第08讲 函数的单调性(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
函数单调性课件ppt
x2 )
x1
(2x1
x2 ,
1) (2x2
x1 x2
1)
0
2(x1
x2 )
—
—作差
f (x1) f (x2 ) 0 即f (x1) f (x2 ) — —论证结果
则函数 f (x) 2x 1在区间(, )
是增函数.
— —写出结论
证明函数单调性一般步骤：
⑴取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意 值，且x1< x 2 (或x1 >x 2）；
函数f(x)区间 I 上是单调减函
数，I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是增函数或减函数，那么就说函数
y =f(x)在区间I上具有严格单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下 降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，因此函数单调
性是一个局部性质;
14 x
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
4 I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
14 x
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
30 19.71
20 7.56
10 4.67
2001 2002 2003 2004 年份
常宁市日平均出生人数统计表
人数 （人）
45
42
36
《函数单调性的概念》课件
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f'(x) > 0，那么函数f(x)在区间[a, b]上单 调递增。
证明
设x1, x2是区间[a, b]上的任意两点，且x1 < x2，考虑差值f(x2) - f(x1)。由于 f'(x) > 0，差值可以表示为f'(c)(x2 - x1) > 0，其中c位于x1和x2之间。因此， f(x2) > f(x1)，说明函数在区间[a, b]上单调递增。
通过观察函数的图像来判断函数的增减性。如果图像在某区间内从左到
右上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像在某区间内从左到右下
降，则函数在该区间内单调递减。
导数在判定单调性中的应用
导数大于0的区间内 ，函数单调递增。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数小于0的区间内 ，函数单调递减。
单调性判定定理的证明
周期性
单调函数可能是周期函数，但并非所 有单调函数都具有周期性。
单调函数的极限和积分性质
极限性质
单调函数的极限值存在且唯一，且极限 值等于函数值。
VS
积分性质
单调函数的积分值与被积函数值成正比， 即对于任意区间[a, b]，有 ∫baf(x)dx=k∫baf(x)dxf(x)dx int_a^b f(x) dx = k int_a^b f(x) dxf(x)dx∫abf(x)dx=k∫abf(x)dxdx，其 中k为常数。
《函数单调性的概念 》ppt课件
REPORTING
• 函数单调性的定义 • 函数单调性的判定 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的扩展知识
目录
PART 01
函数的单调性(公开课课件)
04 函数单调性的应用举例
利用函数单调性求最值问题
极值问题
通过判断函数在某一点的单调性 ，可以确定该点是否为极值点， 从而求得函数的最值。
最值问题
利用函数在整个定义域上的单调 性，可以确定函数在定义域上的 最大值和最小值。
利用函数单调性解不等式问题
单调性比较法
通过比较两个函数的单调性，可以确定它们的大小关系，从而解决一些不等式问题。
02
建议学生多参与数学建模和数学竞赛等活动，提高数学应用发展
03
学生可以通过阅读数学期刊、参加学术会议等方式，了解数学
学科的最新发展动态和前沿研究领域。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
单调性分析法
利用函数的单调性，可以分析不等式的解集和边界情况。
利用函数单调性解决实际问题
优化问题
在经济学、金融学等领域中，经常需要解决一些优化问题，如最优化生产、最优化投资等。利用函数 单调性可以找到最优解或近似最优解。
决策问题
在企业管理、市场营销等领域中，经常需要做出一些决策，如选择最佳的营销策略、确定最优的产品 价格等。利用函数单调性可以分析不同决策方案的效果，从而做出更好的决策。
03 函数单调性的判定方法
导数法判定函数单调性
总结词
通过求导数判断函数的单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如 果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
举例
对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^2$，在$x > 0$时，$f'(x) > 0$，因此函数 $f(x)$在$x > 0$时单调递增。
2021年高考数学函数的单调性必考知识点
2021年高考数学函数的单调性必考知识点高中数学知识点：函数的单调性一般地，设函数fx的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1fx2.那么就是fx在这个区间上是减函数。
高中数学知识点：函数的单调区间单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X增大而增大或减小恒成立。
如果函数y=fx在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数y=fx在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y=fx的单调区间。
高中数学知识点：函数的单调图像高中数学知识点：函数的单调性的应用高中数学知识点：求函数单调性的基本方法解：先要弄清概念和研究目的,因为函数本身是动态的，所以判断函数的单调性、奇偶性，还有研究函数切线的斜率、极值等等，都是为了更好地了解函数本身所采用的方法。
其次就解题技巧而言，当然是立足于掌握课本上的例题，然后再找些典型例题做做就可以了，这部分知识仅就应付解题而言应该不是很难。
最后找些考试试卷题目来解，针对考试会出的题型强化一下，所谓知己知彼百战不殆。
1、把握好函数单调性的定义。
证明函数单调性一般初学最好用定义用定义谨防循环论证，如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式，可以采用函数单调性定义的等价形式证明。
另外还请注意函数单调性的定义是[充要命题]。
2、熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。
理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减。
3、高三选修课本有导数及其应用，用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。
还应注意函数单调性的应用，例如求极值、比较大小，还有和不等式有关的问题。
高中数学知识点：例题判断函数的单调性y = 1/ x的平方-2x-3。
设x^2-2x-3=t，令x^2-2x-3=0，解得：x=3或x=-1，当x>3和x<-1时，t>0，当-1所以得到x^2-2x-1对称轴是1。
高中数学《函数的单调性》说课课件
增函数的定义
如果对于任意$x_1 < x_2$，都有 $f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$在 区间$[a, b]$上是增函数。
单调性的判定方法
1 2 3
定义法
通过比较函数在某区间内任意两点上的函数值来 确定函数的单调性。
导数法
利用导数来判断函数的单调性，如果导数大于0 ，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0 ，则函数在该区间内单调递减。
练习题
选择适当的函数，利用所 学的证明方法，证明其单 调性。
CHAPTER 04
函数的单调性与导数
导数与单调性的关系
导数大于0与函数单调增
当一个函数的导数大于0时，该函数在其定义域内单调递增。
导数小于0与函数单调减
当一个函数的导数小于0时，该函数在其定义域内单调递减。
单调性判定定理的推导
基于导数的定义和性质，通过数学推 导得到单调性判定定理。
判断函数单调性的方法
讲解了如何通过导数、图像、表格等方法判 断函数的单调性。
与其他知识点的关联
强调了函数单调性与高中数学其他知识点的 联系，如与不等式、极值等的关系。
课程学习效果的评估
课堂互动情况
评估了学生在课堂上的参与度 和互动情况，以及他们对单调
性概念的理解程度。
作业完成情况
分析了学生的作业完成情况， 包括对单调性判断的准确性和 解题思路的清晰度。
02
本课程将介绍函数单调性的定义 、性质和判定方法，以及其在解 决实际问题中的应用。
课程目标
理解函数单调性的定 义和性质，掌握判定 函数单调性的方法。
培养学生对数学的兴 趣和热爱，激发其主 动探索和学习的精神 。
能够运用函数单调性 解决实际问题，提高 数学应用能力。
第08讲 函数的单调性(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第8讲：函数的单调性一、课程标准1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.掌握求函数的单调性的方法·3.能处理函数的最值问题。
二、基础知识回顾1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2）x1－x2>0⇔f(x)在D上是增函数；f()x1－f()x2x1－x2<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋ax(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)．(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反；(4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则 (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 三、自主热身、归纳总结1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数【答案】C【解析】作出函数y ＝x 2－5x －6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x ＝52，在[2，4]上先减后增．故选C.2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13 D ．－12【答案】B【解析】 因为y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，所以y min ＝13－1＝12.故选B. 3、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D ) A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数 B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数 D. y ＝－f (x )在R 上为减函数 【答案】D.【解析】 如f (x )＝x 3，则y ＝1f （x ）的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在x ＝0时无意义，A 、C 错；y ＝|f (x )|是偶函数，在R 上无单调性，B 错．故选D.4、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】BD ．【解析】：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．5、已知函数2()361f x x x =--，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点B ．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则13a =【答案】ACD ．【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△2(6)43(1)480=--⨯⨯-=>， 所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确；令x t a =，则22()()3613(1)4x f a g t t t t ==--=--． 当1a >时，1t a a，故()g t 在1[,]a a 上先减后增，又112a a +>，故最大值为g （a ）23618a a =--=，解得3a =（负值舍去）． 同理当01a <<时，1a t a ，()g t 在1[,]a a 上的最大值为2136()18g a a a=--=， 解得13a =（负值舍去）．故选：ACD ．6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ． 【答案】(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；(－∞，1－2)，(1，1＋2)．【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图像如图所示．由图像可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间为(1－2，1)，(1＋2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，1－2)，(1，1＋2)．故应分别7、已知f(x)＝xx －a (x≠a)，若a ＞0且f(x)在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(0，1]【解析】 任设1＜x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1） （x 1－a ）（x 2－a ）. ∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f(x 1)－f(x 2)＞0，只需(x 1－a)(x 2－a)＞0恒成立．∴a≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0，1]．8、函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3]【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－（x 2－3x ＋2），1<x <2. 如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．三、例题选讲考点一 函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间 (1)y ＝－x 2＋2|x|＋1； (2)f(x)＝x 2－2x －3； （3）212log (32)y x x =-+【解析】(1)由2221,0-x 21,0x x x x x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩≥，＜，即22(1)2,0-1)2,0.x x y x x ⎧--+⎪=⎨++⎪⎩≥（＜画出函数图像如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0，1]，单调减区间为[－1，0]， [1，＋∞)．(2)f(x)＝x 2－2x －3的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，∵t ＝x 2－2x －3在x ∈(－∞，－1]上是减函数，在x ∈[3，＋∞)为增函数，又y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]，单调递增区间是[3，＋∞)． (3)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2.∴函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)【答案】B【解析】y ＝|x 2－3x ＋2|=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2－3x ＋2，1＜x ＜2.如图所示，函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)．变式2、已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( )A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.[－1，1)D.(－3，－1]212log (32)y x x =-+212log (32)y x x =-+【答案】C【解析】令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}.根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，又g (x )在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f (x )的单调递增区间为[－1，1).变式3、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12【解析】 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0 ＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解；(3)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． 考点二 复合函数的单调区间例2、（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)【答案】D【解析】函数y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9图象的对称轴为直线x ＝1，由x 2－2x －8>0，解得x >4或x <－2，所以(4，＋∞)为函数y ＝x 2－2x －8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)．变式1、函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12C.(－2，3)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞【答案】 A【解析】 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2，3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A.变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤12，1【答案】B【解析】令t ＝x －x 2，由x －x 2≥0，得0≤x ≤1，故函数的定义域为[0，1]．因为g (t )＝2t 是增函数，所以f (x )的单调递增区间即t ＝x －x 2的单调递增区间．利用二次函数的性质，得t ＝x －x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12，即原函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，12.故选B.方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
函数的单调性(公开课课件)
单调减函数是指函数在某个区间内，对于任意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果$x_1$和$x_2$ 都在这区间内，那么函数值$f(x_1) geq f(x_2)$。也就是说，函数的图像随着$x$的增加而下降。
严格单调函数的定义
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，严格满足单调增或单调减条件的函数。
利用单调性解方程
利用函数的单调性，可以求解方程。
通过分析函数的单调性，可以确定方程解的范围，从而求解方程。例如，对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，如果$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在区间$(-infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在区间$(-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增 ，因此方程的解必定落在$(-frac{b}{2a}, +infty)$区间内。
函数单调性的反例
04
单调增函数的反例
总结词
非严格单调增函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递增，即存在某些区间内函数值先减小后 增大。例如，函数$f(x) = x^3$在区间$(-2, -1)$内是单调减函数。
单调减函数的反例
总结词
非严格单调减函数
详细描述
有些函数在其定义域内并非严格单调递减，即存在某些区间 内函数值先增大后减小。例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在区 间$(1, +infty)$内是单调增函数。
详细描述
单调增函数是指函数在某个区间内，对于任 意两个自变量$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$ ），如果$x_1$和$x_2$都在这区间内，那么 函数值$f(x_1) leq f(x_2)$。也就是说，函数 的图像随着$x$的增加而上升。
高二数学函数单调性课件
目录
• 函数单调性的定义 • 一次函数的单调性 • 二次函数的单调性 • 分段函数的单调性 • 复合函数的单调性
01
函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
复合函数单调性取决于内层函数和外 层函数的单调性以及两者之间的对应 关系。
内层函数和外层函数单调性相同，复 合函数为增函数；内层函数和外层函 数单调性相反，复合函数为减函数。
复合函数单调性的判断
首先确定内层函数和外层函数的单调性，然后根据单调性相同或相反判断复合函数的单调性。
对于内层函数，可以通过求导数判断其单调性；对于外层函数，可以根据函数的增减性和导数符号判 断其单调性。
分段函数单调性的应用
解决实际问题
分段函数单调性可以用于 解决一些实际问题，如经 济问题、物理问题等。
数学分析
在数学分析中，分段函数 单调性可以用于研究函数 的极限、连续性和可导性 等性质。
计算机科学
在计算机科学中，分段函 数单调性可以用于算法设 计和数据结构分析等领域 。
05
复合函数的单调性
复合函数的单调性
判断二次函数的单调性，也可以通过观察二次函数的对称 轴和开口方向。如果二次项系数a>0，则对称轴为x=b/2a，开口向上；如果二次项系数a<0，则对称轴为x=b/2a，开口向下。
二次函数单调性的应用
利用二次函数的单调性判断函数的值域
对于开口向上的二次函数，其最小值出现在对称轴上，即x=-b/2a处，此时函数值为y=-d/4a；对于 开口向下的二次函数，其最大值出现在对称轴上，即x=-b/2a处，此时函数值为y=d/4a。
函数的单调性课件
1
一阶导数法
通过求导数来判断函数单调性，如导函
二阶导数法
2
数大于0，则函数单调递增；若导函数小 于0，则单调递减。
通过求导数的导数（二阶导数）来判断
函数单调性，如导函数大于0，则函数单
调递增；若导函数小于0，则单调递减。
3
拐点法
通过确定函数的拐点来判断函数单调性。
函数的单调性的性质
1 单调区间和区间端点
函数的单调性PPT课件
感谢大家的光临，今天我将与大家分享关于函数单调性的知识。我们将学习 什么是单调性以及如何用不同的方法判定函数的单调性。此外，我们还将探 讨函数单调性的性质和一些应用实例。
函数的定义与概念
定义
函数是一种数学对象，将一个集合（即定义域）的元素映射到另一个集合（即值域）的元素。
概念
市场需求量函数单调性
成本函数单调性
需求量函数通常为单调递减函数， 即价格上升，需求量下降。
如某个商家生产一种商品，其总 成本通常是单调递增的。
投资增长模型单调性
投资增长模型是单调递增的，即 更多的资本会使得投资回报更高。
函数的单调性的注意事项
函数的前提
要简要解释函数的本质和意义，让理解关键概念的人或学生更容易抓住。
函数表格、函数符号、函数曲线，函数图像等基本概念。
特点
每个自变量都对应一个唯一的函数值；每个函数值都可以通过某个自变量得出。
函数的单调性的定义
单调递增
在一个区间上，如果函数值随着自变量的增大而增 大，则函数单调递增。
ห้องสมุดไป่ตู้单调递减
在一个区间上，如果函数值随着自变量的增大而减 小，则函数单调递减。
函数的单调性的判定方法
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
THANKS FOR WATCHING感Biblioteka 您的观看CHAPTER 03
函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
函数的单调性公开课课件
教学目标与要求
教学目标
通过本节课的学习，使学生掌握函数单调性的定 义、判断方法以及应用。
教学要求
学生能够理解函数单调性的概念，掌握判断函数 单调性的方法，并能够运用所学知识解决与函数 单调性相关的问题。
02
函数单调性的判断方法
导数法
01 导数与函数单调性的关系
当函数在某区间内可导时，若导数大于0，则函数 在该区间内单调递增；若导数小于0，则函数在该 区间内单调递减。
反函数单调性判断方法
首先确定原函数的单调性，然后根据反函数的定 义和性质判断反函数的单调性。
3
反函数单调性应用
在解决一些涉及反函数的问题时，可以利用反函 数的单调性来简化计算或证明过程。
单调性与连续性的关系
单调性与连续性的关系定理
若函数$y = f(x)$在区间$X$上是单调的，则它在该区间内至多只有第一类间断点。
02 导数的计算
通过求导公式和求导法则，计算出函数的导数表 达式。
03 导数法判断函数单调性的步骤
首先确定函数的定义域，然后求出函数的导数， 最后根据导数的正负判断函数的单调性。
差分法
01 差分的定义
差分是函数在两个相邻点的函数值之差，即 Δy=f(x+Δx)−f(x)。
02 差分与函数单调性的关系
针对某些复杂的不等式，可以通过构 造辅助函数，利用函数的单调性进行 证明。
在函数值比较中的应用
利用单调性比较函数值大小
对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区间内单调，则可 以通过比较自变量的大小来推断函数值的大小关系。
确定函数值的范围
通过函数的单调性，可以确定函数在某一区间内的取值范围，进而 对函数值进行比较和估算。
函数单调性教案ppt课件
利用函数的单调性判断经济模型的稳定性。
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
函数单调性的定义
单调性在解题中的应用
函数在某区间上的单调性是指函数在 该区间上随着自变量的增大（或减 小），函数值也增大（或减小）。
利用单调性可以解决一些函数问题， 如求最值、证明不等式等。
单调性的判断方法
80%
图像法
通过观察函数的图像，直观判断 函数的单调性。
导数法证明单调性
02
01
03
1. 求导数
首先求出函数的导数。
2. 判断导数的正负
根据导数的正负判断函数的增减性。
3. 得出结论
根据导数的正负变化，得出函数在哪些区间上递增或 递减。
定义法证明单调性
1. 取值
在定义域内取任意两个值$x_1$ 和$x_2$，且$x_1 < x_2$。
2. 比较函数值
计算$f(x_1)$和$f(x_2)$，并比 较两者大小。
3. 得出结论
根据函数值的比较结果，判断 函数的单调性。
05
练习与巩固
单调性判断练习
判断函数在指定区间的单调性，例如
$f(x) = x^2$在$[0, +infty)$上单调递增。
判断函数在多个区间的单调性，例如
$f(x) = frac{1}{x}$在$(-infty, 0)$和$(0, +infty)$上单调递减。
通过导数判断函数单调性的方法，包 括求导、判断导数的正负以及导数的 符号变化等。
下节课预告
函数的极值与最值 导数的几何意义与切线斜率
导数在实际问题中的应用
THANK YOU
感谢聆听
函数单调性课件公开课
典型例题分析与解答
• 例题1：讨论函数$f(x) = |x| + x^2$的单调性。 • 解答：首先确定函数的定义域为全体实数。当$x \geq 0$时，$f(x) = x + x^2$，其导数为$f'(x) = 1 + 2x
\geq 1 > 0$，故在该区间内函数单调递增；当$x < 0$时，$f(x) = -x + x^2$，其导数为$f'(x) = -1 + 2x < 1 + 0 = -1 < 0$，故在该区间内函数单调递减。因此，函数$f(x) = |x| + x^2$在$x \geq 0$时单调递增，在 $x < 0$时单调递减。 • 例题2：判断分段函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \ 2x, & x > 1 \end{cases}$的单调性。 • 解答：当$x \leq 1$时，$f(x) = x^2$，其导数为$f'(x) = 2x$。由于在该区间内$2x \leq 2 < 0$不成立，故函 数在该区间内不单调；当$x > 1$时，$f(x) = 2x$，其导数为$f'(x) = 2 > 0$，故函数在该区间内单调递增。 因此，分段函数$f(x)$在$x \leq 1$时不单调，在$x > 1$时单调递增。同时注意到在分段点$x=1$处$f(1) = 1^2 = 1 < 2 \times 1 = 2$，不影响整体单调性判断。
分段函数单调性判断方法
逐段判断
对于分段函数，需要分别在每一 段上判断函数的单调性，并考虑
分段点处的函数值大小关系。
图像法
通过绘制分段函数的图像，可以直 观地判断函数的单调性。
函数的单调性(习题课)课件
应用实例
1
例题分析
分析一些典型的应用实例，如何用单
求最值
2
调性解题。
通过函数的单调性，可以求函数的极
值和最值。
3
优化算法
讨论单调性在一些优化算法中的应用， 如二分查找法。
总结
单调性的重要性和应用 价值
总结单调性的重要性，对数学 和实际问题的研究有何帮助。
学习方法和技巧
分享一些学习函数单调性的方 法和技巧，如何更快地掌握这 个概念。
函数的单调性(习题课)ppt 课件
本次课程将教你们如何判断函数的单调性。单调性是数学中一个重要的概念， 它与函数的性质有关。学习这个概念将有助于我们更好地理解函数。
概述
单调性是指函数在定义域内自变量增大，函数值增大或减小的现象。函数的 单调性是函数的一种性质。掌握函数的单调性可以帮助我们更好地研究函数 的性质，对于解题和建模都有一定的帮助。
2
导数
通过函数的导数，可以更精确地判断函数的单调性。
3
高中数学常见函数的单调性
复习一些常见的函数的单调性。
求解单调区间
定义
若函数f(x)在区间I上单调递增或单调递减，则称I为f(x)的单调区间。
求解方法
讨论f(x)的导数正负号和零点，确定单调区间的端点。
例题答案解析
说明如何利用导数确定单调递增或单调递减的区间。
牢记注意事项
总结一些学习单调性时需要注 意的点，如何避免常见的错误。
单调递增函数
定义
如果x1 < x2，那么有f(x1) <= f(x2)，则称函数f(x)在区间[a, b]上是递增函数。
判断方法
如果函数f(x)在定义域内单调递增，则它的导数f'(x)大于等于0。
微专题----函数单调性常见题型及解题方法总结-学生版
微专题----函数单调性常见题型及解题方法总结【特别提醒】1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.2.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].3、函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy 1=分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的，只能说函数xy 1=的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞。
即：多个单调区间之间用“和”或“，”，不能用“ ”。
【对勾函数】一.对勾函数by ax x=+)0,0(>>b a 的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f4.图像在一、三象限,当0x >时，b y a x x =+≥2√ab （当且仅当x =取等号），即)(x f 在x=ab时，取最小值ab2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（∞+,ab ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b-,0）【判断函数单调性方法技巧】(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．（在区间(,)a b 内，若总有()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )增减性质进行判断；（5）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，（6）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，注意定义域【求函数最值(值域)方法技巧】(1)二次函数法：根据二次函数性质求最值或范(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(4)换元法：如三角换元或者带根号的式子换元（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.（6）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.（7）三角函数有界性：根据1cos 1-,1sin 1-≤≤≤≤x x 求参数或者变量范围（8）分离常数法（9）判别式法（10）数形结合法一、单选题1．（复合函数单调性：同增异减，注意定义域）函数()2ln 23y x x =-++的减区间是（）A ．(]1,1-B ．[)1,3C ．(],1-∞D ．[)1,+∞2．（抽象函数的的应用；注意求函数的解析式或找出最值的关系）定义域为R 的函数()f x 满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()2f x x x =-，则当(]2,1x ∈--时，()f x 的最小值为()A ．116-B ．18-C ．14-D ．03．（函数的奇偶性单调性，构造函数，注意定义域）已知函数()1ln 11xf x x x+=++-,且()()12f a f a ++>,则a 的取值范围是A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭4．（函数的奇偶性、单调性、比大小）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设(ln ),a f π=5(log 2),b f =-12(),c f e -=则,,a b c 的大小关系是A ．b c a<<B ．a b c<<C ．c b a<<D ．a c b<<5．（函数的奇偶性、单调性、函数图像）设f(x)为奇函数，且在（-∞，0）内是减函数，f （2）=0，则f(x)x<0的解集为（）A ．（-∞，-2）∪（2，+∞）B ．（-∞，2）∪（0，2）C ．（-2，0）∪（2，+∞）D ．（-2，0）∪（0，2）6．（函数奇偶性、构造函数、单调性、比大小）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有211212()()0x f x x f x x x -<-，记0.20.2(4.1)4.1f a =， 2.12.1(0.4)0.4f b =，0.20.2(log 4.1)log 4.1f c =，则（）A ．a c b<<B ．a b c<<C ．c b a<<D ．b c a<<7．（构造函数、单调性）已知,(0,)2παβ∈，sin sin 0βααβ->，则下列不等式一定成立的是（）A ．2παβ+<B ．2παβ+=C ．αβ<D ．αβ>8．（奇偶性、单调性、参变分离解不等式）已知函数31()sin 31x x f x x x -=+++，若[2,1]x ∃∈-，使得2()()0f x x f x k ++-<成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(1,)-+∞B ．(3,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,1)-∞-二、填空题9．（双变量求最值）已知函数()223f x x x a =-+，()21g x x =-．若对任意[]10,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的值为____．10.（结合导数构造函数解不等式）设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x ef x f x -<-的解集为__________．11.（分段函数单调性，注意端点值）已知函数2152(1)()24log (1)a a x x x f x xx -⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的取值范围为_____．12.（构造函数、依据单调性解不等式）已知函数()f x 是奇函数，且120x x ≤<时，有1212()()1f x f x x x -<-，(2)1f -=，则不等式3()x f x x -≤≤的解集为____．13.（偶函数解不等式，注意加绝对值）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若()30f -=，实数a 满足()250f a -≤，则a 的最小值为________．14.（反比例类型函数的单调性）若2()2f x x ax =-与21()1ax g x x -+=+在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是__________．15.（结合奇偶性单调性解不等式）已知函数()12cos 2xx f x e x e π⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数，若()()()22300f a f a f +-+<，则实数a 的取值范围为___________.16．下列命题：①集合{},,a b c 的子集个数有8个；②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；③()()2()21221f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数；④偶函数的图像一定与y 轴相交；⑤1()f x x=在()(),00,-∞⋃+∞上是减函数，其中真命题的序号是______________（把你认为正确的命题的序号都填上）.17．（构造函数、结合导数求单调性、解不等式）已知()()y f x xR =的导函数为()f x '，若()()32f x f x x --=，且当0x ≥时()23f x x '>，则不等式()2()1331f x f x x x -->-+的解集是__________．三、解答题18．（常见函数的性质、恒成立问题的求解方法和灵活运用分类讨论思想）已知函数212()log (1)f x x =+，2()6g x x ax =-+.（Ⅰ）若()g x 为偶函数，求a 的值并写出()g x 的增区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()0<g x 的解集为{|23}x x <<，当1x >时，求()1g x x -的最小值；（Ⅲ）对任意的1[1,)x ∈+∞，2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求出函数的定义域，在定义域内求出二次函数的减区间即可.【详解】令2t x 2x 30=-++>，求得1x 3-<<，故函数的定义域为()1,3-，且y lnt =递增，只需求函数t 在定义域内的减区间．由二次函数的性质求得2t (x 1)4=--+在定义域内的减区间为[)1,3，所以函数()2y ln x 2x 3=-++的减区间是[)1,3，故选B．【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→增，减减→增，增减→减，减增→减）.2．A 【解析】【分析】(](]21201x x ，，∈--⇒+∈，由1224f x f x f x f x +=⇒+=（）（）（）（），结合题意01x ∈（，]时，2f x x x =-（），即可求得()f x 的最小值．【详解】当(]2,1∈--时，(]201x ，+∈，2222232f x x x x x ∴+=+-+=++（）（）（），又()12f x f x +=（），()2[11]214f x f x f x f x （）（）（）∴+=++=+=，()243221f x x x x ∴=++-<≤-（），22113132(,2144216f x x x x x ∴=++=+--<≤-（）（）（），∴当32x =-时，f（x）取得最小值-116-．故选A．【点睛】本题考查抽象函数及其应用，着重考查转化思想与理解能力，求得21324f x x x =++（）（）是关键，也是难点，属于中档题．3．C 【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出函数的定义域，设g （x ）＝f （x ）﹣1，分析可得g （x ）为奇函数且在（﹣1，1）上为增函数，据此f （a ）+f （a +1）＞2⇒()111111a a a a ⎧-⎪-+⎨⎪-+⎩＜＜＜＜＞，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，函数f （x ）＝ln 11x x ++-x +1，有11xx+-＞0，解可得﹣1＜x ＜1，即函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），设g （x ）＝f （x ）﹣1＝ln 11x x ++-x ，则g （﹣x ）＝ln 11x x -++（﹣x ）＝﹣[ln 11xx++-x ]＝﹣g （x ），则函数g （x ）为奇函数；分析易得：g （x ）＝ln11xx++-x 在（﹣1，1）上为增函数，f （a ）+f （a +1）＞2⇒f （a ）﹣1＞﹣[f （a +1）﹣1]⇒g （a ）＞﹣g （a +1）⇒g （a ）＞g （﹣a ﹣1）⇒()111111a a a a ⎧-⎪-+⎨⎪-+⎩＜＜＜＜＞，解可得：12-＜a ＜0，即a 的取值范围为（12-，0）；故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键构造新函数g （x ）＝f （x ）﹣1，属于中档题．4．D 【解析】【分析】首先比较自变量的大小，然后结合函数的奇偶性确定函数在区间()0,+∞上的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小即可.【详解】注意到ln 1π>，510log 2log 2<<=，且112=<<，据此可得：125ln log 2eπ->>，函数为偶函数，则：()()125ln ,log 2,a f b f c f e π-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由偶函数的性质可知：函数在区间()0,+∞上单调递减，故()()125ln log 2f f e f π-⎛⎫<<- ⎪⎝⎭，即a c b <<.故选D .【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性，结合函数图象求解即可.【详解】∵f x 为奇函数，且在−∞,0内是减函数，所以函数在0,+∞上单调递减．∵f 2=0,∴f −2=−f 2=0，故函数f x 的图象如图所示：<0，可得x ⋅f x <0，即x 和f x 异号，由图象可得x <−2，或x >2，f(x)x<0的解集为−∞,−2∪2,+∞，故选A ．【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.6．A 【解析】设120x x <<，则12211212()()()()0f x f x x f x x f x x x ->⇒>所以函数()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递减，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在R 上的偶函数，因此()0.20.24.14.1f a =0.2(4.1)(1)g g =<，()2.12.10.40.4f b =2.12(0.4)(0.4)(0.5)g g g =>>，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =0.251(log 4.1)(log 4.1)((1),())2g g g g ==∈，即a c b<<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行7．C 【解析】【分析】构造函数()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，原不等式等价于()(),f f αβ>两次求导可证明()sin x f x x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，从而可得结论.【详解】由题意，sin sin βααβ>，sin sin αβαβ∴>，设()sin ,0,2x f x x x π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()2cos sin '0,2x x x f x x x π-⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，设()cos sin ,0,2g x x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()'cos sin cos sin 0g x x x x x x x ∴=--=-<，()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，且()()00g x g <=，()'0f x ∴<,所以()sin x f x x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，()()sin sin ,f f αβαβαβ>⇔> αβ∴<，故选C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出()'f x ；（2）令()'0f x >求出x 的范围，可得增区间；（3）令()'0f x <求出x 的范围，可得减区间.8．A【解析】由题函数()31sin 31x x f x x x -=+++的定义域为R，且()()()()3131sin sin ,3131x x x x f x x x x x f x --⎛⎫---=+-+-=-++=- ⎪++⎝⎭即函数()f x 为及奇函数，且()()22ln 331cos 031xx f x x ⋅=++'+>在[]2,1x ∈-上恒成立，即函数函数()f x 在[]2,1x ∈-上单调递增，若[]2,1x ∃∈-，使得()()20f x x f x k ++-<成立，即()()()()222f x x f x k f x x f k x x x k x+<--⇒+<-⇒+<-则问题转化为[]2,1x ∃∈-，22k x x >+，即()2min 2,k x x>+在[]2,1x ∈-上22y x x=+得最小值为-1，故实数k 的取值范围是()1,-+∞.故选A.9．13-【解析】【分析】将问题转化为()()max max f x g x ≤，根据二次函数和分式的单调性可求得()f x 在[]0,3上的最小值和最大值及()g x 在[]2,3上的最大值；分别讨论()f x 最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到()f x 每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.【详解】不等式()()12f x g x ≤恒成立可转化为：()()maxmax f x g x ≤当[]0,3x ∈时，()()min 113f x f a ==-+，()()max 333f x f a==+当[]2,3x ∈时，()()max 22g x g ==①若330a +≤，即1a ≤-时，()max 1313f x a a=-+=-132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）②若13033a a -+≤<+，即113a -<≤时，()()(){}max max 1,3f x f f =-又()113f a -=-，()333f a=+当1333a a ->+，即113a -<<-时，()max 13f x a =-132a ∴-≤，解得：13a ≥-（舍）当1333a a -≤+，即1133a -≤≤时，()max 33f x a =+332a ∴+≤，解得：13a ≤-13a ∴=-③若130a -+>，即13a >时，()max 3333f x a a =+=+332a ∴+≤，解得：13a ≤-（舍）综上所述：13a =-本题正确结果：13-【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.10．(1,)+∞【解析】【分析】根据条件构造函数F （x ）()x f x e =，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【详解】设F （x ）()x f x e =，则F ′（x ）()()'x f x f x e -=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增．∵()()121x e f x f x -<-∴()()2121x x f x f x e e --＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x＞1∴不等式()()121x e f x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．11．532a ≤≤【解析】【分析】因为函数2152(1)()24log (1)a a x x x f x xx -⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩是(),-∞+∞上的增函数，所以当1x ≥，时()log a f x x =是增函数，当1x <，()215224a f x x x -=+-也是增函数，且max min ()(1)()(1)f x x f x x <≤≥，从而可得答案。
2021年全国高考数学人教新版特色专题：函数的单调性与奇偶性-(讲义教师版)
函数的单调性与奇偶性知识集结知识元函数的单调性与奇偶性知识讲解1．奇偶性与单调性的综合【知识点的认识】对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f （﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：如果f（x）＝为奇函数，那么a＝．解：由题意可知，f（x）的定义域为R，由奇函数的性质可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）⇒a＝1【命题方向】奇偶性与单调性的综合．不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．例题精讲函数的单调性与奇偶性例1.（2021春∙沙坪坝区校级月考）下列函数为奇函数且值域为R的是（）A．y=x+B．y=xD．y=ln（x+）C．y=【答案】D【解析】题干解析:根据题意，依次分析选项：对于A，y=x+，为奇函数，但其值域为（-∞，-2]∪[2，+∞），不符合题意；对于B，y==，为偶函数，不符合题意；对于C，y=，为奇函数，其值域为（-1，1），不符合题意；对于D，y=ln（x+），为奇函数且值域为R，符合题意；例2.（2021春∙南关区校级月考）下列函数，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=-（x-1）2B．C．f（x）=3|x|D．f（x）=cos x【答案】B【解析】题干解析:根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=-（x-1）2，为二次函数，不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）=log2，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增，符合题意；对于C，f（x）=3|x|，是偶函数但在（-∞，0）上单调递减，不符合题意；对于D，f（x）=cos x是余弦函数，是偶函数但在（-∞，0）上不是单调函数，不符合题意；例3.（2021∙栖霞市模拟）已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f （x）=2x，则=（）A．2 B．D．C．【答案】B【解析】题干解析:∵f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，∴f（-x+2）=f（x+2）=f（x-2），即f（x+4）=f（x），则f（x）的周期T=4，则=f（）=f（1010-）=f（252×4+2-）=f（2-）=f（）=2=2∙=2，当堂练习单选题练习1.（2021秋∙张家口期末）已知是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．B．C．（0，1）D．【答案】A【解析】题干解析:因为f（x）为（-∞，+∞）上的减函数，所以有，解得≤a<，练习2.（2021∙3月份模拟）已知函数f（x）=（x2-2x）sin（x-1）+x+1在[-1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】题干解析:∵f（x）=（x2-2x）sin（x-1）+x+1=[（x-1）2-1]sin（x-1）+x-1+2令g（x）=（x-1）2sin（x-1）-sin（x-1）+（x-1），而g（2-x）=（x-1）2sin（1-x）-sin（1-x）+（1-x），∴g（2-x）+g（x）=0，则g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在[-1，3]上关于（1，2）中心对称。
函数单调性课件公开课
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
如果对于属于定义I域内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于区间D的任意
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 义 那么就说 f (x)在区间D上 是单调增函数，D称为 f (x)的单调
增区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
函数在其定义域内某一点处的函数值 画出下列函数图像，并写出单调区间：
试用定义法证明函数
是确定的，讨论函数在某点处的单调 在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
性无意义。若函数在区间端点处有定 区间D内随着x的增大，y也增大
x
y
图象在区间D逐渐上升
区间D内随着x的增大，y也增大f(x2)N？
对区间D内任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
D x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第8讲：函数的单调性一、课程标准1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义2.掌握求函数的单调性的方法·3.能处理函数的最值问题。
二、基础知识回顾1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间．2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减．3. 复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4. 函数单调性的常用结论(1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2）x1－x2>0⇔f(x)在D上是增函数；f()x1－f()x2x1－x2<0⇔f(x)在D上是减函数．(2)对勾函数y＝x＋ax(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)．(3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”5.常用结论1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：(1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反；(3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反；(4)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．2．增函数与减函数形式的等价变形：∀x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，则(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．三、自主热身、归纳总结1、函数y ＝x 2－5x －6在区间[2，4]上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增函数D ．先递增再递减函数2、函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( )A ．2 B.12C.13 D ．－123、设函数f(x)在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是(D )A. y ＝1f （x ）在R 上为减函数B. y ＝|f (x )|在R 上为增函数C. y ＝－1f （x ）在R 上为增函数D. y ＝－f (x )在R 上为减函数4、对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是()A ．B ．C ．D ．5、已知函数2()361f x x x =--，则( )A ．函数()f x 有两个不同的零点B ．函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈-，1]上的最大值为8，则13a =6、函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．7、已知f(x)＝x x －a (x≠a)，若a ＞0且f(x)在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．8、函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________．三、例题选讲考点一 函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间(1)y ＝－x 2＋2|x|＋1；(2)f(x)＝x 2－2x －3；（3）212log (32)y x x =-+变式1、（2019·河北石家庄二中模拟）函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞)变式2、已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( )A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.[－1，1)D.(－3，－1]变式3、.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域；(2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解；(3)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．考点二 复合函数的单调区间例2、（2019·黑龙江大庆实验中学模拟）函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)变式1、函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12C.(－2，3)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞变式2、函数f (x )＝2x －x 2的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，12B.⎣⎡⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤12，1方法总结：求复合函数的单调性，首先要注意复合函数的定义域，其次要确定函数是有哪些基本函数复合而成，根据同增异减的性质确定复合函数的单调性。
考点三 函数单调性的证明与判断例3、判断函数f(x)＝x 1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．变式1、已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0).(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值.变式2、试讨论函数f(x)＝ax x 2＋1(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论．方法总结： 1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法.2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下： 取值→作差→变形→确定符号→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．考点四 函数单调性的应用例4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x ＜1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．变式1、(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋1），x ≥1，1，x ＜1，则满足f (2x ＋1)＜f (3x －2)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(3，＋∞)C ．[1，3)D ．(0，1)变式2、已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23变式3、如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.变式4、【2019年天津理科06】已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b方法总结 1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.五、优化提升与真题演练1、【2019年新课标1理科03】已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a 2、【2017年新课标1理科05】函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f （1）＝﹣1，则满足﹣1≤f （x ﹣2）≤1的x 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．[﹣1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]3、已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4、函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞- B ．3(,)2-∞- C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞5、【2019年新课标3理1】设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ） A ．f （log 3）＞f （2）＞f （2）B ．f （log 3）＞f （2）＞f （2）C ．f （2）＞f （2）＞f （log 3）D ．f （2）＞f （2）＞f （log 3）6、【2017年浙江05】若函数f （x ）＝x 2+ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M ﹣m （ ） A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关 7、(多选)已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f (x )是增函数的是( ) A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)＞f (x )B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2＜0，都有f (x 1)－f (x 2)＜0D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞08、（2019·重庆南开中学模拟）若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为________．9、定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________． 10、设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________..11、设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.12、已知f (x )＝x x －a (x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．。