傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题

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傅里叶级数收敛定理及其推论

傅里叶级数收敛定理及其推论
傅里叶级数由正弦和余弦函数构成,通过将原始函数展开成一系列正弦 和余弦函数的线性组合,可以表示任意周期函数。
傅里叶级数的形式为:$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$,其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数,取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式,通过分析振动信号的频率成分,可以推断物体的振动 性质。
热传导分析
在热传导分析中,傅里叶级数可以用于分析温度场的变化,通过分析温度信号的频率成分,可以 推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中,傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射,通过分析电磁波信号的频率成 分,可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数,可以分析信号的频率成分、进行图像滤波 和增强等操作。
03
在物理学中,该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微 分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数,傅里叶级数可能 以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数,傅里叶级 数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正 弦波和余弦波的组合,从而分析信号的频率成分 和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数,可以将信号中的特定频率成分 进行增强或抑制,实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩,通过对信号进行 频域变换,去除冗余信息,实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数, 且 $a, b$ 是常数,则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。

傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数的收敛性

傅里叶级数的收敛性傅里叶级数是数学中一个重要的概念,它在信号处理、图像处理、物理学等众多领域都有着广泛的应用。

本文将讨论傅里叶级数的收敛性及相关的数学证明。

一、傅里叶级数的定义与基本概念傅里叶级数是一种用三角函数进行函数展开的方法。

对于周期为2π的函数f(x),其傅里叶级数表示为:f(x) = a₀/2 + ∑[aₙcos(nx) + bₙsin(nx)]其中,a₀、aₙ和bₙ是常数,n为正整数。

这里的a₀/2表示常数项,∑表示对所有正整数n的求和。

二、傅里叶级数的收敛性问题在讨论傅里叶级数的收敛性之前,我们首先引入一个重要的定义——可积函数的概念。

对于一个周期为2π的函数f(x),如果在一个周期内,f(x)的绝对值的积分存在有限值,则称f(x)为可积函数。

定理1:如果可积函数f(x)在一个周期内连续或几乎处处连续,则其傅里叶级数在其周期内收敛于f(x)。

这一定理说明了可积函数在其周期内的连续性与傅里叶级数的收敛性之间的关系。

根据这一定理,我们可以推导出如下结论:推论1:如果可积函数f(x)在一个周期内有有限个第一类间断点,那么其傅里叶级数在其周期内收敛于f(x)。

上述定理和推论描述了傅里叶级数的一般收敛性。

然而,对于某些特殊函数,傅里叶级数的收敛性可能不够明确。

下面我们将介绍一个经典的例子。

三、傅里叶级数的收敛性举例我们考虑以下方波函数f(x),在区间[-π, π]内的定义如下:f(x) = 1, -π < x < 0f(x) = -1, 0 < x < π这个方波函数是一个周期为2π的函数,其图像是一个在[-π, π]内以0为中心的方波。

根据前面的定理,我们可以推断傅里叶级数应该在其周期内收敛于该方波函数。

但是值得注意的是,傅里叶级数的收敛性是点点收敛而不是均匀收敛的。

具体来说,傅里叶级数在方波的间断点(即x=0和x=π)处的收敛速度较慢,其收敛到的函数是使用傅里叶级数逼近的方波的取值的平均值。

【论文】傅里叶变换及应用

【论文】傅里叶变换及应用

摘 要线性变换,尤其是傅里叶变换,是众所周知的解决线性系统问题的技术,人们常将变换作为一种数学和物理工具,把问题转到可以解决的域内.在许多科学分支的理论中,傅里叶变换都扮演着重要的角色.就像其它变换一样,它可以单纯的看作数学泛函.在现代数学中,傅里叶变换是一种非常重要的变换,且在频谱信号、波动及热传导等方面有着广泛的应用.本文首先介绍了傅里叶级数以及傅里叶变换的基本概念、性质及发展;其次介绍了傅里叶变换的不同变种以及多种傅里叶变换的定义;最后介绍了傅里叶变换在周期信号、波动这两个方面的具体的应用,在周期信号方面主要介绍的是基于快速傅里叶变换的信号去噪的应用,而在波动方面主要介绍的是海水仿真系统的研究.最后对本文所讨论的内容进行了总结.关键词:傅里叶变换,波动,频谱信号AbstractLinear transforms ,especially those named for Fourier are well know as provide techniques for solving problems in linear systems characteristically, one uses the transformation as a mathematical or physical tool to alter the problem into one that can be solved.Fourier transforms play an important part in the theory of many branches of science while they may be regarded as purely mathematical functional .In modem mathematics, the Fourier transform is a very important transformation. It has a wide range of application in Spectrum Signal Processing, fluctuations and thermal conductivity, etc. This article introduced the Fourier series and Fourier transform of the basic concepts, the nature and development; followed introduced Fourier transform of the different variants and the definition of a variety of Fourier transform. Finally introduced the specific applications in the frequency spectrum, signal fluctuations and thermal conductivity. Fourier transform in different areas, have different forms ,such as modern studies, voice communications, sonar, seismic and even biomedical engineering study of the signal to play an important role in grams. Finally, the scope of our discussion in this article are summarized.Key words: Fourier transform, volatility , the spectrum signal傅里叶变换及应用目 录第一章 前 言 (1)1.1傅里叶变换的发展 (1)1.2 研究傅里叶变换的意义 (1)第二章 傅里叶级数及变换的理论知识 (3)2.1 傅里叶积分 (3)2.2 实数与复数形式的傅里叶积分 (5)2.3 傅里叶变换式的物理意义 (8)第三章 傅里叶变换的性质及变形 (11)3.1 基本性质 (11)3.2 傅里叶变换的不同形式 (12)第四章 傅里叶变换的应用 (15)4.1波动 (15)4.2周期信号中的傅里叶变换 (19)第五章 工作总结及展望 (25)5.1 总结 (25)5.2 展望 (25)参 考 文 献 (26)致 谢 (27)第一章 前 言1.1傅里叶变换的发展傅里叶分析是分析学中的一个重要分支,在数学发展史上,早在18世纪初期,有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,D`Alembert,L.Euler等人的工作中出现,但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier迈出的,他在著作《热的解析理论》(1822年)中,系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题,此后各国科学家的完善和发展,极大的扩大了傅里叶分析的应用范围,使得这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具,特别是现代实用性很强的“小波分析”理论和方法也是从傅里叶分析的思想方法演变出来的,而Fourier变换变换作为Fourier分析中最为重要的内容正是由于其良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,本文将对傅里叶变换在其中某些领域的应用加以整理和总结.(由于傅里叶在不同的文献中有“傅里叶”和“傅立叶”两种不同的称谓,为了便于阅读,本片论文统一称为“傅里叶”)1.2 研究傅里叶变换的意义从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.根据傅里叶变换的一些特殊性质我们可以发现[1]1. 傅里叶变换是线性算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4.著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5.离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).1在后面的整理中我们可以发现,这些特性的应用为信号周期和波动的研究提供了坚实的基础.2第二章 傅里叶级数及变换的理论知识2.1 傅里叶级数本节简明扼要地复习傅里叶级数的基本内容. 2.1.1 周期函数的傅里叶展开定义2.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数[4]若函数以为周期,即为)(x f l 2)()2(x f l x f =+的光滑或分段光滑函数,且定义域为[ ,则可取三角函数族]l l ,−,......sin ,.....,2sin ,sin ,.....,cos ,,......,2cos ,cos ,1lx k l x l xlx k l x l xππππππ (2-1)作为基本函数族将展开为傅里叶级数(即下式右端级数))(x f sin cos ()(10l xk b l x k a a x f k k k ππ++=∑∞= (2-2) 式(2-2)称为周期函数的傅里叶级数展开式(简称傅氏级数展开),其中的展开系数称为傅里叶系数(简称傅氏系数).)(x f 函数族(2-1)是正交的.即为:其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∫∫∫∫∫−−−−−l llllll l lldx l x n l x k dx lx n l x k dx l x n l x k dx l x k dx lx k 0sin .cos .10sin .sin .10cos .cos .10sin .10cos .1ππππππππ 利用三角函数族的正交性,可以求得(2.1.3)的展开系数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k l l kk dx l x k x f l b dx l x k x f l a )sin()(1)cos()(1ππδ (2-3) 3其中⎩⎨⎧≠==)0( 1)0( 2k k k δ关于傅里叶级数的收敛性问题,有如下定理: 定理 2.1.1狄利克雷(Dirichlet )若函数满足条件:)(x f (1)处处连续,或在每个周期内只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期内只有有限个极值点,则级数(2-3)收敛,且在收敛点有:∑∞=++=10)sin cos ()(k k k l xk b l x k a a x f ππ在间断点有:∑∞=++=−++10)sin cos ()]0()0([21k k k l xk b l x k a a x f x f ππ2.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开 定义 2.1.2 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数[2]若周期函数是奇函数,则由傅里叶系数的计算公式(2-3)可见,所有 均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k a a ,0∑∞==1sin )(k k l xk b x f π (2-4) 这叫作傅里叶正弦级数.容易检验(2-4)中的正弦级数在l x x ==,0处为零.由于对称性,其展开系数为∫=lk dx lx k x f l b 0)sin()(2π若周期函数是偶函数,则由傅里叶系数计算公式可见,所有均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k b ∑∞=+=10cos)(k k lxk a a x f π (2-5) 这称为傅里叶余弦级数.同样由于对称性,其展开系数为∫=lk k dx l x k x f l a 0)cos()(2πδ (2-6)由于余弦级数的导数是正弦级数,所以余弦级数的导数在l x x ==,0处为零.而对于定义在有限区间上的非周期函数的傅里叶级数展开,需要采用类似于高等数学中的延拓法,使其延拓为周期函数.)(x g 42.1.3复数形式的傅里叶级数 定义2.1.3 复数形式的傅里叶级数[8]取一系列复指数函数 ,....,...,,,1,,,..., (22)x k ilx ilxilxilx ilx k i eeeeeeππππππ−−− (2-7)作为基本函数族,可以将周期函数展开为复数形式的傅里叶级数)(xf 利用复指数函数族的正交性,可以求出复数形式的傅里叶系数∫∫−−−==lll x k i l l l xk i k dx e x f l dx e x f l C **])[(21])[(21ππ (2-9)式中“*”代表复数的共轭.上式(2- 9)的物理意义为一个周期为2L 的函数 可以分解为频率为)(x f l n π,复振幅为 的复简谐波的叠加.n c ln π称为谱点,所有谱点的集合称为谱.对于周期函数而言,谱是离散的.尽管是实函数,但其傅里叶系数却可能是复数,且满足:)(x f )(x f *kk C C =−或k k C C =− (2-10) 2.2 实数与复数形式的傅里叶积分上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开,下面讨论非周期函数的级数展开. 2.2.1 实数形式的傅里叶积分[6]定义 2.2.1 实数形式的傅里叶变换式 傅里叶积分 傅里叶积分表示式设非周期函数为一个周期函数当周期)(x f )(x g ∞→l 2时的极限情形.这样,的傅里叶级数展开式)(x g ∑∞=++=10)sin cos()(k k k l x k b lxk a a x g ππ (2-11)在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开.面我们研究这一极限过程:设不连续的参量∞→l )(x f lk l k k k k k πωωωπω=−=Δ==−1,...),2,1,0(故(2-11)为(2-12)∑∞=++=10)sin cos ()(k k k k k x b x a a x g ωω傅里叶系数为5⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k k l l k k k xdx x f l b xdx x f l a ωωδsin )(1cos )(1 (2-13) 代入到 (2-12),然后取∞→l 的极限.对于系数,有限,则0a ∫−ll dx x f )(lim ∫−∞→∞→==l l l l x f l a 0)(21limlim 0而余弦部分为当0,→=Δ∞→ll kπω,不连续参变量k ω变为连续参量,以符号ω代替.对的求和变为对连续参量k ω的积分,上式变为ωωωπxd xdx x f cos ]cos )(1[0∫∫∞∞−∞ 同理可得正弦部分ωωωπxd xdx x f sin ]sin )(1[∫∫∞∞−∞若令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−∞∞−xdxx f B xdx x f A ωπωωπωsin )(1)(cos )(1)( (2-14) 式(2-14)称为的(实数形式)傅里叶变换式.故(2-12)在时的极限形式变为(注意到))(x f ∞→l )()(x f x g →∫∫∞∞+=0sin )(cos )()(ωωωωωωxd B xd A x f (2-15)上式(2-15)右边的积分称为(实数形式)傅里叶积分.(2-15)式称为非周期函数的(实数形式)傅里叶积分表示式.事实上,上式(2-15)还可以进一步改写为)(x f )](/)(arctan[)(),()()()](cos[)()(]sin )(cos )([)(220ωωωϕωωωϕωωωωωωωA B B A x f d x x C x f d x B x A x f =+=−=+=∫∫∫∞∞∞(2-16)上式(2-16)的物理意义为:称为的振幅谱,ωc )(x f ωϕ称为的相位谱.可以对应于物理现象中波动(或振动).我们把上述推导归纳为下述严格定理: )(x f 1.傅里叶积分定理[7]定理2.1.1 傅里叶积分定理 :若函数在区间上满足条件)(x f ),(∞−∞(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件;)(x f (2)在上绝对可积,则可表为傅里叶积分形式(2-15),且在 )(x f ),(∞−∞)(x f )(x f 6的不连续点处傅里叶积分值= 2]0[]0([−++x f x f .2.奇函数的傅里叶积分定义 2.1.2 实数形式的傅里叶正弦积分 傅里叶正弦变换若为奇函数,我们可推得奇函数的傅里叶积分为傅里叶正弦变换:)(x f )(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd B x f (2-17)式(2-1)满足条件其中0)0(=f )(ωB 是的傅里叶正弦变换:)(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd x f B (2-18)3. 偶函数的傅里叶积分定义 2.1.3 实数形式的傅里叶余弦积分 傅里叶余弦变换[8]若为偶函数,的傅里叶积分为傅里叶余弦积分:)(x f )(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωωπxd A x f (2-19)式(2-3)满足条件.其中0)0(=′f )(ωB 是的傅里叶余弦变换:)(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωπωxd x f A (2-20)上述公式可以写成另一种对称的形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00sin )(2)(sin )(2)(xdx x f B xd B x f ωπωωωωπ (2-21)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00cos )(2)(cos )(2)(xdxx f A xd A x f ωπωωωωπ (2-22) 4 复数形式的傅里叶积分定义2.1.4 复数形式的傅里叶积分下面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换,而且很多情形下,复数形式(也称为指数形式)的傅氏积分变换使用起来更加方便.利用欧拉公式则有 )(21sin ),(21cos x i x i x i x i e e ix e e x ωωωωωω−−−=+=7代入式(2-15)得到ωωωωωωωωd e iB A d e iB A x f x i x i −∞∞++−=∫∫)]()([21)]()([21)(00将右端的第二个积分中的ω换为ω−,则上述积分能合并为∫∞∞−=ωωωd e F x f x i )()( (2-23)其中⎩⎨⎧<+≥−=0)( ,2/)]()([0)( ,2/)]()([)(ωωωωωωωiB A iB A F将(2-14)代入上式可以证明无论对于0≥ω,还是0<ω均可以合并为∫∞∞−=dx e x f F x i *])[(21)(ωπω (2-24)证明:(1) 0≥ω时∫∫∞∞−∞∞−=−=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω (2) 0<ω时 ∫∫∞∞−∞∞−=+=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω ∫∫∞∞−∞∞−−==dx e x f dx e x f x i x i *])[(21)(21ωωππ 证毕.(2-23)是的复数形式的傅里叶积分表示式,(2-24)则是的复数形式的傅里叶变换式.述变换可以写成另一种对称的傅氏变换(对)形式)(x f )(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−−∞∞−ωπωωωπωωd e x f F d e F x f x i x i )(21)()(21)( (2-25) 2.3 傅里叶变换式的物理意义傅里叶变换和频谱[2,8]有密切的联系.频谱这个术语来自于光学.通过对频谱的分析,可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质.若已知是以T 为周期的周期函数,且满足狄利克雷条件,则可展成傅里叶级数)(x f )sin cos ()(10x b x a a x f n n n n n ωω++=∑∞= (2-26)其中Tn n n πωω2==,我们将x b x a n n n n ωωsin cos +称为的第次谐波,)(x f n n ω称为第n 次谐波的频率.由于)cos(sin cos 22n n n n n n x b a x b x a ϕωωω−+=+其中abarctan =ϕ称为初相,22b a +称为第次谐波的振幅,记为,即n n A 0022 1,2,...)(n a A b a A n ==+= (2-27)若将傅里叶级数表示为复数形式,即(2-28)∑∞−∞==n xi nn e C x f ω)(其中22212||||n n n n n b a A C C +===−恰好是次谐波的振幅的一半.我们称为复振幅.显然n 次谐波的振幅与复振幅有下列关系:n n c n n C A 2= ,...)2,1,0(=n (2-29)当取这些数值时,相应有不同的频率和不同的振幅,所以式(2-14)描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图通常是指频率和振幅的关系图.称为函数的振幅频谱(简称频谱).若用横坐标表示频率.....3,2,1,0=n n A )(x f n ω,纵坐标表示振幅,把点n A .....3,2,1,0),,(=n A n n ω用图形表示出来,这样的图形就是频谱图.由于,所以频谱的图形是不连续的,称之为离散频谱......3,2,1,0=n n A 2.3.1 傅里叶变换的定义[7]由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论,最后我们以简洁的复数形式(即指数形式)作为傅里叶变换的定义. 定义2.3.1 傅里叶变换若满足傅氏积分定理条件,称表达式)(x f (2-30)∫∞∞−−=dx e x f F x i ωω)()( 为的傅里叶变换式,记作.我们称函数)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(ωF 为的傅里叶变换,简称傅氏变换(或称为像函数). )(x f 定义2.3.2 傅里叶逆变换 如果∫∞∞−=dxe F xf x i ωωπ)(21)( (2-31)则上式为的傅里叶逆变换式,记为,我们称为)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(x f )(ωF (或称为像原函数或原函数)的傅里叶逆变换,简称傅氏逆变换.由(2-30)和(2-31)知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换,即有)()]([)]]([[)]([111x f x f F F x f F F F F ===−−−ω (2-32)或者简写为)()]([1x f x f F F =− 2.3.2多维傅氏变换在多维(n 维)情况下,完全可以类似地定义函数的傅氏变换如下:),,,(21n x x x f L )],...,,([),...,,(2121n n x x x f F F =ωωωn x x x i n dx dx dx e x x x f n n ...),...,,(....21)...(212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=ωωω它的逆变换公式为:()n x x x i n n n d d d e F x x x f n n ωωωωωωπωωω...),...,,(. (21)),...,,(21)...(21212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=2.3.3傅里叶变换的三种定义式在实际应用中,傅里叶变换常常采用如下三种形式,由于它们采用不同的定义式,往往给出不同的结果,为了便于相互转换,特给出如下关系式: 1.第一种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωπω)(21)(1,,)(21)(1∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 2.第二种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωω)()(2,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i )(21)(2 3.第三种定义式∫∞∞−−=dx e x f F x i πωω23)()(,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 23)()(三者之间的关系为)2(21)(21321πωπωπF F F ==三种定义可统一用下述变换对形式描述:⎩⎨⎧==−)]([)()]([)(1ωωF F x f x f F F 特别说明:不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义,所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数,比如ππ21,21.本文采用的傅氏变换(对)是大量书籍中常采用的统一定义,均使用的是第二种定义式.第三章 傅里叶变换的重要特性傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)的积分的线性组合.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.3.1 基本性质[1,8]1.线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和.数学描述是:若函数和的傅里叶变换和都存在,)(x f )(x g )(f F )(g F α和β为任意常系数,][][][g F f F g f F βαβα+=+. 2.平移性质若函数存在傅里叶变换,则对任意)(x f 实数0ω,函数也存在傅里叶变换,且F x i e x f 0)(ω=])([0x i e x f F ω)(o ωω−. 3.微分关系若函数当)(x f ∞→x 时的极限为0,而其导函数的傅里叶变换存在,则有 ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子)(x f )]([)](['x f F i x f F ω=ωi .更一般地,若,且存在,则,即k阶0)(....)()()1('=±∞==±∞=±∞−k f f f )]([)(x f F k ][)()]([)(f F i x f F k k ω=导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子.k i )(ω4.卷积特性若函数及都在上)(x f )(x g ),(+∞−∞绝对可积,则卷积函数∫+∞∞−−=ξξξd g x f g f )()(*的傅里叶变换存在,且][].[]*[g F f F g f F =.卷积性质的逆形式为)]([*)]([)]()([111ωωωωG F F F G F F −−−=即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积. 5.Parseval 定理若函数)(x f 可积且平方可积,其中)(ωF 是的傅里叶变换.(查正确性) )(x f 则∫∫+∞∞−+∞∞−=ωωπd F dx x f 22)(21)( 3.2傅里叶变换的不同变种1.连续傅里叶变换[8]一般情况下,若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”.“连续傅里叶变换”将平方可积的函数表示成复指数函数的积分或级数形式.)(t f ∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωπω)(21)]([)(这是将频率域的函数)(ωF 表示为时间域的函数的积分形式. 连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform )为)(t f ∫∞∞−−==ωωπωωd e F F F t f t i )(21)]([)(1即将时间域的函数表示为频率域的函数)(t f )(ωF 的积分.一般可称函数为)(t f 原函数,而称函数)(ωF 为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair ).除此之外,还有其它型式的变换对,以下两种型式亦常被使用.在通讯或是讯号处理方面,常以πω2=f 来代换,而形成新的变换对 : ∫∞∞−−==dt e t x t x F f X fti π2)()]([)( ∫∞∞−−==df e f X f X F t x ft i π21)()]([)( 或者是因系数重分配而得到新的变换对:∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωω)()]([)(∫∞∞−−==ωωπωωd eF F F t f ti )(21)]([)(12.离散傅里叶变换定义3.2.1[1]给定一组数据序列{}1.....2,1,0,−==N n y y n ,离散傅里叶变换为序列:10,][10/2−≤≤==∑−=−N n e y y F y N n N kn i n n k π离散傅里叶逆变换为:10,1][1/2−≤≤==∑−=N k ey Ny F y N k Nkn i k k n π定理3.1 对于离散傅里叶变换,以下性质成立.1.移位或平移.若且n s y ∈1+=k k y z ,那么,这里 j j j y F z F ][][ω=n i e /2πω=2.卷积.若且,那么下面的序列n s y ∈n s z ∈∑−=−=10]*[n j j k j k z y z y也在中.序列称为和的卷积.n s z y *y z 3.若是一实数序列,那么n s y ∈k k n k k n y y n k y F y F ))=≤≤=−− 0 , ][][或. 3.快速傅里叶变换快速傅氏变换(FFT),是离散傅氏变换的快速算法,它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性,对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

傅里叶级数逐点收敛性1

傅里叶级数逐点收敛性1
i =1 n
xi
xi −1 xi
f ( x ) − f * ( x ) dx = ∑ ∫
i =1 n
xi
xi −1
f ( x ) − mi dx
≤ ∑ ∫ ωi dx = ∑ ωi Δxi < ε
i =1 xi −1 i =1
由此,我们可得:
∫ f ( x ) sin pxdx ≤ ∫ f ( x ) − f ( x ) dx + ∫
∫ f ( x ) sin pxdx
a
b
的积分当 p → ∞ 时的性质,为此,先引入一个引理:
Riemann-Lebesgue 引理:设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上可积或广义绝对可积,则有:
b ⎧sin px ⎫ lim ∫ f ( x ) ⎨ ⎬ dx = 0 ,其中 p ∈ R 。 a p →∞ ⎩cos px ⎭
证明: 证明思路是分为如下三个步骤进行: ① 对 f ( x ) 为阶梯函数证明结论; ② 对 f ( x ) 为 Riemann 可积函数证明结论; ③ 对 f ( x ) 为广义绝对可积函数证明结论。 ① 假设 f ( x ) 为一阶梯函数,即:
f ( x ) = ci , xi ≤ x < xi +1 , i = 0,1," , n − 1 , a = x0 < x1 < " < xn = b ,
因而 S n f ( x0 ) 之收敛性只与
(
)
1
π

δ
0
⎡ ⎣ f ( x0 + u ) + f ( x0 − u ) ⎤ ⎦
sin ( n + 1 2 )u 2sin 1 2u

Fourier级数的收敛性和计算方法

Fourier级数的收敛性和计算方法

Fourier级数的收敛性和计算方法傅里叶级数是一种用于描述周期性函数的函数级数,它由一组基函数构成,这些基函数是余弦函数和正弦函数。

傅里叶级数可以用来表达任何周期性函数,无论它的形态如何,而且可以对这些函数进行分析和处理。

在这篇文章中,我们将探讨傅里叶级数的收敛性和计算方法。

一、傅里叶级数的定义傅里叶级数可以用以下形式表示:$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\omegax)+b_n\sin(n\omega x)]$其中,$f(x)$是一个周期为$T$的函数,$\omega=\frac{2\pi}{T}$是角频率,$a_0$、$a_n$和$b_n$是常数,称为傅里叶系数。

$a_0$表示$f(x)$在一个周期内的平均值,$a_n$和$b_n$分别表示$f(x)$在一个周期内的偶函数和奇函数的振幅。

二、傅里叶级数的收敛性傅里叶级数是否收敛是一个重要的问题。

如果它收敛,那么我们可以用级数来逼近原函数;但如果它不收敛,那么级数就不能用来逼近原函数,我们需要采用其他方法。

我们知道,一个函数的收敛性可以通过其四个部分来评估,即其绝对值函数、相邻两个极差之和、偏导数的和以及傅里叶系数的和。

如果这几个部分都可以收敛,那么函数就是可积的,其傅里叶级数也是收敛的。

傅里叶级数收敛的一个重要性质是,如果$f(x)$是$L^2$函数,那么其傅里叶级数就一定收敛。

这是因为$L^2$函数的傅里叶系数是有界的,而且其级数收敛于$L^2$空间中的$f(x)$。

因此,$L^2$函数的傅里叶级数对于绝大多数函数而言都是收敛的。

三、傅里叶级数的计算方法在计算傅里叶级数时,我们通常需要计算它的各个傅里叶系数。

这是一项相对简单但繁琐的工作,需要计算许多积分和三角函数。

下面介绍一些常见的计算方法:1.奇偶拓展法如果$f(x)$是一个偶函数,那么它可以表示为一个余弦级数,其$b_n$都为0。

傅里叶级数和傅里叶变换

傅里叶级数和傅里叶变换

第九章 傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动(即相隔一定时间间隔往复循返的过程)。

例如,日月星球的运动,海洋潮汐的运动,电磁波与声波的运动,工厂里机器部件的往复运动,时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等,都是周期性运动。

为了描述周期性的运动过程,数学上是借助某类函数来描述的。

当然这类函数也要体现出周期性。

这类函数称为周期函数。

在前面几章中,为了研究函数的性质,常常采用分析表示法,将这些函数在某区域展开成幂级数的形式,如泰勒级数或罗朗级数。

但是,这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的,那么,对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢?这就是本章要讨论的内容。

9.1 周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数 凡满足以下关系式:)()(x f T x f =+ (T 为常数) (9.1.1) 的函数,都称为周期函数。

周期的定义(1) 满足式(9.1.1)的T 值中的最小正数,即为该函数的周期; (2) 一个常数以任何正数为周期。

9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。

如下形式的函数系:1,x l πcos,x l πsin,x l π2cos ,x l π2sin ,…,x l k πcos ,x lk πsin ,… (9.1.2)称为基本三角函数系。

所有这些函数具有各自的周期,例如x l k πcos 和x lk πsin 的周期为kl2,但它们的共有周期为l 2(即所有周期的最小公倍数)。

通常这个周期命名为函数系的周期。

所以式(9.1.2)的三角函数系的周期为l 2。

如果我们将基本三角函数系中的函数,任意取n 个组合,则我们可以得到一个较复杂的函数。

例如图9.1(a )是两个函数的组合x lx l x f ππ2sin 21sin )(-=;图9.1(b )是三个函数的组合x lx l x l x f πππ3sin 312sin 21sin )(+-=。

傅里叶级数及其性质

傅里叶级数及其性质

傅里叶级数及其性质是研究周期函数的一个重要分支。

傅里叶级数最初是由法国数学家傅里叶在研究热传导问题时提出的。

它主要用于将复杂的周期函数分解为一组简单的正弦函数的和,使得人们可以更加清晰地理解周期函数的性质。

傅里叶级数的表示形式为:$$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)$$其中,$a_0$、$a_n$、$b_n$都是常数系数,$x$是自变量。

傅里叶级数表示了一个周期为$2\pi$的函数$f(x)$可以分解为多个周期为$\frac{2\pi}{n}$($n=1,2,3,\cdots$)的正弦和余弦函数的和。

其中$a_n$和$b_n$分别表示$f(x)$在一个周期内的偶函数和奇函数的系数,$a_0$表示$f(x)$在一个周期内的平均值。

傅里叶级数的推导过程需要借助于正交函数的思想。

将一组正交函数与一个函数进行内积运算,得到的系数就是该函数在这组正交函数上的投影。

傅里叶级数就是将正弦和余弦函数作为正交函数来分解一个周期函数$f(x)$的过程。

傅里叶级数的性质十分重要,它们不仅为理解周期函数提供了便捷的工具,同时也具有重要的数学意义。

下面将介绍傅里叶级数的四个主要性质。

1. 周期性傅里叶级数是一个周期为$2\pi$的函数,这一点可以从其表示形式看出。

由于正弦和余弦函数都是周期为$2\pi$的函数,所以傅里叶级数表示的周期函数也是周期为$2\pi$的。

这个周期可以通过对傅里叶级数中的每个正弦和余弦函数的周期求最小公倍数得到。

2. 收敛性傅里叶级数有可能不收敛,也有可能收敛于非周期函数。

关于傅里叶级数的收敛性,有一个重要的结论称为狄利克雷条件:如果一个周期函数在一个周期内满足狄利克雷条件,那么其傅里叶级数必定收敛于该函数。

狄利克雷条件是指周期函数在一个周期内必须满足以下两个条件之一:(1) 函数在一个周期内只有有限个极值点(包括最大值和最小值);(2) 函数在一个周期内只有有限个不连续点(包括第一类和第二类不连续点)。

傅里叶级数和傅里叶变换的关系和区别

傅里叶级数和傅里叶变换的关系和区别

傅里叶级数和傅里叶变换的关系和区别摘要:一、傅里叶级数简介二、傅里叶变换简介三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系四、傅里叶级数与傅里叶变换的区别五、应用场景分析正文:傅里叶级数和傅里叶变换是数学和工程领域中广泛应用的两种信号处理方法。

它们在一定程度上具有相似性,但也存在明显的区别。

下面我们将分别介绍这两种方法,并探讨它们之间的关系和区别。

一、傅里叶级数简介傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数和的形式。

任何一个周期函数都可以表示为傅里叶级数,这种表示方法在信号处理、图像处理等领域具有广泛的应用。

傅里叶级数提供了将复杂信号分解为简单正弦和余弦函数的和的方法,从而便于分析和处理。

二、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。

通过傅里叶变换,我们可以将一个信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数的乘积。

傅里叶变换在信号处理、通信、图像处理等领域具有重要应用价值。

与傅里叶级数相似,傅里叶变换也将复杂信号分解为简单的正弦和余弦函数,但它在处理非周期信号时具有优势。

三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在一定程度上具有关联。

傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在特定条件下的特例。

当信号为周期信号时,傅里叶变换可以退化为傅里叶级数。

因此,我们可以将傅里叶级数看作是傅里叶变换的一个基本概念,而傅里叶变换则是傅里叶级数的扩展和推广。

四、傅里叶级数与傅里叶变换的区别1.适用范围:傅里叶级数适用于周期性信号的处理,而傅里叶变换可以处理非周期性和周期性信号。

2.表达形式:傅里叶级数将周期信号表示为正弦和余弦函数的和,傅里叶变换将信号表示为不同频率正弦和余弦函数的乘积。

3.计算复杂度:傅里叶级数计算相对简单,但随着信号长度的增加,计算量呈线性增长;傅里叶变换计算复杂度较高,但随着信号长度的增加,计算量呈指数增长。

五、应用场景分析1.傅里叶级数应用场景:在需要处理周期性信号时,如信号处理、图像处理等领域,可以采用傅里叶级数进行信号分解和分析。

傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题

傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题

1、傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题由于傅里叶级数是一个无穷级数,因而存在收敛问题。

这包含两方面的意思:是否任何周期信号都可以表示为傅里叶级数;如果一个信号能够表示为傅里叶级数,是否对任何t 值级数都收敛于原来的信号。

关于傅里叶级数的收敛,有两组稍有不同的条件。

第一组条件:如果周期信号()t x 在一个周期内平方可积,即()∞<⎰dt T t x 2则其傅里叶级数表达式一定存在。

第二组条件,与第一组条件稍有不同,就是狄里赫利条件,它包括以下三点:(1)在任何周期内,x 必须绝对可积,即()∞<⎰dt t x T 0(2)在任何周期内,()t x 只有有限个极值点,且在极值点处的级值为有限值。

(3)在任何有限区间内,()t x 只有有限个间断点,且在这些不连续点处,()t x 为有限值。

傅里叶变换的收敛问题也有两组类似的条件:第一组条件:如果()t x 平方可积,即()∞<⎰∞∞-dt t x 2则()t x 的傅里叶变换存在。

满足上式可以保证()ΩX 为有限值。

第二组条件也称为狄里赫利条件,这就是:(1)()t x 绝对可积,即()∞<⎰∞∞-dt t x (2)在任何有限区间内,()t x 只有有限个极值点,且在这些极值点处的极值是有限值。

(3)在任何有限区间内,()t x 只能有有限个间断点,而且这些间断点都必须是有限值。

吉布斯现象:当简单地把信号频谱截断时,相当于给信号频谱加上了一个矩形窗口函数,正是由于矩形窗口函数的时域特性导致了在间断点处的吉布斯现象的产生。

2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题假定()t x 是一个长度为N 的有限长序列,将()t x 以N 为周期延拓而成的周期序列为()n x ~,则有()()∑∞-∞=-=r rN n x n x ~ 或表示为()()()N n x n x =~。

于是()n x ~与()n x 的关系表示为:()()()N n x n x =~()()()n R n x n x N ~= 将()n x ~表示为离散时间傅里叶级数有:()()kn N N n W k X N n x --=⋅=∑10~~1 ()()kn NN n W n x k X ⋅=∑-=10~~ 其中()k X ~是傅里叶级数的系数,这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换是数学分析中两个重要的概念和理论工具,它们在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛的应用。

傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列谐波的方法,而傅里叶变换是将非周期函数分解成连续谱的方法。

首先,我们来介绍一下傅里叶级数。

傅里叶级数是将一个周期为T的函数f(t)展开为一系列谐波的和的形式,其中每个谐波都有一个特定的频率和振幅。

傅里叶级数的基本公式为:f(t) = a0 + Σ(An cos(nω0t) + Bn sin(nω0t))其中a0表示直流分量,An和Bn分别表示正弦和余弦项的振幅,n为谐波的阶数,ω0为基本频率。

傅里叶级数的系数可以通过求解积分或者利用傅里叶级数的性质进行计算。

傅里叶级数的应用十分广泛。

例如在信号处理中,傅里叶级数可以用来将一个周期信号分解为多个频率成分,从而进行频域分析和滤波等操作。

此外,傅里叶级数也可以用来恢复被损坏的信号,例如在音频和图像压缩中,傅里叶级数可以用来还原被压缩的信号。

接下来,我们来介绍傅里叶变换。

傅里叶变换是将一个非周期函数f(t)分解成连续的频谱。

傅里叶变换的基本公式为:F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)] dt其中F(ω)表示函数f(t)在频率ω处的频谱,e^(-jωt)是一个旋转复指数,j为虚数单位。

傅里叶变换的结果是一个连续的函数,其中包含了函数f(t)在不同频率上的振幅和相位信息。

傅里叶变换的应用也非常广泛。

在信号处理中,傅里叶变换可以用来将一个时域信号转换成频域信号,在频域进行滤波、增强和分析操作。

在图像处理中,傅里叶变换可以用来进行图像的频域滤波、边缘检测和压缩等操作。

在物理学中,傅里叶变换可以用来研究波动、振动和量子力学等问题。

傅里叶级数和傅里叶变换是相互联系的。

当一个函数是周期函数时,傅里叶级数可以通过傅里叶变换来计算。

而当一个函数是非周期函数时,傅里叶变换可以通过傅里叶级数来近似计算。

总之,傅里叶级数和傅里叶变换是数学分析的两个重要工具,它们在信号处理、图像处理和物理学等领域具有广泛的应用。

4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换

4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换



R( ) R( ) X ( ) X ( )
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F ( j) F ( j) e j ( )
| F ( j) |= R2 () + X 2 ()
R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )
f (t) 为偶函数, 相位频谱为:
F ( j ) 为
且为

的实函数,
( ) 0
的偶函数。
4.4 连续时间信号傅里叶变换 例:利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换
f (t ) e
1 lim e
0
t
(a>0)
t
FT [1] lim F ( j )
0
2 lim 2 0 2

0
0 0
lim
2[

2 ( )
2 d( )
2
2 lim d 0 2 2
0
1 ( )2
( 2 )]
lim 2 arctan( ) 0
dt
e e
t

0
j t
dt e
0

t
e
j t
dt

1 j
1 j
2 2 2
4.4 连续时间信号傅里叶变换 双边指数信号一
f (t ) e
t
(a>0)
2 F ( j ) 2 2
其振幅频谱为:
2 F ( j ) 2 2
t0 t0
t0 t0
f (t ) sgn(t )

(完整版)傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用本科毕业论文

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本科生毕业论文(申请学士学位)论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用学生:(签字)论文答辩日期:2014年x月xx日指导教师:(签字)目录摘要: ...........................................................................................................................................................关键词 ........................................................................................................................................................... Abstract....................................................................................................................................................... 1绪论 ............................................................................................................................................................ 2傅里叶级数的概念 ....................................................................................................................................2.1周期函数 ................................................................................................................................................2.2傅里叶级数的定义 ................................................................................................................................3 傅里叶变换的概念及性质 .......................................................................................................................3.1傅里叶变换的概念 ................................................................................................................................3.2傅立叶变换的性质 ................................................................................................................................ 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 ........................................................................................ 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 ............................................................................................................5.1傅里叶级数的应用 ................................................................................................................................5.2傅里叶变换的应用 ................................................................................................................................参考文献 .......................................................................................................................................................傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用摘要:傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析,而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式,它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。

傅里叶级数基本概念

傅里叶级数基本概念

傅里叶级数基本概念傅里叶级数是描述周期性函数的一种数学工具,它是由法国数学家傅里叶在1807年提出的。

它的核心思想是将任意周期为2π的函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。

傅里叶级数的应用非常广泛,涉及到信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。

本文将介绍傅里叶级数的基本概念和相关理论。

一、傅里叶级数的定义傅里叶级数是指将一个周期为T的函数f(t)表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。

具体来说,对于一个周期为T的函数f(t),它的傅里叶级数表示为:f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中,a0为直流分量,an和bn为函数f(t)的谐波分量的系数,n为谐波的次数,ω为基频的角频率。

二、傅里叶级数的系数计算傅里叶级数的系数an和bn可以通过函数f(t)在一个周期内的积分计算得到。

具体而言,an和bn的计算公式如下:an = (2/T) * ∫[f(t)*cos(nωt)]dtbn = (2/T) * ∫[f(t)*sin(nωt)]dt其中,积分上限和下限分别为函数f(t)的一个周期的起点和终点。

三、傅里叶级数的收敛性傅里叶级数中的每一项都可以视为一个谐波分量,它们的频率是基频频率的整数倍。

随着谐波次数的增加,谐波的频率也越来越高,对应的周期也越来越短。

在理论上,傅里叶级数包含了无穷多项的谐波分量,但实际应用中,通常只需要考虑到一定的谐波分量。

傅里叶级数的收敛性指的是,当考虑足够多的谐波分量时,傅里叶级数能够逼近原始函数f(t),即随着谐波次数的增加,傅里叶级数与原始函数之间的误差不断减小。

然而,并不是所有的函数都具有良好的收敛性。

对于一些特殊的函数,傅里叶级数可能无法完全逼近原始函数,或者在某些点上存在收敛性问题。

四、傅里叶级数的频谱图傅里叶级数中的系数an和bn描述了原始函数在不同频率下的强度。

通过对an和bn的幅值进行绘制,可以得到函数f(t)的频谱图。

第3讲傅里叶级数变换的性质

第3讲傅里叶级数变换的性质

傅里叶变换的物理含义
X j1 e j1t X j e j 2 t 2 j3t X j e 3 xt j N t X j e N
1 xt 2
共轭
F xt X j
F x * t X * j
证明:



x t e
*
j t
dt xt e

j t
* du X j
*
实信号的共轭对称性
F x t X j F x * t X * j
第3讲 傅里叶级数/变换的性质
徐静
内容提要
回顾:傅里叶级数的定义 傅里叶级数的性质 回顾:傅里叶变换的定义 傅里叶变换的物理含义 傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质与傅里叶变换对列表
(掌握)
傅里叶级数回顾
xt
1 ak T
jk 2 T t a e k
Differentiation and Integration
dx(t ) j X ( j ) (可将微分运算转变为代数运算) 则 dt
1 (将 x(t ) 2
t



X ( j )e j t d 两边对t 微分即得该性质)
1 (时域积分特性) x( )d j X ( j ) X (0) ( ) 积分所产 由时域积分特性从 (t ) 1 生的直流 或平均值 1 也可得到: u (t ) ( ) j 微分?
1 C k al T l


T
y (t )e j ( k l )0t dt

一傅里叶变换的收敛问题傅里叶变换

一傅里叶变换的收敛问题傅里叶变换

作 业一.傅里叶变换的收敛问题:既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发,讨论周期趋于无穷大时的极限得来的,傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。

傅里叶级数的收敛性:满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。

狄利赫里条件如下:1. 在任何周期内,x(t)须绝对可积;2. 在任一有限区间中,x(t)只能取有限个最大值或最小值;3. 在任何有限区间上,x(t)只能有有限个第一类间断点。

下面举一个简单的例子是方波信号,对称方波的傅里叶展开:⎩⎨⎧<<--+<<+=0,4/0,4/)(x x x f ππππ∑=--=mn m n xn x S 112)12sin()()()(lim x f x S m m =∞→如上图所示:如果合成的波形所包含的谐波分量愈多时,除间断点附近外,它愈接近于原方波信号,在间断点附近,随着所含谐波次数的增高,合成波形的尖峰愈靠近间断点,但尖峰幅度并没有明显减小.可以类推,当谐波次数趋于无穷大时,在间断点处仍有约9%的偏差,这种现象称为吉布斯现象。

二.周期序列的傅里叶级数展开与傅里叶变换之间的问题:周期序列的傅里叶级数:当 ()xn 是周期为N 的一个周期序列, ()()xn x n rN =+,r 为任意整数,这个周期序列不是绝对可和的,不能用Z 变换表示,那么它可以离散傅里叶级数表示,也就是说用周期为N 的复指数序列来表示, 1012()()exp()N k x n X K j kn N Nπ-==∑,其中()X K 是K 次谐波的系数,然后求出 12()()exp()N n X K xn j kn N π-==-∑,它是对 ()xn 的一个周期x(n)作Z 变换,然后将Z 变换在Z 平面单位圆上按等间隔角2/N π抽样而得到的。

周期序列的傅里叶变换:实际上是对有限长序列的傅里叶变换,如果把长度为N 的有长限长序列x(n)看成周期为N 的序列的一个周期的话,把 ()xn 看成是x(n)的以N 为周期的周期延拓, ()()()Nx n x n R n =,此时周期序列的傅里叶变换 ()()()N X K X K R K =,事实上,对频域的周期序列 ()X K 可以看作是对有限长序列()X K 的周期延拓,而有限长序列()X K 可以看作是周期序列 ()X K 的主值序列.三.频率分辨率的问题:其实频率分辨率和分辨力都来源于外文Resolution,它是表征图像细节的能力。

傅里叶级数收敛的充分必要条件

傅里叶级数收敛的充分必要条件

傅里叶级数是数学中的一种重要概念,它可以将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的无穷级数。

而对于一个给定的函数,我们希望知道其对应的傅里叶级数是否收敛,以及如何判断它的收敛性。

在本文中,我们将讨论傅里叶级数收敛的充分必要条件,以及相关的数学定理和证明。

一、傅里叶级数的定义傅里叶级数可以表示为以下形式:f(x) = a0 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中,f(x)为周期为2π的函数,a0为常数项,an和bn为系数。

根据傅里叶级数的定义,我们可以将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。

二、傅里叶级数的收敛性对于一个给定的函数f(x),我们希望知道其对应的傅里叶级数是否收敛。

根据傅里叶级数的收敛性定理,我们可以得到如下结论:1. 当函数f(x)在有限区间上绝对可积时,对应的傅里叶级数收敛于f(x)。

这一定理的证明可以通过分析函数f(x)的积分性质和傅里叶级数的部分和序列得出。

由于绝对可积函数具有有界性和可积性,因此其对应的傅里叶级数在有限区间上是收敛的。

2. 当函数f(x)是分段连续且周期为2π时,对应的傅里叶级数收敛于f(x)。

这一定理的证明可以通过分析分段连续函数的性质和傅里叶级数的逼近性得出。

由于分段连续函数可以用连续函数逼近,而连续函数对应的傅里叶级数是收敛的,因此分段连续函数对应的傅里叶级数也是收敛的。

傅里叶级数收敛的充分必要条件是:函数f(x)在有限区间上绝对可积或者是分段连续且周期为2π。

三、傅里叶级数收敛性的分析在实际的应用中,我们常常需要分析函数对应的傅里叶级数的收敛性。

对于某些特定的函数,我们可以通过具体的分析和计算得到其对应的傅里叶级数,并进一步判断其收敛性。

在实际计算中,我们可以利用傅里叶级数的积分形式和部分和序列的性质,来分析傅里叶级数的收敛性。

另外,在实际的应用中,我们也可以利用傅里叶级数收敛的充分必要条件来判断函数的可积性和连续性。

通过分析函数的性质,我们可以得到对应的傅里叶级数是否收敛的结论。

傅里叶级数证明自然数倒数平方和

傅里叶级数证明自然数倒数平方和

傅里叶级数证明自然数倒数平方和傅里叶级数是数学中的一个重要概念,它可以用来表示周期函数。

在数学中,周期函数是指在一个固定区间内以固定的周期重复变化的函数。

而傅里叶级数的核心思想是通过不同频率的正弦和余弦函数的线性组合来逼近任意周期函数。

在本文中,我们将探讨傅里叶级数是如何证明自然数倒数平方和的,希望通过深入的讨论,让读者对这一概念有更深刻的理解。

1. 傅里叶级数的基本原理傅里叶级数的基本原理是,任意周期为2L的函数f(x)可以在区间[-L, L]上展开成一个正弦函数和余弦函数的级数之和:\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\frac{n\pi x}{L} + b_n \sin \frac{n\pi x}{L} \right) \]其中,系数a0、an和bn可以通过积分计算得出。

这就是傅里叶级数的基本表示形式,它可以用来逼近周期函数f(x)。

2. 自然数倒数平方和的证明现在,让我们来看看傅里叶级数是如何证明自然数倒数平方和的。

自然数倒数平方和是指求解无穷级数\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \]的和。

这个级数在数学中有着重要的意义,它的和被称为ζ(2)或π²/6,是一个无理数。

要证明自然数倒数平方和,我们可以使用傅里叶级数的思想。

现在,让我们考虑周期函数f(x) = x(π-x)在区间[0, π]上的傅里叶级数展开。

3. 傅里叶级数展开根据傅里叶级数的定义,我们可以计算出展开系数an和bn。

经过一系列的计算和推导,可以得出:\[ a_n = \frac{2(-1)^n}{n^2} \quad b_n = 0 \]将这些展开系数代入傅里叶级数的公式中,可以得到:\[ f(x) = \frac{\pi^2}{6} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^2} \]4. 结论和个人观点通过上述的推导,我们得到了一个重要的结论:自然数倒数平方和等于π²/6。

傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛

傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛

傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛1. 傅里叶级数是一种非常重要的数学工具,对于描述周期性函数的性质和变化规律具有非常广泛的应用。

而傅里叶系数则是描述傅里叶级数的系数,关于傅里叶级数的收敛性和傅里叶系数的收敛性也是一个非常重要且有趣的数学问题。

2. 让我们来了解一下什么是傅里叶级数和傅里叶系数。

傅里叶级数是指一种表示周期函数为正弦和余弦函数之和的级数,而傅里叶系数则是指在傅里叶级数中正弦和余弦函数的系数。

这里需要特别注意的是,傅里叶级数和傅里叶系数是通过对原始函数进行周期延拓和展开得到的,因此傅里叶级数和傅里叶系数的性质与原始函数的性质密切相关。

3. 接下来,让我们来研究傅里叶级数的收敛性。

傅里叶级数的收敛性是指在什么条件下,傅里叶级数对原始函数进行逼近的效果好,即部分和能逼近原函数。

而傅里叶系数绝对收敛则是指傅里叶级数的系数在绝对值意义下收敛。

根据数学理论,对于绝对收敛的级数,其部分和序列是收敛的,且收敛于该级数的和。

4. 当傅里叶系数绝对收敛时,可以推导出傅里叶级数在每一点收敛于原函数的平均值。

这个结论对于信号处理、图像处理、物理学等领域有着重要的应用。

傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛的结论对于理解和应用傅里叶分析具有重要意义。

5. 个人观点和理解:傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛这一结论的证明涉及到一些复杂的分析和变换技巧,需要对傅里叶级数的性质进行详细的研究和推导。

然而,一旦理解了这个结论,就能够更深刻地理解傅里叶分析的精髓,并将其应用到实际问题中去。

6. 总结回顾:在本文中,我们对傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛这一重要结论进行了深入的讨论。

通过对傅里叶级数和傅里叶系数的定义和性质进行梳理和分析,我们得出了傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛的重要结论。

这一结论对于理解傅里叶分析的本质和应用具有重要的意义。

以上就是我根据您提供的主题“傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛”撰写的文章,希望对您有所帮助。

傅里叶级数收敛

傅里叶级数收敛

傅里叶级数收敛傅里叶级数是非常重要的数学概念,它关于一个函数的全体和的收敛性是很关键的问题。

傅里叶级数和傅里叶变换都是描述一类非常重要的具有周期性的函数的数学工具。

下面将介绍傅里叶级数的概念以及他们的收敛性。

第一步,介绍傅里叶级数的概念。

傅里叶级数是指,把一个周期函数表示成一个三角函数的无穷级数的形式。

用下面的式子可以表示:$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n\cos(\frac{2\pi}{T}nx)+b_n\sin(\frac{2\pi}{T}nx))}$其中,$T$代表函数的周期,$a_n$ 和 $b_n$ 分别是 n 次正余弦函数的系数。

$a_0$ 是一个与等于周期函数 $f(x)$ 的均值。

第二步,接下来需要研究傅里叶级数的收敛性。

一个函数的傅里叶级数是否收敛,取决于该函数是否对于其周期是积分平方可积,这个条件被称为 Dirichlet 条件。

在实际中,如果周期函数$f(x)$满足Fourier Dirichlet条件,我们就会得到,$\frac{a_0^2}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n^2+b_n^2)}<\infty$这就是说傅里叶级数收敛于原周期函数。

第三,需要注意的是,存在一些函数满足Dirichlet条件,但它的傅里叶级数不收敛到原函数。

这种情况被称为可减少的 Gibbs 现象。

这意味着即使周期函数满足 Fourier Dirichlet 条件,傅里叶级数仍然可能收敛于一个函数,它与原函数仅有一个截断误差,并且截断误差在一些点上是很大的。

最后,值得一提的是,有时候我们不需要完整的傅里叶级数,我们可以通过仅仅计算几个傅里叶系数来得到一个名为方式回归的近似方法,这个方法是基于傅里叶级数的收敛性。

方法回归是一种比完整傅里叶级数更高效的方法,特别是在大型数据集上。

综上所述,傅里叶级数是描述周期函数的一个非常重要的数学工具。

傅里叶变换是否收敛

傅里叶变换是否收敛

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1、傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题由于傅里叶级数是一个无穷级数,因而存在收敛问题。

这包含两方面的意思:是否任何周期信号都可以表示为傅里叶级数;如果一个信号能够表示为傅里叶级数,是否对任何t 值级数都收敛于原来的信号。

关于傅里叶级数的收敛,有两组稍有不同的条件。

第一组条件:如果周期信号()t x 在一个周期内平方可积,即()∞<⎰dt T t x 2则其傅里叶级数表达式一定存在。

第二组条件,与第一组条件稍有不同,就是狄里赫利条件,它包括以下三点:(1)在任何周期内,x 必须绝对可积,即()∞<⎰dt t x T 0(2)在任何周期内,()t x 只有有限个极值点,且在极值点处的级值为有限值。

(3)在任何有限区间内,()t x 只有有限个间断点,且在这些不连续点处,()t x 为有限值。

傅里叶变换的收敛问题也有两组类似的条件:第一组条件:如果()t x 平方可积,即()∞<⎰∞∞-dt t x 2则()t x 的傅里叶变换存在。

满足上式可以保证()ΩX 为有限值。

第二组条件也称为狄里赫利条件,这就是:(1)()t x 绝对可积,即()∞<⎰∞∞-dt t x (2)在任何有限区间内,()t x 只有有限个极值点,且在这些极值点处的极值是有限值。

(3)在任何有限区间内,()t x 只能有有限个间断点,而且这些间断点都必须是有限值。

吉布斯现象:当简单地把信号频谱截断时,相当于给信号频谱加上了一个矩形窗口函数,正是由于矩形窗口函数的时域特性导致了在间断点处的吉布斯现象的产生。

2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题假定()t x 是一个长度为N 的有限长序列,将()t x 以N 为周期延拓而成的周期序列为()n x ~,则有()()∑∞-∞=-=r rN n x n x ~ 或表示为()()()N n x n x =~。

于是()n x ~与()n x 的关系表示为:()()()N n x n x =~()()()n R n x n x N ~= 将()n x ~表示为离散时间傅里叶级数有:()()kn N N n W k X N n x --=⋅=∑10~~1 ()()kn N N n W n x k X ⋅=∑-=10~~其中()k X ~是傅里叶级数的系数,这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。

如果将()k X ~的主值周期记为()k X ,10-≤≤N k ,由于以上两式中的求和范围均取为区间0~N-1,在次区间内()n x ~=()n x ,因此可以得到:()()kn N N n W n x k X ∑-==10~, 10-≤≤N k()()kn N N n Wk X N n x --=∑=10~1, 10-≤≤N n表明时域N 点有限长序列()n x 可以变换成频域N 点有限长序列()k X 。

显然,DFT 与DFS 之间存在以下关系:()()()N k X k X =~()()()k R k X k X N ~=3、频率分辨率的问题若信号最高频率为h f ,按抽样定理,抽样频率应满足h s f f 2>也就是抽样间隔为T 满足hs f f T 211<= 一般取()h s f f 0.3~5.2=如果不满足h s f f 2>的要求,就会产生频率响应的周期延拓分量相互重叠的现象,也就是产生频率响应的混叠失真。

对于DFT 来说,频率函数也要抽样,变成离散的序列,其抽样间隔为0F ,这就是我们能得到得的频率分辨力,有它可引出时间函数的周期,也就是所取的记录长度0T 为01F T = 从以上T 和0T 两个公式来看,信号的最高频率分量h f 与频率分辨力0F 之间有着矛盾关系,要想h f 增加,则时域抽样间隔T 就一定减小⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<=h s f f T 211,而s f (抽样频率)就增加,由于抽样点数满足N TT F f s ==00 则此时s f 增加,若是N 固定的情况下,必然要0F 增加,即分辨率下降。

反之,要提高频率分辨力(减少0F ),就要增加0T ,当N 给定时,必然导致T 的增加(s f 减小)。

要不产生混叠失真,则必然会减小高频容量(信号的最高频率分量)h f 。

要想兼顾高频容量h f 与频率分辨力0F ,即一个性能提高而另一个性能不变(或也得以提高)的惟一办法就是增加记录长度的点数N ,即要满足2F f F f N h s >= 这个公式是未采用任何特殊数据处理(例如加窗处理)的情况下,为实现基本DFT 算法所必须满足的最低条件。

如果加窗处理,相当于时域相乘,则频域卷积,必然加宽频谱分量,频率分辨力就可能变坏,为了保证频率分辨力不变,则须增加记录长度,也就是增加数据长度0T 。

4、MATLAB 的图示说明:有效观察时间与补零后的DFT 之间的关系,以及与DTFT 之间的关系对8点正弦离散序列求8点、32点和64点DFT ,观察频域变化(分别用绿、黄、红色表示)。

结果:矩形窗序列后补零的时、频域示意图从图中可以看出:序列后补零可以降低栅栏效应;信号频谱的形状只取决于时域信号,与补零个数无关。

补零并不能提高频谱分辨率,因为频谱分辨率只与时域数据的有效长度有关。

DTFT 与DFT (或DFS )的关系:DFT 时域序列为周期序列,周期为N ;频域序列也是周期序列,周期也是N 点。

当N 不断增大时,频域包络不变,但谱线变密;显然,∞→N 时,时域序列变为非周期序列,频域为连续的频谱,即变化为DTFT 。

5、教材《信号与线性系统》,阎鸿森、王新凤、田惠生编,西安交通大学出版社 《数字信号处理教程》,程佩青编,清华大学出版社(后附连续信号傅里叶变换的DFT 近似计算)傅里叶变换的DFT 近似计算连续时间非周期信号()t x 的傅里叶变换对为()()⎰∞∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j (1) ()()⎰∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j π21(2)用DFT 方法计算这一对变换的方法如下:(1)将()t x 在t 轴上等间隔(宽度为T )分段,每一段用一个矩形脉冲代替,脉冲的幅度为其起始点的抽样值()()()n x nT x t x nT t ===,然后把所有矩形脉冲的面积相加。

由于nT t →T dt → ()()nT T n dt -+=1∑⎰∞-∞=∞∞-→n T dt 则得频谱密度()()dt e t x j X t j Ω-+∞∞-⎰=Ω的近似值为()()T e nT x j X nT j ∑∞∞-Ω-⋅⋅≈Ω (3)(2)将序列()()nT x n x = 截断成从0=t 开始长度为0t 的有限长序列,包含有N 个抽样(即时域取N 个样点),则上式成为()()nT j N n e nT x T j X Ω--=⋅≈Ω∑10 (4) 由于时域抽样,抽样频率为T f s 1=,则频域产生以s f 为周期的周期延拓,如果频域是限带信号,则可能不产生混叠,成为连续周期频谱序列,频域周期为f s 1=(即时域的抽样频率)。

(3)为了数值计算,再频域上也要离散化(抽样)即在频域的一个周期(s f )中也分成N 段,即取N 个样点0NF f s =,每个样点间的间隔为0F 。

频域抽样,那么频域的积分式(2)式就变成求和式,而时域就得到原已截断的离散时间序列的周期延拓序列,其时域周期为001F T =。

这时0Ω=Ωk()0001Ω=Ω-Ω+=Ωk k d∑⎰-=∞∞-Ω→Ω100N k d 各参量的关系为 NT F N F T ===0001又002F π=Ω则NT T f F f T s s s s πππππ222221000000=⋅=⋅=ΩΩ⋅=Ω⋅Ω=⋅Ω=Ω这样,经过上面三个步骤后,时域、频域都是离散周期的序列,推导如下: 第1,2两步:时域抽样、截断()()T e nT x j X nT j N n ⋅⋅≈ΩΩ--=∑1(5)()()⎰ΩΩΩ⋅Ω≈sd e j X nT x nTj 021π (6)第3步:频域抽样,得到()()()()[]n x DFT T e n x T e nT x T jk X N n nk N j N n nT jk ⋅=⋅=⋅≈Ω∑∑-=--=Ω-121000π()()()∑∑-=-=Ω⋅Ω=⋅ΩΩ≈10200100002N k nkN j N k nT jk e jk X F e jk X nT x ππ ()∑-=⋅Ω⋅⋅=12001N k nk N j e jk X N N F π()∑-=⋅Ω⋅=1201N k nkNj s e jk X N f π()[]0Ω⋅=jk X IDFT f s()()()[]n x DFT T j X jk X k ⋅≈Ω=ΩΩ=Ω00 (7)()()()[]01Ω⋅≈==jk X IDFT Tt x n x nT t (8) 这就是从离散傅里叶变换法求连续非周期信号的傅里叶变换的抽样值的方法。

由()0Ωjk X 及()n x 的上两个近似式求连续的()Ωj X 及()t x 的方法,则可分别用频域抽样定理的插值公式和时域抽样定理的插值公式求得。

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