傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题

1、傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题

由于傅里叶级数是一个无穷级数，因而存在收敛问题。这包含两方面的意思：是否任何周期信号都可以表示为傅里叶级数；如果一个信号能够表示为傅里叶级数，是否对任何t 值级数都收敛于原来的信号。关于傅里叶级数的收敛，有两组稍有不同的条件。

第一组条件：如果周期信号()t x 在一个周期内平方可积，即

()∞

<⎰

dt T

t x 2

则其傅里叶级数表达式一定存在。

第二组条件，与第一组条件稍有不同，就是狄里赫利条件，它包括以下三点： (1)在任何周期内，x 必须绝对可积，即

()∞<⎰

dt t x T 0

(2)在任何周期内，()t x 只有有限个极值点，且在极值点处的级值为有限值。 (3)在任何有限区间内，()t x 只有有限个间断点，且在这些不连续点处，()t x 为有限值。

傅里叶变换的收敛问题也有两组类似的条件： 第一组条件：如果()t x 平方可积，即

()∞<⎰

∞

∞

-dt t x 2

则()t x 的傅里叶变换存在。满足上式可以保证()ΩX 为有限值。 第二组条件也称为狄里赫利条件，这就是： (1)()t x 绝对可积，即

()∞<⎰

∞

∞

-dt t x

(2)在任何有限区间内，()t x 只有有限个极值点，且在这些极值点处的极值

是有限值。

(3)在任何有限区间内，()t x 只能有有限个间断点，而且这些间断点都必须是有限值。

吉布斯现象：

当简单地把信号频谱截断时，相当于给信号频谱加上了一个矩形窗口函数，正是由于矩形窗口函数的时域特性导致了在间断点处的吉布斯现象的产生。

2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题

假定()t x 是一个长度为N 的有限长序列，将()t x 以N 为周期延拓而成的周期序列为()n x ~

，则有

()()∑∞

-∞

=-=

r rN n x n x ~

或表示为()()()N n x n x =~

。于是()n x ~

与()n x 的关系表示为：

()()()N

n x n x =~

()()()n R n x n x N ~

=

将()n x ~

表示为离散时间傅里叶级数有：

()()kn N

N n W

k X N

n x --=⋅=

∑1

0~

~

1

()()kn N

N n W n x k X ⋅=

∑-=10

~

~

其中()k X ~

是傅里叶级数的系数，这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。如果将()k X ~

的主值周期记为()k X ，10-≤≤N k ，由于以上两式中的求和范围均取为区间0~N-1，在次区间内()n x ~

=()n x ，因此可以得到：

()()kn

N

N n W n x k X ∑-==

10

~

，

10-≤≤N k

()()kn N

N n W

k X N

n x --=∑=

1

~

1， 10-≤≤N n

表明时域N 点有限长序列()n x 可以变换成频域N 点有限长序列()k X 。显然，DFT 与DFS 之间存在以下关系：

()()()N k X

k X =~

()()()k R k X k X N ~

=

3、频率分辨率的问题

若信号最高频率为h f ，按抽样定理，抽样频率应满足

h s f f 2>

也就是抽样间隔为T 满足

h

s

f f T 211<

=

一般取

()h

s f f 0.3~5.2=

如果不满足h s f f 2>的要求，就会产生频率响应的周期延拓分量相互重叠的现象，也就是产生频率响应的混叠失真。

对于DFT 来说，频率函数也要抽样，变成离散的序列，其抽样间隔为0F ，这就是我们能得到得的频率分辨力，有它可引出时间函数的周期，也就是所取的记录长度0T 为

01F T =

从以上T 和0T 两个公式来看，信号的最高频率分量h f 与频率分辨力0F 之间有

着矛盾关系，要想h f 增加，则时域抽样间隔T 就一定减小⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛

<=h s f f T 211

，而s

f （抽样频率）就增加，由于抽样点数满足

N

T T F f s ==00

则此时s f 增加，若是N 固定的情况下，必然要0F 增加，即分辨率下降。 反之，要提高频率分辨力（减少0F ），就要增加0T ，当N 给定时，必然导致T 的增加（s f 减小）。要不产生混叠失真，则必然会减小高频容量（信号的最高频率分量）h f 。

要想兼顾高频容量h f 与频率分辨力0F ，即一个性能提高而另一个性能不变（或也得以提高）的惟一办法就是增加记录长度的点数N ，即要满足

2F f F f N h s >

=

这个公式是未采用任何特殊数据处理（例如加窗处理）的情况下，为实现基本DFT 算法所必须满足的最低条件。如果加窗处理，相当于时域相乘，则频域卷积，必然加宽频谱分量，频率分辨力就可能变坏，为了保证频率分辨力不变，则须增加记录长度，也就是增加数据长度0T 。

4、MA TLAB 的图示说明：有效观察时间与补零后的DFT 之间的关系，以及与DTFT 之间的关系

对8点正弦离散序列求8点、32点和64点DFT ，观察频域变化（分别用绿、黄、红色表示）。结果：

矩形窗序列后补零的时、频域示意图

从图中可以看出：序列后补零可以降低栅栏效应；信号频谱的形状只取决于时域信号，与补零个数无关。补零并不能提高频谱分辨率，因为频谱分辨率只与时域数据的有效长度有关。

DTFT 与DFT （或DFS ）的关系：DFT 时域序列为周期序列，周期为N ；频域序列也是周期序列，周期也是N 点。当N 不断增大时，频域包络不变，但谱线变密；显然，∞→N 时，时域序列变为非周期序列，频域为连续的频谱，即变化为DTFT 。

5、教材

《信号与线性系统》，阎鸿森、王新凤、田惠生编，西安交通大学出版社 《数字信号处理教程》，程佩青编，清华大学出版社

（后附连续信号傅里叶变换的DFT 近似计算）