高一数学抽象函数

抽象函数的定义域

排除无意义点
将导致函数无意义的点排除在定义域之外，例如分母为零的点。
解不等式或不等式组
根据函数解析式的性质，解不等式或不等式组，得到定义域的范围。
图像法求定义域
观察图像
通过观察函数的图像，确定函数在哪些区间内连续且单调，从而确定定义域的范围。
确定临界点
找出图像中临界点对应的x值，这些点通常是定义域的边界。
判断单调性
通过判断函数在各个区间上的单调性，进一步细化定义域的范围。
实际应用法求定义域
分析实际背景
根据函数在实际问题中的应用背景，分析函数在哪些情况下有意义。
确定实际限制条件
根据实际问题的限制条件，确定函数的定义域范围。
考虑实际意义
确保函数在实际应用中具有实际意义，排除无意义的定义域范围。
04
特殊类型的抽象函数的定义域
分段函数定义域的求法
分段函数定义域的求法
分段函数由多个分段定义，每个分段定义域可能不同，因此求分段函数的定义域需要分别考虑每个分段，取所有分段的定义域的交集。
举例
函数$f(x) = begin{cases} x^2 - 1, & x geq 0 x + 3, & x < 0 end{cases}$的定义域为$[-3, +infty)$，因为当$x geq 0$时，$x^2 - 1$的定义域为$[0, +infty)$，当$x < 0$时，$x + 3$的定义域为$(-infty, 0)$，取交集得$[-3, +infty)$。
对数函数定义域的求法
对数函数定义域的求法
对数函数$log_a(x)$的定义域为$x > 0$，因为对数函数的自变量必须大于 0。

函数——抽象函数(函数类型)

函数—抽象函数（函数类型）所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。

抽象来源于具体。

抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。

★★抽象函数常见模型:函数模型抽象函数性质正比例函数一次函数幂函数二次函数（a≠0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c 指数函数对数函数或f(x m)=mf(x)余弦函数（和差化积）还有周期性。

正切函数余切函数 f(x)=cotx一．以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。

若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。

例1、已知函数对任意实数，均有，且当时，，，求在区间[－2，1]上的值域。

分析：由题设可知，函数是的抽象函数，因此求函数的值域，关键在于研究它的单调性。

二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。

例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x ＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

三、以幂函数为模型的抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

由幂函数的运算法则知是我们最熟悉的满足恒等式的函数。

例3、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。

(完整)数学必修1专题1：抽象函数的单调性

数学必修1专题1：抽象函数的单调性1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析(1）已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数y x 、都满足)()()(y f x f y x f +=+,且当0>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．证明：令0==y x ，则)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f令x y -=，则0)()()0()(=-+==-x f x f f x x f ∴)()(x f x f =-在R 上任取21x x ，,且使21x x < 0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f <由定义可知)(x f 在R 上为单调递减函数（2）已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，满足)()()(y f x f xy f +=，且当1>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．证明:令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 令x y 1=,则0)1()()1()1·(=+==x f x f f x x f ∴)()1(x f xf -= 任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x <0)()1()()()(121212>=+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数(3) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，且对一切00>>y x ，都有)()()(y f x f yx f -=，当1>x 时，有0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x < 则0)()()(1212>=-x x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数2. 简短评价(1) 注意三类函数的定义域不同的区别；（2）其实我们可以看出解题的思路大致一样:求出)0(f 或)1(f ;令x y -=或xy 1=针对练习：1。

抽象函数

抽象函数一般形式不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。

一般形式为y=f(x)，或许还附有定义域、值域等，如：y=f(x), (x>0, y>0)。

抽象函数形式幂函数：f(xy)=f(x)f(y)正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cosx指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)证明例题：f(xy)=f(x)+f(y),f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增，f(2)=1。

求证：f(x)=lgx/lg2即以二为底x的对数。

证明：定义域：相同∵f(2*1)=f(2)+f(1)∴f(1)=0∵f(1)=f(2)+f(1/2)∴f(1/2)=-1同理f(1/x)=-f(x)∵f(x^k)=f(x*x*……*x*x)【k个x】=f(x)+f(x)+……+f(x)+f(x)【k个】=k*f(x),k∈Z且k>0(x=2时f(x^k)=k) ①f(x^k)=f((1/x)^(-k))=f((1/x)*(1/x)*……*(1/x)*(1/x))【-k个x】=f(1/x)+f(1/x)+……+f(1/x)+f(1/x)【-k个】=(-k)*f(1/x),k∈Z且k<0（x=2时，f(x^k)=-k*f(1/2)=k）f(x^0)=f(1)=0=0*f(x)(x=2时，f(x^k)=k=0)∴f(2^k)=k,k∈Z②∵p*f(2^(1/p))=f((2^(1/p))^p)=f(2^(1/p*p))=f(2)=1,k<>0且p∈Z(①)∴f(2^(1/p))=1/p,p∈Z且p<>0又∵②∴f(2^(k/p))=f((2^(1/p))^k)=k*f(2^(1/p))=k*(1/p)*f(2)=k/p即f(2^m)=m对所有有理数成立③任取z∈R，{1}若f(2^z)<z,z必定为f(y),y>2^z(由于单调性以及③)，在(2^z,y)上必定有q=2^(z+n),z+n为有理数，n>0,f(q)=z-n<f(y)=z(单调性)与n>0矛盾，导出矛盾所以f(2^z)<z不成立{2}同理f(2^z)>z不成立又∵2^z>0，有定义域所以f(2^z)=z令x=2^z>0,f(x)=z=以二为底2^z的对数=以二为底x的对数证毕。

抽象函数的性质及应用

抽象函数的性质及应用抽象函数是高中数学的难点,也是近几年考试中的热点和重点,尤其函数的奇偶性、周期性、对称性结合的题目往往都比较难,让人感觉无从下手.抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,所以做抽象函数的题目需要有逻辑思维能力、丰富的想象力以及灵活运用函数知识的能力.一抽象函数的单调性例1已知偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则满足f(2x-1)≤f(x)的x的取值范围是 ()A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.∪[1,+∞)D.答案D根据题意,偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,则f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得≤x≤1,即x的取值范围是.故选D.解析：根据题意,结合函数的奇偶性与单调性分析可得f(2x-1)≤f(x)⇒f(|2x-1|)≤f(|x|)⇒|2x-1|≤|x|⇒(2x-1)2≤x2,解得x的取值范围.例2若a=,b=,c=log2,定义在R上的奇函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(a), f(b), f(c)的大小顺序为 ()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(c)>f(a)答案B根据题意,函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2,都有<0,则f(x)在[0,+∞)上为减函数,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以函数f(x)在(-∞,0]上为减函数,所以函数f(x)在R上为减函数,因为c=log2<0,a==,b=,所以a>b>0>c,故f(c)>f(b)>f(a).故选B.解析：根据题意,由函数单调性的定义可得f(x)在[0,+∞)上为减函数,结合函数的奇偶性可得函数f(x)在R上为减函数,又由题意可得a>b>0>c,再结合函数的单调性分析可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x),若函数y=f(x+2)为偶函数,且f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,若f(a)≤f(3a+1),则实数a 的取值范围是 ()A. B.[-2,-1]C. D.答案A因为函数y=f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,因为f(x)对任意的x1,x2∈[2,+∞)(x1≠x2),都有<0,所以函数f(x)在[2,+∞)上为减函数,所以函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,则f(a)≤f(3a+1)⇒|a-2|≥|3a-1|,解得-≤a≤.即实数a的取值范围是.故选A.二抽象函数的周期性例3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, f=f,当x∈时, f(x)=log2(-3x+1),则f(2 020)= ()A.4B.log27C.2D.-2答案D根据题意, f(x)满足f=f,即f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,则f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),又f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-log2(3+1)=-2,故选D.解析：根据题意,分析可得f(x+3)=f(x),函数f(x)是周期为3的周期函数,进而可得f(2 020)=f(1+2 019)=f(1),结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案.例4已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x+2)=f(-x),f(x+1)=f(x)·f(x+2),且f(x)>0,若f(1)=4,则f(2 019)+f(2020)= ()A.B.2C.D.4答案A根据题意, f(x+1)=f(x)·f(x+2),则有f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),变形可得f(x+2)=f(x)·f(x+2)·f(x+3),又f(x)>0,所以f(x)·f(x+3)=1,所以f(x+3)=,故f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,则f(2 019)=f(3+336×6)=f(3), f(2 020)=f(4+336×6)=f(4),故f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4).由f(x+3)=,令x=1可得f(4)==;由f(x+1)=f(x)·f(x+2)和f(x+2)=f(-x),令x=0可得f(1)=f(0)·f(2)=4且f(0)=f(2), f(x)>0,则f(0)=f(2)=2,则f(3)==,故f(3)+f(4)=+=.故选A.解析：根据题意,由f(x+1)=f(x)·f(x+2)分析可得f(x+2)=f(x+1)·f(x+3),进而可得f(x+3)=,则有f(x+6)==f(x),即函数f(x)是周期为6的周期函数,进而可得f(2 019)+f(2 020)=f(3)+f(4),再利用赋值法求得f(3)和f(4),最后相加即可得答案.变式训练：已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的,满足f(1-x)=f(1+x), f(-x)=-f(x),且f(x)在[0,1]上单调递增,若a=f(log23),b=f(),c=f(2 020),则 ()A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a答案D因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为f(-x)=-f(x),且函数定义域关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,所以f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),令x=x-1,则f(x)=-f(x-2)①,令x=x-2,则f(x-2)=-f(x-4)②,由①②得, f(x)=f(x-4),即函数f(x)是周期为4的周期函数.又因为f(x)在[0,1]上单调递增,所以函数f(x)的大致图象如图所示,又log23∈(1,2),∈(3,4),所以a>0,b<0,又f(2 020)=f(505×4)=f(0)=0,所以c=0,故b<c<a.故选D.三抽象函数的零点问题例5若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),当x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为 ()A.5B.6C.7D.8答案B因为f(x)=f(2-x)以及函数为偶函数,所以函数f(x)是周期为2的周期函数.根据x∈[-1,0]时, f(x)=1-x2,且函数f(x)是周期为2的周期函数,也是偶函数,作出f(x)在区间[-5,5]上的图象,再作出函数g(x)=的图象,如图所示,可得函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数为6.故选B.解析：根据条件可判断出函数f(x)为周期是2的周期函数,再结合奇偶性,周期性和解析式作出图象,通过数形结合转化求解即可.例6若偶函数f(x)的图象关于x=对称,当x∈时, f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-log20|x|在[-20,20]上的零点个数是 ()A.18B.26C.28D.30答案B解析令h(x)=log20|x|,则h(x)为偶函数且x≠0,因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数且x≠0,由g(x)=f(x)-log20|x|=0,得f(x)=log20|x|,当x>0时,h(x)=log20x,因为偶函数f(x)的图象关于x=对称,所以f(-x)=f(x)且f(x)=f(3-x),则f(3+x)=f[3-(3+x)]=f(-x)=f(x),即f(x)是T=3的周期函数,所以x=(k∈Z)为f(x)图象的对称轴,又因为当x∈时, f(x)=x,所以f(20)=f(21-1)=f(-1)=f(1)=1=h(20),当x∈[0,20]时, f(x),h(x)在同一坐标系中的图象如图所示,可知f(x)与h(x)在[0,20]上有13个交点,即g(x)在[0,20]上有13个零点,又因为g(x)是偶函数,所以g(x)在[-20,20]上共有26个零点.故选B.解析：令h(x)=log20|x|,根据函数f(x)、h(x)为偶函数,可判断g(x)为偶函数,进而判断出f(x)的周期为3,题目等价于f(x)的图象与h(x)的图象的交点个数,画出[0,20]上的图象即可判断出总零点个数.例7已知f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,函数g(x)=f(x)-log a x(a>1)恰有3个零点,则a的取值范围是 ()A.(1,3)B.(3,5)C.(1,5)D.(5,9)答案D f(x)是在R上的奇函数,满足f(x)=f(2-x),所以函数关于x=1对称, f(x)=-f(x-2),所以f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4,当x∈[0,1]时,函数f(x)=2x-1,所以函数f(x)的图象如图所示,当a>1时,函数g(x)=f(x)-log a x恰有3个零点,就是方程f(x)=log a x解的个数为3,即y=f(x)的图象与y=log a x的图象有3个交点,结合图象得解得a∈(5,9).故选D.解析：利用函数的奇偶性以及函数的对称性,画出函数的图象,通过数形结合转化求解即可.变式训练：1.函数f(x)满足3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),且f(1)= ,则f(2020)=()A.B.-C.-D.答案C令x=n,y=1,得3f(n)·f(1)=f(n+1)+f(n-1),即f(n)=f(n+1)+f(n-1),∴f(n+1)=f(n+2)+f(n),∴f(n+2)=-f(n-1),∴f(n)=-f(n-3)=f(n-6)∴函数f(x)是周期函数,周期T=6,故f(2 020)=f(6×336+4)=f(4).又3f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),令x=1,y=0,得3f(1)·f(0)=f(1)+f(1)=,∴f(0)=,令x=y=1,得3[f(1)]2=f(2)+f(0),则f(2)=-,令x=2,y=1,得3f(2)·f(1)=f(3)+f(1),解得f(3)=-,令x=3,y=1,得3f(3)·f(1)=f(4)+f(2),解得f(4)=-,∴f(2 020)=-.故选C.2.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数,对任意的实数x, f(x)-f(-x)=0恒成立,当x∈[-1,0]时, f(x)=x2,若g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,则a的取值范围为 ()A.[3,5]B.[2,4]C.(3,5)D.(2,4)答案D∵f(x)-f(-x)=0,∴f(x)=f(-x),又函数定义域为R,∴f(x)是偶函数,根据函数的周期性和奇偶性作出f(x)的图象如图所示,∵g(x)=f(x)-log a(|x|+1)在R上有且仅有五个零点,且y=log a(|x|+1)是过(0,0)的偶函数,∴y=f(x)和y=log a(|x|+1)的图象在(0,+∞)上只有2个交点,∴解得2<a<4.故选D.。

抽象函数和复合函数的应用解析版-高中数学

抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

抽象函数的定义域课件

抽象函数定义域的特性
掌握抽象函数定义域的特性，如域的纯粹性、域的依赖性等。
抽象函数定义域的求法
学会如何根据函数的解析式和上下文信息，求出抽象函数的定义域。
对于抽象函数定义域的应用的展望
数学学科中的应用
了解抽象函数定义域在数学学科中的应用，如代数、分析、拓扑等。
其他学科中的应用
探讨抽象函数定义域在其他学科中的应用，如物理、例函数是指形如$y=cx$的函数，此时函数的定义域通常为全体实数。
03
确定根式函数的定义域
根式函数是指形如$y=√x$的函数，此时函数的定义域通常为非负实数。
抽象函数定义域的应用
在数学建模中的应用
数学建模中的抽象函数定义域通常用来描述变量之间的函数关系，帮助我们更好地理解问题的本质和规律。
之间的关系。
通过定义域，我们可以确定算法的输入和输出范围，从而更好地
理解和设计算法。
此外，抽象函数定义域在算法设计中还可以帮助我们更好地理解算法的复杂度和效率，以及优化
算法的性能。
总结与展望
对于抽象函数定义域的理解和掌握
定义域的基本概念
了解定义域是什么，如何确定定义域，以及定义域在函数中的重要性。
限制定义域在确定函数性质和运算规则时具有重要作用。
抽象函数定义域的求法
根据函数的性质求定义域
01 确定性
函数中的映射关系应明确，不能含糊不清。
02 互异性
函数的定义域中的每一个元素，在函数的值域中只能对应一个元素。
03 任意性
函数中的对应关系可以在定义域的任意子集上进行。
根据实际应用求定义域
抽象函数的特性
01 非具体性
抽象函数没有具体的解析表达式，不能通过解析表达式来表达函数关系。

抽象函数定义域课件高一上学期数学人教A版

即x的范围
括号内x就是整体
只指2x+1 中x的范围
总结抽象函数定义域
记住两句话：1.定义域只指x的范围 2.括号内整体范围相等
走好两步骤：1.求整体 2.利用整体求得所求函数的定义域即x的范围
Hale Waihona Puke TITLE函数定义域
定义域值域必须写成集合或区间的形式
具体函数的定义域
例；求下列函数的定义域
学会了吗
抽象函数的定义域
抽象函数：没有具体解析是的函数抽象函数定义域的方法和技巧：
记住两句话：1.定义域只指x的范围 2.括号内整体范围相等
走好两步骤：1.求整体 2.利用整体求得所求函数的定义域

函数——抽象函数(函数类型)

函数—抽象函数（函数类型）所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。

抽象来源于具体。

抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。

★★抽象函数常见模型:()()1()(f x f y f x f y ±)()(1f x f x f ±一．以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数y kx =是满足函数恒等式()()()f x y f x f y ±=±的最常见的模型。

若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。

例1、已知函数()f x 对任意实数,x y ，均有()()()f x y f x f y ±=±，且当0x >时，()0f x >，(1)2f -=-，求()f x 在区间[－2，1]上的值域。

分析：由题设可知，函数()f x 是(0)y kx k =≠的抽象函数，因此求函数()f x 的值域，关键在于研究它的单调性。

二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b 是满足函数恒等式f （x+y ）=f （x ）+f （y ）-b 的最常见的模型。

例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ），且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式的解。

分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

抽象函数

(3) 抽象函数 f(x+y)=f(x)f(y) 可由一个特殊函数指数函数f(x)=ax(a＞0，a≠1)抽象而成； (4)抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数对数函数f(x)=log a x(a＞0，a≠1)抽象而成．当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数. 这些函数与我们熟悉的函数一样，有其自己的性质，如奇偶性、单调性等，有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致的示意图像．
1 例函数f(x)对一切实数x都满足 f 2
1 解：由 f 2 1
并且方程f(x)=0有3个实根，求这3个实根之和.
1 x f x , 2
直线 x 对称，又因为方程f(x)=0有3个实根，所 12 以 x1 必是方程的一个根．其余两个根x2, x3关 2 于直线对称，则有 x2 x3 1. 3 所以，x1 x2 x3 . 2 评述：若对定义域内的每一个实数x，f(a−x) = f(a+x) ，则 f(x) 的图像关于直线 x = a对称．
例 (1)已知函数y = f(x)的定义域是[1,5],求函数y = f(x2+1)定义域； (2) 已知函数y = f(x2+1)定义域是 [1,5],求函数y = f(x)的定义域； (3) 已知函数f(x)的定义域是[1,5]求函数g(x) = f(x2+1)+ f(1 x)的定义域. (2) 由于函数y = f(x2+1)定义域是 [1,5], 则2 x2+1 26，所以函数y = f(x)的定义域是 [2,26].
例设函数f(x)=lgx, y=g(x)的图象与y=f 1 (x+4) 的图象关于直线 y=x 对称，求 g(3)的值．解：因为 y=g(x)的图象与 y=f 1 (x+4)的图象关于直线 y=x 对称，所以 y=g(x)是函数 y=f 1 (x+4)的反函数．方法1 由y=f 1 (x+4)得x+4= f(y), 即x= f(y) 4, 所以g(x)= f(x) 4= lgx 4, g(3)= lg3 4. 方法2 由于f(x)=lgx, 故f 1 (x)=10 x, f 1 (x+4)= 10 x+4, 求 g(3)就是求当f 1 (x+4)= 10 x+4 =3时的x值, 得x+4=lg3,故x=lg3 4, 即g(3) =lg3 4.

高考讲抽象函数课件理ppt

考查抽象函数与其他知识点的综合运用
总结词：难点
详细描述：高考中经常将抽象函数与其他知识点进行综合考查，如函数与导数、函数与微积分、函数与概率统计等。这类题目通常难度较大，需要考生具备扎实的基础知识和较强的综合运用能力。
04
高考中抽象函数的解题策略
熟悉抽象函数的常见题型
函数性质类
考查函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
注意抽象函数与其他知识点的联系和区别
总结词
融会贯通，举一反三
详细描述
抽象函数往往与其他知识点结合考查，如函数的零点、不等式的解法等，学生需要注意它们之间的联系和区别。
详细描述
在复习时，学生可以将抽象函数与其他知识点进行对比学习，以便更好地理解和掌
握它们之间的联系和区别。
详细描述
此外，学生还需要注意不同题型的特点和解法，如选择题、填空题和解答题等，以便在考试中能够灵活应对各种题型。
《高考讲抽象函数课件理ppt》
xx年xx月xx日
contents
目录
• 抽象函数概述 • 抽象函数的常见问题 • 抽象函数在高考中的考查内容 • 高考中抽象函数的解题策略 • 高考中抽象函数的易错点分析 • 高考中抽象函数的备考建议
01
抽象函数概述
抽象函数的定义
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数，其定义通常是一个映射关系，即给定一个输入值，对应一个输出值。
构造函数法
数形结合法
通过构造函数，利用函数的性质解决不等式或最值等问题。
通过图像和数形结合，将抽象函数问题转化为直观的几何或图像问题。
注意抽象函数与其他知识点的联系
与不等式的结合
利用函数的单调性等性质解决不等式的证明和求解问题。

求抽象函数表达式常见五种方法

求抽象函数表达式常见五种方法1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知()211x f x x =++,求()f x .2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x .5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x参考答案：例1：解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)例3．解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 例4.解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习

()±()
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)

f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(

A.f(0)=0
解析:法一

B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()

f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,

所以 f( )= .
答案:(1)

高中数学抽象函数

抽象函数我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像集于一身，是考查函数的良好载体.一、抽象函数的函数值例1 (1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝____.答案 12解析因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12. (2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22f ⎝⎛⎭⎫x 1－x 22，f (π)＝－1，则f (0)＝____.答案 1解析令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.二、抽象函数的定义域例2 (1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x )＝ln (－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为____.答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0).∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12. (2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为____.答案 [2，4]解析对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4].。

高中数学-抽象函数

抽象函数
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数
问题一、抽象函数的定义域
若 f (x) 的定义域为 a ≤ x ≤b ，则在 f g(x)中， a ≤ g(x) ≤b ，从中解得 x 的取值范围即为 f g(x)的定义域．
若 f g(x)的定义域为 m≤ x ≤n ，
则由 m≤ x ≤n 确定的 g(x) 的来自围即为 f (x) 的定义域．
问题二、抽象函数的函数值
例 2.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2 且 f(1)≠0,则 f(2001)=_______.
问题三、抽象函数的奇偶性
问题四、抽象函数的单调性
例 4.定义在 R 上的函数 f (x) 满足：对任意实数 m,n ，总有 f (m n) f (m) f (n) ，且当 x 0 时， 0 f (x) 1．（1）试求 f (0) 的值；（2）判断 f (x) 的单调性并证明你的结论；（3）试举出一个满足条件的函数 f (x) ．

高一抽象函数专题课件精编版

2. 已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，且满足： f ( x 2) f ( x) .
(1)求证： f ( x 4) f ( x) ;
(2)若 f (1) 2014 ，求 f (2001) 的值。
3．已知函数 f(x)＝x3＋x，对任意的 m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0 恒成立，求 x 的取值范围．
中 g( x) D ,从中求出 x 的范围即为 f g( x) 的定义域。
(注意：定义域一定是指单位 x (自变量)的取值范围)
问题二：.抽象函数求值问题
例 2. 已知 f (x) 的定义域为 R ，且 f (x y) f (x) f (y) 对一切正实
数 x，y 都成立，若 f (8) 4 ，则 f (2) _______。
5.函数 f(x)对任意的 m、n∈R，都有 f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且 x>0 数； (2)若 f(3)＝4，解不等式 f(a2＋a－5)<2.
x 0时 1 f (x) 0 , 且对任意 a,b R , 满足
f (a b)
f (a) f (b)
.
1 f (a) f (b)
(1)求 f (0)的值;
(2)求证 f ( x)是奇函数；
(3)判断 f ( x)在R上的单调性
练习
1.若 f (x 2) 的定义域是 1,0 ，求 f ( 2x 1) 的定义域。
f(x+y)=f(x)+f(y)，且 x >0 时，f(x)<0
(1)判断f ( x)的奇偶性；
(2)求证:f(x)在 R 上是减函数; (3)若 f(1)=-2，求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。

抽象函数与复合函数

例已知函数 f (x 2)的定义域为-1,3，求函数f (x)的定义域.
③已知f[g(x)]的定义域,求f[h(x)]的定义域,先有x的取值范围,求出g(x)的取值范围,即f(x)中的x的取值范围,在由此确定h(x)的取值范围,进而根据h(x)的取值范围求出x 的取值范围.
例已知函数 f (x 2)的定义域为1,3，求函数f (1 x)的定义域.
抽象函数与复合函数
1.抽象函数
我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.
2.复合ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数
(1)如果函数y=f(t),t∊C,函数t=g(x),x∊D,若A={x|x∊D,且g(x)∊C} 为非空数集,则称函数y=f[g(x)]为函数f(t)与g(x)在Ａ上的复合函数. 其定义域为A,其中t叫做中间变量,t=g(x)叫做内层函数,y=f(t)叫做外层函数.
例已知函数 f (x)的定义域为-1,3，求函数f (2x 1)的定义域.
点拨：函数 f (x)的定义域为 a,b指a x b,即在同一对应法则 f的作用下，
接受法则的对象无论是什么代数式时，必受 a x b制约.
②已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域,其实质是由x 的取值范围,求出g(x)的取值范围.
(2)函数f(x)与f[g(x)]中的“x”的含义不同,它是用同一个字母来表示不同的函数的自变量,因此它们的取值范围不一定相同,但它们之间又有联系,即f(x)中的“x”与f[g(x)]中的“g(x)”的值相同时，它们所对应的函数值相同.
求抽象函数的定义域 ①已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域,其实质是由g(x)的取值范围求出x的取值范围.

数学必修1专题2：抽象函数的定义域

数学必修1专题2：抽象函数的定义域1. 若函数)(x f 的定义域为[]41，，求函数)2(+x f 的定义域解析：使)2(+x f 有意义的条件是421≤+≤x ，则)2(+x f 的定义域为[]21，- 2. 若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=xf y 而言，有4211<+≤-x ，解之得：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-∈，，2131x 所以函数)21(+=xf y 的定义域为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，21313. 若函数)1(+x f 的定义域是[]32，-，则)12(-=x f y 的定义域是________ 解析：)(x f 的定义域为[]41，-，)12(-=x f y 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡250，总结：(1) 函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围所组成的集合； (2) 函数[])(x f ϕ的定义域还是指x 的取值范围所组成的集合；(3) 已知)(x f 的定义域为A ，求[])(x f ϕ的定义域，其实质是已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围(4) 已知[])(x f ϕ的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知[])(x f ϕ中的x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的值域即为)(x f 的定义域； (5) 用“门”的思想去描述这些结论。

针对练习 1. 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．2. 设函数)(x f 的定义域为[]10，，则(1) 函数)(2x f 的定义域为________(2) 函数)2(-x f 的定义域为__________3. 设函数y=f(x)的定义域为[]10，，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3131x f x f y 定义域4.(2006湖北卷)设x x x f -+=22lg)(，则)2()2(xf x f +的定义域为_____________ 5. 已知函数)(x f 的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-∈2321，x ，求)0()()()(>+=a a x f ax f x g 的定义域。

抽象函数的定义域

函数——抽象函数(函数类型)

(完整)数学必修1专题1：抽象函数的单调性

抽象函数

抽象函数的性质及应用

抽象函数和复合函数的应用 解析版-高中数学

抽象函数的定义域课件

抽象函数定义域课件高一上学期数学人教A版

函数——抽象函数(函数类型)

抽象函数

高考讲抽象函数课件理ppt

求抽象函数表达式常见五种方法

抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习

高中数学 抽象函数

高中数学-抽象函数

高一抽象函数专题课件精编版

抽象函数与复合函数

数学必修1专题2：抽象函数的定义域

抽象函数和复合函数的应用解析版-高中数学

高中数学抽象函数