1.⑴比较a 与b 的大小：a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3⑵设21x x <，比较1211x x -+与2221x x -+的大小⑶设0,0>>b a ，试比较a b b a b a b a 与的大小例2．⑴已知y x x yx y x y x ---≤≤≤≤5,,2,51,322求的取值范围 ⑵已知y x y x y -≤-≤≤+≤2,51,3x 2求的取值范围例3. 判断下列命题A 是命题B 的什么条件 ⑴ A ：x >3 B:x 1<31 ⑵ A ：x <3 B ：x 1>31 ⑶ A ：x >y B ：yx 11< ⑷ A ：32>>y x 且 B:65>>+xy y x 且例4. 甲乙两人从A 地同时出发沿同一条路线步行到B 地，甲在前一半时间行走的速度为x ，后一半时间行走的速度为y ，乙用速度x 走完前半段路程，用速度y 走完后半段路程，若x ≠y ，试指出谁先到达B 地，并说明理由。

不等式基本性质和证明

第一讲不等式的基本性质与证明一、知识点分析不等式概念：我们把含有不等号的式子叫做不等式。

不等式的基本性质：（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a ±>±⇒>（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向相加性）（5）bc ac c b a >⇒>>0,.，bc ac c b a <⇒<>0,（6）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向相乘性）（7）a ﹥b ，ab ﹥0，a 1⇒﹤b1(倒数变向性) （8）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则），)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）注：1、无同向相减性和同向相除性，且同向相乘性须正数2、性质（8）中，若n 为正奇数，则无须b a ,都大于零两个实数大小的比较：作差法 b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0作商法若b a ,﹥0，则b a ﹥1a ⇔﹥b ；b a ﹤1a ⇔﹤b ；ba=1a ⇔=b不等式的证明方法： ①作差法②作商法③综合法：由因到果 ④分析法：执果索因 ⑤放缩法：常见类型有⑴nn n n n n n n n111)1(11)1(11112--=-<<+=+- （放缩程度较大）;⑵)1111(2111122+--=-<n n n n （放缩程度较小）;⑶1(212221--=-+<=n n n n nn⑥数学归纳法：常用于数列类的不等式 ⑦利用函数单调性法二、例题精选例1.⑴比较a 与b 的大小：a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3⑵设21x x <，比较1211x x -+与2221x x -+的大小⑶设0,0>>b a ，试比较a b b a b a b a 与的大小例2．⑴已知y x x yx y x y x ---≤≤≤≤5,,2,51,322求的取值范围 ⑵已知y x y x y -≤-≤≤+≤2,51,3x 2求的取值范围例3. 判断下列命题A 是命题B 的什么条件 ⑴ A ：x >3 B:x 1<31 ⑵ A ：x <3 B ：x 1>31 ⑶ A ：x >y B ：yx 11< ⑷ A ：32>>y x 且 B:65>>+xy y x 且例4. 甲乙两人从A 地同时出发沿同一条路线步行到B 地，甲在前一半时间行走的速度为x ，后一半时间行走的速度为y ，乙用速度x 走完前半段路程，用速度y 走完后半段路程，若x ≠y ，试指出谁先到达B 地，并说明理由。

高三数学不等式的性知识点

高三数学不等式的性知识点在高中数学的学习过程中，不等式是一个非常重要的知识点。

特别是在高三这一年，不等式是数学考试中常常出现的题型之一。

掌握不等式的性质和解题技巧对于高考成绩的提升起着关键作用。

本文将重点介绍高三数学不等式的性知识点，以帮助大家更好地理解和应用这一知识。

一、不等式的基本性质不等式是比较两个数的大小关系的一种数学表达式。

不等式的基本性质包括：1.永真性：对于任何实数a，a≤a永真成立；对于任何实数a和b，若a≤b且b≤a，则a=b；2.传递性：对于任何实数a、b和c，若a≤b且b≤c，则a≤c；3.等式性：若a=b，则对于任意实数c，有a+c=b+c；4.加法性：对于任意实数a、b和c，若a≤b，则a+c≤b+c；5.乘法性：对于任意实数a、b和c，若a≤b且c>0，则ac≤bc；若a≤b且c<0，则ac≥bc。

二、不等式的运算法则不等式的运算法则主要包括加法法则和乘法法则。

1.加法法则：若对于实数a、b和c，有a≤b，则a+c≤b+c成立；2.乘法法则：若对于实数a、b和c，有a≤b且c>0，则ac≤bc成立；若对于实数a、b和c，有a≤b且c<0，则ac≥bc成立。

三、不等式的解法不等式的解法主要有图像法、代数法和绝对值法等。

1.图像法：可以通过绘制函数图像或者数轴上的点来解不等式，例如对于不等式x-3>0，我们可以将其转化为x>3，并在数轴上标出x>3的区间。

2.代数法：利用代数运算的方法解不等式，例如对于不等式x^2-4<0，可以将其化简为(x-2)(x+2)<0，再根据乘积为负数的性质求解得到-2<x<2。

3.绝对值法：对于带有绝对值的不等式，可以进行绝对值的分情况讨论，例如对于不等式|2x-1|<3，可以分别讨论2x-1>0和2x-1<0两种情况，然后解得-1<x<2和x>\frac{2}{3}。

高三数学不等式的性质、不等式证明知识精讲通用版

高三数学不等式的性质、不等式证明知识精讲通用版【本讲主要内容】不等式的性质、不等式证明【知识掌握】【知识点精析】实数集与数轴间一一对应关系，数轴上任意两点所对应的实数都有大小之别（右边的点对应的实数较大），任取两实数a 、b ，a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三者中有且只有一式成立：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0。

在不等式的意义的基础上总结出的不等式的性质是我们证明不等式的理论基础，要熟练掌握。

对不等式的证明，从思想方法上，有如下四种：1. 比较法，这是直接利用不等式的意义：A ＞B ⇔A －B ＞0等等，有时为方便计，也使用其变种：⎪⎭⎪⎬⎫>>00B B A ⇔A ＞B 等等。

2. 分析法，从结论的需要出发，看条件是否能提供，如原来证明A ⇒B ，我们就由B ⇐C ⇐D ⇐…⇐A ，也有称之为“执果索因”的，只是书写时必须要注意，切不可写为：∵B ∴C ∴D …，∴A 由已知，命题成立，因为这样实际上是证明了逆命题，与原命题正确与否不相干。

3. 综合法，也有称为“执因索果”的，是由已知条件或定理出发，逐次推出结论成立。

4. 反证法，当正面证明不易奏效时，不妨考虑反证法，特别地，有“存在”、“至少”等词语的问题中，往往收到奇效。

其它还有判别式法，放缩法，函数法，换元法，有时也采用数学归纳法等。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。

要依据题设、条件的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。

在诸多方法中，最基本的方法是比较法，它的一般步骤是：作差（商）→变形→判断符号（值）。

变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述，如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。

[高中数学]10A-03-学生-不等式基本性质及证明

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