(整理)傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题.

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傅里叶级数收敛定理及其推论

傅里叶级数由正弦和余弦函数构成，通过将原始函数展开成一系列正弦和余弦函数的线性组合，可以表示任意周期函数。
傅里叶级数的形式为：$f(x) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$，其中 $a_0, a_n, b_n$ 是常数，取决于原始函数。
傅里叶级数可以用于分析物体的振动模式，通过分析振动信号的频率成分，可以推断物体的振动性质。
热传导分析
在热传导分析中，傅里叶级数可以用于分析温度场的变化，通过分析温度信号的频率成分，可以推断热传导的规律。
电磁场分析
在电磁场分析中，傅里叶级数可以用于分析电磁波的传播和散射，通过分析电磁波信号的频率成分，可以推断电磁场的性质。
02
通过傅里叶级数，可以分析信号的频率成分、进行图像滤波和增强等操作。
03
在物理学中，该定理用于研究波动方程、热传导方程等偏微分方程的解的性质。
03 傅里叶级数的收敛性质
收敛速度的讨论
快速收敛
对于具有快速衰减的函数，傅里叶级数可能以相对较快的速度收敛。
慢速收敛
对于具有振荡或缓慢衰减的函数，傅里叶级数可能以较慢的速度收敛。
在信号处理中的应用
1 2
信号的频谱分析
傅里叶级数可以将一个复杂的信号分解为多个正弦波和余弦波的组合，从而分析信号的频率成分和强度。
信号滤波
通过傅里叶级数，可以将信号中的特定频率成分进行增强或抑制，实现信号的滤波。
3
信号压缩
傅里叶级数可以用于信号压缩，通过对信号进行频域变换，去除冗余信息，实现信号的压缩。
傅里叶变换的推论
傅里叶变换的线性
性质
若 $f(t)$ 和 $g(t)$ 是两个函数，且 $a, b$ 是常数，则有 $a f(t) + b g(t) rightarrow a F(omega) + b G(omega)$。

傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题

1、傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题由于傅里叶级数是一个无穷级数，因而存在收敛问题。

这包含两方面的意思：是否任何周期信号都可以表示为傅里叶级数；如果一个信号能够表示为傅里叶级数，是否对任何t 值级数都收敛于原来的信号。

关于傅里叶级数的收敛，有两组稍有不同的条件。

第一组条件：如果周期信号()t x 在一个周期内平方可积，即()∞<⎰dt Tt x 2则其傅里叶级数表达式一定存在。

第二组条件，与第一组条件稍有不同，就是狄里赫利条件，它包括以下三点： (1)在任何周期内，x 必须绝对可积，即()∞<⎰dt t x T 0(2)在任何周期内，()t x 只有有限个极值点，且在极值点处的级值为有限值。

(3)在任何有限区间内，()t x 只有有限个间断点，且在这些不连续点处，()t x 为有限值。

傅里叶变换的收敛问题也有两组类似的条件：第一组条件：如果()t x 平方可积，即()∞<⎰∞∞-dt t x 2则()t x 的傅里叶变换存在。

满足上式可以保证()ΩX 为有限值。

第二组条件也称为狄里赫利条件，这就是： (1)()t x 绝对可积，即()∞<⎰∞∞-dt t x(2)在任何有限区间内，()t x 只有有限个极值点，且在这些极值点处的极值是有限值。

(3)在任何有限区间内，()t x 只能有有限个间断点，而且这些间断点都必须是有限值。

吉布斯现象：当简单地把信号频谱截断时，相当于给信号频谱加上了一个矩形窗口函数，正是由于矩形窗口函数的时域特性导致了在间断点处的吉布斯现象的产生。

2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题假定()t x 是一个长度为N 的有限长序列，将()t x 以N 为周期延拓而成的周期序列为()n x ~，则有()()∑∞-∞=-=r rN n x n x ~或表示为()()()N n x n x =~。

于是()n x ~与()n x 的关系表示为：()()()Nn x n x =~()()()n R n x n x N ~=将()n x ~表示为离散时间傅里叶级数有：()()kn NN n Wk X Nn x --=⋅=∑10~~1()()kn NN n W n x k X ⋅=∑-=10~~其中()k X ~是傅里叶级数的系数，这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。

数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明

第十五章傅里叶级数 3收敛定理的证明预备定理1：(贝塞尔不等式)若函数f 在[-π,π]上可积，则2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ≤⎰ππ-2(x)f π1dx ，其中a n , b n 为f 的傅里叶系数.证：令S m (x)=2a 0+∑=+m1n n n sinnx )b cosnx (a ，则⎰ππ-2m (x )]S -[f(x )dx=⎰ππ-2(x )f dx-2⎰ππ-m (x )f(x )S dx+⎰ππ-2m (x)S dx. 其中 ⎰ππ-m (x )f(x )S dx=⎰ππ-0f(x)2a dx+dx cosnx f(x )a m1n ππ-n ∑⎰= ⎝⎛+⎪⎭⎫⎰sinnxdx f(x)b ππ-n =20a 2π+π∑=m1n 2n 2n )b +(a . 由三角函数的正交性，有 ⎰ππ-2m (x )S dx=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ππ-2m 1n n n 0sinnx)b cosnx (a 2a dx =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ-202a dx+⎰∑⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ππ-m 1n ππ-22n ππ-22n nx dx sin b nx dx cos a dx=20a 2π+π∑=m 1n 2n 2n )b +(a . ∴⎰ππ-2m (x )]S -[f(x )dx=⎰ππ-2(x )f dx-2πa -2π∑∞=1n 2n2n )b +(a +20a 2π+π∑=m1n 2n 2n )b +(a=⎰ππ-2(x )f dx-⎢⎣⎡20a 2π+π⎥⎦⎤∑=m1n 2n 2n )b +(a ≥0. ∴2a 20+∑=m1n 2n 2n )b +(a ≤⎰ππ-2(x)f π1dx 对任何正整数m 都成立. 又 ⎰ππ-2(x)f π1dx 为有限值，∴正项级数2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 的部分和数列有界， ∴2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛且有2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ≤⎰ππ-2(x)f π1dx.推论1：(黎曼-勒贝格定理)若f 为可积函数，则cosnx f(x )limππ-n ⎰∞→dx=sinnx f(x )lim ππ-n ⎰∞→=0.证：由2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛知，2n 2n b +a →0 (n →∞)，∴a n →0, b n →0, (n →∞)， ∴cosnx f(x )lim ππ-n⎰∞→dx=sinnx f(x )lim ππ-n ⎰∞→dx=0.推论2：若f 为可积函数，则x 21n sin f(x )lim πn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→dx=x 21n sin f(x )lim 0π-n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→dx =0. 证：∵x 21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos 2x sinnx+sin 2xcosnx ， ∴x 21n sin f(x )π⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dx =sinnx 2x f(x )cos π0⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡dx+cosnx 2x f(x )sin π0⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡dx =sinnx (x )F ππ-1⎰dx+cosnx (x )F ππ-2⎰dx ，其中F 1(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-πx 02x cos )x (f 0x π0，，；F 2(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-πx 02x sin )x (f 0x π0，，.可知F 1与F 2在[-π,π]上可积. 由推论1可知sinnx (x )F lim ππ-1n ⎰∞→dx=cosnx (x )F lim ππ-2n ⎰∞→=0. ∴x 21n sin f(x )lim π0n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→dx=0. 同理可证：x 21n sin f(x )lim 0π-n⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→dx =0.预备定理2：若f 是以2π为周期的函数，且在[-π,π]上可积，则它的傅里叶级数部分和S n (x)可写成S n (x)=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ-2t 2sint21n sin t)f(x π1dt ，当t=0时，被积函数中的不定式由极限 2t 2sint21n sin lim0t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→=n+21确定. 证：在傅里叶级数部分和S n (x)=2a 0+sinkx )b +coskx (a n1k k k ∑=中代入傅里叶系数公式，可得：S n (x)=⎰ππ-f(u)2π1du +∑⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1k ππ-ππ-sinkx sinkudu f(u)+coskx coskudu f(u)π1 =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n 1k )sinkusinkx +kx coskuducos (21f(u)π1du=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n 1k x)-cosk(u 21f(u)π1du. 令u=x+t ，得S n (x)=⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛++=x -πx -π-n 1k coskt 21t)f(x π1dt ，又被积函数周期为2π，且∑=+n 1k coskt 21=2t 2sint21n sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+， ∴S n (x)=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ-2t 2sint21n sin t)f(x π1dt. (f 的傅里叶级数部分和积分表示式).收敛定理15.3证明：若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.证：记f 的傅里叶级数的部分和为S n (x)=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ-2t 2sint21n sin t)f(x π1dt.∵⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ-2t 2sin t 21n sin π1dt=⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ-n 1k coskt 21π1dt=1；又上式左边为偶函数，∴两边同时乘以f(x+0)后得：20)f(x +=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ-2t 2sint21n sin 0)f(x π1dt.令φ(t)=-2t sin 20)f(x -t)f(x ++=-2t sin2tt 0)f(x -t)f(x ⋅++, t ∈(0,π].则 φ(t)lim 0t +→=-f ’(x+0)·1=-f ’(x+0).再令φ(0)=-f ’(x+0)，则φ在点t=0右连续.又φ在[0,π]上至多只有有限个第一类间断点，∴φ在[0,π]上可积. 根据预备定理1的推论2，有2t 2sint21n sin t)]f(x -0)[f(x π1lim π0n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎰∞→dt=t 21n sin φ(t)π1lim π0n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→dt=0， ∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎰∞→dt 2t 2sint 21n sin t)f(x π1-20)f(x lim π0n=0，同理可证 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎰∞→dt 2t 2sint 21n sin t)f(x π1-20)f(x lim π0n =0；∴⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎰∞→dt 2t 2sint 21n sin t)f(x π1-20)-f(x 0)f(x lim π0n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∞→(x )S -20)-f(x 0)f(x lim n n =0. 即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 习题1、设f 以2π为周期且具有二阶连续的导函数，证明f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上一致收敛于f.证：由f 在(-∞,+∞)上光滑，知f ’在[-π, π]上可积，且f ’的傅里叶系数为：a ’0=0；a ’n =nb n , b ’n =-na n , (n=1,2,…). ∴|a n |+|b n |=n |a |n '+n |b |n '≤)n 1a (2122n +'+)n 1b (2122n +'=)b a (212n 2n '+'+2n1. 由贝塞尔不等式知级数∑∞='+'1n 2n2n)b a (收敛，又级数∑∞=1n 2n1级数，由正项级数的比较原则知，2|a |0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，由定理15.1知f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上一致收敛于f.2、设f 为[-π,π]上的可积函数. 证明：若f 的傅里叶级数在[-π,π]上一致收敛于f ，则帕塞瓦尔等式成立，即⎰ππ-2(x)f π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.证：∵f 的傅里叶级数在[-π,π]上一致收敛于f ，∴f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .∴⎰ππ-2(x)f π1dx=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞=ππ-1n n n 0sinnx)b +cosnx (a 2a )x (f π1dx =2a 2+⎰∑∞=ππ-1n n n sinnx ])x (f b +cosnx )x (f [a π1dx. ∵f 在[-π,π]上可积，∴f 在[-π,π]上有界. ∴∑∞=1n n n sinnx ])x (f b +cosnx )x (f [a 在[-π,π]上一致收敛.∴⎰ππ-2(x)f π1dx=2a 20+dx ]sinnx )x (f b +cosnx dx )x (f [a π1ππ-1n n ππ-n ⎰∑⎰∞=dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n π)b +π(a π1=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a .3、由于帕塞瓦尔等式对于在[-π,π]上满足收敛定理条件的函数也成立. 请应用这个结果证明下列各式：(1)8π2=∑∞=1n 2)1-n 2(1；(2)6π2=∑∞=1n 2n 1；(3)90π4=∑4n 1. 证：(1)对函数f(x)= πx 0 4π0x π- 4π-⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<，，在(-π, π)上展开傅里叶级数得： f(x)=∑∞=--1n 12n 1)xsin(2n ，其中a 0=a n =0，b n =2n )1(1n --，n=1,2,…；根据帕塞瓦尔等式有⎰ππ-2(x)f π1dx=∑∞=1n 2n b =∑∞=1n 2n 2n (-1)-1=∑∞=1k 21)-(2k 1，又⎰ππ-2(x)f π1dx=⎰ππ-216ππ1dx=8π2，∴8π2=∑∞=1n 2)1-n 2(1.(2)对函数f(x)=x 在(-π, π)上展开傅里叶级数得：f(x)=2∑∞=+-1n 1n nsinnx)1(. 其中a 0=a n =0，b n =n)1(21n +-，n=1,2,…；根据帕塞瓦尔等式有⎰ππ-2(x)f π1dx=∑∞=1n 2n b =4∑∞=1n 2n 1，又⎰ππ-2(x)f π1dx=⎰ππ-2x π1dx=32π2， ∴32π2=4∑∞=1n 2n1，即6π2=∑∞=1n 2n 1.(3)对函数f(x)=x 2在(-π, π)上展开傅里叶级数得：f(x)=31π2+4∑∞=1n 2n n cosnx (-1). 其中a 0=32π2，a n =2n n 4(-1)，b n =0，n=1,2,…；根据帕塞瓦尔等式有⎰ππ-2(x)f π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n a =92π4+16∑∞=1n 4n 1，又⎰ππ-2(x)f π1dx=⎰ππ-4x π1dx=32π2，∴52π4=92π4+16∑∞=1n 4n 1，即90π2=∑4n 1.4、证明：若f,g 均为[-π,π]上的可积函数，且它们的傅里叶级数在[-π,π]上分别一致收敛于f 和g ，则⎰ππ-f(x)g(x)π1dx=2αa 00+∑∞=+1n n n n n )βb αa (，其中a n , b n 为f 的傅里叶系数，αn ,βn 为g 的傅里叶系数. 证：由f 的傅里叶级数在[-π,π]上一致收敛于f ，有f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . ∵f,g 均在[-π,π]上可积，∴∑∞=1n n n g(x )sinnx ]b +g(x )cosnx [a 在[-π,π]上一致收敛.∴⎰ππ-f(x)g(x)π1dx=⎰ππ-0g(x)2a π1dx+∑⎰∞=1n ππ-n n g(x )sinnx ]b +g(x )cosnx [a π1dx=2αa 00+∑⎰⎰∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n ππ-ππ-n n x g(x )sinnx d π1b +x g(x )cosnx d π1a =2αa 00+∑∞=+1n n n n n )βb αa (.5、证明：若f 及其导函数f ’均在[-π,π]上可积，⎰ππ-f(x )dx=0, f(-π)=f(π)，且帕塞瓦尔等式成立，则⎰'ππ-2(x )]f [dx ≥⎰ππ-2[f(x )]dx.证：设a 0,a n ,b n 为f 的傅里叶系数；a ’0,a ’n ,b ’n 为f ’的傅里叶系数. 由⎰ππ-f(x )dx=0, f(-π)=f(π)，有a ’0=a 0=0; a ’n =nb n ,b ’n =-na n .根据帕塞瓦尔等式，有⎰ππ-2[f(x)]π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a =∑∞=1n 2n 2n )b +(a ， ⎰'ππ-2(x)]f [π1dx=2a 20'+∑∞=''1n 2n 2n )b +a (=∑∞=1n 2n 2n 2)b +(a n ≥∑∞=1n 2n 2n )b +(a =⎰ππ-2[f(x)]π1dx. ∴⎰'ππ-2(x )]f [dx ≥⎰ππ-2[f(x )]dx.。

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是现代数学以及工程学领域中非常重要的概念。

它们广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、电子电路等方面。

本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、原理和应用。

一、傅里叶级数傅里叶级数是一种用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。

对于任意周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为零频率分量的系数，an和bn为一系列傅里叶系数，n为正整数，ω=2π/T为基本频率。

傅里叶级数展开式中的每一项都代表了函数f(t)中具有不同频率的分量。

通过计算适当的系数an和bn，我们可以将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。

这使得我们能够分析、合成和处理不同频率的信号。

二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个时域函数转换为频域函数的过程。

对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换表示为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中，F(ω)为频域函数，ω为连续频率参数，e为自然对数的底，j为虚数单位。

傅里叶变换将时域函数转换为频域函数，可以帮助我们理解和分析信号在不同频率上的能量分布。

频域函数F(ω)表示了原始信号中不同频率的幅度和相位信息。

通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波、调制、解调等操作，从而实现对信号的处理和传输。

三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上是相互关联的。

傅里叶级数是对周期函数进行频谱分析的方法，而傅里叶变换则适用于各种非周期信号的频谱分析。

当周期T趋于无穷大时，傅里叶级数就变成了傅里叶变换的极限形式。

傅里叶变换可以看作是傅里叶级数的一个推广，将其应用于非周期信号的频谱分析。

四、傅里叶级数与傅里叶变换的应用傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和通信领域有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 信号滤波：通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波操作，以去除不需要的频率成分或者保留感兴趣的频率成分。

傅里叶级数收敛定理及其推论

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例 1 求 (1)
n 1 n 1
1 . 3 (2n 1)
例2 设f ( x)为[ , ]上可积函数.证明：若f ( x)的傅里叶级数在[ , ]上一致收敛于 f ( x)，则成立帕赛瓦尔（parseval）等式：
2 a 2 2 2 0 f ( x ) dx ( a b ) n n 2 n 1 这里an , bn为f ( x)的傅里叶系数.
傅里叶级数收敛定理及其推论
论文选题背景
论文基本框架
论文主要内容
论文选题背景
十九世纪初，法国数学家傅里叶开创了“傅里叶分析”这一重要分支，而傅里叶级数是在研究偏
微分方程的边值问题提出来的．在傅里叶分析的发
展史上，一开始就对傅里叶收敛问题有极大的争
议．而对此问题，在国际上先后有杜布瓦—雷蒙、
费耶尔等人做出了巨大的贡献.
1

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1 引言 2 预备知识 3 傅里叶级数收敛定理及其推论 4 傅里叶级数收敛定理的应用结束语致谢
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结合数学分析教材以及参考资料，对傅里叶级
数收敛定理及其推论和应用进行了系统地归纳、总
结．首先，介绍了傅里叶级数，广义左导数、广义
右导数的定义，接着给出了傅里叶级数收敛定理，
并利用贝塞耳不等式和黎曼-勒贝格定理证明了傅里叶级数收敛定将傅里叶级数收敛定理的条件中的“f ( x)在[ , ]上按段光滑”减弱为“函数f ( x)在[ , ]上可积，并且它每一点x [ , ]处的广义左、右导数皆存在”，得到了傅里叶级数收敛定理的推广形式.

信号与系统王明泉第三章习题解答

（3）周期信号的傅里叶变换；
（4）频域分析法分析系统；
（5）系统的无失真传输；
（6）理想低通滤波器；
（7）系统的物理可实现性；
3.3本章的内容摘要
3.3.1信号的正交分解
两个矢量和正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：
如果和为相互正交的单位矢量，则和就构成了一个二维矢量集，而且是二维空间的完备正交矢量集。也就是说，再也找不到另一个矢量能满足。在二维矢量空间中的任一矢量可以精确地用两个正交矢量和的线性组合来表示，有
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。
条件3:在一周期内，信号绝对可积，即
（5）周期信号频谱的特点
第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。
第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。
(a)周期、连续频谱； (b)周期、离散频谱；
(c)连续、非周期频谱； (d)离散、非周期频谱。
答案：(d)
题7、的傅里叶变换为
答案：
分析：该题为典型信号的调制形式
题8、的傅里叶变换为
答案：
分析：根据时移和频移性质即可获得
题9、已知信号如图所示，且其傅里叶变换为
试确定：
(1)
(2)
(3)
解：
(1)将向左平移一个单位得到
对于奇谐函数，满足，当为偶数时，，；当为奇数时，，，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。
（4）周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性
一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即。式中，，。研究表明，越大，越小，当时，。

【论文】傅里叶变换及应用

摘要线性变换,尤其是傅里叶变换,是众所周知的解决线性系统问题的技术,人们常将变换作为一种数学和物理工具,把问题转到可以解决的域内.在许多科学分支的理论中,傅里叶变换都扮演着重要的角色.就像其它变换一样,它可以单纯的看作数学泛函.在现代数学中,傅里叶变换是一种非常重要的变换,且在频谱信号、波动及热传导等方面有着广泛的应用.本文首先介绍了傅里叶级数以及傅里叶变换的基本概念、性质及发展;其次介绍了傅里叶变换的不同变种以及多种傅里叶变换的定义；最后介绍了傅里叶变换在周期信号、波动这两个方面的具体的应用,在周期信号方面主要介绍的是基于快速傅里叶变换的信号去噪的应用,而在波动方面主要介绍的是海水仿真系统的研究.最后对本文所讨论的内容进行了总结.关键词:傅里叶变换,波动,频谱信号AbstractLinear transforms ,especially those named for Fourier are well know as provide techniques for solving problems in linear systems characteristically, one uses the transformation as a mathematical or physical tool to alter the problem into one that can be solved.Fourier transforms play an important part in the theory of many branches of science while they may be regarded as purely mathematical functional .In modem mathematics, the Fourier transform is a very important transformation. It has a wide range of application in Spectrum Signal Processing, fluctuations and thermal conductivity, etc. This article introduced the Fourier series and Fourier transform of the basic concepts, the nature and development; followed introduced Fourier transform of the different variants and the definition of a variety of Fourier transform. Finally introduced the specific applications in the frequency spectrum, signal fluctuations and thermal conductivity. Fourier transform in different areas, have different forms ,such as modern studies, voice communications, sonar, seismic and even biomedical engineering study of the signal to play an important role in grams. Finally, the scope of our discussion in this article are summarized.Key words: Fourier transform, volatility , the spectrum signal傅里叶变换及应用目录第一章前言 (1)1.1傅里叶变换的发展 (1)1.2 研究傅里叶变换的意义 (1)第二章傅里叶级数及变换的理论知识 (3)2.1 傅里叶积分 (3)2.2 实数与复数形式的傅里叶积分 (5)2.3 傅里叶变换式的物理意义 (8)第三章傅里叶变换的性质及变形 (11)3.1 基本性质 (11)3.2 傅里叶变换的不同形式 (12)第四章傅里叶变换的应用 (15)4.1波动 (15)4.2周期信号中的傅里叶变换 (19)第五章工作总结及展望 (25)5.1 总结 (25)5.2 展望 (25)参考文献 (26)致谢 (27)第一章前言1.1傅里叶变换的发展傅里叶分析是分析学中的一个重要分支,在数学发展史上,早在18世纪初期,有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,D`Alembert,L.Euler等人的工作中出现,但真正重要的一步是由法国数学家J.Fourier迈出的,他在著作《热的解析理论》(1822年)中,系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题,此后各国科学家的完善和发展,极大的扩大了傅里叶分析的应用范围,使得这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具,特别是现代实用性很强的“小波分析”理论和方法也是从傅里叶分析的思想方法演变出来的,而Fourier变换变换作为Fourier分析中最为重要的内容正是由于其良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,本文将对傅里叶变换在其中某些领域的应用加以整理和总结.(由于傅里叶在不同的文献中有“傅里叶”和“傅立叶”两种不同的称谓,为了便于阅读,本片论文统一称为“傅里叶”)1.2 研究傅里叶变换的意义从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.根据傅里叶变换的一些特殊性质我们可以发现[1]1. 傅里叶变换是线性算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;4.著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;5.离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).1在后面的整理中我们可以发现,这些特性的应用为信号周期和波动的研究提供了坚实的基础.2第二章傅里叶级数及变换的理论知识2.1 傅里叶级数本节简明扼要地复习傅里叶级数的基本内容. 2.1.1 周期函数的傅里叶展开定义2.1.1 傅里叶级数傅里叶级数展开式傅里叶系数[4]若函数以为周期,即为)(x f l 2)()2(x f l x f =+的光滑或分段光滑函数,且定义域为[ ,则可取三角函数族]l l ,−,......sin ,.....,2sin ,sin ,.....,cos ,,......,2cos ,cos ,1lx k l x l xlx k l x l xππππππ (2-1)作为基本函数族将展开为傅里叶级数(即下式右端级数))(x f sin cos ()(10l xk b l x k a a x f k k k ππ++=∑∞= (2-2) 式(2-2)称为周期函数的傅里叶级数展开式(简称傅氏级数展开),其中的展开系数称为傅里叶系数(简称傅氏系数)．)(x f 函数族(2-1)是正交的．即为:其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∫∫∫∫∫−−−−−l llllll l lldx l x n l x k dx lx n l x k dx l x n l x k dx l x k dx lx k 0sin .cos .10sin .sin .10cos .cos .10sin .10cos .1ππππππππ 利用三角函数族的正交性,可以求得(2.1.3)的展开系数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k l l kk dx l x k x f l b dx l x k x f l a )sin()(1)cos()(1ππδ (2-3) 3其中⎩⎨⎧≠==)0( 1)0( 2k k k δ关于傅里叶级数的收敛性问题,有如下定理: 定理 2.1.1狄利克雷(Dirichlet )若函数满足条件:)(x f (1)处处连续,或在每个周期内只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期内只有有限个极值点,则级数(2-3)收敛,且在收敛点有:∑∞=++=10)sin cos ()(k k k l xk b l x k a a x f ππ在间断点有:∑∞=++=−++10)sin cos ()]0()0([21k k k l xk b l x k a a x f x f ππ2.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开定义 2.1.2 傅里叶正弦级数傅里叶余弦级数[2]若周期函数是奇函数,则由傅里叶系数的计算公式(2-3)可见,所有均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k a a ,0∑∞==1sin )(k k l xk b x f π (2-4) 这叫作傅里叶正弦级数．容易检验(2-4)中的正弦级数在l x x ==,0处为零．由于对称性,其展开系数为∫=lk dx lx k x f l b 0)sin()(2π若周期函数是偶函数,则由傅里叶系数计算公式可见,所有均等于零,展开式(2-2)成为)(x f k b ∑∞=+=10cos)(k k lxk a a x f π (2-5) 这称为傅里叶余弦级数．同样由于对称性,其展开系数为∫=lk k dx l x k x f l a 0)cos()(2πδ (2-6)由于余弦级数的导数是正弦级数,所以余弦级数的导数在l x x ==,0处为零．而对于定义在有限区间上的非周期函数的傅里叶级数展开,需要采用类似于高等数学中的延拓法,使其延拓为周期函数.)(x g 42.1.3复数形式的傅里叶级数定义2.1.3 复数形式的傅里叶级数[8]取一系列复指数函数 ,....,...,,,1,,,..., (22)x k ilx ilxilxilx ilx k i eeeeeeππππππ−−− (2-7)作为基本函数族,可以将周期函数展开为复数形式的傅里叶级数)(xf 利用复指数函数族的正交性,可以求出复数形式的傅里叶系数∫∫−−−==lll x k i l l l xk i k dx e x f l dx e x f l C **])[(21])[(21ππ (2-9)式中“*”代表复数的共轭.上式(2- 9)的物理意义为一个周期为2L 的函数可以分解为频率为)(x f l n π,复振幅为的复简谐波的叠加.n c ln π称为谱点,所有谱点的集合称为谱．对于周期函数而言,谱是离散的.尽管是实函数,但其傅里叶系数却可能是复数,且满足:)(x f )(x f *kk C C =−或k k C C =− (2-10) 2.2 实数与复数形式的傅里叶积分上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开,下面讨论非周期函数的级数展开. 2.2.1 实数形式的傅里叶积分[6]定义 2.2.1 实数形式的傅里叶变换式傅里叶积分傅里叶积分表示式设非周期函数为一个周期函数当周期)(x f )(x g ∞→l 2时的极限情形.这样,的傅里叶级数展开式)(x g ∑∞=++=10)sin cos()(k k k l x k b lxk a a x g ππ (2-11)在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开.面我们研究这一极限过程:设不连续的参量∞→l )(x f lk l k k k k k πωωωπω=−=Δ==−1,...),2,1,0(故(2-11)为(2-12)∑∞=++=10)sin cos ()(k k k k k x b x a a x g ωω傅里叶系数为5⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫−−l l k k l l k k k xdx x f l b xdx x f l a ωωδsin )(1cos )(1 (2-13) 代入到 (2-12),然后取∞→l 的极限.对于系数,有限,则0a ∫−ll dx x f )(lim ∫−∞→∞→==l l l l x f l a 0)(21limlim 0而余弦部分为当0,→=Δ∞→ll kπω,不连续参变量k ω变为连续参量,以符号ω代替．对的求和变为对连续参量k ω的积分,上式变为ωωωπxd xdx x f cos ]cos )(1[0∫∫∞∞−∞ 同理可得正弦部分ωωωπxd xdx x f sin ]sin )(1[∫∫∞∞−∞若令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−∞∞−xdxx f B xdx x f A ωπωωπωsin )(1)(cos )(1)( (2-14) 式(2-14)称为的(实数形式)傅里叶变换式．故(2-12)在时的极限形式变为(注意到))(x f ∞→l )()(x f x g →∫∫∞∞+=0sin )(cos )()(ωωωωωωxd B xd A x f (2-15)上式(2-15)右边的积分称为(实数形式)傅里叶积分.(2-15)式称为非周期函数的(实数形式)傅里叶积分表示式．事实上,上式(2-15)还可以进一步改写为)(x f )](/)(arctan[)(),()()()](cos[)()(]sin )(cos )([)(220ωωωϕωωωϕωωωωωωωA B B A x f d x x C x f d x B x A x f =+=−=+=∫∫∫∞∞∞(2-16)上式(2-16)的物理意义为:称为的振幅谱,ωc )(x f ωϕ称为的相位谱．可以对应于物理现象中波动(或振动).我们把上述推导归纳为下述严格定理: )(x f 1．傅里叶积分定理[7]定理2.1.1 傅里叶积分定理：若函数在区间上满足条件)(x f ),(∞−∞(1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件;)(x f (2)在上绝对可积,则可表为傅里叶积分形式(2-15),且在 )(x f ),(∞−∞)(x f )(x f 6的不连续点处傅里叶积分值= 2]0[]0([−++x f x f .2．奇函数的傅里叶积分定义 2.1.2 实数形式的傅里叶正弦积分傅里叶正弦变换若为奇函数,我们可推得奇函数的傅里叶积分为傅里叶正弦变换:)(x f )(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd B x f (2-17)式(2-1)满足条件其中0)0(=f )(ωB 是的傅里叶正弦变换:)(x f ∫∞=0sin )()(ωωωxd x f B (2-18)3. 偶函数的傅里叶积分定义 2.1.3 实数形式的傅里叶余弦积分傅里叶余弦变换[8]若为偶函数,的傅里叶积分为傅里叶余弦积分:)(x f )(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωωπxd A x f (2-19)式(2-3)满足条件．其中0)0(=′f )(ωB 是的傅里叶余弦变换:)(x f ∫∞=0cos )(2)(ωωπωxd x f A (2-20)上述公式可以写成另一种对称的形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00sin )(2)(sin )(2)(xdx x f B xd B x f ωπωωωωπ (2-21)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞00cos )(2)(cos )(2)(xdxx f A xd A x f ωπωωωωπ (2-22) 4 复数形式的傅里叶积分定义2.1.4 复数形式的傅里叶积分下面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换,而且很多情形下,复数形式(也称为指数形式)的傅氏积分变换使用起来更加方便.利用欧拉公式则有 )(21sin ),(21cos x i x i x i x i e e ix e e x ωωωωωω−−−=+=7代入式(2-15)得到ωωωωωωωωd e iB A d e iB A x f x i x i −∞∞++−=∫∫)]()([21)]()([21)(00将右端的第二个积分中的ω换为ω−,则上述积分能合并为∫∞∞−=ωωωd e F x f x i )()( (2-23)其中⎩⎨⎧<+≥−=0)( ,2/)]()([0)( ,2/)]()([)(ωωωωωωωiB A iB A F将(2-14)代入上式可以证明无论对于0≥ω,还是0<ω均可以合并为∫∞∞−=dx e x f F x i *])[(21)(ωπω (2-24)证明:(1) 0≥ω时∫∫∞∞−∞∞−=−=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω (2) 0<ω时 ∫∫∞∞−∞∞−=+=dx e x f dx x i x x f F x i *])[(21)]sin())[cos((21)(ωπωωπω ∫∫∞∞−∞∞−−==dx e x f dx e x f x i x i *])[(21)(21ωωππ 证毕．(2-23)是的复数形式的傅里叶积分表示式,(2-24)则是的复数形式的傅里叶变换式.述变换可以写成另一种对称的傅氏变换(对)形式)(x f )(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∫∫∞∞−−∞∞−ωπωωωπωωd e x f F d e F x f x i x i )(21)()(21)( (2-25) 2.3 傅里叶变换式的物理意义傅里叶变换和频谱[2,8]有密切的联系.频谱这个术语来自于光学.通过对频谱的分析,可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质.若已知是以T 为周期的周期函数,且满足狄利克雷条件,则可展成傅里叶级数)(x f )sin cos ()(10x b x a a x f n n n n n ωω++=∑∞= (2-26)其中Tn n n πωω2==,我们将x b x a n n n n ωωsin cos +称为的第次谐波,)(x f n n ω称为第n 次谐波的频率．由于)cos(sin cos 22n n n n n n x b a x b x a ϕωωω−+=+其中abarctan =ϕ称为初相,22b a +称为第次谐波的振幅,记为,即n n A 0022 1,2,...)(n a A b a A n ==+= (2-27)若将傅里叶级数表示为复数形式,即(2-28)∑∞−∞==n xi nn e C x f ω)(其中22212||||n n n n n b a A C C +===−恰好是次谐波的振幅的一半.我们称为复振幅.显然n 次谐波的振幅与复振幅有下列关系:n n c n n C A 2= ,...)2,1,0(=n (2-29)当取这些数值时,相应有不同的频率和不同的振幅,所以式(2-14)描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.频谱图通常是指频率和振幅的关系图.称为函数的振幅频谱(简称频谱).若用横坐标表示频率.....3,2,1,0=n n A )(x f n ω,纵坐标表示振幅,把点n A .....3,2,1,0),,(=n A n n ω用图形表示出来,这样的图形就是频谱图.由于,所以频谱的图形是不连续的,称之为离散频谱......3,2,1,0=n n A 2.3.1 傅里叶变换的定义[7]由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论,最后我们以简洁的复数形式(即指数形式)作为傅里叶变换的定义. 定义2.3.1 傅里叶变换若满足傅氏积分定理条件,称表达式)(x f (2-30)∫∞∞−−=dx e x f F x i ωω)()( 为的傅里叶变换式,记作.我们称函数)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(ωF 为的傅里叶变换,简称傅氏变换(或称为像函数)． )(x f 定义2.3.2 傅里叶逆变换如果∫∞∞−=dxe F xf x i ωωπ)(21)( (2-31)则上式为的傅里叶逆变换式,记为,我们称为)(x f )]([)(1ωF F x f −=)(x f )(ωF (或称为像原函数或原函数)的傅里叶逆变换,简称傅氏逆变换.由(2-30)和(2-31)知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换,即有)()]([)]]([[)]([111x f x f F F x f F F F F ===−−−ω (2-32)或者简写为)()]([1x f x f F F =− 2.3.2多维傅氏变换在多维(n 维)情况下,完全可以类似地定义函数的傅氏变换如下:),,,(21n x x x f L )],...,,([),...,,(2121n n x x x f F F =ωωωn x x x i n dx dx dx e x x x f n n ...),...,,(....21)...(212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=ωωω它的逆变换公式为:()n x x x i n n n d d d e F x x x f n n ωωωωωωπωωω...),...,,(. (21)),...,,(21)...(21212211∫∫+∞∞−∞∞−+++−=2.3.3傅里叶变换的三种定义式在实际应用中,傅里叶变换常常采用如下三种形式,由于它们采用不同的定义式,往往给出不同的结果,为了便于相互转换,特给出如下关系式: 1.第一种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωπω)(21)(1,,)(21)(1∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 2.第二种定义式∫∞∞−−=dx e x f F xi ωω)()(2,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i )(21)(2 3.第三种定义式∫∞∞−−=dx e x f F x i πωω23)()(,∫∞∞−=ωωπωd e F x f x i 23)()(三者之间的关系为)2(21)(21321πωπωπF F F ==三种定义可统一用下述变换对形式描述：⎩⎨⎧==−)]([)()]([)(1ωωF F x f x f F F 特别说明:不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义,所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数,比如ππ21,21.本文采用的傅氏变换(对)是大量书籍中常采用的统一定义,均使用的是第二种定义式．第三章傅里叶变换的重要特性傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)的积分的线性组合.在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.3.1 基本性质[1,8]1.线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和.数学描述是:若函数和的傅里叶变换和都存在,)(x f )(x g )(f F )(g F α和β为任意常系数,][][][g F f F g f F βαβα+=+. 2.平移性质若函数存在傅里叶变换,则对任意)(x f 实数0ω,函数也存在傅里叶变换,且F x i e x f 0)(ω=])([0x i e x f F ω)(o ωω−. 3.微分关系若函数当)(x f ∞→x 时的极限为0,而其导函数的傅里叶变换存在,则有 ,即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子)(x f )]([)](['x f F i x f F ω=ωi .更一般地,若,且存在,则,即k阶0)(....)()()1('=±∞==±∞=±∞−k f f f )]([)(x f F k ][)()]([)(f F i x f F k k ω=导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子.k i )(ω4.卷积特性若函数及都在上)(x f )(x g ),(+∞−∞绝对可积,则卷积函数∫+∞∞−−=ξξξd g x f g f )()(*的傅里叶变换存在,且][].[]*[g F f F g f F =.卷积性质的逆形式为)]([*)]([)]()([111ωωωωG F F F G F F −−−=即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积. 5．Parseval 定理若函数)(x f 可积且平方可积,其中)(ωF 是的傅里叶变换.（查正确性） )(x f 则∫∫+∞∞−+∞∞−=ωωπd F dx x f 22)(21)( 3．2傅里叶变换的不同变种1.连续傅里叶变换[8]一般情况下,若“傅里叶变换”一词的前面未加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”.“连续傅里叶变换”将平方可积的函数表示成复指数函数的积分或级数形式.)(t f ∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωπω)(21)]([)(这是将频率域的函数)(ωF 表示为时间域的函数的积分形式. 连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform )为)(t f ∫∞∞−−==ωωπωωd e F F F t f t i )(21)]([)(1即将时间域的函数表示为频率域的函数)(t f )(ωF 的积分.一般可称函数为)(t f 原函数,而称函数)(ωF 为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair ).除此之外,还有其它型式的变换对,以下两种型式亦常被使用.在通讯或是讯号处理方面,常以πω2=f 来代换,而形成新的变换对 : ∫∞∞−−==dt e t x t x F f X fti π2)()]([)( ∫∞∞−−==df e f X f X F t x ft i π21)()]([)( 或者是因系数重分配而得到新的变换对:∫∞∞−−==dt e t f t f F F t i ωω)()]([)(∫∞∞−−==ωωπωωd eF F F t f ti )(21)]([)(12.离散傅里叶变换定义3.2.1[1]给定一组数据序列{}1.....2,1,0,−==N n y y n ,离散傅里叶变换为序列：10,][10/2−≤≤==∑−=−N n e y y F y N n N kn i n n k π离散傅里叶逆变换为：10,1][1/2−≤≤==∑−=N k ey Ny F y N k Nkn i k k n π定理3.1 对于离散傅里叶变换,以下性质成立.1.移位或平移.若且n s y ∈1+=k k y z ,那么,这里 j j j y F z F ][][ω=n i e /2πω=2.卷积.若且,那么下面的序列n s y ∈n s z ∈∑−=−=10]*[n j j k j k z y z y也在中.序列称为和的卷积.n s z y *y z 3.若是一实数序列,那么n s y ∈k k n k k n y y n k y F y F ))=≤≤=−− 0 , ][][或. 3.快速傅里叶变换快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

傅里叶级数逐点收敛性1

i =1 n
xi
xi −1 xi
f ( x ) − f * ( x ) dx = ∑ ∫
i =1 n
xi
xi −1
f ( x ) − mi dx
≤ ∑ ∫ ωi dx = ∑ ωi Δxi < ε
i =1 xi −1 i =1
由此，我们可得：
∫ f ( x ) sin pxdx ≤ ∫ f ( x ) − f ( x ) dx + ∫
∫ f ( x ) sin pxdx
a
b
的积分当 p → ∞ 时的性质，为此，先引入一个引理：
Riemann-Lebesgue 引理：设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上可积或广义绝对可积，则有：
b ⎧sin px ⎫ lim ∫ f ( x ) ⎨ ⎬ dx = 0 ，其中 p ∈ R 。 a p →∞ ⎩cos px ⎭
证明：证明思路是分为如下三个步骤进行： ① 对 f ( x ) 为阶梯函数证明结论； ② 对 f ( x ) 为 Riemann 可积函数证明结论； ③ 对 f ( x ) 为广义绝对可积函数证明结论。 ① 假设 f ( x ) 为一阶梯函数，即：
f ( x ) = ci ， xi ≤ x < xi +1 ， i = 0,1," , n − 1 ， a = x0 < x1 < " < xn = b ，
因而 S n f ( x0 ) 之收敛性只与
(
)
1
π
∫
δ
0
⎡ ⎣ f ( x0 + u ) + f ( x0 − u ) ⎤ ⎦
sin ( n + 1 2 )u 2sin 1 2u

数学分析153傅里叶级数收敛定理的证明doc

数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明.doc傅里叶级数收敛定理是数学分析中的重要定理之一，它可以用于研究周期函数的展开。

下面给出傅里叶级数收敛定理的证明。

设f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，即∫[0,2π]|f(x)|dx < ∞。

我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)。

设f(x)的傅里叶级数为：f(x) = a0 + ∑[n=1,∞] (an cos(nx) + bn sin(nx))其中a0, an, bn分别为f(x)的傅里叶系数。

我们要证明f(x)的傅里叶级数收敛于f(x)，即要证明对于任意的x，有f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))为了证明这个结论，我们需要用到以下两个引理：引理1：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn其中bn为f(x)的傅里叶系数。

引理2：若f(x)是一个周期为2π的函数，它在一个周期内可积，则对于任意的实数x和整数N，有∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an其中a0, an为f(x)的傅里叶系数。

现在我们来证明傅里叶级数收敛定理。

首先，我们使用引理1和引理2，将f(x)的傅里叶级数展开，并对其进行部分和的计算：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = bn = ∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx根据正弦函数的正交性质，我们知道∫[0,2π] sin(Nx)sin(Mx)dx = 0，其中N≠M。

因此，上式中的交叉项∫[0,2π] ansin(Nx)sin(Mx)dx = 0。

所以，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] (a0 + ∑[n=1,N] an)sin(Nx)dx = ∫[0,2π] a0sin(Nx)dx + ∑[n=1,N] ∫[0,2π] ansin(Nx)dx同理，我们可以得到：∫[0,2π] f(x)cos(Nx)dx = a0 + ∑[n=1,N] an现在，我们来证明f(x) = lim[N→∞] (a0 + ∑[n=1,N] (an cos(nx) + bn sin(nx)))。

傅里叶级数和傅里叶变换

第九章傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。

例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。

为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。

当然这类函数也要体现出周期性。

这类函数称为周期函数。

在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。

但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。

9.1 周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数凡满足以下关系式：)()(x f T x f =+ （T 为常数）（9.1.1）的函数，都称为周期函数。

周期的定义（1）满足式（9.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期；（2）一个常数以任何正数为周期。

9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。

如下形式的函数系：1，x l πcos，x l πsin，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x lk πsin ，… （9.1.2）称为基本三角函数系。

所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos 和x lk πsin 的周期为kl2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。

通常这个周期命名为函数系的周期。

所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为l 2。

如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n 个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。

例如图9.1（a ）是两个函数的组合x lx l x f ππ2sin 21sin )(-=；图9.1（b ）是三个函数的组合x lx l x l x f πππ3sin 312sin 21sin )(+-=。

傅里叶级数收敛

傅里叶级数收敛傅里叶级数是非常重要的数学概念，它关于一个函数的全体和的收敛性是很关键的问题。

傅里叶级数和傅里叶变换都是描述一类非常重要的具有周期性的函数的数学工具。

下面将介绍傅里叶级数的概念以及他们的收敛性。

第一步，介绍傅里叶级数的概念。

傅里叶级数是指，把一个周期函数表示成一个三角函数的无穷级数的形式。

用下面的式子可以表示：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n\cos(\frac{2\pi}{T}nx)+b_n\sin(\frac{2\pi}{T}nx))}$其中，$T$代表函数的周期，$a_n$ 和 $b_n$ 分别是 n 次正余弦函数的系数。

$a_0$ 是一个与等于周期函数 $f(x)$ 的均值。

第二步，接下来需要研究傅里叶级数的收敛性。

一个函数的傅里叶级数是否收敛，取决于该函数是否对于其周期是积分平方可积，这个条件被称为 Dirichlet 条件。

在实际中，如果周期函数$f(x)$满足Fourier Dirichlet条件，我们就会得到，$\frac{a_0^2}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n^2+b_n^2)}<\infty$这就是说傅里叶级数收敛于原周期函数。

第三，需要注意的是，存在一些函数满足Dirichlet条件，但它的傅里叶级数不收敛到原函数。

这种情况被称为可减少的 Gibbs 现象。

这意味着即使周期函数满足 Fourier Dirichlet 条件，傅里叶级数仍然可能收敛于一个函数，它与原函数仅有一个截断误差，并且截断误差在一些点上是很大的。

最后，值得一提的是，有时候我们不需要完整的傅里叶级数，我们可以通过仅仅计算几个傅里叶系数来得到一个名为方式回归的近似方法，这个方法是基于傅里叶级数的收敛性。

方法回归是一种比完整傅里叶级数更高效的方法，特别是在大型数据集上。

综上所述，傅里叶级数是描述周期函数的一个非常重要的数学工具。

傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛

傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛1. 傅里叶级数是一种非常重要的数学工具，对于描述周期性函数的性质和变化规律具有非常广泛的应用。

而傅里叶系数则是描述傅里叶级数的系数，关于傅里叶级数的收敛性和傅里叶系数的收敛性也是一个非常重要且有趣的数学问题。

2. 让我们来了解一下什么是傅里叶级数和傅里叶系数。

傅里叶级数是指一种表示周期函数为正弦和余弦函数之和的级数，而傅里叶系数则是指在傅里叶级数中正弦和余弦函数的系数。

这里需要特别注意的是，傅里叶级数和傅里叶系数是通过对原始函数进行周期延拓和展开得到的，因此傅里叶级数和傅里叶系数的性质与原始函数的性质密切相关。

3. 接下来，让我们来研究傅里叶级数的收敛性。

傅里叶级数的收敛性是指在什么条件下，傅里叶级数对原始函数进行逼近的效果好，即部分和能逼近原函数。

而傅里叶系数绝对收敛则是指傅里叶级数的系数在绝对值意义下收敛。

根据数学理论，对于绝对收敛的级数，其部分和序列是收敛的，且收敛于该级数的和。

4. 当傅里叶系数绝对收敛时，可以推导出傅里叶级数在每一点收敛于原函数的平均值。

这个结论对于信号处理、图像处理、物理学等领域有着重要的应用。

傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛的结论对于理解和应用傅里叶分析具有重要意义。

5. 个人观点和理解：傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛这一结论的证明涉及到一些复杂的分析和变换技巧，需要对傅里叶级数的性质进行详细的研究和推导。

然而，一旦理解了这个结论，就能够更深刻地理解傅里叶分析的精髓，并将其应用到实际问题中去。

6. 总结回顾：在本文中，我们对傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛这一重要结论进行了深入的讨论。

通过对傅里叶级数和傅里叶系数的定义和性质进行梳理和分析，我们得出了傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛的重要结论。

这一结论对于理解傅里叶分析的本质和应用具有重要的意义。

以上就是我根据您提供的主题“傅里叶级数收敛则傅里叶系数绝对收敛”撰写的文章，希望对您有所帮助。

常用傅里叶级数公式总结

常用傅里叶级数公式总结傅里叶级数是一种非常重要的数学工具，可以将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和，从而方便进行分析和计算。

在信号处理、图像处理、物理学等领域都有广泛的应用。

本文将以常用傅里叶级数公式为线索，介绍傅里叶级数的基本概念和性质。

1. 傅里叶级数的基本形式任何周期为T的周期函数f(t)，都可以表示为正弦函数和余弦函数的线性组合，即傅里叶级数。

其基本形式为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(2πnft) + bn*sin(2πnft))其中，a0为直流分量，an和bn分别为函数f(t)的傅里叶系数，f为基本频率，n为正整数。

2. 傅里叶级数的计算公式傅里叶系数an和bn的计算公式为：an = (2/T) * ∫[0,T] f(t)*cos(2πnft) dtbn = (2/T) * ∫[0,T] f(t)*sin(2πnft) dt这两个公式描述了函数f(t)在频率为nf时的正弦和余弦分量的大小，通过计算这些系数，可以得到傅里叶级数的展开式。

3. 傅里叶级数的性质傅里叶级数具有许多重要的性质，其中包括线性性、偶函数和奇函数的傅里叶级数、周期延拓性等。

这些性质使得傅里叶级数在实际应用中具有广泛的适用性。

4. 傅里叶级数的收敛性对于一个周期为T的周期函数f(t)，其傅里叶级数展开并不一定收敛于原函数f(t)。

在一定条件下，傅里叶级数可以收敛于原函数，这就是傅里叶级数的收敛性问题。

5. 傅里叶级数的频谱分析傅里叶级数可以将一个周期函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而可以对信号进行频谱分析。

通过分析不同频率成分的幅值和相位，可以了解信号的频谱特性，对信号进行处理和识别。

6. 傅里叶级数的离散化在数字信号处理中，通常需要对离散信号进行傅里叶变换。

离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）是常用的算法，可以高效地计算离散信号的频谱。

7. 傅里叶级数的应用傅里叶级数在信号处理、通信、图像处理、物理学等领域都有广泛的应用。

《傅里叶级数基本概念及其收敛性》内容小结、题型与典型题

《傅里叶级数基本概念及其收敛性》内容小结、题型与典型题一、傅里叶级数相关的基本概念设有两列实数{ak}，{bk}，称形如的函数项级数为三角级数，称{ak}，{bk}为此三角级数的系数．该三角级数由下列三角函数系组成该三角函数系的函数都为周期为2π的周期函数. 在一个周期内，该三角函数系具有所谓的“正交性”：在一个周期上，除1外，两个相同函数的乘积的定积分为π；两个不同函数的定积分为0. 即其中n,k均为非负整数．【注】以上结果可以直接应用于相应三角函数积分的计算.二、周期为2π的函数的傅里叶级数展开第一步：计算傅里叶系数根据周期函数的定积分性质，由以下公式计算函数f(x)在任意区间长度为2π的区间上的定积分.一般取为直接定义函数的一个周期区间。

常取为[-π, π]，即第二步：以傅里叶系数为系数，写出三角级数【注1】在将函数展开为傅里叶级数时，最好先画出其图形，这样容易看出其奇偶性及间断点,从而便于计算系数和写出收敛域.【注2】在计算傅里叶系数时，一般对于n=0单独计算，如果在使用通用公式计算的过程中，通项公式中有n值使得通项公式无意义，则对于这样的n值对应的系数也应该单独计算.第三步：基于狄利克雷收敛定理判定傅里叶级数的收敛性狄利克雷收敛定理：如果周期为2π的周期函数f(x)在一个周期上分段连续，并且在一个周期上只有有限个极值点和有限个第一类间断点，则函数f(x)的傅立叶级数收敛，并且有其中f(x+0)和f(x-0)分别为函数f(x)在点x处的右极限与左极限．即在连续点处傅里叶级数收敛于函数本身S(x)=f(x)；在间断点处收敛于该点左、右极限的算术平均值．第四步：函数展开成傅里叶级数依据定理得到和函数等于被展开函数f(x)的集合I，最终写出附带集合I的等式【注1】在收敛于f(x)的点，称函数f(x)可以展开成傅里叶级数，即有所以将函数展开成傅里叶级数必须是等式并且附带连续点描述的集合。

【注2】特别注意对应傅里叶级数的和函数与被展开函数的区别与联系！【注3】傅立叶级数的部分和有很好的整体逼近性质，幂级数的局部逼近性质比较好．幂级数展开需要函数有很好的“光滑性”，傅里叶级数对“光滑性”的要求较低．【注4】如果函数为奇函数，则函数的傅里叶级数仅仅包含正弦项，则这样傅里叶级数称之为正弦级数，此时只需要计算傅里叶级数的系数bn(1,2,…)；如果函数为偶函数，则函数的傅里叶级数仅仅包含余弦项和常数项，则这样傅里叶级数称之为余弦级数，此时只需要计算傅里叶级数系数an(0,1,2,…).。

一傅里叶变换的收敛问题傅里叶变换

作业一．傅里叶变换的收敛问题:既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。

傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。

狄利赫里条件如下：1. 在任何周期内，x(t)须绝对可积；2. 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；3. 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

下面举一个简单的例子是方波信号，对称方波的傅里叶展开:⎩⎨⎧<<--+<<+=0,4/0,4/)(x x x f ππππ∑=--=mn m n xn x S 112)12sin()()()(lim x f x S m m =∞→如上图所示:如果合成的波形所包含的谐波分量愈多时,除间断点附近外,它愈接近于原方波信号,在间断点附近,随着所含谐波次数的增高,合成波形的尖峰愈靠近间断点,但尖峰幅度并没有明显减小.可以类推,当谐波次数趋于无穷大时,在间断点处仍有约9%的偏差,这种现象称为吉布斯现象。

二．周期序列的傅里叶级数展开与傅里叶变换之间的问题:周期序列的傅里叶级数:当 ()xn 是周期为N 的一个周期序列, ()()xn x n rN =+,r 为任意整数,这个周期序列不是绝对可和的,不能用Z 变换表示,那么它可以离散傅里叶级数表示,也就是说用周期为N 的复指数序列来表示, 1012()()exp()N k x n X K j kn N Nπ-==∑,其中()X K 是K 次谐波的系数,然后求出 12()()exp()N n X K xn j kn N π-==-∑,它是对 ()xn 的一个周期x(n)作Z 变换,然后将Z 变换在Z 平面单位圆上按等间隔角2/N π抽样而得到的。

周期序列的傅里叶变换:实际上是对有限长序列的傅里叶变换,如果把长度为N 的有长限长序列x(n)看成周期为N 的序列的一个周期的话,把 ()xn 看成是x(n)的以N 为周期的周期延拓, ()()()Nx n x n R n =,此时周期序列的傅里叶变换 ()()()N X K X K R K =,事实上,对频域的周期序列 ()X K 可以看作是对有限长序列()X K 的周期延拓,而有限长序列()X K 可以看作是周期序列 ()X K 的主值序列.三．频率分辨率的问题:其实频率分辨率和分辨力都来源于外文Resolution,它是表征图像细节的能力。

傅里叶级数的其收敛性及其应用

傅里叶级数的收敛性及其应用摘要傅里叶级数是数学分析的一个重要组成部分.本文首先介绍了傅里叶级数的相关知识、以2π为周期函数的傅里叶级数展开式、以2l为周期函数的傅里叶级数展开形式.其次，通过狄利克雷积分和黎曼—勒贝格引理及局部化定理傅里叶f t展开成傅里叶级数的收敛定理及其证明.级数的收敛定理分析了周期函数()最后，给出了傅里叶级数一些简单应用，其原理主要是利用傅里叶级数均方误差证明了傅里叶级数部分和趋于无穷大时吉伯斯现象不存在以及利用傅里叶级数展开法研究了平顶高斯光束通过有光阑限制的近轴ABCD光学系统的传输特性问题.关键词：傅里叶级数；收敛性；积分；周期函数CONVERGENCE OF FOURIER SERIES ANDITS APPLICATIONABSTRACTFourier series is an important part in Mathematical Analysis. The first introduced the knowledge of Fourier series, toπ2for the periodic function of the Fourier series expansion, to l2for the periodic function of the Fourier series expansion. Second, analyzed periodic function()x f expand into Fourier series convergence theorem and its proof by Dirichlet integral and Riemann-Lebesgue Lemma and local theorem of Fourier series convergence theorem . Finally, some simple application of Fourier series, and its main principle is to use the mean square error of the Fourier series is proved, and tends to infinity, some of Gibbs phenomenon does not exist and the use of fourier Fourier series expansion of the flattened Gaussian beams through apertured paraxial optical system ABCD, the transmission characteristics of the problem.Key words:Fourier series; Convergence; Integral; Periodic function----。

4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换

R( ) R( ) X ( ) X ( )
是ω的偶函数是ω的奇函数
F ( j) F ( j) e j ( )
| F ( j) |= R2 () + X 2 ()
R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )
f (t) 为偶函数，相位频谱为：
F ( j ) 为
且为

的实函数，
( ) 0
的偶函数。
4.4 连续时间信号傅里叶变换例：利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换
f (t ) e
1 lim e
0
t
(a>0)
t
FT [1] lim F ( j )
0
2 lim 2 0 2

0
0 0
lim
2[

2 ( )
2 d( )
2
2 lim d 0 2 2
0
1 ( )2
( 2 )]
lim 2 arctan( ) 0
dt
e e
t

0
j t
dt e
0

t
e
j t
dt

1 j
1 j
2 2 2
4.4 连续时间信号傅里叶变换双边指数信号一
f (t ) e
t
(a>0)
2 F ( j ) 2 2
其振幅频谱为：
2 F ( j ) 2 2
t0 t0
t0 t0
f (t ) sgn(t )

(完整版)傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用本科毕业论文

本科生毕业论文（申请学士学位）论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用学生：（签字）论文答辩日期：2014年x月xx日指导教师：（签字）目录摘要： ...........................................................................................................................................................关键词 ........................................................................................................................................................... Abstract....................................................................................................................................................... 1绪论 ............................................................................................................................................................ 2傅里叶级数的概念 ....................................................................................................................................2.1周期函数 ................................................................................................................................................2.2傅里叶级数的定义 ................................................................................................................................3 傅里叶变换的概念及性质 .......................................................................................................................3.1傅里叶变换的概念 ................................................................................................................................3.2傅立叶变换的性质 ................................................................................................................................ 4傅里叶变换与傅里叶级数之间的区别与联系 ........................................................................................ 5傅里叶级数和傅里叶变换的应用 ............................................................................................................5.1傅里叶级数的应用 ................................................................................................................................5.2傅里叶变换的应用 ................................................................................................................................参考文献 .......................................................................................................................................................傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用摘要：傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。

傅里叶变换与傅里叶级数

重温傅里叶—笔记篇本文记录得大多就是基础得公式,还有一些我认为比较重要得有参考价值得说明、(如果对这些公式已经很熟悉,可以直接瞧第三部分:总结性说明)重温傅里叶—笔记篇一、傅里叶级数＄关于三角函数系得正交性:三角函数系包括:1, ｃoｓｘ, sinx , coｓ２ｘ, ｓin 2x, ……cos nx, ｓin ｎx, ……“正交性"就是说,三角函数系中得任何一项与另一项得乘积,在(－π, π) 区间内得积分为0。

(任何两相得积总可以展成两个频率为整数倍基频得正余弦函数之与或差,而这两个展开后得正余弦在(—π,π)上积分都为0)。

不同频率(但都就是整数倍基频)得两个正弦函数之积,在(－π, π)上积分恒为０。

同频率得两个正弦函数之积,只有在这两个正弦得相位正交时,其在(－π,π)上积分才就是0、三角函数系中除“1”以外得任何一项得平方,在(—π,π)上得积分恒为π,“１”在这个区间上得积分为2π。

＄上公式！①当周期为2π时:式(１):上式成立得条件就是ｆ(x)满足狄立克雷充分条件:１。

在任意有限区间内连续,或只有有限多个第一类间断点;２. 任意得有限区间,都可被分成有限多个单调区间(另一种说法就是:任意有限区间内只有有限多个极值点,其实就是一样得)式(1)第一行中得a0／2 就就是f(x)得周期平均值,而且第一行得式子只对f(x)就是连续函数得情况成立;如果ｆ(x)不连续,则应表示成“(１／２)×［f(x—０)+ｆ(ｘ+0)］”,即ｆ(x)左右极限得算术平均。

下面得类似情况都就是这样,之后就不再专门说明,这些大家应该都懂。

第三、四行中,n得取值都就是:1,2,3,4,……n,……(都为正,且不包含0)。

②当周期为2L时(这也就是最一般得情形):式(2):第一行中得a0/2 就就是f(x)得周期平均值;第三、四行中,n得取值都就是:１,2,3,４,……ｎ,……(都为正,且不包含0)。