2017-2018学年高中数学人教B版必修4 课时跟踪检测(二十二) 向量在几何中的应用向量在物理上的应用含解析

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高中数学人教B版必修4课时跟踪检测(二十二) 向量在几何中的应用向量在物理上的应用 Word版含答案

课时跟踪检测（二十二）向量在几何中的应用向量在物理上的应用层级一学业水平达标．已知三个力＝(－，－)，＝(－)，＝(，－)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力，则＝( )．(－，－)．(，－)．()．(－)解析：选由物理知识知＋＋＋＝，故＝－(＋＋)＝()．．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为( )．－．＋．－．解析：选由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为＋.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．．已知四边形各顶点坐标是，，，，则四边形是( )．梯形．平行四边形．菱形．矩形解析：选∵＝，＝()，∴＝，∴∥，即∥.又＝＝，＝＝，∴≠，∴四边形是梯形．．在△中，＝，边上的中线＝，·＝，则的长为( )．．．．解析：选∵＝－＝－，∴＝－))＝－·＋，即＝.∴＝，即＝.．已知△满足＝·＋·＋·，则△是( )．等边三角形．锐角三角形．直角三角形．钝角三角形解析：选由题意得，＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝＋·，∴·＝，∴⊥，∴△是直角三角形．．在平面直角坐标系中，若定点()与动点(，)满足·＝，则点的轨迹方程为．解析：由题意知，·＝(，)·()＝＋＝，故点的轨迹方程为＋＝.答案：＋＝．用两条成°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为，则每根绳子的拉力大小为.解析：如图，由题意，得∠＝∠＝°，＝，则＝＝，即每根绳子的拉力大小为 .答案：．已知，是圆心为，半径为的圆上的两点，且＝，则·＝.解析：由弦长＝，可知∠＝°，·＝－·＝－∠＝－.答案：－．已知△是直角三角形，＝，是的中点，是上的一点，且＝.求证：⊥.证明：如图，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设＝，则()，(，)，，()，.所以＝，＝.所以·＝－·＋·＝，所以⊥，即⊥.．已知△的三个顶点(，－)，()，(－)，点，，分别为边，，的中点．()求直线，，的方程；()求边上的高线所在直线方程．解：()由已知得点(－)，(－，－)，(，－)，设(，)是直线上任意一点，则∥.又＝(＋，－)，＝(－，－)，∴(－)×(＋)－(－)×(－)＝，即－＋＝为直线的方程．同理可求，直线的方程为＋＋＝，直线的方程为＋＝.()设点(，)是所在直线上任意一点，则⊥.∴·＝.又＝(＋，－)，＝()，∴(＋)＋(－)＝，即＋＋＝为所求直线的方程．层级二应试能力达标。

人教B高中数学必修四课时跟踪检测：第2章平面向量 231 232 含解析

第二章 2.32.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律课时跟踪检测[A组基础过关]1．下列命题：①若a≠0，且b≠0，则a·b≠0；②若a·b＝0，则a，b中至少有一个为0；③若a≠0，由a·b＝a·c可得b＝c；④若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立．其中正确命题的个数是()A．0个 B.2个C.3个D.4个解析：①为假命题，因为a与b垂直时，a·b＝0；②为假命题，因为a·b＝0也有可能a与b垂直但均不为零向量；③为假命题，由a≠0，a·b＝a·c，可得b 与c在a方向上的射影相等；④为假命题，例如：a⊥b，a⊥c，但b≠c，且a≠0，也能使条件a·b＝a·c成立，所以四个命题均为假命题．答案：A2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝() A．4 B.3C.2D.0解析：因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，故选B.答案：B3．已知向量a，b，且a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，(3a＋2b)·(ka－b)＝0，则实数k的值为()A.32 B.－32C.±32D.1解析：利用向量的数量积将(3a ＋2b )·(ka －b )＝0展开可得12k －18＝0，∴k ＝32.答案：A4．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)等于( )A.49 B.43 C.－43D.－49解析：∵M 是BC 的中点，∴AP →·(PB →＋PC →)＝AP →·2PM →＝AP →·AP →＝AP →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AM →2＝49，故选A.答案：A5．已知非零向量a ，b ，若a ＋2b 和a －2b 互相垂直，则|a ||b |＝( ) A.14 B.4 C.12D.2解析：(a ＋2b )⊥(a －2b )，∴(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2＝0，∴|a |＝2|b |，故选D.答案：D6．已知e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)等于________．解析：∵|e 1|＝|e 2|＝1且夹角为60°， ∴e 1·e 2＝1×1×cos60°＝12，∴(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋4e 1·e 2＋3e 2·e 1－2e 22＝－6＋7e 1·e 2－2＝－8＋7×12＝－92. 答案：－927．下列命题正确的是________(把正确的序号填上)． ①0·a ＝0；②(a ·b )·c －(c ·a )·b ＝0；③(b ·c )·a －(c ·a )·b 与c 的夹角为90°；④若|a ＋b |＝|a －b |，其中a 与b 不共线，则a ⊥b ； ⑤若|a |＝|b |，则|a ·c |＝|b ·c |. 答案：③④8．已知|a |＝|b |＝6，向量a 与b 的夹角为π3. (1)求|a ＋b |，|a －b |； (2)求a ＋b 与a －b 的夹角．解：(1)a ·b ＝6×6×cos π3＝36×12＝18，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋2×18＋36＝108， ∴|a ＋b |＝63，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝36－2×18＋36＝36， ∴|a －b |＝6.(2)a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝a 2－b 26×63＝36－36363＝0.∴θ＝π2.[B 组技能提升]1．设平面上有四个互异的点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形B.等腰三角形C ．等腰直角三角形 D.等边三角形解析：(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0.所以|AB →|＝|AC →|.故△ABC 是等腰三角形．答案：B2．(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15 B.－9 C ．－6D.0解析：如图所示，连接MN ，由BM →＝2MA →，CN →＝2NA →可知点M ，N 分别为线段AB ，AC 上靠近点A 的三等分点，则BC →＝3MN →＝3(ON →－OM →)，由题意可知，OM →2＝12＝1，OM →·ON →＝1×2×cos120°＝－1，结合数量积的运算法则可得BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3ON →·OM →－3OM →2＝－3－3＝－6. 故选C. 答案：C3．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析：a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝5，∴a 在b 方向上的射影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝52. 答案：524．边长为4的等边三角形ABC 中，D 、E 分别为BC ，AC 的中点，则AD →·BE →＝________.解析：如图，在△ABC 中，AD →·BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋AC →2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC →＋BA →2＝14(AB →·BC →＋AB →·BA →＋AC →·BC →＋AC →·BA →)＝144×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4×4×(－1)＋4×4×12＋4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6.答案：－65．已知a ，b 是两个单位向量． (1)若|3a －2b |＝3，试求|3a ＋b |的值；(2)若a ，b 的夹角为60°，试求向量m ＝2a ＋b 与n ＝2b －3a 的夹角．解：(1)∵a ，b 是两个单位向量，∴|a |＝|b |＝1，又|3a －2b |＝3，∴9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9，即a ·b ＝13. ∴|3a ＋b |＝ 9|a |2＋6a ·b ＋|b |2＝9×1＋6×13＋1＝2 3.(2)∵a ，b 的夹角为60°，∴a ·b ＝12，|m |＝(2a ＋b )2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝ 4×1＋4×12＋12＝7，|n |＝(2b －3a )2＝4b 2－12b ·a ＋9a 2＝ 4－6＋9＝7，∴m ·n ＝(2a ＋b )·(2b －3a )＝2|b |2＋a ·b －6|a |2＝－72，∴cosθ＝m·n|m||n|＝－727·7＝－12，∵0≤θ≤180°，∴夹角θ＝120°.6．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝3，|b|＝2，c＝3a＋5b，d＝ma－b.(1)求a·b的值；(2)若c⊥d，求实数m的值．解：(1)a·b＝|a||b|cos60°＝3×2×12＝3.(2)c⊥d，∴c·d＝0，即(3a＋5b)·(ma－b)＝0，∴3ma2－3a·b＋5ma·b－5b2＝0，∴27m－9＋15m－20＝0，∴42m＝29，m＝29 42.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修4：课时跟踪检测十九用平面向量坐标表示向量共线条件含答案精品

课时跟踪检测（十九）用平面向量坐标表示向量共线条件层级一学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B ．32C ．23D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75°解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0，即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)，∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1), (x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)．∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b＝(1,1)，c＝(5,2)，所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a＝(2,1)，且a与m平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二应试能力达标1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝()A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c ∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD ，则AB ＝DC ，∴D (－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB ，则AC ＝BD ，∴D (5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD ，则AC ＝DB ，∴D (1,5)．综上所述，D 点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y )，CD ＝(－2，－3)，BC ∥DA ，则x ＋2y 的值为________．解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)＝(x ＋4，y －2)，∴DA ＝－AD ＝－(x ＋4，y －2)＝(－x －4，－y ＋2)．∵BC ∥DA ，∴x (－y ＋2)－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，A AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12. 答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线． AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3， ∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )， DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)．又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)，由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167， ∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修4：课时跟踪检测十七平面向量基本定理含答案精品

课时跟踪检测（十七）平面向量基本定理层级一学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中，P 是对角线AC 所在直线上一点，且BP ＝t BA ＋(t －1)BC ，则t ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．任意实数解析：选B BP ，BA ，BC 共始点，且P ，A ，C 三点共线，所以t ＋t －1＝1，故t ＝1，故选B.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④―OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而BD ＝DC ，即AD －AB ＝AC －AD ，从而AD ＝12(AB ＋AC )＝12(a＋b )．4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)解析：选A 因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC ＝e 1，DC ＝e 2，所以OC ＝12(BC ＋DC )＝12(e 1＋e 2)，故选A.5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC33C ．AD ＝43AB ＋13ACD ．AD ＝43AB －13AC解析：选A 由题意得AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋13BC ＝AC ＋13AC －13AB ＝－13AB ＋43AC .6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. 答案：37．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.解析：由题设，知k22＝1－5k 23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.答案：－2或138．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．解：NP ＝AP －AN3333MN ＝CN －CM ＝－13AC －23CB ＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM ＝－MP ＝－(MN ＋NP )＝13(a ＋b )．10．证明：三角形的三条中线共点．证明：如图所示，设AD ，BE ，CF 分别为△ABC 的三条中线，令AB ＝a ，AC ＝b .则有BC ＝b －a .设G 在AD 上，且AG AD ＝23，则有AD ＝AB ＋BD ＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．BE ＝AE －AB ＝12b －a .∴BG ＝AG －AB ＝23AD －AB＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ＝23⎝⎛⎭⎫12b －a ＝23BE . ∴G 在BE 上，同理可证CG ＝23CF ，即G 在CF 上．故AD ，BE ，CF 三线交于同一点．层级二应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：选C ∵BD ＝2DC ，∴BD ＝23BC .∴AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋23BC ＝AB ＋23(AC －AB )＝13AB ＋23AC ＝13a ＋23b .2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN ＝λAB ＋μAC ，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM ＝x AB ＋y AC .(x ＋y ＝1) ∵N 为AM 的中点，∴AN ＝12AM ＝12x AB ＋12y AC ＝λAB ＋μAC .∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A 由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )，即OP ＝(1＋λ) OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. 5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b . 答案：23 －136．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE ＝λBA ＋μBD (λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析：因为BE ＝BO ＋OE ＝12BD ＋EB ＝12BD ＋EB ＋BA ，所以BE ＝12BA ＋14BD ，所以λ＝12，μ＝14，λ＋μ＝34.答案：347．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.8．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM ＝34AB ＋14AC .(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ＝x BM ＋y BN ，求x ，y 的值．解：(1)如图，由AM ＝34AB ＋14AC 可知M ，B ，C 三点共线，令BM ＝λBC ⇒AM ＝AB ＋BM ＝AB ＋λBC ＝AB ＋λ(AC －AB )＝(1－λ) AB ＋λAC ⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO ＝x BM ＋y BN ⇒BO ＝x BM ＋y 2BA ，BO ＝x4BC ＋y BN ，由O ，M ，A三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.。

2017-2018学年人教B版数学四检测：第二章平面向量课时作业24含答案

课时作业24 向量的应用(限时：10分钟）1．设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是△P1P2P3的中心．若集合S＝{P|P∈D，|PP0|≤｜PP i|，i＝1，2，3｝，则集合S表示的平面区域是( )A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域解析:依题意作出图形（如图），由P∈D且｜PP0|＝|PP1｜知，点P的轨迹为线段P1P0的垂直平分线段A1A2.再由|PP0｜≤｜PP1|知，点P在线段A1A2上及线段A1A2含点P0的一侧且P∈D；同理由|PP0|≤｜PP2|，｜PP0｜≤|PP3｜知，S表示的平面区域为六边形A1A2B1B2C1C2及其内部．故选D。

答案：D2．在△ABC中,已知向量错误!与错误!满足错误!·错误!＝0且错误!·错误!＝错误!，则△ABC为( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形解析：由错误!·错误!＝0知△ABC为等腰三角形，所以AB＝AC。

由错误!·错误!＝错误!知〈错误!，错误!〉＝60°,所以△ABC为等边三角形．故选A.答案：A3．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3（单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（)A．2错误!B．2错误!C．2 D．6解析：如图，设错误!代表力F1，错误!代表力F2，则本题实际上是求OF1，→与错误!的和向量错误!的模，由余弦定理得|错误!｜2＝｜错误!｜2＋|错误!|2－2|错误!|·｜错误!|·cos∠OF1G＝4＋16－2×2×4×错误!＝即m2－8m＋5≤0⇒4－错误!≤m≤4＋错误!.∴m的取值范围为［4－11，4＋错误!］．(限时:30分钟)1．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及与此直线垂直的向量b 分别是（)A．a＝(3，4），b＝（3，－4)B．a＝(－3,4)，b＝（4，－3)C．a＝（4,3)，b＝（3，－4）D．a＝(－4,3),b＝（3,4)答案：C2．若向量错误!1＝（2，2），错误!2＝（－2,3)分别表示两个力F1，F2,则｜F1＋F2｜为( ）A．（0,5) B．(4，－1）C．2错误!D．5解析：|F1＋F2|＝｜错误!＋错误!|＝|（2,2)＋（－2,3)|＝|（0,5）|＝5。

2017-2018学年人教B版高中数学必修四全册课时跟踪检测含解析

2017-2018学年人教B版高中数学必修四全册课时跟踪检测目录课时跟踪检测（一）角的概念的推广 (1)课时跟踪检测（二）弧度制和弧度制与角度制的换算 (4)课时跟踪检测（三）三角函数的定义 (8)课时跟踪检测（五）同角三角函数的基本关系式 (13)课时跟踪检测（六）诱导公式（一、二、三） (17)课时跟踪检测（七）诱导公式（四） (22)课时跟踪检测（八）正弦函数的图象与性质 (27)课时跟踪检测（九）正弦型函数y= Asin (ωx+φ） (32)课时跟踪检测（十）余弦函数的图象与性质 (37)课时跟踪检测（十一）正切函数的图象与性质 (42)课时跟踪检测（十二）已知三角函数值求角 (47)课时跟踪检测（十三）向量的概念 (51)课时跟踪检测（十四）向量的加法 (56)课时跟踪检测（十五）向量的减法数乘向量 (60)课时跟踪检测（十六）向量共线的条件与轴上向量坐标运算 (65)课时跟踪检测（十七）平面向量基本定理 (70)课时跟踪检测（十八）向量的正交分解与向量的直角坐标运算 (75)课时跟踪检测（十九）用平面向量坐标表示向量共线条件 (80)课时跟踪检测（二十）向量数量积的物理背景与定义向量数量积的运算律84 课时跟踪检测（二十一）向量数量积的坐标运算与度量公式 (89)课时跟踪检测（二十二）向量在几何中的应用向量在物理上的应用 (94)课时跟踪检测（二十三）两角和与差的余弦 (99)课时跟踪检测（二十四）两角和与差的正弦 (104)课时跟踪检测（二十五）两角和与差的正切 (109)课时跟踪检测（二十六）倍角公式 (115)课时跟踪检测（二十七）半角的正弦、余弦和正切 (121)课时跟踪检测（二十八）三角函数的积化和差与和差化积 (126)阶段质量检测（一）基本初等函数（Ⅱ） (131)阶段质量检测（二）平面向量 (139)课时跟踪检测（一）角的概念的推广层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ②钝角一定大于锐角；③射线OA 绕端点O 按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确． ②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________. 解析：5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z. 又∵180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k ·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216° －144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： (1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z}，回答下列问题： (1)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？ (2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)∵集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选D①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是() A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k ∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．课时跟踪检测（二）弧度制和弧度制与角度制的换算层级一学业水平达标1．把50°化为弧度为()A．50 B. 5π18C. 185π D.9 000π解析：选B50°＝50×π180＝5π18.2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是() A．16πB．32πC．16 D．32解析：选C弧长l＝2r,4r＝16，r＝4，得l＝8，即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A. 143π B ．－143π C. 718π D ．－718π解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π. 5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．解析：－135°＝－135×π180＝－34π，113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________．解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z)．解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，是第四象限角．层级二应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° 解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A. π3 B.2π3C. 3D ．2解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3. 5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π106．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr .设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3，故α1α＝13.答案：137．已知α＝1 690°，(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π. 解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.课时跟踪检测（三）三角函数的定义层级一学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，32 B. ⎝⎛⎭⎫－12，32 C. ⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝－12，y ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32，∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32. 2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α等于( )A．1 B．－1C.22D．－22解析：选C∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝12＋(－1)2＝2，∴cos α＝xr＝12＝22.3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都可能解析：选B∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．4．代数式sin 120°cos 210°的值为()A．－34 B.34C．－32 D.14解析：选A利用三角函数定义易得sin 120°＝32，cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A.5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sin α等于()A．±15B．±55C．±255D．±12解析：选C在α的终边上任取一点(－1,2)，则r＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝25＝255.或者取P(1，－2)，则r＝1＋4＝5，所以sin α＝yr＝－25＝－255.6．计算：tan π6＝________，cscπ6＝________.解析：∵α＝π6，在α的终边上取一点P(3a，a)，∴r＝2a.∴tan π6＝33，cscπ6＝2.答案：33 27．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________.解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13.∴sin α＝－1213，cos α＝513.∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案：09．已知角θ终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m (m ≠0)，试求cos θ与tan θ的值．解：点P (－3，m )到坐标原点O 的距离r ＝3＋m 2，由三角函数的定义，得sin θ＝yr ＝m 3＋m 2＝24m ，解得m ＝±5.∴r ＝2 2.当m ＝5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)．由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1，解得x 1＝22或x 2＝－22.∴cos α＝22或cos α＝－22，∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．设a <0，角α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( ) A. 25 B ．－25C. 15D ．－15解析：选A ∵点P 在圆x 2＋y 2＝1上，则|OP |＝1. 即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. ∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.答案：－86．设0≤θ＜2π，若sin θ＜0且cos 2θ＜0，则θ的取值范围是________．解析：因为0≤θ＜2π且sin θ＜0，所以π＜θ＜2π.又cos 2θ＜0，所以2k π＋π2＜2θ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以k π＋π4＜θ＜k π＋3π4，k ∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k ＝1，即θ的取值范围是5π4＜θ＜7π4. 答案：⎝⎛⎭⎫5π4，7π47．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2＋log 12x ＋tan x ；(2)f (x )＝cos x .解：(1)由题意得⎩⎨⎧2＋log 12x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，x ≠k π＋π2(k ∈Z ). 解得0<x <π2或π2<x ≤4，所以原函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，4. (2)若使函数有意义，则需满足cos x ≥0，即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z.∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.课时跟踪检测（五）同角三角函数的基本关系式层级一学业水平达标1．(福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B ．－125C.512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．A ．－35B ．－15C. 15D. 35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22.答案：－227．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________.解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)sin θ－cos θtan θ－1.解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值．解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53，∴sin α－cos α＝±153. 层级二应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55B.55C.255 D ．－255解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )C. 13 D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A. 34 B ．±310C. 310D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ，即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________.解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32.答案：－326．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________．解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1；当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1， ∴sin n α＋cos n α＝1. 答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求tan α的值；(2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值．解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，解得tan α＝－13或tan α＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13.(2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．所以原等式成立．课时跟踪检测（六）诱导公式（一、二、三）层级一学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A. 12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A. 12 B ．－12C ．－32D.32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A. 13 B ．－13C. 233D ．－233解析：选B tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫－π3＋α ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π3＋α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α＋3π)＋cos (π＋α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A. m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan [4π＋(π＋α)] ＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. 答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________．解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32. (2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32.10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A. 45 B ．－45C ．±45D. 35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( ) A ．4 B ．3 C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称， ∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr .4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6； ⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________．解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52. 所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简(1)tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°) ＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值．解：由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22，所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故原式＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222 ＝2＋22.课时跟踪检测（七）诱导公式（四）层级一学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A. 15 B ．－15C ．－265D.265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B.33C ．－ 3 D. 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3. 4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D. 23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错． ∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－223. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，求值：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin (π＋α).解：原式＝cos αsin α－cos α＋sin αsin α－sin α＝－sin α－sin α＝－2sin α. 又cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝13，所以－sin α＝13.所以原式＝－2sin α＝23.层级二应试能力达标1．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( ) A ．－23mB ．－32mC. 23m D. 32m 解析：选B ∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m2，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin(6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m . 2．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin x B ．f (2π－x )＝sin x C ．f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x D ．f (π－x )＝－f (x )解析：选C f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ； f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ； f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ； f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )，故选C.3．已知α为锐角，2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A. 355 B. 377C. 31010D. 13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.∴tan α＝3，又tan α＝sin αcos α，∴9＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α，∴sin 2α＝910，∵α为锐角，∴sin α＝31010，选C. 4．已知cos(60°＋α)＝13，且－180°<α<－90°，则cos(30°－α)的值为( )A ．－223B. 223 C ．－23D. 23解析：选A 由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°，又cos(60°＋α)＝13>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，所以120°<30°－α<180°，cos(30°－α)<0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－1－cos 2(60°＋α)＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223. 5．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________. 解析：原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]cos[90°－(45°＋θ)]＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1.答案：16．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＋sin 290°的值为________．解析：∵sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1， sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，sin 2x °＋sin 2(90°－x °)＝sin 2x °＋cos 2x °＝1(1≤x ≤44， x ∈N)，∴原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 290°＋sin 245°＝45＋⎝⎛⎭⎫222＝912. 答案：9127．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－π－α)sin (－π－α)＝(－sin α)·cos α·(－cos α)(－cos α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三象限的角，所以cos α＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－152＝－265. 所以f (α)＝265.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修4：课时跟踪检测十三向量的概念含答案精品

课时跟踪检测（十三）向量的概念]层级一学业水平达标1．下列说法正确的是( )A ．向量AB ∥CD 就是AB所在的直线平行于CD 所在的直线B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C 向量AB ∥CD 包含AB所在的直线与CD 所在的直线平行和重合两种情况，故A 错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 错；C 显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 错．2.如图，在圆O 中，向量OB ，OC ，AO是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量解析：选C 由图可知OB ，OC ，AO是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3．向量AB与向量BC 共线，下列关于向量AC 的说法中，正确的为( )A ．向量AC 与向量AB一定同向B ．向量AC ，向量AB，向量AC 一定共线C ．向量AC与向量BC 一定相等D ．以上说法都不正确解析：选B 根据共线向量定义，可知AB ，BC ，AC这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE平行的向量有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 根据向量的基本概念可知与AE 平行的向量有BE ，FD ，FC，共3个．5．已知向量a ，b 是两个非零向量，AO ，BO分别是与a ，b 同方向的模为1的向量，则下列各式正确的是( )A ．AO ＝BOB ． AO ＝BO 或AO＝－BOC ．AO ＝1D ．|AO|＝|BO |解析：选D 由于a 与b 的方向不知，故AO 与BO无法判断是否相等，故A 、B 选项均错．又AO 与BO 均为模为1的向量．∴|AO|＝|BO |，故C 错D 对．6．已知|AB|＝1，|AC |＝2，若∠ABC ＝90°，则|BC |＝________.解析：由勾股定理可知，BC ＝AC 2－AB 2＝3，所以|BC |＝ 3.答案： 37.如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC平行且长度为22的向量个数是______．解析：图形中共含4个边长为2的正方形，其对角线长度为22，在其中一个正方形中，与AC平行且长度为22的向量有2个，所以共8个．答案：88．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号)．解析：若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a |＝|b |，则a 与b 的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量平行，所以若|a |＝0或|b |＝0，则a ∥b .答案：①③④9.如图，O 是正方形ABCD 的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．解：(1)与向量AB相等的向量是DC .(2)与OA 的模相等的向量有：OB ，OC ，OD ，BO ，CO，DO ，AO .10.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD ，DC ，CB，AB .(2)求B 地相对于A 地的位移．解：(1)向量AD ，DC ，CB，AB 如图所示．(2)由题意知AD ＝BC.所以AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形．所以AB ＝DC，则B 地相对于A 地的位移为“在北偏东60°的方向距A 地6千米”．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式成立的是( )A ．AD ＝BCB ．AC ＝BDC ．PE ＝PFD ．EP ＝PE解析：选D 根据相等向量的定义，分析可得：A 中，AD 与BC 方向不同，故AD ＝BC错误；B 中，AC 与BD 方向不同，故AC ＝BD错误；C 中，PE 与PF 方向相反，故PE ＝PF错误；D 中，EP 与PF 方向相同，且长度都等于线段EF 长度的一半，故EP ＝PF正确．2．下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c B ．终点相同的两个向量不共线 C ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线 D ．零向量的长度为0解析：选D A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a 与b 可能共线．3.在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组解析：选A 由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE ＝EA.4．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( )A ．与AB 相等的向量只有一个(不含AB )B ．与AB 的模相等的向量有9个(不含AB )C ．BD 的模为DA模的3倍D ．CB 与DA不共线解析：选D A 项，由相等向量的定义知，与AB相等的向量只有DC ，故A 正确；B项，因为AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AC ，所以与AB 的模相等的向量除AB外有9个，正确；C项，在Rt △ADO 中，∠DAO ＝60°，则DO ＝32DA ，所以BD ＝3DA ，故C 项正确；D 项，因为四边形ABCD 是菱形，所以CB 与DA共线，故D 项错误，选D.5．四边形ABCD 满足AD ＝BC ，且|AC |＝|BD|，则四边形ABCD 是______(填四边形ABCD 的形状)．解析：∵AD ＝BC ，∴AD ∥BC 且|AD|＝|BC |，∴四边形ABCD 是平行四边形．又|AC |＝|BD|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD 是矩形．答案：矩形6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA的模相等的向量为______．(填图中所画出的向量)解析：∵O 是正三角形ABC 的中心，∴OA ＝OB ＝OC ，易知四边形AOCD 和四边形AOBE均为菱形，∴与AD 相等的向量为OC ；与OA 共线的向量为DC ，EB；与OA 的模相等的向量为OB ，OC ，DC ，EB ，AD.答案：OC DC ，EB OB ，OC ，DC ，EB ，AD7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE长度相等的向量．(2)写出图中所示向量与向量FD相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD共线的向量．解：(1)与DE 长度相等的向量是EF，FD ，AF ，FC ，BD ，DA ，CE ，EB.(2)与FD 相等的向量是CE ，EB(3)与DE共线的向量是AC ，AF ，FC ；与FD 共线的向量是CE ，EB ，CB.8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB＝0；(2)x ，y 为何值时，|AB|＝1.解：(1)要使AB ＝0，当且仅当点A 与点B 重合，于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－22.(2)如图，由已知，l ∥m 且点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－22，所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有|AB 1 |2＝|OA |2＋|OB 1 |2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1，即|AB 1|＝1.同理可得，当B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，|AB 2|＝1. 综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－2时，|AB |＝1.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修4 阶段质量检测(二) 平面向量含解析

阶段质量检测（二）平面向量(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在五边形ABCDE 中(如图)( )A BC D解析：选B 2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于( ) A ．5 B.13 C.17D ．13解析：选B 因为a ＋b ＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13，故选B. 3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π4解析：选C ∵|a ＋b |＝1，∴|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，∴cos 〈a ，b 〉＝－12.又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝2π3.4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：选B 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.5．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，λ成立，则λ＝( )A.12B.13C.23D ．±13解析：选B λ＝13.6．设点A (－1,2)，B (2,3)，C (3，－1)D 的坐标为( )A ．(2,16)B ．(－2，－16)C ．(4,16)D ．(2,0)解析：选A 设D (x ，y )(x ＋1，y －2)(3,1)(1，－4)，∴2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝3，y －2＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝16.故选A. 7．某人在静水中游泳，速度为4 3 km /h ，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为( )A ．90 °B ．30°C ．45°D ．60°解析：选D 速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC .于是tan ∠AOC ＝|v 静||v 水|＝3， ∴∠AOC ＝60°，故选D.8．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，＝( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A ＋＋⎭⎫＋13∴9．设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则a ＋b ＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析：选C 若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb ，故C 正确；选项A ：当|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由矩形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得b ＝λa ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然 |a ＋b |＝|a |－|b |不成立．10．120°，2 3.λ的值为( )A.37 B ．13 C ．6D.127解析：选D ＝(－＋(λ－0.2×3×(－12)＝－3，∴32－λ·22＋(λ－1)×(－3)＝0，解得λ＝127. 11．在△ABC 中，有下列四个命题：0；③若＝0，则△ABC 为等腰三角形；，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的命题有( ) A ．①② B ．①④ C ．②③D ．②③④解析：选C0，∴②正确．由0，得ABC ⇒cos >0，即cos A >0，∴A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.12．已知点O ，P 在△ABC 所在的平面内，＝＝O ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心B ．重心、内心C ．外心、垂心D ．外心、重心解析：选C ，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为△ABC0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为△ABC 的垂心．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )·(a －2b )＝－7，则向量a ，b 的夹角为________．解析：(a ＋b )(a －2b )＝|a 2|－a·b －2|b |2＝1－a·b －8＝－7，∴a·b ＝0，∴a ⊥b .故a ，b 的夹角为π2.答案：π214．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝(5a －b )2 ＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝ 25＋9－10×1×3×⎝⎛⎭⎫－12 ＝7. 答案：715．(全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(m ＋1,3)，∴|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2⇔(m ＋1)2＋32＝m 2＋6，解得m ＝－2. 答案：－216.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC(1－λ________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,1)，C (1,1)．设Q (m ，n )，得，(m ，n －1)＝λ(1,0)，即m ＝λ，n ＝1.又B (2,0)，设P (s ，t )(1－λ(s －1，t －1)＝(1－λ)(1，－1)，即s ＝2－λ，t ＝λ，λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．故[0,2]．答案：[0,2]。

【教育专用】2017_2018学年高中数学课时跟踪检测二十一向量数量积的坐标运算与度量公式新人教B版必修4

课时跟踪检测（二十一）向量数量积的坐标运算与度量公式层级一学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ． 3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.选D. 2．设x ∈R，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A ． 5 B ．10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋－2＝10.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．865 B ．－865C ．1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A AB (8，－4)AC (2,4)BC (－6,8)，AB AC ＝2×8＋(－4)×4＝0AB AC ∴∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2.答案： 27．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝aa ＋b |a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，故b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5.综上，|a －b |＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)AB AC AB AC ；(2)设实数t 满足AB OC OC t 的值．解：(1)AB (－3，－1)AC (1，－5)， AB AC (－1)×(－5)＝2. AB AC (－2，－6)， ∴AB AC ＝4＋36＝210.(2)AB OC (－3－2t ，－1＋t )OC (2，－1)，且AB OC OC ∴AB OC OC 0，∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0， ∴t ＝－1.层级二应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直．2OA (2,2)OB (4,1)，在x 轴上有一点P AP BP 则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)AP (x －2，－2)BP (x －4，－1)，AP BP (x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3AP BP P 的坐标为(3,0)．3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，103 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，103C.⎝⎛⎭⎪⎫103，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－65，∴x ＞103.4OA (－3,1)OB (0,5)AC OB BC AB O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，－294B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294C ．⎝⎛⎭⎪⎫3，294D ．⎝⎛⎭⎪⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )OC (x ，y )． OA (－3,1)，AC OC OA (x ＋3，y －1)． AC OB∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0， ∴x ＝－3.OB (0,5)，BC OC OB (x ，y －5)AB OB OA (3,4)． BC AB 3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294，∴C 点的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－3，294. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2. 答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，DE CB ______；DE DC ______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，设E (1，a )(0≤a ≤1)．DE CB (1，a )·(1,0)＝1，DE DC (1，a )·(0,1)＝a ≤1，DE DC 1. 答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25， ∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知OA ＝(4,0)OB (2,23)OC (1－λOA λOB λ2≠λ)．(1)OA OB OA OB(2)证明A ，B ，C AB BC λ的值； (3)求OC 的最小值．解：OA OB 8OA OB θ，则cos θOA OB OA OB ＝84×4＝12，OA OB OA θ＝4×12＝2.AB OB OA (－2,23)BC OC OB (1－λOA (1－λOB (λ－AB A ，B ，C 三点共线．AB BC λ－1＝1，所以λ＝2.OC 2＝(1－λ)2λ(1－λOA OB λ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋12，1 2时，OC取到最小值，为2 3.∴当λ＝。

2017-2018学年高中数学人教B版必修4：课时跟踪检测三

课时跟踪检测（三）三角函数的定义层级一学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，32 B. ⎝⎛⎭⎫－12，32 C. ⎝⎛⎭⎫－32，12 D.⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝－12，y ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32，∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32. 2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α等于( ) A ．1 B ．－1 C.22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋(－1)2＝2，∴cos α＝x r ＝12＝22.3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角． 4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B.34C ．－32D. 14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A. 5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－255.6．计算：tan π6＝________，csc π6＝________.解析：∵α＝π6，在α的终边上取一点P (3a ，a )，∴r ＝2a .∴tan π6＝33，csc π6＝2.答案：332 7．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13. ∴sin α＝－1213，cos α＝513. ∴sin α＋cos α＝－713. 答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 答案：09．已知角θ终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m (m ≠0)，试求cos θ与tan θ的值．解：点P (－3，m )到坐标原点O 的距离r ＝3＋m 2，由三角函数的定义，得sin θ＝y r ＝m 3＋m 2＝24m ，解得m ＝±5.∴r ＝2 2.当m ＝5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)．由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1，解得x 1＝22或x 2＝－22.∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．设a <0，角α的终边与圆x 2＋y 2＝1的交点为P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A. 25 B ．－25C. 15D ．－15解析：选A ∵点P 在圆x 2＋y 2＝1上，则|OP |＝1. 即(－3a )2＋(4a )2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15.∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，－45. ∴sin α＝－45，cos α＝35.∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25.3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y 42＋y2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.答案：－86．设0≤θ＜2π，若sin θ＜0且cos 2θ＜0，则θ的取值范围是________．解析：因为0≤θ＜2π且sin θ＜0，所以π＜θ＜2π.又cos 2θ＜0，所以2k π＋π2＜2θ＜2k π＋3π2，k ∈Z ，所以k π＋π4＜θ＜k π＋3π4，k ∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k ＝1，即θ的取值范围是5π4＜θ＜7π4.答案：⎝⎛⎭⎫5π4，7π47．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2＋log 12x ＋tan x ；(2)f (x )＝cos x .解：(1)由题意得⎩⎨⎧2＋log 12x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，x ≠k π＋π2(k ∈Z ). 解得0<x <π2或π2<x ≤4，所以原函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，4. (2)若使函数有意义，则需满足cos x ≥0，即2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z.∴函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修4：课时跟踪检测十

课时跟踪检测（十六）向量共线的条件与轴上向量坐标运算层级一学业水平达标1．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D |MN |＝|x N －(－3)|＝4， ∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7.2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO＝2ODC ．AO ＝3OD D ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD)＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD.3．点P 满足向量OP ＝2OA －OB，则点P 与AB 的位置关系是( )A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在直线AB 外解析：选C ∵OP ＝2OA －OB ，∴OP －OA ＝OA －OB， ∴AP ＝BA，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选C.4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB，则t 的值为( )A ．13B ．23C ．12D ．53解析：选A 由题意可得AP ＝CP－CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( ) A ．12B ．－12C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)，则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，kλ＝－1，∴λ＝－12.6．在数轴x 上，已知OA＝－3e (e 为x 轴上的单位向量)，且点B 的坐标为3，则向量AB ―→的坐标为________．解析：由OA＝－3e ，得点A 的坐标为－3，则AB ＝3－(－3)＝6，即AB的坐标为6.答案：67．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知M ，P ，N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________．解析：设点M ，N 的坐标分别为x 1，x 2，∵点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧5－x 1＝2，x 2－x 1＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，x 2＝11.故点N 的坐标为11.答案：119．已知数轴上A ，B ，C 三点．(1)若AB ＝2，BC ＝3，求向量AC ―→的坐标； (2)若AB ＝BC ，求证：B 是AC 的中点．解：(1)AC ＝AB ＋BC ＝5，即向量AC ―→的坐标为5. (2)∵AB ＝BC ，∴b －a ＝c －b ， ∴b ＝a ＋c 2，故B 是AC 的中点．10．已知：在四边形ABCD 中，AB＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD|＝2|BC |.又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．层级二应试能力达标1．已知向量AB＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ，由于BD 与AB有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF＝( )A.13a ＋b B.12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b .3．已知向量a ，b 不共线，若AB＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB＝k AC (k ≠0)．∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1.4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP，则λ的值为( )A ．2 B.32C ．3D ．6解析：选C 如图，取BC 的中点为D ，则PB ＋PC ＝2PD.又PA ＋PB ＋PC＝0，∴2PD ＝－PA ，∴A 、P 、D 三点共线且|PA |＝2|PD |， ∴AP ＝23 AD .又∵AB ＋AP ＝2AD ，∴AB ＋AP ＝3AP，即λ＝3.5．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：－1或36．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－47．已知数轴上四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是－4，－2，c ，d .(1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC ＝－3AD，求证：3CD ＝－4AC .解：(1)∵AC ＝5，∴c －(－4)＝5，∴c ＝1. (2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6，即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：∵AC ＝c ＋4，AD＝d ＋4，又AC ＝－3AD，∴c ＋4＝－3(d ＋4)，即c ＝－3d －16. 3CD＝3(d －c )＝3d －3c ＝3d －3(－3d －16)＝12d ＋48，－4AC＝－4c －16＝－4(－3d －16)－16＝12d ＋48，∴3CD ＝－4AC .8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC；(2)若OE ＝λOA，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC)，从而OC ＝2OA －OB＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC，又EC ＝OC －OE＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ， DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修4：课时跟踪检测八

课时跟踪检测（八）正弦函数的图象与性质层级一学业水平达标1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：选C 函数y ＝sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于x 轴对称． 3．函数y ＝2－3sin x 的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－3 B ．0,2 C ．5,2D ．5，－1 解析：选D ∵－1≤sin x ≤1，∴－3≤－3sin x ≤3， ∴－1≤2－3sin x ≤5.4．函数y ＝4sin(2x ＋π)的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称 C ．y 轴对称D ．直线x ＝π2对称解析：选B y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，奇函数图象关于原点对称． 5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A. ⎝⎛⎭⎫π2，π B ．(π，2π) C. ⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．(0，π)解析：选C 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确．6．函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3，则ƒ(6)＝________. 解析：∵函数ƒ(x )是以2为周期的函数，且ƒ(2)＝3， ∴ƒ(6)＝ƒ(2×2＋2)＝ƒ(2)＝3.答案：37．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝32的交点的个数是________．解析：由y ＝sin x 的图象向上平移1个单位，得y ＝1＋sin x 的图象，故在[0,2π]上与y ＝32交点的个数是2个．答案：28．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间为________．解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦⎤π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤π2，π9．利用“五点法”作出函数y ＝sin x －π2x ∈π2，5π2的图象．解：列表如下：描点连线，如图所示．10．求函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调区间．解：函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递增区间，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递减区间．令π2＋2k π≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z ，即函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z)．同理，令－π2＋2k π≤12x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z ，即函数y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z)．层级二应试能力达标1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π知五个点的横坐标是0，π4，π2，3π4，π.2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．0解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22. 3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A. ⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B. ⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C. ⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D. ⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z. 4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( )A ．(0，π) B. ⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C. ⎝⎛⎭⎫4π3，5π3D. ⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析：选C 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32， sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10从大到小的顺序为________(用“＞”连接)．解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10. 答案：sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π106．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.解析：∵T ＝3π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：227．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值．解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4，∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－1，∴当t ＝π2，即x ＝3π8时，y max ＝2×1＝ 2.8．已知函数ƒ(x )对于任意实数x 满足条件ƒ(x ＋2) ＝－1ƒ(x )(ƒ(x )≠0)． (1)求证：函数ƒ(x )是周期函数． (2)若ƒ(1)＝－5，求ƒ(ƒ(5))的值．解：(1)证明：∵ƒ(x ＋2)＝－1ƒ(x )， ∴ƒ(x ＋4)＝－1ƒ(x ＋2)＝－1－1ƒ(x ) ＝ƒ(x )，∴ƒ(x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是ƒ(x )的一个周期． ∴ƒ(5)＝ƒ(1)＝－5，∴ƒ(ƒ(5))＝ƒ(－5)＝ƒ(－1)＝－1ƒ(－1＋2)＝－1ƒ(1)＝15.。

「精品」高中数学课时跟踪检测二十二向量在几何中的应用向量在物理上的应用新人教B版必修4

课时跟踪检测（二十二）向量在几何中的应用向量在物理上的应用层级一学业水平达标1．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析：选D 由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)． 2．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( ) A ．v 1－v 2 B ．v 1＋v 2 C ．|v 1|－|v 2|D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪v 1v 2解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．3．已知四边形ABCD 各顶点坐标是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－73，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－2，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形解析：选A AB ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83DC (3,4)，AB DC AB DC AB ∥DC .又AB ＝4＋649＝103，DC ＝9＋16＝5，∴AB DC ，∴四边形ABCD 是梯形．4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5AC AB 5，AC ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B BD AD AB AC AB⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AC AB 2AC AB1.∴AC ＝2，即AC ＝2.5．已知△ABC AB AC BA BC CA CB 则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形解析：选C AB AB AC AB CB CA CB AB AC CB CA CB AB CA CBCA CB 0CA CB ∴△ABC 是直角三角形．6．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )OP OA 4，则P 点的轨迹方程为________．OP OA (x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，故P 点的轨迹方程为x ＋2y ＝4.答案：x ＋2y ＝47．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________ N.解析：如图，由题意，得∠AOC ＝∠COB ＝60°，OC ＝10，则OA ＝OB ＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N. 答案：108．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5AC CB ________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，AC CB CA CB CA CB ∠ACB ＝－52.答案：－529．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .证明：如图，以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设AC ＝a ，则A (a,0)，B (0，a )，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2，C (0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a . AD ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a2，CE ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a .AD CE a ·13a ＋a 2·23a ＝0，AD CE AD ⊥CE .10．已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程； (2)求AB 边上的高线CH 所在直线方程．解：(1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)，设M (x ，y )是直线DE DM DE DM (x ＋1，y －1)DE (－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．同理可求，直线EF 的方程为x ＋5y ＋8＝0，直线FD 的方程为x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点， CN AB CN AB (x ＋6，y －2)AB (4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程．层级二应试能力达标1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s解析：选B 设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v ⊥v 1， ∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0，∴|v 2|＝v 2－2v ·v 1＋v 21＝226(m/s)．2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2BD BC AD BD ( )A ．－52B ．52C ．－54D ．54解析：选C BD BC所以点D 是BC 的中点，AD ＝12(AB AC BD BC ＝12(AC AB ，AD BD ＝12(AB AC )·12(AC AB ＝14(＝14(22－32)＝－54，选C. 3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F在边CD AB AF ＝2AE BF ( )A ． 2B ．2C ．0D ．1 解析：选A AF AD DF AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF ＝2|DF ＝2，∴DF ＝1，CF ＝2－1，AE BF AB BE BC CF AB CF BE BC ＝－2(2－1)＋1×2＝－2＋2＋2＝2，故选A.4.如图，设P 为△ABC 内一点，且PA PB PC 0，则S△ABP ∶S △ABC ＝( )A ．15B ．25C ．14D ．13解析：选A 设AB 的中点是D . PA PB PD PCPD PC∴P 为CD 的五等分点，∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的15.5．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足OB OC OB OC OA ＝0，则△ABC 的形状为________．解析：OB OC OB OC OA ＝AB AC OB OA OC OA ＝AB AC AB AC ＝AB 2－AC 2＝0，∴AB ＝AC 答案：等腰三角形6.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9.8 m/s 2)．解析：物体m 的位移大小为|s |＝2sin 37°＝103(m)，则支持力对物体m 所做的功为W 1＝F·s ＝|F ||s |cos 90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G ·s ＝|G ||s |cos 53°＝5×9.8×103×0.6＝98(J)．答案：0 987.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m ，其中|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°；|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°；|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．解：以O 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F 1＝(1，3)，F 2＝(23，2)，F 3＝(－3,33)，所以F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(23－2,2＋43)．又位移s ＝(42，42)，故合力F 所做的功为W ＝F·s＝(23－2)×42＋(2＋43)×4 2 ＝42×6 3 ＝246(J)．即合力F 所做的功为24 6 J.8.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G 为BE与DF AB a AD b .(1)试以a ，b BE DF (2)求证：A ，G ，C 三点共线．解：BE AE AB ＝12b －a ，DF AF AD ＝12a －b .(2)证明：因为D ，G ，F 三点共线， DG λDFAG AD λDF ＝12λa ＋(1－λ)b .因为B ，G ，E BG μBE AG AB μBE (1－μ)a ＋12μb ，由平面向量基本定理知⎩⎪⎨⎪⎧12λ＝1－μ，1－λ＝12μ，解得λ＝μ＝23，AG＝1(a＋b)AC3所以A，G，C三点共线．。

北师大版高中数学高一必修4课时跟踪检测(二十二)向量应用举例

课时跟踪检测（二十二）向量应用举例层级一学业水平达标1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为 ( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.⎪⎪⎪⎪v 1v 2 解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．2．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为 ( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x ＋y ＋7＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0解析：选A 设P (x ，y )是所求直线上除A 点外的任一点，则AP ·a ＝0，又AP ＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，当x ＝2，y ＝3时也成立，∴所求的直线方程为2x ＋y －7＝0.3．已知△ABC 中，BC 边最长，AB ＝a ，AC ＝b ，且a·b ＞0，则△ABC 的形状为 ( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵a·b ＝|a |·|b |·cos ∠ABC ＞0，∴cos ∠BAC ＞0，∴0°＜∠BAC ＜90°，又∵BC 边最长，则∠BAC 为△ABC 中最大的角，故△ABC 为锐角三角形．4．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( )A ．(9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ．(0,9) 解析：选A F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)．∵起点坐标为A (1,1)，∴终点坐标为(9,1)．故选A.5．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC ·AB ＝5，则AC 的长为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ∵BD ＝AD －AB ＝12AC －AB ， ∴2BD ＝⎝⎛⎭⎫12AC －AB 2＝142AC －AC ·AB ＋2AB ，即142AC ＝1.∴|AC |＝2，即AC ＝2. 6．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |等于________．解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AC ＋CD |＝|AD |＝2.答案： 27．如图，作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，已知|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为2π3，则F 3的大小为________．解析：∵F 1，F 2，F 3三个力处于平衡状态，∴F 1＋F 2＋F 3＝0，即F 3＝－(F 1＋F 2)，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝(F 1＋F 2)2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22 ＝ 1＋2×1×2×cos 2π3＋4＝ 3. 答案： 38．一艘船从点A 出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的行驶速度为4 km/h ，则河水速度的大小为________km/h.解析：如图所示，船实际行驶的速度实际上是船速与水速的合成，由向量加法的几何意义知，|v 水|＝42－(23)2＝2.答案： 29．如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ， DB ＝c ，DC ＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2，所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，所以e·(c－d)＝0.因为BC＝BD＋DC＝d－c，所以AD·BC＝e·(d－c)＝0，所以AD⊥BC，即AD⊥BC.10．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴，y轴同方向的单位向量)．求：(1)F1，F2分别对该质点所做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点所做的功．解：AB＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.(1)F1所做的功W1＝F1·s＝F1·AB＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28(J)，F2所做的功W2＝F2·s＝F2·AB＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23(J)．(2)因为F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F所做的功W＝F·s＝F·AB＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5(J)．层级二应试能力达标1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为() A．－1 B．1C．2 D．－1或2解析：选D l的方向向量为v＝(－2，m)，由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为() A．40 N B．10 2 NC．20 2 N D．10 3 N解析：选B|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝102，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 2 N.3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生的位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为() A．lg 2 B．lg 5C．1 D．2解析：选D∵F1＋F2＝(1,2lg 2)，∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.4．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次为△ABC的() A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心解析：选C由|OA|＝|OB|＝|OC|，知点O为△ABC的外心．如图，∵NA＋NB＋NC＝0，∴NB＋NC＝－NA.依向量加法的平行四边形法则，知|NA|＝2|ND|(D为BC的中点)，同理可得|NB|＝2|NE|，|NC|＝2|NF|，故点N为△ABC的重心．∵PA ·PB ＝PB ·PC ， ∴(PA －PC )·PB ＝CA ·PB ＝0，∴PB ⊥CA ，同理，得PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，∴点P 为△ABC 的垂心．5．某物体做斜抛运动，初速度|v 0|＝10 m /s ，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.解析：设该物体在竖直方向上的速度为v 1，水平方向上的速度为v 2，如图所示，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v 2|＝|v 0|cos 60°＝10×12＝5(m /s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s. 答案：56．如图所示，两块斜边长相等的直角三角形板拼在一起．若AD ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________，y ＝____________.解析：作DF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F .设AB ＝AC ＝1，则BC＝DE ＝ 2.又∠DEB ＝60°，∴BD ＝62. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝62×22＝32， ∴AD ＝AF ＋FD ＝⎝⎛⎭⎫1＋32AB ＋32AC ， ∴x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 32 7．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)．(1)求AB ·AC 和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状；(2)若M 为BC 边的中点，求|AM |.解：(1)由题意得AB ＝(3，－1)，AC ＝(－1，－3)，AB ·AC ＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.所以AB ⊥AC ，即∠A ＝90°.因为|AB |＝|AC |，所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)．又A(1,2)，所以AM＝(1，－2)．所以|AM|＝12＋(－2)2＝ 5.8．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．解：(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝|G| cos θ，|F2|＝|G|tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．(2)由|F1|＝Gcos θ，|F1|≤2|G|，得cos θ≥1 2.又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.。

人教版数学高一人教B版必修4课时作业22向量数量积的坐标运算与度量公式

课时分层作业(二十二) 向量数量积的坐标运算与度量公式(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(0,2)，若a ⊥(b －c )，则实数x 的值为( ) A.43B.34 C ．－34 D ．－43A [b －c ＝(x ，－4)，由a ⊥(b －c )知3x －4＝0，∴x ＝43.故选A.]2．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x,4)，且a ∥b ，则|a －b|＝( )A ．5 3B ．3 5C ．2 5D ．2 2 B [∵a ∥b ，∴4＋2x ＝0，∴x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)，∴|a －b|＝3 5.故选B.]3．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2,23)，则a 与b 的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π2C [设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b|＝(1，3)·(－2，23)2×4＝12，解得θ＝π3.故选C.]4．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的正射影的数量为( )【导学号：79402097】A.655B.65C.135D.13A [a 在b 方向上的正射影的数量为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b |b |＝(2，3)·(－4，7)(－4)2＋72＝2×(－4)＋3×765＝655.] 5．已知正方形OABC 两边AB ，BC 的中点分别为D 和E ，则∠DOE 的余弦值为( )A.12B.32C.35D.45 D [以点O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设边长为1，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，于是cos ∠DOE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝45.] 二、填空题6．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a·b ＝|a |2＋|b |2，∴a·b ＝0.又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.[答案] －27．已知O A →＝(－2,1)，O B →＝(0,2)，且A C →∥O B →，B C →⊥A B →，则点C 的坐标是________．[解析] 设C (x ，y )，则A C →＝(x ＋2，y －1)，B C →＝(x ，y －2)，A B →＝(2,1)．由A C →∥O B →，B C →⊥A B →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x ＋2)＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝6，∴点C 的坐标为(－2,6)．[答案] (－2,6)8．已知点A (2,3)，若把向量OA →绕原点O 按逆时针旋转90°得到向量OB →，则点B的坐标为________．[解析] 设B (x ，y )，则OA →⊥OB →，且|OB →|＝|OA →|.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝0x 2＋y 2＝22＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝2. ∴B (－3,2)．[答案] (－3,2)三、解答题9．已知AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)．(1)若A ，C ，D 三点共线，求k 的值；(2)在(1)的条件下，求向量BC →与CD →的夹角的余弦值．[解] (1)因为AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)，由题意知A ，C ，D 三点共线，所以AC →∥CD →，所以10×1－2(k ＋1)＝0，即k ＝4.(2)因为CD →＝(2,1)，设向量BC →与CD →的夹角为θ，则cos θ＝BC →·CD →|BC →||CD →|＝1242×5＝31010. 10．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，(1)ka －b 与a ＋b 共线；(2)ka －b 与a ＋b 的夹角为120°.[解] ∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，ka －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)，a ＋b ＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．(1)∵ka －b 与a ＋b 共线，∴k ＋2－(－k )＝0，∴k ＝－1.即当k ＝－1时，ka －b 与a ＋b 共线．(2)∵|ka －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，(ka －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，而ka －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(ka －b )·(a ＋b )|ka －b ||a ＋b |，即－12＝－22·k 2＋(k ＋2)2，化简整理，得k 2＋2k －2＝0，解之得k ＝－1±3.即当k ＝－1±3时，ka －b 与a ＋b 的夹角为120°.[冲A 挑战练]1．在平行四边形ABCD 中，AB →＝(1,0)，AC →＝(2,2)，则AD →·BD →等于( )【导学号：79402098】A ．－4B ．－2C ．2D ．4D [AD →·BD →＝(AC →－AB →)·(AC →－2AB →)＝AC 2→＋2AB 2→－3AC →·AB →＝8＋2－3×2＝4.故选D.]2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 D [设c ＝(x ，y )，因为a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，所以c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又因为(c ＋a )∥b ，所以有(x ＋1)·(－3)－2·(y ＋2)＝0，即－3x －2y －7＝0，①又a ＋b ＝(3，－1)，由c ⊥(a ＋b )得：3x －y ＝0，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－79，y ＝－73，因此有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.] 3．已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．[解析] 由已知得AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1，且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.[答案] 34．若向量a ＝(－2,2)与b ＝(1，y )的夹角为钝角，则y 的取值范围为________．[解析] 若a 与b 夹角为180°，则有b ＝λa (λ<0)即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝－2λ，y ＝2λ，λ<0，解得y ＝－1且λ＝－12，所以b ≠λa (λ<0)时y ≠－1；①若a 与b 夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，则只要a·b<0且b ≠λa (λ<0)．当a·b <0有－2＋2y <0解得y <1.②由①②得y <－1或－1<y <1.[答案] (－∞，－1)∪(－1,1)5．在平面直角坐标系内，已知三点A (1,0)，B (0,1)，C (2,5)，求：(1)AB →，AC →的坐标；(2)|AB →－AC →|的值；(3)cos ∠BAC 的值．[解] (1)AB →＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，AC →＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．(2)因为AB →－AC →＝(－1,1)－(1,5)＝(－2，－4)，所以|AB →－AC →|＝(－2)2＋(－4)2＝2 5.(3)因为AB →·AC →＝(－1,1)·(1,5)＝4，|AB →|＝2，|AC →|＝26，cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝42×26＝21313.。

2017-2018学年北师大高二数学必修4课时作业：12向量的加法 Word版含解析

))中，下列结论中错误的是＝AC →＝0是梯形，AD ∥BC ABCDEF 中，若AB )，＋＝，CD → AD →为正六边形ABCDEF 的中心OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行，所以＋AO → BC → 3，，设垂足为D .．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F)OP，OQ为邻边作平行四边形，则夹在是直角三角形且∠A＝90°为邻边作▱ABDC，又＝BC，所以|＋|＝||＝||.AB → AC → AD → BC → ②正确．|＋|＝||＝||.AB → CA → CB → BC→ ③正确．由勾股定理知||2＋||2＝||2.AB → AC → BC → 答案：①②③13．如图，已知向量a ，b ，c ，d .(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a |＝2，e 为单位向量，求|a ＋e |的最大值．解析：(1)在平面内任取一点O ，作＝a ，＝b ，＝c ，＝d ，则OA → AB → BC → CD→ ＝a ＋b ＋c ＋d .OD→(2)在平面内任取一点O ，作＝a ，＝e ，则a ＋e ＝＋＝，因OA → AB → OA → AB → OB→ 为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线，||即|a ＋e |最大，最大值是3.OB→ 14．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．，OAC＝90°.分别表示两根绳子的拉力，则。

2018-2019学年高一数学苏教版必修四练习：课时跟踪检测(二十二) 向量的应用 Word版含答

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（二十二) 向量的应用层级一学业水平达标1．一物体受到相互垂直的两个力f1，f2的作用，两力大小都为5错误! N，则两个力的合力的大小为________．解析：根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为错误!×5错误!＝5错误!(N)．答案:5 6 N2．已知△ABC中,AB＝a，AC＝b，若a·b〈0，则△ABC的形状为________．解析：由a·b〈0⇒∠A〉90°，故为钝角三角形．答案：钝角三角形3．已知三个力f1＝(－2，－1），f2＝（－3,2),f3＝（4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝________.解析：由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3）＝(1，2）．答案：（1,2）4．在光滑地面上，用与水平方向成30°的力F拉物体A,移动了10 m，若|F｜＝10 N，则F对物体所做的功为________ J.解析：W＝|F｜cos 30°·｜s｜＝10×错误!×10＝50错误! J.答案：50错误!5．过点M(2,3）且平行于向量a＝（2,3)的直线方程为________．解析:设P（x，y）是所求直线上的任意一点（M除外)，则MP＝（x－2,y－3）．∵该直线平行于向量a＝(2，3),∴2(y－3）＝3（x－2）即3x－2y＝0.又点M(2，3)在直线3x－2y＝0上,故所求直线方程为3x－2y＝0.答案：3x－2y＝06．过点A(3，－2）且垂直于向量n＝（5，－3）的直线方程是________．解析：设P(x，y）为直线上异于A的任意一点,∴AP＝（x－3，y＋2），AP⊥n，∴5（x－3）－3（y＋2）＝0，即5x－3y－21＝0.答案：5x－3y－21＝07．已知△ABC三边BC，CA,AB的中点分别为D（1,2）,E(3,4)，F（5,6），则顶点A的坐标是________．解析:设A的坐标为（x,y）．由已知得DF＝（4,4)，EA＝（x－3,y－4)．∵DF∥EA且｜DF|＝|EA｜，∴错误!解得错误!或错误!∵DF与EA同向，故（－1，0)舍去，∴A点的坐标为(7，8)．答案：（7,8)8．在梯形ABCD中，AB＝2DC，｜BC｜＝6,P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足AP ＋BP＋4DP＝0,DA·CB＝|DA|·|DP｜，Q为边AD上的一个动点，则|PQ|的最小值为________．解析：如图，取AB的中点M，由AP＋BP＋4DP＝0得MN＝2DP,P为线段DM上靠近点D的三等分点,由题意知，DA·CB＝DA·DM＝错误!·错误! cos∠ADM＝错误!·错误!，所以cos∠ADM＝错误!，则sin∠ADM＝错误!，所以错误!的最小值为2sin∠ADM＝错误!。

2019-2020学年新教材高中数学课时跟踪检测二十二向量的减法新人教B版必修

课时跟踪检测（二十二）向量的减法A 级——学考水平达标练1．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A ．EF ―→＝OF ―→＋OE ―→ B ．EF ―→＝OF ―→－OE ―→ C ．EF ―→＝－OF ―→＋OE ―→D ．EF ―→＝－OF ―→－OE ―→解析：选B 由向量的减法法则知B 正确．2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A ．AB ―→－DC ―→＝0 B ．AD ―→－BA ―→＝AC ―→ C ．AB ―→－AD ―→＝BD ―→D ．AD ―→＋CB ―→＝0 解析：选C 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB ―→＝DC ―→，AB ―→－DC ―→＝0，AD ―→－BA ―→＝AD ―→＋AB ―→＝AC ―→，AB ―→－AD ―→＝DB ―→，AD ―→＋CB ―→＝AD ―→＋DA ―→＝0，故只有C 错误．3．在△ABC 中，BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，则AB ―→等于( ) A ．a ＋b B ．－a ＋(－b) C ．a －bD ．b －a解析：选B 如图，∵BA ―→＝BC ―→＋CA ―→＝a ＋b ，∴AB ―→＝－BA ―→＝－a －b .4.如图，向量AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，CD ―→＝c ，则向量BD ―→可以表示为( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．b －a ＋cD ．b －a －c解析：选C BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝AC ―→－AB ―→＋CD ―→＝b －a ＋c .5．已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a ，b 不是方向相反的向量，则|a －b|的取值范围是( ) A ．(2,6) B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6]解析：选B 由已知必有||a |－|b ||≤|a －b |＜|a |＋|b |，则所求的取值范围是[2, 6)，故选B. 6．对于向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b|＝||a|－|b||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |＞||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向7．如图，已知六边形ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，则EF ―→等于________．解析：EF ―→＝CB ―→＝OB ―→－OC ―→＝b －c . 答案：b －c8.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA ―→－BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝________.解析：由题图知BA ―→－BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝CA ―→－OA ―→＋OA ―→＝CA ―→. 答案：CA ―→9.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AE ―→＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD ―→，BC ―→，BE ―→，CD ―→及CE ―→.解：∵四边形ACDE 是平行四边形，∴CD ―→＝AE ―→＝c ，BC ―→＝AC ―→－AB―→＝b －a ，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝c －a ，CE ―→＝AE ―→－AC ―→＝c －b ，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝b －a ＋c .10.如图，在▱ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b.(1)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在的直线互相垂直？ (2)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝a ＋b ，DB ―→＝AB ―→－AD ―→＝a －b . 若a ＋b 与a －b 所在的直线互相垂直，则AC ⊥BD . 因为当|a |＝|b |时，四边形ABCD 为菱形，此时AC ⊥BD ，故当a ，b 满足|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在的直线互相垂直． (2)不可能．因为▱ABCD 的两对角线不可能平行，所以a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，更不可能为相等向量．B 级——高考水平高分练1．(多选题)下列各式能化简为AD ―→的是( ) A ．(AB ―→－DC ―→)－CB ―→ B ．AD ―→－(CD ―→＋DC ―→)C ．－(CD ―→＋MC ―→)－(DA ―→＋DM ―→)D ．－BM ―→－DA ―→＋MB ―→解析：选ABC 对A ，(AB ―→－DC ―→)－CB ―→＝AB ―→＋CD ―→＋BC ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AD ―→；对B ，AD ―→－(CD ―→＋DC ―→)＝AD ―→－0＝AD ―→；对C ，－(CD ―→＋MC ―→)－(DA ―→＋DM ―→)＝－MD ―→－DA ―→－DM ―→＝DM ―→＋AD ―→－DM ―→＝AD ―→；对D ，－BM ―→－DA ―→＋MB ―→＝MB ―→＋AD ―→＋MB ―→＝AD ―→＋2MB ―→.2．对于不等式|a|－|b |≤|a ＋b |≤|a|＋|b|给出下列四个结论： ①不等式左端的不等号“≤”只能在a ＝b ＝0时取等号“＝”；②不等式左端的不等号“≤”只能在a 与b 均为非零向量且不共线时取不等号“<”； ③不等式右端的不等号“≤”只能在a 与b 均为非零向量且同向共线时取等号“＝”； ④不等式右端的不等号“≤”只能在a 与b 均为非零向量且不共线时取不等号“<”．其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．4个解析：选B ①当a ＝－b ≠0时也成立；②当b ≠0，a ＝0时，“<”也成立；③当a ，b 有一个为0时也成立；④正确．3．平面上有三点A ，B ，C ，设m ＝AB ―→＋BC ―→，n ＝AB ―→－BC ―→，若m ，n 的长度恰好相等，则有( ) A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B ＝90° D ．△ABC 必为等腰直角三角形解析：选C ∵|m |＝|n |，AB ―→＋BC ―→＝AB ―→－CB ―→，AB ―→－BC ―→＝AB ―→＋CB ―→，∴|AB ―→－CB ―→|＝|AB ―→＋CB ―→|，如图．即▱ABCD 的对角线相等，∴▱ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，选C.4．已知|OA ―→|＝a ，|OB ―→|＝b (a >b )，|AB ―→|的取值范围是[5,15]，则a ，b 的值分别为________．解析：∵a －b ＝||OA ―→|－|OB ―→||≤|OA ―→－OB ―→|＝|AB ―→|≤|OA ―→|＋|OB ―→|＝a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝15，a －b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝5.答案：10,55.已知△OAB 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，满足|a|＝|b|＝|a －b|＝2，求|a＋b|与△OAB 的面积．解：由已知得|OA ―→|＝|OB ―→|，以OA ―→，OB ―→为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，且OC ―→＝a ＋b ，BA ―→＝a －b ，由于|a|＝|b|＝|a －b|，则OA ＝OB ＝BA ， ∴△OAB 为正三角形，∴|a ＋b|＝|OC ―→|＝2×3＝23，S △OAB ＝12×2×3＝ 3.6．三个大小相同的力a ，b ，c 作用在同一物体P 上，使物体P 沿a 方向做匀速运动，设PA ―→＝a ，PB ―→＝b ， PC ―→＝c ，判断△ABC 的形状．解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a ＋b ＋c ＝0.所以a ＋c ＝－b.如图，作平行四边形APCD 为菱形．PD ―→＝a ＋c ＝－b ，所以∠APC ＝120°. 同理∠APB ＝∠BPC ＝120°. 又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC 为等边三角形．。