理论力学第七版第03章(1-3节)--空间力系 (1)

(3-13)
M z (F ) xFy yFx MO (F )z
§3–3空间力偶
§ 3 –3
回顾：平面力偶与力偶矩
空间力偶
F
d A B F´
力偶定义：由大小相等，方向相反且不 共线的两个平行力组成的力系。
F=－F
记号：力偶 (F ，F )
力偶所在的平面为力偶的作用面，力偶两力之间的垂直距离 d 称为力偶臂。 力偶的作用效果取决于以下三要素： (1) 构成力偶的力的大小; (2) 力偶臂的大小; (3) 力偶的转向。
M
i
0
(2-15)
例已知：在工件四个面上同时钻 5个孔，每个孔所受切削力 偶矩均为80N· m。
求：工件所受合力偶矩在 x，y，z 轴上的投影。
解： 把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A .
M x Mix M3 M 4 cos45 M5 cos45 193.1N m
符号表示: M O ( F )
Fd
§ 3 –2
力对点的矩和力对轴的矩
F Fxi Fy j Fz k
1.力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
r xi yj zk
MO (F ) (r F ) ( xi yj zk ) (Fxi Fy j Fz k )
3．力偶系的合成与平衡条件
回顾：平面力偶系的合成
平面力偶系：由两个或两个以上力偶组成的特殊力系。
§ 3 –3
空间力偶
平面力偶系合成的结果仍然是一个力偶！
该合力偶的力偶矩等于力偶系中所有力偶矩的代数和。 即：
M
M
i
(2-14)
M1
M2 M3
M
28
3．力偶系的合成与平衡条件
§ 3 –3
空间力偶
2.空间力偶的等效定理
空间力偶的等效定理：作用在同一刚体上的两个力偶， 如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。
只要力偶矩矢的大小、方向不变，则： (1)空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上； (2)空间力偶可以在其作用面内任意移动。
§ 3 –3
空间力偶
﹦
≠
同平面内力偶的等效定理：两个力偶的力偶矩相同。
§3 –2
2.力对轴的矩
力对点的矩和力对轴的矩
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该 轴的矩为零。
§3 –2
2.力对轴的矩
力对点的矩和力对轴的矩
M z (F ) MO (Fxy ) Fxy h
投影 力对轴的矩的定义：力对轴的 矩是力使刚体绕轴转动效果的度量 ，是一个代数量，其绝对值等于该 力在垂直于该轴的平面上的投影对 于这个平面与该轴交点的矩。
h
垂直于z轴的Oxy平面
§3 –2
2.力对轴的矩
力对点的矩和力对轴的矩
M z (F ) MO (Fxy ) Fxy h
正负号规定： (1)从z轴来看，若力的这 个投影使物体绕该轴逆时 针转动，则取正号，反之 取负号。 (2) 右手螺旋法则，拇指 指向与 z 轴一致为正，反 之为负。
=
=
M F , F rBA F
M1 r1 F1 , M2 r2 F2 ,......, Mn rn Fn
M M1 M2
Mn = Mi
（3-16）
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
3．力偶系的合成与平衡条件
合力偶矩矢的解析表达式为：
§ 3 –3
F A 8 .6 6 k N
§ 3 –2
力对点的矩和力对轴的矩
§3 –2
力对点的矩和力对轴的矩
回顾：平面问题中，力对点之矩(力矩)
力对物体具有转动效果，转动效果与三个因素有关： （1）力 F 的大小; （2）转动中心 O (矩心)到力F 作用线的距离d; （3）力 F 使扳手转动的方向。 平面力系中，只要力矩的大小(Fd)和转向确定了，那么物体 的转动效果就确定。
第三章
空间力系
§ 3 –1
空间汇交力系
§ 3 –1
空间汇交力系
§ 3 –1
空间汇交力系
当空间力系中各力作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系.
一.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
§ 3 –1
间接（二次）投影法
空间汇交力系
力对过O点Z轴的矩：
M O ( F ) x i M O ( F ) y j M O ( F ) z k
M z ( F ) M O ( Fxy ) M O ( Fx ) M O ( Fy ) xFy yFx
MO (F )z
F 对z轴的矩等于F 对O点的矩矢 在z轴上的投影。
F
F
y
0
0
F 1 F 2 3 .5 4 k N
F A s in 3 0 F 1 c o s 4 5 c o s 3 0 F 2 c o s 4 5 c o s 3 0 0
z
F 1 c o s 4 5 s in 3 0 F 2 c o s 4 5 s in 3 0 F A c o s 3 0 P 0
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力F 对点O 的矩在三个坐标轴上的投影:
x轴投影： MO (F )x yFz zFy y轴投影： M O ( F ) y zFx xFz z轴投影： MO (F )z xFy yFx
合力的大小 F R ( F x ) 2 ( F y ) 2 ( F z ) 2
方向余弦
cos(FR F , i) FR
x
cos( FR
F , j) FR
y
cos( FR
F , k) FR
z
由合矢量投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各个分矢 量在同一轴上投影的代数和。
FR F1 F2
F1
Fn Fi Fi
i 1
n
F2
F1 F2 A
F12 F123
A
F4 F3
F3
F4
§ 3 –1
空间汇交力系
二.空间汇交力系的合力与平衡条件
合矢量（力）投影定理
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
(3-18)
合力偶矩矢在x，y，z轴上的投影等于各个分力偶矩矢在 相应轴上投影的代数和。
§ 3 –3
空间力偶
3．力偶系的合成与平衡条件
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即
M Mi 0
(3-19)
M
x
0
M
y
0
M
z
0
(3-20)
--称为空间力偶系的平衡方程。
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的 代数和等于零，即：
h
单位：N•m
§ 3 –2
力对点的矩和力对轴的矩
3.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
力对O点的矩:MO (F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k )
( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
M M
z
y
M M
iy iz
M 2 80N m M 1 M 4 c o s 4 5 M 5 c o s 4 5 1 9 3 .1 N m
§3–4 空间任意力系向一点的简化· 主矢和主矩
§ 3 –3
回顾：平面力偶与力偶矩
空间力偶
F
d A B F´
力偶对物体也有转动效果，力偶使物 体转动的效果用力偶矩来度量。
力偶矩:力偶使物体转动效果的度量，它是一个代数量，其绝对值等 于力偶中力的大小与力偶臂之积。
正负规定:逆时针转向取正,反之取负号。 符号表示:
M Fd
单位：牛顿•米
力偶的性质：力偶对刚体的转动效果只与力偶矩有关，与矩心的位置无关。
§ 3 –3
空间力偶 F , F 矩矢：
空间力偶
对任意点 O的
1.力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
M O F , F M O F M O F rA F + rB F
M O F , F rA - rB F = rBA F 或rAB F
F x y F s in
Fx F sin cos
F y F s in s in
Fz F cos
§ 3 –1
空间汇交力系
二.空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点. 空间汇交力系的合力 FR
F
i
平面汇交力系的合力矢量FR等于力系中各力的矢量和。
由于F F ：
，所以
rBA
力偶对空间任意一点的矩矢与矩心无关，以记号 M(F,F’) 或 M 表示。
§ 3 –3
空间力偶
1.力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不 改变力偶对刚体的作用效果。
力偶矩矢是自由矢量，即力偶矩矢无 需确定矢的初端位置。
对于平面力偶，只要保持力偶矩不 变，力偶可在其作用面内任意移转，对 刚体的作用效果不变。

Fx = 0

Fy=0
(2-8)
例
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；