中考数学复习之与圆有关的位置关系

第22讲与圆有关的位置关系

考点1 点与圆的位置关系

设圆的半径为r,点到圆心的距离为d.

考点2 直线与圆的位置关系

设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.

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1.判断一直线是否为圆的切线的方法：①连半径，证垂直；②作垂线，证半径.

2.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：

若a,b 是Rt △ABC 的两条直角边，c 为斜边，则①直角三角形的外接圆半径R=

2c ；②直角三角形的内切圆半径r=2

a b c +-.

命题点1 点与圆、直线与圆的位置关系

例1 (2013·凉山)在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(-3，-1)，C(-3，1)，D(-2，-2)，E(0，-3). (1)画出△ABC 的外接圆⊙P ，并指出点D 与⊙P 的位置关系；

(2)若直线l 经过点D(-2，-2)，E(0，-3)，判断直线l 与⊙P 的位置关系.

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【思路点拨】(1)先画出△ABC ，然后确定⊙P ，通过计算PD 的长度来判断点D 与⊙P 的位置关系； (2)通过(1)判断点D 在圆上，则只需说明垂直即可. 【解答】

方法归纳：判断点与圆和直线与圆的位置关系，都是判断圆心与点或直线的距离与半径的大小关系

.

1.若⊙O 的半径为5 cm ，点A 到圆心O 的距离为4 cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( ) A.点A 在圆外 B.点A 在圆上 C.点A 在圆内 D.不能确定

2.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是(

)

3.在Rt△ABC中，∠A=30°，直角边AC=6 cm，以C为圆心，3 cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是 .

命题点2 切线的性质与判定

例2 (2014·天水)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.

(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由.

(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长

.

【思路点拨】(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，从而得出∠CDA+∠ADO=90°，再根据切线的判定推出即可；

(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DE=EB，在Rt△CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可.

【解答】

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方法归纳：切线的性质与判定都与圆心和切点之间的线段有关，连接这条线段是常见的辅助线作法

.

1.(2014·哈尔滨)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°.则∠ABD的度数是( )

A.30°

B.25°

C.20°

D.15°

2.如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )

3.下列说法中，正确的是( )

A.圆的切线垂直于经过切点的半径

B.垂直于切线的直线必经过切点

C.垂直于切线的直线必经过圆心

D.垂直于半径的直线是圆的切线

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4.(2014·湘潭)如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则

PA= .

5.(2013·昭通)如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠B=60°

.

(1)求∠D的度数；

(2)求证：AE是⊙O的切线.

命题点3 三角形与圆的位置关系

例3 在锐角△ABC中，BC=5，sinA=4

5

.

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(1)如图1，求△ABC 的外接圆的直径；

(2)如图2，点I 为△ABC 的内心，若BA=BC ，求AI 的长. 【思路点拨】(1)对于条件sinA=

4

5

怎样运用应该设法构造直角三角形，运用直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等解答； (2)利用等腰三角形三线合一可知BI 垂直于AC ，再利用面积法解答. 【解答】

方法归纳：通常解决这类问题有两种方法：(1)构造直角三角形；(2)等角代换，即在已有的直角三角形中找到与所求角相等的角.这道题目中没有直角三角形，因此应该采用第一种方法，构造直角三角形求解

.

1.如图，已知圆O 是△ABC 的内切圆，且∠BAC=50°，则∠BOC 的度数是( ) A.90° B.100° C.115° D.130°

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2.(2013·永安质检)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为(0，3)，点B 为(2，1)，点C 为(2，-3).则经画图操作可知：△ABC 的外心坐标应是( ) A.(0，0) B.(1，0) C.(-2，-1) D.(2，

0)

3.如图：⊙O 是△ABC 的外接圆，且半径为10，∠A=60°，求弦BC 的长

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第1课时基础训练

1.(2014·白银)已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )

A.相交

B.相切

C.相离

D.无法判断

2.(2013·青岛)直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( )

A.r＜6

B.r=6

C.r＞6

D.r≥6

3.(2014·天津)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心.若∠B=25°，则∠C的大小等于( )

A.20°

B.25°

C.40°

D.50°

4.(2014·崇明二模)在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为

P的坐标为(4，5)，那么点P与⊙O的位置关系是( )

A.点P在⊙O外

B.点P在⊙O上

C.点P在⊙O内

D.不能确定

5.如图，在坐标平面上，Rt△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直x轴，M为Rt△ABC的外心.若A点坐标为(3，4)，M点坐标为(-1，1)，则B点坐标为( )

A.(3，-1)

B.(3，-2)

C.(3，-3)

D.(3，-4)

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