上海市静安区2017届高三上学期期质量检测(一模)数学试题+答案

静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．“0<x ”是“a x <”的充分非必要条件，则a 的取值范围是 ． 2．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为 ． 3．若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ．4．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的系数为 ．5．用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为 立方米． 6．已知α为锐角，且3cos()45πα+=，则sin α=________ ． 7．根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车. 假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0r x p p e =⋅（r 为常数）.若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时) 8．已知奇函数)(x f 是定义在R 上的增函数，数列{}n x 是一个公差为2的等差数列，满足0)()(87=+x f x f ，则2017x 的值为 ．9．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为________．10．已知b a x f x-=)(0(>a 且1≠a ，R ∈b )，1)(+=x x g ，若对任意实数x 均有0)()(≤⋅x g x f ，则ba 41+的最小值为________． 二、选择题（25分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11．若空间三条直线a 、b 、c 满足c b b a ⊥⊥,，则直线a 与c 【 】A ．一定平行；B ．一定相交；C ．一定是异面直线；D ．平行、相交、是异面直线都有可能．12．在无穷等比数列{}n a 中，21)(lim 21=+⋅⋅⋅++∞→n n a a a ，则1a 的取值范围是【 】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，；B ．⎪⎭⎫⎝⎛121，；C ．()10，；D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫ ⎝⎛121，．13．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有 【 】 A ．336种； B ．320种； C ．192种； D ．144种. 14．已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶点均为原点O ，从每条曲线上各取 两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为 【 】A ．12-；B ．31-；C ．1；D ．2．15．已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是 【 】A ．]1,21[；B ．]1,21(；C ．]2log ,21(3；D ．]2log ,21[3．三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 16．（本题满分11分，第1小题6分，第2小题5分）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -，a AA a AB 2,1==,,E F 分别是棱,AD CD 的中点． (1) 求异面直线1BC EF 与所成角的大小； (2) 求四面体EF CA 1的体积．x32-42y 23-4-2217．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）设双曲线C ：22123x y -=， 12,F F 为其左右两个焦点． (1) 设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求M F OM 1⋅的取值范围；(2) 若动点P 与双曲线C 的两个焦点12,F F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，求动点P 的轨迹方程．18．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向2cos 10θ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？19．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+．(1) 若22)(x x f x -=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；(2) 若341)(3+-=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围； (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分）由)2(≥n n 个不同的数构成的数列12,,n a a a 中，若1i j n ≤<≤时，i j a a <（即后面的项j a 小于前面项i a ），则称i a 与j a 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数．如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为3012=++；同理，等比数列81,41,21,1--的逆序数为4． (1) 计算数列*219(1100,N )n a n n n =-+≤≤∈的逆序数；(2) 计算数列1,3,1nn n a n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数（*1,N n k n ≤≤∈）的逆序数；(3) 已知数列12,,n a a a 的逆序数为a ，求11,,n n a a a - 的逆序数．静安区2016-2017学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷答案与评分标准一、1．()∞+，0; 2．π; 3．21; 4．10; 5．243π; 6．102; 7．8; 8．4019; 9．12; 10．4 二、11. D; 12. D; 13. A; 14.B; 15.C.16．解：（1）连接11C A ，……………………………….1分 则B C A 11∠为异面直线1BC EF 与所成角 …………….1分 在B C A 11∆中，可求得a B A B C 511==，a C A 211=11210102cos 10105aAC B a∠==∴异面直线所成角的大小arccos …………………….4分 （2）113112322212C A EF A EFCa a a V V a --==⋅⋅⋅⋅= ……………………………….5分 17．（1）设(),M x y ，2x ≥，左焦点1(5,0)F -，1(,)(5,)OM FM x y x y ⋅=⋅+222235532x x x y x x =++=++-……………………………4分 25532x x =+- （2x ≥）对称轴525x =-≤ )1210,OM F M ⎡⋅∈++∞⎣……………………………3分（2）由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆22221x y a b+=，1225F F =，122PF PF a +=2221212121212204220cos 22PF PF a PF PF F PF PF PF PF PF +--⋅-∠==⋅⋅21242012a PF PF -=-⋅……………………………4分由基本不等式得121222a PF PF PF PF =+≥⋅， 当且仅当12PF PF =时等号成立212PF PF a ⋅≤221224201cos 1929a F PF a a -⇒∠≥-=-⇒=，24b = 所求动点P 的轨迹方程为22194x y +=……………………………3分 18．解：（1）如图建立直角坐标系， ……………………………1分则城市()0,0A ，当前台风中心()302,2102P -，设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则3021022102102x ty t⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，4.184PA ≈km ，台风的半径为=r 160km,PA <r , ……………………………5分故，10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . ………1分 （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()302102,2102102P t t --+为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()()()223021020210210260010t t t ⎡⎤⎡⎤--+-+-≤⎦+⎣⎦⎣ 210800864000300t t -+≤⇒，即2362880t t -+≤，……………………………5分解得1224t ≤≤ ……………………………1分 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. ……………………………1分19．解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分（2）由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a ， ……………………………3分 故 1>a . ……………………………1分 （3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分 即：)(log ]2)2[(log 33xk x x k x +>+++∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立 ∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k xk x x k ……………………………3分 当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分 综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33mink k k k x h ……………………………1分 20．（1）因为{}n a 为单调递减数列，所以逆序数为(991)999998149502+⨯+++== ； ……………………………4分（2）当n 为奇数时，13210n a a a ->>>> ．……………………………1分 当n 为偶数时，222(4)112120(1)(1)n n n n a a n n n n n n ---=-+≥+--=--=<+-所以2420n a a a >>>> ． ……………………………2分 当k 为奇数时，逆序数为235341(1)(3)21228k k k k k k ---+-+-++++++= ……………2分当k 为偶数时，逆序数为22432(1)(3)11228k k k kk k ----+-++++++= …………………2分（3）在数列12,,n a a a 中，若1a 与后面1n -个数构成1p 个逆序对，则有1(1)n p --不构成逆序对，所以在数列11,,n n a a a - 中，逆序数为12(1)(1)(2)()2n n n n p n p n n p a ---+--++--=- ．…7分。