2.2.1椭圆及其方程【26】【27】【28】
2.2.1椭圆及其标准方程
③定长大于|F1F2|
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小结(2) 若|MF1|+ |MF2|=2a（2a是常数） 椭圆 ； 当2a>|F F |时，点M的轨迹是________
1 2
线段F1F 2 当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是________ ； 不存在 当2a<|F F |时，点M的轨迹是________.
尝试探究、形成概念
动手实验(亲身体验)
椭圆画法演示
改变两个定点的距离，再作图，多画几个
转变观念
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尝试探究、形成概念
圆的定义
圆
O
类比 P 椭圆
椭圆的定义
M F1 F2
圆的定义： 平面内与一个定点 的距离等于常数(大于0) 的点的轨迹叫作圆. 这个定点叫做圆的圆心, 定长叫做圆的半径.
P
y
M (x,y)
b
O
a c
F2 (c,0)
x
那么①式就是
(a>b>0)
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总体印象： 对称、简洁，“像”直线方程的截距式
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2、椭圆的标准方程
(1)焦 点在x 轴上
这里的“标准”指的是中心在原点，对称轴是坐标轴
焦点坐标
y
M
a b c
椭圆的定义： 平面内与两个定点 F , F 的 距离和等于常数( 大于 F F )的 点的轨迹叫作椭圆。
1 2
1
2
两个问题： ①为什么要强调在平面内？ ②为什么要强调绳长大于两焦点的距离？
2.2.1 椭圆及其标准方程(新)
F1 O y
M
F2 x
的坐标分别是(c,0)、(c,0) .
由椭圆的定义得
因为
移项，再平方
两边再平方，得
整理得
y
M F2
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F 1
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
x2 y2 ∴所求的点的轨迹方程为 1( y 0) 25 16
2.椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），则椭 圆的标准方程是_________.
2. 改变两点之间的距离，使其与绳长相等， 画出的图形还是椭圆吗？
3．绳长能小于两点之间的距离吗？
思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和
等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？
(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆.
(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段. (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.
9 16 m 2
解题感悟：方程表示椭圆时要看清 楚限制条件，焦点在哪个轴上。
2 2
思考：方程 Ax By 1表示椭圆的充要条件是 ____, 表示焦点在 y轴上的充要条件是 ______
【变式练习】
已知椭圆经过两点 标准方程. 解：设椭圆的标准方程为 mx ny 1(m 0, n 0, m n),
2.2.1 椭圆及其标准方程
2.2 椭圆2．2.1椭圆及其标准方程[提出问题]取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？提示：不是线段，椭圆．[导入新知]椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，即|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．[注意]椭圆的定义要特别注意：(1)若2a＞2c，则点P的轨迹是椭圆(点P是动点)；(2)若2a＝2c，则点P的轨迹是线段F1F2；(3)若2a＜2c，则点P的轨迹不表示任何图形．[提出问题]在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：轨迹方程为x225＋y29＝1.问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：y225＋x29＝1.[导入新知][注意]1．标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．2．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．＞b＞0)焦点在x轴上，椭圆x2b2轴上，分母下谁大焦点就在谁的坐标轴上，这叫“大小定焦点”．[例1]当3＜k＜9时，指出方程x9－k＋yk－3＝1表示的曲线．[解]∵3＜k＜9，∴9－k＞0，k－3＞0.(1)当9－k＞k－3，即3＜k＜6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)当9－k＝k－3，即k＝6时，方程表示圆x2＋y2＝3；(3)当9－k＜k－3，即6＜k＜9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．[类题通法]根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y 轴上．[活学活用]已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．解析：由题意得m－2＞10－m＞0，解得6＜m＜10.又a2＝m－2，b2＝10－m，则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，解得m＝8.答案：8[例2](1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．[解](1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 将点(5,0)代入上式解得a ＝5，又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. [类题通法]确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点． 解：(1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2＜b 2，与题设中a ＞b ＞0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎨⎧ 4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， 所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.[例3] 已知P 为椭圆x 12＋y 3＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.①由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝43，即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4.∴S 12V F PF ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3. [类题通法](1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．[活学活用]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点，求△ABF 2的周长．解：∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，则△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ，∴△ABF 2的周长为4a .2.定义法求解轨迹方程定义法是求轨迹方程的一种常用方法．求解时，若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．下面利用椭圆的定义求轨迹方程．1．求三角形顶点的轨迹方程[例] 已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．[解] 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4，0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，且y ≠0)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． [类题通法]利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．[活学活用]1．若本题中“且△ABC 周长等于18”变为“且△ABC 周长等于24”，试求此时顶点A 的轨迹方程．解：由题可知，此时2a ＝24－8＝16，则a ＝8，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝48，64482．求动圆圆心的轨迹方程[例] 已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8＞|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1. [类题通法]巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA |＋|MB |＝8，而且8＞|AB |＝6，从而判断动点M 的轨迹是椭圆．[活学活用]2．已知动圆M 和定圆C 1：x 2＋(y －3)2＝64相内切，并且外切于定圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝4，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，圆心M (x ，y )，两定圆圆心C 1(0,3)，C 2(0，－3)，半径r 1＝8，r 2＝2.则|MC 1|＝8－r ，|MC 2|＝r ＋2.故|MC 1|＋|MC 2|＝(8－r )＋(r ＋2)＝10.又|C 1C 2|＝6，则动圆圆心M 的轨迹是椭圆，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 且焦点为C 1(0,3)，C 2(0，－3)，2a ＝10，即a ＝5，c ＝3，则b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.2516。
高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程试题 新人教A版选修21
2.2.1椭圆及其标准方程一、选择题1．【题文】已知椭圆221102x y m m +=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．82．【题文】已知椭圆221416x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．73．【题文】设()14,0F -，()24,0F 为定点，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段4．【题文】已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长l 是 （ ）A ．．6 C ．．125．【题文】如果椭圆2218125x y +=上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的长为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．326．【题文】已知椭圆()22:1,2,04x C y A +=，点P 在椭圆C 上，且OP PA ⊥，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为（ ）A ．2,33⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭ B ．2,33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．2,33⎛-± ⎝⎭D ．233⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭7．【题文】若△ABC 顶点B ，C 的坐标分别为()4,0-，()4,0，AC ，AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为 ( )A.()221010036x y y +=≠ B.()221010084x y y +=≠ C.()221010036x y x +=≠ D.()221010084x y x +=≠8．【题文】已知12,F F 为椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，点P 在C 上，123PF PF =，则12cos F PF ∠等于 （ ） A ．34 B ．13- C ．35- D ．45二、填空题9．【题文】椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为 .10．【题文】已知方程2213+2x y k k+=-表示椭圆，则k 的取值范围为 .11．【题文】椭圆221259x y +=的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆 (221x y +-=上的动点，则1PM PF +的最大值是 .三、解答题12．【题文】已知椭圆的中心在原点，两焦点1F ，2F 在x 轴上，且过点()4,3A -．若12F A F A ⊥，求椭圆的标准方程．13．【题文】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点()2,0和点()0,1；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为()0,10P -，P 到距它较近的一个焦点的距 离等于2.14．【题文】已知定点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆C ：22142x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上的一个动点，线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，求动点M 的轨迹方程．2.2.1椭圆及其标准方程 参考答案及解析1. 【答案】D【解析】因为焦点在y 轴上，所以2100m m ->->，即610m <<，又 ()()22102m m ---=，所以8m =，故选D. 考点：椭圆的标准方程． 【题型】选择题 【难度】一般 2. 【答案】B【解析】设所求距离为d ，由题意得4a =．根据椭圆的定义得25253a d d a =+⇒=-=，故选B ．考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】D【解析】动点M 满足128MF MF +=，128F F =，故动点M 的轨迹是线段12F F .考点：椭圆的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 4. 【答案】C【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，由椭圆的方程知a =ABC 的周长()()4l AB AC BC AB BF AC CF a =++=+++==．考点：椭圆的定义及其应用． 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】C【解析】∵椭圆方程为2218125x y +=，∴9a =，根据椭圆的定义得2=18216MF -=， 而ON 是△12MF F 的中位线，∴216822MF ON ===，故选C ． 考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A【解析】设(),P x y ，由OP PA ⊥，得OP PA ⊥，所以()()()2,2,20OP PA x y x y x x y ⋅=⋅--=--=，与椭圆方程2214x y +=联立，解得23x =（2x =舍去），此时3y =±，即点P 的坐标为2,33⎛± ⎝⎭，故选A.考点：椭圆上点的坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】B【解析】设AC 、AB 边上的中线分别为BD 、CE ，∵23BG BD =，23CG CE =， ∴()22302033BG CG BD CE +=+=⨯=（定值）. 因此，重心G 的轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，220a =，4c =，∴10a =，b =，可得椭圆的方程为22110084x y +=.∵当G 点在x 轴上时，A 、B 、C 三点共线，不能构成△ABC ，∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为()221010084x y y +=≠，故选B. 考点：椭圆的定义及标准方程. 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】B【解析】由题意可知，12F F ==12222344PF PF PF PF PF +=+==，211,3PF PF ∴==，(22222212121212311cos 22313PF PF F F F PF PF PF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯，故选B ．考点：椭圆的定义，余弦定理． 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】2.5【解析】由椭圆方程可知22216,7,9,3a b c c ==∴=∴=，右焦点为()3,0，将2x =代入椭圆方程得2214y =，所以两点间距离为2.5d ==. 考点：椭圆的定义.【题型】填空题 【难度】一般10. 【答案】132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且【解析】由椭圆的定义知30,20,32,k k k k +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且. 考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】17【解析】圆(221x y +-=的圆心为(0,C ，半径为1.由椭圆方程221259x y +=可知2225,9a b ==，所以5a =，左焦点为()14,0F -，右焦点为()24,0F .122221010PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+=，()()11maxmax 117PM PF PC PF +=++=.考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】较难12. 【答案】2214015x y += 【解析】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦点()1,0F c -，()2,0F c ．∵12F A F A ⊥，∴120F A F A ⋅=，而()14,3FA c =-+， ()24,3F A c =--， ∴()()24430c c -+--+=，∴225c =，即5c =.∴()15,0F -，()25,0F ．∵122a AF AF =+==∴a=，∴(22222515b a c =-=-=.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y +=.考点：椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般13. 【答案】(1)2214x y +=(2)22110036y x += 【解析】(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为()222210x y a b a b+=>>. ∵椭圆经过点()2,0和()0,1，∴224,1a b ==，故所求椭圆的标准方程为2214x y +=. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，∵()0,10P -在椭圆上，∴10a =.又∵P 到距它较近的一个焦点的距离等于2， ∴()102c ---=，故8c =，∴22236b a c =-=.∴所求椭圆的标准方程是22110036y x +=. 考点：椭圆的定义，椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】22413y x += 【解析】∵线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，∴MB MA =，又∵2MB MC +=， ∴2MA MC AC +=>，点M 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆， 此时122,2a c ==，∴1,a =234b =, ∴所求的点M 的轨迹方程是22413y x +=. 考点：椭圆的定义及动点的轨迹方程. 【题型】解答题 【难度】一般。
课时作业27：2.2.1 椭圆及其标准方程
§2.2 椭 圆2.2.1 椭圆及其标准方程1．已知A (－5,0)，B (5,0)．动点C 满足|AC |＋|BC |＝10，则点C 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．点答案 C解析 由|AC |＋|BC |＝10＝|AB |，知点C 的轨迹是线段AB .2．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 的值为( )A ．9B ．4C ．3D ．2答案 C解析 由题意可知25－m 2＝16，解得m ＝3(舍去负值)．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为() A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1答案 D解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝9，0＋9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝18，b 2＝9，故椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.4．方程x 24＋m ＋y 22－m ＝1表示椭圆的必要不充分条件是( )A ．m ∈(－1,2)B ．m ∈(－4,2)C ．m ∈(－4，－1)∪(－1,2)D ．m ∈(－1，＋∞)答案 B解析 由方程x 24＋m ＋y 22－m ＝1表示椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋m >0，2－m >0，4＋m ≠2－m ，解得m ∈(－4，－1)∪(－1,2)． 故－4＜m ＜2是方程x 24＋m ＋y 22－m＝1表示椭圆的必要不充分条件． 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线答案 B解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意，知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|， 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义，知P 点的轨迹是椭圆．6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________________．答案 y 216＋x 2＝1 解析 由已知2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1. 7．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1，F 2的连线夹角为直角，则△PF 1F 2的面积为________．答案 24解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝100， ② ①2－②得2|PF 1||PF 2|＝96.所以|PF 1||PF 2|＝48，所以12PF F S △＝12|PF 1||PF 2|＝24. 8．已知方程(k －1)x 2＋3y 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是________． 答案 (4，＋∞)解析 原方程可化为x 21k －1＋y 213＝1， 依题意知⎩⎨⎧ 1k －1>0，1k －1<13，解得k >4.9．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解 (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. (2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1. 10．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，求△F 1PF 2的面积．解 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴△PF 1F 2是直角三角形，且∠F 1PF 2＝90°，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.11．动点P (x ，y )的坐标满足(x －1)2＋y 2＋(x ＋1)2＋y 2＝6，则动点P 的轨迹方程为( ) A.x 29＋y 2＝1 B.y 29＋x 2＝1C.y 29＋x 28＝1 D.x 29＋y 28＝1 答案 D 解析 依题意知点P 到两点(1,0)，(－1,0)的距离之和为6，则点P 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆且c ＝1,2a ＝6，∴a ＝3，b 2＝8，∴点P 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1. 12．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10，又∵|MF |＝2，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4. 13．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为________．答案 x 28＋y 26＝1 解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1. 14．已知椭圆x 212＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1和F 2，点P 在椭圆上，若PF 1的中点在y 轴上，则∠F 1PF 2的余弦值为________．答案 17解析 由椭圆方程知a ＝23，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝3.所以F 1(－3,0)，F 2(3,0)．因为线段PF 1的中点在y 轴上，所以P 点横坐标为x P ＝3.所以P 点纵坐标y P ＝±32， 且PF 2⊥x 轴．所以|PF 2|＝32，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝732. 在Rt △PF 2F 1中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 2||PF 1|＝17.15．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．答案 6＋2 6－ 2解析 椭圆方程化为x 29＋y 25＝1， 设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)，∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)，∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋ 2.16．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解 两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ，∴|MO 1|＋|MO 2|＝10.而|O 1O 2|＝6<10，故由椭圆的定义知，M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.。
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
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第二章 圆锥曲线与方程
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2．请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部， 并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是 什么曲线，并思考下面的问题：
(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定 的还是运动的？
(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系？
A．7 倍
B．5 倍
C．4 倍
D．3 倍
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第二章 圆锥曲线与方程
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解析：
(1)如图所示，由已知：a＝5， △AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.
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第二章 圆锥曲线与方程
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(2)不妨设 F1(－3,0)，F2(3,0)， 由条件知 P3，± 23， 即|PF2|＝ 23，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 3， 即|PF1|＝7 23， 所以|PF1|＝7|PF2|.故选 A.
解析： 由已知 2a＝8,2c＝2 15， ∴a＝4，c＝ 15， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为1y62 ＋x2＝1. 答案： 1y62 ＋x2＝1
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第二章 圆锥曲线与方程
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4．已知椭圆88x12＋3y62 ＝1 上一点 M 的纵坐标为 2. (1)求 M 的横坐标； (2)求过 M 且与x92＋y42＝1 共焦点的椭圆的方程． 解析： (1)把 M 的纵坐标代入88x12＋3y62 ＝1 得88x12＋346＝1， 即 x2＝9. ∴x＝±3.即 M 的横坐标为 3 或－3.
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且 A≠B)，依题意可得31A2A＋＋4BB＝＝11，， ⇒AB＝＝11515. ，
故所求的椭圆方程为1x52 ＋y52＝1.
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题型三 求经过两点的椭圆的标准方程 例3 求经过两点P1 13，13 ，P2 0，－12 的椭圆的标准方 程．
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名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
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题型四 用定义求椭圆的标准方程 例4 已知△ABC的一边BC长为8，周长为20，求顶点A 的轨迹方程． 分析 注意顶点A到B和C的距离之和为定值，故可考虑 利用椭圆的定义来求其方程．
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第二章 §2.2 2.2.1
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解法2 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，A≠B)．
依题意，得A132＋B132＝1， B－122＝1，
⇒AB＝ ＝54.，
故所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1.
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分析1 因为椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴 和y轴两种情况分别求解．
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第二章 §2.2 2.2.1
§2.2.1 椭圆及其标准方程
§2.2.1 椭圆及其标准方程一、教学目标1.知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．2.能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力．二、重点、难点1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．2．难点：椭圆的标准方程的推导．三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．四、教学过程(一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．问题2：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……认识椭圆（幻灯片）在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：①原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要(a＞b＞0)．关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略．示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这里c2=a2-b2．2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)F1(-c，0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；F1(-c，0)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．，，(三)例题与练习例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为∵ 2a ＝10，2c ＝8，∴ a ＝5，c ＝4．∴ b2=a2－c2=52－42=9．所以所求椭圆的标准方程为(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，又c=2，∴ b2=a2－c2＝10－4=6．所以所求椭圆的标准方程为练习:求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x 轴上，且a ＝4，c ＝2； (2)经过点A (0,2)和B (12，3)． 【解】 (1)a 2＝16，c 2＝4，∴b 2＝16－4＝12且焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. (2)设所求椭圆的标准方程为 Mx 2＋Ny 2＝1(M ＞0，N ＞0，M ≠N )．∵椭圆经过A (0,2)和B (12，3)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧M ·0＋N ·4＝1M ·14＋N ·3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ M ＝1N ＝14. ∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. (四)小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：F1(-c ，0)，F2(c ，0)．F1(0，-c)，F2(0，c)．3.讨论了求椭圆标准方程的方法：注意：求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点应在所得方程后注明限制条件。
2.2.1 椭圆及其标准方程
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要点三 与椭圆有关的轨迹问题
例3 解
2.2.1 椭圆及其标准方程
已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于 以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为
18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程． y轴，建立直角坐标系xOy.如图所示．
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2.2.1 椭圆及其标准方程
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． ∴2a＝10，2c＝|AB|＝6. ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
x2 y2 ∴点 P 的轨迹方程为 ＋ ＝1. 25 16
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2.2.1 椭圆及其标准方程
1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝ 6，则动点M的轨迹是 ( )
A．椭圆
答案 解析 D
B．直线
C．圆
D．线段
∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段．
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预习导学 高中数学 · 选修2-1· 人教A版
2.2.1 椭圆及其标准方程
2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方 程
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2.2.1 椭圆及其标准方程
[学习目标] 1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过 程，椭圆标准方程的推导与化简过程．
2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
2.2.1 椭圆及其标准方程 (共29张PPT)
• 这两个定点叫做椭圆的焦点，
M
• 两焦点的距离叫做焦距．
F1
F2
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问：能否由此得到：到两个定点的距离之和 等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？
说明：在平面上到两个定点F1， F2的距 离之和等于定值2a的点的轨迹为：
当2a＞∣F1F2∣=2c ，轨迹为：椭圆 当2a＝ ∣F1F2∣=2c，轨迹为：线段 当2a＜ ∣F1F2∣=2c，轨迹为：不存在
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反思：
结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆？它应该包含几个要素？
（1）在平面内
（2）到两定点F1，F2的距离之和等于定长2a
（3）定长2a﹥ |F1F2|
M
F1
F2
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1.椭圆的定义
• 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
y2 b2
1(a b 0)
这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的
焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这
2里019c/121/=1 a2-b2．
13
4．椭圆标准方程分析
我们把方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
叫做椭圆的标准方程，它表示
y M (x,y)
答 案：(1) x2 y2 1 16
② a 4, c 15，焦点在Y轴上； (2) y2 x2 1
16
③a+b=10，c 2 5 。
(3) x2 y2 1或 y2 x2 1
36 16
36 16
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2.2.1椭圆及其标准方程
2.2.1椭圆及其标准方程一 、 自主学习与合作探究（一）椭圆的定义1、[动动手]：结合教材38页“探究”，动手画一画。
2、[问题]：①对比两条曲线，分别说出移动的笔尖满足的几何条件。
②能否说，椭圆为平面上一动点到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹呢？为什么？3、[讨论]：①平面上一动点到两个定点的距离之和等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？②平面上一动点到两个定点的距离之和小于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？4、[概括归纳] 椭圆的定义：（二）椭圆的标准方程1、[问题] ① 你能说出求轨迹方程的一般步骤吗？②观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？2、[动动手]：根据椭圆定义完成标准方程的推导过程。
【注意】问题1： 怎样化简方程22)(y c x +++a y c x 2)(22=+-分组讨论： 对a ²－c ² 该如何处理？它有几何意义吗？画图说明。
问题２： 如果焦点F 1，F 2在y 轴上，坐标分别为（０，－c ）（０，c ），a ，b 的意义同上，那么椭圆的方程是什么？它和焦点在x 轴上的椭圆方程有什么区别？3、[归纳总结] 椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴上：（2）焦点在y 轴上：(三)、 基础反馈---------判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距.(1) . 焦点在 轴上，焦点坐标为 ，焦距为 .（2） . 焦点在 轴上，焦点坐标为 ，焦距为 .(3) . 焦点在 轴上，焦点坐标为 ，焦距为 .22134x y +=22341x y +=22416x y +=二、典例解析例1 已知椭圆两焦点的坐标分别是()()0,2,0,2-，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,25，求它的标准方程.变式1、 已知椭圆的两个焦点分别是1F (0,4)-、2F (0,4),且经过点P 点，求椭圆的标准方程.变式2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)4,1,a b ==焦点在x 轴上；（2）4,a c ==焦点在y 轴上；(3) 10,a b c +==.三．小结： （1）知识小结：（2）数学思想方法：四、达标练习1．到两定点F 1（-2，0）和Ｆ2（2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是（ ） Ａ．椭圆 Ｂ．线段 Ｃ．圆 Ｄ．以上都不对2．如果椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6, 那么点P 到另一个焦点F 2的距离是（ ）Ａ．13 Ｂ．14 Ｃ．15 Ｄ．163．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和︱PA ︱+︱PB ︱=2a （a ＞0，且a 是常数）； 命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4．椭圆1163222=+y x 的焦距等于（ ） A.123 Ｂ．8 C.6 D.45. 椭圆两焦点的坐标分别是（0，8）（0,－8）且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆的方程是（ ）A.11003622=+y x Ｂ．133640022=+y x Ｃ．13610022=+y x Ｄ．140033622=+y x6. 若方程 表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 .1162522=++-my m x。
2.2.1 椭圆及其标准方程
2.2.1 椭圆及其标准方程1.已知椭圆+=1的一个焦点为(2,0),则椭圆的方程是( D )(A)+=1 (B)+=1(C)x2+=1 (D)+=1解析:由题意知,椭圆焦点在x轴上,且c=2,所以a2=2+4=6,因此椭圆方程为+=1,故选D.2.设F1,F2是椭圆+=1的焦点,P是椭圆上的点,则△PF1F2的周长是( B )(A)16 (B)18 (C)20 (D)不确定解析:由方程+=1知a=5,b=3,所以c=4,所以|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=8,所以△PF1F2的周长为18.故选B.3.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分且必要条件(D)既不充分又不必要条件解析:利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),所以甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的. 这是因为:仅当2a>|AB|时,P点轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹,所以甲不是乙的充分条件. 综上,甲是乙的必要不充分条件.故选B.4.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(,-4)和Q(-,3),则此椭圆的方程是( A )(A)+x2=1 (B)+y2=1(C)+y2=1或x2+=1 (D)以上都不对解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得所以椭圆方程为x2+=1.故选A.5.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=30,则|AB|等于( C )(A)16 (B)18 (C)22 (D)20解析:由椭圆的定义得两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=52,又|F2A|+|F2B|=30,所以|AB|+30=52,所以|AB|=22.故选C.6.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( A )(A)圆(B)椭圆(C)抛物线(D)无法确定解析:由题意得|PF1|+|PF2|=2a(a为大于零的常数,且2a>|F1F2|),|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a.所以动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.故选A.7.已知椭圆x2sin α-y2cos α=1(0≤α<2π)的焦点在y轴上,则α的取值范围是( D )(A)(π,π) (B)(,π)(C)(,π) (D)(,π)解析:椭圆x2sin α-y2cos α=1(0≤α<2π)化为标准方程,得+=1,因为它的焦点在y轴上,所以所以0<-cos α<sin α,因为0≤α<2π,所以<α<.故选D.8.已知P是椭圆+=1(0<n<5)上除顶点外的一点,F1是椭圆的左焦点,若|+|=8,则点P到该椭圆左焦点的距离为( C )(A)6 (B)4 (C)2 (D)解析:设椭圆右焦点是F2,PF1的中点为N,则+=2,所以|+|=2||=8,所以||=4,又O为F1F2中点,所以ON为△PF1F2的中位线,所以|PF2|=2||=8,由方程可知a=5,所以|PF1|=2a-|PF2|=2×5-8=2.故选C.9.椭圆+=1上一点P到椭圆左焦点的距离为7,则点P到右焦点的距离为.解析:根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,所以7+|PF2|=20,解得|PF2|=20-7=13.答案:1310.椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆方程为.解析:如图,当P在y轴上时△PF1F2的面积最大,所以×8b=12,所以b=3. 又因为c=4,所以a2=b2+c2=25.所以椭圆的标准方程为+=1.答案:+=111.已知椭圆+=1的上、下两个焦点分别为F1,F2,点P为该椭圆上一点,若|PF1|,|PF2|为方程x2+2mx+5=0的两根,则m= .解析:由已知|PF1|+|PF2|=2a=6.又因为|PF1|,|PF2|为方程x2+2mx+5=0的两根,所以|PF1|+|PF2|=-2m,所以m=-3.经检验,m=-3满足题意.答案:-312.若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点为(0,-4),则k的值为.解析:易知k≠0,方程2kx2+ky2=1变形为+=1,所以-=16,解得k=.答案:13.求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为+=1 (a>b>0).将点(5,0)代入上式解得a=5,又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.故椭圆的标准方程为+=1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0),所以⇒故椭圆的标准方程为+x2=1.14.如图,已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若·=0.(1)求椭圆的方程;(2)求△PF1F2的面积.解:(1)因为·=0,所以PF1⊥PF2,所以△PF1F2是直角三角形,所以|OP|=|F1F2|=c.又|OP|==5,所以c=5.所以椭圆方程为+=1.又P(3,4)在椭圆上,所以+=1,所以a2=45或a2=5.又a>c,所以a2=5舍去.故所求椭圆方程为+=1.(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,①又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,②由①2-②得2|PF1|·|PF2|=80,所以=|PF1|·|PF2|=×40=20.15.P是椭圆+y2=1上的点,F1,F2是椭圆的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,①且F1(-,0),F2(,0).在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°.②由①②得|PF1||PF2|=.所以=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得·<0,所以(x+,y)·(x-,y)<0,又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<,所以点P横坐标的取值范围是(-,).16.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为( D )(A)-=1(B)+=1(C)-=1(D)+=1解析:由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y),因为AQ的垂直平分线交CQ于M,所以|MA|=|MQ|.又|MQ|+|MC|=5,所以|MC|+|MA|=5>|AC|.依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,所以b=,故椭圆方程为+=1,即+=1.故选D.17.已知椭圆C:+=1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|等于( B )(A)4 (B)8 (C)12 (D)16解析:设MN的中点为D,椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,如图,连接DF1,DF2,因为F1是MA的中点,D是MN的中点,所以F1D是△MAN的中位线,则|DF1|=|AN|,同理|DF2|=|BN|,所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|),因为D在椭圆上,所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4,所以|AN|+|BN|=8.故选B.18.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.答案:719.若椭圆C1:+=1(a1>b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2,给出如下五个结论:①椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点;②>;③-=-;④a1-a2<b1-b2;⑤椭圆C1比椭圆C2更“圆”.其中正确的序号为.解析:-==<0,所以<由焦点相同知,-=-,即-=由③得=由④知,纵向相差比横向大答案:①③④⑤20.已知动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64相内切,并且外切于定圆C2:x2+(y+3)2=4,求动圆圆心M的轨迹方程.解:设动圆M的半径为r,圆心M(x,y),两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半径r1=8,r2=2.则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.故|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.又|C1C2|=6,则动圆圆心M的轨迹是椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),且焦点为C1(0,3),C2(0,-3),2a=10,即a=5,c=3,则b2=a2-c2 =25-9=16.所以动圆圆心M的轨迹方程是+=1.。
§2.2.1 椭圆及其标准方程
b 2 a 2 c 2 10 4 6.
y2 x2 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6
5、回顾小结 一种方法： 求椭圆标准方程的方法 二类方程:
x2 y2 y2 x2 2 1 2 2 1 a b 0 2 a b a b
三个意识： 求美意识， 求简意识，前瞻意识
M
立坐标系才能使 椭圆的方程简单?
y
M
y M
F1o
y
F2
x
F1 o
y
F2
x
F1 o
yF2xຫໍສະໝຸດ F2F2M
F2
M
o
M
x
F1
o
x
F1
o
x
F1
以 F1 , F2 的中点为坐标原点， F1 , F2 所在直线为 设M(x,y)是椭圆上任意一点 x轴建立直角坐标系，
F1F2 =2C,那么F1 ,F2的坐标分别是 -c,0 , c,0
圆的标准方程？哪些是椭圆的方程。
练习2比较椭圆的两种标准方程并填表
标准方程 不 同 点 图形
焦点坐标 定义 共 同 a、b、c 点 的关系
F1 c,0
F2 c,0
F1 0, c
F2 0, c
c 2 a 2 b2 (a b 0, c 0)
焦点位置 的判定
y A
F1 o F2
B
x
例1 已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16， 求顶点A的轨迹方程。
解： AB BC AC 16, BC 6
.
y
A
AB AC 10, 且10 BC 根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆， B o C 且B、C为焦点 以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直 角坐标系。 所以可设椭圆的标准方程为 ： x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
2.2.1椭圆及其标准方程
a ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c
2 2
2
c
F2
x
b2= a2 - c2 b a2 c2
a,b,c三者的关系
（1）b2= a2 c2
y M
（2）c2= a2 - b2 （3）a2= b2 + c2
F1
b
O
a
c F2
x
（a>b>0,a>c>0)
x y 例1.已知椭圆方程为 1 ,则 25 16
(1)a=____, c=_____ 4 3 5 b= ____, (-3,0),(3,0) (2)焦点在 x 轴上,焦点为__________, 焦距为____ 6
O
M
x
F1
椭圆的方程
x y 1.焦点在x轴: 2 2 1 (a b 0) a b
y x 2.焦点在y轴: 2 2 1 (a b 0) a b
焦点位置的判断: 分母哪个大，焦点就在 哪个轴上
2 2
2
2
x y 例2.已知椭圆方程为 1 ,则 16 25
(1)a=____, c=_____ 4 3 5 b= ____,
2
2
(2)焦点在 y 轴上,焦点为__________, (0,-3),(0,3) y
焦距为____ 6
F2
O
M
x
F1
椭圆的标准方程
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y M
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漯河体校师生共用教学案【26】
高二选修2-1 科目：数学执笔：张亚丽审核：数学组
内容：§2.2.1椭圆及其标准方程课型：新课学法：议展点练时间:2014-3-25 学习目标：
（1）知识与技能：
理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准
方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标.
（2）过程与方法：
让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，
体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题.
（3）情感态度与价值观：
通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对
称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度.
学习重点、难点：
重点：椭圆的标准方程
难点：椭圆标准方程的推导
一、新课引入：
问题1：根据课本上椭圆的定义，制作道具，自画椭圆
问题2：写出椭圆上的点满足的关系式
问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。
两个定点的距离用______表示。
问题4：指出图中的哪些线段的长度是a___________________。
的关系式，阅读教材理解推导椭圆方程过程
问题6：椭圆的标准方程是：
___________________________
问题7：上面的a,b,c 三个量满足的关系式
__________________________
二、合作探究 展示点评
探究一：椭圆的基本量
根据下列方程，分别求出椭圆中 a,b,c 的值
1．椭圆2222146
x y +=， 则a= ,b= ,c= 。
2．椭圆1522
=+y x 则a= ,b= ,c= 。
3．椭圆 8222=+y x 则a= ,b= ,c= 。
三、课堂小结：
理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求
椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标.
教学反思：
漯河体校师生共用教学案【27】
高二选修2-1 科目：数学 执笔：张亚丽 审核：数学组
内容：§2.2.1椭圆及其简单几何性质 课型：新课 学法：议展点练
时间:2014-3-25
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 学习过程
一、预习自测
1、设P 是椭圆116
2522=+y x 上的一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则=+21PF PF ( )
A 、10
B 、8
C 、5
D 、4
2、 椭圆的顶点为（-5，0），（5，0）和（0，-4），（0，4），则其方程
为_________________________
3、 椭圆221259x y +=的焦点坐标____________________________。
二、新课导学
学习探究
问题1：椭圆的标准方程22221x y a b
+=(0)a b >>，它有哪些几何性质呢？
图形：
范围：x ： y ：
对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；
顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长为 ；
短轴，其长为 ；
离心率：刻画椭圆 程度．椭圆的焦距与长轴长的比c a
称为离心率， 记c e a =，且01e <<． 试试：椭圆221169
y x +=的几何性质呢？ 图形：
范围：x ： y ：
对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；
顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；长轴，其长
为 ；短轴，其长为 ；
离心率： c e a
== ．
三、学习小结
1 ．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
2 ．理解椭圆的离心率．
教学反思：
漯河体校师生共用教学案【28】
高二选修2-1 科目：数学 执笔：张亚丽 审核：数学组
内容：§2.2.1椭圆及其简单几何性质 课型：新课 学法：议展点练
时间:2014-3-25
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图． 学习过程
一、课前准备
复习1： 椭圆2211612
x y +=的焦点坐标是（ ）（ ） ；
长轴长 、短轴长 ；离心率 ．
复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？
二、小试牛刀：
1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在x 轴上，6a =，13
e =； ⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =；
⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -； (4)a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上
三、合作交流：
问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？
问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？
四、课堂小结：
1 ．椭圆的几何性质：
图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
2 ．理解椭圆的离心率．
教学反思：。