甘肃省2018届高三下学期第一次高考诊断考试数学理

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数学---甘肃省张掖市2018届高考一模试卷(理)(解析版)

甘肃省张掖市2018届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合M={x|4＜x＜8}，N={x|x2﹣6x＜0}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜4} B．{x|6＜x＜8}C．{x|4＜x＜6} D．{x|4＜x＜8}2．（5分）若（2﹣i）2=a+b i3（a，b∈R），则a+b=（）A．7 B．﹣7C．1 D．﹣13．（5分）如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温（°C）的数据一览表．已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A．最低温与最高温为正相关B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大4．（5分）已知tan（﹣θ）=4cos（2π﹣θ），|θ|＜，则tan2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5分）已知双曲线的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．B．C．D．6．（5分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A．2 B．3 C．4 D．57．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最大值为（）A．3 B．﹣1 C．﹣4 D．128．（5分）设A，B是椭圆的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x2+y2=10的一个交点，则||P A|﹣|PB||=（）A．B．C．D．9．（5分）设w＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则w的最小值是（）A．B．C．D．10．（5分）f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．52πB．45πC．41πD．34π12．（5分）已知函数，若f（m）=g（n）成立，则n﹣m 的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：每题5分，满分20分13．（5分）已知向量，，且，则=．14．（5分）若（1﹣3x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则=．15．（5分）如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为．16．（5分）在△ABC中，AC=3，CB=4，边AB的中点为D，则=．三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2，{b n}为等差数列，b3=a2，b2+b6=10．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n（2b n﹣3）}的前n项和T n．18．（12分）“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与这投币20元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金10元，两个红球奖金20元，三个全为红球奖金100元．（1）求献爱心参与者中奖的概率；（2）若该次募捐有900为献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望．19．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=3，=2，PE⊥平面ABCD，PE=．（1）证明：平面P AC⊥平面PBE；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）设直线l的方程为x=m（y+2）+5，该直线交抛物线C：y2=4x于P，Q两个不同的点．（1）若点A（5，﹣2）为线段PQ的中点，求直线l的方程；（2）证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B（1，2）．21．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣e x（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与y轴垂直，求y=f'（x）的最大值；（2）若对任意0≤x1＜x2都有f（x2）+x2（2﹣2ln2）＜f（x1）+x1（2﹣2ln2），求a的取值范围．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．C【解析】∵集合M={x|4＜x＜8}，N={x|x2﹣6x＜0}={x|0＜x＜6}，∴M∩N={x|4＜x＜6}．故选：C．2．A【解析】∵（2﹣i）2=3﹣4i=a+b i3=a﹣b i，∴a=3，b=4．∴a+b=7．故选：A．3．B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，则A正确；对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：﹣3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，则B错误；对于C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11；月温差的最大值出现在1月，C正确；对于D，有C的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，V 正确；故选：B．4．B【解析】∵tan（﹣θ）=4cos（2π﹣θ），∴=4cosθ，又∵|θ|＜，cosθ≠0，∴sin，cosθ==，tanθ==，∴tan2θ===．故选：B．5．C【解析】双曲线的实轴长为8，可得：m2+12=16，解得m=2，m=﹣2（舍去）．所以，双曲线的渐近线方程为：．则该双曲线的渐近线的斜率：．故选：C．6．B【解析】模拟程序的运行，可得：a=2，s=0，n=1，s=2，a=，满足条件s＜3，执行循环体，n=2，s=2+=，a=，满足条件s＜3，执行循环体，n=3，s=+=，a=，此时，不满足条件s＜3，退出循环，输出n的值为3．故选：B．7．D【解析】实数x，y满足约束条件，表示的平面区域如图所示，当直线z=4x﹣y过点A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），在y轴上截距最小，此时z取得最大值：12．故选：D．8．C【解析】A，B是椭圆的两个焦点，可知：A（﹣，0）、B（，0），圆M：x2+y2=10恰好经过AB两点，点P是椭圆C与圆M：x2+y2=10的一个交点，可得P A⊥PB，所以，可得：2|P A||PB|=8，||P A|﹣|PB||2=32，||P A|﹣|PB||=4．故选：C．9．A【解析】∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=，则ω=，故选：A．10．D【解析】∵f（﹣x）=f（x）∴函数f（x）为奇函数，排除A，∵x∈（0，1）时，x＞sin x，x2+x﹣2＜0，故f（x）＜0，故排除B；当x→+∞时，f（x）→0，故排除C；故选：D11．A【解析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面ABCD是矩形，其中AB=4，AD=6，侧面PBC⊥底面垂ABCD．设AC∩BD=O，则OA=OB=OC=OD=，OP=，∴O该多面体外接球的球心，半径R=，∴该多面体外接球的表面积为S=4πR2=52π．故选：A12．C【解析】不妨设f（m）=g（n）=t，∴e4m﹣1=+ln（2n）=t，（t＞0）∴4m﹣1=ln t，即m=（1+ln t），n=e，故n﹣m=e﹣（1+ln t），（t＞0）令h（t）=e﹣（1+ln t），（t＞0），∴h′（t）=e﹣，易知h′（t）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，当t＞时，h′（t）＞0，当0＜t＜时，h′（t）＜0，即当t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值，此时h（）=﹣（1+ln）=，即n﹣m的最小值为；故选：C．二、填空题13．【解析】∵，∴=6﹣2m=0，解得m=3．∴=（6，﹣2）﹣2（1，3）=（4，8）．∴==4．故答案为：．14．﹣4【解析】若（1﹣3x）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则（1﹣3x）6的通项公式为T r+1=（﹣3x）r，r=0，1，2， (6)可得a2=9=135，a3=﹣27=﹣540，可得=﹣4．故答案为：﹣4．15．【解析】连结BC1，交B1C于点O，连结OE，∵E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，∴BCC1B1是正方形，∴O是BC1中点，∵BD1∥平面B1CE，∴BD1∥OE，∴E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B（2，2，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），E（0，1，2），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣1，2），设异面直线BD1与CE所成成角为θ，cosθ===．∴异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为．故答案为：．16．【解析】△ABC中，AC=3，CB=4，边AB的中点为D，则：S△ACD=S△BCD，所以：=，整理得：．故答案为：．三、解答题17．解：（1）根据题意，等比数列{a n}中S n=2a n﹣2，当n=1时，有S1=2a1﹣2=a1，解可得a1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣2）﹣（2a n﹣1﹣2），变形可得a n=2a n﹣1，则等比数列{a n}的a1=2，公比q=2，则数列{a n}的通项公式a n=2×2n﹣1=2n，对于{b n}，b3=a2=4，b2+b6=2b4=10，即b4=5，则其公差d=b4﹣b3=1，则其通项公式b n=b3+（n﹣3）×d=n+1，（2）由（1）的结论：a n=2n，b n=n+1，a n（2b n﹣3）=（2n﹣1）•2n，则有T n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，①则有2T n=1×22+3×23+5×24+…+（2n﹣1）×2n+1，②①﹣②可得：﹣T n=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1，变形可得：T n=（2n﹣3）•2n+1+6．18．解：（1）设“献爱心参与者中奖”为事件A，则献爱心参与者中奖的概率．（2）设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X，则X=20，10，0，﹣80，则，，，，∴X的分布列为：若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为元，所以，此次募捐所得善款的数学期望为元．19．（1）证明：连接BE交AC于F，∵四边形ABCD是矩形，AB=，BC=1，，∴CE=，则，∵∠ABC=∠BCD=，∴△ABC∽△BCE，则∠BEC=∠ACB，∵∠BEC+∠ACE=∠ACB+∠ACE=，∴AC⊥BE，∵PE⊥平面ABCD，∴AC⊥PE，∵PE∩BE=E，∴AC⊥平面PBE，∵AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBE；（2）解：取PB中点G，连接FG，AG，CG，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥DC，∵PE=，∴PC=3=BC，得CG⊥PB，∵CG∩AC=C，∴PB⊥平面ACG，则AG⊥PB，∴∠AGC是二面角A﹣PB﹣C的平面角，∵AB∥CD，AB=CD，DE=2EC，∴，∵CE=，AC=6，∴CF=，AF=，∵BC⊥CD，BC⊥PE，∴BC⊥平面PCD，∴BC⊥PC，∴PB=，则CG=，∵FG⊥AC，∴FG=FC=，在Rt△AFG和Rt△CFG中，求得tan∠AGF=3，tan∠CGF=1．∴tan∠AGC=tan（∠AGF+∠CGF）=．∴cos∠AGC=．∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．20．解：（1）联立方程组，消去x得y2﹣4my﹣4（2m+5）=0 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣8m﹣20因为A为线段PQ的中点，所以，解得m=﹣1，所以直线l的方程为x+y﹣3=0．（2）证明：因为，，所以，即所以，因此BP⊥BQ，即以线段PQ为直径的圆恒过点B（1，2）．21．解：（1）由f'（x）=2ax﹣e x，得，，令g（x）=f'（x）=e x﹣e x，则g'（x）=e﹣e x，可知函数g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g'（x）max=g'（1）=0．（2）由题意得可知函数h（x）=f（x）+x（2﹣2ln2）=ax2+x（2﹣ln2）﹣e x在[0，+∞）上单调递减，从而h'（x）=2ax+（2﹣2ln2）﹣e x≤0在[0，+∞）上恒成立，令F（x）=2ax+（2﹣2ln2）﹣e x，则F'（x）=2a﹣e x，当时，F'（x）≤0，所以函数F（x）在[0，+∞）上单调递减，则F（x）max=F（0）=1﹣2ln2＜0，当时，F'（x）=2a﹣e x=0，得x=ln2a，所以函数F（x）在[0，ln2a）上单调递增，在[ln2a，+∞）上单调递减，则F（x）max=F（ln2a）=2alo2a+2﹣2ln2﹣2a≤0，即2a ln2a﹣2a≤2ln2﹣2，通过求函数y=x ln x﹣x的导数可知它在[1，+∞）上单调递增，故，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，1]．22．解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2=16，即ρ=±4．∴A、B两点的极坐标为：或．（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，得到普通方程为x2﹣y2=8．将直线代入x2﹣y2=8，整理得．∴|MN|==．23．解：（1）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1；当x≤﹣3时，不等式转化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式解集为空集；当﹣3＜x＜﹣1时，不等式转化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解之得；当x≥﹣1时，不等式转化为（x+1）﹣（x+3）≤1，恒成立；综上所求不等式的解集为．（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4恒成立，即|x﹣a|≤x+7，亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立，又因为x∈[0，3]，所以﹣7≤a≤7，所以a的取值范围为[﹣7，7]．。

2018年甘肃省第一次高考诊断理科数学试卷及解析

2018年甘肃省第一次高考诊断考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.设全集U R =，集合{}2A x x =≥，{}06B x x =≤<，则集合()U （）A．{}02x x <<B．{}02x x <≤C．{}02x x ≤<D．{}02x x ≤≤2.在复平面内复数34iz i+=、(i 是虚数单位)对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.向量(,1)a m =，(1,)b m =，则“1m =”是“//a b ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.若实数x ，y 满足10,10,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最大值是（）A．-1B．1C.2D．35.某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为23π，则a 的值为（）A．1B．2 C.22D．326.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，若11a =，3564a a ⋅=，则6S =（）A．65B．64C.63D．627.中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若7cos 225BAE ∠=，则在正方形ABCD 内随机取一点，该点恰好在正方形EFGH 内的概率为（）A．2425B．45C.35D．1258.过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为（）A．19B．25C.21D．5559.如图所示，若程序框图输出的所有实数对(,)x y 所对应的点都在函数2()f x ax bx c =++的图象上，则1()0f x dx =⎰（）A．1011B．1112C.1312D．121110.过双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点(22,0)F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（）A．22B．2+1C.3D．211.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且4PA =，M 是PB 上的一个动点，过点M 作平面//α平面PAD ，截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图象是（）A．B． C.D．12.对于任意0b >，a R ∈，不等式[][]222(2)ln (1)b a b a m m --+--≥-恒成立，则实数m 的最大值为（）A．eB．2 C.eD．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式62()x x-的展开式中的常数项是．(用数字作答)14.已知数列{}n a 满足115a =，12()n n a a n N n *+-=∈，则n an的最小值为．15.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.16.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE NM NF =+，则MNF ∆的面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若6b =，求ABC ∆周长的取值范围.18.四棱台被过点11,,A C D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，1BB ⊥平面ABCD ，12BB =.（Ⅰ）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D ；（Ⅱ）若1AA 与底面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角11A BD C --的余弦值.19.2017年12月，针对国内天然气供应紧张的问题，某市政府及时安排部署，加气站采取了紧急限气措施，全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况，对该地区某些年份天然气需求量进行了统计，并绘制了相应的折线图.（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合年度天然气需示量y (单位：千万立方米)与年份x (单位：年)之间的关系.并且已知y 关于x 的线性回归方程是ˆˆ6.5yx a =+，试确定ˆa 的值，并预测2018年该地区的天然气需求量；（Ⅱ）政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》，该方案对新能源汽车的续航里程做出了严格规定，根据续航里程的不同，将补贴金额划分为三类，A 类：每车补贴1万元，B 类：每车补贴2.5万元，C 类：每车补贴3.4万元.某出租车公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计，结果如下表：类型A 类B 类C 类车辆数目102030为了制定更合理的补贴方案，政府部门决定利用分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况，在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本，再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ξ”，求ξ的分布列及期望.20.椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E在第一象限交于点P ，若15PF =，且23a b =.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）A ，B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点.若直线AB 过点(1,1)-，且22APF BPF ∠=∠，求直线AB 的方程.21.已知函数()ln f x a x =，a R ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()g x x =在公共点处有共同的切线，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数1()()12x xe F x xf x -=-+是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线221:(3)(1)4C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将曲线1C 绕极点逆时针旋转6π后得到的曲线记为2C .（Ⅰ）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线3πθ=（0p >）与曲线1C ，2C 分别交于异于极点O 的A ，B 两点，求AB .23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且(1)0f x +≥的解集为[]0,2.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c R ∈，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥.2018年甘肃省第一次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准一、选择题1-5:CDACB 6-10:CDABD11、12：DB二、填空题13.-16014.27415.甲16.322三、解答题17.解:（Ⅰ）∵m n ⊥，则有cos (2)cos 0B a c C b ⋅++⋅=，∴cos (2sin sin )cos sin 0B AC C B ⋅++⋅=∴2cos sin (sin cos cos sin )sin()sin B A C B C B B C A =-⋅+⋅=-+=-，∴1cos 2B =-，∴23B π=.（Ⅱ）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2236a c ac =++，又∵236()a c ac =+-，∴22()36()2a c a c ac ++-=≤，∴643a c <+≤，则ABC ∆周长的取值范围是(12,643⎤+⎦.18.解：（Ⅰ）∵1BB ⊥平面ABCD ，∴1BB AC ⊥.在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，又1BD BB B ⋂=，∴AC ⊥平面1BB D ，∵AC ⊂平面1AB C ，∴平面1AB C ⊥平面1BB D .（Ⅱ）∵1BB ⊥平面ABCD∴1AA 与底面ABCD 所成角为1A AB ∠，∴1tan 2A AB ∠=，∴111A B =设BD ,AC 交于点O ，以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.则(0,1,0)B -，(0,1,0)D ，1(0,1,2)B -,(3,0,0)A .111131(,,2)222B A BA A =⇒- ，同理131(,,2)22C --，131(,,2)22BA = ，(0,2,0)BD = ，131(,,2)22BC =- .设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，∴10,0,BA n BD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 则(4,0,3)n =-，设平面1C BD 的法向量(,,)m x y z '''=，10,0,BD m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则(4,0,3)m =，设二面角11A BD C --为θ，13cos 19m n m n θ⋅==.19.解：（Ⅰ）如折线图数据可知2008201020122014201620125x ++++==236246257276286260.25y ++++==代入线性回归方程ˆˆ6.5yx a =+可得ˆ12817.8a =-.将2018x =代入方程可得ˆ299.2y=千万立方米.（Ⅱ）根据分层抽样可知A 类，B 类，C 类抽取人数分别为1辆，2辆，3辆则当A 类抽1辆，B 类抽1辆时，=3.5ξ，此时1112262( 3.5)15C C P C ξ===；当A 类抽1辆，C 类抽1辆时， 4.4ξ=，此时1113263( 4.4)15C C P C ξ===；当B 类抽1辆，C 类抽1辆时， 5.9ξ=，此时11232662( 5.9)155C C P C ξ====；当B 类抽2辆时，=5ξ，此时22261(5)15C P C ξ===；当C 类抽2辆时， 6.8ξ=，此时232631( 6.8)155C P C ξ====.所以ξ的分布列为：ξ3.54.45.956.8p2153152511515∴23211273.5 4.4 5.95 6.8151551555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）20.解：（Ⅰ）由题可得223b PF a==，因为15PF =，由椭圆的定义得4a =，所以212b =，所以椭圆E 方程为2211612x y +=.（Ⅱ）易知点P 的坐标为(2,3).因为22APF BPF ∠=∠，所以直线PA ，PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线PA 的方程为3(2)y k x -=-，由223(2)11612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(3+4)8(32)4(32)480k x k k x k +-+--=，∴128(23)234k k x k ++=+同理直线PB 的方程为3(2)y k x -=--，可得2228(23)8(23)23434k k k k x k k---++==++，∴2122161234k x x k -+=+，1224834k x x k--=+，121212121212(2)3(2)3()412AB yy k x k x k x x k k x x x x x x --++--+-====---，∴满足条件的直线AB 的方程为11(1)2y x +=-，即为230x y --=.21.解：（Ⅰ）函数()ln f x a x =的定义域为(0)+∞,，()af x x '=，1()2g x x'=设曲线()y f x =与曲线()g x x =公共点为00(,)x y 由于在公共点处有共同的切线，所以0012a x x =，解得204x a =，0a >.由00()()f x g x =可得00ln a x x =.联立20004,ln ,x a a x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得2ea =.（Ⅱ）函数1()()12xxe F x xf x -=-+是否有零点，转化为函数()()ln 2eH x xf x x x==与函数1()12xxe G x -=-在区间(0,)x ∈+∞是否有交点，()()ln 2eH x xf x x x ==，可得()ln (1ln )222eeeH x x x '=+=+，令()0H x '>，解得1(,)x e ∈+∞，此时函数()H x 单调递增；令()0H x '<，解得1(0,)x e ∈，此时函数()H x 单调递减.∴当1x e =-时，函数()H x 取得极小值即最小值，11()2H e =-.1()12xxe G x -=-可得11()(1)2xG x x e -'=-，令()0G x '>，解得01x <<，此时函数()G x 单调递增；令()0G x '<，解得1x >，此时函数()G x 单调递减.∴当1x =时，函数()G x 取得极大值即最大值，1(1)2G =-.因此两个函数无交点.即函数1()()12xxe F x xf x -=-+无零点.22.解：曲线221:(3)(1)4C x y -+-=化为极坐标方程是23cos 2sin ρθθ=+设曲线2C 上的点(,)Q ρθ绕极点顺时针旋转6π后得到(,)6P πρθ-在1C 上，代入可得2C 的极坐标方程是2cos 23sin ρθθ=+.（Ⅱ）将3πθ=（0ρ>）分别代入1C ，2C 的极坐标方程，得到123ρ=，24ρ=12423AB ρρ=-=-.23.（Ⅰ）()01011f x m x m x m≥⇒--≥⇒-≤≤+由(+1)0f x ≥的解集为[]02，可知1m =.（Ⅱ）111123a b c++=则111233223(22)()111232233b c a c a b a b c a b c a b c a a b b c c++=++++=++++++++233233692323b a c a c b a b a c b c=++++++≥+=当且仅当23a b c ==时等号成立，即3a =，32b =，1c =时等号成立.。

2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科)

2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U =R ，集合M ={x|x ≥0}，集合N ={x|x 2<1}，则M ∩(∁U N)=（） A.(0, 1) B.[0, 1] C.[1, +∞) D.(1, +∞)2. 已知复数z =−5+12i （i 是虚数单位），则下列说法正确的是（） A.复数z 的实部为5 B.复数z 的虚部为12iC.复数z 的共轭复数为5+12iD.复数z 的模为133. 已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 6+2a 42=π，则tan(a 3a 5)=( ) A.√3 B.−√3 C.−√33D.±√3 4. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1的一条渐近线与抛物线y =x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（） A.54B.5C.√54D.√55. 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足学AP →=2PM →，则PA →⋅(PB →+PC →)等于（） A.−49 B.−43C.43D.496. 数列{a n }中，a 1=1，对任意n ∈N ∗，有a n+1=1+n +a n ，令b i =1a i，(i ∈N ∗)，则b 1+b 2+...+b 2018=( ) A.20171009 B.20172018C.20182019D.403620197. 若(x +1x +1)n 的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0, π]和[0, n4]内任取两个实数x ，y ，满足y >sinx 的概率为（） A.1−1πB.1−2πC.1−3πD.128. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A.4πB.3πC.√3πD.√32π9. 某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A.1008B.2017C.2018D.302510. 设p：实数x，y满足(x−1)2+\lbracky−(2−√2)brack2≤3−2√2；q：实数x，y满足{x−y≤1x+y≥1y≤1，则p是q的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件11. 已知圆C:(x−1)2+(y−4)2=10和点M(5,t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为（）A.[−2,6]B.[−3,5]C.[2,6]D.[3,5]12. 定义在(0,π2)上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cosx⋅f′(x)+sinx⋅f(x)<0成立，则有（）A.f(π6)>√2f(π4) B.√3f(π6)>f(π3)C.f(π6)>√3f(π3) D.f(π6)>√3f(π4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若sin(π4−α)=−25，则cos(π4+α)=________．14. 已知样本数据a1，a2，……a2018的方差是4，如果有b i=a i−2(i=1, 2,…,2018)，那么数据b1，b2，……b2018的均方差为________．15. 设函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则φ=________．16. 函数f(x)=1+x −x 22+x 33，g(x)=1−x +x 22−x 33，若函数F(x)=f(x +3)g(x −4)，且函数F(x)的零点均在[a, b](a <b, a, b ∈Z)内，则b −a 的最小值为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知向量a →=(cos2x,sin2x)，b →=(√3,1)，函数f(x)=a →∗b →+m ．（1）求f(x)的最小正周期；（2）当x ∈[0,π2brack 时，f(x)的最小值为5，求m 的值．18. 如图所示，矩形ABCD 中，AC ∩BD =G ，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC =2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值．19. 某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：∘C ）的相关数据，如表：（1）试求y 与x 的回归方程y ^=b ^x +a ^；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6∘C ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温X ∼N(μ, σ2)，其中μ近似取样本平均数x ，σ2近似取样本方差s 2，试求P(3.8<X <13.4)．附：参考公式和有关数据{b ^=∑−i=1n xiyi nxy ∑x i 2n i=1−nx 2=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(x i −x)2n i=1a ^=y −b ^x ，√10≈3.2，√3.2≈1.8，若X ∼N(μ, σ2)，则P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，且P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544．20. 已知圆C ：(x +1)2+y 2=8，过D(1, 0)且与圆C 相切的动圆圆心为P ．（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线l 1交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线l 2交曲线E 于R ，T 两点，且l 1⊥l 2，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）．①设W(x 0, y 0)，证明：x 022+y 02<1；②求四边形QRST 的面积的最小值21. 已知函数f(x)=x+tx−1e x−1，其中e 为自然对数的底数．（1）证明：当x >1时，①ln √x <√x −1，②e x−1>x ；（2）证明：对任意x >1，t >−1，有f(x)>√x(1+12lnx)．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程是{x =√22t y =√22t +4√2 （t 是参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23. 设函数f(x)=|x −a|+2x ，其中a >0．（1）当a =2时，求不等式f(x)≥2x +1的解集；（2）若x ∈(−2, +∞)时，恒有f(x)>0，求a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵N={x|−1<x<1}，U=R，∴∁U N={x|x≤−1或x≥1}．∵M={x|x≥0}，∴M∩(∁U N)=[1,+∞)．故选C．2.【答案】D【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数求模复数的基本概念【解析】直接利用复数的基本概念得选项．【解答】∵z=−5+12i，∴z的实部为−5，虚部为12，z的共轭复数为−5−12i，模为√(−5)2+(12)2=13．∴说法正确的是复数z的模为13．3.【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】由等比数列{a n}的性质可得：a2a6=a3a5=a42，根据a2a6+2a42=π=3a3a5，可得a3a5．利用三角函数求值即可得出．【解答】由等比数列{a n}的性质可得：a2a6=a3a5=a42，∴a2a6+2a42=π=3a3a5，∴a3a5=π．3=√3．则tan(a3a5)=tanπ34.【答案】 D【考点】圆锥曲线【解析】先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a 和b 的关系，进而求得a 和c 的关系，则双曲线的离心率可得．【解答】依题意可知双曲线渐近线方程为y =±ba x ，与抛物线方程联立消去y 得x 2±ba x +1=0∵ 渐近线与抛物线有一个交点 ∴ △=b 2a 2−4=0，求得b 2=4a 2，∴ c =√a 2+b 2=√5a ， ∴ e =ca =√5，5.【答案】 A【考点】平行向量的性质平面向量数量积的性质及其运算律【解析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足AP →=2PM →可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【解答】∵ M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足AP →=2PM →∴ P 是三角形ABC 的重心 ∴ PA →∗(PB →+PC →) =PA →∗AP →=−|PA →|2 又∵ AM =1 ∴ |PA →|=23∴ PA →∗(PB →+PC →)=−496.【答案】 D【考点】数列递推式【解析】a n+1=1+n +a n ，即a n+1−a n =n +1．n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+……+(a 2−a 1)+a 1，可得a n ．b n =1a n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，利用裂项求和方法即可得出．【解答】a n+1=1+n +a n ，即a n+1−a n =n +1．∴ n ≥2时，a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+……+(a 2−a 1)+a 1 =n +(n −1)+……+2+1 =n(n+1)2．n =1时也成立．b n =1a n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则b 1+b 2+...+b 2018=2[(1−12)+(12−13)+……+(12018−12019)brack =2(1−12019) =40362019．7.【答案】 B【考点】二项式定理的用法【解析】根据几何概型的概率公式，求出对应事件对应的平面区域的面积，进行求解即可【解答】由题意知，令x =1，得到3n =81，解得 n =4，∴ 0≤x ≤π，0≤y ≤1．作出对应的图象如图所示：则此时对应的面积S =π×1=π，满足y ≥sinx 的点构成区域的面积为： S =∫πsinxdx =−cosx|π=−cosπ+cos0=2，则满足y >sinx 的概率为P =1−2π．故选：B ．8.【答案】D【考点】由三视图求体积球的体积和表面积球内接多面体【解析】根据三视图得出四棱锥的结构特征，根据阳马与长方体的关系计算长方体的棱长，得出外接球的体积．【解答】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个侧面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球．由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为，1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴长方体的对角线为√3，∴外接球的半径为√32，∴外接球的体积为V=4π3∗(√32)3=√3π2．9.【答案】A【考点】程序框图【解析】本题主要考查程序框图，同时考查了三角函数的相关知识.【解答】解：执行程序框图可知，输出的S=a1+a2+⋯+a2016+a2017+a2018=(0+1)+(−2+1)+(0+1)+(4+1)+⋯+(0+1)+(−2014+1)+(0+1)+ (2016+1)+(0+1)+(−2018+1)=6×20164+1−2017=3024+1−2017=1008, 故输出的S的值是1008.故选A.10.【答案】B【考点】充分条件【解析】分别作出p，q对应区域，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】(x−1)2+\lbracky−(2−√2)brack2≤3−2√2=(√2−1)2，则p对应的表达式表示以(1, 2−√2)为圆心，半径r=√2−1的圆及其内部，q对应的平面区域为三角形内部，由图象知p对应区域都在三角形内，则p是q的充分不必要条件，方法2：圆心(1, 2−√2)到y=1的距离d=1−(2−√2)=√2−1=R，圆心(1, 2−√2)到x−y=1的距离d=√2)−1|√2=√2√2=√2−1=R，圆心(1, 2−√2)当x+y=1的距离d=√2−1|√2=√2−1=R，即p对应的区域都在q对应三角形区域内部，则p是q的充分不必要条件，11.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】本题考查直线与圆的位置关系．【解答】解：由题意，知满足条件的t的值在直线x=5的两个点的纵坐标之间取值，过此两个点与圆相切的两条直线互相垂直．设过点(5,t)的直线方程为y−t=k(x−5)，由相切条件，得√k2+1=√10，整理，得6k2+8(4−t)k+(t−4)2−10=0，由题意知此方程的两根满足k1k2=−1，所以(t−4)2−106=−1，解得t=2或t=6，所以2≤t≤6．故选C．12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意，令g(x)=f(x)cosx ，x∈(0, π2)，对其求导分析可得g′(x)<0，即函数g(x)为减函数，结合选项分析可得答案【解答】根据题意，令g(x)=f(x)cosx ，x∈(0, π2)，则其导数g′(x)=f′(x)cosx+sinxf(x)cos2x，又由x∈(0, π2)，且恒有cosx⋅f′(x)+sinx⋅f(x)<0，则有g′(x)<0，即函数g(x)为减函数，又由π6<π3，则有g(π6)>g(π3)，即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3，分析可得f(π6)>√3f(π3)，又由π6<π4，则有g(π6)>g(π4)，即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4，分析可得√2f(π6)>√3f(π4)，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】−2 5【考点】两角和与差的三角函数【解析】根据(π4+α)+(π4−α)=π2，利用诱导公式求出对应数值．【解答】sin(π4−α)=−25，∴cos(π4+α)=cos[π2−(π4−α)]=sin(π4−α)=−25．14.【答案】4【考点】极差、方差与标准差【解析】根据一组数据的平均数与方差的定义和计算公式，即可推导出正确的结论．【解答】根据题意，样本数据a1，a2，…，a2018的平均数为a，其方差是4，则有s a2=12018[(a1−a )2+(a2−a )2+(a3−a )2+...+(a2018−a )2]= 4，对于数据b i=a i−2(i=1, 2,…,2018)，其平均数为b=12018(b1+b2+...+b2018)=12018[(a1−2)+(a2−2)+...+(a2018−2)]=a−2，其方差为s b2=12018[(b1−b )2+(b2−b )2+(b3−b )2+...+(b2018−b )2]=12018[(a1−a )2+(a2−a )2+(a3−a )2+...+(a2018−a )2]=4，15.【答案】π3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用函数的图象的平移变换求出结果．【解答】函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π2)向左平移π3个单位长度后，得到：g(x)=sin(2x+2π3+φ)的函数是一个奇函数，则：φ+2π3=kπ(k∈Z)，解得：φ=kπ−2π3(k∈Z)，当k=1时，φ=π3．16.【答案】10【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据函数单调性和零点的存在性定理判断f(x)与g(x)的零点所在区间，从而得出F(x)的零点所在区间．【解答】∵f′(x)=1−x+x2=(x−12)2+34>0，g′(x)=−1+x−x2=−(x−12)2−34<0，∴f(x)在R上单调递增，g(x)在R上单调递减，又f(−1)=−56<0，f(0)=1>0，g(1)=16>0，g(2)=−53<0，∴f(x)的唯一零点在(−1, 0)上，g(x)的唯一零点在(1, 2)上．令F(x)=0可得f(x+3)=0或g(x−4)=0，∴f(x+3)的唯一零点在(−4, −3)上，g(x−4)的唯一零点在(5, 6)上．∵函数F(x)的零点均在[a, b](a<b, a, b∈Z)内，∴a≤−4，b≥6．∴b−a的最小值为10．故答案为：10．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.【答案】由题意知：f(x)=cos(2x, sin2x)⋅(√3, 1)=√3cos2x+sin2x+m=2sin(2x+π3)+ m，所以f(x)的最小正周期为T=π．由（1）知：f(x)=2sin(2x+π3)+m，当x∈[0,π2brack时，2x+π3∈[π3,4π3brack．所以当2x+π3=4π3时，f(x)的最小值为−√3+m．又∵f(x)的最小值为5，∴−√3+m=5，即m=5+√3．【考点】平面向量数量积的性质及其运算律三角函数的周期性及其求法【解析】（1）根据向量的数量积公式和两角和的正弦公式可化简可得f(x)=2sin(2x+π3)+m，再根据周期的定义即可求出，（2）根据正弦函数的性质即可求出m的值．【解答】由题意知：f(x)=cos(2x, sin2x)⋅(√3, 1)=√3cos2x+sin2x+m=2sin(2x+π3)+ m，所以f(x)的最小正周期为T=π．由（1）知：f(x)=2sin(2x+π3)+m，当x∈[0,π2brack时，2x+π3∈[π3,4π3brack．所以当2x+π3=4π3时，f(x)的最小值为−√3+m．又∵f(x)的最小值为5，∴−√3+m=5，即m=5+√3．18.【答案】证明：因为AD⊥面ABE，所以AD⊥AE，又BC // AD，所以BC⊥AE．因为BF⊥面ACE，所以BF⊥AE．又BC∩BF=B，所以AE⊥面BCF，即AE⊥平面BCE．方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF ⊥CE ，又BC =BE ，所以F 为CE 中点，在△DEC 中，DE =CE =CD =2√2，所以DF ⊥CE ，∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，cos∠BFD =BF 2+DF 2−BD 22∗BF∗DF=2∗√2∗√6=−√33． ∴ 平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值为√33．方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为E(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 0, 2)，D(0, 2, 2)，设平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，易知n 1→=(0,1,0)，令n 2→=(x,y,z)，则{n 2→∗EC →=0n 2→∗ED →=0 ，故{2x +2z =02y +2z =0，令x =1，得{x =1y =1z =−1，n 2→=(1,1,−1)，于是，cos <n 1→,n 2→>=n 1→∗n 2→|n 1→||n 2→|=1∗√3=√33．此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值．【考点】直线与平面垂直二面角的平面角及求法【解析】（1）证明AD ⊥AE ，BC ⊥AE ．推出AE ⊥面BCF ，得到AE ⊥平面BCE ．（2）方法1：说明∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，通过求解三角形求解即可．方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，利用空间向量的数量积求解平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值．【解答】证明：因为AD ⊥面ABE ，所以AD ⊥AE ，又BC // AD ，所以BC ⊥AE ．因为BF ⊥面ACE ，所以BF ⊥AE ．又BC ∩BF =B ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE ．方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF ⊥CE ，又BC =BE ，所以F 为CE 中点，在△DEC 中，DE =CE =CD =2√2，所以DF ⊥CE ，∠BFD 为二面角B −CE −D 的平面角，cos∠BFD =BF 2+DF 2−BD 22∗BF∗DF=2∗√2∗√6=−√33． ∴ 平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值为√33．方法2：以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为E(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 0, 2)，D(0, 2, 2)，设平面BCE 的法向量n 1→，平面CDE 的法向量为n 2→，易知n 1→=(0,1,0)，令n 2→=(x,y,z)，则{n 2→∗EC →=0n 2→∗ED →=0 ，故{2x +2z =02y +2z =0，令x =1，得{x =1y =1z =−1，n 2→=(1,1,−1)，于是，cos <n 1→,n 2→>=n 1→∗n 2→|n 1→||n 2→|=1∗√3=√33．此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值． 19.【答案】由题意，x =7，y =9，∑−i=1n xiyi nx y =287−5⋅7⋅9=−28，∑ni=1x i 2−nx 2=295−5⋅72=50，b ^=−2850=−0.56，a ^=y −b ^x =9−(−0.56)⋅7=12.92．所以所求回归直线方程为y ^=−0.56x +12.92．由b ^=−0.56<0知，y 与x 负相关．将x =6代入回归方程可得，y ^=−0.56∗6+12.92=9.56，即可预测当日销售量为9.56kg ．由（1）知μ≈x =7，σ≈√S 2=3.2，所以P(3.8<X <13.4)=P(μ−σ<X <μ+2σ)=12P(μ−σ<X <μ+σ)+12P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.8185．【考点】求解线性回归方程正态分布密度曲线（1）利用公式求出bˆ，a ˆ，即可得出结论．（2）根据bˆ的正负即可判断．将x =6代入回归方程，可得预测这天该商品的销售量；（3）根据X ∼N(μ, σ2)即可计算．【解答】由题意，x =7，y =9，∑−i=1n xiyi nx y =287−5⋅7⋅9=−28，∑ni=1x i 2−nx 2=295−5⋅72=50，b ^=−2850=−0.56，a ^=y −b ^x =9−(−0.56)⋅7=12.92．所以所求回归直线方程为y ^=−0.56x +12.92．由b ^=−0.56<0知，y 与x 负相关．将x =6代入回归方程可得，y ^=−0.56∗6+12.92=9.56，即可预测当日销售量为9.56kg ．由（1）知μ≈x =7，σ≈√S 2=3.2，所以P(3.8<X <13.4)=P(μ−σ<X <μ+2σ)=12P(μ−σ<X <μ+σ)+12P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.8185． 20.【答案】设动圆半径为r ，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E 是椭圆，其方程为x 22+y 2=1．①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有x ∘2+y ∘2=1，又因Q ，S ，R ，T 为不同的四个点，x∘22+y∘2<1．②若l 1或l 2的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l 1的斜率为k 1，则l 1的方程为y =k 1(x +1)，联立{y =k 1(x +1)x 22+y 2=1，得(2k 2+1)x 2+4k 2x +2k 2−2=0，则|QS|=2√2k 2+12k 2+1，同理得|RT|=2√2k 2+1k 2+2，∴ S QSRT =12|QS|∗|RT|=4(k 2+1)2(2k 2+1)(k 2+2)≥4(k 2+1)294(k 2+1)2=169，当且仅当2k 2+1=k 2+1，即k =±1时等号成立．综上所述，当k =±1时，四边形QRST 的面积取得最小值为169．轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）设动圆半径为r，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2，由椭圆定义能求出点P的轨迹E的方程．（2）①由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，由Q，S，R，T为不同的四个点，能够证明x∘22+y∘2<1．②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1(x+1){y=k1(x+1)x22+y2=1，得|QS|=2√2k2+12k2+1，同理得|RT|=2√2k2+1k2+2，由此能求出四边形QRST的面积取得最小值．【解答】设动圆半径为r，则|PC|=2√2−r,|PD|=r,|PC|+|PD|=2√2>|CD|=2，由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，其方程为x22+y2=1．①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，则有x∘2+y∘2=1，又因Q，S，R，T为不同的四个点，x∘22+y∘2<1．②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1(x+1)，联立{y=k1(x+1)x22+y2=1，得(2k2+1)x2+4k2x+2k2−2=0，则|QS|=2√2k2+12k2+1，同理得|RT|=2√2k2+1k2+2，∴S QSRT=12|QS|∗|RT|=4(k2+1)2(2k2+1)(k2+2)≥4(k2+1)294(k2+1)2=169，当且仅当2k2+1=k2+1，即k=±1时等号成立．综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值为169．21.【答案】f(x)>√x(1+12lnx)，即x+tx−1e x−1>√x(1+12lnx)=√x(1+ln√x)，由(1)ln√x<√x−1，所以1+ln√x<√x，√x(1+ln√x)<√x∗√x=x，所以，只需证x<x+tx−1e x−1，即(x+t)e x−1>x2−x，由（1）e x−1>x，所以只需证(x+t)x>x2−x，只需证x+t>x−1，即t>−1，上式已知成立，故原式成立，得证．【考点】函数恒成立问题不等式的证明【解析】（1）利用函数的导数，判断函数的单调性，然后证明不等式；（2）化简不等式利用（1）的结论，通过分析法转化证明即可．【解答】f(x)>√x(1+12lnx)，即x+tx−1e x−1>√x(1+12lnx)=√x(1+ln√x)，由(1)ln√x<√x−1，所以1+ln√x<√x，√x(1+ln√x)<√x∗√x=x，所以，只需证x<x+tx−1e x−1，即(x+t)e x−1>x2−x，由（1）e x−1>x，所以只需证(x+t)x>x2−x，只需证x+t>x−1，即t>−1，上式已知成立，故原式成立，得证．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．∴ρ=√2cosθ−√2sinθ，∴ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2−√2x+√2y=0，即(x−√22)2+(y+√22)2=1，∴圆心直角坐标为(√22,−√22)．解法一：直线l上的点向圆C引切线长是：√(√22t−√22)2+(√22t+√22+4√2)2−1=√t2+8t+40=√(t+4)2+24≥2√6，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2√6．解法二：直线l的普通方程为x−y+4√2=0，∴圆心C到直线l距离是|√22+√22+4√2|√2=5，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是√52−12=2√6．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）圆C的极坐标方程转化为ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，由此能求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心直角坐标．（2）法一：求出直线l 上的点向圆C 引切线长，由此能求出直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值．法二：求出圆心C 到直线l 距离，由此能求出直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值．【解答】∵ 圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)．∴ ρ=√2cosθ−√2sinθ， ∴ ρ2=√2ρcosθ−√2ρsinθ，∴ 圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2−√2x +√2y =0，即(x −√22)2+(y +√22)2=1，∴ 圆心直角坐标为(√22,−√22)．解法一：直线l 上的点向圆C 引切线长是： √(√22t −√22)2+(√22t +√22+4√2)2−1=√t 2+8t +40=√(t +4)2+24≥2√6，∴ 直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是2√6．解法二：直线l 的普通方程为x −y +4√2=0， ∴ 圆心C 到直线l 距离是|√22+√22+4√2|√2=5，∴ 直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是√52−12=2√6．[选修4-5：不等式选讲] 23.【答案】当a =2时，|x −2|+2x ≥2x +1，所以|x −2|≥1，所以x ≥3或x ≤1，解集为(−∞, 1]∪[3, +∞)．f(x)={3x −a,x ≥ax +a,x <a ，因为a >0，∴ x ≥a 时，3x −a ≥2a >0恒成立，又x <a 时，当x >−2时，x +a >−2+a ，∴ 只需−2+a ≥0即可，所以a ≥2．【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）当a =2时，化简不等式f(x)≥2x +1，通过去掉绝对值符号，求解不等式的解集；（2）化简函数的解析式，通过x 与a 的大小比较，转化不等式求解即可．【解答】当a =2时，|x −2|+2x ≥2x +1，所以|x −2|≥1，所以x ≥3或x ≤1，解集为(−∞, 1]∪[3, +∞)．f(x)={3x −a,x ≥ax +a,x <a ，因为a >0，∴ x ≥a 时，3x −a ≥2a >0恒成立，又x <a 时，当x >−2时，x +a >−2+a ，∴ 只需−2+a ≥0即可，所以a≥2．。

甘肃省兰州市2018届高三第一次诊断性考试数学(理)试题.docx

绝密★ 启用前甘肃省兰州市2018 届高三第一次诊断性考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，集合，则（）A ．B．C．D．2．已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数的实部为B．复数的虚部为C．复数的共轭复数为 D ．复数的模为3．已知数列为等比数列，且，则（）A ．B．C．D．4．双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．B ．C．D．5．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（）A ．B．C．D．6．数列中，，对任意，有，令，，则（）A ．B．C． D ．7．若的展开式中各项的系数之和为，则分别在区间和内任取两个实数，，满足的概率为（）A ．B ．C．D．8．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”．意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A ．B ．C．D．9．某程序框图如图所示，则程序运行后输出的的值是（）A ．B．C．D．10．设：实数，满足；：实数，满足，则是的（）A ．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件11．已知圆C：22x 1y41 0和点 M5, t ，若圆 C 上存在两点 A , B ，使得 M A M B ，则实数t的取值范围为（）A ．2, 6B ．3, 5C． 2 , 6D．3, 512．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（）A ．B．C．D．1二、填空13．若，__________．14．已知本数据，，⋯⋯的方差是，如果有，那么数据，，⋯⋯的均方差 __________ ．15．函数向左平移个位度后得到的函数是一个奇函数，__________ ．16．函数，，若函数，且函数的零点均在内，的最小 __________．三、解答17．已知向量，，函数．（1）求的最小正周期；（2）当，的最小，求的．18．如所示，矩形中，，平面，，上的点，且平面．（ 1）求：平面；（ 2）求平面与平面所成角的余弦．19．某地一商了月份某天当中某商品的售量（位：）与地当日最高气温（位：）的相关数据，如下表：（ 1）求与的回方程；（ 2）判断与之是正相关是相关；若地月某日的最高气温是，用所求回方程天商品的售量；（ 3）假定地月份的日最高气温，其中近似取本平均数，近似取本方差，求．附：参考公式和有关数据，，，若，，且．20．已知：，且与相切的心．（1）求点的迹的方程；（2）点的直交曲于，两点，点的直交曲于，两点，且，垂足（，，，不同的四个点）．① ，明：；②求四形的面的最小．21．已知函数，其中自然数的底数．（1）明：当，①，②；（2）明：任意，，有．22． [修 4-4：坐系与参数方程 ]在直角坐系中，以坐原点极点，正半极建立极坐系．已知直的参数方程是（是参数），的极坐方程．（1）求心的直角坐；（2）由直上的点向引切，并切的最小．23． [修 4-5：不等式]函数，其中．（ 1）当，求不等式的解集；（ 2）若，恒有，求的取范．2。

2018兰州市一诊理科数学(学生版)

2018年兰州市高三诊断考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合}0|{≥=x x M ，集合}1|{<=x x N ，则)(N C M U ⋂（）.A ()10，.B []10， .C [)∞+.1 .D ()∞+，1 2.若复数已知复数i 125z +-=（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（）A .复数z 的实部为5 .B 复数z 的虚部为 i 12.C 复数z 的共轭复数为 i 125+ .D 复数z 的模为133. 已知数列 }{n a 为等比数列，且 π=+2462a a a ，则）（53tan a a （）.A 3 .B 3- .C 33-.D 3± 4. 若双曲线 12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线122+=x y 只有一个公共点，则双曲线离心率为（）.A 45.B 5 .C 45 .D 55.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ,点P 在 AM 上且满足PM AP 2=，则)(PC PB PA +⋅等于（） .A 94-.B 34- .C 34 .D 946. 已知数列 }{n a 为等比数列，11=a ,对任意 *N n ∈ ，有 n n a n a ++=+11，令ii a b 1=()*N i ∈，则=+⋅⋅⋅++201821b b b （）.A10092017 .B 20182017 .C 20192018 .D 201940367. 若11nx x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[]0π，和04n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内任取两个实数,x y 满足y sinx >的概率为 A. 11π-B. 21π-C. 31π-D.128. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”意思是说：把一块立方体沿斜边分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积为2:1，这一结论叫做刘徽原理。

甘肃省武威市2018届高三第一次阶段性过关考试数学(理)试题Word版含答案

武威六中2017-2018学年度高三一轮复习过关考试（一）数学（理）一、选择题（每小题只有一个正确选项，请将正确答案填在答题卡上.每小题5分，共40分） 1. 已知集合{}A m =，{}1,B m =，若AB A =，则m =（）A. 03B. 13C. 0或3D. 1或3 2. 欧拉公式cos sin ixex i x =+（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2i e 表示的复数在复平面中位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 下列四个对应中，哪个对应不是从A 到B 的映射？A. 设{}=A 矩形，{}=B 实数，对应关系f ：矩形和它的面积对应. B. A R =，{}0,1B =，对应关系f ：1,(0)0,(0)x x y x ≥⎧→=⎨<⎩.C. A N =，B N *=，对应关系f ：1x x →-.D. {}3,A x x x N =≥∈，{}0,B a a a Z =≥∈，f ：224x a x x →=-+.4．已知()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，3()=ln(1)f x x x ++，则当0x <时，()f x ＝ ( )A ．3ln(1)x x --- B ．3+ln(1)x x -- C ． 3+ln(1)x x -D ．3ln(1)x x --5．已知命题:,20xp x R ∀∈>，命题:1q x >是2x >的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )．A ．p q ∧B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧⌝6.若函数2()=1f x x ax ++R ，则实数a 的取值范围为 ( )．A ．()-2,2B ．()()--2+∞∞，2，C ．(][)-,22,∞-+∞D ．[]-2,27．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s ＝( )A. 7B. 12C. 17D. 348.奇函数()f x 的定义域为R ，若(+1)f x 为偶函数，且(1)=2f ，则(4)+(5)f f 的值为( )A.2B.1C.－1D.－29.已知a 是函数12()2log x f x x =-的零点，若00x a <<，则0()f x 的值满足（）A. 0()0f x >B. 0()0f x <C. 0()=0f xD. 0()f x 的符号不确定 10. 函数()(1)ln f x x x =-的图象可能为( )．11.已知函数222,0()=0,0+,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪=⎨⎪<⎩是奇函数，且在区间[]-12a -，上满足任意的 1212,()x x x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（）A. (]1,3B. [)1,3C. ()1,3D. []1,312. 若a 满足lg 4a a +=，b 满足104bb +=，函数2()2,0()2,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =解的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知1()13x f e x =-，求()f e = . 14. 已知函数2log (0)()3(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是 . 15.若函数1()ln sin 1xf x x x+=+-，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是 .16.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对x R ∀∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立．当[]0,2x ∈，()y f x =单调递减，给出下列命题：①(2)=0f ；②直线=-4x 是函数()y f x =图象的一条对称轴； ③函数()y f x =在[]-4,4上有四个零点；④区间[]-40,-38是()y f x =的一个单调递增区间. 其中所有正确命题的序号为________．三、解答题17. 设命题p ：关于x 的不等式1x a <的解集是{}0x x <；命题q ：2000,40x R ax x a ∃∈++≤.若p q ⌝∨为假命题，求实数a 的取值范围.18. 已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩，(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02ρθπ≥≤<)．19. 已知函数()2xf x =，1()22x g x =+. （1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．20. 某公司准备将1 000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目选择.若投资甲项目一年后可获得的利润1ξ(万元)的概率分布列如下表所示：且1ξ的期望1()120E ξ=；若投资乙项目一年后可获得的利润2ξ(万元)与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为(01)p p <<和1p -.若乙项目产品价格一年内调整次数X (次)与2ξ的关系如下表所示：（1）求m ，n 的值；（2）求2ξ的分布列；（3）若12()()E E ξξ<，则选择投资乙项目，求此时p 的取值范围.21. 已知函数21()=(21)2ln ()2f x ax a x x a R -++∈. （1）若曲线()y f x =在=1x 和=3x 处的切线互相平行，求a 的值；（2）求()f x 的单调性.22. 已知函数()23kxf x x k=+()0k >.（1）若()f x m >的解集为{|3,2}x x x <->-或，求不等式25302kmx x ++>的解集；（2）若存在03,x >使得()01f x >成立，求k 的取值范围.武威六中2017-2018学年度高三一轮复习过关考试（一）数学（理）答案二、填空题13. 23- 14. 1915. )2 16. ①②三、解答题 17.解：由p q ⌝∨为假命题，得：命题p 为真命题，命题q 为假命题. 由命题p 为真命题，得，1a >；由命题q 为假命题，得：2:,40q x R ax x a ⌝∀∈++>为真命题，∴ 201640a a >⎧⎨∆=-<⎩ ，解得：2a >；因此，所求实数a 的取值范围是2a >. 18.解 (1)∵C 1的参数方程为45cos 55sin x ty t =+⎧⎨=+⎩， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5cos t ＝x －4，5sin t ＝y －5，∴(x －4)2＋(y －5)2＝25(cos 2t ＋sin 2t )＝25，即C 1的直角坐标方程为(x －4)2＋(y －5)2＝25，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －4)2＋(y －5)2＝25，化简得：ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)方法一： ∵ C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ (x －4)2＋(y －5)2＝25，x 2＋y 2＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴C 1与C 2交点的直角坐标为(1,1)，(0,2)． ∴C 1与C 2交点的极坐标为.,2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，. 方法二：由（1）知，C 1： ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 而C 2： ρ＝2sin θ. 将C 1与C 2联立，解得C 1与C 2交点的极坐标为,2,42ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，. 19.解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2，因为|x |≥0，所以0＜12x⎛⎫⎪⎝⎭≤1，即2＜g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2) 由f (x )－g (x )＝0，得2x －12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，当x ＞0时，由2x －12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x ＞0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．20.解： (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋0.4＋n ＝1，110m ＋120×0.4＋170n ＝120，解得m ＝0.5，n ＝0.1.(2) ξ2的可能取值为41.2，117.6，204， P (ξ2＝41.2)＝(1－p )[1－(1－p )]＝p (1－p )，P (ξ2＝117.6)＝p [1－(1－p )]＋(1－p )(1－p )＝p 2＋(1－p )2， P (ξ2＝204)＝p (1－p )，所以ξ2的分布列为:(3) 由(2)210p 2＋10p ＋117.6，由E (ξ1)<E (ξ2)，得120<－10p 2＋10p ＋117.6，解得0.4<p <0.6，因此，当选择投资乙项目时，p 的取值范围是(0.4，0.6).21.解：'2()(21)(0)f x ax a x x=-++>. （1）题意知''(1)(3)f f =，即2(21)23(21)3a a a -++=-++，解得：2=3a . （2）'(1)(2)()ax x f x x--=（0x >），①当0a ≤时，∵0x >，∴ 10ax -<，∴ 在区间()0,2上，()0f x >'；在区间()2+∞，上，()0f x <'，故()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减区间是()2+∞，. ②当102a <<时，12a>； ③当1=2a 时，2'(2)()02x f x x -=≥，故()f x 的单调递增区间是()0,+∞.④当12a >时，102a <<，在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()+∞2，，()0f x >'；在区间12a ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0f x <'，故()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()+∞2，，单调递减区间是12a ⎛⎫⎪⎝⎭，.综上所述：略 22.解：（1）220()303kx k f x m m mx kx km x k>∴>⇔>⇔-+<+，不等式230mx kx km -+<的解集为{|3,2}x x x <->-或，∴3,2--是方程230mx kx km -+=的根，且m<0， 252365k k m m k =⎧⎧=-⎪⎪∴⇒⎨⎨=-⎪⎪=⎩⎩∴223530230122k mx x x x x ++>⇔--<⇔-<<． ∴不等式25302k mx x ++>的解集为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭法二：()22()110303kxf x k x kx k x k>⇔>>⇔-+<+，，令()()23,3,g x x kx k x =-+∈+∞，存在03,x >使得()01f x >成立，即存在()00g x <成立，即()min 0g x <成立，当06k <≤时，()g x 在()3,+∞上单调递增，∴()()39g x g >=，显然不存在()0g x <；当6k >时，()g x 在3,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()2min 324k k g x g k ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，由2120k k -+<可得12k > ，综上，()12,k ∈+∞.。

2018甘肃省第一次高三理科诊断考试带解析

2018年甘肃省高三诊断考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集R U =，集合{}2≥=x A ，{}60<≤=x x B ，则集合()B A C U ⋂ A. {}20<<x x B.{}20≤<x x C.{}20<≤x x D.{}20≤≤x x2. 在复平面内复数（是虚数单位）对应的点在A. 第一象限B.第二象限C.第二象限D.第二象限3. 向量()1,m a =，()m b ,1=则“1=m ”是“b a //”的 A. 充分不必要条件 B.必要补充分条件B. 充要条件 D.既不充分也不必要条件4. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0,01,01y y x y x 则y x z 2+=的最大值是A. 1-B. 1C.2D.35. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为32π，则a 的值为 A.1 B. 2C.6.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为其前n 项和，若135164a a a =⋅=，，则6SA.65B. 64C.63D.627.中国古代数学家赵爽，创造了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明。

如图所示，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”.若7cos 225BEA ∠=，则正方形ABCD 内随机取一点，该店恰好在正方形内的概率为 A.2524 B. 54 C.35 D.1258.过直线23y x =+上的点作圆2246120x y x y +-++=的切线，则切线长的最小值为A.19B. 529.如图所示，若程序框图输出的所有实数对所(),x y 对应的点都在函数()2f x ax bx c =++的图像上，则()1f x dx =⎰A.1110B.1211C.1312D.121110. 过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点()F 做两条渐近线的垂线，垂足分别为,A B ，点O 为坐标原点，若四边形OAFB 的面积为4，则双曲线的离心率为（）A .BC D11. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ,且4PA =,M 是PB 上的一个动点，过点M 做平面α平行平面PAD ,截棱锥所得图形面积为y ，若平面α与平面PAD 之间的距离为x ，则函数()y f x =的图像是（）12. 对于任意0,b a R >∈，不等式()()2222ln 1b a b a m m --+--≥-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，则实数m 的最大值为（）A B . 2 C . e D . 3第Ⅱ卷(非选择题共90分)二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.13. 二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是____________. 14. 已知数列{}n a 满足()*1115,2n n a a a n N n +-==∈，则n an的最小值为____________. 15. 在某班举行的成人礼典礼上，甲乙丙三名同学中的一人获得了礼物，甲说：“礼物不在我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问____________.（填“甲”、“乙”或“丙”）获得了礼物. 16. 抛物线2:y 4C x =的焦点为F ，过准线上一点N 作NF 的垂线交y 轴于点M ，若抛物线C 上存在点E ，满足2NE NM NF =+,则MNF ∆的面积为____________. 二、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和验算步骤.17. （本小题满分12分）ABC ∆中，三个内角A B C ，，的对边分别为b c a ，，，若()cos ,cos m B C =,()2,n a c b =+，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若6b =，求ABC ∆周长的取值范围. 18.（本小题满分12分）四棱台被过1A ，1C ，D 的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，060BAD ∠=，1BB ⊥平面ABCD ，12BB =.（1）求证：平面1AB C ⊥平面1BB D（2）若1AA 与底面ABCD 所成角的正切值为2，求二面角11A BD C --的余弦值.19.(本小题满分12分)2017年12月,针对国内天然气供应紧张的问题,某市政府及时安排部署,加气站采取了紧急限气措施,全市居民打响了节约能源的攻坚战.某研究人员为了了解天然气的需求状况,对该地区某些年份天然气需求量进行了统计,并绘制了相应的折线图. (Ⅰ)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合年度天然气需求量y (单位:千万立方米)与年份x (单位:年)之间的关系.并且已知y 关于x 的线性回归方程是ˆˆ6.5yx a =+,试确定ˆa 的值,并预测2018年该地区的天然气需求量;(Ⅱ)政府部门为节约能源出台了《购置新能源汽车补贴方案》,该方案对汽车续航里程做出了严格规定,根据续航里程的不同,将补贴金额划分为三类,A 类:每车补贴1万元,B 类:每车补贴2.5万元,C 类:每车补贴3.4万元.某出租公司对该公司60辆新能源汽车的补贴情况进行了统计,结果如下表:为了制定更合理的补贴方案,政府部门决定采取分层抽样的方式了解出租车公司新能源汽车的补贴情况,在该出租车公司的60辆车中抽取6辆车作为样本,再从6辆车中抽取2辆车进一步跟踪调查.若抽取的2辆车享受的补贴金额之和记为“ξ”,求ξ的分布列及期望. 20.(本小题满分12分)椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 作垂直于x 轴的直线l 与椭圆E 在第一象限交于点P ,若15PF =,且23a b =. (Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ),A B 是椭圆C 上位于直线l 两侧的两点.若直线AB 过点()1,1-,且22APF BPF ∠=∠,求直线AB 的方程. 21. (本小题满分12分) 已知函数()ln ,f x a x a R =∈.(Ⅰ)若曲线()y f x =与曲线()g x =,求实数a 的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下,试问函数()()11xxe F x xf x x-=-+是否有零点?如果有,求出该零点;若没有,请说明理由.(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中选定一题作答,并用2B 铅笔在答题卡上将所选题号方框涂黑.按所涂题号进行评分,不涂、多涂均按所答第一题评分,多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线(()221:14C x y +-=,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,将曲线1C 绕极点逆时针旋转6π后得到的曲线记为2C .(Ⅰ)求曲线1C ,2C 的极坐标方程;(Ⅱ)射线()03πθρ=>与曲线1C ,2C 分别交于异于极点O 的A ,B 两点,求AB . 23. (本小题满分10分) 选修45-:不等式选讲已知函数()2f x m x =--,m R ∈,且()10f x +≥的解集为[]0,2. (Ⅰ)求m 的值;(Ⅱ)若,,a b c R ∈,且11123m a b c++=,求证:239a b c ++≥.2018甘肃省第一次高考诊断理科数学考试参考答案及评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的选项中,只有一项是符合要求的.1.C2.D3.A4.C5.B6.C7.D8.A9.B 10.D 11.D 12.B 12.提示:不等式左侧()()222ln 1b a b a --+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的最小值的几何意义是函数ln y x =上的点(),ln b b 与函数1y x =+上的点()2,1a a --之间距离的最小值的平方,与直线1y x =+平行且与函数ln y x =相切的直线为1y x =-,两线之间距离的所以22m m -≤,解得12m -≤≤,所以m 的最大值为2. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.160- 14.274 15.甲 16.216.提示:由2NE NM NF =+可得点E 为MF 的中点,准线方程1x =-,焦点()1,0F ,不防设点N 在第三象限,因为MNF ∠为直角,所以12NE MF EF ==,由抛物线的定义得//NE x 轴,则可求得((1,,0,,1,2E M N ⎛-- ⎝,即NF =MN =所以2MNF S ∆=. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.17.解: (Ⅰ)m n ⊥,则有()cos 2cos 0B a c C b ⋅++⋅=,()cos 2sin sin cos sin 0B A C C B ∴⋅++⋅=,()()2cos sin sin cos cos sin sin sin B A C B C B B C A ∴=-⋅+⋅=-+=-,1cos 2B ∴=-23B π∴=. …………………………6分(Ⅱ)根据余弦定理可知222222cos ,36b a c ac B a c ac =+-∴=++,……………8分又()()22236,36,62a c a c ac a c ac a c +⎛⎫=+-∴+-=≤∴<+≤ ⎪⎝⎭则ABC ∆的周长的取值范围是(12,6+. …………………………12分18.解：平面在菱形中，又平面平面平面平面平面与底面所成角为设交于点以为坐标原点如图建立空间直角坐标系则同理设平面的法向量则设平面的法向量则设二面角为19．解：如折线图数据可知代入线性回归方程可得将代入方程可得千万立方米.根据分层次抽样可知类，类，类抽取人数分别为辆，辆，辆，则当类抽辆，类抽辆时，此时当类抽辆，类抽辆时，此时当类抽辆，类抽辆时，此时当类抽辆时，此时当类抽辆时，此时所以的分布列为：（万元）.20.解：由题可得223,b PE a==因为15PE =，由椭圆的定义得4,a =所以212,b = 所以椭圆E 方程为221.1612x y += ()II 易知点P 的坐标为()2,3.因为22,APF BPF ∠=∠所以直线,PA PB 的斜率之和为0.设直线PA 的斜率为,k 则直线PB 的斜率为-k ，设()()1122,,,,A x y B x y 则直线PA 的方程为()32,y k x -=-由 ()223211612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()()()22234832432480,k x k k x k ++-+--=()12823234k k x k-∴+=+ 同理直线PB 的方程为()2,y k x -=--可得()()222-8238232,3434k k k k x k k -++==++2121222161248,,3434k kx x x x k k--∴+=-++ ()()()121212121212232341,2AB k x k x k x x k y y k x x x x x x -++--+--====---∴满足条件的直线AB 的方程为()111,2y x +=-即为230.x y --= 21.()I 函数()ln f x a x =的定义域为()0,a x +∞=，，()()'',g a f x x x == 设曲线()y f x =与曲线()g x =()00,x y由于在公共点处有共同的切线，所以0a x =解得204,0.x a a =〉 由()()00f x g x =可得0ln a x =解得.2ea =()II 函数()()112xxe F x xf x -=-+是否有零点，转化为函数()()ln 2e H x xf x x x ==与函数()112xxe G x -=-在区间()0,x ∈+∞是否有交点. ()()ln .2e H x xf x x x ==可得()()ln 1ln 222e e e H x x x +=+‘ 令()0,Hx 〉’解得1,,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭此时函数()H x 单调递增;令()0,Hx 〈’解得10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时函数()H x 单调递减.∴当1x e =时，函数()H x 取得极小值即最小值，11=-.2H e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1G 12x xe x -=-可得()()'11G 12x x x e -=-令()'G 0x 〉，解得1x 〈〈0，此时函数()G x 单调递增;令()'G 0x 〈解得1x 〉，此时函数()G x 单调递减.∴当1x =时，函数()G x 取得极大值即最大值，()1G 1=.2-因此两个函数无交点，即函数()()112xxe F x xf x -=-+无零点. 22.解：曲线(()22114C x y +-=：化为极坐标方程是2sin ρθθ+11 设曲线2C 上的点(),Q ρθ绕极点顺时针旋转6π后得到,6P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在1C 上，代入可得2C的极坐标方程是=2cos ρθθ+. ()II 将=3πθ()0ρ〉分别代入12,C C 的极坐标方程，得到1212=4==4AB ρρρρ--23.()I ()101011f x m x m x m +≥⇒--≥⇒-≤≤+ 由()10f x +≥的解集为[]0,2可知=1.m ()II 111123a b c ++=则()11123322323111232233b c a c a b a b c a b c a b c a a b b c c ⎛⎫++=++++=++++++++= ⎪⎝⎭ 233233692323b a c a c b a b a c b c++++++≥+= 当且仅当23a b c ==时等号成立，即33,12a b c ===，时等号成立.。

2018兰州市一诊理科(无答案)

2018年兰州市高三诊断考试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合}0|{≥=x x M ，集合}1|{<=x x N ，则)(N C M U ⋂（）.A ()10， .B []10， .C [)∞+.1 .D ()∞+，12.若复数已知复数i 125z +-=（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（）A .复数z 的实部为5 .B 复数z 的虚部为 i 12.C 复数z 的共轭复数为 i 125+ .D 复数z 的模为133. 已知数列 }{n a 为等比数列，且 π=+2462a a a ，则）（53tan a a （） .A 3 .B 3- .C 33-.D 3± 4. 若双曲线 12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线122+=x y 只有一个公共点，则双曲线离心率为（）.A 45 .B 5 .C 45 .D 5 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ,点P 在 AM 上且满足PM AP 2=，则)(PC PB PA +⋅等于（） .A 94-.B 34- .C 34 .D 946. 已知数列 }{n a 为等比数列，11=a ,对任意 *N n ∈ ，有 n n a n a ++=+11，令ii a b 1=()*N i ∈，则=+⋅⋅⋅++201821b b b （）.A10092017 .B 20182017 .C 20192018 .D 201940367. 若11nx x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[]0π，和04n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内任取两个实数,x y 满足y sinx >的概率为A. 11π-B. 21π-C. 31π-D.128. 刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.”意思是说：把一块立方体沿斜边分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积为2:1，这一结论叫做刘徽原理。

数学理卷·2018届甘肃省张掖市高三第一次质量检测

张掖市2017~2018学年度全市高三高考备考质量诊断第一次考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|48},{|60}M x x N x x x =<<=-<，则MN =（）A ．{|04}x x <<B ．{|68}x x <<C ．{|46}x x <<D ．{|48}x x << 2. 若23(2)(,)i a bi a b R -=+∈，则a b +=（） A ．7 B ．7- C ．1 D ．1-3.下表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温()C 的数据一览表已知该城市的各月最低温与最高温具有线性相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是（）A ．最低温与最高温为正相关B ．每月最高温与最低温的平均值前8个月逐月增加C ．月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1月D ．1月至4月的月温差（最高温减最低温）相对于7月至10月，波动性更大 4. 已知tan()4cos(2),22ππθπθθ-=-<，则tan 2θ=（）A ．158-B ．158C ．157-D ．1575. 已知双曲线22211251x y m m +=+-的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为（） A ．53± B ．35± C ．34±D ．43±6. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（）A ．2B ．3C ．4D ．57. 若实数,x y 满足约束条件22026003x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，则4z x y =-的最大值为（）A ．3B ．1-C ．4-D ．128.设,A B 是椭圆22:1122x y C +=的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆22:10M x y +=的一个交点，则 PA PB -=（）A ．22B ．43C ．42D ．62 9. 设0w >，函数2cos()17y wx π=+-的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则w 的最小值是（） A ．32 B ．23 C ．43 D ．3410.函数()28(sin )2x x f x x x -=+-的部分图象大致是（）11. 如图，格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A ．52πB ．45πC ．41πD ．34π12. 已知函数()()411,ln(2)2xf x eg x x-==+，若()()f mg n=成立，则n m-的最小值为（）A．2ln213-B．12ln23+C．12ln23+D．1ln24-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(6,2),(1,)a b m=-=，且a b⊥，则2a b-=．14.若623601236(13)x a a x a x a x a x-=+++++，则32aa=．15.如图，E是正方体1111ABCD A B C D-的棱11C D上的一点，且1//BD平面1B CE，则异面直线1BD与CE所成成角的余弦值为．16.在ABC∆中，3,4AC CB==，边AB的中点为D，则sinsinACDDCB∠=∠．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：17. 已知等比数列{}n a的前n项和{},22,n n n nS S a b=-为等差数列，3226,10b a b b=+= .（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）求数列{}(23)n na b-的前n项和nT .18. “扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与这投币20元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完球后将球放回），若有一个红球，奖金10元，两个红球奖金20元，三个全为红球奖金100元. （1）求献爱心参与者中奖的概率；（2）若该次募捐有900为献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望. 19.如图，四边形ABCD 是矩形33,3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,6ABCD PE =.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ；（2）求二面角A PB C --的余弦值.20. 设直线l 的方程为(2)5x m y =++，该直线交抛物线2:4C y x =于,P Q 两个不同的点.（1）若点(5,2)A -为线段PQ 的中点，求直线l 的方程；（2）证明：以线段PQ 为直径的圆M 恒过点(1,2)B . 21.已知函数()2()xf x ax e a R =-∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求()y f x '=的最大值；（2）若对任意120x x ≤<都有2211()(22ln 2)()(22ln 2)f x x f x x +-<+-，求a 的取值范围.22.已知曲线1C 的极坐标方程为2cos 218ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为6πθ=，曲线1C ，2C 相交于,A B 两点.（1）求两点,A B 的极坐标；（2）曲线1C 与直线32(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）分别相交于,M N 两点，求线段MN 的长度. 23.已知函数()3,f x x a x a R =--+∈. （1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CABDC 6-10: BDCAD 11、A 12：C二、填空题13. 454-15 16.43三、解答题17.解：(1)当1n =时，12a =，当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，所以{}n a 是以为首项2，为公比2的对边数列，即2nn a =，又322844,210b a b b b ==+==，所以1n b n =+.（2）因为(23)(21)2nn n a b n -=-⋅，所以23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，则23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅，两式相减23113(222)(21)2n n n T n +-=++++--⋅，所以1(23)26n n T n +=-⋅+.18.解：（1）献爱心参与者中奖即为事件12213373733108517()12024C C C C C AP A C ++===.（2）设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X，则20,10,0,80X=-，则373107(20)24CP XC===,123731021(10)40C CP XC===,21373107(0)40C CP XC===,233101(80)120CP XC=-==,因此的分布列为：若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为()72171125201008024404012012E X=⨯+⨯+⨯-⨯=元，所以，此次募捐所得善款的数学期望为125900937512⨯=元.19.解：（1）证明：设BE交AC于F，因为四边形ABCD是矩形，33,3,2AB BC DE EC===，所以3,CF BCCEBC AB==，又2ABC BCDπ∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB∆∆∠=∠，因为2BEC ACE ACB ACEπ∠+∠=∠+∠=，所以AC BE⊥，又PE⊥平面ABCD，所以AC PE⊥，而PE BE E=，所以AC⊥平面PBE.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,23,0),3,0),3,0),6)A B C P-,设平面APB的法向量1111(,,)n x y z=，则11113303360x z⎧=⎪⎨-=⎪⎩，取11z=，即16(,0,1)n=，设平面BPC的法向量2222(,,)n x y z=，则2222303360xx y z=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，取21z=，即2(0,2,1)n=，设平面APB和平面BPC所成的二面角为θ，则12125cos5533n nn nθ⋅===⋅⋅.20.解（1）联立方程组2(25)4x my my x=++⎧⎨=⎩，消去x得244(25)0y my m--+=设1122(,),(,)P x y Q x y，则12124,820y y m y y m+==--因为A为线段PQ的中点，所以12222y ym+==-，解得1m=-，所以直线l的方程为30x y+-=.（2）证明：因为21212()2(25)4410x x m y y m m m+=+++=++，2222121212()(25)4416y y y yx x m=⋅==+所以1212(1)(1)(2)(2)BP BQ x x y y⋅=--+--，即12121212[()1][2()4]BP BQ x x x x y y y y⋅=-+++-++所以22[(25)(4410)1][8202(4)4]0 BP BQ m m m m m⋅=+-++++---+=，因此BP BQ⊥，即以线段PQ为直径的圆横过点(1,2)B.21.解：由()2xf x ax e'=-，得，(1)202ef a e a=-=⇒=，令()()xg x f x ex e'==-，则()xg x e e'=-，可知函数()g x在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()max (1)0g x g ''==.（2）由题意得可知函数()()2(22ln 2)(2ln 2)x h x f x x ax x e =+-=+--在[0,)+∞上单调递减，从而()2(22ln 2)0x h x ax e '=+--≤ 在[0,)+∞上恒成立，令()2(22ln 2)x F x ax e =+--，则()2x F x a e '=-，当12a ≤时，()0F x '≤，所以函数()F x 在[0,)+∞上单调递减，则()()max 012ln 20F x F ==-<，当12a >时，()20F x a ex '=-=，得ln 2x a =，所以函数()F x 在[0,ln 2)a 上单调递增，在[ln 2,)a +∞上单调递减，则()()max ln 22222ln 220F x F a alo a a ==+--≤，即2ln 222ln 22a a a -≤-，通过求函数ln y x x x =-的导数可知它在[1,)+∞上单调递增，故112a <≤，综上，实数a 的取值范围是(,1]-∞.22.解（1）由22cos 218cos 1836ρθπρπθ⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩，解得236ρ=，即6ρ=±，所以,A B 两点的极坐标为(6,),(6,)66A B ππ-或7(6,)6B π. （2）由曲线1C 的极坐标方程得其直角坐标方程为2218x y -=，将直线方程32212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2218x y -=，整理得243280t t +-=，即121243,28t t t t +=-=-，所以2(43)4(28)410MN =--⨯-=23.解：（1）当1a =-时，不等式131x x +-+≤，当3x ≤-时，不等式转化为(1)(3)1x x -+++≤，不等式解集为空集；当31x -<≤-时，不等式转化为(1)(3)1x x -+-+≤，解得512x -≤<-，当时，不等式转化为(1)(3)1x x +-+≤恒成立，综上所示不等式的解集为5[,)2+∞.（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤恒成立，即7x a x -≤+，即727a x -≤≤+恒成立，又因为[0,3]x ∈，所以77a -≤≤，所以a 的取值范围是[]7,7-.。

【兰州一诊】兰州市2018届高三诊断考试理科数学(含答案)(2018.03)

x 1
16 . 9
x ( x 1 ) ，则 m '( x)
所以所求回归直线方程为 y 0.56x 12.92 .
0.56 0 知， y 与 x 负相关.将 x 6 代入回归方程可得，（2）由 b
y 0.56 6 12.92 9.56 ，
即可预测当日销售量为 9.56kg . （3）由（1）知 x 7 ，
S 2 3.2 ，所以
1 1 P( X ) P ( 2 X 2 ) 2 2
P(3.8 X 13.4) P( X 2 )
0.8185 .
20.解：（1）设动圆半径为 r ，由于 D 在圆内，圆 P 与圆 C 内切，则 PC 2 2 r ， PD r ， PC PD 2 2 CD 2 ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 E 是椭圆， a
y k1 ( x 1) 2 2 2 2 解方程组 x 2 ，得 (2k 1) x 4k x 2k 2 0 ， 2 y 1 2
则 QS 2 2
k 2 1 ， 2k 2 1
k 2 1 同理得 RT 2 2 2 ， k 2
∴ SQSRT
3 cos 2x sin 2x m 2sin(2 x ) m ， 3
所以 f ( x ) 的最小正周期为 T . （2）由（1）知： f ( x) 2sin(2 x 当 x [0,

3
)m，

2
] 时， 2 x

所以当 2 x

3

4 时， f ( x ) 的最小值为 3 m . 3

甘肃省兰州市2018届高三第一次诊断性考试数学(理)试题解析版

1．C【解析】，，所以或，，故选C．得，即，，故选D．5．A【解析】试题分析：∵M是BC的中点，AM=1，，∴,故选A考点：本题考查向量的数量积公式与向量加法的三角形法则点评：解决本题的关键是恰当地利用向量的相关公式灵活变形达到了用已知向量表示未知向量，且求出未知向量的目标6．D【解析】，，，，，，故选D．【方法点晴】本题主要考查“累加法”的应用、等差数列的求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题．裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．7．B，球体积为，故选B．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题．三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点．观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响．9．A【解析】模拟程序框图的运行过程，每四个和为，可得出该程序运行后输出的算式：+，所以该程序运行后输出的值是，故选A ．【解析】过点M 作圆的两条切线，切点分别为A B 、，连接AC BC MC 、、，若圆C 上存在两点,A B ，使得MA MB ⊥，只需045AMC ∠≥，sin 2AMC ∠=≥，解得26t ≤≤,选C ．12． C 【解析】令，则其导数，又由，且有，所以，即函数为减函数，又由，则有，即，化简可得，故选C ．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题．联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．13．【方法点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和图象的变换，属于中档题．已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2）时，是偶函数．16．10【解析】，因此是上的增函数，，函数在上有一个零点，函数在上有一个零点，同理，，因此是上的减函数，，函数在上有一个零点，函数在上有一个零点，函数的零点均在区间内，，，故答案为．17．（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）根据平面向量数量积公式以及两角和的正弦公式化简，利用周期公式可得的最小正周期为；（2）由（1）知：，当时，，利用正弦函数的单调性，结合正弦函数的图象可得到的最小值为，∴，即．所以当时，的最小值为．又∵的最小值为，∴，即．【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强．解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心．18．（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）由面，可得，所以，由面，可得．由线面垂直的判定定理可得平面；（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得平面与平面所成角的余弦值．试题解析：（1）因为面，所以，又，所以．因为面，所以．又，所以面，即平面．（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，，，，设平面的法向量，平面的法向量为，易知，令，则，故，令，得，，于是，．此即平面与平面所成角的余弦值．19．（1）．（2）．（3）．所以所求回归直线方程为．（2）由知，与负相关．将代入回归方程可得，，即可预测当日销售量为．（3）由（1）知，，所以．【方法点晴】本题主要考查线性回归方程及其应用、正态分布的应用，属于难题．求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势．20．（1）．（2）①见解析．②．的方程为．（2）①证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，则有，又因，，，为不同的四个点，．②解：若或的斜率不存在，四边形的面积为．若两条直线的斜率存在，设的斜率为，则的方程为，解方程组，得，则，同理得，∴，当且仅当，即时等号成立．综上所述，当时，四边形的面积取得最小值为．21．（1）见解析；（2）见解析．而，所以，成立；令，则，为上的增函数，而，所以，成立．（2），即，由（1），所以，，所以，只需证，即，由（1），所以只需证，只需证，即，上式已知成立，故原式成立，得证．22．（1）．（2）．∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是．方法2：直线的普通方程为，∴圆心到直线距离是，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是．23．（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）当时，，化为，可得或，从而可得不等式的解集；（2）化简，因为，∴时，恒成立，又时，当时，，∴只需即可，所以．试题解析：（1）当时，，所以，所以或，。

2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷（理科）

2018年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集。

=R,集合M=(x\x>0},集合N={%|%2<1},则M n(CuN)=()A.(0,1)B.[0,1]C.[l,+oo)D.(l,+oo)2.已知复数z=-5+121Q是虚数单位)，则下列说法正确的是()A.复数z的实部为5B.复数z的虚部为12iC.复数z的共轴复数为5+12iD.复数z的模为133.已知数列{%}为等比数列，且a-2a6+2«42=则tan(a3a5)=()A.V3B.-V3 c.一匝 D.+V3274.双曲线*一云=1的一条渐近线与抛物线y=x2+l只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.-B.5c Vf D.V54'45.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1,点P在上且满足学AP=2PM*贝U PA•(PB+PC)等于()6.数列｛知｝中，=1,对任意n E.N*,有a n+1=1+n+a n,令,(i e N*),a i则S+b2+...+b2018=()A2017-2017_2018卜4036A---R---C---D---*1009'2018*2019*20197.若(%+i+iy的展开式中各项的系数之和为81,贝。

分别在区间［0,兀］和［0,』内任取两个实数x,y,满足y>sinx的概率为()8.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖孺,阳马居二，鳖孺居一，不易之率也意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖孺，两者体积之比为定值2:1,这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图,则其外接球的体积为()V242主视图侧视图4>俯视图A.47TB.37TC.V37T0.—71'29.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A.1008B.2017C.2018D.302510.设p：实数X,y满足（X —I）2+\lbracky—（2—y/2）brack2<3—2V2；q：实数x,x-y<1y满足.x+y>l,贝jp是q的（）.y <1A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件11.己知圆C:（x-I）2+（y-4）2=10和点若圆C上存在两点A,B,使得MA1MB,则实数t的取值范围为（）A.[-2,6]B.[-3,5]C.[2,6]D.[3,5]12.定义在（0,；）上的函数/'（%）,已知/'‘（X）是它的导函数，且恒有cosx•/■'（X）+sinx•/（%）<0成立，则有（）A.偌）>V2/（5B.V3/（5>偌）C代）〉V3/（5 D./（5>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若sin。

2018年甘肃省张掖市高考一模数学理

2018年甘肃省张掖市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合M={x|4＜x＜8}，N={x|x2-6x＜0}，则M∩N=( )A.{x|0＜x＜4}B.{x|6＜x＜8}C.{x|4＜x＜6}D.{x|4＜x＜8}解析：分别求出集合M，N，由此能法出M∩N.∵集合M={x|4＜x＜8}，N={x|x2-6x＜0}={x|0＜x＜6}，∴M∩N={x|4＜x＜6}.答案：C2.若(2-i)2=a+bi3(a，b∈R)，则a+b=( )A.7B.-7C.1D.-1解析：自己由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解即可.∵(2-i)2=3-4i=a+bi3=a-bi，∴a=3，b=4.∴a+b=7.答案：A3.如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温(°C)的数据一览表.已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表，则下列结论错误的是( )A.最低温与最高温为正相关B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月D.1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月，波动性更大解析：根据题意，依次分析选项：对于A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，则A正确；对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：-3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，则B 错误；对于C ，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11；月温差的最大值出现在1月，C 正确；对于D ，有C 的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，D 正确. 答案：B4.已知tan(2π-θ)=4cos(2π-θ)，|θ|＜2π，则tan2θ=( )A.C.8-D.8解析：由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求sin θ，进而可求cos θ，tan θ，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解.∵tan(2π-θ)=4cos(2π-θ)， ∴cos 4cos sin θθθ=，又∵|θ|＜2π，cos θ≠0，∴sin θ=14，cos θ==sin tan cos θθθ==∴2222tan 15tan 21tan 71θθθ⎝⎭⨯===--.答案：B5.已知双曲线22211251x y m m -=+-的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为( )A.53±B.35±C.34±D.43±解析：求出双曲线的实轴长，得到m ，然后求解双曲线的渐近线方程，得到渐近线的斜率即可.双曲线22211251x y m m -=+-的实轴长为8，可得：m 2+12=16，解得m=2，m=-2(舍去).所以，双曲线的渐近线方程为：043x y±=. 则该双曲线的渐近线的斜率：34±.答案：C6.如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于( )A.2B.3C.4D.5解析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值，并输出相应的n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 模拟程序的运行，可得：a=2，s=0，n=1，s=2，a=13，满足条件s＜3，执行循环体，n=2，13273s=+=，a=34，满足条件s＜3，执行循环体，n=3，7334712s+==，a=47，此时，不满足条件s＜3，退出循环，输出n的值为3. 答案：B7.若实数x，y满足约束条件22026003x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩，则z=4x-y的最大值为( )A.3B.-1C.-4D.12解析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可.实数x，y满足约束条件22026003x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域如图所示：当直线z=4x-y过点A时，目标函数取得最大值，由260yx y=⎧⎨+-=⎩解得3xy=⎧⎨=⎩，即A(3，0)，在y轴上截距最小，此时z取得最大值：z max=4×3-0=12. 答案：D8.设A ，B 是椭圆C ：221122x y +=的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2+y 2=10的一个交点，则||PA|-|PB||=( )解析：求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件列出方程，转化求出||PA|-|PB||即可.A ，B 是椭圆C ：221122x y +=的两个焦点，可知：A(0)、0)，圆M ：x 2+y 2=10恰好经过AB 两点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2+y 2=10的一个交点，可得PA ⊥PB ，所以()222240PA PB PA PB c +⎧=+==⎪⎨⎪⎩，可得：2|PA||PB|=8，||PA|-|PB||2=32，. 答案：C9.设w ＞0，函数y=2cos(wx+7π)-1的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则w 的最小值是( )A.32 B.23 C.43 D.34解析：根据三角函数的图象重合，得到平移长度和周期关系，进行求解即可.∵函数y=2cos(wx+7π)-1的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，∴423ππω=，则ω=32. 答案：A10.f(x)=()28sin2x xx x-+-的部分图象大致是( )A.B.C.D.解析：通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可.∵f(-x)=-f(x)∴函数f(x)为奇函数，排除A，∵x∈(0，1)时，x＞sinx，x2+x-2＜0，故f(x)＜0，故排除B；当x→+∞时，f(x)→0，故排除C；故结果应该选D.答案：D11.如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A.52πB.45πC.41πD.34π解析：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面ABCD是矩形，其中AB=4，AD=6，侧面PBC⊥底面垂ABCD.设AC∩BD=O，则OP==，∴O该多面体外接球的球心，半径S=4πR2=52π.答案：A12.已知函数f(x)=e4x-1，g(x)=12+ln(2x)，若f(m)=g(n)成立，则n-m的最小值为( )A.1ln24 -B.12ln23+C.2ln213-D.1ln24 +解析：根据f(m)=g(n)=t得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论.不妨设f(m)=g(n)=t，∴e4m-1=12+ln(2n)=t(t ＞0)， ∴4m-1=lnt ，即m=14(1+lnt)，n=1212t e -，故n-m=()1211241ln t e t --+(t ＞0)，令h(t)=()1211241ln t e t --+(t ＞0)，∴h ′(t)=121124t e t --，易知h ′(t)在(0，+∞)上是增函数，且h ′(12)=0，当t ＞12时，h ′(t)＞0，当0＜t ＜12时，h ′(t)＜0，即当t=12时，h(t)取得极小值同时也是最小值，此时1ln 21l 11112242n 4h +⎛⎫⎛⎫=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即n-m 的最小值为1ln 24+. 答案：D二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知向量a =(6，-2)，b =(1，m)，且a b ⊥，则2a b -= . 解析：∵a =(6，-2)，b =(1，m)，且a b ⊥， ∴620a b m =-=，解得m=3，∴2a b -=(6，-2)-2(1，3)=(4，8)，∴2248a b -=+=答案：14.若(1-3x)6=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a 6x 6，则32a a= .解析：若(1-3x)6=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a 6x 6，则(1-3x)6的通项公式为()163rrr T C x +=-，r=0，1，2， (6)可得2269135a C ==， 33627540a C =-=-，可得324a a=-.答案：-415.如图，E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且BD 1∥平面B 1CE ，则异面直线BD 1与CE 所成成角的余弦值为 .解析：连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结OE ，∵E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点， ∴BCC 1B 1是正方形，∴O 是BC 1中点， ∵BD 1∥平面B 1CE ，∴BD 1∥OE ，∴E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则B(2，2，0)，D1(0，0，2)，C(0，2，0)，E(0，1，2)，1BD =(-2，-2，2)，CE =(0，-1，2)，设异面直线BD 1与CE 所成成角为θ，11cos 512BD CE BD CEθ===.∴异面直线BD 1与CE 所成成角的余弦值为5. 答案：516.在△ABC 中，AC=3，CB=4，边AB 的中点为D ，则sin sin ACDDCB∠=∠ .解析：直接利用三角形的面积相等转化出结论. △ABC 中，AC=3，CB=4，边AB 的中点为D ，则：S △ACD =S △BCD ，所以：sin sin 1122AC DC ACD BC CD DCB ∠=∠，整理得：sin 4sin 3ACD BC DCB AC ∠==∠.答案：43三、解答题(本大题共6小题，共70分.第17~21题为必考题，每小题12分，共60分；第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n -2，{b n }为等差数列，b 3=a 2，b 2+b 6=10.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式.解析：(1)在等比数列{a n }的递推公式S n =2a n -2中，令n=1可得S 1=2a 1-2=a 1，解可得a 1=2，当n ≥2时，由a n =S n -S n-1分析可得an=2a n-1，解可得等比数列{a n }的公比，由等比数列的通项公式可得数列{a n }的通项公式，对于{b n }，求出b 3、b 4的值，计算其公差，由等差数列的通项公式可得数列{b n }的通项公式.答案：(1)根据题意，等比数列{a n }中S n =2a n -2，当n=1时，有S 1=2a 1-2=a 1，解可得a 1=2，当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(2a n -2)-(2a n-1-2)，变形可得a n =2a n-1，则等比数列{a n }的a 1=2，公比q=2，则数列{a n }的通项公式a n =2×2n-1=2n，对于{b n }，b 3=a 2=4，b 2+b 6=2b 4=10，即b 4=5，则其公差d=b 4-b 3=1，则其通项公式b n =b 3+(n-3)×d=n+1.(2)求数列{a n (2b n -3)}的前n 项和T n .解析：(2)由(1)的结论可得a n (2b n -3)=(2n-1)·2n，由错位相减法计算可得答案. 答案：(2)由(1)的结论：a n =2n ，b n =n+1，a n (2b n -3)=(2n-1)·2n，则有T n =1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，①则有2T n =1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1，②①-②可得：-T n =2+2(22+23+…+2n )-(2n-1)×2n+1，变形可得：T n =(2n-3)·2n+1+6.18.“扶贫帮困”是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如下方式进行一次募捐：在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个，每位献爱心的参与者投币20元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个(摸完球后将球放回)，若有一个红球，奖金10元，两个红球奖金20元，三个全为红球奖金100元.(1)求献爱心参与者中奖的概率.解析：(1)设“献爱心参与者中奖”为事件A ，利用互斥事件概率能求出献爱心参与者中奖的概率.答案：(1)设“献爱心参与者中奖”为事件A ，则献爱心参与者中奖的概率()1221337373310851712024C C C C C P A C ++===.(2)若该次募捐有900位献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望.解析：(2)设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X ，则X=20，10，0，-80，由此能求出X 的分布列和学校所得善款的数学期望，由此能求出募捐所得善款的数学期望. 答案：(2)设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为X ，则X=20，10，0，-80，则()3731072024C P X C ===，()1237310211040C C P X C ===， ()21373107040C C P X C ===， ()33310180120C P X C =-==， ∴X 的分布列为：若只有一个参与者募捐，学校所得善款的数学期望为()72171125201008024404012012E X =⨯+⨯+⨯-⨯=(元)，所以，此次募捐所得善款的数学期望为12512×900=9375(元)，答：此次募捐所得善款的数学期望是9375元.19.如图，四边形ABCD 是矩形，，BC=3，2ED EC =，PE ⊥平面ABCD ，.(1)证明：平面PAC ⊥平面PBE. 解析：(1)连接BE 交AC 于F ，证明△ABC ∽△BCE ，推出∠BEC=∠ACB ，证明AC ⊥BE ，AC ⊥PE ，即可证明AC ⊥平面PBE ，进一步得到平面PAC ⊥平面PBE. 答案：(1)证明：连接BE 交AC 于F ，∵四边形ABCD 是矩形，，BC=1，2ED EC =，∴CE BCBC AB =， ∵∠ABC=∠BCD=2π，∴△ABC ∽△BCE ，则∠BEC=∠ACB ， ∵∠BEC+∠ACE=∠ACB+∠ACE=2π， ∴AC ⊥BE ，∵PE ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥PE ， ∵PE ∩BE=E ，∴AC ⊥平面PBE ， ∵AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBE.(2)求二面角A-PB-C 的余弦值.解析：(2)取PB 中点G ，连接FG ，AG ，CG ，证明CG ⊥PB ，然后证明PB ⊥平面ACG ，推出AG⊥PB ，说明∠AGC 是二面角A-PB-C 的平面角，然后通过求解三角形得tan ∠AGC ，利用同角三角函数基本关系式得二面角A-PB-C 的余弦值. 答案：(2)取PB 中点G ，连接FG ，AG ，CG ，∵PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥DC ， ∵，∴PC=3=BC ，得CG ⊥PB ， ∵CG ∩AC=C ，∴PB ⊥平面ACG ，则AG ⊥PB ， ∴∠AGC 是二面角A-PB-C 的平面角， ∵AB ∥CD ，AB=CD ，DE=2EC ，∴13CE EF CF AB FB FA ===， ∵AC=6，∴CF=32，AF=92，∵BC ⊥CD ，BC ⊥PE ，∴BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥PC ， ∴，则CG=2， ∵FG ⊥AC ，∴FG=FC=32，在Rt △AFG 和Rt △CFG 中，求得tan ∠AGF=3，tan ∠CGF=1， ∴()tan tan tan tan 21tan tan AGF CGFAGC AGF CGF AGF CGF∠+∠∠=∠+∠==--∠∠，∴21cos 1tan 5AGC AGC ∠=-=-+∠. ∴二面角A-PB-C 的余弦值为20.设直线l 的方程为x=m(y+2)+5，该直线交抛物线C ：y 2=4x 于P ，Q 两个不同的点.(1)若点A(5，-2)为线段PQ 的中点，求直线l 的方程. 解析：(1)联立方程组()2254x my m y x⎧=++⎪⎨=⎪⎩，消去x 得y 2-4my-4(2m+5)=0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-8m-20，利用韦达定理转化求解即可. 答案：(1)联立方程组()2254x my m y x⎧=++⎪⎨=⎪⎩，消去x 得y 2-4my-4(2m+5)=0设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-8m-20， ∵A 为线段PQ 的中点，所以12222y y m +==-，解得m=-1， ∴直线l 的方程为x+y-3=0.(2)证明：以线段PQ 为直径的圆M 恒过点B(1，2).解析：(2)通过x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2(2m+5)=4m 2+4m+10，()()2222121212254416y y y y x x m ===+，结合向量的数量积为0，推出结果.答案：(2)证明：∵x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2(2m+5)=4m 2+4m+10，()()2222121212254416y y y y x x m ===+，∴BP BQ =(x 1-1)(x 2-1)+(y 1-2)(y 2-2)，即BP BQ =[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]+[y 1y 2-2(y 1+y 2)+4]，∴BP BQ =[(2m+5)2-(4m 2+4m+10)+1]+[-8m-20-2(4m)+4]=0，因此BP ⊥BQ ，即以线段PQ 为直径的圆恒过点B(1，2).21.已知函数f(x)=ax 2-e x(a ∈R).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与y 轴垂直，求y=f ′(x)的最大值.解析：(1)求出导函数，求出函数值，切线的斜率，判断导函数的单调性，然后求解最值即可.答案：(1)由f ′(x)=2ax-ex ，得，f(1)=2a-e=0⇒a=2e ，令g(x)=f ′(x)=ex-e x，则g ′(x)=e-e x，可知函数g(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以g(x)max =g(1)=0.(2)若对任意0≤x 1＜x 2都有f(x 2)+x 2(2-2ln2)＜f(x 1)+x 1(2-2ln2)，求a 的取值范围.解析：(2)函数h(x)=f(x)+x(2-2ln2)=ax 2+x(2-ln2)-e x在[0，+∞)上单调递减，求出导函数，构造函数，F(x)=2ax+(2-2ln2)-e x，再求解F ′(x)=2a-e x，通过当a ≤12时，当a ＞12时，判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解实数a 的取值范围.答案：(2)由题意得可知函数h(x)=f(x)+x(2-2ln2)=ax 2+x(2-ln2)-e x在[0，+∞)上单调递减，从而h ′(x)=2ax+(2-2ln2)-ex ≤0在[0，+∞)上恒成立，令F(x)=2ax+(2-2ln2)-e x ，则F ′(x)=2a-e x，当a ≤12时，F ′(x)≤0，所以函数F(x)在[0，+∞)上单调递减，则F(x)max =F(0)=1-2ln2＜0；当a ＞12时，F ′(x)=2a-ex=0，得x=ln2a ，所以函数F(x)在[0，ln2a)上单调递增，在[ln2a ，+∞)上单调递减，则F(x)max =F(ln2a)=2aln2a+2-2ln2-2a ≤0，即2aln2a-2a ≤2ln2-2，通过求函数y=xlnx-x 的导数可知它在[1，+∞)上单调递增，故12＜a ≤1. 综上，实数a 的取值范围是(-∞，1].请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C 2的极坐标方程为θ=6π，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点.(p ∈R)(1)求A 、B 两点的极坐标.解析：(1)由2286cos ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：ρ2cos 3π=8，即可得到ρ.进而得到点A ，B 的极坐标. 答案：(1)由2286cos ρθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得：ρ2cos 3π=8， ∴ρ2=16，即ρ=±4.∴A 、B 两点的极坐标为：A(4，6π)，B(-4，6π)或B(4，76π).(2)曲线C 1与直线2121x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)分别相交于M ，N 两点，求线段MN 的长度. 解析：(2)由曲线C 1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=8，即可得到普通方程为x2-y2=8.将直线2121xy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x2-y2=8，整理得t2进而得到|MN|.答案：(2)由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2(cos2θ-sin2θ)=8，得到普通方程为x2-y2=8.将直线2121xy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x2-y2=8，整理得t2t-14=0.∴MN==选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)=|x-a|-|x+3|，a∈R.(1)当a=-1时，解不等式f(x)≤1.解析：(1)当a=-1时，不等式为|x+1|-|x+3|≤1；去掉绝对值符号，转化求解即可. 答案：(1)当a=-1时，不等式为|x+1|-|x+3|≤1；当x≤-3时，不等式转化为-(x+1)+(x+3)≤1，不等式解集为空集；当-3＜x＜-1时，不等式转化为-(x+1)-(x+3)≤1，解之得52-≤x＜-1；当x≥-1时，不等式转化为(x+1)-(x+3)≤1，恒成立；综上所求不等式的解集为[52-，+∞).(2)若x∈[0，3]时，f(x)≤4，求a的取值范围.解析：(2)若x∈[0，3]时，f(x)≤4恒成立，即|x-a|≤x+7，即-7≤a≤2x+7恒成立，通过x的范围求解a的范围.答案：(2)若x∈[0，3]时，f(x)≤4恒成立，即|x-a|≤x+7，亦即-7≤a≤2x+7恒成立，又因为x∈[0，3]，所以-7≤a≤7，所以a的取值范围为[-7，7].。

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C ． x0 x 2
D ． x0 x 2
2. 在复平面内复数 z
A．第一象限
B
3
ห้องสมุดไป่ตู้4i
、(
i 是虚数单位
) 对应的点在（
i
．第二象限
C ．第三象限 D
）．第四象限
3. 向量 a (m,1) ， b (1, m) ，则“ m 1”是“ a / /b ”的（）
A．充分不必要条件
B ．必要不充分条件 C ．充要条件
ABCD 是由 4 个全等的直角
三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图” . 若
7
cos 2 BAE
，则在正方形
25
ABCD 内随机取一点，该点恰好在正方形 EFGH 内的概率为（）
A． 24 25
B ． 4 C. 5
3 D ．1
5
25
8. 过直线 y 2x 3上的点作圆 x2 y2 4x 6y 12 0 的切线，则切线长的最小值为（
要条件
x y 1 0, 4. 若实数 x ， y 满足 x y 1 0, 则 z x 2 y 的最大值是（）
y 0,
A． -1
B
． 1 C. 2 D
．3
5. 某几何体挖去两个半球体后的三视图如图所示，若剩余几何体的体积为
A． 1 B ． 2 C.
2 2 D ．32
D ．既不充分也不必
2 ，则 a 的值为（） 3
）
· 2·
· 1·
6. 已知 an 是各项均为正数的等比数列， Sn 为其前 n 项和，若 a1 1， a3 a5 64 ，则 S6 （）
A． 65 B ． 64 C. 63 D
． 62
7. 中国古代三国时期的数学家赵爽 , 创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理
的详细证明 . 如图所示 , 在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形
2018 年甘肃省第一次高考诊断考试
理科数学
一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设全集 U R ，集合 A x x 2 ， B x 0 x 6 ，则集合 (U ) （）
A． x 0 x 2
B ． x0 x 2