d零点存在定理

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零点的存在性定理

06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大学出版社.
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扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用，以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
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推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。

零点存在定理说课稿

零点存在定理说课稿
零点存在定理是实分析中的一个重要定理，它是关于连续函数与零点的存在性的一个结果。

在说课稿中，我们可以从以下几个方面来全面介绍这个定理。

首先，我们可以从定理的内容和表述入手。

零点存在定理是指如果一个实数域上的连续函数在一个闭区间上取到了不同符号的函数值，那么在这个区间内一定存在至少一个零点。

这个定理的内容直观地说明了连续函数的零点存在性，对于理解连续函数的性质具有重要意义。

其次，我们可以从定理的证明方法和思路进行阐述。

零点存在定理的证明通常采用了实分析中的基本原理，比如区间套定理、连续函数的性质等。

可以从这些数学原理出发，详细介绍定理的证明思路，以及其中的关键步骤和推理过程，让听众对定理的成立有更深入的理解。

接着，我们可以从定理的应用和意义进行阐述。

零点存在定理在实际问题中有着广泛的应用，比如在方程求根、优化问题、微分方程的存在性等方面都有着重要的作用。

可以举一些具体的例子，
说明定理在实际问题中的应用，以及它对于数学建模和实际问题求解的意义。

最后，我们可以从定理的历史渊源和相关拓展进行介绍。

零点存在定理是实分析中的经典定理，可以简要介绍一下定理的历史渊源和相关的数学发展背景，以及定理的一些拓展和推广，让听众对于定理的来龙去脉有一个更加完整的认识。

通过以上几个方面的介绍，可以使听众对于零点存在定理有一个全面而深入的理解，从而更好地掌握这一重要的数学定理。

高中数学讲义：零点存在的判定与证明

零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。

2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。

因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。

要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。

如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。

如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。

零点存在性定理

零点存在性定理前⾔函数的零点对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使得f (x )=0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．简⾔之，零点不是点，是实数；零点是函数对应的⽅程f (x )=0的根。

有关零点的⼏个结论(1).若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )⾄多有⼀个零点，也可能没有零点，⽐如f (x )=2x 单调递增，但没有零点。

(2).连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。

⽐如函数f (x )=−(x −1)⋅(x −2)，在1<x <2时，函数值f (x )都是正值。

(3).连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，如y =x 3在零点x =0处两侧的函数值不同；也可能不变号，如y =x 2在零点x =0处两侧的函数值相同。

重要转化函数y =f (x )=h (x )−g (x )有零点[数的⾓度]⟺函数y =f (x )与x 轴有交点[形的⾓度]⟺⽅程f (x )=0有实根[数的⾓度]⟺函数y =h (x )与函数y =g (x )的图像有交点[形的⾓度]具体应⽤时务必注意对函数f (x )的有效拆分，⽐如函数f (x )=lnx −x +2，拆分为①h (x )=lnx 和g (x )=x −2，或者拆分为②h (x )=lnx −2和g (x )=x ，都⽐拆分为③h (x )=ln x −x 和g (x )=2要强的多。

当拆分为①②时，我们都可以轻松的画出其图像，但是拆分为③时，要画出函数h (x )的图像，就需要导数参与。

这时候，我们也就能理解有时候选择⽐努⼒更重要。

拆分原则：尽可能的拆分为我们学过的基本初等函数或初等函数，这样的拆分是上上策。

零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f (a )⋅f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内⾄少有⼀个零点，即⾄少存在⼀个c ∈(a ，b )，使得f (c )=0，这个c 也就是⽅程f (x )＝0的根．定理的理解需要注意：①零点存在性定理的使⽤有两个条件必须同时具备，其⼀在区间[a ，b ]上连续，其⼆f (a )⋅f (b )<0，缺⼀不可；⽐如，函数f (x )=1x在区间[−1，1]上满⾜f (−1)⋅f (1)<0，但是其在区间[−1，1]没有零点，原因是不满⾜第⼀条；再⽐如函数f (x )=2x ，在区间[−1，1]上满⾜连续，但是其在区间[−1，1]没有零点，原因是不满⾜第⼆条；②零点存在性定理只能判断函数的变号零点，不能判断不变号零点。

零点存在定理及应用

零点存在定理及应用零点存在定理（Bolzano定理）是数学分析中的一个重要定理，它指出在某个区间内，如果一个连续函数在两个端点上取不同的符号，那么在这个区间内至少存在一个零点。

这个定理的发现者是卡尔·密特罗斯·博尔扎诺（Karl Mětros Bolzano），因此在他的名字之后也被称为博尔扎诺定理。

零点存在定理的形式化表述为：设f(x)是一个定义在闭区间[a,b]上的连续函数，且f(a)f(b)<0，则在开区间(a,b)内至少存在一个数x_0，使得f(x_0)=0。

这个定理的直观意义就是，如果一个连续函数在某个区间的两个端点上的取值符号不同，那么必然存在这个区间内的某个数值使得函数的值为零。

也就是说，连续函数在穿越x轴时必然会有一个交点。

零点存在定理在数学分析、微积分、实变函数等领域有着广泛的应用。

其中，最常见的应用之一就是用来证明方程在某个区间内存在根。

而方程的根在现实生活和工程领域中有着广泛的应用。

比如，在物理学中，零点存在定理可以用来证明某些物理规律下的方程存在实际物理意义的解；在工程领域中，零点存在定理可以用来解决工程设计中的方程求解问题。

另外，零点存在定理还可以用来证明介值定理（Intermediate Value Theorem）。

介值定理指出，如果一个连续函数在闭区间[a,b]上取不同的两个值f(a)和f(b)，那么在这两个值之间的任意数值都能在区间[a,b]内找到函数的一个对应的值。

这个定理在分析、微积分、实变函数等领域中有着重要的应用，可以用来证明和推导其他的性质和定理。

除了上述的应用之外，零点存在定理还可以用来解决数值分析中的零点近似问题。

通过对连续函数的区间进行逐步细化，就可以找到连续函数在某个区间内的一个零点。

这对于计算机科学、工程计算等领域中的数值计算问题具有重要的意义。

总之，零点存在定理在数学分析和相关领域中具有广泛的应用。

通过这个定理，我们可以证明方程的根的存在性，解决实际问题中的方程求解问题，推导其他定理和性质，以及解决数值计算中的零点近似问题。

零点存在定理的理解与辨析

零点存在定理的理解与辨析零点定理，也叫派索多·贾马尔定理，是指一个多项式函数等于零，零点定理可以帮助我们知道该多项式函数的零点是什么：1. 定义：零点定理指的是在一个函数多项式的图像中，当函数值为0时，多项式就一定有对应的零点，即若一个多项式P(x)，当且仅当P(x) = 0 时，存在x0使得P(x0) = 0。

2. 证明：假设P(x)有n阶，则可表示为：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + … + anx^n由泰勒公式，多项式就可以展开为如下的函数：P(x) = f(x) = f0 + f1x + f2x^2 +f3x^3+ … + fnx^n又由于P(x) = 0，则f也要等于0。

所以零点定理也可以表达为：【假设一个n阶多项式P(x)的展开函数f(x)的n阶项系数不为0，则当f(x) = 0时，多项式P(x)也有相应的零点】3. 应用：零点定理经常用于求解多项式函数的零点，例如一元多项式函数P(x) = 3x^2 - 5x + 3，当P(x) = 0时，则0 = 3x^2 - 5x + 3，可得到两个实数解2/3，1。

以及一元二次方程式求解方法，二元一次方程章形式求解方法等均可使用零点定理，同理，n阶一元多项式函数也可以求出n个零点。

4. 特点：零点定理仅限于一元多项函数，不具有通用性，另外，零点定理只告诉我们多项式函数的零点是什么，但是无法给出零点的复杂度。

5. 限制：零点定理的限制在于其局限性，特别是当函数的最高项系数a_n=0时，零点定理就不能成立，另外，零点定理只可以给出实数的零点，而不能给出复数的零点。

总之，零点定理是一个有用的定理，虽然它有一定的局限性和限制，但可以帮助我们准确求出一元多项式函数的零点。

通过理解零点定理，学生可以更快速、正确的求解多项式函数的零点问题。

零点存在定理的前提条件 -回复

零点存在定理的前提条件-回复零点存在定理是实分析中的一个重要定理，它断言了一个连续函数在某个区间上必然存在一个零点。

在讨论前提条件之前，我们首先来了解一下零点存在定理的具体表述。

零点存在定理（Bolzano 定理）：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，即f(a)f(b)<0，则必存在一个c\in(a,b)使得f(c)=0。

这个定理非常直观，它告诉我们，只要一个函数在某个区间上连续，并且函数在这个区间的两个端点上的函数值异号，那么在这个区间上一定存在至少一个点，使得函数的值等于零。

现在让我们来分析零点存在定理的前提条件，即函数连续和函数值异号。

首先，我们来了解一下连续函数的定义。

一个函数f(x)在某个区间上连续，意味着对于任意给定的x_0，当x足够接近x_0时，f(x)也会足够接近f(x_0)。

换句话说，函数在这个区间上没有断点、无间断。

接下来，我们考虑定理中的第二个前提条件：函数在区间的两个端点上的函数值异号。

这意味着函数在区间的两个端点上的函数值一个为正，一个为负。

这个条件比较容易满足，因为只要函数在区间的两个端点的函数值异号，我们就可以找到一条连接这两个端点的连续曲线，而且这个曲线肯定会与x轴相交，即存在函数的零点。

所以，零点存在定理的前提条件可以简单总结为，函数在某个区间上连续，并且函数在这个区间的两个端点上的函数值异号。

接下来，我们需要思考为什么这些前提条件是成立的。

这涉及到实数的基本性质和函数连续性的相关知识。

首先，我们知道实数集上存在公理，例如阿基米德性公理、稠密性公理等。

这些公理保证了实数集的完备性，即实数集中没有空隙，任意两个实数之间都存在有理数。

这个完备性是实分析理论的重要基础之一。

其次，函数连续性的概念也是基于实数集的完备性。

连续函数的定义就是基于实数集中的点之间的距离来描述的。

因此，当我们讨论函数在某个区间上连续时，实际上是在讨论实数集中点与点之间的距离的性质。

(完整word)函数的零点存在定理

《函数的零点存在定理》一、教材内容分析《函数的零点》第二课时，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章第一节。

1、教材的地位与作用函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性,而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起.方程的根与函数零点的关系研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础。

可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。

2、内容分析本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理.函数零点是研究当函数)(xf的值为零时,相应的自变量x的取值，反映在函数图象上，也就是函数图象与x轴的交点横坐标。

由于函数)(xxf，其本身已是方程的形式，因而函数的零点)f的值为零亦即0(=必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程0f有解，则函数)(xf存在零(=)x点，且方程的根就是相应函数的零点,也是函数图象与x轴的交点横坐标。

顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题.这是函数与方程关系认识的第一步。

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。

如果函数(<⋅bfaf，则函数))( (xf)y=在区间[]b a,上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足0y=在区间()b a,内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质f)(x进行判断.定理的逆命题不成立.方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了似的方法,同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想"。

二、教学内容诊断分析本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上,利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数。

零点存在性定理

2
方程 y=0 函数
x2－2x－3=0 － y= x －2x－3
2
x －2x+1=0 y= x －2x+1
2
2
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
. 函数图象
－1
y
2 1
. .
－1 －2
.y
2
y
. . . 1 .
2
.
.
x
－1
5
0
1
2
3
x
－1
1
(简图）简图）简图
0
－3 －4
3 2 1
.
4
.
.
5
问题1：此图象是否能问题：表示函数？表示函数？问题2：问题：你能从中分析函数有哪些零点吗？函数有哪些零点吗？
-2
-1
2
3
6
设问激疑,延伸拓展设问激疑延伸拓展例1:求函数 1:求函数
f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
的零点个数。的零点个数。
再次思考问题：再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数吗?
∴选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移初步应用理论迁移
例2 求函数 y = ( x − 2) 2 ( x 2 − 2 x − 3) 的零点: 的零点
求函数零点的步骤：求函数零点的步骤： (1)令 (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0；解方程f(x)=0 (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 (3)写出零点如何解下列方程
即存在 c ∈ ( a, b ) ，使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) = 0 的根。

零点存在定理

零点存在定理零点存在定理是微积分学中一个重要的定理，用于证明在某些特定条件下，一个连续函数在定义域内至少存在一个根（即函数曲线与X轴相交的点）。

这个定理的证明经过了漫长的发展和完善，现在已经成为微积分学中基本的工具之一。

零点存在定理的最初形式是由17世纪法国数学家Rolles提出的，后来被推广到更一般的情况。

当然，像其它许多定理一样，不同的证明方法也相继出现。

今天，我们的证明方法按照经典传统来自Rolles的带状取值原理，这个原理，对于满足一定条件的连续函数，可以找到一个带状区域，其中的函数值就不会变号，故其中存在至少一个零点。

首先，假设f(x)在区间[a,b]上连续。

如果f(a)和f(b)符号相同，那么f(x)在[a,b]上没有根。

因此，我们只考虑f(a)和f(b)符号不同的情况。

现在假设f(a) < 0且f(b) > 0。

由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据最大值与最小值定理，f(x)在该区间上必有一个最小值。

不妨设这个最小值为f(c)，其中a < c < b。

现在考虑分两种情况。

第一种情况，f(c) < 0。

因为f(x)在区间[a,c]上连续且有限，所以根据带状取值原理，f(x)在[a,c]上的每一个值都小于f(b)，也就是说，在[a,c]上不存在f(x) = 0的解。

但是，在[c,b]上，f(x)的取值范围为[c,b]中的一个闭区间。

由于f(c) < 0且f(b) > 0，所以这个闭区间中必须至少存在一个点，使得f(x) = 0，即f(x)在区间[a,b]上至少存在一个零点。

第二种情况，f(c) > 0。

这种情况下，我们对f(x)作一个取反处理，得到一个新的连续函数g(x) = -f(x)。

由于g(a) > 0且g(b) < 0，且g(x)也在区间[a,b]上连续，那么根据上面的分析，存在一个零点，即f(x)在区间[a,b]上至少存在一个零点。

零点存在性定理

探索新的证明方法
随着数学研究的不断深入，有望出现新的证明方法和思路，为定理的证明和应用提供新的视角和途径。
感谢您的观看
THANKS
在微分方程中的应用
初始值问题的解的存在性
对于某些微分方程的初始值问题，可以利用零点存在性定理证明解的存在性。
周期解的存在性
对于某些具有周期性的微分方程，可以利用零点存在性定理证明周期解的存在性。
03
零点存在性定理的推广和深化
推广到高维空间
零点存在性定理最初是在一维实数线上证明的，但后来被推广到了高维空间。在高维空间中，零点存在性定理的应用更加广泛，涉及到许多重要的数学问题，如多元函数的零点、向量场的奇点等。
零点存在性定理
目录
• 零点存在性定理的概述 • 零点存在性定理的应用 • 零点存在性定理的推广和深化 • 零点存在性定理的进一步思考 • 零点存在性定理的实践应用案例 • 总结与展望
01
零点存在性定理的概述
定理的定义
• 零点存在性定理：如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在至少一个$c \in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。
零点存在性定理的证明和应用推动了数学的发展，激发了众多数学家和学者的研究热情，促进了数学理论的不断完善和进步。
对未来研究的展望
探索更多应用领域
随着科学技术的不断进步，零点存在性定理有望在更多领域得到应用和推广，例如在数据分析、机器学习等领域。
深化定理的理解
尽管零点存在性定理已经得到了广泛的应用和证明，但对其本质和内在机制的理解仍需进一步深化和研究，以推动数学理论的进一步发展。
06

笛卡尔零点定理

笛卡尔零点定理
笛卡尔零点定理是数学中的一个重要定理，它描述了实数与复数之间的一种关系。

该定理表明，对于任何实数a，总存在一个复数z，使得z的模等于a，并且z与实轴上的原点o之间的角度为直角。

这个定理的证明需要用到复数的代数形式和三角形式之间的转换，以及一些三角函数的基本性质。

通过将复数z表示为x+yi的形式，其中x和y都是实数，我们可以将z的模等于a等价于x^2+y^2=a^2，并且z与原点之间的角度为直角等价于x=0。

然后我们可以利用三角函数的基本性质来证明存在一个复数z满足这些条件。

笛卡尔零点定理在数学中有着广泛的应用，例如在解决某些几何问题、求解某些微分方程、研究某些函数的性质等方面。

这个定理也与复数的代数形式和三角形式之间的转换有关，因此在复数理论中也有着重要的地位。

《函数的零点存在定理》.doc

《函数的零点存在定理》一、教材内容分析本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理。

函数零点是研究当函数/(兀)的值为零时，相应的自变量兀的取值, 反映在函数图象上，也就是函数图象与兀轴的交点横坐标。

顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。

这是函数与方程关系认识的第一步。

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。

如果函数y = f(x)在区间［处］上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足/⑷・<0,则函数y = /(x)在区间M内至少有一个零点, 但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断。

定理的逆命题不成立。

方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了似的方法，同时还使用了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。

二、教学目标分析知识与技能目标：①了解函数零点的概念，理解函数零点与对应方程根之间的关系。

②理解函数零点的两条性质，初步掌握判断函数零点存在的方法。

③在教学过程中渗透数形结合思想,在函数与方程，不等式的联系中体会数学中的转化思想。

过程与方法目标：经历“类比一一归纳一一应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，感悟从具体到抽象的研究方法，培养学生的归纳概括能力。

情感态度与价值观目标：培养学生自主探究，合作交流的能力，严谨的科学态度。

三、教学重点、难点分析教学重点:①函数零点的定义；②函数零点、函数对应方程的实根、函数图像与X轴交点之间的关系；③函数零点存在性判定定理。

函数零点存在定理

函数零点存在定理一、函数零点的概念对于函数）（xfy=,我们把使xf=）（的实数x叫做函数）（xfy=的零点。

从几何角度来看，函数的零点就是函数图像与x轴交点的横坐标。

换句话说，函数的零点就是方程f(x)=0的实数解。

二、函数零点的性质函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。

因此，求解函数的零点等价于求解对应的方程。

三、函数零点存在定理如果函数）（xfy=在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且有0bfaf）＜（）（∙,那么，函数）（xfy=在区间（a,b）内有零点推论（函数零点的唯一性）如果函数）（xfy=在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，在区间[a,b]上具有单调性，且bfaf）＜（）（∙，那么函数）（xfy=在区间[a,b]上有唯一零点四、定理的证明思路为了证明这个定理，我们可以采用反证法结合连续函数的性质进行证明。

这里简要说明证明思路：假设：假设在开区间(a,b)内不存在零点，即对于所有x∈(a,b)，都有f(x)≠0。

分类讨论：若f(x)在(a,b)内恒大于0或恒小于0，则与f(a)f(b)<0矛盾。

若f(x)在(a,b)内既有大于0的部分也有小于0的部分，则根据连续函数的介值性，存在某个点c∈(a,b)使得f(c)=0，与假设矛盾。

结论：因此，假设不成立，原命题得证。

五、零点个数的判断1、零点个数的定义对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x的个数即为该函数的零点个数。

从图象上看，函数的零点个数就是y=f(x)的图象与x轴交点的个数。

2、零点个数判断的主要方法（1）代数法解方程：最直接的方法是解方程f(x)=0。

如果方程可以求解，那么其解的个数即为函数的零点个数。

这种方法适用于能够直接求解的方程，如一元二次方程、一元一次方程等。

因式分解：对于多项式函数，可以通过因式分解将函数化为几个因式的乘积形式，然后令每个因式等于零，解得的解即为函数的零点。