2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例

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课件5：2.5.1 平面几何中的向量方法~2.5.2 向量在物理中的应用举例

(2)因为 E 为 CD 的中点，所以 E(n4，m4 )，设 F(x,0)，则A→E＝(n4，－34m)，A→F＝(x，－m)，因为 A，E，F 三点共线，所以A→F＝λA→E，即(x，－m)＝λ(n4，－34m)，
所以－x＝mn4＝λ，－34mλ，
故 λ＝43，x＝n3，即 F(n3，0)．
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．形状无法确定
【解析】∵(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，
∴C→A2－C→B2＝0，C→A2＝C→B2，
∴CA＝CB，△ABC 为等腰三角形．【答案】C
3．力 F＝(－1，－5)作用于质点 m，使 m 产生的位移 s＝(4,6)，则力 F 对质点 m 做的功是________．【解析】∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4,6)＝－34， ∴力 F 对 m 所做的功是－34. 【答案】－34
所以|A→F|＝13 n2＋9m2，即 AF＝13 n2＋9m2.
规律方法 1．利用向量的关系证明问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好是已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系． 2．若平面图形中存在垂直的线段(如直角三角形、矩形等)，可建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算求解．
解:以 C 为坐标原点，以边 CB，CA 所在的直线分别为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
(1)因为 D 为 AB 的中点，所以 D(n2，m2 )，所以|C→D|＝12 n2＋m2，|A→B|＝ m2＋n2，所以|C→D|＝12|A→B|，即 CD＝12AB.

2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例(教学设计)

2.5.1平面几何中的向量方法 2.5 .2向量在物理中的应用举例（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.运用向量方法解决某些简单的物理问题.二、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力. 经历用向量方法解决某些简单的物理问题的过程；体会向量是一种处理物理问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.[教学难点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题一、复习回顾1．向量的概念；2．向量的表示方法：几何表示、字母表示；3．零向量、单位向量、平行向量的概念；4．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；5．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；6．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；8．要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；9．理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.10．理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；11．能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；12．能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；13．会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.二、师生互动，新课讲解由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例1（课本P109例1）（课本P109例1）()2222|||.|2||||ABCD AC BD AC DB AB AD =++ 已知平行四边形的对角线为、求证：()()()22222222222222|||2|||2|2|||?,||||?|||||.|AC AC AB ADAB AD AB AD DB DB AB AD AB AD AB ADAC DB AB AD ===++===+-+++=- 证得明：由变式训练1：证明：直径所对的圆周角为直角。

高中数学第二章平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2

2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例疱工巧解牛知识•巧学一、平面几何中的向量方法用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了.用向量法(即以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论)证明几何问题需把点、线、面等几何要素直接归为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些结果翻译成点、线、面的相应结果，可简单地表述为：〔形到向量〕——〔向量的运算〕——〔向量和数到形〕.学法一得用向量法证明几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系.二、向量在物理中的应用向量还具有强烈的物理学实际背景.物理学中有两种基本量：标量和矢量.矢量遍布在物理学的很多分支，它包括力、位移、速度、加速度、动量等.虽然，物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同，例如力，它除了有方向和大小，还有作用点；数学中的向量则只有方向和大小，没有作用点.但是，这并不影响向量在物理学中的作用.学法一得向量在物理中的应用，实际上就是先把物理问题转化成数学问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象.在学习过程中，一要体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型，二要体会如何利用数学模型的解来解释物理现象.典题•热题知识点一用向量方法证明几何问题例1 已知AD、BE、CF分别是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于同一点.思路分析：本题主要考查向量在几何中的应用.通常情况下，用向量作工具证明几何问题时，往往要先设一些向量作为基本向量，我们假设两条高BE、CF交于点H，再证明AD与BC垂直即可说明结论成立.图2-5-2证明：如图2-5-2，AD、BE、CF是△ABC的三条高，设BE、CF交于点H,=a，=b，=h，则=h-a，CH=h-b，=b-a.∵BH ⊥AC ，CH ⊥AB ， ∴(h -a )·b =0，(h -b )·a =0. ∴(h -a )·b =(h -b )·a . 化简得h ·(b -a )=0. ∴AH ⊥BC .∴AH 与AD 重合，即AD 、BE 、CF 交于一点.例2 在△ABC 中，点D 和E 分别在边BC 与AC 上，且BD=31BC ，CE=31CA ，AD 与BE 交于点R ，证明RD=71AD ，RE=74BE.图2-5-3解：设=e 1，=e 2.取{e 1，e 2}为基底，下面我们将用基底表示出来. 设=λ，=μ.由于=+31=e 1+31(e 2-e 1)=32e 1+31e 2， BE =BA +32AC =-e 1+32e 2，∴AR =λAD =32λe 1+31λe 2， ①=μ=-μe 1+32μe 2.=+=(1-μ)e 1+32μe 2， ②根据唯一性，由①和②可得32λ=1-μ，μλ3231=.解得λ=76，μ=73.于是AR=76AD ，RD=71AD ；BR=73BE ，RE=74BE.巧解提示：由A 、D 、R 三点共线，可设=λ+(1-λ)=32λ+(1-λ). ③ 由B 、E 、R 三点共线，又设CR =μCB +(1-μ)CE =μCB +31(1-μ)CA . ④根据唯一性，由③④可得λ=76，μ=74.将之代入③④得CR =76CD +71CA ，CR =74CB +73CE ，即6176:71==RA DR ，4374:73==RE BR . ∴RD=71AD ，RE=74BE .例 3 如图2-5-4所示，在△ABC 中，设AB =a ，AC=b ，AP =c ，AD =λa (0<λ<1)，AE =μb (0<μ<1)，试用向量a 、b 表示c .图2-5-4思路分析：本题实质是平面向量基本定理的应用，因a 、b 不共线，故c 可用a 、b 表示.鉴于图形中三角形较多，所以需要从中找出相关的三角形，利用向量的加法、减法和向量相等的条件求解.事实上，若令λ=μ=21的话，则点P 就成为△ABC 的重心. 解：∵与共线，∴=BE m =m(-)=m(μb -a ). ∴AP =AB +BP =a +m(μb -a )=(1-m)a +mμb . ① 又∥，∴=n =n(-)=n(λa -b ).∴=+=b +n(λa -b )=n λa +(1-n)b . ② 由①②，得(1-m)a +m μb =n λa +(1-n)b . ∵a 、b 不共线，∴⎩⎨⎧-==-,1,1n m n m μλ即⎩⎨⎧=-+=-+.01,01m n m n μλ解之,得m=λμλ--11，n=1-λμμλμλμμ--=--111.将m 、n 代入①式，得c =(1-m)a +mμb =b a λμμμλμμλ--+--1111.知识点二选择适当的直角坐标系，用坐标法解决有关几何问题例4 已知△ABC 中，∠C 是直角，CA=CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE=2EB ，求证：AD⊥CE.图2-5-5证明：建立如图2-5-5所示的直角坐标系，设A(a ，0)，则B(0，a)，E(x ，y). ∵D 是BC 的中点，∴D(0，2a ). 又∵AE=2EB，即AE =EB 2，即(x-a ，y)=2(-x ，a-y)， ∴⎩⎨⎧-=-=-.22,2y a y x a x解之,得x=3a ，y=a 32. 要证AD⊥CE，只需证AD 与CE 垂直，即AD ·CE =0.∵AD =(0，2a )-(a ，0)=(-a ，2a )，OE =CE =(a a 32,3)， ∴AD ·CE =03131232322=+-=⨯+⨯-a a a a a a .∴AD ⊥CE ，即AD⊥CE.方法归纳在未给出点的坐标的题目中，选用坐标法往往要考虑几何图形的特点，如直角三角形、正方形等用坐标法有时比较方便.例5 如图2-5-6，四边形AOBE 是菱形，其对角线OE 在x 轴上.在OB 的延长线上取一点C ，AC 交BE 于点D.若∠AOE=60°，BC=m ，菱形的边长为l ，求点D 的坐标.图2-5-6思路分析：欲求点A 、C 的坐标，必须要用∠EOA=60°，∠EOC=300°.这是解此题的出发点. 解：∵OA =(|OA |cos60°，|OA |sin60°)=(l l 23,2)，OC =(|OC |cos300°，|OC |si n300°)=(2)(3,2m l m l +-+)， ∴AC =OC -OA =()2(23,2m l m +-). 设OD =(x ，y)，∵AD =OD -OA =(x-21，y-l 23)且AC 与AD 共线，∴)2(232322m l l y ml x +--=-，即)2(3322m l ly m l x +--=-. ① 又OA 与DE 共线，DE =(l-x ，-y)，故lyl x l 232-=-，即31y l x =-.将y=3(x-l)代入①，得)(2)2(m l m l l x ++=，)(232m l l y +-=.∴D 点的坐标是()(2)2(m l m l l ++，)(232m l l +-).例6 如图2-5-7，在Rt△ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时，CQ BP •的值最大?并求出这个最大值.图2-5-7思路分析：本小题主要考查向量的概念、平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.注意图形与坐标系的转化及向量的联系. 解：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图2-5-8所示的平面直角坐标系.图2-5-8设|AB|=c，|AC|=b，则A(0，0)、B(c，0)、C(0，b)，且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为(x，y)，则Q(-x，-y)，∴BP=(x-c，y)，CQ=(-x，-y-b)，BC=(-c，b)，PQ=(-2x，-2y). ∴BP·CQ=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵cosθ=2||||a bycxBCPQ -=，∴cx-by=a2cosθ.∴BP·CQ=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1，即θ=0°(PQ与BC方向相同)时，BP·CQ最大，其最大值为0.方法归纳对于平面几何问题，除了用综合法和解析法对其证明外，还可引入向量，通过向量的线性运算或建立坐标系通过坐标运算去求解.知识点三向量在物理中的应用例7 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地，然后向C地飞行.设C 地恰好在A地的南偏西60°，并且A、C两地相距2 000 km，求飞机从B地到C地的位移.图2-5-9解：如图2-5-9所示，设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意，的方向是北偏西60°，||=1 000 km；的方向是南偏西60°，|AC|=2 000 km，所以∠BAC=60°.过点B作东西基线的垂线，交AC于点D，则△ABD为正三角形.所以BD=CD=1 000 km ，∠CBD=∠BCD=21∠BDA=30°. 所以∠ABC=90°. BC=ACsin60°=2 000×3100023= (km)，|BC |=31000 (km). 所以，飞机从B 地到C 地的位移大小是31000 km ，方向是南偏西30°.例8 已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N ，一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少?(g=10 m/s 2)图2-5-10解：如图2-5-10所示，设木块的位移为s ，则F ·s =|F ||s |cos30°=50×20×350023= (J). 将力F 分解，它在铅垂方向上的分力F 1的大小为 |F 1|=|F |sin30°=50×21=25(N)，所以，摩擦力f 的大小为|f |=|μ(G -F 1)|=(80-25)×0.02=1.1(N). 因此f ·s =|f ||s |cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J). 即F 和f 所做的功分别是3500 J 和-22 J.问题•探究方案设计探究问题向量的运算是用向量解决问题的重要途径，特别是数量积，它涉及平行、垂直等重要的位置关系.我们通过学习平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，提出怎样用向量坐标表示向量数量积的问题，那么这些问题具体如何解决，该怎样应用？探究思路:将数量积的坐标形式用于表示距离、角、垂直、平行等关系.探究结论:对于平面向量的数量积，我们有结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，将其进一步推广就有：①设a =(x ，y)，a 2=|a |2=x 2+y 2或|a |=22y x +；②设A 、B 两点的坐标分别为(x A ，y A )、(x B ，y B )，|AB|=22)()(B A B A y y x x -+-,这就是平面内两点间的距离公式；③设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，向量a 、b 的夹角为θ，cosθ=222122212121yy x x y y x x +•++；④设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ⊥b 的充要条件是a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 在学习时，一方面要注意与前面的知识进行联系，要熟悉向量的数量积的定义以及它的有关性质；另一方面，坐标运算是向量运算的一种重要的形式，因此要熟练掌握向量的数量积的坐标表示，注意有关的结论，并能熟练地应用它们解决有关的问题.在学习过程中，注重养成独立思考钻研的习惯和能力，初步了解对立统一的辩证思想，灵活处理向量与三角函数、不等式、解析几何、立体几何相结合的题目. 思维发散探究问题已知a 、b 是两个非零向量，且满足|a |=|b |=|a -b |，试探究求a 与a +b 夹角的方法. 探究过程:基于向量表示上的差异，也就是表示方法上的不同，解本题常见的有三种方法.一是利用向量加减法的几何意义，用数形结合的方法求夹角；二是利用已知条件，找出a 的长度与a ·b 及a 的长度与a +b 长度间的关系.再利用夹角公式求解；三是设出向量a 、b 后再利用夹角公式求解.探究结论:方法一：根据向量加法的几何意义作图，如右图所示.图2-5-11在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，以，为邻边作平行四边形OACB. 由于|a |=|b |=|a -b |，所以OACB 为菱形，CO 平分∠AOB，且∠AOB=60°. 所以∠AOC=30°，即a 与a +b 的夹角为30°.方法二：由|a |=|b |，得|a |2=|b |2，又由|b |=|a -b |，得|b |2=|a -b |2=|a |2-2a ·b +|b |2.所以2a ·b =|a |2.而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2，所以|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则有23||3||||21||||||)(cos 22=•+=++•=a a a a b a a b a a θ，所以θ=30°. 方法三：设向量a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2).由于|a |=|b |，则有x 12+y 12=x 22+y 22. 由|b |=|a -b |,得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12). 则|a +b |2=2(x 12+y 12)+(x 12+y 12)=3(x 12+y 12). 设a 与a +b 的夹角为θ，则有233)(21)(||||)(cos 2121212121212121=+⨯⨯++++=++•=y x y x y x y x b a a b a a θ，所以θ=30°.。

课件8：2.5.1 平面几何中的向量方法~2.5.2 向量在物理中的应用举例

则
A(0，1)，P
22λ，
22λ，E1，
22λ，F
22λ，0.
于是P→A＝－
22λ，1－
22λ，E→F＝
Байду номын сангаас
22λ－1，－
2
2
λ.
因为P→A·E→F＝－
2
2
λ
22λ－1＋1－
22λ－
22λ＝
－
2
2
λ
22λ－1＋1－
22λ＝0，
所以P→A⊥E→F，即 PA⊥EF.
归纳升华对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.而对于这一条件的应用，可以用向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
所以|C→D|＝12 n2＋m2，|A→B|＝ m2＋n2，所以|C→D|＝12|A→B|，即 CD＝12AB. (2)解：因为 E 为 CD 的中点，所以 E4n，m4 ，设 F(x，0)，则A→E＝4n，－43m，A→F＝(x，－m)．因为 A，E，F 三点共线，
所以A→F＝λA→E.即(x，－m)＝λ4n，－34m.
为( C ) A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形 D．形状无法确定【解析】因为(C→A＋C→B)·(C→A－C→B)＝0，
所以C→A2－C→B2＝0，C→A2＝C→B2，
所以 CA＝CB，△ABC 为等腰三角形．
4. 一物体受到相互垂直的两个力 F1，F2 的作用，两力大小都为 5 3 N，则两个力的合力的大小为________．
类型 2 平面几何中的长度问题典例 2 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，设 AC＝m， BC＝n. (1)若 D 为斜边 AB 的中点，求证：CD＝12AB； (2)若 E 为 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 于 F.求 AF 的长度(用 m，n 表示)．

高中数学第二章平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举

2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例一览众山小诱学导入材料：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.问题：如何从数学的角度解释这种现象？图2-5-1导入：我们把上面的问题抽象为如图2-5-1所示的数学模型.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中F 为F 1、F 2的合力)，就得到了问题的数学解释.在这里不妨设|F 1|=|F 2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F 1|=2cos 2||θF .通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，2θ由0°到90°逐渐变大，cos 2θ的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力.温故知新1.什么是向量加法的平行四边形法则和三角形法则？答:平行四边形法则：把这两个向量置于同一起点上，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共顶点出发的对角线所对应的向量就表示这两个向量的和，它适用于不共线的两个向量求和.三角形法则：把两个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就表示两个向量的和，它适用于任意两个向量作和.2.什么是平面向量的基本定理？答:平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2.其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.3.如何计算向量的数量积？答:已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b =0.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

必修四2-5-1~2平面向量应用举例

课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
→ ＝a，AD → ＝b，由 E、F 分别为对应边的三等分点，得解设AB 1 1→ → → → FO＝FA＋AO＝－ a＋ AC 3 2 1 1 1 1 ＝－3a＋2(a＋b)＝6a＋2b. 1→ 1 → 1 1 1 1 → → → OE＝OC＋CE＝2AC＋3CD＝2(a＋b)－3a＝6a＋2b. → ＝OE → ，又 O 为其公共点，故 E、O、F 在同一直线上． ∴FO
2．5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【课标要求】 1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力． 3．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法；向量方法解决几何问题的“三步曲”．【核心扫描】 1．用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点) 2．用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1．用向量解决平面几何问题的步骤及方法 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
可简述为：图形到向量→向量的运算→向量和数到图形．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)一般可选择以下两种方法： ①基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示相关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算． ②坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算．
课前探究学习
课堂讲练互动

2.5.2 向量在物理中的应用举例

个物体(如图).如果绳子的最大拉力为 F ,物体受到
你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力 F1 的
大小与两绳之间的夹角θ 的关系？
课堂探究 1 利用向量解决力（速度、位移）的合成与分解例1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？夹角越大越费力.
立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，
求有关量的值.
F3
北
F 1
s
解：建立如图所示的直角坐标系，
60
30
F2
30 则 F1(1，3),F(2 3，2),F(-3， 3 3). 西 O 2 3 东所以 F F1 F2 F3 (2 3 2， 4 3 2), 南位移 s (4 2, 4 2), 所以F s (2 3 2) 4 2 (4 3 2) 4 2 24 6(J).
答案：每小时2千米
练习：坐标平面内一只小蚂蚁以速度v (1, 2) 从点A(4,6)处移动到点B（7,12）处，其所用时间长短为——
答案：3
相同的方向做匀速直线运动，速度大小为 e1 +e2 。另一点Q从Q（ -1）出发，沿着与向量3e1 +2e2 0 -2，相同的方向做匀速直线运动，速度大小为 3e1 +2e2 。设P，Q在t 0秒时分别在P0 ，Q0处，则当PQ P0Q0时， t=_______
故这三个力的合力做的功是24 6 J.
45
【提升总结】
用几何法求合力，一般要通过解三角形求边长和夹角，如果在适当的坐标系中，能写出各分力的坐标，则用坐标法求合力，利用坐标运算求数量积也非常简单.

高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例aa高一数学

2
2
2
2
因为 PA · EF =(- 2 λ)·( 2 λ-1)+(1- 2 λ)·(- 2 λ)
2
2
2
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=- 2 λ·( 2 λ-1+1- 2 λ)=- 2 λ×0=0,
2
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所以 PA ⊥ EF ,即 PA⊥EF.
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题型二向量在解析几何(jiě xī jǐhé)中的应用 [例2] 过点A(-2,1),求:
2x 2,① 2y.②
由①得 x0=3-2x,代入②得 6-2(3-2x)=2y,整理得 y=2x,即为点 P 的轨迹方程.
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[备用例 2] 已知向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(1 k<0 时,若 k 为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为
不妨设 AC , BD 的夹角为θ,则 cos θ= AC BD AC BD
= 2a, a a, 2a = 4a2 =- 4 .
5a 5a
5a2 5
故所求钝角的余弦值为- 4 . 5
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方法(fāngfǎ)技巧
用向量法证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤:
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错解二:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c.同理由b·c=c·a得到a=b.所以a=b=c,故三角形ABC是等边三角形. 错解三:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,而b≠0,所以a=c.同理可得a=b.所以a=b=c, 故三角形ABC是等边三角形. 纠错:以上三种解法都犯了推理不严谨(yánjǐn)的错误.解法一中,只有在a,b同向共线时,才有a·b=|a||b|成立;解法二错在“即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c”, 这里由(a-c)·b=0只能得出(a-c)⊥b,而不能得到a=c;解法三错在“a·b=b·c,而b≠0, 所以a=c”,向量具有方向,不能像数量那样,在进行计算时可以约分. 正解:因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知a+b+c=0,所以 b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以 |a|=|b|=|c|.故三角形ABC是等边三角形.

平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例

也即 a＝bcos C＋ccos B.
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向量在解析几何中的应用【例 2】已知△ABC 的三个顶点 A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点 D、E、F 分别为边 BC、CA、AB 的中点． (1)求直线 DE、EF、FD 的方程； (2)求 AB 边上的高线 CH 所在的直线方程．
(A)y2＝8x (B)y2＝－8x (C)y2＝4x (D)y2＝－4x
解析：根据已知条件|MN―→||MP―→|＋MN―→·NP―→＝0 便可找到 P(x，y)的轨迹方程．由已知得，MP―→＝(x＋2，y)，NP―→＝(x－2，y)．又 MN―→＝(4,0)， ∴|MN―→||MP―→|＝4 x＋22＋y2， MN―→·NP―→＝(4,0)·(x－2，y)＝4(x－2)．由|MN―→||MP―→|＋MN―→·NP―→＝0 可得 4 x＋22＋y2＋4(x－2)＝0 即－ x＋22＋y2＝x－2，两边平方并化简得 y2＝－8x，故选 B.
对于这种类型的题目一定要先把物理现象分析清楚，把握住物理量之间的关系，然后用向量的知识求解，最后要用物理知识进行检验．
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基础达标 1．在△ABC 中，AB＝AC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则( D ) (A)BD―→＝CE―→ (B)BD―→与 CE―→共线 (C)DE―→＝BC―→ (D)DE―→与 BC―→共线
(A)0.5 h (B)1 h (C)1.5 h (D)2 h
解析：台风中心移动 t h，城市 B 处在危险区，则(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°≤900. ∴ 2－12≤t≤ 2＋12. ∴B 城市处在危险区的时间为 1 h．故选 B.

高中数学第二章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例学案含解析新人

学习资料2．5 平面向量应用举例2．5.1平面几何中的向量方法2．5。

2向量在物理中的应用举例内容标准学科素养1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

2。

经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.3.体会向量是一种处理几何问题和物理问题的有力工具.提升数学运算应用数学建模发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第67页[基础认识］知识点一平面几何中的向量方法阅读教材P109～112，思考并完成以下问题平面几何中的点线关系用向量如何解释?（1）判断两直线(线段）平行，用向量如何判断?提示:常用向量平行的条件．（2)判断两直线(线段）垂直，用向量如何判断？提示：常用向量垂直的条件．(3）求与夹角相关的问题，用向量如何求解？提示：用向量的夹角公式．（4)求线段长度相关的问题,用向量如何求解？提示：用向量的模的概念及公式．问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2,y2），b≠0.垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0,其中a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝错误!(θ为向量a，b的夹角),其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义｜a｜＝a2＝x2＋y2，其中a＝（x,y），a为非零向量思考并完成以下问题（1）力、速度、加速度、位移的合成与分解相当于向量的什么运算？提示：向量的线性运算．(2）力所做的功相当于向量的什么运算？提示:力与位移两个向量的数量积．知识梳理（1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量．(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，其运算法则就是向量的三角形法则和平行四边形法则．[自我检测]1．在△ABC中，若(错误!＋错误!）·（错误!－错误!）＝0，则△ABC()A．是正三角形B．是直角三角形C．是等腰三角形D．形状无法确定答案：C2．力F＝(－1，－2）作用于质点P，使P产生的位移为s＝（3,4），则力F对质点P做的功是________．答案：－11授课提示:对应学生用书第68页探究一利用向量求几何度量［教材P109例1]方法步骤：(1）设基底；（2)用基底表示所求向量；(3）求模;（4）得结论．[例1]如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1,AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．［解析］设错误!＝a,错误!＝b，则错误!＝a＋b，错误!＝a－b.由题意知|a｜＝1，|b｜＝2，｜a－b｜＝2.∴(a－b）2＝｜a－b｜2＝4,即a2－2a·b＋b2＝4。

2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)

2.一艘船从 O 点出发以 2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3，则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合和 V水夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛，它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系（数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理知识解决实际问题；

2.5.2向量在物理中的应用举例

B D 120º O
b
c
C
又由三角形的知识知：三角形OBD为等边三角形，故 a与OD共线且模相等
所以： a,即有： b c 0 OD a
ห้องสมุดไป่ตู้
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你 F 能从数学的角度解释这个现象吗？
1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、加速度、位移等都是向量！ 2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减法，运动的叠加也用到向量的合成！ 3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积
例题
例1：同一平面内，互成 1200 的三个大小相 A 等的共点力的合力为零。 a
证：如图，用a，b，c表示这3个共点力，且a，b，c互成120°，模相等按照向量的加法运算法则，有： a +b +c = a +（b +c）=a +OD
F
F2
1
F2 θ cos θ 2
G
（1）θ为何值时， F1 最小，最小值是多少？ θ 最大， F1 最小且等于 G 答：在（*）式中，当θ =0º cos 时， 2 2 （2）F1 能等于 G 吗？为什么？答：在（*）中，当 cos θ = 1 即θ=120º 时，F1 = G 2 2
小结：（1）为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！
（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？
把物理问题转化为数学模型为：
解（1） v = v1 0.5 96
2
（1）
B v1 A v

高中数学学案4：：2.5.1 平面几何中的向量方法_2.5.2 向量在物理中的应用举例

2.5.1 平面几何中的向量方法~2.5.2 向量在物理中的应用举例学习目标1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．(重点)2．学会用向量方法解决实际问题的基本方法．(难点)基础·初探教材整理1 平面几何中的向量方法用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用_______表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为_______问题；(2)通过_______运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把______________“翻译”成几何关系．预习自测1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( )(2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( )教材整理2 向量在物理中的应用1．物理问题中常见的向量有______________________等．2．向量的加减法运算体现在____________________．3．动量mv 是向量的_______运算．4．功是_______与____________________的数量积．预习自测2.已知力F ＝(2，3)作用在一物体上，使物体从A (2，0)移动到B (－2，3)，则F 对物体所做的功为________焦耳．类型1 向量在平面几何中的应用例1 在正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且AE 、CD 交于点P ，求证：BP ⊥DC ．名师指津垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量BP →，CD →由基底BA →，BC →线性表示．当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．跟踪训练1．如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC ．类型2 向量在解析几何中的应用例2 过点A (－2，1)，求：(1)与向量a ＝(3，1)平行的直线方程；(2)与向量b ＝(－1，2)垂直的直线方程．名师指津1．本题求解的关键是在所求直线上任取一点P (x ，y )，从而得到向量AP →的坐标．2．用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题．跟踪训练2．已知点A (1，0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．类型3 向量在物理中的应用例3 (1)一个质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角且|F 1|＝2，|F 2|＝4，则|F 3|＝( )A ．6B ．2C ．2 3D ．27(2)某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．名师点津向量在物理中的应用：(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤：①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；③结果还原为物理问题．跟踪训练3．在静水中划船速度的大小是每分钟40 m，水流速度的大小是每分钟20 m，如果一小船从岸边O处出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，则小船的行进方向应指向哪里？探究点向量的数量积在物理中的应用探究1向量的数量积与功有什么联系？探究2用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？例4 两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20，15)移动到点B(7，0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)．求(1)F1，F2分别对该质点做的功；(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．名师指津1．求几个力的合力：可以用几何法，通过解三角形求边长及角，也可以用向量法求解．2．如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角．由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积．跟踪训练4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg 的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m，则力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(|g|＝10 m/s2)课堂检测1．过点M(2，3)，且垂直于向量u＝(2，1)的直线方程为()A．2x＋y－7＝0B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝02．若向量OF 1→＝(1，1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．10B ．2 5C ． 5D ．153．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC 为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．形状无法确定4．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________.5．一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地，然后向C 地飞行．设C 地恰好在A 地的南偏西60°方向上，并且A ，C 两地相距2 000 km ，求飞机从B 地到C 地的位移．参考答案基础·初探教材整理1 平面几何中的向量方法(1)向量向量(2)向量(3)运算结果预习自测1. 【答案】 (1)× (2)×【解析】 (1)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C 为直角．(2)错误．向量AB →∥CD →时，直线AB ∥CD 或AB 与CD 重合．教材整理2 向量在物理中的应用1．力，速度，加速度，位移2．力，速度，加速度，位移的合成与分解3．数乘4．力F 所产生的位移s预习自测2. 【答案】 1【解析】由已知位移AB →＝(－4，3)，∴力F 做的功为W ＝F ·AB →＝2×(－4)＋3×3＝1.类型1 向量在平面几何中的应用例1 解：设PD →＝λCD →，并设正三角形ABC 的边长为a ，则有：CD →＝23BA →－BC →， P A →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC →＋13BA → ＝13(2λ＋1)BA →－λBC →. 又EA →＝BA →－13BC →，P A →∥EA →， ∴13(2λ＋1)BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →，于是有⎩⎨⎧13（2λ＋1）＝k ，λ＝13k ，解得⎩⎨⎧λ＝17，k ＝37，∴PD →＝17CD →，∴BP →＝BD →＋DP →＝17BC →＋47BA →，从而BP →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17BC →＋47BA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →－BC → ＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0. 由向量垂直的条件知，BP ⊥DC ．跟踪训练1．证明：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2.由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0.∵BC →＝BD →＋DC →＝d －c ，∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0，∴AD →⊥BC →，即AD ⊥BC ．类型2 向量在解析几何中的应用例2 解：设所求直线上任意一点P (x ，y )，∵A (－2，1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意知AP →∥a ，∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0，即x －3y ＋5＝0，∴所求直线方程为x －3y ＋5＝0.(2)由题意，知AP →⊥b ，∴(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0，即x －2y ＋4＝0，∴所求直线方程为x －2y ＋4＝0.跟踪训练2．解：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1，0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x ，y )－(1，0)＝(x －1，y )．解：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1，0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x ，y )－(1，0)＝(x －1，y )．类型3 向量在物理中的应用例3 (1)【解析】因为物体处于平衡状态，所以F 1＋F 2＋F 3＝0，所以F 3＝－(F 1＋F 2)，所以|F 3|＝|F 1＋F 2| ＝（F 1＋F 2）2 ＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2 ＝4＋16＋2×2×4×12＝27. 【答案】 D(2)解：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a ，设实际风速为v ，那么此时人感到的风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v ，因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速，因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a .于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →.由题意：∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a ，所以实际风速是每小时2a 千米的西北风．跟踪训练3．解：如图所示，设向量OA →的长度和方向表示水流速度的大小和方向，向量OB →的长度和方向表示船在静水中速度的大小和方向，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，连接OC ．依题意OC ⊥OA ，BC ＝OA ＝20，OB ＝40，∴∠BOC ＝30°.故船应向上游(左)与河岸夹角为60°的方向行进．探究点向量的数量积在物理中的应用探究1 【提示】物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．探究2 【提示】用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．例4 解：AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j .(1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28 J.F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23 J.(2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F ·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5 J.跟踪训练4．解：设木块的位移为s ，则：W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos 30°＝50×20×32＝5003(J)．因为F 在竖直方向上的分力的大小为|F 1|＝|F |·sin 30°＝50×12＝25(N)，所以物体所受的支持力的大小为|F N |＝|m g |－|F 1|＝8×10－25＝55(N)．所以摩擦力的大小为|f |＝|μF N |＝0.02×55＝1.1(N)．又f 与s 反向，所以f ·s ＝|f |·|s |cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)．即F 与f 所做的功分别是500 3 J 与－22 J.课堂检测1．【答案】 A【解析】设P (x ，y )是所求直线上任一点，则MP →⊥u ，又∵MP →＝(x －2，y －3)，∴2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.2．【答案】 C【解析】由于F 1＋F 2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，所以|F 1＋F 2|＝（－2）2＋（－1）2＝5，故选C ．3．【答案】 C【解析】 ∵(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，∴CA →2－CB →2＝0，CA →2＝CB →2，∴CA ＝CB ，△ABC 为等腰三角形．4．【答案】等腰梯形【解析】由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →，AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形，所以AB ∥DC ，AB ≠DC ．又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ，所以四边形ABCD 为等腰梯形．5．解：如图所示，设A 地在东西基线和南北基线的交点处，则A (0，0)，B (－1 000cos 30°，1 000sin 30°)＝(－5003，500)， C (－2 000cos 30°，－2 000sin 30°)＝(－1 0003，－1 000)， ∴BC →＝(－5003，－1 500)，∴|BC →|＝（－5003）2＋（－1 500）2＝1 0003(km)．。

2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例

5.平面向量知识结构图
向量的概念
平面向量
向量的运算
向量的应用
定义
几何表示
表示方法
符号表示
向量的模
坐标表示平行向量
向量间的关系
垂直向量相等向量
平面向量基本定理
相反向量
加法法则
加法
运算性质
坐标运算
减法
减法法则坐标运算
实数与向量的积
定义
向量的数量积
运算性质
坐标运算
向量共线定理
定义运算性质坐标运算
型，如图，AC AB AD, DB AB AD, 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
吗？
D
C
解：设 AB a, AD b，
则AC a b, DB a b.
A
B
2
AC AC AC (a b) (a b)
aaabbabb
2
2
a 2a b b (1)
因为向量a,b不共线,
n m 0，
所以n
m 1 2
0.
解得：n m= 1 .
3
所以AR 1 AC,同理TC 1 AC,于是RT 1 AC.
3
3
3
故AR RT TC.
【方法规律】
利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求m，n的值，是处理线段长度关系的一种常用手段.
一年之计，莫如树谷：十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。长才靡入用，大厦失巨楹。
——邵谒
【解析】设 P(x，y)，R(x0，y0)，则R→A＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， A→P＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y)．

高中数学2章平面向量2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例数学

2.5.2 向量在物理中的应用举例(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2．向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．(3)动量m v 是向量的数乘运算．(4)功是力F 与所产生的位移s 的数量积．1．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形D [由条件知OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．]2．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，且a ·b ＜0，则△ABC 的形状为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定A [由条件知∠BAC 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．]3．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝ J .300 [W ＝F ·s ＝6×100×cos 60°＝300(J )．]4．已知三个力F 1＝(3，4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(x ，y )的合力F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3的坐标为．(－5，1) [由F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，∵F 1＝(3，4)，F 2＝(2，－5)，∴F 1＋F 2＝(5，－1)，即F 3＝(－5，1)．]向量在平面几何中的应用[探究问题]1．用向量法如何证明平面几何中AB ⊥CD ?提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →；③证明AB →·CD →的值为0；④给出几何结论AB ⊥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝(x 1，y 1)，CD →＝(x 2，y 2)，再计算AB →·CD →的值为0，从而得到几何结论AB ⊥CD .2．用向量法如何证明平面几何中AB ∥CD ?提示：法一：①选择一组向量作基底；②用基底表示AB →和CD →；③寻找实数λ，使AB →＝λCD →，即AB →∥CD →；④给出几何结论AB ∥CD .法二：先求AB →，CD →的坐标，AB →＝(x 1，y 1)，CD →＝(x 2，y 2)．利用向量共线的坐标关系x 1y 2－x 2y 1＝0得到AB →∥CD →，再给出几何结论AB ∥CD .以上两种方法，都是建立在A ，B ，C ，D 中任意三点都不共线的基础上，才有AB →∥CD →得到AB ∥CD .【例1】 (1)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·CA→|AC →|＝12，则△ABC 的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 (2)已知四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．思路点拨：(1)先由平行四边形法则分析AB→|AB →|＋ AC →|AC →|的几何意义，由数量积为0推出垂直关系，再由AB →|AB →|·CA→|AC →|＝12求∠BAC ，最后判断△ABC 的形状．(2)先建系设点P 坐标，再根据A ，P ，F 和C ，P ，E 分别共线求点P 坐标，最后求四边形APCD 的面积．(1)C [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，得∠A 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC ，设AB →，CA →的夹角为θ，而AB →|AB →|·CA →|AC →|＝cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以∠BAC ＝π－π3＝23π，故△ABC 为等腰三角形．](2)[解] 以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，如图所示，∴A (0，0)，B (6，0)，C (6，6)，D (0，6)，F (6，4)，E (3，0)，设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )，AF →＝(6，4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3，6)．由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －6y ＝0，6（x －3）－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3，∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB＝36－12×3×3－12×3×6＝452. 1．将本例(1)的条件改为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，试判断△ABC 的形状．[解] ∵(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，∴(OB →－OC →)·(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝0，∴CB →·(AB →＋AC →)＝0，∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，∴AB →2－AC →2＝0，即|AB →|2－|AC →|2＝0，所以|AB →|＝|AC →|，∴△ABC 是等腰三角形．2．将本例(2)的条件“BF ∶FC ＝2∶1”改为“BF ∶FC ＝1∶1”，求证：AF ⊥DE .[证明] 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (6，0)，C (6，6)，D (0，6)，则中点E (3，0)，F (6，3)，∴AF →＝(6，3)，DE →＝(3，－6)，∴AF →·DE →＝6×3＋3×(－6)＝0，∴AF →⊥DE →，∴AF ⊥DE .用向量法解决平面几何问题的两种思想(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．向量在解析几何中的应用上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．思路点拨：设P （x ，y ），R （x 0，y 0）→依据RA →＝2AP →找x ，y 与x 0，y 0的关系→由点R 在直线l 上得y 0＝2x 0－6→消x 0，y 0得x 与y 的关系即为所求[解] 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1，0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x ，y )－(1，0)＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2（x －1），－y 0＝2y .又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －2，①6－2x 0＝2y ， ② 由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程．用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题．1．已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4，0)，C (－6，2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．(1)求直线DE 的方程；(2)求AB 边上的高线CH 所在直线的方程．[解] (1)设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →，因为点D ，E 分别为边BC ，CA 的中点，所以点D ，E 的坐标分别为D (－1，1)，E (－3，－1)，DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)，所以(－2)(x ＋1)－(－2)(y －1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程．(2)设点N(x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则C N →⊥AB →，所以C N →·AB →＝0，又C N →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4，4)，所以4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程. 平面向量在物理中的应用[探究问题]1．向量的数量积与功有什么联系？提示：物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．2．用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题中．【例3】 (1)一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3，1)的共同作用下从点A (1，1)移动到点B (0，5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于．(2)设作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，若|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，如图所示． ①求F 3的大小；②求F 2与F 3的夹角．思路点拨：(1)求出合力、位移的坐标表示 →利用数量积求功(2)①由三个力处于平衡状态用F 1，F 2表示F 3 →用向量模的计算公式求F 3的大小②用F 1，F 2表示F 3→构造F 2·F 3→利用夹角公式求解(1)－40 [因为F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3，1)，所以合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)，AB →＝(－1，4)，则F ·AB →＝－1×8－8×4＝－40，即三个力的合力所做的功为－40.](2)[解] ①由题意|F 3|＝|F 1＋F 2|，因为|F 1|＝1，|F 2|＝2，且F 1与F 2的夹角为23π，所以|F 3|＝|F 1＋F 2|＝1＋4＋2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ 3.②设F 2与F 3的夹角为θ，因为F 3＝－(F 1＋F 2)，所以F 3·F 2＝－F 1·F 2－F 2·F 2，所以3·2·cos θ＝－1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4，所以cos θ＝－32，所以θ＝56π. 向量在物理中的应用(1)求力向量、速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤：①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题． 2．一条宽为3km 的河，水流速度为2 km/h ，在河两岸有两个码头A ，B ，已知AB ＝3km ，船在水中最大航速为4 km/h ；问怎样安排航行速度可使该船从A 码头最快到达彼岸B 码头？用时多少？[解析] 如图所示，设AC →为水流速度，AD →为航行速度，以AC和AD 为邻边作▱ACED ，当AE 与AB 重合时能最快到达彼岸．根据题意知AC ⊥AE ，在Rt △ADE 和▱ACED 中，|DE →|＝|AC →|＝2，|AD →|＝4，∠AED ＝90°，∴|AE →|＝|AD →|2－|DE →|2＝23，3÷23＝0.5(h )，sin ∠EAD ＝12， ∴∠EAD ＝30°.∴船实际航行速度大小为4 km/h ，与水流成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5小时．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．用向量解决物理问题一般按如下步骤进行：①转化：把物理问题转化为数学问题；②建模：建立以向量为主体的数学模型；③求解：求出数学模型的相关解；④回归：回到物理现象中，用已获取的数值去解释一些物理现象.1．下列命题正确的是( )A ．若AB →∥CD →，则直线AB 与直线CD 平行．B ．若△ABC 是直角三角形，则必有CA →·CB →＝0C ．△ABC 中，若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 为等边三角形D ．|AB →|＝（x B －x A ）2＋（y B －y A ）2D [A 错，可能为同一条直线；B 错，直角不一定是∠C ；C 错，由条件可得AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴∠BAC 为直角，即△ABC 为直角三角形，非等边三角形．]2．过点M (2，3)，且垂直于向量u ＝(2，1)的直线方程为( )A ．2x ＋y －7＝0B ．2x ＋y ＋7＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －2y －4＝0A [设P (x ，y )是所求直线上任一点，则MP →⊥u .又MP →＝(x －2，y －3)，所以2(x －2)＋(y －3)＝0，即2x ＋y －7＝0.]3．已知作用在点A 的三个力f 1＝(3，4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3，1)，且A (1，1)，则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为( )A ．(9，1)B ．(1，9)C ．(9，0)D ．(0，9)A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，设终点为B (x ，y )，则(x －1，y －1)＝(8，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝8，y －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，所以终点坐标为(9，1)．] 4．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE .[证明] 以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系(略)．设AC ＝a ，则A (a ，0)，B (0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，C (0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a . 因为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 2，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ，23a ，所以AD →·CE →＝－a ·13a ＋a 2·23a ＝0，所以AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .。