第4章 资产组合理论

对组合的投资决策，不仅要考虑单个 资产的收益和风险，且要考虑组合作 为一个整体的收益和风险。
2013-7-15
投资学第4章
三、组合的方差

（一）组合的方差：是组合的收益与其预期收 益偏离值的平方的期望值。
2 p＝Wi 2 i2 i 1 n n
i 1 j i , j 1
WW
2013-7-15
投资学第4章

另假定：
不存在无风险资产
不允许买空卖空
2013-7-15
投资学第4章
三、风险资产组合的可行集

可行集：又叫机会集，是由给定的一 组资产构成的所有可能的证券组合的 集合。 有效组合（Efficient portfolio ） 有效集
投资学第4章

2013-7-15
投资学第4章
2013-7-15
（四）方差-协方差矩阵

组合的方差等于方差-协方差矩阵中各项的和。 假设组合中有N种证券，每种证券的方差、协方 差已知，则组合的方差-协方差矩阵形式如下：
V

N行N列，左上角到右下角对角线上的数为每种 证券的方差。
矩阵是对称的
投资学第4章
2013-7-15
（五）影响投资组合风险的因素
第四章
马科威茨资产组合理论 （—资产的选择和配置）

前文介绍的是单项资产的投资决策 1952年，马科威茨系统地提出了证券组 合理论。
在此之前，也有学者提到过这一概念，但主
流的理论研究主要以单个投资对象为主，在 操作中也主要对单一的投资对象进行管理。
2013-7-15
投资学第4章
第一节 资产组合的 收益与风险
投资目标是对预期收益、风险的全盘考虑 现代组合理论为这种考虑提供了一条行之有
效的途径
2013-7-15
投资学第4章
二、基本假设

Markowitz理论是建立在下面的前提假设上的
投资者用预期收益的概率分布来描述一项投资
投资者仅以期望收益率和方差来评价资产组合
投资者是不知足的和风险厌恶的 为单一投资期 投资者的目标是效用最大化
n wi ri c i 1 n wi 1 i 1
2013-7-15 投资学第4章

共有n＋2个方程，未知数为wi（i＝1，2,…,n）、λ 和μ，共n＋2个，其解是存在的。 上述方程是线性方程组，可通过线性代数加以解决。

分散化（Diversification）：只要收益不 完全正相关，就能降低风险。

投资者通过组合选择余地在扩大，从而使 决策更加科学。
2013-7-15
投资学第4章
基金资产配置表
2013-7-15
投资学第4章
基金持股的行业分布
2013-7-15
投资学第4章
基金持有的债券分布
2013-7-15
前提：
通过期望收益和方差来评价组合；投资者是理性的，化问题，即
给定收益的条件下，风险最小化； 给定风险的条件下，收益最大化。
2013-7-15
投资学第4章
例：有特定期望收益的资产组合的最小 方差的计算
11 ... 1n 若已知资产组合收益c、方差 协方差矩阵 和 1n nn 组合各个资产期望收益向量 r =(r1 , r2 ,..., rn )T ，求解组合中资产权重 向量w=(w1 , w2 ,..., wn ), 则有
协方差是衡量两个随机变量之间互动性的统计量。

衡量两资产收益相互影响的方向。
协方差值的大小是无限的。
2013-7-15
投资学第4章
（三）相关系数与组合风险

资产间的相互关系还可用另一个统计量—相关 系数来表示。
据相关系数大小，可判断两资产收益变动关联程度
的大小
ij ij i j
i 1 j 1 i 1 i 1

上式对wi求导数，令其一阶导数为0，得到方程组：
投资学第4章
2013-7-15
n L 1 w w j 1 j r 0 j 1 1 n L w j 2 j r2 0 j 1 w2 n L w w j nj rn 0 j 1 n

一个岛国是旅游胜地，其有两家上市公司， 一家为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国 每年天气或为雨季或为旱季，概率各为0.5， 两家公司在不同天气下的收益分别如下，请 问你的投资策略。
雨季 防晒品公司 雨具公司
0% 20%
旱季
20%
0%
2013-7-15
投资学第4章
一、资产组合（Portfolio）的优点
2013-7-15
投资学第4章
总结：不同相关程度的两种风险资产组合 的可行集
收益Erp
(r1 , 1 )
ρ =1
r1 r2 2 r2 1 2
(r2 , 2 )
ρ =0
风险σp
2013-7-15
ρ =-1
投资学第4章
（二）三种风险资产组合的可行集

一般，当资产数量较多时，要保证资产间两两完 全相关不可能。因此，一般假设两种资产不完全 相关。
1、组合中个别证券风险的大小 2、组合中各证券间的相关系数
3、证券投资比例的大小
2013-7-15
投资学第4章
四、资产组合风险分散化原理

通过简单的数学推导来证明：随组合中证券数量的增加， 组合风险将逐步降低。

为简化推导做如下假设：构造一个等权重的组合， 组合中有n种证券，每种证券的投资比例都为1/n， 求组合的方差？（思考）
风险σp
2、两种完全负相关资产组合的可行集

即ρ12 =-1，有：
2013-7-15
投资学第4章
命题4.2：完全负相关的两种资产组合的可行集是两 条直线，其截距相同，斜率异号。
p＋ 2 p＋ 2 rp ( p ) r1＋(1 )r2 1 2 1 2
2013-7-15
（一）两种风险资产构建的组合的 可行集

两种资产的组合相对来说易于分析，它们 体现的原则与思想也适用于多种资产构建 的组合

若已知两风险资产的期望收益、方差和它 们间的相关系数，则组合之期望收益和方 差为：
投资学第4章
2013-7-15
上述两方程构成了组合在给定条件下的可行 集！
2013-7-15 投资学第4章
（2）股票X和Y的方差分别是多少？
（3）股票X和Y的协方差和相关系数是多少？
（4）如果你把30%的资金投资到股票X上， 70%的资金投资到股票Y上，求该组合的期 望收益和方差。
2013-7-15 投资学第4章
第二节 资产组合理论
—— 阐述投资者如何建立一个 自己的最优风险资产组合
一、概述

现代投资理论的产生以1952年Markowitz 发表的《投资组合选择》为标志
收益rp 4 2 3
1
2013-7-15 投资学第4章
风险σp
（三）n种风险资产组合的可行集

类似于3种资产组合的情形，下图月牙型区域为n 种资产组合的可行集。
收益rp
2013-7-15
投资学第4章
风险σp
（四）可行集的性质


在n种资产中，如至少存在3项资产彼此 不完全相关，则可行集将是一个二维实 体区域。 可行区域是向左侧凸出的 任意两项资产（或组合）构建的组合 都位于两项资产连线的左侧。 为什么？

两资产的相关系数为1≥ρ12≥－1

分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，得到组合 可行集的顶部边界和底部边界。 其他所有的可能组合，在这两个边界之 中。

2013-7-15
投资学第4章
1、两种完全正相关资产组合的可行集
即ρ12 ＝1，有：
2013-7-15
投资学第4章

命题4.1：完全正相关的两种资产组合的可行 集是一条直线。
则 从而
p ( w1 ) w1 1 (1 w1 ) 2
w1 ( p－ 2 ) /( 1 2 ) rp ( p ) w1r1 (1 w1 )r2
(( p－ 2 ) /( 1 2 ))r1 (1 ( p－ 2 ) /( 1 2 ))r2 r1 r2 r1 r2 r2 2 p 1 2 1 2 故命题成立，证毕。
2013-7-15
投资学第4章
练习一

股票A的期望收益率是11%，标准差是 22%；股票B的期望收益率是16%，标 准差是29%。如两只股票的相关系数是 0.6，则协方差是多少？
2013-7-15
投资学第4章
练习二： 假定下表是股票X和Y的概率分布
2013-7-15
投资学第4章

请问：
（1）股票X和Y的期望收益率分别是多少？
2013-7-15 投资学第4章
组合的风险等于两种资产风险的加权平均， 组合收益是组合风险的线性函数。
2013-7-15
投资学第4章
完全正相关的两种资产组合，当权重w1从1减少到0时 可得到一条直线，该直线构成了这个组合的可行集。
收益 Erp
(r1 , 1 )
(r2 , 2 )
2013-7-15 投资学第4章
投资学第4章
2013-7-15
不可能的可行集
收益rp B A
风险σp
2013-7-15 投资学第4章
四、风险资产组合的有效集

在可行集中，有些组合从风险和收益角度来评价， 明显优于另一些组合。
同种风险水平下，提供最大收益，或同种收益水平下，