Fourier级数的收敛条件
Fourier级数和Fourier积分
Fourier 级数和Fourier 积分1， 设)(x f 是以π2为周期的函数，形如∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a 的三角级数，称为)(x f 的Fourier 级数，其中⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1，,...)3,2,1,0(=n⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1，,...)3,2,1(=n 2， Riemann 引理：设函数)(u ψ在],[b a 上可积和绝对可积，那么下列极限式成立： 0cos )(lim=⎰+∞→bap pudu u ψ， 0sin )(lim=⎰+∞→bap pudu u ψ。
3， Fourier 级数的性质性质1 局部性定理 函数)(x f 的Fourier 级数在x 点的收敛和发散情况，只和)(x f 在这一点的充分邻近区域的值有关。
性质2 可积和绝对可积函数的Fourier 系数n n b a ,趋向于零，即0cos )(1lim=⎰-+∞→πππnxdx x f n ，0sin )(1lim =⎰-+∞→πππnxdx x f n 。
性质3 积分⎰+πϕπ02sin2212sin)(1du u un u ，⎰+πϕπ02212sin )(1du u u n u 的收敛情况相同，即0212sin )12sin21)((1lim 0=+-⎰+∞→πϕπudu n u u u n 。
这里s u x f u x f u 2)()()(--++=ϕ。
4， Dini 定理（Dini 判别法）：设能取到适当的s ，使得由函数)(x f 以及x 点所作出的s u x f u x f u 2)()()(--++=ϕ满足条件：对某正数h ，使在],0[h 上，uu )(ϕ为可积和绝对可积，那么)(x f 的Fourier 级数在x 点收敛于s 。
Lipschitz 判别法：如果函数)(x f 在点x 点连续，并且对充分小的正数u ，在一点的Lipschitz 条件αLu x f u x f <-±|)()(|，)0(h u ≤<成立，其中L ，α皆为正数，且1≤α那么)(x f 的Foueier 级数在x 点收敛于)(x f 。
收敛定理的证明
1 写出
的简缩形式.
称这一简缩形式为
的积分形式, 或称为
Dirichlet 积分, 2 利用该表示式, 式
可化为
+
,
于是把问题归结为证明
,
.
这两式的证明是相同的, 只证第一式. 3 为证上述第一式, 先利用三角公式
建立所谓Dirichlet积分
利用该式把 为 Dirichlet 积分
表示为积分,即把
15.3 收敛定理的证明
Dini 定理 设以 为周期的函数 在区间 上按段光滑,则在每一点 ,
的 Fourier 级数收敛于 在点 的左、右
极限的算术平均值, 即
其中
和
为
的 Fourier 系数.
证明思路: 设
对每个
～
, 我们要证明
.
.
即证明
.
方法是把该极限表达式化为积分, 利用 R—L定理证明相应积分的极限为零.
.
.
综上即得所证 .
Fourier级数与三角级数的区别：Fourier级数 是三角级数，但收敛的三角级数却未必是某个可积 函数的Fourier级数. 一个三角级数是Fourier级数( 即是某个可积函数 的Fourier级数 ) 的必要条件为:
若三角级数 Fourier 级数, 则数项级数
比如正弦级数 法), 由级数
表示
.பைடு நூலகம்
于是又把上述1中所指的第一式左端化为
.
4 利用所谓Riemann — Lebesgue定理证明上 述极限为零. 为此 , 先证明Bessel不等式, 再建立 Riemann — Lebesgue定理, 然后把以上最后的 式子化为
.
5
关于Fourier级数收敛性的判定定理
兰 ± ± ！
二 二 兰
函数本 身在这 一 点满 足 Ｊ ｒａ ｏ ｄ ｎ判 别法 的条 件却 不满
足 Ｄ ｎ 判别 法 的条件 ．的 Ｆ ｕｉｒ （ ｏ ｒ 级数 在 。 ｅ 收敛 到 Ｓ 即 ，
Ｓ （ ）一 Ｓ （ 厂； ｎ一 ＋ ∞ ） ．
为方 便讨论 ， 给 出有界 变差 函数 的定 义 ： 先 定 义 １１ 设 － ｚ 为［ ，］ 的有限 函数 ， Ｌ 厂 ） ｎ６ 上 （ 如果
Ｄｉｉ ｎ 判别法 的一个 推论 是 Ｌ ｐｃ ｉ 判别 法． ｉｓｈｔ ｚ 定 理 ２２（ ｉｓｈｔ 判 别 法） 若 － ｚ 以 ２ Ｌ Ｌｐ ｅ ｉ ］ ｚ 厂 ） 为周 （
可积 ， 厂 ｚ 且 （ ）在 Ｘ 有 有 限导 数 ， ． ｚ 。 则 厂 ）的 Ｆ ｕ ｉ （ ｏｒｒ ｅ
为 （ ） 用一个 分化 作成 的和数 厂．
Ⅱ ¨
∑ Ｉ （ 一 厂（ ）ｌ ｘ） ｆ ｚ
（） １
称 为 厂 ｚ 在此 分化 下对 应 的变 差． （） 结论 １ 在 有 限闭 区间上 满 足 Ｌ ｐ ｃ ｉ 条件 的 ｉｓｈｔ ｚ
Ｓ（ ｚ ，厂； ）一 ＋ ∑（ ＾ｏｋ 以ｃ ｓｘ＋ ｂｓ ｋ ， ｋｉ ｘ） ｎ
然尤 为重 要． 于 Ｆ ｕｉｒ 关 ｏ ｒ 级数 收敛 性 的判 定方 法很 ｅ
多 ， 点态 收敛性 的判 定 、 致 收 敛性 的判 定 以及平 有 一
引， 均 收敛 性 的判 定等 ． 多教 材 在讲 述 Ｆ ｕ ｉ 级 数 收 经过 简单 的计 算 有 很 ｏｒｒ ｅ 敛性 时提 到 了 Ｄ ｎ 判 别法 ， 是 一 个 点 态 收敛 的判 ｉｉ 这 别方法 ． 事实 上 ， 当我 们 学 习 了 实 变 函数 中 的有界 变 差 函数 ， 再来 学习 Ｆ ｕ ｉ 级 数 收敛性 时 ， 看 到关于 ｏｒｒ ｅ 会 有界变 差 函数 的 Ｆ ｕ ｉ 级 数点态 收 敛 的另外一 个判 ｏｒ ｒ ｅ
高等数学 第七节 傅里叶(Fourier)级数
公式 :
1 an = π
∫−π f ( x)cosnxdx
π
a0 ∞ f ( x) ~ + ∑ ( ancos nx + bnsin nx ) 2 n =1
取 x = 0, 则
4π + 4 1 = 2π 2 ∑ n2 3 n =1
4 ∑ 12 = 2π 3 n n =1
∞ 2
2
∞
?
收敛定理 !
1 =π2 ⇒∑ 2 6 n n=1
∞
16
1 1 1 π2 1+ 2 + 2 + 2 + L = L 8 3 5 7
1 =π2 ∑ n2 6 n=1
∞
1 1 1 1 π2 ⇒ 2 + 2 + 2 + 2 +L = L . 24 2 4 6 8
a0 ∞ f ( x − 0) + f ( x + 0) + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) = 2 n =1 6 2 (证明 ) 略
函数 f ( x ) 展开成 (收敛的) Fourier 级数所要求条件不高 (与幂级数相比) , 收敛性容易得到满足 .
将 f ( x ) 展开成 Fourier 级数常用直接方法 .
x2
− 2x
sin nx
1 − n cos nx − 12 sin nx n 1 cos nx n3
14
2 0
a0 = 8 π 2 , 3
傅里叶级数逐点收敛性1
xi
xi −1 xi
f ( x ) − f * ( x ) dx = ∑ ∫
i =1 n
xi
xi −1
f ( x ) − mi dx
≤ ∑ ∫ ωi dx = ∑ ωi Δxi < ε
i =1 xi −1 i =1
由此，我们可得：
∫ f ( x ) sin pxdx ≤ ∫ f ( x ) − f ( x ) dx + ∫
∫ f ( x ) sin pxdx
a
b
的积分当 p → ∞ 时的性质，为此，先引入一个引理：
Riemann-Lebesgue 引理：设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上可积或广义绝对可积，则有：
b ⎧sin px ⎫ lim ∫ f ( x ) ⎨ ⎬ dx = 0 ，其中 p ∈ R 。 a p →∞ ⎩cos px ⎭
证明： 证明思路是分为如下三个步骤进行： ① 对 f ( x ) 为阶梯函数证明结论； ② 对 f ( x ) 为 Riemann 可积函数证明结论； ③ 对 f ( x ) 为广义绝对可积函数证明结论。 ① 假设 f ( x ) 为一阶梯函数，即：
f ( x ) = ci ， xi ≤ x < xi +1 ， i = 0,1," , n − 1 ， a = x0 < x1 < " < xn = b ，
因而 S n f ( x0 ) 之收敛性只与
(
)
1
π
∫
δ
0
⎡ ⎣ f ( x0 + u ) + f ( x0 − u ) ⎤ ⎦
sin ( n + 1 2 )u 2sin 1 2u
Fourier级数中的Dirichlet条件
Fourier级数中的Dirichlet条件Fourier级数（Fourier series）是一种将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无限级数的方法。
它通过将周期函数分解为谐波（harmonics）的和来描述它的形状。
Fourier级数在数学、工程、物理和其他领域中得到了广泛的应用。
在数学中，Dirichlet条件是保证Fourier级数收敛的充分条件之一。
Dirichlet条件是由德国数学家Peter Gustav Lejeune Dirichlet提出的。
在他的工作中，他研究了Fourier级数的性质，特别是它们何时收敛和何时收敛到原函数上。
在Dirichlet中提到的条件中，最具代表性的是以下两个条件。
第一个条件是对于任何周期函数f(x)，它的Fourier系数必须有界。
这意味着它们不能太快地变化，否则它们的和可能不会收敛。
因此，如果一个周期函数在一个区间内变化太快，那么它的Fourier级数可能不会收敛。
第二个条件则是关于周期函数的均值的。
它要求周期函数f(x)的积分在一个周期内有界，即：∫f(x)dx在[a,a+T]内有界，其中T是函数的周期，a是一个常数。
如果一个周期函数f(x)的积分在一个周期内非常大，那么它的Fourier级数可能不会收敛。
这两个条件不是独立的。
如果一个周期函数f(x)满足第一个条件且其导数在一个其周期内连续，则它也满足第二个条件。
因此，这两个条件中的任何一个都足以保证Fourier级数的收敛。
Dirichlet条件对于解决偏微分方程等问题的Fourier级数具有重要的应用。
虽然这些条件的严密证明需要一些数学技巧，但它们的直观意义是很容易理解的。
总之，Dirichlet条件是保证周期函数的Fourier级数收敛到原函数上的充分条件之一。
这些条件对于诸如解决偏微分方程等问题的应用非常重要，是当今数学中的重要工具之一。
Fourier级数的收敛性和计算方法
Fourier级数的收敛性和计算方法傅里叶级数是一种用于描述周期性函数的函数级数，它由一组基函数构成，这些基函数是余弦函数和正弦函数。
傅里叶级数可以用来表达任何周期性函数，无论它的形态如何，而且可以对这些函数进行分析和处理。
在这篇文章中，我们将探讨傅里叶级数的收敛性和计算方法。
一、傅里叶级数的定义傅里叶级数可以用以下形式表示：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\omegax)+b_n\sin(n\omega x)]$其中，$f(x)$是一个周期为$T$的函数，$\omega=\frac{2\pi}{T}$是角频率，$a_0$、$a_n$和$b_n$是常数，称为傅里叶系数。
$a_0$表示$f(x)$在一个周期内的平均值，$a_n$和$b_n$分别表示$f(x)$在一个周期内的偶函数和奇函数的振幅。
二、傅里叶级数的收敛性傅里叶级数是否收敛是一个重要的问题。
如果它收敛，那么我们可以用级数来逼近原函数；但如果它不收敛，那么级数就不能用来逼近原函数，我们需要采用其他方法。
我们知道，一个函数的收敛性可以通过其四个部分来评估，即其绝对值函数、相邻两个极差之和、偏导数的和以及傅里叶系数的和。
如果这几个部分都可以收敛，那么函数就是可积的，其傅里叶级数也是收敛的。
傅里叶级数收敛的一个重要性质是，如果$f(x)$是$L^2$函数，那么其傅里叶级数就一定收敛。
这是因为$L^2$函数的傅里叶系数是有界的，而且其级数收敛于$L^2$空间中的$f(x)$。
因此，$L^2$函数的傅里叶级数对于绝大多数函数而言都是收敛的。
三、傅里叶级数的计算方法在计算傅里叶级数时，我们通常需要计算它的各个傅里叶系数。
这是一项相对简单但繁琐的工作，需要计算许多积分和三角函数。
下面介绍一些常见的计算方法：1.奇偶拓展法如果$f(x)$是一个偶函数，那么它可以表示为一个余弦级数，其$b_n$都为0。
第二次课、Fourier级数的收敛性判别
u
u
f (x u) f (x 0) f (x u) f (x 0)
u
f (x u) f (x 0) f (x u) f (x 0)
u Lu Lu 2Lu 1,
u
但 g(u) 2Lu1在 [0, ] 上绝对可积，因此由比 较判别法， (u, x) 绝对可积，从而 f (x) 的
收敛；
0u
如果 0，则由cauchy收敛原理，当 p 充分大时
p sin u du 1;
p u
如果 0, 0，则 p sin u du 0;
p u
如果 0, 0，则
lim p sin u du sin u du 有限数C，
u p p
0u
因此当 p 充分大时 p sin u du C 1;
I
=
(
)
(0)
sin pu u
du
sin pu
u du
p sin u du ,
p u
对任意A 0，由Abel判别法， sin u du 收敛；
Au
sin u du 1 sin u du sin u du,
0u
0u
1u
1 sin u
du
本质上是定积分，
0u
因此
sin u du
划分
a x0 x1 x2 xn b
使得
n i 1
i xi
，其中
2
xi
xi xi1，
mi
inf (x),
x[ xi1 ,xi ]
Mi sup (x),
x[ xi1 ,xi ]
i Mi mi.
记
P
4
n i 1
mi
，则当
Fourier级数知识点总结
Fourier级数知识点总结1. Fourier级数的定义Fourier级数是将某个周期为T的函数f(x)表示成一系列正弦和余弦函数的和的方法。
具体表达式如下：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))其中，a0、an、bn是函数f(x)的系数，ω0是基本频率，n为正整数。
在实际应用中，我们通常使用欧拉公式将正弦和余弦函数用指数函数表示，即：f(x) = a0 + Σ(cn*e^(inω0x))其中，cn是函数f(x)的系数，n为整数。
这样的表达形式更加便于进行分析和计算。
2. Fourier级数的性质Fourier级数具有一系列重要的性质，其中最重要的是其线性性质和正交性质。
线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，它们的Fourier级数可以分别表示成：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))g(x) = c0 + Σ(cn*cos(nω0x) + dn*sin(nω0x))那么，对于任意实数α和β，αf(x) + βg(x)的Fourier级数就是：αf(x) + βg(x) = (αa0 + βc0) + Σ(αan*cos(nω0x) + αbn*sin(nω0x)) + Σ(αcn*cos(nω0x) +αdn*sin(nω0x))这个性质使得Fourier级数在表示线性系统的瞬态响应、信号处理、图像处理等方面具有重要作用。
正交性质：对于周期为T的函数f(x)，其对应的Fourier级数可以表示成：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nω0x) + bn*sin(nω0x))那么，对于不同的正整数m和n，有如下关系成立：∫[0, T]cos(mω0x)cos(nω0x)dx = {0, (m ≠ n), T/2, (m = n)}∫[0, T]sin(mω0x)sin(nω0x)dx = {0, (m ≠ n), T/2, (m = n)}∫[0, T]cos(mω0x)sin(nω0x)dx = 0这个性质使得我们可以很方便地计算Fourier系数，也为Fourier级数的收敛性提供了理论基础。
40.Fourier变换的定义
f (t ) F
e
t
dt 2 e
0
t
dt
2
存在, 所以根据Fourier变换的反演公式
1
2 1 2 2 2
2 i t e d 2 2
2
1
2
2
(cos t i sin t )d
F [ f ( t )]
F
1
f ( t )e
i t
dt ,
i t
1 [ F ( )] 2
F ( )e d .
如果f (t)满足Fourier积分定理条件, 那么在f (t) 的连续点处成立Fourier变换的反演公式
f (t )= F
1
F
[ f ( t )] .
例1 设 f ( x ) e
b2 x 2
(b 0), 求 F [ f ( x )].
根据定义，有 解 运行下面的 MATLAB语句.
b x ib x positive >> syms x w;syms F [ f ( x )] e dx e
2 2
i x b2 x 2 2 b
e dx . e >> r=simple(F) % 化简
4 b2
2
b xi 2 2b
2
2
O
x
r=
下面计算 e 因为 e
b2 z 2
b xi 2 2b
常见收敛发散级数表
常见收敛发散级数表常见收敛发散级数表收敛和发散是微积分中非常重要的概念，通过研究不同级数的收敛性质，我们可以更好地理解数学中的数列和级数。
本文将介绍一些常见的收敛和发散级数。
1. 调和级数：调和级数是最简单的级数之一，它的一般形式为：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...调和级数是发散的，也就是说，它的和无穷大。
这个结论是由数学家埃德马·费马在17世纪证明的。
2. 几何级数：几何级数是一种形如a + ar + ar^2 + ar^3 + ...的级数，其中a为首项，r为公比。
当|r| < 1时，几何级数收敛，其和为a/(1-r)。
当|r| ≥ 1时，几何级数发散。
3. 幂级数：幂级数是形如∑(n=0到无穷) [an(x-c)^n]的级数，其中an是系数，c是常数。
幂级数的收敛半径R可以通过求解极限lim(n→∞) |an/an+1|来确定。
当|x-c| < R时，幂级数收敛；当|x-c| > R时，幂级数发散。
4. 斯特林级数：斯特林级数是一个近似级数，用于估算阶乘的近似值。
斯特林级数的一般形式为：n! ≈√(2πn) (n/e)^n该级数是收敛的，但是注意，它只是对阶乘的估算，并不精确。
5. Fourier级数：Fourier级数是用一组三角函数的无穷级数来表示周期函数的方法。
Fourier级数的收敛性和周期函数的光滑性相关。
对于光滑的函数，其Fourier级数收敛于函数本身。
然而，对于非光滑的函数，Fourier级数可能会发散或者收敛到函数的不同形式。
总结：本文介绍了一些常见的收敛和发散级数。
调和级数是发散的，几何级数在公比小于1时收敛，幂级数在一定条件下收敛，斯特林级数是对阶乘的近似，而Fourier级数用于表示周期函数。
级数的收敛性质是数学研究中的重要内容，对深入理解微积分等数学领域起到了关键作用。
傅里叶级数均方收敛性
1
均方逼近
命题： ∀f ( x ) ∈ R [ −π , π ] ，则存在三角式项式 Tn ( x ) 均方逼近到 f ( x ) 。
构造出来。证明的思路是先对于连续函数 f ( x ) ，构造三角多项式一致收敛到 f ( x ) ；再对 于可积函数 f ( x ) ，构造连续函数均方收敛到 f ( x ) 。 设 f ( x ) ∈ R [ −π , π ] ，周期为 2π ， S n f ( x ) 为其 Fourier 级数之部分和，令： 为了证明这一结论， 我们需要作一些准备工作， 主要目的是想设法将命题中三角多项式
2 i =1
n
15.3
Fourier 级数的均方收敛性
类似地，考虑函数空间 R [ −π , π ] 中的一组基：
⎧ 1 , cos x,sin x, cos 2 x,sin 2 x, ⎨ ⎩ 2
对于 ∀f ( x ) ∈ R [ −π , π ] ，有：
, cos nx,sin nx,
⎫ ⎬ ⎭
所以： ∃N ， n > N 时， σ n f ( x ) − f ( x ) < ε 对于 ∀x ∈ [ a, b ] 成立，
(
)
→ f ( x) 。 即： σ n f ( x ) ⎯⎯⎯
15.2
(
)
[ a ,b ]
高等微积分讲义
证毕
引理 3：设 f ( x ) ∈ R [ −π , π ] ，则：
高等微积分讲义
第15讲 Fourier 级数的均方收敛性
本章第二节中我们引入了“均方逼近”的概念。一个函数列 f n ( x ) 在 [ a, b ] 上均方收敛 到 f ( x ) 是指：
fn − f = ( fn − f , fn − f ) 2 → 0 ， n → ∞
Fourier级数线性求和算子列收敛的充要条件
下面例子体现了该定理的应用．
（ ｎ
例 等＋ ｓ≥， ＝ ＝那 对 任 自 数 １ １ １若 ｐ。 ０ ｐ ｌ 么 于 意 然 ＋ ， ｃ 且 ｌ ？， ｉ ｍ ｉ ． 且 ｍ ＝
客
关 于ｎ 致有 界． 一 证 明 对 于任 意， ， ∈ ０ 则可 以检 验 ， ） ， ≥０ 即｛ ）为正线 性算 子序列 ．ｌｆ＝ ， ｌ ］ ｏ１则 ￣
２１ ０ ０年 ５月
保 定 学 院 学 报
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＢＡＯＤＩ ＮＧ ＵＮＩ ＶＥＲＳＩ ＴＹ
Ｍａ ，０ ０ ｙ２ １ Ｖｏ ２ ｏ３ Ｌ ３ Ｎ ．
第 ２ 卷第 ３ ３ 期
文 章编 号 ：６ ４ ２ ９ （ ０ ０）３０ ２ ．３ １ ７ ．４ ４ ２ １ ０ —０ ５０
。
．由谢 庭藩 、 周颂平 似 类 故 （Ｉ ． ｌ Ｊ １ ｆｌ 有界 ， Ｕ 由共鸣定理 ［ ｛Ｉ Ｉ ｈ 致有界 ， 了Ｃ Ｏ 有 Ｉ ｌ ≤ｃ ２ Ｉ Ｉ 卜一 】 知 ｃ 即 ＞， ｌ Ｉ ｂｓｕ常数 的证 明又容 易得 到 Ｉ ｌ ； 这 样 与Ａ 界矛盾 ．证毕 ． ｅｇｅ Ｉ ｌ Ａ，
） 平方平均收敛于 则对于任意 自 然数 取， ＝。ｋ ， ， （）ｃｓ 则 ） ｏｋ， ｓ 又
Ｉ －：Ｉ ｃｋ （ 『ｃｋ （ Ｉ Ｉ ｆ２ （ 。 １ Ｉｓ ｌ ｌ ） ｕ ｌ １ ｓ Ｊ ： ）Ｉ １ ‘ ） ｏ ，
厂 ｉ 级数线性求和算子列收敛的充要条件 ｅ ｒ
王 鑫 ， 夏 颖
（ 天津 师范大学 数学科学学 院， 天津 ３０ ８ ） ００７
摘
要： 讨论 “ｉ 级数 的线 性求和 算子 列是 收敛 算ｉ ５的充要 条件 ． ｔｒ ｅ ｆ ， －１
11-2Fourier级数的收敛原理
则称 f 在U o ( x0 )内满足阶Lipschitz条件.
定理11.6 :
若 f 是以 2为周期, 且在[ , ]上可积或绝对
o 如 f 在 U ( x0 )内满足阶Lip条件, 可积的函数，
那么f的Fourier级数在x0 处收敛于
f ( x0 0) f ( x0 0) . 2
t 绝对可积, 那么f的Fourier级数在x0 处收敛于s.
证明 : 略
定义11.2 :
设 f 在U o ( x0 )内有定义, 如果存在 0,
L 0和 0,
使得当t (0, ]时有
| f ( x0 t ) f ( x0 0) | Lt , | f ( x0 t ) f ( x0 0) | Lt ,
n
1 sin( n ) x n 1 2 , x 2m , 利用 cos kx x 2 k 1 2 sin 21 知： sin( n )( x x0 ) 1 2 S n ( x0 ) f ( x ) dx ( x x0 ) 2 sin 2 1 x0 ...dx 令 x x0 t
f在[a, b]上是分段可微的 .
定理11.8 :
若 f 以 2为周期, 在[ , ]上分段可微, 那么f的
Fourier级数在每点x0 处收敛于
f ( x 0 0) f ( x 0 0) . 2
特别的: 在 f 的连续点处, 它收敛于f ( x0 ).
定理11.9 :
若 f 是以 2为周期的可积或绝对可 积函数，
作业：
习题11.1
5； 6.
可积的函数， 且f 在[ , ]上是分段单调有界函数 ，
§2Fourier级数的收敛判别法
∫ Sm( x)
=
1
π
sin 2m + 1 (t − x)
π
f (t)
−π
2 2sin t − x
dt
2
(作代换 t − x = u )
∫ ∫ = 1
π −x
sin 2m + 1 u
f (x + u)
2 du =
1
2m +1
sin
u
π
f (x + u)
2 du 。
π −π −x
2sin u
π −π
2sin u
是否存在且等于 0。
sin 2m + 1u
∫ lim
m→∞
π 0
ϕσ
(u,
x)
2 2sin u
du
2
Riemann 引理及其推论
定理 16.2.1（Riemann 引理） 设函数ψ (x) 在 [a, b]上可积或绝
对可积n pxdx= lim bψ (x) cos pxdx= 0 。
1 2
+
m
cos n(t
n=1
−
x)⎥⎦⎤dt
。
当θ ≠ 0 时,由三角函数的积化和差公式，有
∑ 1
2
+
m
cos nθ
n=1
=
sin 2m + 1θ
2
2sin θ
。
2
当θ = 0 时，将等式右端理解为当 θ → 0 时的极限值，则等式依然成立。
因此，上式对任意θ ∈[−π ,π ] 都是正确的。
于是
对于任意给定的ε > 0 ，由定理 7.1.3，存在着一种划分
fourier级数收敛定理
fourier级数收敛定理
Fourier级数收敛定理主要有：
1. 狄利克雷收敛定理：
如果函数f(x)在(-π,π)上满足：
(1)具有连续性或者只有有限个第一类间断点;
(2)有限个最大值和最小值;
(3)在区间端点处具有有限边界值;
则其Fourier级数在函数连续点收敛于该点上的函数值，在间断点收敛于该点的平均值。
2. 黎曼-莱贝格收敛定理：
如果函数f(x)在(-π,π)上满足狄利克雷条件，并且满足黎曼积分条件：
则其Fourier级数在(-π,π)上处处收敛于f(x)。
3. 舍尔定理：
如果f(x)在(-π,π)上可积，且满足黎曼积分条件和狄利克雷条件，则其Fourier级数收敛速度为O(1/n),n为倒数项的序数。
这三个定理概括了Fourier级数的收敛情况。
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(Fourier级数)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第15章Fourier级数15.1复习笔记一、Fourier级数1．相关概念（1）三角级数的定义形如一类的函数项级数，称为三角级数．（2）三角多项式上述三角级数前n项和称为（n次）三角多项式．（3）Fourier级数假定周期为2π的函数f（x）能展开成上一致收敛的三角级数：其中称系数由上式所确定的三角级数为f（x）的Fourier级数，系数称为f（x）的Fourier系数，并记2．正弦级数和余弦级数（1）设周期为2π的函数f（x）于上绝对可积，如果f（x）是奇函数，则从而这就是正弦级数．（2）当f（x）为偶函数时，必有，这时可得余弦级数3．一般周期函数的Fourier级数设f（x）是周期为T且在[0，T]上绝对可积的函数，f（x）在[0，T]上的Fourier级数：其中4．复数形式下的Fourier级数f（x）在复数形式下的Fourier级数复的Fourier系数二、Fourier级数的收敛性1．Riemann引理（1）Riemann引理设f（x）在（有界或无界）区间〈a，b〉上绝对可积，则（2）推论在[0，T]上绝对可积函数的Fourier系数2．Fourier级数收敛的充要条件（局部性定理）周期为2π的局部绝对可积函数f（x）的Fourier级数在点x的敛散情况及收敛时的极限值仅与f在该点任意指定小的邻域上的值有关，与此邻域外的值无关．3．Dini判别法（1）Dini判别法若于上绝对可积，则，即f的Fourier级数在点x收敛到S：（2）推论f是2π周期的局部绝对可积函数，若于x点存在左右极限f（x±）及所示的有限单侧导数，则Fourier级数于x点成立4．Jordan判别法设f在上单调（或有界变差），（1）若，则（2）若则三、Fourier级数的性质1．逐项积分定理设周期为2π的函数f（x）局部绝对可积且则收敛，且逐项积分公式成立：．2．Fourier级数逐项求导问题假定f（x）是周期为2π的连续可微函数，且的Fourier级数：其中表示的Fourier系数．由此可得故周期为2π的连续可微函数f的Fourier级数必可逐项求导，求导后得的Fourier级数．3．最佳平方逼近（1）定理设为f的Fourier系数，并设是f的Fourier级数前n项和，当且仅当时，平方误差最小，且最小值为（2）Besse1不等式（3）Parseva1等式四、用多项式逼近连续函数1．引理为2π周期、分段线性的连续函数，则的Fourier级数必一致收敛到2．Weierstrass定理（a，b有限）多项式p（x），使得15.2名校考研真题详解。
Fourier级数
函数。利用函数 g 的 Fourier 级数，我们可以推出函数 f 的 Fourier 级数为
f (x)
=
a0 2
+
∑ ∞ [ an
() nπx
cos l
+
bn
( )] nπx
sin l
，
n=1
(1.10)
其中 an
=
1 l
∫l
−l
f
(x)
cos(nπx/l)
dx，bn
=
1 l
∫l
−l
f
(x)
sin(nπx/l)
N →∞
N →∞
N →∞
n=0
n=0
n=0
此级数（或部分和 SN f ）在 L2(−π, π) 中收敛到 f 。 由于
einx + e−inx
ϕ2n−1 = cos(nx) =
, 2
einx − e−inx
ϕ2n = sin(nx) =
， 2i
1 如果我们定义复值函数 ψn(x) = √
einx，n ∈ Z，则容易验证
定理 1.1 如果 f ∈ Cper[−π, π], 则 ∥AN f ∥C ≤ ∥f ∥C 且 AN f 在 Cper[−π, π] 中收敛到 f ： lim ∥AN f − f ∥C = 0 。
N →∞
证明： 由于 f 在区间 [−π, π] 一致连续，所以存在 δ > 0 使得当 |t| ≤ δ 时 sup |f (x + t) − f (x)| < ϵ/2，
练习 4.1： 假设 f 是以 2π 为周期的函数，试推导
1 ∫ π sin[(N + 1/2)t]
(完整版)15.3收敛定理的证明
2
2
sin
t 2
[ f ( x t) f ( x 0)]
t 2
,t 0,
t
sin
t 2
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(12)
21
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由§1(13)式得
lim(t) f ( x 0) 1 f ( x 0)
t 0
再令(0) f ( x 0)，则函数 在点t 0右连续,因
3 把上式化为应用Riemann — Lebesgue定2理的形
,
式,
即令
t
(t)
f
(x
t) t
f
(x
0) 2 sin
t
,
2
t (0 , ]
7
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则
1
lim
n
0
f ( x 0) f ( x t)
sin 2n 1t
f ( x 0) f ( x 0) 2
f ( x 0) f ( x 0) 2
Sn(x 1
) f
(
x
t
)
sin 2n 2
2sin t
1
t
dt
2
3
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f ( x 0) 1
2
0
sin 2n 1t
f (x t)
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Keywords:Fourier series；Dirichlet integral；Dini conditions；Jordan conditions
1 引言
1.1 Fourier级数的诞生
人们普遍认识的简单函数主要有两类：幂函数和三角函数。早在18世纪初期，英国伟大的数学家Taylor就发现了可以用幂函数的线性组合来表示一般函数 ，也就是我们现在所说的利用Taylor展开将函数化为幂级数形式： 。然而，一般函数 的Taylor展开在实际应用中会受到一定的限制，因为我们在实际问题中总会使用Taylor级数的部分和，也就是 的n次Taylor多项式 来近似代替函数 。要做到这点就必须要求函数 有至少n阶导数，但是这个条件对于实际问题过于严苛，为此人们有必要寻找对于函数的新的级数展开方法。
1.1 Fourier级数的起源……………………………………………………………………1
1.2 收敛性的发展 ……………………………………………………………………2
2 Fourier级数的收敛性 ………………………………………………………………2
2.1 理论背景 ……………………………………………………………………2
4.4 Fourier级数的平方收敛性质………………………………………………………10
4.5 Fourier级数的应用…………………………………………………………………11
5 结语……………………………………………………………………………………12
主要参考文献…………………………………………………………………………………12
入学时间： 2015 年 9 月
导师姓名： 黄华鹰 职称/学位： 副教授
导师所在单位： 安徽大学数学科学学院
完成时间： 2019 年 4 月
目 录
1 引言（绪论） ……………………………………………………………………1
致谢……………………………………………………………………………………………13
Fourier级数的收敛条件
摘要
很早以前，数学家们就想到了能不能利用三角级数来表示一般函数呢？（形如 的函数项级数称为三角级数，其中 (n=1,2,…)为常数。）事实上这个问题一直到19世纪初才被解决。当时的法国数学家傅里叶在研究热传导问题时，找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数 的方法，也就是利用三角级数把 展开成Fourier级数。即:
（ ）
随着数学科学的发展，傅里叶的发现赢得了数学家们的广泛赞许。但事实上，傅里叶的发现并不算完善，任意周期函数的傅里叶级数都收敛显然是存在问题的。而关于Fourier级数收敛条件和收敛性证明问题的研究，代表性的成果是后继者Dirichlet ( 狄利克雷，1805-1859) 和Riemann(黎曼，1826-1866) 做出的结论。
很早以前，数学家们就想到了能不能利用三角级数来表示一般函数呢？（形如 的函数项级数称为三角级数，其中 (n=1,2,…)为常数。）事实上这个问题一直到19世纪初才被解决。当时的法国数学家傅里叶在研究热传导问题时，找到了在有限区间上用三角级数表示一般函数 的方法，也就是利用三角级数把 展开成Fourier级数。即:
安徽大学
本科毕业论文
题 目： Fourier01514005
院（系）： 数学科学学院 专业： 数学与应用数学
2.1.1 Dirichlet积分………………………………………………………………………2
2.1.2 Riemann引理及其推论………………………………………………………………4
2.2 Fourier级数的收敛判别法……………………………………………………………5
3 Fourier级数的点点收敛………………………………………………………………6
4 Fourier级数的性质及应用………………………………………………………………9
4.1 Fourier级数的分析性质………………………………………………………………9
4.2 Fourier级数的逼近性质……………………………………………………………10
4.3 Fourier级数的平方逼近性质………………………………………………………10
（ ）
同时他在《热的解析理论》中强调没有函数或是函数的一部分不能被表示成三角级数，这对后来数学家们在重新探索函数的定义上产生了一定的驱动作用。《热的解析理论》的问世也正式标志着Fourier级数的诞生。
1.2 收敛性的发展
对于Fourier级数的收敛性，傅里叶在《热的解析理论》中坚定地表示该级数是收敛的，同时也给出了历史上第一个有关收敛性的较准确的定义：“以任一个数代替y，并遵循这些系数的计算，我们都越来越趋近于一个固定值，因此，这个值与所计算的项的和的差变得小于任一给定量”[2]32。后来狄利克雷正是根据傅里叶的这一思想，给出了关于Fourier级数的收敛性的更精确的证明。1829年狄利克雷在克雷尔杂志发表了他最著名的一篇文章“关于三角级数的收敛性"，文中他成功地给出了Fourier级数收敛性充分条件：“若 是周期为 的周期函数，在 中，仅有有限个极大值和极小值以及有限个不连续点；又若 有限，则在 所有的连续点处，其傅里叶级数收敛于 ，在函数的跳跃点处，其傅里叶级数收敛于函数左右极限值的算术平均值”[1]422。
本文题为Fourier级数的收敛条件，将结合傅里叶、狄利克雷、黎曼等数学家对Fourier级数收敛性的研究及证明，简单叙述Fourier级数的收敛条件及其性质与应用。主要内容分为五个章节，第一章为引言，介绍Fourier级数的起源以及收敛性的发展，为读者阅读后文做下铺垫；第二章重点介绍Fourier级数的收敛性，包括Fourier级数收敛的Dini条件和Jordan条件；第三章将给出Fourier级数在一点处收敛的例子并对级数收敛条件进行讨论；第四章主要阐述Fourier级数的收敛性质与应用；第五章为文章结语，将对本文进行实质性的总结。希望读者在阅读本文之后将对Fourier级数的收敛条件有一定了解，并对研究Fourier级数收敛性的重要意义表示认同与赞许。