八年级数学下册1.3线段的垂直平分线和线段垂直平分线相关的作图问题素材北师大版教案

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北师大版八年级下册数学《1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线及作图》教案

北师大版八年级下册数学《1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线及作图》教案一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.3 第2课时三角形三边的垂直平分线及作图》这一节，主要让学生掌握三角形三边的垂直平分线的性质，并学会如何作图。

这部分内容在几何学中占有重要地位，是进一步学习其他几何知识的基础。

二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了线段的垂直平分线性质，对垂直平分线的概念和性质有一定的了解。

但如何将这些性质应用到三角形中，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的线段性质扩展到三角形，并理解其内在联系。

三. 教学目标1.理解三角形三边的垂直平分线的性质。

2.学会如何作三角形的垂直平分线。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.三角形三边的垂直平分线的性质。

2.如何作三角形的垂直平分线。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法进行教学。

通过问题引导学生思考，案例分析让学生理解性质，小组合作让学生动手实践，巩固知识。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片。

2.准备PPT，展示教学内容和案例。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习线段的垂直平分线性质，引导学生思考如何将这一性质扩展到三角形。

2.呈现（10分钟）利用PPT展示三角形三边的垂直平分线的性质，以及如何作图。

通过案例分析，让学生理解并掌握性质。

3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选择一个三角形，试着画出其三边的垂直平分线。

然后各组汇报成果，互相交流。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目可以包括判断题、选择题和填空题，以巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：垂直平分线在实际生活中的应用。

可以举例说明，如在建筑设计中，如何利用垂直平分线来确定建筑物的对称轴等。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调三角形三边的垂直平分线的性质和作图方法。

1.3 线段的垂直平分线课件(共42张PPT)数学北师大版八年级下册

感悟新知
知识点 2 线段垂直平分线的判定定理
知2－讲
1. 判定定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 . 条件：点到线段两个端点距离相等 . 结论：点在线段的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言如图 1-3-3， ∵ AB=AC， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上 .
感悟新知
2. 几何语言如图 1-3-1， ∵ AD ⊥ BC 于 D， BD=CD， ∴ AB=AC.
知1－讲
感悟新知
知1－讲
3. 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别联系：两者都可以直接得到两条线段相等 . 区别：前者指的是点到点的距离，后者指的是点到直线的距离 .
感悟新知
知4－练
感悟新知
知4－练
(2)用尺规作 BC 边的垂直平分线.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示，直线MN即为所求．
性质判定
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线
三角形三条边的垂直平分线
∴线段 AD 所在的直线是线段 EF 的垂直平分线 .
感悟新知
知2－练
教你一招：判定线段垂直平分线的两种方法：一是定义法，二是判定定理 . 一般习惯用定义法进行判定，而利用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等 .
感悟新知
知2－练
2-1.如图， AB=AD，BC=DC，点 E 是 AC上一点 . 求证： (1) BE=DE；
感悟新知
解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化 .
知1－练
解： ∵ DE 为 BC 的垂直平分线，∴ CD=BD. ∴ △ ACD 的周长 =AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8 cm. ∵ AB=5 cm，∴ AC=3 cm.

第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的的性质与判定北师大版八年级数学下册

无数种.
3. 下列说法：
① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则 EA＝
EB，PA＝PB； ② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB； ③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点；
④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB．其中正确的有 ①②③ （填序号）.
A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三边高线的交点 D.没有这样的点
3. 在△ABC 中，AB 的中垂线与 AC 边所在直线相交所得的锐角为 50°，则∠A 的
度数为（ C）
A. 50°
B. 40°
C. 40°或140°
D. 40°或50°
4. 已知：如图，在△ABC 中，边 AB、
P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． P3
P1A _＝___P1B
P2 P1
P2A __＝__ P2B
A
B
P3A __＝__ P3B
l
活动探究将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l
是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.
l
证明：∵ l⊥AB，
P
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = CB，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB (SAS)． A
C
B
∴ PA = PB．
微课——证明线段垂直平分线的性质
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总结归纳
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
练习
AA′ 沿直线 l 折叠，则点 A 与点 A′ 重合，AD = A′D，

北师大版八年级数学下册1.3线段垂直平分线线段垂直平分线的性质与判定-讲练课件-(共30张PPT)

4.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分
线上.
几何语言：
∵ AP＝BP ，
⁠
∴点P在AB的垂直平分线上．
⁠
5.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是
（D）
A.AO＝BO
B.PO⊥AB
C.PO是AB的垂直平分线
D.点P在AB的垂直平分线上
例2
如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝
∠ = ∠，
证明：在△ABM和△ABN中， = ，
∠ = ∠，
∴△ABM≌△ABN( ASA )．
∴AM＝AN，BM＝BN.
∴点A，B都落在MN的垂直平分线上．
∴AB垂直平分MN.
7．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分
线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12.
点．已知PA＝4，则线段PB的长为 4 ．
⁠
2．如图，若AC＝AD，BC＝BD，则（ B ）
A．CD垂直平分AB
B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB
D．以上均不对
3．如图，AD⊥BC于点D，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，
则AB，AC，CE的长度关系为（ D ）
A．AB＞AC＝CE
B．AB＝AC＞CE
数学(RS版)
八年级下册
第一章三角形的证明
第7课
线段垂直平分线的性质与判定
新课学习
线段垂直平分线的性质
1.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
⁠
几何语言：
∵CD是AB的垂直平分线，
∴ AC＝BC ．

八年级数学下册 1.3 线段的垂直平分线线段垂直平分线定理知识总结素材 (新版)北师大版

线段垂直平分线定理知识总结一、线段垂直平分线的性质定理文字语言符号语言图形语言线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等因为点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以PA=PBP OBA说明：1、这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

2、在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于线段，二是平分这条线段。

例题、如下图，在△ABC 中，AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长。

分析：题中给出了线段垂直平分线这个条件，所以可以考虑运用其性质定理，从而得出AE=BE ，把BE 与AE 进行等量代换，再根据△BCE 的周长及AC 的长，可求出BC 的长。

解：因为ED 是线段AB 的垂直平分线，所以BE=AE 。

因为△BCE 的周长等于50，即BE ＋EC ＋BC=50，所以AE ＋EC ＋BC=50。

又因为AE ＋EC=AC=27，所以BC=50－27=23。

二、线段垂直平分线定理的逆定理文字语言符号语言图形语言到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

因为PA=PB ，所以点P 在线段AB 的垂直平分线上。

P OBA证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法：第一种：根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的EDCBA直线，叫做这条线段的垂直平分线。

使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直二是平分；第二种：可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线。

例题1、如下图，P 为线段AB 外的一点，并且PA=PB 。

求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上。

分析：要想说明某一点在线段的垂直平分线上，可以根据线段的垂直平分线的定义来进行判断。

证明：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为点C 。

北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧记方法：点到线段两端距离相等。

可以通过全等三角形证明。

垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。

3、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直平分底边。

方法之二：1、连接这两个交点。

原理：两点成一线。

等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。

)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。

)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。

)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。

北师大版八年级数学(下)第一章线段的垂直平分线

1.3线段的垂直平分线一、知识点梳理1.线段垂直平分线性质定理：①线段垂直平分线垂直平分某条线段②线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.作图要求：掌握尺规作图做已知线段的垂直平分线4.三角形外心：三角形三条边垂直平分线的交点二、经典题型总结题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用三、解题技巧点睛1.若题目中出现“求一点到某几个点的距离相等”则可以想到运用垂直平分线的性质画出中垂线2.三角形外心也是三角形外接圆的圆心，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在三角形的斜边中点，钝角三角形的外心在三角形的外部3.求两条线短的最短距离，通常是想到过一个已知点做已知直线的对称点，连接对称点与另一个已知点的连线即为最短距离。

4.灵活运用垂直平分线逆定理解决题目四、易错点分析在运用线段垂直平分线计算周长的时候容易出现错误五、典型例题分析题型一：利用线段垂直平分线的性质求线段长例题：在△ABC中,AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于点E、D.（1）若△BCD的周长为8,求BC之长. （2）若BC=4,求△BCD的周长.题型二：利用三角形的垂直平分线的性质求角度例题：如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE=40°,则∠DBC=___∘.题型三：利用线段垂直平分线解决与周长有关问题例题：如图,在直角中,∠BAC=90∘,AB=8 ,AC=6 ,DE 是AB 边的垂直平分线,垂足为D ,交BC 于点E ,连接AE ,则△ACE 的周长为________.题型四：利用作线段垂直平分线解决实际问题例题：如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C 之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？题型五：线段垂直平分线的判定定理的应用如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：点D在AB的垂直平分线上．六、中考真题再现（2019.长沙.9题）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是A．20° B．30° C．45° D．60°（2019.江苏.15题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD 平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．七、习题巩固训练1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是（）A．15°B．20°C．65°D．100°2.如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（）A．45°B．60°C．50°D．55°3.如图，在等腰中，，，的平分线与AB的垂直平分线交于点O、点C沿EF折叠后与点O重合，则的度数是A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是______.5.如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为______.6.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．7.如图，AD和EF分别是△ABC中BC与AB垂直平分线，且BE+CE＝20cm，则AB＝．8.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．9.在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为10.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF 上一动点，则的周长的最小值为______．11.如图，某校两个班的学生分别在C，D两处参加植树活动，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个茶水供应点M，使点M到两条路的距离相等，且MD=MC，这个茶水供应点应建在何处?12.如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）根据要求用尺规作图：作斜边AB边上的高CD，垂足为D；（2）求CD的长．13.如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE（垂足为D）交BC的延长线于点E，求线段CE的长．14.如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD,BC的交点,E是AB的中点.求证:OE 是线段AB的垂直平分线.15.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线DM交AC于D，BC边的垂直平分线EN交BC于E，DM与EN相交于点F，若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．16.两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）17.尺规作图：某学校正在进行校园环境的改造工程设计，准备在校内一块四边形花坛内栽上一棵桂花树．如图，要求桂花树的位置（视为点P），到花坛的两边AB、BC的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出栽种桂花树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．18.铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.19.已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？20.已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：（1）可选择的地点有几处？（2）你能画出塔台的位置吗？21.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在AB上，且AF垂直平分CD，BG垂直平分CE（1）求∠ECD的度数；（2）若∠ACB为α，则∠ECD的度数能否用含α的式子来表示．22.已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．①求证：BE=CF；②若AF=6，BC=7，求△ABC的周长．23.如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC、∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD．。

北师大版八年级数学下册线段的垂直平分线---知识讲解(基础) 含答案解析

线段的垂直平分线----知识讲解(基础)责编：杜少波【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD 的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】（2015秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。

北师大版数学八年级下册1.3《线段的垂直平分线》教案

北师大版数学八年级下册1.3《线段的垂直平分线》教案一. 教材分析《线段的垂直平分线》是北师大版数学八年级下册第1章《几何图形及其性质》的第三节内容。

本节主要让学生掌握线段的垂直平分线的性质，并会运用这些性质解决实际问题。

教材通过引入线段的垂直平分线，引导学生探究其性质，从而培养学生的几何思维和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了线段的基本概念，如长度、中点等，并学习了直线的性质。

但学生对线段的垂直平分线可能较为陌生，因此需要通过实例让学生直观地感受和理解线段的垂直平分线的概念和性质。

三. 教学目标1.让学生理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质。

2.培养学生运用线段的垂直平分线解决实际问题的能力。

3.培养学生的几何思维和观察、操作、推理能力。

四. 教学重难点1.线段的垂直平分线的概念及其性质。

2.如何运用线段的垂直平分线解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等，引导学生观察、操作、推理，从而让学生掌握线段的垂直平分线的性质，并能运用到实际问题中。

六. 教学准备1.教学PPT或黑板。

2.线段模型或实物。

3.练习题。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节内容：在一条线段上，如何找到一个点，使得该点到线段两端点的距离相等？引导学生思考并猜测这样的点可能在线段的某个特殊位置。

呈现（10分钟）教师展示线段的垂直平分线的定义和性质，引导学生观察、操作，并解释线段的垂直平分线的意义。

通过实例让学生直观地感受线段的垂直平分线的性质。

操练（10分钟）教师给出几个练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和应用题，旨在让学生巩固线段的垂直平分线的性质，并学会运用到实际问题中。

巩固（10分钟）学生分组讨论，分享各自解题的心得体会，互相提问，教师巡回指导。

教师选取部分学生的作业进行点评，指出其优点和不足，并给予针对性的指导。

拓展（10分钟）教师引导学生思考：线段的垂直平分线在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，并引导学生运用线段的垂直平分线解决实际问题。

北师大版初二数学下册131线段垂直平分线的性质与判定习题课件附答案

(2)∠BMN＝35°.(解法同(1)) 1
(3)∠BMN＝ 2 ∠BAC. 证明：连接AM.
在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝
1 2
(180°－∠BAC)．
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM＝AM，∠BMN＝ 1 ∠BMA. 2
∴∠B＝∠BAM＝∠ACB.∴∠BMA＝∠BAC.
∴∠BMN＝
14. 如图①，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，∠A＝40°.
(1)求∠BMN的度数． (2)若∠A＝70°，如图②，其余条件不变，求∠BMN的度数． (3)你发现了什么样的规律？请证明你发现的规律． (4)若∠A为钝角，如图③，其余条件不变，你发现的规律是否需
12. 如图，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD， CB＝CD. (1)八年级王建同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ ED，你同意王建同学的判断吗？请说明理由； (2)设对角线AC＝a，BD＝b，请用含a， b的式子表示四边形ABCD的面积．
2
＝ 1 BD•AC
2
＝
1 2
ab.
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F. (1)求证：CF＝AD； (2)若AD＝2，AB＝8，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ECF＝∠ADE. ∵E为CD的中点，∴CE＝DE. 在△FEC与△AED中，
1 2
∠BMA＝
1 2
∠BAC.
(4)不需要修改．
∠FEC＝∠AED， CE＝DE， ∠ECF＝∠EDA， ∴△FEC≌△AED(ASA)． ∴CF＝AD.

八年级数学北师大版下册1.3.2线段的垂直平分线(三角形三边的垂直平分线与作图)2

A,B两点
2.做线段AB的垂直平分线
检测（8分钟） 1.下列说法错误的是 (D)
(A)三角形三条边的垂直平分线必交于一点 (B)如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离
相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边 (C)平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距
离相等 (D)三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
4.已知一条直线和直线上（外）一点，如何用尺规作图作该直线的垂线，能作几条？
过直线上一点作已知直线的垂线
m
作法：1.在直线l上截取 PA=PB
2.做线段AB的垂直平分线，则直线m⊥l，且过
点P
过直线外一点作已知直线的垂线
作法：1.以P为圆心，以大于点P到直线l的距离为半径画弧，交直线l于
三角形三条边的垂直平分线是否交于一点？
A能D证为明∠B三AC角(的3形角)三若平条分边∠线的，垂MA直E=F平AF分N，请＝判断7线0段°，求∠MCN的度数．
下列说法错误的是 ( ) 三角形三条边的垂直平分线是否交于一点？相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边已知底边及其边上的高，能用尺相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边
上，那么这个三角形一定是( D )A．锐角三角形
B．钝角三角形C．等边三角形
D．直角三角形
5．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点( D )
．只有一个
B．有两个 C．有三个或
三个以上
D．有一个或没有
6．如图，已知直线 MN 为△ABC 的边 BC 的垂直平分线．若 AB， AC 两边的垂直平分线相交于点 O，当顶点 A 的位置移动时，点 O 始
3. 已知在△ABC中,∠B=2∠C，AD⊥BC于点D，求证：CD=AB+BD

八年级下册1、3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质与判定习题新版北师大版

10．【2019·温州】如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线，E是AB边上一点，过点C作 CF∥AB，交ED的延长线于点F. (1)求证：△BDE≌△CDF；
证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F. ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD. ∴△BDE≌△CDF(AAS)．
(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
2．如图，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋DB与DE的关系是( C ) A．AB＋DB>DE B．AB＋DB<DE C．AB＋DB＝DE D．不能确定
3．【2020·呼伦贝尔】如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是( D ) A．25° B．20° C．30° D．15°
【点拨】如图所示，已知点P在线段AB外，且PA＝PB.选项 A中作∠APB的平分线PC交AB于点C，只需再证明AC＝BC 及PC⊥AB即可得到PC是线段AB的垂直平分线．故作法正确；对于“过点P作PC⊥AB于点C”①或取AB的中点C(即 AC＝BC)②，要先让所作辅助线满足①或②，再证明所作辅助线满足②或①，从而得到PC是线段AB的垂直平分线，故选项B不正确，选项C，D作法正确．【答案】B
解：∵△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF＝2. ∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3. ∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AC＝AB＝3.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，G为三角形外一点，且GB＝GC. (1)求证：AG垂直平分BC；证明：∵GB＝GC，AB＝AC， ∴点G，点A在BC的垂直平分线上．又∵两点确定一条直线， ∴AG垂直平分BC.
*4.如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB 和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是( D ) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm

北师大版八年级下册数学《1.3 第1课时线段的垂直平分线》教案

北师大版八年级下册数学《1.3 第1课时线段的垂直平分线》教案一. 教材分析《1.3 第1课时线段的垂直平分线》这一节的内容是北师大版八年级下册数学的重点内容，主要介绍了线段的垂直平分线的性质和判定方法。

通过这一节的学习，学生可以加深对线段垂直平分线的理解，为后续的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了直线、射线、线段等基础知识，对几何图形有一定的认识。

但是，对于线段的垂直平分线的性质和判定方法，他们可能还比较陌生，需要通过实例和练习来加深理解。

三. 教学目标1.理解线段的垂直平分线的定义和性质。

2.学会使用直尺和圆规作线段的垂直平分线。

3.能够运用线段的垂直平分线的性质解决实际问题。

四. 教学重难点1.线段的垂直平分线的性质和判定方法。

2.如何运用线段的垂直平分线解决实际问题。

五. 教学方法采用讲解法、演示法、练习法、问题驱动法等，通过实例和练习，引导学生理解线段的垂直平分线的性质和判定方法，培养他们的几何思维和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材、PPT、黑板、粉笔。

2.直尺、圆规、三角板。

3.练习题。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过一个实际问题引入：如何找到一条线段的垂直平分线？引导学生思考，引出本节课的主题。

2. 呈现（15分钟）讲解线段的垂直平分线的定义和性质，通过PPT展示实例和动画，让学生直观地理解线段的垂直平分线的性质。

3. 操练（15分钟）让学生分组合作，使用直尺和圆规作线段的垂直平分线，并互相检查，巩固所学知识。

4. 巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，检测他们对线段的垂直平分线的理解和掌握程度。

5. 拓展（10分钟）引导学生思考：线段的垂直平分线在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，培养他们的应用意识。

6. 小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调线段的垂直平分线的性质和判定方法。

7. 家庭作业（5分钟）布置一些练习题，让学生回家后巩固所学知识。

北师大版数学八年级下册1.3《线段的垂直平分线》说课稿

北师大版数学八年级下册1.3《线段的垂直平分线》说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册1.3《线段的垂直平分线》这一节主要介绍了线段的垂直平分线的性质和判定。

通过这一节的学习，学生能够理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质和判定方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析在八年级下册的学生已经有了一定的几何基础，他们已经学习了线段、射线、直线等基本概念，并对这些概念有了初步的理解。

但是，对于线段的垂直平分线这一概念，学生可能比较陌生，需要通过具体的实例和讲解来进行理解和掌握。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质和判定方法。

2.过程与方法：学生能够通过观察、实验、推理等方法来探索线段的垂直平分线的性质和判定方法。

3.情感态度与价值观：学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，提高对几何图形的观察和思考能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：线段的垂直平分线的性质和判定方法。

2.教学难点：线段的垂直平分线的判定方法的理解和运用。

五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。

六. 说教学过程1.引入：通过一个实际问题，引出线段的垂直平分线的概念。

2.讲解：讲解线段的垂直平分线的性质和判定方法，结合具体的实例进行讲解。

3.探索：学生分组进行实验和探索，通过观察和推理来验证线段的垂直平分线的性质和判定方法。

4.总结：学生进行总结，教师进行点评和讲解。

5.练习：学生进行练习，教师进行指导和解答。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出线段的垂直平分线的性质和判定方法。

可以采用图示和的形式进行展示。

八. 说教学评价教学评价可以通过学生的课堂表现、作业完成情况、练习的正确率等方式进行。

同时，还要关注学生的思维过程和方法，以及对几何图形的观察和思考能力的培养。

九. 说教学反思在教学过程中，要注意观察学生的反应和学习情况，及时进行调整和讲解。

北师大版八年级数学下册1.3线段的垂直平分线及作图

∴ CE=DE，CF=DF 又在△ECF和△EDF中，EF=EF ∴ △ECF ≌ △EDF（SSS） ∴ ∠ECF=∠EDF
提示:AB是线段CD的垂直平分线能带给我们哪些新的条件？
合作探究
合作探究
逆命题: 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
证明思路: 1.PA=PB能判定△PAB为何种特殊形状 2.等腰三角形 “三线合一” 3.顶角顶点P一定在线段AB的垂直平分线上
∵c，a，b分别是AB，BC，AC的垂直平分线(已知)， ∴c，a，b相交于一点P，且PA=PB=PC
aA
c
b
P
B
C
合作探究
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗? 如果能，能作出几个?所作出的三角形都全等吗? C
A
D
B
合作探究
（2）已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
1.垂直平分线的性质定理
“
“
三
二
个定
2.垂直平分线的判定定理
个作
理 ”
aA
图 ”
c
b
P
B
C
合作探究垂直平分线的判定定理
几何语言描述：如图， ∵PA=PB(已知)，
∴点P在AB的垂直平分线上
合作探究
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.
aA
观察这三条垂直平分线，你发现了什么?
结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点. c
b
如何证明这个结论呢？
P
B
C
证明思路:我们知道，两条直线相交只有一个交点。要想证明三条直线相交于一点只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.可应用垂直平分线的逆定理来证明.