高二数学导学案立体几何旋转体的结构
§1.1《旋转体与简单组合体的结构特征》导学案
高一数学 SX-2012-02-002《旋转体与简单组合体的结构特征》导学案编写人：胡立红审核人：编写时间：2012-4-7姓名：班级：组别：组名：【学习目标】：1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及其关系。
2. 会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征。
【学习重点】会用圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征判断其形状。
【学习难点】不规则平面图形旋转形成的组合体的判定。
【学法指导】观察几何体图形，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
【知识链接】1.由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做，这条定直线叫做。
2.现实世界中大量的几何体是由组合而成的，它们叫做简单组合体。
【学习过程】知识点一：旋转体的结构特征：1：圆柱的结构特征：请同学们仔细观察课本第2页（1）（8）几何体，说说他们的共同特点：阅读课本第5页上，完成下列问题：（1）定义：以的一边为，其余三边旋转形成的面所围成的叫圆柱。
旋转轴叫做，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做；平行的曲面叫做圆柱的侧面；不叫做圆柱的母线。
（2）圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示，如右中的圆柱O表示为圆柱O（3）圆柱与棱柱统称为柱体。
2：圆锥的结构特征。
请同学们仔细观察课本第2页（5）（6）几何体，说说他们的共同特点阅读课本第5页中，完成下列问题：（1）定义：以的一条所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
圆锥也有轴、底面、侧面和母线（2）圆锥的表示：。
（3）棱锥与圆锥统称为锥体3：圆台的结构特征：阅读课本第5页下，完成下列问题：讨论1：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到怎样的两个几何体？(1 ) 概念：圆锥被所截后，截面和底面之间的部分叫圆台(2 ) 圆台的有关概念：圆台的上底面、下底面、侧面、母线（3）圆台的表示：(4 ) 圆台的特点：两个底面是，侧面都是；母线延长后交于．（5）棱台与圆台统称为台体讨论2：圆台可以看作由绕它的所在直线旋转得到。
高中数学9、4、3旋转体的结构特征教案
9、4、4 旋转体的结构特征2018、12、29（第81课时）一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述圆柱、圆锥、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、球的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、球的结构特征。
难点：圆柱、圆锥、球的结构特征概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路教学过程：（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有圆柱、圆锥、球的结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩圆柱、圆锥、球的结构特征2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出圆柱的主要结构特征。
概括出圆柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出圆柱相关概念以及圆柱的表示。
5．提出问题：各种这样的圆柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出圆锥、球的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
高中数学9、4、2旋转体的结构特征教案
9、4、2旋转体的结构特征2017、11、8——11、10 （总第37——38课时）一、教学目标1．知识与技能（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
难点：圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。
教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。
根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩圆柱、圆锥、棱台、圆台、球2．观察圆柱的几何物件以及投影出圆柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。
在此基础上得出圆柱的主要结构特征。
（1）上下底是等圆且互相平行；（2）侧面展开图是一个矩形；圆柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及圆柱的表示。
高中数学：第一章(立体几何初步)学案(新人教版B版必修2) 学案
数学：第一章《立体几何初步》学案（新人教版B 版必修2）第一章《立体几何初步》单元小结导航知识链接点击考点（1）了解柱，锥，台，球及简单组合体的结构特征。
（2） 能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，并会用斜二测法画出它们的直观图。
（3） 通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
（4） 理解柱，锥，台，球的表面积及体积公式。
（5） 理解平面的基本性质及确定平面的条件。
（6） 掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
（7） 掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
名师导航1.学习方法指导 （1） 空间几何体①空间图形直观描述了空间形体的特征，我们一般用斜二测画法来画空间图形的直观图。
②空间图形可以看作点的集合，用符号语言表述点，线，面的位置关系时，经常用到集合的有关符号，要注意文字语言，符号语言，图形语言的相互转化。
③柱，锥，台，球是简单的几何体，同学们可用列表的方法对它们的定义，性质，表面积及体积进行归纳整理。
④对于一个正棱台，当上底面扩展为下底面的全等形时，就变为一个直棱柱；当上底面收缩为中心点时，就变为一个正棱锥。
由1()2S c c h ''=+正棱台侧和()3hV s s '=正棱台，就可看出它们的侧面积与体积公式的联系。
（2） 点，线，面之间的位置关系①“确定平面”是将空间图形问题转化为平面图形问题来解决的重要条件，这种转化最基本的就是三个公理。
②空间中平行关系之间的转化：直线与直线平行 直线与平面平行平面与平面平行。
③空间中垂直关系之间的转化：直线与直线垂直 直线与平面垂直平面与平面垂直。
2.思想方法小结在本章中需要用到的数学思想方法有：观察法，数形结合思想，化归与转化思想等。
主要是立体几何问题转化为平面几何问题，平行与垂直的相互转化等。
3.综合例题分析例1：如图，P 是∆ABC 所在平面外一点，A '，B '，C '分别是PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的重心。
人教A版高中数学必修二 《基本立体图形》立体几何初步(第二课时旋转体及简单组合体的结构特征)
[解析] ①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥，故错误；②以 直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台，故错误；③它们的底面为圆 面，故正确；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就 在球面上，故⑤错误；球面上任意三点一定不共线，故⑥错误．
[答案] ③④
课前 • 自主探究 课堂 • 互动探究 课后 • 素养培优 课时 • 跟踪训练
[教材提炼] 知识点一 圆柱的结构特征 预习教材，思考问题 圆柱是由几个平面围成的吗？若不是，它又是怎么构成的呢？
[提示] 圆柱的面不都是平的，如侧面就是曲的．它是以矩形的一条边为旋转轴， 其余三条边旋转一周形成的面围成的旋转体．
2．已知 AB 是直角梯形 ABCD 中与底边垂直的一腰，如图．分别 以 AB、BC、CD、DA 为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．
解析：(1)以 AB 为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示． (2)以 BC 边为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图② 所示． (3)以 CD 边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去 一个小圆锥．如图③所示．
若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图，则它爬行的最短距离是多少？
解析：可把圆柱展开两次，如图，则 AB′即为所求． ∵AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π， ∴AB′＝ AB2＋BB′2＝ 4＋16π2＝2 1＋4π2. 故蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋4π2.
一般地，沿多面体或旋转体的表面最短距离(路程)问题，用侧面展开解决．
答案：C
3．如图所示的组合体，其结构特征是 ( ) A．两个圆锥 B．两个圆柱 C．一个棱锥和一个棱柱 D．一个圆锥和一个圆柱
解析：题图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体．
高中数学 第一章1.1.1 简单旋转体目标导学 北师大版必
1．1 简单旋转体学习目标重点难点1.通过实物操作，增强学生的直观感知．2．能根据几何体的结构特征对空间物体进行分类．3．会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．4．会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.重点：感受大量空间实物及模型，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．难点：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括与简单计算．疑点：一个平面截圆锥就得到圆台，对吗？1．球面、球体(球)以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球．预习交流1根据“球”的定义，乒乓球是“球”吗？提示：教学中的球，是球体的简称，它包括球面及所围成的空间部分，所以生活中的乒乓球不是教学中的球，而是球面．2．旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体．3．圆柱、圆锥、圆台分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．预习交流2怎样判断旋转体的形状？提示：判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．预习交流3一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体都是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°将得到什么几何体？提示：如图①和图②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥；如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥．1．对简单旋转体的理解下列叙述正确的个数是( )．①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1 C．2 D．3思路分析：本题①②为已知旋转轴判断旋转所得的几何体；③是判断旋转体的底面与截面．解答时可先根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征详细分析，再结合已知的各个命题的具体条件进行具体分析．解析：①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图①，故①错；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图②，故②错；③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错．故选A.答案：A1．有下列命题，其中正确的是( )．①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的A．①②B．②③C．①③D．②④答案：D2．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；③球的直径是球面上任意两点间的连线；④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确的序号是______．答案：①②对旋转体定义的理解要准确，认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同，判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析、对比判别．2．简单旋转体中有关量的计算圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．思路分析：解有关圆台问题时，常常将其补成圆锥解决，作出圆锥的轴截面利用直角三角形可解．解：设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，如图，∠ASO ＝30°，在Rt △SA ′O ′中，rSA ′＝sin 30°，∴SA ′＝2r .在Rt △SAO 中，2rSA＝sin 30°，∴SA ＝4r ，∴SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r＝2a ，r ＝a ，∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2，∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.1．用一个平面截半径为5 cm的球，球心到截面距离为4 cm，求截面圆的面积．解：如图，设AK为截面圆的半径，则OK⊥AK.在Rt△OAK中，OA＝5 cm，OK＝4 cm，∴AK＝OA2－OK2＝52－42＝3(cm)，∴截面圆的面积为π·AK2＝9π(cm2)．2．将一个边长为a的正方形卷成圆柱侧面，求此圆柱的轴截面的面积．解：设圆柱底面半径为r，则2πr＝a，r＝a2π，故轴截面的长为a，宽为aπ，面积为aπ·a＝a2π.1.计算简单旋转体中有关量的解题步骤：2．解有关球的问题时，常用如下性质：(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直．(2)如果分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径，用d表示球心到截面的距离，则R2＝r2＋d2.球的有关计算问题，常归结为解这个直角三角形．1．以下几何体中符合球的结构特征的是( )．A．足球B．篮球C．乒乓球D．铅球解析：球包括球面及球体内部(即实心)，足球、篮球、乒乓球通常指球面，铅球才是球体．答案：D2．将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是( )．答案：C3．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )．A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体答案：B4．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是________．答案：圆台5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，求此圆柱的底面半径．解：设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.∴4r2＝Q，解得r＝Q 2，∴此圆柱的底面半径为Q 2.。
数学《旋转体的概念》教案
数学《旋转体的概念》教案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教版高中数学必修二《第八章 立体几何初步》单元导学案
人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》单元导学案8.1 基本几何图形第1课时棱柱、棱锥、棱台【学习目标】1.能根据几何结构特征对空间物体进行分类；2.从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3.会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征；4.会表示有关几何体以及棱柱、棱锥、棱台的分类。
【教学重点】：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征；【教学难点】：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。
【知识梳理】1.空间几何体名称定义空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果只考虑这些物体的和，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体多面体由若干个围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点旋转体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定旋转所形成的叫做旋转面，封闭的旋转面围成的叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴2.多面体定义图形及表示相关概念特殊情形有两个面互相，其余各面都是，并且相邻两个四边形的公共底面(底)：两个互相的面侧面：其余各面直棱柱：侧棱于底面的棱柱记作：棱锥 S －ABCD记作：棱台ABCD －A ′B ′C ′D′【学习过程】 一、探索新知观察1:观察生活的具体实物，你能抽象出它们的空间图形吗？空间几何体的定义:如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．思考1：如图，下面这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？1.多面体：由若干个围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的 ,两个面的叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的。
面ABE，面BAF，棱AE，棱EC，顶点E，顶点C2.旋转体：由一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体,这条叫做旋转体的轴。
高中数学必修二(人教A版)第一章 第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征 导学案Word版
第2课时 旋转体与简单组合体的结构特征【知识要点】【即时训练1】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．( ) (2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．( ) (3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( )教材整理2 简单组合体的结构特征 1．简单组合体的概念由 组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体 而成的；另一种是由简单几何体 一部分而成的．【即时训练2】如图所示的组合体的结构特征是( ) A ．一个棱柱中截去一个棱柱 B ．一个棱柱中截去一个圆柱 C ．一个棱柱中截去一个棱锥 D ．一个棱柱中截去一个棱台【例1】下列命题中正确的是( )A ．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C ．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线[再练一题]1．下列结论：①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④【例2】如图所示，已知梯形何体，试描述该几何体的结构特征．[再练一题]2．描述下列几何体的结构特征．探究1探究2圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？探究3经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？【例2】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．[再练一题]3．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．【课堂反馈】1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥2．下列说法不正确的是()A．圆柱的平行于轴的截面是矩形B．圆锥的过轴的截面是等边三角形C．圆台的平行于底面的截面是圆面D．球的任意截面都是圆面3．如图所示的几何体是由简单几何体____________________构成的．4．如图所示，下列几何体中，图(1)是圆柱，图(2)是圆锥，图(3)是圆台，上述说法正确的个数有________个．5．圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是310 cm，则它的轴截面的面积是________. 6．一个正方体内接于高为40 cm，底面圆的半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长.【课后练习】(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列各组几何体中是多面体的一组是()A．三棱柱、四棱台、球、圆锥B．三棱柱、四棱台、正方体、圆台C．三棱柱、四棱台、正方体、六棱锥D．圆锥、圆台、球、半球2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是()A．圆锥B．圆柱C．球D．棱柱4．如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为()A．8 B．8πC．4πD．2π二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________.7．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．三、解答题8．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．9．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[能力提升]10．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是() A．4 B．3 C．2 D．0.511．一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱．(1)用x表示圆柱的轴截面面积S; (2)当x为何值时，S最大？。
高中旋转体教学设计
高中旋转体教学设计引言：旋转体是几何学中的一个重要概念，也是高中数学中的一项重要内容。
通过对旋转体的学习，可以帮助学生深入理解几何学中的几个核心概念，如体积、表面积等。
本文将介绍一种针对高中学生的旋转体教学设计，旨在激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
一、教学目标1. 理解旋转体的定义和特点；2. 掌握旋转体的体积计算方法；3. 熟练运用旋转体的表面积计算方法；4. 培养学生的观察力、思维能力和创新意识。
二、教学内容1. 旋转体的定义和特点：通过示例和实物模型展示不同种类的旋转体，引导学生分析其定义和特点，如旋转轴、旋转方式等。
2. 旋转体的体积计算方法：a. 圆柱体的体积计算方法：引导学生通过实践活动，运用数学公式V=πr^2h计算圆柱体的体积，并帮助学生理解公式的意义。
b. 圆锥体的体积计算方法：通过展示圆锥体实物模型，引导学生运用数学公式V=1/3πr^2h计算圆锥体的体积，并讨论公式的推导过程。
c. 球体的体积计算方法：通过观察球体的几何性质，引导学生运用数学公式V=4/3πr^3计算球体的体积，并探讨公式的背后原理。
3. 旋转体的表面积计算方法：a. 圆柱体的表面积计算方法：帮助学生理解数学公式A=2πrh+2πr^2，并通过实例计算圆柱体的表面积。
b. 圆锥体的表面积计算方法：引导学生通过数学公式A=πrl+πr^2计算圆锥体的表面积，并探讨公式的推导。
三、教学方法1. 导入活动：通过播放相关视频、展示实物模型等方式，激发学生的学习兴趣，引发他们对旋转体的探索欲望。
2. 课堂讲解：教师通过板书和讲解的方式，介绍旋转体的定义、特点和基本计算公式，引导学生对知识进行理解和掌握。
3. 实践活动：设计一系列的实践活动，如测量实物模型的尺寸、计算旋转体的体积和表面积等，让学生在实际操作中巩固所学知识。
4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，针对旋转体的计算方法进行深入探究，培养学生的合作能力和思辨能力。
河北省石家庄市复兴中学人教A版高中数学必修二1.1.2旋转体与简单组合体的结构特征(二)导学案(无答案)
1.1.2旋转体与简单组合体的结构特征（二）导学案【学习目标】1.会用语言叙述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征2.能够利用几何体的结构特征认识简单组合体的结构特征【自主探究】知识点1：旋转体由一个绕它所在平面内的旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，叫做旋转体的轴。
知识点2：圆柱1.圆柱的结构特征：2.在右边图中，指出圆柱的有关概念：轴、底面、侧面、母线，并画出轴截面。
3.圆柱的表示：4.棱柱和圆柱统称为知识点3：圆锥1.圆锥的结构特征：2.在右边图中，指出圆锥的有关概念：轴、底面、侧面、母线，并画出轴截面。
3.圆锥的表示：4.棱锥和圆锥统称为知识点4:圆台1.圆台的结构特征：2.右图中，指出圆台的有关概念：轴、底面、侧面、母线，并画出轴截面。
3.圆台的表示：4.棱台和圆台统称为知识点5:球1.球的结构特征：2.在右边图中，指出球的有关概念：球心、半径、直径、大圆3.球的表示：知识点6:简单组合体1.概念：由组合而成的几何体叫做简单组合体。
常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的。
2.基本形式：一种是由简单几何体而成，另一种是由简单几何体或一部分而成。
【课堂精讲】1.判断正误：A、圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个。
（）B、圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个。
（）C、圆锥的所有的轴截面都是全等的等腰三角形。
（）D、以直角梯形的一腰为母线，另一腰为旋转轴的旋转面是圆台的侧面。
（）E、圆锥是直角三角形绕其一边旋转形成的。
（）F、在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两个点的连线是圆柱的母线。
（）G、用一个平面去截球，得到的是一个圆。
（）2.思考：圆柱、圆锥和圆台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？3.一个圆台的上、下底面面积分别是1和49，一个平行于底面的截面面积为25，这个截面与上、下底面的距离之比为4.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面的半径的比为1：4，母线长为10cm，则圆锥的母线长为【课堂训练】1.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是2.一个圆台的母线长为12cm，两底面积分别为24cmπ和225cmπ，求：（1）圆台轴截面（过轴的截面）的面积；（2）截得此圆台的圆锥的母线长【课堂内化】：①②③④1.课堂小结：2.本节课学习内容中的问题和疑难。
高中数学第1章立体几何初步1_1_1简单旋转体学案北师大版必修2
1．1 简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．( )(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．( )(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ( )(4)圆柱的任意两条母线相互平行．( )(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引] 根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析] ①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案] ①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1] 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[答案] C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引] 圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解] 如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析] 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[答案] 91．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[答案] D2．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有( )A．一条 B．两条 C．三条 D．无数[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[答案] D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[答案] ②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.[答案] B2．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．[答案] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[答案] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r ＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°. [答案] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( ) A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[答案] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析] 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13， ∴r ＝1. [答案] 17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________． [解析] 设球心到平面的距离为d ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，∴r ＝1.设球的半径为R ，则R ＝d 2＋r 2＝2，故球的直径为2 2.[答案] 2 2 8．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体； ②球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ③球的直径是球面上任意两点间的连线； ④用一个平面截一个球，得到的是一个圆． 其中正确的序号是________．[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确． [答案] ①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径. [解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2.所以此圆柱的底面半径为Q2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R＝6，∴圆锥的底面圆的面积S＝πR2＝36π，圆锥的高h＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.[答案] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析] 截面图形应为图C所示的圆环面．[答案] C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析] 外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[答案] B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm 2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3，所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[答案] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3， ∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6， ∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
旋转体的结构特征课件
球体是到圆心的距离小于等于半径的所有点的集合。
思考2:用一个
平面去截一个 球，截面是什
O
么图形？
旋转体的结构特征
9
练 习：
课本117页
知识总结：
1、圆锥
2、圆柱
3、球
旋转体的结构特征
11
一、知识回顾：
• 棱柱： （1）定义： （2）特点： （3）表示法： （4）分类： （5）特殊棱柱
• 棱锥： （1）定义： （2）特点： （3）表示法： （4）分类： （5）特殊棱柱
旋转体的结构特征
1
思考：一般地，怎样定义旋转体？
轴
由一个平面图形绕它所在平面内的
一条定直线旋转所形成的封闭几何体
叫做旋转体 ，这条定直线叫做旋转
体的轴。
旋转体的结构特征
3
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余边旋转形成的曲面所围成的几何体 叫做圆柱。
（1）圆柱的轴——旋转轴.
A’
（2）圆柱的底面——垂直于轴的边旋
转而成的圆面。
母
（3）圆柱的侧面——平行于轴的边旋 线
转而成的曲面。
（4）圆柱侧面的母线——无论旋转到
什么ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ置，平行于轴的边。
1、由简单的几 2、由简单的几
何体拼接而成
何体截去或挖去
一部分而成
旋转体的结构特征
14
思考2:试说明下列几何体分别是怎样组 成的？
旋转体的结构特征
15
练习.试说明下列几何体分别是怎样组成的？
图1表示的几何体是一个三棱柱挖去了一个圆柱；
旋转体的结构特征课件
旋转体制造的基本流程
准备原料
选择合适的材料，如铸铁、铸钢 、有色金属等。
模具设计
根据产品要求，设计旋转体的模 具。
模具制造
根据设计图纸，制造出精确的旋 转体模具。
加工与清理
对旋转体进行进一步的加工和清 理，以满足使用要求。
冷却与脱模
让旋转体在模具中冷却，然后从 模具中脱出。
熔炼与浇注
将金属熔炼成液态，注入旋转体 模具中。
• 详细描述：风力发电机是一种利用风能进行发电的装置，其主体结构包括叶片 、轮毂、主轴、齿轮箱、发电机等部分。其中，叶片和轮毂是风力发电机的重 要结构特征。
• 总结词：叶片是风力发电机中捕捉风能的关键部件，其形状、材料和结构对风 能利用率和发电效率有着重要影响。
• 详细描述：叶片的材料一般采用玻璃纤维或碳纤维复合材料，具有轻质、高强 度、耐腐蚀等特点。同时，叶片的形状设计也需要经过精密的计算和试验，以 确保在捕捉风能的同时，不会发生气动弹性失稳等问题。
旋转体的结构特征课件
• 旋转体概述 • 旋转体的结构组成 • 旋转体的力学特性 • 旋转体的稳定性分析 • 旋转体的制造工艺 • 旋转体的应用案例分析
01
旋转体概述
旋转体的定义
旋转体是指由一个或多个平面图 形围绕其所在平面上某条直线旋
转一周所形成的立体图形。
旋转体由底面和顶面组成，底面 和顶面可以是封闭的或不封闭的
铸造式轮毂的制造需要使用模 具和型芯等工具，因此制造成 本较低。但是，铸造过程中容 易出现气孔、缩孔等缺陷，导 致轮毂的强度和可靠性下降。
案例三：大型桥梁的支撑结构的设计
• 总结词：大型桥梁的支撑结构是桥梁安全和稳定性的重要保障，其设计需要考 虑到结构强度、稳定性、耐久性等因素。
【高二学习指导】旋转体内容简析
【高二学习指导】旋转体?内容简析1.在中学我们只研直圆柱、直圆锥和直圆台。
所以对圆柱、圆锥、圆台的旋转定义、实际上是直圆柱、直圆锥、直圆台的定义。
这样定义直观形象，便于理解，而且对它们的性质也易推导。
对于球的定义中，要注意区分球和球面的概念，球是实心的。
等边圆柱和等边圆锥是特殊圆柱和圆锥，它是由其轴截面来定义的，在实践中运用较广，要注意与一般圆柱、圆锥的区分,高中化学。
2.圆柱、圆锥、圆和球的性质（1）圆柱的性质，要强调两点：一是连心线垂直圆柱的底面；二是三个截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆；轴截面是一个以上、下底面圆的直径和母线所组成的矩形；平行于轴线的截面是一个以上、下底的圆的弦和母线组成的矩形。
（2）圆锥的性质，要强调三点①平行于底面的截面圆的性质：截面圆面积和底面圆面积的比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的平方比。
②过圆锥的顶点，且与其底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形，其面积为：易知，截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角（如图10-20），事实上，由BC≥AB，VC=VB=VA可得∠AVB≤BVC.由于截面三角形的顶角不大于轴截面的顶角。
所以，当轴截面的顶角θ≤90°，有0°＜α≤θ≤90°，即有当轴截面的顶角θ＞90°时，轴截面的面积却不是最大的，这是因为，若90°≤α＜θ＜180°时，1≥sinα＞sinθ＞0.③圆锥的母线l，高h和底面圆的半径组成一个直径三角形，圆锥的有关计算问题，一般都要归结为解这个直角三角形，特别是关系式l2=h2+R2（3）圆台的性质，都是从“圆台为截头圆锥”这个事实推得的，但仍要强调下面几点：①圆台的母线共点，所以任两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是，与上、下底面都相交的截面不一定是梯形，更不一定是等腰梯形。
②平行于底面的截面若将圆台的高分成距上、下两底为两段的截面面积为S，则其中S1和S2分别为上、下底面面积。
新教材高中数学第11章立体几何初步11 1 5旋转体学案含解析新人教B版必修第四册
11.1.5 旋转体最新课程标准：1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．(重点) 2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．(难点) 4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题．(难点)所围成的旋转体成的面所围成的旋转体用________________的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分周形成的旋转体叫做球体，简称球简单组合体由____________组合而成的几何体叫做简单组合体．知识点六简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体________而成的；另一种是由简单几何体____________一部分而成的．状元随笔等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面所围成的几何体是什么几何体？〖提示〗圆锥〖基础自测〗1．如图所示的组合体的结构特征是()A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于()A．6 B．8C．10 D．不确定3．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱．()(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．()(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．()4．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．题型一旋转体的结构特征例1判断下列各命题是否正确(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．方法归纳(1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．跟踪训练1下列命题中正确的是()A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线题型二简单组合体的结构特征例2如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC.当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征．状元随笔关键是弄清简单组合体是由哪几部分组成．〖解〗如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体．方法归纳本题是不规则图形的旋转问题．对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．跟踪训练2描述下列几何体的结构特征．题型三旋转体中的计算状元随笔 1. 圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？〖提示〗圆面．2. 圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？〖提示〗分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．3. 经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？〖提示〗因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．4. 球的截面是什么？〖提示〗球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高．状元随笔作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形．方法归纳与圆锥有关的截面问题的解决策略求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解．通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决．跟踪训练3(1)在本例中将圆台还原为圆锥后，其它条件不变，求圆锥的母线长．(2)如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的底面半径．教材反思1．本节课的重点是了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征，难点是能根据结构特征识别和区分这些几何体．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断旋转体结构特征的方法及旋转体轴截面的应用．(2)简单组合体的构成形式及识别方法．3．本节课的易错点是对概念理解不到位而致错.11．1.5旋转体新知初探·自主学习知识点一矩形的一边轴底面侧面母线底面旋转轴垂直于轴平行于轴不垂直于轴的边圆柱和棱柱知识点二直角三角形的一条直角边侧面母线底面轴旋转轴垂直于轴直角三角形的斜边不垂直于轴的边棱锥和圆锥知识点三平行于圆锥底面底面侧面母线底面轴轴截面底面与截面底面与截面棱台与圆台知识点四半圆的直径球心半径直径圆心半径直径知识点五简单几何体知识点六拼接截去或挖去〖基础自测〗1．〖解析〗由简单组合体的基本形式可知，该组合体是一个棱柱中截去一个棱锥．〖答案〗C2．〖解析〗由圆锥的轴截面可知，圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，所以其高为102－62＝8.〖答案〗B3．〖解析〗(1)正确；(2)错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，应是平面与圆锥底面平行．〖答案〗(1)√(2)×(3)×4．〖解析〗利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．〖答 案〗① 课堂探究·素养提升例1 〖解 析〗 (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确． (4)错．应为球面．跟踪训练1 〖解 析〗A 错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B 错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D 错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.〖答 案〗C跟踪训练2 解：图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．例3 〖解〗 圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示)．由已知可得O 1A ＝2 cm ，OB ＝5 cm. 又由题意知，腰长为12 cm ， 所以高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．跟踪训练3 解：(1)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25，解得l ＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.(2)设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，则由三角形相似，得R－rR＝342－22，即1－r2＝12，解得r＝1.即圆柱的底面半径为1.。
高中数学第一章空间几何体1.1第2课时旋转体与简单组合体的结构特征学案新人教A版必修2(2021年
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第2课时旋转体与简单组合体的结构特征学习目标1。
了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义。
2。
掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
3.了解简单组合体的概念及结构特征．知识点一圆柱思考圆柱是比较常见的一类旋转体，那么，它是怎样形成的?答案以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体．梳理圆柱图形及表示定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱相关概念：圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边图中圆柱表示为圆柱O′O知识点二 圆 锥圆锥图形及表示定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念： 圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边知识点三 圆 台圆台图形及表示定义:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,将直角梯形绕旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台图中圆台表示为：圆台O ′O相关概念:圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边知识点四 球球图形及表示定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球图中的球表示为球O相关概念：球心:半圆的圆心半径：半圆的半径直径:半圆的直径知识点五简单组合体(1）概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成的．（2）基本形式:一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．1．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．（×）2．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台．（√）3．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱．(×）4．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．（×)类型一旋转体的结构特征例1 下列说法正确的是________．①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥;④半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑤用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．考点空间几何体题点空间几何体结构应用答案③④⑤解析①以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；②它们的底面为圆面；③④⑤正确．反思与感悟（1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．（2）简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1 下列说法，正确的是( )①圆柱的母线与它的轴可以不平行;②圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的．A．①② B．②③ C．①③ D．②④考点空间几何体题点空间几何体结构应用答案D解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确,①③错误．类型二简单组合体例2 直角梯形ABCD如图所示，分别以CD，DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体解以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥,上底增加一个较大的圆锥，以AD 为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥,如图所示．引申探究本例中直角梯形分别以AB，BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状．解以AB为轴旋转可得到一个圆台，以BC为轴旋转可得一个圆柱和圆锥的组合体，如图所示．反思与感悟(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．（2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹,应利用空间想象能力或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．跟踪训练2 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括( ）A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆柱、一个圆锥C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥考点简单组合体的结构特征题点与旋转有关的组合体答案D解析图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥．类型三旋转体的有关计算例3 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2,求：(1)圆台的高;(2）将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长．考点圆台的结构特征题点与圆台有关的运算解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD（如图所示)．由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知腰长为12 cm，所以高AM＝122－5－22＝3错误!(cm)．（2）如图所示,延长BA，OO1，CD,交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12l＝错误!,解得l＝20(cm）．即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm。
高中数学旋转模型推导教案
高中数学旋转模型推导教案
教学内容：高中数学旋转模型的推导
教学目标：学习如何通过旋转模型解决数学问题，掌握相关推导方法
教学步骤：
1.引入问题：教师给出一个几何问题，要求学生通过旋转模型来解决。
例如，已知一个圆柱体的底面半径为r，高为h，求其体积。
2.导入概念：引导学生思考旋转体的概念，如何通过旋转来求解问题。
解释旋转体的基本概念和性质。
3.推导公式：教师带领学生推导旋转体的体积公式，以圆柱体为例，解释如何通过旋转求解体积的过程。
4.练习：让学生在教师的指导下练习相关旋转模型的问题，巩固所学的知识和方法。
5.拓展：引导学生思考更复杂的问题，如圆锥体、球体等旋转体的体积推导，拓展学生的思维能力。
6.总结：对本节课的内容进行总结，强化学生对旋转模型的理解和掌握。
教学反馈：布置相关习题作业，让学生自主练习并在下节课进行讨论。
教学评价：通过学生的表现和作业情况，评价学生对旋转模型的掌握程度和理解能力。
教学素材：圆柱体、圆锥体、球体等相关的几何实物模型，相关练习题目。
教学手段：课堂讲解、示范练习、学生讨论、板书整理等手段结合使用。
希望以上范本可以帮助您更好地设计高中数学旋转模型推导的教学内容，祝您教学顺利！。
高中数学优质教案 第课时旋转体与简单组合体的结构特征
§1.1 第2课时旋转体与简单组合体的结构特征三维目标1．知识与技能(1)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．(2)理解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征．(3)能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型．2．过程与方法(1)让学生通过直观感知空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征．(2)让学生通过直观感知空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式．3．情感、态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识．重点难点重点与难点：圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征．重难点突破：以丰富的实物模型为切入点，通过让学生观察、分析实物体，并结合旋转体的概念，抽象概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征，进而在观察思考中形成概念，突出圆锥与圆台间的内在联系，突破重点的同时化解难点．教学建议本节内容是上节知识延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生进一步了解空间几何体中圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时，建议采用启导法和多媒体辅助教学法，引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，通过整体观察、直观感知，引导学生多角度、多层次地揭示圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．在此基础上，再通过让学生说一说、举一举等方式，明确简单组合体的结构特征，最终达到通过空间图形培养和发展学生的空间想象能力的目的．课标解读1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．2．了解柱体、锥体、台体之间的关系．3．知道这四种几何体的结构特征，能识别和区分这些几何体. 知识1圆柱【问题导思】观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？【提示】 以矩形的一边所在的直线为轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体． 圆柱的结构特征圆柱 图形及表示定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为：圆柱O ′O 相关概念： 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线知识2圆锥【问题导思】仿照圆柱的定义，你能定义什么是圆锥吗？【提示】 以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体．圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 相关概念：轴：旋转轴叫做圆锥的轴底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线图中圆锥表示为：圆锥SO知识3圆台【问题导思】下图中的物体叫做圆台，也是旋转体．它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢？除了旋转得到以外，对比棱台，圆台还可以怎样得到呢？【提示】 (1)圆台可以是直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体．(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的中垂线为轴，各边旋转180°形成的面所围成的几何体．(3)类比棱台的定义圆台还可以如下得到：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台旋转法定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形经旋转轴旋转一周而形成的旋转体叫做圆台相关概念：轴：旋转轴叫做圆台的轴底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面叫圆台底面图中圆台表示为：圆台O′O侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫圆台的侧面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆台的母线知识4球【问题导思】球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？【提示】以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体即为球．球的结构特征球图形及表示定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球相关概念：球心：半圆的圆心叫做球的球心半径：半圆的半径叫做球的半径直径：半圆的直径叫做球的直径图中的球表示为：球O知识5简单组合体【问题导思】下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗？它们是如何构成的？(1)(2)【提示】这两个几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体，而是由柱、锥、台、球体中的两种或三种组合而成的几何体．简单组合体(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．类型1旋转体结构特征例1下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③一个圆绕其直径所在的直线旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0B．1C．2D．3【思路探究】紧扣旋转体的定义逐一判断．【自主解答】①错误．应以直角三角形的一条直角边为轴；②错误．应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；③错误．应把“圆”改成“圆面”；④错误，应是平面与圆锥底面平行时．【答案】 A规律方法1．圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．变式训练如图1－1－11，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把一、二排中相应的图形用线连起来．图1－1－11【答案】(1)—C(2)—B(3)—D(4)—A类型2简单组合体的结构特征例2描述下列几何体的结构特征．图1－1－12【思路探究】结合简单组合体的两种基本构成形式入手分析．【自主解答】图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．规律方法组合体是由简单几何体拼接、截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱、锥、台、球的几何结构特征，对原组合体进行分割．变式训练如图1－1－13为某竞赛中，获得第一名的代表队被授予的奖杯，试分析这个奖杯是由哪些简单几何体组成的？图1－1－13【解】奖杯由一个球，一个四棱柱和一个四棱台组成．类型3有关几何体的计算问题例3 如图1－1－14所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台O ′O 的母线长．图1－1－14【思路探究】 过圆锥的轴作截面，利用三角形相似来解决．【自主解答】 设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示．则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3 cm. ∴SA ′SA ＝O ′A ′OA . ∴33＋l ＝r 4r ＝14. 解得l ＝9(cm)， 即圆台的母线长为9 cm. 规律方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解． 互动探究本例中若圆台的上底半径为1 cm ，其他条件不变，试求圆台的高． 【解】 ∵圆台的上底半径为1，故下底半径为4.如图所示，在Rt△A′HA中A′H＝AA′2－AH2＝92－32＝6 2.即圆台的高为6 2 cm.思想方法技巧旋转体的生成过程典例已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图1－1－15所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．图1－1－15【思路点拨】以直角梯形的不同边所在直线为轴旋转，所得到的几何体是不同的．【规范解答】(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示.3分(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示.6分(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示.9分(4)以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示.12分①②③④思维启迪1．根据几何体的结构特征判断几何体的类型，首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的主要特征，其次要有一定的空间想象能力．2．对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要先对原平面图形作适当的分割，再根据柱、锥、台的结构特征进行判断．课堂小结1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．处理组合体问题常采用分割思想．4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．当堂检测1．下列几何体是组合体的是()A B C D【解析】A是圆柱，B是圆锥，C是球，D是圆台与圆锥的组合体．【答案】 D2．下列说法正确的是()A．用平行于底面的平面截圆锥，两平行底面之间的几何体是圆台B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱D．球面和球是同一个概念【解析】对于B，动手操作一下发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，由球和球面的定义可知它们不是同一个概念，故D错误．A正确．【答案】 A3．圆锥的高与底面半径相等，母线等于52，则底面半径等于________．【解析】圆锥的轴截面如图所示，由图可知，底面半径r＝(52)2－r2.∴r＝5.【答案】 54．说出下列组合体是由哪些简单几何体组成的．①②③图1－1－16 【解】图①是由一个四棱柱和一个四棱台组合而成．图②是由一个圆锥和一个圆柱组合而成．图③是由一个圆柱和两个圆台组合而成.。
新教材高中数学第6章立体几何初步§11.3简单旋转体_球圆柱圆锥和圆台学案
1．3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台学习任务核心素养1．理解旋转体——球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征．(重点)2．能运用球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型．(重点、难点)1．通过对旋转体结构特征的学习，培养学生直观想象素养．2．借助于旋转体侧面展开图的相关计算，培养学生数学运算素养．观察以下实物图．阅读教材，结合上述情境答复以下问题：问题1：你能说明由该实物图抽象出的几何体吗？问题2：常见的旋转体有哪些？它们是怎样形成的？问题3：圆台和圆锥之间有什么关系？问题4：这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？知识点1球、圆柱、圆锥和圆台球圆柱、圆锥和圆台定义以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面．球面所围成的几何体称为球体，简称球分别以矩形的一边OO1、直角三角形的一条直角边SO、直角梯形垂直于底边的腰OO1所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别称为圆柱、圆锥、圆台相关概念(1)半圆的圆心称为球心，连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径；(2)连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径(1)在旋转轴上的这条边的长度称为它们的高；(2)垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为它们的底面；(3)不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为它们的侧面；无论转到什么位置，这条边都称为侧面的母线图形及表示球用表示它球心的字母来表示，如球O 圆柱、圆锥、圆台用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆柱O1O、圆锥SO、圆台O1O性质(1)球面上所有的点到球心的(1)平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆；距离都等于球的半径；(2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径(2)过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形1.连接圆锥底面上任意一点和顶点的连线都是圆锥的母线．圆柱上底面圆周上任一点与下底面圆周上任一点的连线是圆柱的母线吗？[提示]不一定．圆柱的母线与轴是平行的．2．用一个平面去截球，得到的是一个圆吗？[提示]不是，得到的是一个圆面，球是一个几何体，包括外表及其内部．知识点2旋转体(1)旋转面：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面．(2)旋转体：封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．1.思考辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)(1)过圆锥轴的截面是全等的等边三角形．()(2)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．()(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．()[提示](1)错误．不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形．(2)错误．直角三角形只有绕一直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥．(3)错误．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成是球面，而不是球．[答案](1)×(2)×(3)×2.如下图的图形中有()A.圆柱、圆锥、圆台和球B.圆柱、球和圆锥C.球、圆柱和圆台D.棱柱、棱锥、圆锥和球B[根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故应选B.]类型1旋转体的结构特征【例1】以下命题正确的选项是________(只填序号).①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段．④⑥[①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，那么这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确．]简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．(2)解题时要注意两个明确：①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．[跟进训练]1．以下结论正确的选项是()A.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台B.经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，那么此棱锥可能是正六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D[需用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台，故A错误；假设球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点，那么过此两点的大圆有无数个，故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故C错误．应选D.]类型2旋转体中截面问题的有关计算【例2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台复原为圆锥后，圆锥的母线长．[解](1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如下图)，O1，O分别是圆台上，下底面的圆心，AM⊥BC.由可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知腰长为12 cm ，所以高AM ＝122－〔5－2〕2 ＝315(cm). (2)如下图，延长BA ，OO 1，CD 交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，那么由△SAO 1∽△SBO ，可得l －12l ＝25， 解得l ＝20(cm). 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质〔与底面全等或相似〕，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面〔轴截面〕的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．[跟进训练]2．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm ，如下图，那么该地球仪的半径是________cm.43[如下图，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，那么该小圆的半径r ＝6，其中∠ABO ＝30°，所以该地球仪的半径R ＝6cos 30°＝43cm.] 类型3 旋转体的有关计算【例3】 如下图，圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f (x )的最大值．1．圆柱的底面半径和高分别是r ，h ，其侧面展开图是什么(指出其尺寸)?[提示] 圆柱的侧面是矩形，两边长分别为h 和2πr .2．圆锥的底面半径和高分别是r ，h ，其侧面展开图是什么(指出其尺寸)?[提示] 圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是r 2＋h 2，弧长是2πr .3.把圆锥的侧面展开→求f 〔x 〕→求顶点到绳子的最短距离→求f 〔x 〕的最大值[解]将圆锥的侧面沿SA 展开在平面上，如下图，那么该图为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，∴L ＝2πr ＝2π.∴∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM ，其值为AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4).∴f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4).(2)绳子最短时，在展开图中作SR ⊥AM ，垂足为R ，那么SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，在△SAM 中，∵S △SAM ＝12SA ·SM ＝12AM ·SR ， ∴SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4). (3)∵f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数，∴f (x )的最大值为f (4)＝32.求几何体外表上两点间的最小距离的步骤(1)将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图；(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；(3)结合条件求得结果．[跟进训练]3.如下图，圆柱的高为80 cm ，底面半径为10 cm ，轴截面上有P ，Q 两点，且P A ＝40 cm ，B 1Q ＝30 cm ，假设一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点，问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？[解]将圆柱侧面沿母线AA 1展开，得如下图矩形．设圆柱的底面半径为r ，那么r ＝10 cm.∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm). 过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ，在Rt △PQS 中，PS ＝80－40－30＝10(cm)，QS ＝A 1B 1＝10π(cm). ∴PQ ＝PS 2＋QS 2＝10π2＋1(cm).即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.1．圆锥的母线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条D [圆锥底面上任意一点和圆锥顶点的连线都是圆锥的母线，所以圆锥的母线有无数条．]2．以下图是由哪个平面图形旋转得到的( )A [图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A 中图形绕图中虚线旋转360°得到．]3.如下图的平面图形中阴影局部绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A ．一个球体B ．一个球体中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球体中间挖去一个长方体B[圆面绕着直径所在的轴旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 应选B.]4．(多项选择题)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是()A．圆柱B．圆台C．球体D．棱台ABC[圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形．只有棱台可以截出三角形，应选ABC.]5．假设一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，那么这个圆锥的母线长为________．2[如下图，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝34AB2，∴3＝34AB2，∴AB＝2.故圆锥的母线长为2.]回忆本节内容，自我完成以下问题：1.圆柱、圆锥、圆台及球是由怎样的平面图形旋转而成的？[提示]圆柱、圆锥、圆台是分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体．球是以半圆面的直径所在直线为旋转轴旋转一周所形成的．2.圆柱、圆锥、圆台三者图形之间有怎样的关系？[提示]圆柱、圆锥、圆台的关系如下图．,。
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编号：课型：新授课主备人：牛新生审核人：时间：
一、学习目标：
1、知识与技能：能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
会用语言概述圆柱、锥、台、组合体的结构特征。
会表示圆柱、锥、台的分类。
2、过程与方法：通过直观感受空间物体，概括出柱、锥、台的几何结构特征。
观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3、情感态度与价值观：感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，同时提高观察能力。
培养空间想象能力和抽象概括能力。
二、学习重点、难点：
学习重点：感受大量空间实物及模型、概括出圆柱、锥、台的结构特征。
学习难点：圆柱、锥、台的结构特征的概括。
三、知识链接:
棱柱：棱锥：棱台：
四、学习过程：
A问题1：观察下列图形探究各自的特点及共同点
A问题2：什么是圆柱、锥、台？有何特征？如何表示？
A问题3:什么是球？有何特征？如何表示？
A问题4：什么叫简单组合体？简单组合体构成的两种基本形式是（1）：；（2）：。
A例1：底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A
点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
36cm2，则球心到截面圆圆心的距离A例2：已知球的半径为10cm，一个截面圆的面积是
是 .
五、达标测试
A1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（）
A B C D
A2、下列说法正确的是（）
A．圆锥的母线长等于底面圆直径 B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行 D．球的直径必过球心
A3、下列说法正确的个数为（）
①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形
②连接圆柱上、下底面圆周上的两点的线段是圆柱的母线
③圆柱的任意两条母线互相平行
A．0 B.1 C.2 D.3
A4、下列几何体的轴截面一定是圆面的是（）
A．圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台
B5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为 ( ) A.8:27 B.2:3 C.4:9 D.2:9
B6、A、B为球面上不同两点，则通过A、B所有大圆的个数（）A.1个 B.无数个 C. 一个也没有 D.1个或无数个
B7、球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 六、小结与反思：。