离散数学07

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《离散数学》第七章图的基本概念讲稿

7.1 无向图及有向图一、本节主要内容无向图与有向图顶点的度数握手定理简单图完全图子图补图二、教学内容无序对: 两个元素组成的二元组（没有顺序），即无论a,b是否相同，（a,b ）＝（b, a ）无序积: A与B 为两个集合，A&B={(x,y) |x∈A∧y∈B}例A={a1, a2}, B={b1, b2}A&B={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 )}A&A={(a1 , a1 ), (a1 , a2 ) ,(a2 , a2 )}多重集合: 元素可以重复出现的集合无向图与有向图定义无向图G=<V,E>, 其中(1) V∅≠为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如, G=<V,E>如图所示,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}定义无向图G=<V,E>, 其中(1) V≠∅为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如, G=<V,E>如图所示,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 无向图与有向图(续)定义有向图D=<V,E>, 其中(1) V同无向图的顶点集, 元素也称为顶点(2) E为V⨯V的多重子集，其元素称为有向边，简称边.用无向边代替D的所有有向边所得到的无向图称作D的基图右图是有向图，试写出它的V和E无向图与有向图(续)通常用G表示无向图, D表示有向图,也常用G泛指无向图和有向图,用ek表示无向边或有向边.V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集.n 阶图: n个顶点的图有限图: V, E都是有穷集合的图零图: E=∅平凡图: 1 阶零图顶点和边的关联与相邻定义设ek=(vi, vj)是无向图G=<V,E>的一条边, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联.若vi ≠ vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1;若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关联次数为2;若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.定义设无向图G=<V,E>, vi,vj∈V,ek,el∈E,若(vi,vj) ∈E, 则称vi,vj相邻;若ek,el至少有一个公共端点, 则称ek,el相邻.对有向图有类似定义. 设ek=〈vi,vj〉是有向图的一条边, vi,vj是ek端点,又称vi是ek的始点, vj是ek的终点,vi邻接到vj, vj邻接于vi.邻域和关联集设无向图G , v ∈V(G)v 的邻域 N(v)={u|u ∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u ≠v} v 的闭邻域 = N(v)∪{v} v 的关联集 I(v)={e|e ∈E(G)∧e 与v 关联} 设有向图D, v ∈V(D)v 的后继元集 ={u|u ∈V(D)∧<v,u>∈E(G)∧u ≠v}v 的先驱元集 ={u|u ∈V(D)∧<u,v>∈E(G)∧u ≠v}v 的邻域v 的闭邻域顶点的度数设G=<V ,E>为无向图, v ∈V,v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点的次数之和悬挂顶点: 度数为1的顶点悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 G 的最大度∆(G)=max{d(v)| v ∈V} G 的最小度δ(G)=min{d(v)| v ∈V} 例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, ∆(G)=4, δ(G)=1,v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环顶点的度数(续)设D=<V ,E>为有向图, v ∈V,v 的出度d+(v): v 作为边的始点的次数之和 v 的入度d -(v): v 作为边的终点的次数之和 v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v)D 的最大出度∆+(D), 最小出度δ+(D) 最大入度∆-(D), 最小入度δ-(D) 最大度∆(D), 最小度δ(D) 例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,∆+(D)=4, δ+(D)=0, ∆-(D)=3, δ-(D)=1, ∆(D)=5, δ(D)=3. 图论基本定理——握手定理定理任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.)(v N )(v D +Γ)(v D -Γ)()()(v v v N D D D -+ΓΓ= }{)()(v v N v N D D =证 G 中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G 中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m 度.有向图的每条边提供一个入度和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数. 握手定理(续)推论在任何无向图和有向图中，度为奇数的顶点个数必为偶数. 证设G=<V,E>为任意图，令 V1={v | v ∈V ∧d(v)为奇数} V2={v | v ∈V ∧d(v)为偶数}则V1∪V2=V, V1∩V2=∅，由握手定理可知∑∑∑∈∈∈+==21)()()(2V v V v Vv v d v d v d m由于2m,∑∈2)(V v v d 均为偶数，所以 ∑∈1)(V v v d 也为偶数, 但因为V1中顶点度数都为奇数，所以|V1|必为偶数.图的度数列设无向图G 的顶点集V={v1, v2, …, vn} G 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数序列:4,4,2,1,3设有向图D 的顶点集V={v1, v2, …, vn} D 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D 的出度序列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D 的入度序列: d -(v1), d -(v2), …, d -(vn) 如右图度数序列:5,3,3,3出度序列:4,0,2,1 入度序列:1,3,1,2 握手定理的应用例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗? 解不可能. 它们都有奇数个奇数.例2 已知图G 有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G 至少有多少个顶点? 解设G 有n 个顶点. 由握手定理, 4⨯3+2⨯(n-4)≥2⨯10 解得 n ≥8握手定理的应用(续)例3 给定下列各序列,哪组可以构成无向图的度数序列 (2,2,2,2,2) (1,1,2,2,3) (1,1,2,2,2) (1,3,4,4,5)多重图与简单图定义(1) 在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的条数称为重数.(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称平行边, 平行边的条数称为重数.(3) 含平行边的图称为多重图.(4) 既无平行边也无环的图称为简单图.注意:简单图是极其重要的概念多重图与简单图(续)例如e5和e6 是平行边重数为2不是简单图e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7不是平行边不是简单图图的同构定义设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(有向图), 若存在双射函数f: V1→V2, 使得对于任意的vi,vj∈V1,(vi,vj)∈E1（<vi,vj>∈E1）当且仅当(f(vi),f(vj))∈E2（<f(vi),f(vj)>∈E2），并且,(vi,vj)（<vi,vj>）与(f(vi),f(vj))（<f(vi),f(vj)>）的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1≅G2.图的同构(续)几点说明：图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.能找到多条同构的必要条件, 但它们都不是充分条件:①边数相同，顶点数相同②度数列相同(不计度数的顺序)③对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等若破坏必要条件，则两图不同构图的同构(续)例1 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图例2 判断下述每一对图是否同构:(1)度数列不同不同构例2 (续)(2)不同构入(出)度列不同度数列相同但不同构为什么?完全图与正则图n阶无向完全图Kn: 每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ∆=δ=n-1n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1), ∆=δ=2(n-1),∆+=δ+=∆-=δ-=n-1n阶k正则图: ∆=δ=k 的n阶无向简单图简单性质: 边数m=nk/2完全图与正则图(续)(1) 为5阶无向完全图K5(2) 为3阶有向完全图(3) 为彼得森图, 它是3 正则图子图定义设G=<V,E>, G '=<V ',E '>是2个图(1) 若V '⊆V且E '⊆E, 则称G '为G的子图, G为G '的母图, 记作G '⊆G(2)若G '⊆G且G '≠ G（即V '⊂V 或E '⊂E），称G '为G的真子图(3) 若G '⊆G 且V '=V，则称G '为G的生成子图(4) 设V '⊆V 且V '≠∅, 以V '为顶点集, 以两端点都在V '中的所有边为边集的G的子图称作V '的导出子图，记作G[V '](5) 设E '⊆E且E '≠∅, 以E '为边集, 以E '中边关联的所有顶点为顶点集的G的子图称作E '的导出子图, 记作G[E ']子图(续)例画出K4的所有非同构的生成子图补图定义设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G≅G.若G ≅ G , 则称G 是自补图.例画出5阶7条边的所有非同构的无向简单图首先，画出5阶3条边的所有非同构的无向简单图然后，画出各自的补图7.2 通路、回路与图的连通性一、本节主要内容简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路无向连通图, 连通分支弱连通图, 单向连通图, 强连通图点割集与割点边割集与割边(桥) 二、教学内容通路与回路定义给定图G=<V ,E>（无向或有向的），设G 中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…elvl ，(1) 若∀i(1≤i ≤l), vi -1 和 vi 是ei 的端点(对于有向图, 要求vi -1是始点, vi 是终点), 则称Γ为通路, v0是通路的起点, vl 是通路的终点, l 为通路的长度. 又若v0=vl ，则称Γ为回路. (2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称作圈.(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路). 通路与回路(续) 说明:在无向图中，环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度≥3; 在有向简单图中, 所有圈的长度≥2. 通路与回路(续)定理在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于等于n -1的通路.推论在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通121212G G G G G G ≅≅例设与均为无向简单图，当且仅当路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的初级通路.定理在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度小于等于n的回路.推论在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.无向图的连通性设无向图G=<V,E>,u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通.连通关系R={<u,v>| u,v ∈V且u~v}是V上的等价关系连通图: 平凡图, 或者任意两点都连通的图连通分支: V关于R的等价类的导出子图设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的连通分支, 其个数记作p(G)=k.G是连通图⇔ p(G)=1短程线与距离u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路(u与v连通)u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.性质：d(u,v)≥0, 且d(u,v)=0 ⇔ u=vd(u,v)=d(v,u)（对称性）d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w) （三角不等式)点割集记G-v: 从G中删除v及关联的边G-V': 从G中删除V'中所有的顶点及关联的边G-e : 从G中删除eG-E': 从G中删除E'中所有边定义设无向图G=<V,E>, 如果存在顶点子集V'⊂V, 使p(G-V')>p(G)，而且删除V'的任何真子集V''后（∀ V''⊂V'），p(G-V'')=p(G), 则称V'为G的点割集. 若{v}为点割集, 则称v为割点.点割集(续)例{v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点.{v2,v5}是点割集吗？边割集定义设无向图G=<V,E>, E'⊆E, 若p(G-E')>p(G)且∀E''⊂E',p(G-E'')=p(G), 则称E'为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？几点说明：Kn无点割集n阶零图既无点割集，也无边割集.若G连通，E'为边割集，则p(G-E')=2若G连通，V'为点割集，则p(G-V')≥2有向图的连通性设有向图D=<V,E>u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的.可达具有自反性和传递性D弱连通(连通): 基图为无向连通图D单向连通: ∀u,v∈V，u可达v 或v可达uD强连通: ∀u,v∈V，u与v相互可达强连通⇒单向连通⇒弱连通有向图的连通性(续)例下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通有向图的短程线与距离u到v的短程线: u到v长度最短的通路(u可达v)u与v之间的距离d<u,v>: u到v的短程线的长度若u不可达v, 规定d<u,v>=∞.性质：d<u,v>≥0, 且d<u,v>=0 ⇔ u=vd<u,v>+d<v,w> ≥d<u,w>注意: 没有对称性7.3 图的矩阵表示一、本节主要内容无向图的关联矩阵有向图的关联矩阵有向图的邻接矩阵有向图的可达矩阵二、教学内容无向图的关联矩阵定义设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n⨯m为G的关联矩阵，记为M(G).定义设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n⨯m为G的关联矩阵，记为M(G).性质关联次数为可能取值为0，1，2有向图的关联矩阵定义设无环有向图D=<V ,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令则称(mij)n ⨯m 为D 的关联矩阵，记为M(D). 性质:有向图的邻接矩阵定义设有向图D=<V ,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令 )1(ij a 为顶点vi 邻接到顶点vj 边的条数，称()1(ij a )n ⨯n 为D 的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. 1110001110()1001200000M G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1100010111()0000101110M D -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦平行边的列相同)4(2)3(),...,2,1()()2(),...,2,1(2)1(,11mm n i v d m m j m ji ijimj ijni ij =====∑∑∑==(1)1(1)1(1)(),1,2,...,(2)(),1,2,...,nij i j n ij ji a d vi n a d v j n+=-=====∑∑性质D 中的通路及回路数定理设A 为n 阶有向图D 的邻接矩阵, 则Al(l ≥1)中元素)(l ij a 为D 中vi 到vj 长度为 l 的通路数， )(l ii a 为vi 到自身长度为 l 的回路数，∑∑==n i nj l ija11)( 为D 中长度为 l 的通路总数，∑=ni l iia1)( 为D 中长度为 l 的回路总数.D 中的通路及回路数(续)推论设Bl=A+A2+…+Al(l ≥1), 则Bl 中元素为D 中长度小于或等于l 的通路数，为D 中长度小于或等于l 的回路数. 例有向图D 如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答问题：(1) D 中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？ (2) D 中长度小于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？12100010()00010010A D ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有向图的可达矩阵定义设D=<V ,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令称(pij)n ⨯n 为D 的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P. 性质:P(D)主对角线上的元素全为1.D 强连通当且仅当P(D)的元素全为1. 有向图的可达矩阵(续)例右图所示的有向图D 的可达矩阵为7.4 最短路径及关键路径一、本节主要内容最短路关键路线二、教学内容对于有向图或无向图G 的每条边，附加一个实数w(e)，则称w(e)为边e 上的权. G 连同附加在各边上的实数，称为带权图.设带权图G=<V,E,W>,G 中每条边的权都大于等于0.u,v 为G 中任意两个顶点，从u 到v 的所有通⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101110111110001P路中带权最小的通路称为u 到v 的最短路径.求给定两个顶点之间的最短路径，称为最短路径问题. 算法：Dijkstra(标号法){}()*()*1()*()()1()*1.2./5.i r r i i i i ir i r r j j j j j r i r v l v v v l v r p l l v v v l v r l v v p r T V r ∞==-j ij r r 如果顶点与v 不相邻，则w =为顶点到顶点最短路径的权，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了标号（永久性标号）3.为顶点到顶点最短路径的权的上界，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了t 标号（临时性标号）4.P 已经获得标号为第步通过集P 为第步未通过集例：求图中v0与v5的最短路径(0)*000(0)0(1)*(0)(1)*1010100,{},T {},1,2,3,4,5{},min {},T T {}(2)T j jj i j i v T l P l w j l l l P P t ∈=======⋃=-0012345j i i i i 第步(r=0)：v 获得p 标号v v ，v ，v ，v ，v ，v 获得t 标号第1步(r=1)：(1)求下一个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标1(1)(0)(1)*(2)*(1)(2)*2121(2)(1)(2)*2min{,}{},min {},T T {}(2)T min{,}j jj iij i j iv T j j iij ll lw l l l P P t l l l w ∈=+==⋃=-=+i i i i 号：第2步(r=2)：(1)求下一个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标号：2.关键路径问题,(){/,}(){/,}D D D V E v V v x x V v x E v v x x V x v E v +=<>∈Γ=∈∧<>∈Γ=∈∧<>∈－设为一个有向图，，则为的后继元集为的先继元集定义：PERT 图设D=<V ,E,W>是n 阶有向带权图1. D 是简单图2. D 中无环路3. 有一个顶点出度为0，称为发点；有一个顶点入度为0，称为收点4. 记边<vi, vj>的权为wij,它常常表示时间1. 最早完成时间：自发点v1开始，沿最长路径（权）到达vi 所需时间，称为vi 的最早完成时间，记为TE （vi ），i=1,2,…,nj 1i i j ij v ()234567TE(v )=0,v (1)TE(v )={(v )+w },1,2,,max TE(v )=max{0+1}=1;TE(v )=max{0+2,1+0}=2;TE(v )=max{0+3,2+2}=4;TE(v )=max{1+3,4+4}=8;TE(v )=max{2+4,8+1}=9;TE(v )=max{1+4,2+D i v i TE i n-∈Γ≠=显然的最早完成时间按如下公式计算：813784}=6;TE(v )=max{6+6,9+1}=12;v v v v 关键路径：从发点到收点的一条最长路径，2. 最晚完成时间：在保证收点vn 的最早完成时间不增加的条件下，自发点v1最迟到达vi 所需时间，称为vi 的最晚完成时间，记为TL （vi ）.j n n i i j ij v ()876543TL(v )=TL(v ),v ()TL(v )={(v )-w },1,2,,min TL(v )=12;TL(v )=min{12-6}=6;TL(v )=min{12-1}=11;TL(v )=min{11-1}=10;TL(v )=min{10-4}=6;TL(v )=min{6-2,11-4,6-4}=2;TL(D i v i n TL i n∈Γ≠=＋显然的最晚完成时间按如下公式计算：21v )=min{2-0,10-3,6-4}=2;TL(v )=min{2-1,2-2,6-3}=0;3. 缓冲时间：TS(vi)=TL(vi)- TE(vi) TS(v1)= TS(v3)= TS(v7)= TS(v8)=0 TS(v2)=2-1=1; TS(v4)=6-4=2; TS(v5)=10-8=2; TS(v6)=11-9=2。

离散数学公式及重要知识点

离散数学公式及重要知识点
这里谈论的是离散数学，一门用来探索和研究计算机科学领域中有限集合之间相互关系和操作的数学学科。

它包括概率，组合学，图论，算法理论和程序设计等。

它与连续数学有明显的不同，可以更好地应用到实际的计算机问题中。

离散数学的重要概念包括：基本集合操作，关系和函数，算法，图和树，定理证明，集合论和元素的结构，组合，概率和统计学等。

基本集合操作是离散数学中最重要的概念，它既用于描述有限的项目集，也用于描述和表达集合内部元素之间的关系。

比如，一个集合中元素之间的加法可以表示为一个总和。

算法是离散数学中不可或缺的概念，它是一组步骤，用来解决特定问题。

它们有助于模拟解决实际问题的过程，帮助计算机完成指定任务，并解决特定类型的概率问题。

例如，有一个算法可以确定一小时内最多可以完成多少份工作。

图是另一个离散数学的重要概念，它利用节点和边来表示元素之间的关系。

它们可以用来模拟物理和社会网络/关系，以及实现特定的算法和搜索引擎。

每个节
点都代表一种实体，边表示实体之间的关系。

定理证明是离散数学中另一个非常重要的概念。

它涉及在一定条件下确定假设的真伪，定理有助于发现特定类型的解决方案，特别是那些可以在数学问题中使用的解决方案，这也是离散数学如此重要的原因之一。

离散数学有着多种重要的概念和应用，被用于许多不同的领域。

它的理论和实践得到了计算机科学家们的使用，并成功地应用于操作系统，多媒体，自动导航，视觉计算，建模和可视化，信息安全等。

离散数学第七章第三节

存在行序和列序的差异。
e1 e2 e3 e4 e5 e6
v1
1
10
011
M
(G )
v2
v v
3 4
1 0 0
11 0 01 1 0 01
0 0 1
0 1 0
v5 0 0 0 0 0 0
13
3、关联矩阵(3)
定义 4 设 G=<V,E> 为简单有向图， V={v1,v2,…vp} ， E={e1,e2,…eq}，定义矩阵M(G)=(mij)pq,其中
0 2 1 2
A3
0
0
12 21
2
2
0 2 0 1
0 1 11
A2
0
0
2 1
0 1
1
1
0 0 1 1
0 3 2 3
A4
0
0
4 3
13
2
3
0 1 2 2
17
第7-3讲作业
P300 1， 2
18
离散数学第七章第三节
1、邻接矩阵（1）
定义1 设G=<V,E>简单图,它有n个结点v1, v2,…vnV，则n阶方阵A(G)=(aij)称为G的邻接矩阵，这里
aij 1 0
vi邻v接 j vi不邻 vj或 i接 j
例如，左下图的邻接矩阵列于右侧：
0 1 0 0
A(G ) 0
0
1
1
1 1 0 1
证明思路分析(续)：计算连结vi与vj长度为3的路径的数目，注意从vi到vj长度为3的路径可视为从vi 到中间结点vk长度为1 的路径，再加上从vk到vj长度为2的路径，所以从vi到vj长度为 3的路径的数目等于

离散数学第七讲

康托尔(Cantor)9 3.1 集合的基本概念集合、元素、子集、包含、集合相等、真子集、空集、幂集、全集9 3.2 集合的基本运算并集、交集、相对补集、绝对补集、对称差、文氏图、算律、9 3.3 集合中元素的计数基数、有(无)穷集、包含排斥原理3.1 集合的基本概念9把具有共同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个集合。

9由确定的相互区别的一些对象组成的整体称为集合。

9可确定的可分辨的事物构成的整体。

例：教室内的桌椅、图书馆的藏书、全国的高等学校、自然数的全体、直线上的点、26个英文字母3.1 集合的基本概念集合的元素(member或element)9集合内的对象或单元称为元素。

9集合通常用大写英文字母标记。

例如，N代表自然数集合（包括0），Z代表整数集合，Q代表有理数集合，R代表实数集合，C代表复数集合。

趣味思考9任意自然数都可以表示为两个自然数的平方差吗?9请严谨、详细分析说明。

3.1 集合的基本概念集合的表示法列举法将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征。

例如：V={a,e,i,o,u} 或B={1,4,9,16,25,36……}。

描述法通过描述集合中元素的共同特征来表示集合。

例如：V= {x| x是元音字母}B={x| x=a2, a是自然数}C= {x| x∈Z ∧3<x≤6}，即C={4,5,6}3.1 集合的基本概念集合的表示9元素a属于集合A，记作a ∈A。

9元素a不属于集合A ，记作a ∉A3.1 集合的基本概念3.1 集合的基本概念集合的特征9确定性：任何一个对象，或者是这个集合的元素，或者不是，二者必居其一。

例如：A={x| x∈N ∧x<100}，C={x| x是秃子}9互异性：集合中任何两个元素都是不同的，即集合中不允许出现重复的元素。

例如：集合A={a,b,c,c,b,d}，应该是A={a,b,c,d}3.1 集合的基本概念集合的特征9无序性：集合与其中的元素的顺序无关。

离散数学第七章的课件

第七章二元关系
主要内容有序对与笛卡儿积二元关系的定义与表示法关系的运算关系的性质关系的闭包等价关系与划分偏序关系
1
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y(允许x = y)，按照一定的顺序组成的二元组称为有序对或序偶，记作<x,y>. 其中，x是它的第一个元素，y是它的第二个元素。
0 1 0 0
0 1 0 0
13
题目 A={a, b, c, d}, R={<a, a>,<a, b>,<a, c>,<b, a>,<d, b>}, R的关系矩阵 MR 和关系图 GR 如下：
1 1 MR 0 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 0 0 0
9
实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
c
d
14
7.3 关系的运算
关系的基本运算（7种）定义7.6 设R是二元关系。（1）R中所有的有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，记作 domR，形式化表示为 domR = { x | y (<x,y>R) } （2）R中所有的有序对的第二元素构成的集合称为 R的值域，记作ranR，形式化表示为 ranR = { y | x (<x,y>R) } （3）R的定义域和值域的并集称为R的域，记作fldR，形式化表示为 fldR = domR ranR

离散数学第7章PPT课件

3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路简单通路复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1：设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2：设D V, E 为有向图，
第36页/共94页

离散数学任务7答案

离散数学作业2离散数学图论部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。

本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成并上交任课教师（不收电子稿）。

并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。

一、单项选择题1．设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100，则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．4答 D2．设图G ＝<V , E >，则下列结论成立的是 ( )． A ．deg(V )=2∣E ∣ B ．deg(V )=∣E ∣ C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ D ．E v Vv =∑∈)deg(答 C （握手定理）3．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( )．A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的答 A （有一条经过每个结点的回路）4．给定无向图G 如右图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（）．A ．{b , d }B ．{d }C ．{a , c }D ．{b , e } 答 B5．图G 如右图所示，以下说法正确的是( )． A ．{(a , c )}是割边 B ．{(a , c )}是边割集 C ．{(b , c )}是边割集 D ．{(a, c ) ,(b, c )}是边割集答 D6．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点答 D7．若G 是一个欧拉图，则G 一定是( )．A ．平面图B ．汉密尔顿图C ．连通图D ．对偶图答 C8．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 答 A （欧拉公式：v -e +r = 2）9．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树．A ．1m n -+B ．m n -C ．1m n ++D ．1n m -+ 答 A （n 个结点的连通图的生成树有1n -条边，必须删去(1)m n --条边） 10．已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为（）．A ．8B ．5C ．4D ．3 解这棵无向树T 有7条边，所有结点的度数之和为14，而4度、3度、2度的分支点各一个共3个结点占用了9度，所以剩下的5个结点占用5度，故有5片树叶．答 Bο a οο οο b c de 5题图 a b dc eο ο ο ο ο 4题图二、填空题1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是．解设G有x条边，则由握手定理，112233442x⨯+⨯+⨯+⨯=，15x=答152．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是．答{f}、{c,e}3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则G的结点等于边数的两倍．答的度数之和4．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度．答等于出度5．设G=<V，E>是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于，则在G中存在一条汉密尔顿路．答n-16．设无向图G＝<V，E>是汉密尔顿图，则V的任意非空子集V1，都有≤∣V1∣．答W(G-V1)7．设完全图Kn 有n个结点(n≥2)，m条边，当时，Kn中存在欧拉回路．答n为奇数8．设图G=<V,E>，其中|V|=n，|E|=m．则图G是树当且仅当G是连通的，且m=．答n-19．连通无向图G有6个顶点9条边，从G中删去条边才有可能得到G的一棵生成树T．答 410．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = ．答4（定理5.2.1：(m-1)i=t-1）三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．(1) 如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．解错误．只有当G是连通图且其结点度数均为偶数时，图G才存在一条欧拉回路．(2) 图G1，(如下图所示) 是欧拉图．解正确．图G1是连通图，有4个2度结点，2个4度结点，即图G1的结点全是偶数度结点，所以是欧拉图．2．图G2（如下图所示）不是欧拉图而是汉密尔顿图．解正确．图G2有4个3度结点a，b，d，f，所以图G2不是欧拉图．图G2有汉密尔顿回路abefgdca，所以图G2是汉密尔顿图．3．(1) 设G是一个有7个结点16条边的连通简单图，则G为平面图．(2) 设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．解（1）错误．由定理4.3.3知，若G有v个结点e条边，且v≥3，则e≤3v-6．但本题中，16≤3×7-6不成立．（2）正确．由欧拉定理，连通平面图G的结点数为v，边数为e，面数为r，则v-e+r=2．于是有r=2-v+e=2-6+11=7．4．下图给出的树是否同构的．解图(a)有一个4度结点，图(b)、(c)没有4度结点，所以图(a)不与图(b)、(c)同构；在图(b)、(c)中标上结点标号，如下图，建立从图(b)结点到图(c)结点的映射() (1,2,3,4,5)i i f b c i ==，则f 是同构双射，所以图(b )与图(c )同构．四、计算题1．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵；(3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．解（1）G 的图形为：（2）图G 的邻接矩阵为：0010000110110110110100110A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）图G 的每个结点的度数为：1deg()1v =，2deg()2v =，3deg()4v =，4deg()3v =，5deg()2v =．（4）图G 的补图为：2．图G =<V , E >，其中V ={a , b , c , d , e , f }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ), (d , f ), (e , f ) }，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．(1) 画出G 的图形； (2) 写出G 的邻接矩阵； (3) 求出G 权最小的生成树及其权值．解（1）G 的图形如左下图：（2）G 的邻接矩阵为：011010100110100010010011111101000110A ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭（3）图G 有6个结点，其生成树有5条边，用Kruskal 算法求其权最小的生成树T ：第1步，取具最小权1的边(a ,e )；第2步，取剩余边中具最小权1的边(c ,e )；第3步，取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权2的边(b ,d )；第4步，取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权3的边(d ,f )；第5步，取剩余边中不与前4条边构成回路的具最小权5的边(a ,b )．所求最小生成树T 如右下图，其权为()1123512W T =++++=．3．已知带权图G 如右图所示．(1) 求图G 的最小生成树； (2)计算该生成树的权值．解（1）图G 有6个结点，其生成树有5条边，用Kruskal算法求其权最小的生成树T ：第1步，取具最小权1的边；第2步，取剩余边中具最小权2的边；第3步，取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权3的边；第4步，取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权5的边；第5步，取剩余边中不与前4条边构成回路的具最小权7的边．所求最小生成树T 如右图．（2）该最小生成树的权为()1235718W T =++++=．4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．解所求最优二叉树T 如下图：所求最优二叉树T 的权为：()(23)55473172311131w T =+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=五、证明题1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．证明设,G V E =<>，,G V E '=<>．则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u V ∈，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数．由于n 是大于等于3的奇数，从而n K 的每个结点都是偶数度的（ 1 (2)n -≥度），于是若u V ∈在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．证明由定理3.1.2知，k 必为偶数．要使这k 个奇数度结点变成偶数度结点，从而使图G 变成欧拉图，可在每两个结点间添加一条边．故在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．。

离散数学第07讲

信息科学与工程学院
8
第二章谓词逻辑
为避免变元约束和自由出现引起的混淆，为避免变元约束和自由出现引起的混淆，可采用以下方法：下方法：换名：设A是一公式，将A中某个辖域中约束变元换名：是一公式，中某个辖域中约束变元的所有出现及相应的指导变元，的所有出现及相应的指导变元，改成该量词辖域中未曾出现的某个个体变项符号，中未曾出现的某个个体变项符号，公式中其它部分不变，设所得公式为A`, A`,则 A`。分不变，设所得公式为A`,则 A A`。代入：是一公式，中某个自由出现自由出现的个体代入：设A是一公式，将A中某个自由出现的个体变项所有出现用A 变项所有出现用 A 中未曾出现的个体变项符号代中其它部分不变，设所得公式为A`, A`,则替， A 中其它部分不变，设所得公式为 A`, 则 A A`。 A`。
信息科学与工程学院 2
定义2-2.1 定义由一个谓词，由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称简单命题函数。为简单命题函数。由定义可知，n元谓词可看作是有n个客体变由定义可知，元的函数。当n=0时，称为0元函数，本身元的函数。元函数，就是一个命题，故命题是 n 元谓词的特殊就是一个命题，
等意，表示个体域内所有的x 等意，符号记作∀。如：∀x 表示个体域内所有的x。
有一个” 有的” 存在” 存在量词： “ 有一个 ” 、 “ 有的 ” 、 “ 存在 ” 、 “ 至少有一个” 有一个”等，符号记作∃。如:∃y表示个体域内有的y。符号记作∃ 表示个体域内有的y
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信息科学与工程学院 18
第二章谓词逻辑
谓词演算的等价式与蕴含式
(一)：命题公式的推广，如：命题公式的推广， (1) (∀x) F(x) (∀x) F(x) (2) (∀x) (∃y)(F(x,y)→G(x,y)) (∀x) (∃y)(F(x,y)→G(x,y)) (3) (∀x) ( F(x)→G(y)) (∀x) ( F(x)∨G(y)) (4) ∀ x(F(x)→G(y))→∃z L(z) F(x) ∀ x(F(x)→G(y))∨∃z L(z) F(x) G(y))∨∃ (5) (∃y)H(x,y) ∧ (∃y)H(x,y)

离散数学07抽象代数

7.2 代数结构及其性质
定义7.1 设S是一个非空集合。如果有一个法则, 它对S中任意两个有序元素a与b, 在S中都有一个惟一确定的元素c与它们对应, 则称这个法则是集合S中一个二元代数运算。
7.2 代数结构及其性质
一般地,容易得到n元运算的定义：
设S是一个非空集合。如果有一个法则,它对S中任意n个有序元素a1, a2, „, an, 在S中都有一个惟一确定的元素d与它们对应, 则称这个法则是集合S中一个n元代数运算。
7.2 代数结构及其性质
例7.3 设*是定义在集合A上的一个n元运算, S1和S2是在A上运算*下封闭的A的子集, 则 S1∩S2在*下也是封闭的。证明对任一组元素a1, a2, „, an∈S1∩S2, 因为a1, a2, „, an∈S1, 且S1在运算*下是封闭的, 所以, *(a1, a2, „, an)∈S1, 又因为a1, a2, „, an∈S2, 且S2在运算*下也是封闭的, 所以有*(a1, a2, „, an)∈S2, 由此得知*(a1, a2, „, an)∈S1∩S2。即： S1∩S2在*下也是封闭的。
7.2 代数结构及其性质
练习1 通常数的乘法运算是否可看作下
列集合上的二元运算？请说明理由。
（1）A={1,2}
（2）B={x|x是素数}
（3）C={x|x是偶数}
（4）D={2n|n∈N}
7.2 代数结构及其性质
定义7.2 设S上有n元运算*（n为正整数）， S′S, 若对任意 a1, a2, „, an∈S′，有 *(a1, a2, „, an)∈S′, 则称S上的*运算对 S′封闭，或称为S′在*下是封闭的。
例7.4
(1)设A=｛1, 2, „, m｝, m是一个正整数。A2 到A的映射定义为：

第7章离散数学

根据逻辑蕴涵关系，命题公式： P Q R
应为永真公式，也即在任何解释下，公式的取值为真，但实际上并非如此。
此时，当P取“1”，Q取“1”，R取“0”时，
PQR 0
也就是说，命题公式P Q R不是永真公式，
即 P,Q R不能成立。所以用命题逻辑已无
法正确地描述上述情况，这就显示了命题逻辑
定义76指导变元约束变元自由变元3536?例79指出各公式的指导变元辖域约束变元和自由变元指出各公式的指导变元辖域约束变元和自由变元?1yxyqxpx??37?1?2yxyqxpx??yxyqxxp???解?1公式中的个体变元x与y是约束变元的辖域是的辖域是约束变元的辖域是的辖域x?yxyqxp?y?38是
符号化为：x(N(x) R(x))。
23
例7.8符号化下列命题： (1)有些学生要参加《离散数学》的期末
考试； (2)有的自然数是素数；
24
解:
（1）设Y (x)：x参加《离散数学》期末考试，R(x)： x是学生，则命题符号化为：x(R(x) Y(x)) 。
（2）设 N(x) ：x是自然数，P(x) ：x是素数，则命题符号化为：x(N(x) P(x)) 。
2
例子：苏格拉底三段论
前提：所有的人都是要死的；苏格拉底是人。
结论：所以，苏格拉底是要死的。显然，上述三个命题有着密切的关系，当前两
个命题为真时，第三个命题必定是真。换言之，在命题逻辑中，
设P：所有的人都是要死的； Q：苏格拉底是人； R：苏格拉底是要死的。
3
则苏格拉底三段论符号化为： P,Q R
A(x)
16
17
定义7.4命题函数
7.1.2 量词
19
练习

离散数学的基本概念和运算

离散数学的基本概念和运算离散数学是数学的一个重要分支，它研究离散结构和离散对象之间的关系。

与连续数学不同，离散数学关注的是离散的、离散的事物，如整数、图形、逻辑、集合等。

在计算机科学、信息技术以及其他许多领域中，离散数学都担当着重要的角色。

本文将介绍离散数学的一些基本概念和运算，以帮助读者更好地理解和应用离散数学。

一、集合论集合论是离散数学的基石之一，它研究集合以及集合之间的关系和运算。

集合是指一组元素的事物的整体，元素可以是任何事物，比如数字、字母、人或其他对象。

常见的集合运算有并集、交集、差集和补集等。

并集表示两个或多个集合中的所有元素的集合，交集表示同时属于两个或多个集合的元素的集合，差集表示从一个集合中减去另一个集合的元素的集合，补集表示在给定参考集合中不属于某个特定集合的元素的集合。

二、逻辑逻辑是离散数学的另一个重要内容，它研究命题、逻辑运算和推理。

在离散数学中，命题是指能够判断真假的陈述句。

逻辑运算包括与、或、非、异或等。

与运算表示两个命题同时为真时结果为真，或运算表示两个命题中至少有一个为真时结果为真，非运算表示对命题的否定，异或运算表示两个命题中仅有一个为真时结果为真。

推理是利用逻辑规则从已知命题中得出新的结论的过程，常见的推理方法有直接证明、反证法和归纳法。

三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究由节点和边组成的图形结构。

图形是由节点（或顶点）和边组成的抽象化模型，节点表示某个对象，边表示节点之间的关系。

图论研究图形的性质、特征和算法。

常见的图形类型有无向图和有向图，无向图的边没有方向，有向图的边有方向。

图形的表示方法有邻接矩阵和邻接表等。

在计算机科学中，图论广泛应用于网络、路径规划、数据结构等领域。

四、代数系统代数系统是离散数学中的另一个重要概念，它研究运算规则和运算对象之间的关系。

代数系统包括集合、运算和运算规则。

常见的代数系统有代数结构、半群、群、环、域等。

代数结构是指由一组元素和一组运算构成的系统，运算可以是加法、乘法或其他操作。

离散数学第7章格

4
2
3
7．2
格及其性质
1．格的定义
定义7-4
设<L；≤>是一个偏序集，如果L中任
意两个元素都存在着最大下界和最小上界，则称<L；≤> 是格. 在格上定义两个二元运算“˄” 和 “˅” 如下：
l1˄ l2=glb(l1, l2), l1˅ l2=lub(l1, l2). 因此 <L；≤>是一个格意味着 <L；≤> 也是一个形为<L； ˄ ,˅>的代数系统，其中˄和˅是L上的两个二元运算，对于任意l1，l2 L ， l1˅ l2表示在偏序“≤”意义下， l1 和l2的最小上界， l1˄ l2表示l1和l2的最大下界.
l1 ≤ l 1 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1')
若 l1 ≤ l2 , l2 ≤ l1, 则 l1= l2 若 l1 ≤ l2 , l2 ≤ l3, 则 l1 ≤ l3 l1 ≥ l1
若 l1 ≥ l2 , l2 ≥ l1 , 则 l1 = l2
若 l1 ≥ l2 , l2 ≥ l3, 则 l1 ≥ l3
非分配格非有补格75布尔代数布尔代数的定义定义710如果一个格是有补分配格则称其为布尔代数一般记作具有如下性质对于b中任意元素上定义的集合的并交和补运算与称作集合代数它是一个布尔代数
第7章格和布尔代数
7.1 偏序集
7.2 格及其性质 7.3 格是一种代数系统 7.4 分配格和有补格 7.5 布尔代数
可以证明关系 ≤ 是 L 上的自反，反对称和可传递
的关系，因此 ≤ 是 L 上的偏序关系. 进一步还可以证明，对任意 l1 , l2 L ， l1 ∨ l2 是在偏序关系 ≤ 意义下 l1 和 l2 的最小上界， l1 ∧ l2 是 l1

离散数学7[1].1-3

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定理
定理一个连通无向图G =〈V,E〉的某一点v是图G的割点，当且仅当存在两个节点u和w，使得节点u和w的每一条路都通过v。
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三、有向图的连通性
三、有向图的连通性定义设G＝<V，E>是一个有向图，对vi，vjV，从vi到vj如
存在一条路，则称结点vi到vj是可达的。在有向图中，如从vi到vj可达，但从vj到vi则不一定是可达的。
3) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和vj称为邻接点，否则称为不邻接的；
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2
续：
续： 4) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边； 5) 图中关联同一个结点的边称为自回路(或环)； 6) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点； 7) 仅由孤立结点组成的图称为零图； 8) 仅含一个结点的零图称为平凡图； 9) 含有n个结点、m条边的图称为(n，m)图；
证明若G不连通，则k(G)=λ(G)=0，故上式成立。若G连通， ①证明λ(G)≤δ(G)。若G是平凡图，则λ(G)=0≤δ(G)，若
G是非平凡图，则因每一结点的所有关连边必含一个边割集，故λ(G)≤δ(G)。
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续：
②再证k(G)≤λ(G) .设λ(G)=1，即G有一割边，显然此时k(G)=1，上式成立。 .设λ(G)≥2，则必可删去某λ(G)条边，使G不连通，而删除λ(G)-
δ(G)最小度，Δ(G)最大度
定义在图G＝<V，E>中，对任意结点vV，若度数deg(v)为奇数，则称此结点为奇度数结点，若度数deg(v)为偶数，则称此结点为偶度数结点。